Aula 3 – Método das Fatias das Análises de Estabilidade
CIV 247 – OBRAS DE TERRA – Prof. Romero César Gomes
Aula 3
3.1 Superfície Plana de Ruptura (Método do Talude Infinito).
3.2 Método das Fatias para Superfície Circular
3.3 Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer.
3.1 Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
Superfície plana de ruptura em talude de grande extensão
circular
‘talude infinito’
planar
• escorregamentos translacionais ao longo de taludes de inclinação uniforme;
• pequena cobertura de solo em relação à extensão da massa potencialmente instável;
• superfície de ruptura (e linhas de fluxo, no caso de percolação) admitida como sendo
paralela à superfície do terreno;
• movimento de corpo rígido.
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
A determinação de FS é feita a partir do critério de resistência, considerando-se as tensões
atuantes na base de uma fatia vertical genérica ABCD de largura unitária, no caso geral de
NA qualquer (admitido paralelo à superfície do terreno – NT e à superfície de ruptura - SR).
l
1
A
B
z
β
mz
NT
NA
D
(σ, σ’, τ, u)
C
(Fluxo paralelo a NT)
SR
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
W = (1 - m )zγ + mzγ sat
1
L=
z
mz
1
cosβ
L
F1
β
W
γ
F2
NT
T
N’
U
NA
γSAT
N
equipotenciais
linhas de fluxo
SR
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
Talude infinito: F1 = F2
N = Wcosβ ; T = Wsenβ
T
sendo W = (1 - m )zγ + mzγ sat
Na base da fatia genérica (área A =
N
β
hw β
β mz
W
L=
1
cosβ
):
σ=
N Wcosβ
=
= Wcos 2β ∴ σ = [(1 - m )γ + mγ sat ]zcos 2β
1
A
cosβ
τ=
T Wsenβ
=
= Wsenβcosβ = [(1 - m )γ + mγ sat ]zsenβcosβ
1
A
cosβ
h w = mzcos 2β ∴ u = γ w h w = γ w mzcos 2β
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
FS =
τ disponível
τ mobilizada
=
c'+ σ' tgφ '
τm
Substituindo os valores de σ’ = σ – u e τ na expressão de FS, resulta:
c'+[(1 - m )γ + mγ sat − mγ w ]zcos 2βtgφ '
FS =
[(1 - m )γ + mγ sat ]z sen β cos β
Casos particulares: solos com c’ = o
(i) NA ≡ SR (ou abaixo de SR): m = 0
(ii) NA ≡ NT: m = 1
γzcos 2βtgφ '
tgφ ' (FS igual para o caso de talude
FS =
=
γz sen β cos β tgβ submerso e sem percolação)
γ sub zcos 2βtgφ ' γ sub tgφ '
FS =
=
γ sat z sen β cos β γ sat tgβ
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
variação da resistência
com a profundidade
c'+[(1 - m )γ + mγ sat − mγ w ]zcos 2βtgφ '
FS =
= f(z)
[(1 - m )γ + mγ sat ]z sen β cos β
z
FS
c’ e φ’ crescentes com
a profundidade
c’ e φ’ constantes
Superfície Plana de Ruptura - Talude ‘Infinito’
Casos particulares de fluxo
• Fluxo vertical - talude drenado
mz
u=0
mz
β
mzcosβ
• Fluxo horizontal - talude drenado
β
mzcosβ
u = mzγ w
3.2 Método das Fatias para Superfície Circular
b
O
h
l
α
• a superfície de ruptura é circular (de centro O e raio r)
• a massa de solo potencialmente instável é é subdividida em fatias (largura b)
• a base da lamela é aproximada a um segmento de reta (comprimento l).
• cada base de lamela deve compreender apenas um tipo de solo.
• a altura da fatia é medida no centro da mesma (h)
• o ângulo de inclinação da base da fatia com a horizontal é α.
Método das Fatias para Superfície Circular
r senα
forças atuantes em cada fatia
O
X1
E1
r
W
r
W X2
y
La
l
T
N’
°
T
N’
U
α
U
α
• peso da fatia: W = γbh
• forças na base da fatia: N = N’ + U e T;
• forças laterais: E1; E2; X1; X2.
E2
Método das Fatias para Superfície Circular
∑ (Tr/ - Wr/senα) = 0
Equilíbrio de momentos:
∴
∑ T = ∑ Wsenα
(as forças E e X não geram momentos: movimento de corpo rígido)
FS =
Fator de Segurança (expressão geral):
∴ FS =
ou
∑
τ
T
=
l
c' l + σ' l.tgφ '
T
 c' l + N'.tgφ ' 
=


FS


∴ FS =
⇒
∑
T=
∑ N'
∑ Wsenα
e
τm =
T
l
c' l + N '.tgφ '
FS
Wsenα ∴
c' L a + tgφ '.
τ
c'+ σ' tgφ '
=
τm
τm
[
1
c' L a + tgφ '
FS
∑ N'] = ∑ Wsenα
FS depende da formulação adotada para o
cálculo das forças N’ para as n fatias do
talude (diferentes métodos das fatias)
Método das Fatias para Superfície Circular
Método de Fellenius: a resultante das forças laterais entre as fatias é
admitida como sendo nula.
∑E = ∑X = 0
Tomando-se o equilíbrio das forças na direção normal à base da fatia, tem-se que:
N = N'+ U = Wcosα ∴ N' = Wcosα - ul
X1
E1
W X2
Levando-se o valor de N’ na expressão geral de FS, resulta que:
y
l
T
N’
U
α
E2
FS =
∑ (Wcosα - ul )
∑ Wsenα
c' L a + tgφ '.
Método das Fatias para Superfície Circular
solução geométrica para não medição de grandezas angulares
r senα
O
r
La
W
hcosα
α
h
hsenα
(pode ser + ou -)
r
α
(desenho do talude em escala)
Método das Fatias para Superfície Circular
Método de Bishop Simplificado: a resultante das forças laterais entre as fatias
tem direção horizontal.
∑X = 0
Tomando-se o equilíbrio das forças na direção vertical, tem-se que:
c' l
N' tgφ '
senα +
senα
FS
FS
tgφ '
c' l


∴ N'  cosα +
senα  = W - ulcosα −
senα
FS
FS


tgφ '
 tgαtgφ ' 
sendo M α = cosα +
senα = 1 +
cosα
FS
FS 

c' l
W - ulcosα −
senα
FS
tem − se : N' =
Mα
W - N' cosα − Ucosα − Tsenα = 0 ∴ W = N' cosα + ulcosα +
X1
E1
W X2
y
l
T
N’
U
α
E2
Levando-se o valor de N’ na expressão geral de FS, resulta que:
FS =
∑
1
Wsenα
∑

1 
[c' b + (W − ub )tgφ '].

M
α


Método das Fatias para Superfície Circular
FS =
∑
1
Wsenα
∑

1 
[c' b + (W − ub )tgφ '].

M
α


A determinação de FS pelo método de Bishop Simplificado é iterativa, uma vez que FS = f(Mα ) e,
analogamente, Mα = f(FS)
 tgαtgφ ' 
M α = 1 +
cosα
FS 

FSi = (1,10 – 1,25)FSFELLENIUS )
sendo
FS =
ru =
∑
u
u
=
σ v γh
(parâmetro das poropressões)
∑

1 
[c' b + W (1 − ru )tgφ '].

M
α


1
Wsenα
Método das Fatias para Superfície Circular
 tgαtgφ ' 
M α = 1 +
cosα
FS 

Planilha de Cálculo
fatias
c’ γ tgφ’ b l
h hsenα
hcosα W W senα W cosα
senα
cosα tg α u u l ub
λ
Mα
FS1=
FS2=
FS3=
FS1=
FS2=
FS3=
1
2
3
.
.
.
k
.
.
.
n
Σ
Σ
FS F =
∑ (Wsenα - ul )
∑ Wsenα
c' L a + tgφ '.
FS BS =
∑ Wsenα ∑
1
λ
Σ

1 
c'
b
W
ub
tg
'
.
[
+
(
−
)
φ
]


M
α


Método das Fatias para Superfície Circular
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
Talude sob percolação
P
Ponto P: centro da base de cada fatia
u = γwhw
P
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
Talude com diferentes solos
solo 1
solo 2
solo 3
considerar diferentes trechos da superfície de
ruptura, correspondentes aos diferentes solos
calcular diferentes alturas e pesos
(diferentes h, hsenα e hcos α )
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
Talude Submerso
O
W = γbh ; W' = γ' bh ; Ww = γ w bh
W
W’
NA
Ww
As pressões da água sobre a face exposta do talude são levadas em consideração mediante a adoção do
peso específico submerso γ’ no cálculo dos pesos das fatias de solo situadas abaixo do NA externo.
Método das Fatias para Superfície Circular – Casos Particulares
Taludes com Fenda de Tração
fenda de tração
d
E
x
E=
até a fatia limitada pela base da fenda de tração
limitada até a base da fenda de tração
FS F =
∑ (Wsenα - ul)
c' L a + tgφ '.
∑
E.d
Wsenα +
r
FS BS =
1



∑
1 2
γh w
2
Ed 
Wsenα +

r 
∑

1 
[c' b + (W − ub )tgφ '].

M
α


3.3 Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Condição geral de equilíbrio (todos os métodos)
(ponto médio da base das fatias)
(n – 2)
Condição de equilíbrio (Bishop Simplificado)
3.3 Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer
Método das Fatias para Superfície Circular ou Qualquer