Isometrias
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ISOMETRIAS
Isometria: do grego ισο + μέτρο
(ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida)
Uma isometria é uma transformação
geométrica que preserva as distâncias entre
pontos e consequentemente as amplitudes dos
ângulos, transformando uma figura noutra
figura congruente.
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ISOMETRIAS
Existem quatro tipos de isometrias:
• Rotação
• Translação
• Reflexão
• Reflexão deslizante
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A’
ROTAÇÃO
Fig. 2
Rodar uma figura em
torno de um ponto
chamado centro de
rotação (O).
O
Fig. 1
O que é uma rotação?
A distância dos
pontos ao centro de
rotação mantém-se
constante.
A
180º
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ROTAÇÃO
Numa rotação:
• um segmento de recta é transformado num segmento de
recta congruente
• um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e
com o mesmo sentido
Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a
um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja
amplitude pode ser positiva ou negativa.
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ROTAÇÃO
Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo
orientado.
Convencionou-se que a rotação tem
sentido positivo quando a rotação se
efectua no sentido contrário ao do
movimento dos ponteiros de um relógio.
Quando se efectua uma rotação no
sentido do movimento dos ponteiros de
um relógio, então diz-se que se efectuou
uma rotação no sentido negativo.
Sentido positivo
ângulo orientado +90º
Sentido negativo
ângulo orientado -90º
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Rotação no sentido positivo
Rotação no sentido negativo
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Pavimentações usando as rotações
Pavimentações usando as rotações
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TRANSLAÇÃO
O que é uma translação?
Fig. 2
Vector
“Deslocamento” de
uma figura segundo um
vector
v
Fig. 1
(um vector é um ser
matemático que é
caracterizado por uma
direcção, um sentido e
um comprimento).
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TRANSLAÇÃO
Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela
translação T no plano.
A figura A é a figura original (o
objecto) e a figura B é a sua
imagem (o transformado) através
de uma translação.
José Carvalho@2007
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TRANSLAÇÃO
Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito
segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi
mantida a distância em todos os deslocamentos.
A figura D não foi obtida
por translação da figura C.
Não existe nenhuma
translação que permita
obter a figura D a partir da
figura C.
José Carvalho@2007
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TRANSLAÇÃO
Uma translação transforma uma figura numa outra figura
geometricamente igual.
Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de
um “deslocamento” de todos os pontos da figura original
definidos por:
• uma direcção;
• um sentido;
• um comprimento.
José Carvalho@2007
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TRANSLAÇÃO
Todos os segmentos orientados que
têm a mesma direcção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento (ou
norma) representam o mesmo
vector.
O vector é o representante de todos os
segmentos de recta equipolentes (ou
seja, com a mesma direcção, mesmo
sentido e mesmo comprimento).
José Carvalho@2007
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ISOMETRIAS
TRANSLAÇÃO
Um vector fica então definido desde que se conheça:
• a direcção (que é dada pela recta
onde esse vector se encontra: - a recta
suporte do vector)
• o sentido (um dos dois possíveis na
direcção)
• o comprimento (ou norma)
José Carvalho@2007
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TRANSLAÇÃO
Consideremos o triângulo da
figura abaixo e vamos obter a sua
imagem através da translação
associada ao vector representado
a vermelho.
1.º passo:
A partir de cada um dos vértices
do triângulo, com régua e
esquadro, vamos traçar paralelas
com a direcção do vector dado
José Carvalho@2007
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TRANSLAÇÃO
2.º passo:
Abrimos o compasso com
comprimento igual ao do vector
dado
3.º passo:
Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido
indicado pelo vector
José Carvalho@2007
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TRANSLAÇÃO
4.º passo:
Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as
imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original
José Carvalho@2007
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PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO
Concluindo:
• Uma translação transforma um
segmento de recta num outro
segmento de recta paralelo e
congruente .
• Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo
congruente (com a mesma amplitude).
• Uma translação transforma uma figura noutra figura
geometricamente igual.
José Carvalho@2007
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Translação associada ao vector u=(1,1)
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Pavimentações usando as translações
Pavimentações usando as translações
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REFLEXÃO
O que é uma reflexão?
Reflexão em redor de um eixo.
Dada uma recta L chama-se
reflexão em torno do eixo L ao
movimento que transforma um
ponto C em outro ponto C'
verificando que:
• O segmento CC' é perpendicular a L.
• Os pontos C e C' são equidistantes
do eixo L.
Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'
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Reflexão
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Exemplos de Reflexões
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REFLEXÃO DESLIZANTE
O que é uma reflexão deslizante?
A reflexão deslizante é a
combinação de uma reflexão
com uma translação.
A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma
translação chama-se de reflexão deslizante.
O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão
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Reflexão deslizante
O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se
o quadrilátero [A’B’C’D’].
Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se
o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’].
Assim, o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero
[ABCD] segundo uma reflexão deslizante.
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SIMETRIAS
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ISOMETRIAS
Existe uma simetria para cada um
dos quatro tipos de isometrias:
• Simetria de Reflexão
• Simetria de Rotação
• Simetria de Translação
• Simetria de reflexão deslizante
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SIMETRIA DE REFLEXÃO
Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa
a figura globalmente invariante.
Tal pode ser identificado…
… se conseguirmos dobrar a figura de
tal modo que as duas partes obtidas se
sobreponham exactamente
… se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo
a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja
exactamente igual à figura toda
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SIMETRIA DE REFLEXÃO
A simetria de reflexão também se designa por simetria axial;
o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou
linha de simetria
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EIXO DE SIMETRIA
Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz
a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao
meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da
outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de
simetria.
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EIXOS DE SIMETRIA
1 eixo
2 eixos
6 eixos
1 eixo
2 eixos
Não tem eixos
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EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência
Os eixos de simetria duma
circunferência são as rectas
que passam pelo centro.
Uma circunferência tem
uma infinidade de eixos de
simetria.
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EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
Triângulo
Quadrado Pentágono Hexágono
Octógono
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
8 lados
3 eixos
4 eixos
5 eixos
6 eixos
8 eixos
Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria
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EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
Se o número de lados do polígono
regular é ímpar, cada um dos eixos de
simetria une um vértice ao ponto médio
do lado oposto
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EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
Se o número de lados do polígono regular é par, cada
um dos eixos de simetria une dois vértices opostos
ou une os pontos médios dos lados opostos
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SIMETRIA DE ROTAÇÃO
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude
superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura
globalmente invariante.
Tal pode ser identificado…
… se conseguirmos girar a figura em
torno de um ponto fixo (centro da
figura), de modo a que a imagem
resultante, através da rotação,
coincida com a figura original.
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SIMETRIA DE ROTAÇÃO
Figura original Um terço de volta Dois terços de volta
120º
240º
Um volta inteira
360º
O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a
figura roda (centro da figura)
O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que
descreve o movimento da figura
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Exemplos de simetrias de rotação
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SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE
Esta simetria de reflexão deslizante
caracteriza-se por ser uma reflexão
que envia a pegada de baixo para cima
seguida de um deslizamento que a faz
avançar um passo.
r
1º A pegada sofre uma reflexão em
torno da recta r.
2º A pegada sofre uma translação na
direcção e no sentido de um vector
paralelo ao eixo de simetria.
NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas
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FIM
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