Mecânica dos Materiais
Transformação de tensões
Círculo de Mohr
Estados de tensão plana
Tensões em reservatórios de parede fina
Critérios de falha
Tensões devidas a Esforços Combinados
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill (Capítulos 1 e 7)
Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education.
7,8
Estado de tensões num ponto (caso geral)
• Como vimos, o estado de tensão num ponto
pode ser representado, no caso geral, por 6
componentes independentes:
σx , σ y , σz
τ xy , τ yz , τ zx
tensões normais
tensões de corte
com : τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ zx = τ xz
• O mesmo estado de tensão pode ser
representado por um conjunto diferente de
valores das componentes de tensão se o
sistema de eixos sofrer uma rotação de x-y-z
para x’-y’-z’.
Estado de Tensão Plana
• Tensão Plana - estado de tensão em que duas
das faces do elemento infinitésimal cúbico têm
tensões nulas:
σ x , σ y , τ xy
Exemplo:
σ z = τ zx = τ zy = 0.
Transformação de tensões em Tensão Plana
• Considere-se o equilibrio estático do elemento
prismático representado na figura:
∑ Fx ′ = 0 = σ x ′ ∆A − σ x (∆A cos θ ) cos θ − τ xy (∆A cos θ )sin θ
− σ y (∆A sin θ )sin θ − τ xy (∆A sin θ ) cos θ
∑ Fy ′ = 0 = τ x ′y ′ ∆A + σ x (∆A cos θ )sin θ − τ xy (∆A cos θ ) cos θ
− σ y (∆A sin θ ) cos θ + τ xy (∆A sin θ )sin θ
• As equações podem ser escritas por forma a
obter-se:
σ x′ =
σ y′ =
σ x +σ y
2
σ x +σ y
τ x′y ′ = −
2
+
−
σ x −σ y
2
σ x −σ y
2
σ x −σ y
2
cos 2θ + τ xy sin 2θ
cos 2θ − τ xy sin 2θ
sin 2θ + τ xy cos 2θ
Conceito de Tensões Principais
• As equações anteriores podem ser combinadas
resultando a equação paramétrica de um
círculo:
(σ x′ − σmed )2 + τ2x′y′ = R 2
onde
med
σ med =
σx + σ y
2
2
 σ − σy 
R =  x
 + τ 2xy
 2 
• As tensões principais ocorrem nos planos
principais de tensão onde as tensões de corte
são zero – pontos B e A:
σ max, min =
tan 2 θ p =
σx + σy
2
2 τ xy
σx − σy
±
 σx − σy

2

2

 + τ 2xy

Tensão de corte máxima
A tensão de corte máxima ocorre para os pontos
D ou E, quando a tensão normal é dada por:
σ x′ = σmed
med
 σ x −σ y
τ max = R = 
2

σ x −σ y
tan 2θ s = −
2τ xy
σ ′ = σ med =
2

2
 + τ xy


σ x +σ y
2
Nota : o ângulo θ S está separado 45º de θ p
Exemplo 7.01
• Calcular a orientação das tensões principais:
tan 2θ p =
2τ xy
σ x −σ y
• Calcular as tensões principais:
σ max,min =
Para o estado de tensão plana
ilustrado, determinar:
σx +σ y
2
2
σ x −σ y 
2
 + τ xy
± 
2


• Calcular a tensão de corte máxima:
2
σ x −σ y 
2
 + τ xy
τ max = 
2


(a) A orientação do plano das
tensões principais, (b) As tensões
• e a tensão normal correspondente:
principais, (c) a tensão de corte
máxima e a correspondente tensão
σx +σ y
σ′ =
normal.
2
Exemplo 7.01
• Orientação das tensões principais:
tan 2θ p =
2τ xy
=
σ x −σ y
2(+ 40 )
= 1.333
50 − (− 10 )
2θ p = 53.1°, 233.1°
θ p = 26.6°, 116.6°
σ x = +50 MPa
σ x = −10 MPa
τ xy = +40 MPa
• Tensões principais:
σ max,min =
σx +σ y
2
= 20 ±
(30)2 + (40)2
σ max = 70 MPa
σ min = −30 MPa
2
σ x −σ y 
2
 + τ xy
± 
2


Exemplo 7.01
• Tensão de corte máxima:
2
σ x −σ y 
2
 + τ xy
τ max = 
2


=
(30)2 + (40)2
τ max = 50 MPa
σ x = +50 MPa
σ x = −10 MPa
τ xy = +40 MPa
θs = θ p − 45º
θ s = −18.4°, 71.6°
Angulo onde ocorre a tensão
de corte máxima, desfasado
45º relativamente à orientação
das tensões principais max e
min.
• Tensão normal correspondente:
σ + σ y 50 − 10
σ′ = σmed = x
=
2
2
σ ′ = 20 MPa
Círculo de Mohr para Tensão Plana
• Para um estado de tensão plana σ x , σ y ,τ xy
conhecido, marcar os pontos X e Y e
construír o círculo centrado em C:
(uma tensão de corte é positiva se
provoca rotação no sentido horário e
negativa se provoca rotação anti-horária)
σmed =
σx + σ y
2
2
 σ − σy 
R =  x
 + τ2xy
 2 
• As tensões principais são
obtidas nos pontos A e B.
σ max,min = σmed ± R
tan 2θ p =
2τ xy
σx − σ y
Círculo de Mohr para Tensão Plana
• Com o Circulo de Mohr traçado, o
estado de tensão em qualquer outra
orientação pode ser facilmente obtido
graficamente.
• Para o estado de tensão num plano que
forma um ângulo θ em relação aos
eixos xy, constrói-se uma nova linha
diametral X’Y’ com um ângulo 2θ em
relação a XY.
• As tensões normal e de corte são
obtidas através das coordenadas de
X’Y’.
Exemplo 7.02
Para o estado de tensão plana
ilustrado, (a) desenhar o círculo de
Mohr, determinar (b) os planos
principais, (c) as tensões principais,
(d) a tensão de corte máxima e a
correspondente tensão normal.
σmed =
σx + σ y
=
(50) + (− 10) = 20 MPa
2
2
CF = 50 − 20 = 30 MPa FX = 40 MPa
R = CX =
(30)2 + (40)2
= 50 MPa
Exemplo 7.02
• Tensões principais:
σ max = OA = OC + CA = 20 + 50
σ max = 70 MPa
σ max = OB = OC − BC = 20 − 50
σ max = −30 MPa
FX 40
=
CF 30
2θ p = 53.1°
tan 2θ p =
θ p = 26.6°
Exemplo 7.02
Orientação da tensão de
corte máxima
med
Orientação
das tensões
principais
• Tensão de corte máxima
θ s = θ p + 45°
τ max = R
θ s = 71.6°
τ max = 50 MPa
σ′ = σmed
σ ′ = 20 MPa
Círculo de Mohr (cont.)
• Círculo de Mohr para tracção uniaxial:
σx =
P
, σ y = τ xy = 0
A
σ x = σ y = τ xy =
P
2A
• Círculo de Mohr para Torção:
σ x = σ y = 0 τ xy =
Tc
J
σx =σy =
Tc
τ xy = 0
J
Falha por torção (revisão)
• Os materiais dúcteis normalmente
sofrem falha por tensões de corte.
Os materiais frágeis são menos
resistentes em tracção que em corte.
• Quando sujeito a torção, um provete de
um material dúctil, rompe ao longo de
um plano de tensões de corte máximas,
ie. num plano perpendicular ao eixo do
veio.
• Quando sujeito a torção, um provete de
um material frágil, rompe ao longo de
planos perpendiculares à direcção na
qual a tensão normal de tracção é
máxima, ie. ao longo das superfícies
que fazem 45o com o eixo longitudinal
do veio.
3 - 16
Exemplo – tracção uniaxial
Cont.
Exemplo - torção
Problema 7.2
med
Para o estado de tensões
representado, determinar:
a) as tensões principais e
respectiva orientação,
b) as componentes de tensão
exercidas num elemento obtido
rodando 30º no sentido antihorário o elemento dado.
σmed =
R=
σx + σ y
2
=
100 + 60
= 80 MPa
2
(CF )2 + (FX )2
=
(20)2 + (48)2
= 52 MPa
Problema 7.2
med
• Tensões principais:
XF 48
=
= 2.4
CF 20
2θ p = 67.4°
tan 2θ p =
θ p = 33.7° sentido horário
σ max = OA = OC + CA
= 80 + 52
σ max = +132 MPa
σ max = OA = OC − BC
= 80 − 52
σ min = +28 MPa
Problema 7.2
Tensões no elemento infinitésimal
rodado de 30º em relação a XY:
Os pontos X’ e Y’ no círculo de Mohr
que correspondem às tensões no
elemento rodado de 30º, são obtidas
rodando XY no sentido anti-horário: 2θ = 60°
φ = 180° − 60° − 67.4° = 52.6°
σ x′ = OK = OC − KC = 80 − 52 cos 52.6°
σ y′ = OL = OC + CL = 80 + 52 cos 52.6°
τ x′y′ = KX ′ = 52 sin 52.6°
σ x′ = +48.4 MPa
σ y′ = +111.6 MPa
τ x′y′ = 41.3 MPa
Tensões em reservatórios de pressão de paredes finas
• Reservatórios cilindricos sob pressão:
σ1 = tensão circunferencial
σ2 = tensão longitudinal
• Tensão circunferencial:
∑F
z
= 0 = σ1 (2t ∆x ) − p (2r ∆x )
σ1 =
pr
t
• Tensão longitudinal:
2
(
)
(
)
=
0
=
σ
2
π
−
π
F
rt
p
r
∑ x
2
σ2 =
pr
2t
σ1 = 2 σ 2
Reservatórios cilíndricos de paredes finas (cont.)
• Os pontos A e B correspondem às tensões
circunferenciais, σ1, e longitudinais, σ2
• Tensão de corte máxima no plano da virola
(in-plane), (rotação das tensões no plano, ie.
circulo AB no circulo de Mohr), ocorre numa
direcção a 45º com as tensões principais:
1
2
τ max(in − plane) = σ 2 =
pr
4t
• A tensão de corte máxima “fora do plano da
virola” (out-of-plane) corresponde a uma
rotação de 45º do elemento em tensão plana
em torno de um eixo longitudinal do
cilindro (ie. plano OA no circulo de Mohr),
e o correspondente valor é:
τ max = σ 2 =
pr
2t
Tensões em reservatórios de pressão de paredes finas
Tensões no reservatório esférico
sob pressão:
σ1 = σ 2 =
pr
2t
Reservatórios esféricos de paredes finas (cont.)
σ1 = σ 2 =
pr
2t
Circulo de Mohr
• Tensão de corte máxima (in-plane)
σ = σ 1 = σ 2 = constant
τ max(in -plane) = 0
• Tensão de corte máxima (out-of-plane)
τ max = 12 σ1 =
pr
4t
Exemplo
e
e
Considere o reservatório cilíndrico
em aço, com um raio interior de 1 m
e uma espessura de virola e fundos
de 5 mm, representado na figura.
Admita que os fundos hemisféricos
são ligados às virolas cilíndricas
utilizando 126 rebites em cada um.
A pressão de serviço é de 10 bar.
Calcular:
a) Tensões nas virolas.
b) Tensões nos fundos, desprezando
os efeitos da ligação dos fundos às
virolas.
c) Admitindo que se usavam rebites
com 10 mm de diâmetro, na ligação
dos fundos à virola como se ilustra
na figura, verificar a segurança ao
corte dos rebites para a pressão de
serviço ( τadm = 150 MPa).
Estado de tensão geral
Transformação de tensões resultante da rotação do
elemento infinitésimal:
• O estado de tensão no ponto Q é definido por
σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx
• Considerando o tetraedro com a face perpendicular à
linha QN com cosenos directores: λx , λ y , λz
• Impondo o equilibrio estático ∑ Fn = 0 obtém-se
σ n = σ x λ2x + σ y λ2y + σ z λ2z
+ 2τ xy λxλ y + 2τ yz λ y λz + 2τ zxλz λx
• É possível encontrar uma orientação para o elemento
infinitésimal por forma que:
σ n = σ a λ2a + σ bλb2 + σ c λ2c
estes são os eixos principais e os planos principais e
as tensões normais são tensões principais.
Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado
de tensão tridimensional
• Eixos principais a, b,c
• Os pontos A, B, e C representam as
tensões principais nos planos principais
(com tensões de corte nulas)
• Os 3 círculos representam as tensões
normais e de corte para rotações em
torno de cada eixo principal.
• O raio do circulo maior corresponde à
tensão de corte máxima
1
2
τ max = σ max − σ min
Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado
de tensão tridimensional (cont.)
• Caso em que as tensões principais são:
σa > 0; σb < 0; σ z = 0
(tensão plana)
• Os pontos A e B (representando os planos
principais) estão em lados opostos em
relação à origem, então:
a) A tensão de corte máxima é igual à
tensão de corte máxima no plano
a,b dada pelo raio do circulo AB
b) O plano da tensão de corte
máxima faz 45o com os planos
principais AB.
Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado
de tensão tridimensional (cont.)
• Caso em que as tensões principais são:
σa > 0; σb > 0; σ z = 0
(tensão plana)
• Então A e B estão do mesmo lado da
origem (i.e. têm o mesmo sinal), então:
a) O círculo que define σmax, σmin, τmax
para o elemento infinitésimal não é o
circulo AB mas sim o círculo AZ
b) A tensão de corte máxima para o
elemento infinitésimal é:
σ
τ max = max
2
c) Os planos da tensão de corte máxima
fazem 45º com o plano AZ.
Exemplo – estado de tensão plana
Reservatório cilindrico sujeito às
tensões principais indicadas.
Representação no círculo de Mohr:
τ max = 16MPa
Critérios de falha para materiais dúcteis
• A falha de um componente sujeito a
tensão uniaxial pode ser prevista através
das propriedades mecânicas obtidas
através do ensaio de tracção uniaxial.
• Para o caso de um componente sujeito a
tensão plana, é conveniente determinar
as tensões principais e utilizar um
critério de falha baseado no estado de
tensão biaxial correspondente.
• Os critérios de falha são baseados nos
mecanismos de fractura e permitem a
comparação dos estados de tensão
biaxiais com as propriedades mecânicas
conhecidas através dos ensaios de
tracção uniaxiais.
Critério de falha para materiais dúcteis em tensão plana
Critério da tensão de corte máxima:
O componente estrutural está em segurança
se a tensão de corte máxima é inferior à
tensão de corte máxima correspondente ao
ensaio de tracção uniaxial no ponto
correspondente ao limite elástico:
τ max < τ limite elastico =
σY ≡ σe0.2
σ e0.2
2
Para σa e σb com o mesmo sinal,
σa
σ b σ e0.2
τ max =
ou
<
2
2
2
Para σa e σb com sinais opostos,
τ max
σ a − σ b σ e0.2
=
<
2
2
Critério de falha para materiais dúcteis em tensão plana
Critério da Máxima Energia de Distorção:
O componente estrutural está em segurança
se a energia de distorção por unidade de
volume é inferior à energia de distorção por
unidade de volume correspondente ao
ensaio de tracção uniaxial no limite
elástico:
u d < uY
σY ≡ σe0.2
1
1
(
(
σ a2 − σ a σ b + σ b2 ) <
σY2 − σY × 0 + 0 2 )
6G
6G
σ a2 − σ a σ b + σ b2 < σY2
ou
σ a2 − σ a σ b + σ b2 < σ e20.2
ou
σ a2 − σ a σ b + σ b2 < σ e0.2
Tensão equivalente (Von-Mises Huber Hencky)
No caso mais geral, quando num dado ponto se combinam efeitos produzidos por
várias solicitações é corrente, no caso de solicitações estáticas e materiais dúcteis,
recorrer à Tensão equivalente dada pela teoria de Von-Mises Huber Hencky
(correspondente ao critério de energia de distorção), para comparar o respectivo
estado de tensão com o estado de tensão uniaxial produzido por um ensaio clássico de
tracção:
σeq = σ2x + σ2y + σ2z − σ x σ y − σ y σ z − σ z σ x + 3( τ2xy + τ2yz + τ2xz ) < σe0.2
Para o caso de tensão plana, temos σ z = τ yz = τ xz = 0 , logo:
σeq = σ2x + σ2y − σ x σ y + 3 τ2xy < σe0.2
Se tivermos as tensões principais, será:
σeq = σ12 + σ22 − σ1σ2 < σe0.2
Critério de falha para materiais frágeis em tensão plana
Os materiais frágeis falham porque se atinge a
tensão de ruptura, ou por fractura, sem
deformação plástica significativa no ensaio de
tracção uniaxial. A condição para o critério de
falha é a tensão última, ou tensão de ruptura,
σU = σr
Critério da tensão normal máxima:
σU ≡ σ r
O componente estrutural está em segurança se
a tensão normal máxima for inferior à tensão
de ruptura do provete num ensaio de tracção
uniaxial:
σa < σ r
σb < σ r
Esforços combinados – veios de transmissão
Um veio de transmissão como o
ilustrado na figura, fica sujeito a
esforços de torção e esforços
transversos.
As tensões de corte originadas
pelos esforços de corte
transversal, são normalmente
muito inferiores às tensões de
corte devidas ao momento torçor
e como tal podem ser desprezadas
na presente análise.
As tensões normais de flexão
devidas às forças transversais
podem ser muito elevadas e têm
de ser combinadas com as tensões
de corte devidas à torção.
Veios de transmissão sujeitos a esforços combinados
• Numa secção qualquer:
Mc
I
Tc
τm =
J
com M 2 = M y2 + M z2
σm =
• Tensão de corte máxima:
2
2
σm 
 Mc   Tc 
2
τ max = 
 + (τ m ) = 
 + 
2
2
I

  J 


para uma secção circular ou tubular, 2 I = J
τ max =
c
J
M 2 +T 2
• Condição de resistência mecânica para o
veio:
2
2
J
 
 c  min
 M +T 



 max
=
τ adm
2
Exemplo 8.3 - veios de transmissão
Resolução:
• Determinar os momentos
torçores e as correspondente
forças tangenciais nas
engrenagens.
• Calcular as reacções em A e B.
O veio de transmissão de secção circular
sólida, roda a 480 rpm e transmite uma
potência de 30 kW do motor às
engrenagens G e H; A engrenagem G
absorve uma potência de 20 kW e a
engrenagem H absorve 10 kW. Sabendo
que σadm = 50 MPa, determinar o menor
diametro admissivel para o veio.
• Identificar a secção crítica a
partir dos diagramas de
momentos torçores e de
momentos flectores.
• Calcular o menor diametro
admissivel para o veio.
Exemplo 8.3
• Determinar os momentos torçores T e as
correspondentes forças tangenciais F nas
engrenagens:
TE =
P
30 kW
=
= 597 N ⋅ m
2πf 2π (80 Hz )
T
597 N ⋅ m
FE = E =
= 3.73 kN
rE
0.16 m
TC =
20 kW
= 398 N ⋅ m
2π (80 Hz )
FC = 6.63 kN
TD =
10 kW
= 199 N ⋅ m
2π (80 Hz )
FD = 2.49 kN
• Reacções em A e B
Ay = 0.932 kN
Az = 6.22 kN
B y = 2.80 kN
Bz = 2.90 kN
Exemplo 8.3
• Identificar a secção crítica do veio, a
partir dos diagramas de momentos
torçores e dos momentos flectores:
Exemplo 8.3
• Para a secção D (identificada como crítica):
 M 2 + T 2 
=

 max
(1160 2 + 3732 )+ 597 2
= 1357 N ⋅ m
• Calcular o diâmetro mínimo admíssivel do veio:
J
=
c
M 2 + T 2 1357 N ⋅ m
=
= 27.14 × 10 − 6 m 3
τ adm
50 MPa
Para uma secção cicular maciça,
J π 3
= c = 27.14 × 10 −6 m 3
c 2
c = 0.02585 m = 25.85 m
d = 2c = 51.7 mm
Tensões devidas a esforços combinados
• Imaginemos que se pretende determinar
as tensões na secção assinalada, de um
elemento estrutural sujeito a
carregamento arbitrário.
• Faz-se passar uma secção através do
ponto de interesse. Impõe-se o
equilibrio estático, para determinar as
forças e os momentos necessáros para
manter o equilibrio.
• O sistema de forças internas, assim
obtido, consiste em 3 componentes de
forças e 3 componentes de momentos.
• Em seguida, podemos determinar a
distribuíção de tensões, aplicando o
principio da sobreposição.
Tensões devidas a esforços combinados
• A força axial e os momentos no
plano transversal, contribuem para
a distribuição de tensões normais
na secção.
• As componentes da força de corte
e do momento torçor contribuem
para a distribuíção de tensões de
corte na secção.
=
Exemplo 1 – esforços combinados
Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças P1 e P2 indicadas.
O elemento cilíndrico BD tem um raio da secção transversal c = 20mm.
Determinar:
a) Tensões normais e tensões de corte no ponto K do elemento BD.
b) Tensões normais e tensões de corte no ponto H do elemento BD.
Nota: Para simplificar, desprezar as tensões de corte devidas ao esforço transverso.
Exemplo 1 - cont.
Exemplo 2 – esforços combinados
Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas.
Sabendo que a secção transversal do corpo vertical é um rectângulo 40 mm x 140 mm.
Determinar:
a) Tensões normais no ponto H.
b) Tensões normais e tensões de corte no ponto F.
Exemplo 2 - esforços combinados
(cont.)
Exemplo 3 – esforços combinados
Considere-se o sistema
representado na figura sujeito
às forças indicadas.
Determinar:
a) Tensões normais e tensões
de corte no ponto H.
b) Tensões normais e tensões
de corte no ponto K.
Exemplo 4 – esforços combinados
Para o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas, determinar:
a) Tensões normais e tensões de corte no ponto a.
b) Tensões normais e tensões de corte no ponto b.
c) Tensões normais e tensões de corte no ponto c.