Unidade II
MATEMÁTICA COMERCIAL
Profª. Gizele Munim
Apresentação do módulo ii
ƒ Desconto Simples
ƒ Relação entre Taxa de Desconto
e Juros Simples
ƒ Juros Compostos
Desconto simples
Desconto simples ou comercial é o
desconto aplicado sobre o valor nominal,
ou futuro do título, muito utilizado nas
instituições financeiras e no comércio em
geral.
O desconto comercial é uma convenção
secularmente aceita e amplamente utilizada
nas operações comerciais e bancárias de
curto prazo.
Desconto simples
Quando uma empresa vende a prazo,
usualmente recebe títulos de seus clientes
como garantia pelos financiamentos
concedidos. Os títulos mais comuns são:
ƒ Nota Promissória: É um comprovante da
aplicação de um capital com vencimento
predeterminado (PF x PF ou PF x PJ);
ƒ Duplicatas: Título emitido por uma
pessoa jurídica contra seus clientes PF
ou PJ, para o qual ela vendeu
mercadorias a prazo ou prestou serviços
a serem pagos no futuro, conforme
contrato;
Desconto simples
ƒ Letra de Câmbio: Assim como a nota
promissória, é um comprovante de
uma aplicação de capital com
vencimento predeterminado, emitido
ao portador, por uma instituição
financeira;
ƒ Cheques: É uma ordem de pagamento à
vista. Pela lei, um cheque é pagável
quando for apresentado ao banco,
mesmo sendo emitido com data
posterior.
posterior
Nota: Mesmo com esta definição, no Brasil
convencionou-se utilizar o cheque para prédatado, sendo aceito por alguns bancos
nas operações de desconto também.
Desconto simples
Os títulos citados são exemplos de
instrumentos cuja característica comum é
dar direito à empresa ou indivíduo que o
possui de receber um valor (De face ou
Nominal) do título em uma data futura (Data
do vencimento)
Desconto simples
Normalmente quando as empresas
possuem títulos a vencer em data futura,
havendo a necessidade de receber estes
recursos antecipadamente, ela poderá levar
tais títulos a uma instituição financeira que,
caso decida adquirí-los,
adquirí los irá efetuar a
transação a preços inferiores aos seus
respectivos valores de face, realizando o
que denominados desconto de títulos.
Os bancos normalmente utilizam os juros
simples para fazer a operação de desconto
desconto.
Desconto simples
Como exemplo deste caso, imagine uma
empresa que emitiu uma duplicata no valor
de $ 20.000,00 para vencimento em quatro
meses. Em determinado momento, antes de
completar este prazo, a empresa necessitou
de dinheiro para seu fluxo de caixa
caixa. Foi,
Foi
então, ao banco que ofereceu um
adiantamento de $ 18.500,00 em troca da
duplicata.
Dizemos, neste caso, que o banco propôs
um desconto de $ 1
1.500,00.
500 00
($ 20.000,00 - $18.500,00).
Desconto simples
O cálculo do desconto simples pode ser
obtido pela fórmula:
D=Nxdxn
E o valor líquido do título descontado
Vd = N – D
Onde:
D = Valor do desconto
N = Valor nominal (Ou de face)
n = Prazo de vencimento do título
d = Taxa de desconto
Vd = Valor descontado ou valor atual.
Desconto simples
Quando não se sabe a taxa de desconto,
esta pode ser encontrada pela fórmula:
d =
D .
Nxn
E quando a incógnita for o prazo de
vencimento do título, usaremos a fórmula:
n =
D .
Nxd
Desconto simples
Exemplo: Qual o valor do desconto simples
de um título de R$ 2.000,00 que vencerá em
para 90 dias à taxa de 2,5% ao mês?
N = 2.000
d = 2,5%
, % (0,025)
( ,
)
n = 90 dias (3 meses)
D=Nxdxn
D = 2.000 x 0,025 x 3
= 150,00
Vd = N – D
Vd = 2.000 – 150 = R$ 1.850,00
Desconto simples
Exemplo: Qual a taxa mensal de desconto
utilizada numa operação a 120 dias, cujo
valor nominal é de R$ 1.000,00 e o valor de
resgate R$ 880,00?
N = 1.000
Vd = 880
n = 120 d (4m)
D = N – Vd
D = 1.000 – 880 = 120,00
d =
D .=
120
Nxn
1
1.000
000 x 4
Taxa = 3% ao mês
= 0,03
Desconto simples
Exemplo: Uma duplicata de R$ 6.800,00 foi
descontada, cujo crédito foi R$ 6.000,00.
Sabe-se que a taxa cobrada pelo banco foi
de 3,2% ao mês. Quando venceria esta
duplicata?
N = 6.800
Vd = 1.000
d = 0,032
D = N – Vd
D = 6.800 – 6.000 = 800,00
n =
D .=
800
=
Nxd
6.800 x 0,032
= 3,67 meses ou 110 dias.
800 =
217,60
Desconto simples
Cálculo do valor do desconto para uma
série de títulos de mesmo valor.
Este valor poderá ser obtido pela fórmula:
Dt = N x q x d x t1 + tn
2
Onde:
Dt = Valor total do desconto
N = Valor Nominal dos títulos
q = Quantidade de títulos
d = taxa de desconto
t1 = Vencimento do 1º título
tn= Vencimento do último título.
(Nota: sempre expresso na mesma unidade
de medida de d)
Desconto simples
t1 + tn
2
A expressão acima é a que representa o
prazo médio dos títulos descontados.
Essa fórmula somente é válida para
desconto de séries de títulos ou de
prestações com valores iguais de
vencimentos sucessivos e de periodicidade
constante a partir do primeiro vencimento.
Desconto simples
Exemplo: Vamos admitir que um cliente
apresente a um banco 5 títulos no valor de
R$ 1.000,00 cada, com vencimentos entre
30 a 150 dias, para desconto a taxa de 3%
ao mês(simples). Qual o valor do desconto?
N = 1.000
Q=5
d = 0,03
t1 = 30 (1 mês) tn = 150 (5 meses)
DT = N x Q x d x t1 + tn
2
DT = 1
1.000
000 x 5 x 0
0,03
03 x 1 + 5
2
DT = 150 x 3 = 450,00
Desconto simples
Exemplo: Calcular o valor líquido resultante
do desconto bancário de 12 títulos de R$
1.680,00 cada, vencíveis de 30 a 360 dias,
sendo a taxa de desconto cobrada pelo
banco de 2,5% ao mês.
N = 1.680
Q = 12
d = 0,025
t1 = 30 (1 mês) tn = 360 (12 meses)
DT = N x Q x d x t1 + tn
2
DT = 1.680
1 680 x 12 x 0
0,025
025 x 1 + 12
2
DT = 3.276,00
Desconto simples
Continuidade:
Valor Líquido:
VdT = N x Q – Dt
VdT = 1.680 x 12 – 3.276
VdT = 20.160 – 3.276
VdT = 16.884,00
Valor líquido a receber: R$ 16.884,00
Interatividade
Determinar quantos dias faltam para o
vencimento de uma duplicata no valor de
R$ 9.800,00 que sofreu um desconto
bancário simples de R$ 548,50, à taxa de
32% ao ano.
a) 61 dias
b) 70 dias
c) 63 dias
d) 65 dias
e)) 90 di
dias
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Como vimos até agora, a taxa de desconto
é taxa utilizada em operações de Desconto
Comercial.
Embora seja freqüente a confusão entre
juros e desconto, trata-se de critérios
distintos, claramente caracterizados. No
cálculo dos juros a taxa incide sobre o
capital inicial (ou valor presente) ; no
desconto a taxa do período incide sobre o
montante (ou valor futuro).
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Pode-se haver confusão quanto a utilização
da taxa de desconto e da taxa de juros da
operação.
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
A figura abaixo exemplifica a relação entre
a taxa d e a taxa i:
Fonte: Matemática Financeira Objetiva, Roberto
Zentgraf
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
A relação entre a taxa de desconto simples
e a taxa de juros simples pode ser obtida
pela fórmula:
Onde:
i = Taxa de Juros
d = Taxa de Desconto
n = prazo da
d operação
ã
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Exemplo:
E
l
A taxa de desconto simples de duplicatas
cobradas pelo Banco é de 8% a.m. Se
descontarmos neste banco uma duplicada
que vencerá em 06 meses, Qual a taxa
mensal de juros simples a ser cobrada?
d = 8% a.m. = 0,08
i=
d
1–dxn
=
n = 06
0,08
1 - 0,08 x 6
i = 15,38%
15 38% ao mês
= 0,08 = 0,1538
0,52
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Uma duplicata emitida com vencimento
para 03 meses foi descontada
antecipadamente, resultando numa taxa de
juros simples de 5% ao mês. Qual a taxa de
desconto simples utilizada?
i = 5% = 0,05
n = 03
0,05 =
d
1–dx3
(0,05) x (1 – 3d) = d
0 05 – 0,15d
0,05
0 15d = d
0,05 = d + 0,15 d
0,05 = 1,15 d
d = 0,05 / 1,15 = 0,0435
d = 4,35% ao mês
.
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Exemplo:
E
l
Suponha que uma empresa possua uma
duplicata de R$ 20.000,00 com vencimento
para daqui 75 dias. Calcule o valor que a
empresa receberá se descontar a duplicata,
sabendo que a taxa de desconto cobrada
pelo banco é de 15% ao mês.
N = 20.000
d = 15% a.m. = 0,15
n = 75 dias = 2,5
, meses
D=Nxdxn
D = 20.000 x 0,15 x 2,5 = 7.500
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Valor
V
l recebido:
bid
Vd = 20.000 – 7.500 = 12.500
Qual a taxa de juros simples aplicada?
Quem recebe hoje R$ 12.500,00, se
comprometendo a pagar R$ 20.000,00 daqui
75 dias, está pagando qual taxa?
J=Cxixn
7.500 = 12.500 x i x 2,5
7.500 = 31.250 x i
i = 7500 / 31.250
i = 0,24
24% ao mês = 60% ao período
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Usando a fórmula:
N = 20.000
d = 0,15
n = 75 dias = 2,5 meses
i=
d
1–dxn
=
0,15
= 0,15 = 0,24
1 - 0,15 x 2,5
Logo 0,24 x 2,5 = 0,60
0,625
60% ao período
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Exemplo:
E
l
Se um banco utiliza taxa de desconto
simples de 15% a.m., qual o valor da nota
promissória a ser assinada por um cliente
que deseja receber R$ 2.500,00 líquidos em
sua conta,
conta para pagamento após 2 meses?
i=
0,15
=
1 – 0,15 x 2
0,15
1 – 0,30
M = C (1 + i x n)
M = 2.500
2 500 (1 + 0
0,2143
2143 x 2)
M = 2.500 (1,42857)
M = 3.571,43
= 0,15 = 0,2143
0,70
Taxa de desconto simples x taxa de
juros simples
Valor Nominal da N.P. = R$ 3.571,43
d = 15% = 0,15
n=2
D=Nxd xn
D = 3.571,43 x 0,15 x 2
D = 1.071,43
Vd = N – D
Vd = 3.571,43 – 1.071,43
Vd = 2.500,00
2 500 00
Interatividade
Qual o valor líquido a ser recebido pelo
desconto de um título de valor nominal de
R$ 10.000,00 resgatado 3 meses antes,
sabendo-se que a taxa de juros simples
cobrada pelo banco é de 5,88% ao mês?
a) R$ 8.236,00
b) R$ 8.430,00
c) R$ 8.500,00
d) R$ 8.930,00
e)) R$ 8
8.710,00
710 00
Juros compostos
No regime de juros compostos, a taxa de
juros incide sobre o capital inicial acrescido
dos juros acumulados até período anterior.
Ou seja, o Montante acumulado ao final de
cada mês constitui-se no Capital Inicial do
mês seguinte.
Juros compostos
Entendendo o Capital Inicial:
Tome como exemplo um capital de R$
1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao
mês, durante 5 meses:
Juros compostos
Observa-se que o montante no final de cada
mês constitui-se no capital inicial do mês
seguinte. Entretanto esta forma de cálculo é
extremamente trabalhosa e demorada.
Diante disso, deduz-se a fórmula para
cálculo:
Juros compostos
O cálculo dos juros compostos pode ser
feito através da fórmula:
M = C x (1 + i)n
Onde:
M = Montante
C = Capital Inicial
i = Taxa de Juros
n = Prazo
Juros compostos
Da fórmula principal, obtemos as seguintes
fórmulas secundárias:
Capital Inicial ou
(Valor Presente):
Prazo:
Taxa de Juros:
Juros compostos
A principal característica que diferencia
juros simples e juros compostos é que no
primeiro caso os juros são uma função
linear do tempo e no segundo uma função
exponencial, como ilustrado:
Juros compostos
Juros Compostos são conhecidos como
“juros sobre juros”
“O juro composto é a maior invenção da
humanidade, porque permite uma confiável
e sistemática acumulação de riqueza.”
Albert Einstein
Juros compostos
Valores
Este regime corresponde a uma progressão
geométrica (PG), onde os juros crescem de
forma Exponencial ao longo do tempo,
como mostra o gráfico abaixo, um capital
de R$ 1.000 aplicado por dez meses a uma
taxa de 10% a.m.,
a m acumula um montante de
R$ 2.593,74 no final.
2.600,00 2.400,00 2.200,00 2.000,00 1.800,00 1.600,00 1.400,00 1.200,00 1.000,00 800,00 ,
0
1
2
3
4
5
Período
6
7
8
9
10
Juros compostos
Exemplo: Um mutuário comprou um
apartamento por R$ 100.000,00 financiado
por um banco com taxa de juros de 15% ao
ano, financiado em 10 anos. Logo no
primeiro mês, ele perde o emprego e não
consegue pagar nenhuma prestação
prestação. Qual
será o valor do montante (tudo que ele
deve) ao final de 10 anos?
M = ???
C = capital inicial = 100.000,00
i = taxa de juros = 15% ao ano
n = tempo = 10 anos
Juros compostos
M = C x (1 + i)n
M = 100.000 x (1 + 0,15)10
M = 100.000 x (1,15)10
M = 100.000 x 4,046
M = 404.600,00
Resposta: Ao final de 10 anos o montante
(principal + juros) será de R$ 404.600,00 ,
ou seja, ele deve mais de 4 apartamentos.
Juros compostos
Ex: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em
uma caderneta de poupança que possui
uma taxa de juros de remuneração de 0,5%
ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito
nem retirada por 12 meses, qual será o
montante final?
C = 1000 i = 0,5% (0,005) n = 12
M = C x (1 + i)n
M = 1.000 x (1 + 0,005)12
M = 1.000 x ((1,005)
,
)12
M = 1.000 x 1,0617
M = 1.061,70
Rentabilidade: R$ 61,70
Juros compostos
Qual a aplicação inicial que, empregada por
1 ano e seis meses, à taxa de juros
compostos de 3% ao trimestre, se torna
igual a R$ 477,63?
M = 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6
M = C x (1 + i)n
477,63 = C x (1,03)6
477,63 = C x 1,194,05
C=
477,63
1,194,05
,
,
= R$ 400,00
Juros compostos
Qual a taxa de juros empregada sobre o
capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses
que gerou o montante de R$ 10.145,93?
Juros compostos
Por quanto tempo devo aplicar um capital de
R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês
para resgatar R$ 1.444,89?
(Log 1,806 = 0,257 e Log 1,03 = 0,013)
1.444,89 = 800 x (1 + 0,03)n
1.444,89 = 800 x 1,03n
1.444,89 = 1,03n
800
1,806 = 1,03n (propriedade dos logaritmos)
log 1,03n = log 1,806
n * log1,03 = log1,806
n * 0,013 = 0,257
n = 0,257/0,013 = 20 meses
Interatividade
Qual a aplicação inicial que, após 4 meses
de capitalização à taxa de juros compostos
de 2,5% ao mês resultou em R$ 17.661,01?
A) R$ 15.950,00
B)) R$
$ 16.000,00
,
C) R$ 17.061,00
D) R$ 15.000,00
E) R$ 16.500,00
Juros compostos (hp 12 c)
Veremos agora a resolução de exercícios
envolvendo juros compostos na
calculadora HP 12C
Juros compostos (hp 12 c)
[n]: calcula o número de períodos
[i]: calcula a taxa de juros
[PV]: calcula o valor presente
[PMT]: calcula a prestação
[FV]: calcula o valor futuro
[CHS] troca
[CHS]:
t
o sinal
i l
Juros compostos (hp 12 c)
Para utilizar as funções financeiras da HP
12C em cálculos envolvendo juros
compostos ( n, i, PV e FV), a calculadora
deve conter na parte inferior do lado direito
do visor a letra C.
Isto indica que os cálculos serão pelo
sistema de juros compostos.
Caso a letra C não conste no visor
tecle (STO + EEX) para fazê-la surgir e
deixar a calculadora no modo normal de
operação denominado convenção
exponencial.
Juros compostos (hp 12 c)
Um investidor aplicou $4.000,00 por seis
meses a uma taxa de juros compostos de
8% a.m. Calcule o valor do resgate.
f [Reg]
4000 [[CHS]] [PV]
[ ]
6 [n]
8 [i]
[FV] $6.347,50
Juros compostos (hp 12 c)
Pedro aplicou $400,00 por três meses a taxa
de 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor
de resgate?
Juros compostos (hp 12 c)
Qual o valor inicialmente aplicado que
proporcionará um resgate de $800,00, a
vencer em 04 anos, com taxa composta de
7% ao ano?
f
[Reg]
800 [FV]
4 [n]
7 [i]
[PV]
$ 610,32
Juros compostos (hp 12 c)
A Loja Maia vende uma máquina no valor
de R$ 11.000,00, sem entrada, para
pagamento em uma única prestação de R$
14.550,00 no final de 280 dias. Qual a taxa
mensal cobrada pela loja?
[f] [Reg]
11.000 [CHS] [PV]
280 [ENTER]
30 [
14.550 [FV]
[i]
Taxa: 3,042% ao mês
]
[n]
Juros compostos (hp 12 c)
Por quanto tempo devo aplicar um capital
de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao
mês para resgatar R$ 1.444,89?
[f] [Reg]
800 [[CHS]] [PV]
[ ]
3 [i]
1.444,89 [FV]
[n]
Prazo: 20 meses
Juros compostos
Aplicamos R$ 1.000,00 a juros compostos,
durante 09 meses, rendendo um montante
final de R$ 3.000,00. Qual a taxa trimestral
da aplicação?
[f] [Reg]
1.000 [CHS] [PV]
3.000 [FV]
9 [ ENTER ]
3[
] [n]
[i]
Resultado: 44,225% ao trimestre
Juros compostos (hp 12 c)
Logaritmo Decimal (BRIGGS)
O logaritmo decimal (Briggs) de um número
contido no visor é obtido calculando-se seu
logaritmo natural e complementando pela
seqüência:
10 [g] [LN] [ ]
Observação: A HP-12C não calcula o
logaritmo decimal diretamente, daí o
artifício.
Exemplo
a) Calcular log 2
b) 2 [ g ] [ LN ]
10 [g] [LN] [ ]
Resultado: 0,301
Juros compostos (hp 12 c)
Exemplos:
Calcular Logaritmo de 1,806:
1,806 [ g ] [ LN ]
10 [ g ] [ LN ] [
] Resultado: 0,257
Calcular Logaritmo de 1,03:
1,03 [ g ] [ LN ]
10 [ g ] [ LN ] [
] Resultado: 0,13
Juros compostos (hp 12 c)
Para calcular raiz:
1 268241 [ Enter ]
1,268241
12
[ 1/x ]
yx
Resultado: 1,02
Interatividade
João tomou um empréstimo para
pagamento após 9 meses de R$ 3.500,00 a
juros compostos de 1,89% ao mês. Quanto
ele pagará no final da operação?
a)
b)
c)
d)
e)
R$
R$
R$
R$
R$
4.095,35
4,380,00
4,421,20
4,142,40
4,168,90
ATÉ A PRÓXIMA!