Capítulo 5
DINÂMICA (CINÉTICA) DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
5.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo estudar-se-á a cinética de corpos rígidos, isto é, as relações que
existem entre as forças que actuam num corpo, a sua forma e massa, e o movimento
resultante. No capítulo anterior estudaram-se relações semelhantes, admitindo então
que o corpo podia ser considerado uma partícula, ou seja, que a sua massa podia ser
concentrada num ponto e que todas as forças actuavam nesse ponto. A forma do
corpo e a localização exacta dos pontos de aplicação das forças vão ser agora tidas
em devida conta. O objectivo é o estudo do movimento do corpo como um todo,
bem assim como o seu movimento em torno do seu centro de massa.
Nos sistemas de partículas abordados, considera-se que a distância entre duas
quaisquer partículas permanece inalterável (noção de corpo rígido). Os corpos
rígidos podem ser classificados em:
– Conjuntos discretos (finitos):
consistem em sistemas de partículas
isoladas rigidamente ligadas entre si.
– Conjuntos contínuos (infinitos): trata-se de sistemas contínuos, isto é, as
partículas não são numeráveis.
– Conjuntos mistos:
consistem numa
anteriores.
associação
dos
dois
151
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
5.2 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
A abordagem a efectuar neste capítulo assenta no princípio de que os corpos
rígidos não são mais do que conjuntos de várias partículas e, por essa razão, pode-se
utilizar os resultados obtidos no capítulo anterior para o movimento de uma
partícula sujeita a um campo de forças, fazendo o somatório (ou o integral)
estendido a todas as partículas.
As forças actuantes num sistema de partículas podem ser classificadas em:
– Forças interiores – são forças que
ocorrem entre as partes constituintes do
sistema de partículas, as quais, pelo
princípio de igualdade da acção e da
reacção, constituem pares de forças autoequilibradas
por
serem
iguais
e
r
r
directamente opostas ( Fij = − F ji ).
– Forças exteriores – são forças cuja origem
ou causa é exterior ao sistema de partículas.
Figura 5.1 – Forças interiores e exteriores.
No estudo da dinâmica dos sistemas de partículas irá ser utilizada uma notação
específica para as forças. Assim, as forças com um só índice designarão forças
exteriores ao sistema de partículas, actuando sobre a parte ou partição com a
designação do índice. As forças interiores às partes constituintes são designadas por
dois índices, um indica de onde vêm e o outro indica para onde vão:
r
Fi – resultante das forças exteriores aplicadas sobre mi;
r
Fij – força interior devida à interacção entre as massas mi e mj, estando autor
r
r
r
equilibrada com F ji , isto é, Fij + F ji = 0 .
Do princípio da força de D’Alembert ou da 2ª lei de Newton aplicada à
partícula i do sistema de partículas, resulta:
r
n r
r
r
d 2 ri
Fi + ∑ F ji = mi ⋅ ai = mi ⋅ 2
dt
j =1
j ≠i
152
(5.1)
Capítulo 5
Como o princípio de D’Alembert é válido para todas as partículas ou partes
constituintes do sistema de partículas, isto é, para i = 1, 2, ..., n, ter-se-á o seguinte
sistema de equações:
r
n r
r
d 2 r1
 F1 + ∑ F j1 = m1 ⋅ dt 2
j =1

j ≠1
r
2r
n r
 F + ∑ F = m ⋅ d r2
1
 2 j =1 j 2
dt 2

j≠2


...


 r n−1 r
2r
 F + ∑ F = m ⋅ d rn
1
 n j =1 jn
dt 2
(5.2)
Ter-se-á assim um sistema de n equações diferenciais do movimento das
partículas constituintes do sistema de partículas. A solução deste sistema pode ser
obtida por integração directa (se for integrável) ou por integração numérica (por
exemplo, o método de Euler, o método de Runge-Kutta, etc.) a partir das condições
fronteira temporais apropriadas, também designadas por condições iniciais.
Note-se que enquanto o referido sistema de equações diferenciais do
movimento constitui uma condição necessária e suficiente do equilíbrio dinâmico
do sistema de partículas, a soma vectorial das referidas equações, membro a
membro, resulta numa condição necessária mas não suficiente. De facto,
r n  n r  n
r
Fi + ∑  ∑ F ji  = ∑ mi ⋅ ai
∑
i =1
i =1  j =1
 i =1
 j ≠i 
n
⇒
O somatório de forças
auto-equilibradas é nulo.
⇒
n
r
n
∑ F = ∑m
i =1
i
i =1
i
r
⋅ ai
(5.3)
Esta é uma condição necessária de equilíbrio mas não é condição suficiente, pois
não garante que o sistema rode em torno de si próprio.
153
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
r
Representando por ri o vector posição da partícula de massa mi que faz parte de um
sistema de partículas materiais e tomando os
momentos em relação ao ponto O das várias
forças actuando em mi, vem:
n
r r
r r
r
r
ri × Fi + ∑ ri × F ji = ri × (mi ⋅ ai )
(5.4)
j =1
j ≠i
Figura 5.2 – Equilíbrio de um sistema de
partículas.
Repetindo este procedimento para cada partícula mi do sistema, obtém-se n
equações idênticas à anterior. A soma vectorial dessas equações resulta também
numa condição necessária alternativa à anterior:

n  n
r r
r
 r r  n r
r
F
r
F
=
r
×
(
m
⋅
a
×
+
×
∑
∑
∑
∑
i
i
i
ji
i
i
i)

 i =1
i =1
i =1  j =1
 j ≠i

n
⇒
O somatório de momentos de
forças auto-equilibradas é nulo.
⇒
n
r
r
n
r
r
∑ r × F = ∑ m ⋅ (r × a )
i =1
i
i
i =1
i
i
i
(5.5)
As equações (5.3) e (5.5) representam somente condições necessárias de
r
equilíbrio, para as quais o efeito das forças internas, F ji , é nulo. Note-se porém, que
isto não significa que as forças internas não tenham efeito sobre as partículas do
sistema. Por exemplo, as forças de atracção gravítica que o Sol e os planetas
exercem entre si consideram-se internas relativamente ao sistema solar, e, por essa
razão equipolentes a zero. No entanto, estas forças são as responsáveis pelo
movimento dos planetas em redor do Sol.
Analogamente, não se pode concluir das duas equações referidas que dois
sistemas de forças externas, que possuem a mesma resultante e o mesmo momento
resultante, produzem o mesmo efeito sobre um
sistema de partículas.
Os dois sistemas mostrados na figura 5.3 têm a
mesma resultante e o mesmo momento resultante;
Figura 5.3 – Sistemas de forças equivalentes.
154
Capítulo 5
no entanto, o primeiro sistema acelera a partícula A e deixa intacta a partícula B,
enquanto o segundo sistema acelera B e não afecta A.
5.3 CENTRO DE MASSA. TEOREMA DO CENTRO DE MASSA
A equação (5.3) pode escrever-se de outra forma se for considerado o centro
de massa do sistema de partículas. Como já se viu no capítulo 3 (Geometria de
Massas), o centro de massa do sistema é o ponto G definido pelo seguinte vector
r
posição rG :
– Sistema de partículas discreto,
n
r
rG = ( xG , yG , zG ) =
∑m
i
i =1
r
⋅ ri
n
∑m
i =1
=
r
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ ri ⇒
M i =1
i


 xG =



⇒  yG =



 zG =


n
∑m
i =1
n
i
M
∑m
i =1
n
i
⋅ yi
(5.6)
M
∑m
i =1
⋅ xi
i
⋅ zi
M
Figura 5.4 – Centro de massa de um sistema discreto.
– Sistema de partículas contínuo,
r
r
rG = ( xG , yG , zG ) =
∫ r dm
M
∫ dm
=
1
M
r
∫ r dm ⋅
⇒
M
M
155
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas

x =
 G



⇒  yG =


z =
 G

∫ x dm
M
M
∫ y dm
M
M
∫ z dm
(5.7)
M
M
Figura 5.5 – Centro de massa de um sistema contínuo.
Apenas por simplicidade de notação serão inferidos os princípios da dinâmica
a sistemas de partículas discretos, utilizando, por isso, a notação de somatório e não
de integral. Portanto, o centro de massa é:
n
r
rG =
∑m
i
i =1
r
⋅ ri
n
r
r
M ⋅ rG = ∑ mi ⋅ ri
⇒
M
(5.8)
i =1
Derivando sucessivamente esta expressão em relação ao tempo, vem:
n
d
(M ⋅ rrG ) = d ∑ mi ⋅ rri
dt
dt i =1
r
r
n
drG
dri
= ∑ mi ⋅
M⋅
dt
dt
i =1
⇒
⇒
r
n
drG
r
M⋅
= ∑ mi ⋅ vi
dt
i =1
⇒
r
r
drG  d  n
d 
M ⋅
 =  ∑ mi ⋅ vi 
dt  dt  i =1
dt 

⇒
r
r
n
dvi
d 2 rG
M ⋅ 2 = ∑ mi ⋅
dt
dt
i =1
⇒
n
r
r
M ⋅ aG = ∑ mi ⋅ ai
(5.9)
⇒
(5.10)
i =1
como,
n r
r
r
m
a
⋅
=
∑ i i ∑ Fi = F
n
i =1
(5.11)
i =1
então, substituindo em (5.10) vem:
r
r
F = M ⋅ aG
156
(5.12)
Capítulo 5
A expressão (5.12) define o movimento do centro de massa G de um sistema
de partículas, traduzindo assim o teorema do centro de massa:
“O centro de massa de um sistema de partículas desloca-se como se toda
a massa do sistema e todas as forças externas estivessem concentradas
nesse ponto”.
Este princípio pode ser melhor ilustrado pela análise do movimento de uma
granada que entretanto explode. Sabe-se de antemão que, se a resistência do ar for
desprezável, o movimento da granada segue uma trajectória parabólica. Após a
granada ter explodido, o centro de massa G dos fragmentos resultantes continua a
descrever a mesma trajectória. Na verdade, o ponto G deve mover-se como se a
massa e o peso de todos os fragmentos estivessem aí concentrados; devem, por isso,
deslocar-se como se a granada não tivesse explodido.
Do que foi referido, destacam-se três pontos que traduzem a importância do
teorema do centro de massa:
1º Ponto) Redução do sistema de partículas a um único ponto
O teorema do centro de massa permite aplicar certas leis da
mecânica quando se supõe o sistema de partículas com massa
concentrada num único ponto – o centro de massa.
Por exemplo, se um sistema de partículas executa um movimento
de translação, este pode ser caracterizado completamente pelo
movimento de translação de um único ponto identificado com o
centro de massa, com massa igual à massa total do sistema e
r
r
movendo-se com velocidade e aceleração, vG e aG , iguais às do
centro de massa.
2º Ponto) Permite ignorar as forças interiores do sistema
O teorema do centro de massa torna possível desenvolver as
equações de movimento do sistema de partículas ignorando ou
desconhecendo as forças interiores ao sistema. Note-se que o
seguinte duplo somatório é nulo:
157
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
n
n
r
∑∑F
i =1 j =1
j ≠i
ji
r
=0
(5.13)
Isto significa que as forças interiores ao sistema de partículas não
influenciam o movimento do centro de massa, qualquer que seja o
sistema.
No entanto, as forças interiores influenciam o movimento de cada
partícula individualmente, conforme se infere do princípio das
forças de D’Alembert, constituindo uma equação diferencial do
movimento de cada partícula de massa mi. Veja-se, por exemplo, o
movimento de uma granada que entretanto explode, como foi
abordado anteriormente.
3º Ponto) Descrição do movimento numa perspectiva global
Como se verificou no 2º ponto, o movimento do centro de massa
caracteriza o movimento do sistema de partículasnuma perspectiva
global, isto é, no seu conjunto; mas não caracteriza o movimento do
sistema de partículas no seu aspecto local.
Exemplo de aplicação
158
Capítulo 5
5.4 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
Como se viu na expressão (5.12), e de acordo com o princípio da força de
D’Alembert, o anulamento da resultante das forças exteriores aplicada ao ponto
fictício de centro de massa do sistema de partículas garante apenas que o centro de
massa está em equilíbrio. Mas para assegurar o equilíbrio de um sistema de
partículas não basta que esteja em equilíbrio o seu ponto fictício, isto é, o centro de
massa. Por isso é que a equação anterior constitui uma condição necessária de
equilíbrio de um sistema de partículas, pois nem sempre quando é nula a resultante
das forças exteriores o sistema estará em equilíbrio. É, então, necessário encontrar a
equação suficiente de equilíbrio, recorrendo a outros conceitos e princípios de
dinâmica do sistema de partículas.
159
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
O princípio de força de D’Alembert, na sua versão translação, pode ser
expresso por:
r n r
r
F = ∑ Fi = m ⋅ a
(5.14)
i =1
Daqui se conclui que a massa de uma partícula é a constante de proporcionalidade
entre a resultante das forças exteriores aplicadas numa direcção e a correspondente
aceleração vectorial linear nessa direcção:
m=
F
a
(5.15)
Assim se compreende a definição alternativa de massa como sendo uma
característica da inércia da translação dos corpos.
Existe outra grandeza que caracteriza a inércia de rotação dos corpos. Como se
sabe, a massa de um corpo e a posição do centro de massa não permitem, por si sós,
descrever de maneira única a distribuição da massa do corpo.
Figura 5.6 – Distribuição da massa de diferentes corpos.
Como se verifica na figura 5.6, a localização do centro de massa é
independente da localização e grandeza das massas parcelares, ou seja, é
independente da distribuição das massas. É, por isso, necessário fazer intervir outro
conceito que traduza a distribuição das massas do corpo. Este conceito tem em
conta as características da rotação do sistema de partículas.
Figura 5.7 – Características de rotação de um sistema de partículas.
160
Capítulo 5
Como se viu, a massa m é definida como a seguinte constante de
proporcionalidade:
n
m=
∑F
i
i =1
a
=
F
a
(5.16)
Se a massa se encontra em movimento de rotação, então verifica-se a seguinte
relação para as componentes tangenciais:
m=
F Ft
= ; com at = α ⋅ R
a at
(5.17)
O momento, MF, da força F em relação ao eixo ∆ tem a grandeza da
componente tangencial dessa força multiplicada pelo raio do círculo (dado que a
componente normal não produz momento). Então, esse momento é igual a:
M F = Ft ⋅ R
⇒
MF
= Ft
R
(5.18)
Considerando a expressão (5.17) e substituindo em (5.18) vem:
m=
MF
R ⋅α ⋅ R
⇒
m=
MF
α ⋅ R2
⇒
MF
α
= m ⋅ R2 = I∆
(5.19)
Esta quantidade mecânica, identificada por I∆, é designada de momento de inércia
de massa de uma partícula de massa m relativamente ao eixo ∆ e é dado pelo
produto da massa pelo quadrado da distância da partícula a esse eixo.
Considerando as definições de momento de inércia abordadas no capítulo 3
sobre geometria de massas, define-se:
– Momento de inércia de massa de sistemas de partículas discretos
n
I ∆ = ∑ mi ⋅ d i2
i =1
1
ou
di
( rri × ur∆ = rri ⋅ ur∆ ⋅ senθ i = rri ⋅ senθ i )
n
r r
I ∆ = ∑ mi ⋅ ri × u ∆
(5.20)
2
i =1
Figura 5.8 – Momento de inércia de massa de um sistema discreto.
161
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
– Momento de inércia de massa de sistemas de partículas contínuo
I ∆ = ∫ d 2 dm
M
ou
I∆ =
r r
∫ r ×u
(5.20)
2
∆
dm
M
Figura 5.9 – Momento de inércia de massa de um sistema contínuo.
5.5 RAIO DE GIRAÇÃO
O raio de giração, rG, representa uma distância fictícia (relativamente a um
ponto, a um eixo ou a um plano) onde se poderia supor concentrada a massa total de
um sistema de partículas, sem alterar o seu momento de inércia de massa
(relativamente ao ponto, ao eixo ou ao plano).
Figura 5.10 – Raio de giração.
Para um sistema de partículas contínuo tem-se:
I ∆ = ∫ r dm = M ⋅ (rG )
2
2
∆
⇒
(rG ) ∆ =
∫r
2
dm
(5.21)
M
M
M
Enquanto que para um sistema de partículas discreto se tem:
n
n
I ∆ = ∑ mi ⋅ d i2 = M ⋅ (rG ) 2∆
⇒
i =1
(rG ) ∆ =
∑m
i =1
i
M
⋅ d i2
(5.22)
ou seja,
(rG ) ∆ =
162
I∆
M
(5.23)
Capítulo 5
Note-se que esta distância rG caracteriza não um único ponto, mas uma
infinidade de pontos, situados sobre a superfície cilíndrica de eixo de revolução
coincidente com o eixo ∆. Ou seja, existe simetria de revolução axial, esférica ou
plana, em relação à caracterização do raio de giração, consoante o momento de
inércia a que se refere seja relativamente a um ponto, eixo ou plano.
Nota: O raio de giração é o análogo mecânico do desvio padrão estatístico.
5.6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS. TEOREMA DE STEINER
Como se viu no capítulo 3, uma vez conhecido
o momento de inércia em relação a um eixo ∆,
é possível obter rapidamente o momento de
inércia relativamente a qualquer eixo ∆'
paralelo ao anterior e que se situe à distância d,
considerando o teorema dos eixos paralelos:
Figura 5.11 – Teorema dos eixos paralelos.
sendo
I ∆ = ∫ l 2 dm e I ∆ ' = ∫ l '2 dm = ∫ (l + d ) 2 dm
(5.24)
I ∆ ' = ∫ l 2 dm + ∫ d 2 dm + 2 ⋅ d ⋅ ∫ l dm
(5.25)
I ∆' = I ∆ + M ⋅ d 2 + 2 ⋅ d ⋅ S∆
(5.26)
M
então
M
M
ou seja,
M
M
M
Quando o eixo ∆ é baricêntrico (∆≡∆G), o teorema dos eixos paralelos assume
a versão do teorema de Steiner (S∆=0):
I ∆' = I ∆ + M ⋅ d 2
(5.27)
163
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
5.7 QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE
PARTÍCULAS
A quantidade de movimento de um sistema de partículas corresponde à soma
vectorial (ou integral, se o sistema for contínuo) das quantidades de movimento das
partículas constituintes, ou das massas elementares em movimento.
Para sistemas de partículas discretos tem-se:
n
n
r
r
r
P (t ) = ∑ pi (t ) = ∑ mi ⋅ vi (t )
i =1
(5.28)
i =1
Enquanto que para um sistema de partículas contínuo se tem:
r
r
r
P (t ) = ∫ dp = ∫ v (t ) dm
P
(5.29)
M
Considerando a definição para sistemas de partículas discretos (o que vem a
seguir também é válido para sistemas de partículas contínuos), então:
r
n
n
r
dri (t ) d  n
r
r 
= ∑ mi ⋅ ri (t ) 
P (t ) = ∑ mi ⋅ vi (t ) = ∑ mi ⋅
dt
dt  i =1
i =1
i =1

(5.30)
Tendo em conta a definição de centro de massa,
n
r
rG (t ) =
∑m
i =1
i
r
⋅ ri (t )
M
(5.31)
Substituindo na expressão (5.30) vem:
r
r
r
drG (t )
r  d r
r
d n
P (t ) = ∑ mi ⋅ ri (t ) = [rG (t ) ⋅ M ] ⇒ P (t ) = M ⋅
= M ⋅ vG (t ) (5.32)
dt  i =1
dt
 dt
ou seja,
n
r
r
r
P (t ) = ∑ mi ⋅ vi (t ) = M ⋅ vG (t )
(5.33)
i =1
Esta expressão mostra que a quantidade de movimento de um sistema de
partículas é a mesma que teria uma partícula única de massa igual à massa total,
164
Capítulo 5
localizada no centro de massa, e movendo-se com uma velocidade igual à do centro
de massa.
Fica assim justificado que para o estudo da dinâmica de translação de sistemas
de partículas rígidos quaisquer, poder-se-á substituir a dinâmica do todo, pela
dinâmica do seu centro de massa, no qual se supõe concentrada a massa total.
5.8 TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA
DE PARTÍCULAS.
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Derivando a quantidade de movimento em ordem ao tempo vem:
r
r
dvi (t ) n
r  n
r
dP (t ) d  n
= ∑ mi ⋅ vi (t ) = ∑ mi ⋅
= ∑ mi ⋅ ai (t )
dt
dt  i =1
dt
i =1
 i =1
(5.34)
como,
n r
n
r
r
F (t ) = ∑ Fi = ∑ mi ⋅ ai (t )
i =1
(5.35)
i =1
então, associando as expressões (5.34) e (5.35), vem:
r
dP (t ) r
= F (t )
dt
(5.36)
Esta expressão está associada ao teorema da quantidade de movimento.
Foi também
r
movimento P e
relacionadas por
relação:
já visto, na expressão (5.33), que a quantidade de movimento de
r
a velocidade associada ao centro de massa vG se encontram
r
r
P (t ) = M ⋅ vG (t ) . Assim, é possível também obter a seguinte
r
r
dvG (t )
r
r
dP (t ) d
= [M ⋅ vG (t )] = M ⋅
= M ⋅ aG (t )
dt
dt
dt
(5.37)
Tendo em conta a expressão (5.36) e substituindo em (5.37), vem:
165
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
r
r
F = M ⋅ aG (t )
(5.38)
r
sendo F a resultante das forças aplicadas ao sistema de partículas.
Assim, de acordo com o teorema da quantidade de movimento, em qualquer
instante, a derivada da quantidade de movimento total em ordem ao tempo é igual à
resultante das forças exteriores actuantes nesse instante no sistema de partículas.
Se a resultante das forças exteriores for nula, isto é, se o sistema for isolado,
ou não actuado por forças exteriores, então:
r
r
r
r
dP r
F (t ) = 0 ⇒
= 0 ⇒ P = constante
(5.39)
dt
Isto traduz o princípio da conservação da quantidade de movimento, segundo
o qual, num sistema isolado, a quantidade de movimento total permanece constante.
5.9 CHOQUE
5.9.1 Definição de choque
A colisão entre dois corpos que ocorre num intervalo de tempo muito curto, e
durante o qual os corpos exercem entre si forças de interacção relativamente
elevadas; é designado por choque.
Estas forças de interacção são forças interiores ao sistema de partículas e,
sendo elevadas, significa que a elas vão estar associados grandes gradientes
temporais de velocidades (porque o intervalo de tempo de choque é pequeno) o que
significa variações apreciáveis das velocidades instantâneas, antes e após o choque.
As leis da mecânica newtoniana permitem deduzir propriedades das trajectórias e
das velocidades após o choque, conhecendo as suas características antes do choque,
sem ser necessário conhecer as enormes forças de interacção.
A normal comum à superfície de contacto durante o choque designa-se linha
de choque. Consoante as posições dos centros de massa dos dois corpos durante o
choque, distingue-se os seguintes tipos de choques:
166
Capítulo 5
– Choque central:
Os centros de massa dos corpos que colidem situam-se
na linha de choque. Neste tipo de choque ainda se
distinguem dois sub-tipos de choque:
• Choque directo ou frontal – As velocidades dos
centros de massa dos corpos que colidem
têm a direcção da linha de choque.
• Choque oblíquo – Pelo menos uma das velocidades
dos centros de massa dos corpos que
colidem não têm a direcção da linha de
choque.
– Choque excêntrico: Se algum dos corpos, ou ambos, têm um centro de
massa que, antes ou após o choque, não pertence à linha
de choque, então o choque é excêntrico.
choque central directo
choque central oblíquo
choque excêntrico
Figura 5.12 – Tipos de choque.
Neste capítulo só irão ser analisados os choques centrais.
5.9.2 Princípios da conservação aplicados ao choque central
No estudo do choque admite-se que os corpos antes e após o choque são
rígidos e que o fenómeno de choque ocorre em dois períodos distintos:
– um período inicial de compressão desde o instante de contacto inicial
pontual até ao instante de contacto máximo;
– um período final de restituição entre o instante de contacto máximo e o
instante de contacto final (pontual).
167
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Figura 5.13 – Fases de choque.
O objectivo do estudo do choque é determinar as velocidades após o choque,
conhecidas as velocidades antes do choque.
Admite-se que o choque ocorre num plano horizontal no qual a energia
potencial de posição é a mesma para todas as massas envolvidas. Admite-se ainda
que, antes e após o choque, não são aplicadas aos corpos nenhumas forças
exteriores (para além dos pesos verticais, os quais, como se sabe, não realizam
trabalho no plano horizontal) nem mesmo eventuais atritos de contacto com as
superfícies.
Na ausência de forças exteriores, as velocidades antes e após o choque serão
forçosamente constantes, isto é, o movimento antes e após o choque será rectilíneo e
uniforme (ou seja, movimento teórico correspondente a aceleração nula porque as
forças exteriores são nulas).
Assim, o sistema “corpos em colisão” comporta-se antes e após o choque
como um sistema isolado (isto é, sem forças exteriores aplicadas), relativamente ao
qual são válidos os princípios da conservação da mecânica newtoniana,
nomeadamente:
– princípio da conservação da quantidade de movimento;
– princípio da conservação da energia total (não apenas mecânica);
– princípio da conservação do momento cinético (o qual deverá ser aplicado
no caso do choque excêntrico, que não irá ser estudado).
168
Capítulo 5
Neste capítulo limita-se o estudo do choque à aplicação dos dois primeiros
princípios:
→ o princípio da conservação da quantidade de movimento que corresponde a
uma equação vectorial no plano de choque:
r
r 
 n
 n
 ∑ mi ⋅ vi  antes do choque =  ∑ mi ⋅ v 'i  depois do choque
 i =1
 ou inicial
 i =1
 ou final
(5.40)
→ o princípio da conservação da energia total, que é um princípio escalar que
traduz a conservação da energia total de todas as origens:
Einicial = Efinal
⇒
⇒ Ti + U i = T f + U f + Energias perdidas ou dissipadas (calor, atrito, etc.) (5.41)
Como se pressupõe que o choque se dá sobre um plano horizontal, então
U i = U f , logo:
Ti = T f + ∆E
(5.42)
Consoante o valor da parcela de energia dissipada, ∆E, distingue-se:
– Choque elástico (ex.: bolas de bilhar) – A parcela de energia dissipada,
∆E, é nula. Isto é, não há dissipação de energia, logo,
a energia cinética inicial antes do choque é
elasticamente restituída pelo fenómeno do choque na
cinética final das massas que colidiram.
– Choque inelástico ou dissipativo (ex.: colisão de automóveis) – A
parcela de energia dissipada, ∆E, é não nula.
No choque elástico, os corpos mantêm invariável o seu estado físico, enquanto
que no choque inelástico há alteração do estado físico, isto é, há deformação.
5.9.3 Choque central directo ou frontal
Considere-se as duas partículas A e B, com massas mA e mB, ilustradas na
figura 5.14, que se deslocam na mesma linha recta e para a direita com velocidades
r
r
v A e vB conhecidas.
169
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Se a velocidade da partícula A for superior à
velocidade da partícula B, a partícula A irá
colidir com a partícula B. Sob o efeito do
choque, as duas partículas deformar-se-ão e,
no fim do período de deformação, elas
r
u.
possuirão
a
mesma
velocidade
Seguidamente, tem lugar um período de
restituição, no fim do qual, e dependendo da
intensidade das forças de choque e dos
materiais em jogo, as duas partículas
recuperarão a sua forma original ou
permanecerão deformadas.
Figura 5.14 – Choque frontal.
r
r
O objectivo é a determinação das velocidades v ' A e v ' B das partículas no fim
do período de restituição. Como não existem forças exteriores, a quantidade de
movimento total das duas partículas mantém-se constante, logo:
r
r
r
r
m A ⋅ v A + mB ⋅ v B = m A ⋅ v ' A + mB ⋅ v ' B
(5.43)
Uma vez que as velocidades estão dirigidas segundo o mesmo eixo (linha de
choque), pode-se substituir a equação acima, considerando apenas as componentes
escalares:
m A ⋅ v A + mB ⋅ v B = m A ⋅ v ' A + mB ⋅ v ' B
(5.44)
r
r
Para obter as velocidades v ' A e v ' B torna-se necessário estabelecer uma
segunda relação entre as componentes escalares v' A e v' B . Com este propósito
considere-se agora o princípio da conservação da energia total:
Ti = T f + ∆E
⇒
1
1
1
1
⋅ m A ⋅ v A2 + ⋅ mB ⋅ v B2 = ⋅ m A ⋅ v'2A + ⋅ mB ⋅ v'2B + ∆E
2
2
2
2
m A ⋅ (v A2 − v'2A ) = mB ⋅ (v'2B −vB2 ) + 2 ⋅ ∆E
⇒
⇒
m A ⋅ (v A − v' A ) ⋅ (v A + v' A ) = mB ⋅ (v' B −v B ) ⋅ (v' B + vB ) + 2 ⋅ ∆E
170
(5.45)
Capítulo 5
Aplicando nesta expressão o princípio da conservação da quantidade de movimento,
m A ⋅ (v A − v' A ) = mB ⋅ (v' B −vB ) , vem:
v A + v' A = v' B + vB +
2 ⋅ ∆E
α
; α = m A ⋅ (v A − v' A ) = mB ⋅ (v' B −v B )
2 ⋅ ∆E
v ' B −v ' A
=1−
=e
α ⋅ (v A − vB )
v A − vB
⇒
v' B −v' A = e ⋅ (v A − vB )
(5.46)
Nesta expressão e designa o coeficiente de restituição. Uma vez que v' B −v' A
representa a velocidade relativa das duas partículas depois do choque, e (v A − vB )
representa a velocidade relativa das duas partículas antes do choque. A expressão
anterior significa que: “a velocidade relativa das duas partículas depois do choque
pode obter-se pela multiplicação da velocidade relativa antes do choque pelo
coeficiente de restituição”.
Assim, a velocidade das duas partículas depois do choque pode obter-se pela
resolução das equações (5.44) e (5.46).
Como se pode verificar, o coeficiente de restituição, e, toma um valor
qualquer entre [0, 1]. Existem três casos conceptualmente distintos de choque
frontal correspondentes aos seguintes valores do coeficiente de restituição:
→ e=1
→ choque elástico
→ e=0
→ choque plástico
→ 0 < e < 1 → choque inelástico
Existem dois casos particulares de choque frontal com interesse especial:
1.
e = 0, choque frontal plástico
r
r
Quando e = 0, resulta que v ' B = v ' A , isto é, significa que as massas, após
o choque, se deformam e seguem juntas, com uma velocidade
determinada pela equação:
m A ⋅ v A + mB ⋅ v B = (m A + mB ) ⋅ v' ;
v' = v' A = v' B
(5.47)
171
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
2.
e = 1, choque frontal elástico
Quando e = 1, resulta que:
v ' B −v ' A = v A − v B
⇒
v A + v' A = v B + v' B
(5.48)
isto significa que as velocidades relativas antes e depois do choque são
iguais, ou seja, a velocidade de aproximação é igual à velocidade de
afastamento entre as duas massas.
Considerando o princípio da conservação da quantidade de movimento:
m A ⋅ (v A − v ' A ) = m B ⋅ (v ' B − v B )
(5.49)
e tendo em conta a expressão (5.48), vem:
m A ⋅ (v A − v ' A ) ⋅ (v A + v ' A ) = m B ⋅ ( v ' B − v B ) ⋅ ( v ' B + v B )
⇒
m A ⋅ v A2 − m A ⋅ v'2A = mB ⋅ v'2B −mB ⋅ v B2
⇒
⇒
⇒
(dividindo por 2)
1
1
1
1
⋅ m A ⋅ v A2 + ⋅ mB ⋅ v B2 = ⋅ m A ⋅ v'2A + ⋅ mB ⋅ v'2B
2
2
2
2
(5.50)
Que traduz a conservação da energia cinética total das partículas.
5.9.4 Choque central oblíquo
Considere-se duas partículas que colidem e
cujas velocidades não estão dirigidas segundo
a linha de choque. Está-se, por isso, na
presença de choque oblíquo.
Considera-se ainda que são conhecidas as
velocidades, vA e vB, antes do choque e as
respectivas inclinações αA e αB em relação à
linha de choque. Desconhecem-se as
velocidades, v'A e v'B, tanto em direcção, α'A e
α'B, como em grandeza, após o choque.
Figura 5.15 – Choque central oblíquo.
172
Capítulo 5
Assim, o problema associado ao estudo do choque central oblíquo consiste em
determinar v'A, v'B, α'A e α'B, uma vez conhecidos vA, vB, αA e αB.
Tem-se assim quatro incógnitas, sendo, por isso, necessário estabelecer quatro
equações independentes para determinar essas incógnitas. No entanto, os princípios
de conservação (da quantidade de movimento e da energia total) só permitem
estabelecer as seguintes três equações (considerando os eixos coordenados segundo
n e t):
– Aplicação do princípio de conservação da quantidade de movimento
r
r
r
r
m A ⋅ v A + mB ⋅ v B = m A ⋅ v ' A + mB ⋅ v ' B
⇒
r
r
na direcção n → m A v A cos α A − mB v B cos α B = −m A v ' A cos α ' A + mB v ' B cos α ' B


r
r
na direcção t → 
m A v Asenα A + mB vB senα B = m A v ' A senα ' A + mB v ' B senα ' B
(5.51)
– Aplicação do princípio de conservação da energia total
TA + TB = T ' A +T ' B + ∆E
⇒
⇒
m A ⋅ v A2 + m B ⋅ v B2 = m A ⋅ v ' 2A + m B ⋅ v ' 2B + 2 ⋅ ∆ E
(5.52)
Portanto, as três equações são:
r
r
m A ⋅ v A ⋅ cos α A − mB ⋅ vB ⋅ cos α B = −m A ⋅ v ' A ⋅ cos α ' A + mB ⋅ v ' B ⋅ cos α ' B

r
r

(5.53)
m A ⋅ v A ⋅ senα A + mB ⋅ vB ⋅ senα B = m A ⋅ v ' A ⋅senα ' A + mB ⋅ v ' B ⋅senα 'B

m ⋅ v 2 + m ⋅ v 2 = m ⋅ v'2 + m ⋅ v'2 +2 ⋅ ∆E
B
B
A
A
B
B
 A A
Verifica-se assim que o sistema é indeterminado, sendo resolúvel em casos
particulares mediante a introdução ou conhecimento de algumas características
adicionais.
173
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
1º caso)
As superfícies de contacto são perfeitamente lisas e sem atrito
Figura 5.16 – Choque oblíquo com superfícies de contacto lisas e sem atrito.
Na hipótese da superfície de contacto ser perfeitamente lisa e sem
atrito, verifica-se que as forças de interacção entre as partículas são
dirigidas ao longo da direcção normal à superfície de contacto (isto
é, à linha de choque), ou seja, segundo o eixo n. Conclui-se então
que:
1. As forças de interacção não têm componente segundo t, logo não
há gradientes temporais da velocidade segundo este eixo, isto é,
as componentes de velocidade segundo a direcção t não se
alteram, ou seja:
(v A ) t = (v' A ) t
v A ⋅ senα A = v' A ⋅senα ' A


⇒ 

(v B ) t = (v' B ) t
vB ⋅ senα B = v' B ⋅senα ' B
(5.54)
2. Ao longo do eixo n, a componente da quantidade de movimento
total das duas partículas mantêm-se constantes (princípio da
conservação da quantidade de movimento):
r
r
m A v A cos α A − mB v B cos α B = −m A v ' A cos α ' A + mB v ' B cos α ' B (5.55)
3. Pelo princípio da conservação da energia total vem que:
(v' B ) n − (v' A ) n = e ⋅ [(v A ) n − (v B ) n ]
(5.56)
As expressões (5.54), (5.55) e (5.56) constituem as quatro equações
resolventes deste choque oblíquo.
174
Capítulo 5
2º caso)
Choque oblíquo de corpos de massas iguais
Considerando que as duas partículas têm um choque oblíquo e que
têm massas iguais a m, então as três equações resultantes dos
princípios de conservação vêm:
n
n
⋅
=
m
v
mi ⋅ (v'i ) n
(
)
∑
i
i n
∑
i =1
i =1
n
n

⋅
=
m
v
(
)
∑ i i t ∑ mi ⋅ (v'i ) t
i =1
 i =1
T = T + ∆E
f
 i
⇒
r
r
v A ⋅ cos α A − v B ⋅ cos α B = −v ' A ⋅ cos α ' A +v ' B ⋅ cos α ' B

r
r

⇒ v A ⋅ senα A + v B ⋅ senα B = v ' A ⋅senα ' A +v ' B ⋅senα ' B

v' −v' = e ⋅ (v − v )
A
B
 B A
(5.57)
Quadrando e somando os dois membros das duas primeiras
equações vem:
(v A ⋅ cos α A − vB ⋅ cos α B ) 2 + (v A ⋅ senα A + vB ⋅ senα B ) 2 =
r
r
r
r
= (−v ' A ⋅ cos α ' A + v ' B ⋅ cos α ' B ) 2 + (v ' A ⋅senα ' A + v ' B ⋅senα ' B ) 2 ⇒
v A2 ⋅ (sen 2α A + cos 2 α A ) + v B2 ⋅ (sen 2α B + cos 2 α B ) +
+ 2 ⋅ v A ⋅ vB ⋅ (senα A ⋅ senα B − cos α A ⋅ cos α B ) =
v'2A ⋅(sen 2α ' A + cos 2 α ' A ) + v'2B ⋅(sen 2α ' B + cos 2 α ' B ) +
+ 2 ⋅ v' A ⋅v' B ⋅(senα ' A ⋅senα ' B − cos α ' A ⋅ cos α ' B ) ⇒
⇒ v A2 + v B2 + 2 ⋅ v A ⋅ v B ⋅ cos(α A + α B ) =
v' 2A + v' 2B +2 ⋅ v' A ⋅v' B ⋅ cos(α ' A +α ' B )
(5.58)
Tendo em conta que a terceira equação resolvente pode ser escrita
como:
v A2 + vB2 = v'2A +v'2B +
2 ⋅ ∆E
m
(5.59)
175
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Comparando com a equação anterior vem:
2 ⋅ v A ⋅ v B ⋅ cos(α A + α B ) − 2 ⋅ v' A ⋅v' B ⋅ cos(α ' A +α ' B ) =
2 ⋅ ∆E
m
(5.60)
Esta equação forma, conjuntamente com as três equações
resolventes anteriores, um sistema determinável para as quatro
incógnitas pretendidas. Note-se que esta condição adicional é de
origem trigonométrica.
Exemplos de aplicação
Exemplo 1
176
Capítulo 5
Exemplo 2
Exemplo 3
177
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
178
Capítulo 5
5.10 SISTEMAS MATERIAIS DE MASSA VARIÁVEL
Nos sistemas de partículas até agora estudados tem-se admitido que a massa
total do sistema permanece invariável no tempo. Existem, contudo, numerosas
aplicações da mecânica newtoniana (não relativista) de sistemas de partículas de
massas variáveis no tempo. É o caso do estudo da dinâmica de comboios com
entrada e saída de passageiros, propulsão de foguetões, veículos, etc..
Assim, nesta secção serão analisados sistemas de partículas que, durante o seu
movimento, ganham massa pela absorção contínua de partículas ou perdem massa
pela expulsão contínua das mesmas.
Em qualquer dos casos, sistemas com ganho ou perda de massa, aplicar-se-á o
teorema da quantidade de movimento na sua versão de teorema do impulso,
segundo o qual o impulso total de todas as forças exteriores aplicadas ao sistema de
partículas num certo intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de
movimento do sistema de partículas nesse intervalo de tempo.
5.10.1 Sistemas materiais com absorção de massa
Considere-se o sistema mostrado na figura
5.17. A sua massa, igual a m no instante t,
aumenta ∆m no intervalo de tempo ∆t. A
velocidade do sistema no instante t
r
representa-se por v , a velocidade desse
r
r
sistema no instante t+∆t por v + ∆v e a
r
velocidade das partículas absorvidas por vabs .
De modo a ser possível aplicar-se o princípio
do impulso e da quantidade de movimento ao
sistema em estudo, deve considerar-se no
instante t o sistema inicial mais as partículas
de massa ∆m, que são absorvidas pelo
sistema durante o intervalo de tempo ∆t.
Figura 5.17 – Sistema com absorção de massa.
A quantidade de movimento no instante t é:
r
r
r
p (t ) = m ⋅ v (t ) + ∆m ⋅ vabs (t )
(5.61)
179
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
enquanto que no instante t+∆t é:
(
r
r
r
p (t + ∆t ) = (m + ∆m) ⋅ v (t ) + ∆v [t ,t + ∆t ]
)
(5.62)
Aplicando o teorema do impulso entre os instantes t e t+∆t, vem:
n t + ∆t r
r
r
r
I [t ,t + ∆t ] = ∑ ∫ Fi (t ) dt = p (t + ∆t ) − p (t )
i =1
(5.63)
t
para valores de ∆t pequenos, tem-se:
r
r
F
(
t
)
dt
≅
F
i
i (t ) ⋅ ∆t
∫
t + ∆t
(5.64)
t
substituindo na equação (5.63) vem:
n
r
r
r
∑ F (t ) ⋅ ∆t = p(t + ∆t ) − p(t )
(5.65)
r
r
r
p (t + ∆t ) = (m + ∆m) ⋅ (v + ∆v )
(5.66)
r
r
r
p (t ) = m ⋅ v + ∆m ⋅ vabs
(5.67)
i =1
i
como,
substituindo as expressões (5.66) e (5.67) em (5.65) fica:
n
r
r
r
r
r
∑ F ⋅ ∆t = (m + ∆m) ⋅ (v + ∆v ) − (m ⋅ v + ∆m ⋅ v
i =1
⇒
i
abs
)
⇒
r
r
r
r
r
r
r
F
∑ i ⋅ ∆t = m ⋅ v + m ⋅ ∆v + ∆m ⋅ v + ∆m ⋅ ∆v − m ⋅ v − ∆m ⋅ vabs
n
⇒
i =1
⇒
n
r
r
r
r
∑ F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v + ∆m ⋅ (v − v
i =1
i
abs
r
) + ∆m ⋅ ∆v
(5.68)
Introduzindo a velocidade relativa das partículas que são absorvidas:
r r
r
vr = vabs − v
(5.69)
r
e desprezando o último termo da equação (5.68), ∆m ⋅ ∆v , que é de segunda ordem,
vem:
180
Capítulo 5
r
n
r
r
∑ F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v − ∆m ⋅ v
i
i =1
(5.70)
r
Dividindo por ∆t e, depois, fazendo ∆t tender para zero, tem-se no limite:
r
r
 ∆v ∆m r 
Fi = lim m ⋅
−
⋅ vr 
∑
∆t →0
∆t ∆t
i =1


n
⇒
r
r
dv dm r
Fi = m ⋅
−
⋅ vr
∑
dt dt
i =1
n
⇒
n
r
∑F +
i =1
i
⇒
⇒
r
dm r
⋅ vr = m ⋅ a
dt
(5.71)
Esta expressão mostra que o efeito da absorção de massa é equivalente à actuação
r
de uma força igual a dm dt ⋅ vr com sentido contrário ao do movimento. Ou seja, a
força devida à absorção de massa tende a reduzir a velocidade do sistema. Uma vez
que:
r
r
vabs < v
⇒
r r
r
vr = vabs − v
(5.72)
então a velocidade relativa das partículas a absorver tem sentido contrário à
r
velocidade do sistema. Por isso, a força adicional dm dt ⋅ vr conduz à redução da
velocidade do sistema.
5.10.2 Sistemas materiais com perda de massa
As equações obtidas no ponto anterior podem também utilizar-se para
determinar o movimento de um sistema com perda massa. Neste caso, o caudal
mássico e a acção, sobre o sistema das partículas que são expelidas são equivalentes
à força de “propulsão” com sentido do movimento, oposto àquele em que as
partículas são expelidas. Um foguete representa um caso típico de um sistema que
perde continuamente massa.
Assim, neste caso tem-se, respectivamente, as seguintes quantidades de
movimento nos instantes t e t+∆t:
r
r
p (t ) = ( m + ∆m) ⋅ v
(5.73)
r
r
r
r
p (t + ∆t ) = m ⋅ (v + ∆v ) + ∆m ⋅ vabs
(5.74)
181
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
substituindo as expressões (5.73) e (5.74) em (5.65) fica:
n
r
r
r
r
r
r
∑ F ⋅ ∆t = p(t + ∆t ) − p(t ) = m ⋅ (v + ∆v ) + ∆m ⋅ v
i =1
i
⇒
n
r
r
r
r
∑ F ⋅ ∆t = m ⋅ v + m ⋅ ∆v + ∆m ⋅ v
i =1
i
r
n
abs
r
i
i =1
r
− (m + ∆m) ⋅ v
r
r
− m ⋅ v − ∆m ⋅ v
r
∑ F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v + ∆m ⋅ (v
⇒
abs
abs
r
− v)
⇒
⇒
(5.75)
Considerando a definição de velocidade relativa das partículas que são expulsas, ver
expressão (5.69), e dividindo por ∆t, fazendo depois ∆t tender para zero, tem-se no
limite:
r
r
 ∆v ∆m r 
Fi = lim m ⋅
+
⋅ vr 
∑
∆t →0
∆t ∆t
i =1


n
r
r
dv dm r
Fi = m ⋅
+
⋅ vr
∑
dt dt
i =1
n
⇒
⇒
n
r
∑F −
i =1
i
r
dm r
⋅ vr = m ⋅ a
dt
⇒
⇒
(5.76)
A expressão (5.76) mostra que o efeito da perda de massa é equivalente à
r
actuação de uma força igual a dm dt ⋅ vr com o mesmo sentido do movimento.
Exemplo de aplicação
182
Capítulo 5
183
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
5.11 MOMENTO CINÉTICO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
MATERIAIS
5.11.1 Definição
O momento cinético de um sistema de partículas materiais em qualquer ponto
fixo do espaço é a soma vectorial dos momentos cinéticos nesse ponto de todas as
partículas ou massas elementares do sistema nesse instante.
Considerando o ponto fixo identificado por O, tem-se:
– para sistemas discretos:
n
n
n
r
r
r r
r r
H O (t ) = ∑ H O ,i (t ) = ∑ ri × pi = ∑ mi ⋅ ri × vi
i =1
i =1
(5.77)
i =1
– para sistemas contínuos:
r
r r
r r
H O (t ) = ∫ r × dp = ∫ r × v dm
r
P
(5.78)
M
5.11.2 Teorema da composição do momento cinético
Considere-se um referencial absoluto em
relação ao qual se estuda a dinâmica de um
sistema de partículas discreto, e um
referencial baricêntrico Gx'y'z' em translação
em relação ao referencial absoluto.
r
O vector posição ri pode ser expresso pela
seguinte soma vectorial:
Figura 5.18 – Composição do momento cinético.
r
r
r
ri (t ) = rG (t ) + r 'i (t )
(5.79)
r
r
em que, rG é o vector posição do centro de massa e r 'i é o vector posição da
partícula i em relação ao referencial baricêntrico Gx'y'z'.
r
Derivando o vector posição ri em ordem ao tempo:
184
Capítulo 5
r
r
r
dri drG dr 'i
=
+
dt
dt
dt
r r r
vi = vG + v 'i
⇒
(5.80)
onde,
r
drG
r
vG =
dt
→
é a velocidade do centro de massa em relação ao referencial
absoluto newtoniano. Como o sistema de partículas é rígido, é
igual à velocidade de qualquer dos seus pontos se o sistema
apenas possuísse movimento de translação.
r
dr 'i
r
é a velocidade da partícula i em relação a um referencial
→
v 'i =
dt
baricêntrico.
A expressão (5.80) caracteriza instantaneamente o teorema da composição das
velocidades, já referido na cinemática de sistemas de partículas, segundo o qual em
r
qualquer instante a velocidade vi de qualquer partícula i de um sistema de
partículas em movimento é a soma vectorial instantânea das suas velocidades
r
vectoriais e instantâneas de transporte (traduzida por vG ) e relativa (traduzida por
r
v 'i ).
Retomando a definição do momento cinético:
n
r
r r
H O (t ) = ∑ mi ⋅ ri × vi
(5.81)
i =1
ele pode ser escrito, atendendo às (5.79) e (5.80), por:
n
r
r r
r
r
H O (t ) = ∑ mi ⋅ (rG + r 'i ) × (vG + v 'i )
⇒
i =1
⇒
n
n
n
n
r
r r
r r
r r
r r
H O (t ) = ∑ mi ⋅ rG × vG + ∑ mi ⋅ r 'i ×vG + ∑ mi ⋅ rG × v 'i + ∑ mi ⋅ r 'i ×v 'i
i =1
i =1
i =1
(1)
(1) –
n
(3)
(4)
n
r r
r r
r r
⋅
r
×
v
=
(
r
×
v
)
⋅
mi = M ⋅ rG × vG
∑
i
G
G
G
G
∑m
i =1
(2)
(5.82)
i =1
i =1
(2) – O centro de massa em relação a um referencial baricêntrico tem coordenadas
nulas e é traduzido por:
185
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
n
r
rG =
n
∑m
logo
i
i =1
∑m
i =1
i
M
r
⋅ r 'i
r
=0
⇒
n
r
r
⋅
r
'
=
0
i
i
∑m
i =1
r
r r
r r
⋅ r 'i × vG = 0 × vG = 0 , ou seja, o segundo termo da soma é nulo.
r
n
dr 'i 
r r
r
r
r  n
mi ⋅ rG × v 'i = rG × ∑ mi ⋅ v 'i = rG ×  ∑ mi ⋅

∑
dt 
i =1
i =1
 i =1



(3) –
 ⇒
r
n
n
n
r
r
r

dr '
r
r 
d 
como se viu, ∑ mi ⋅ r 'i = 0 ⇒
 ∑ mi ⋅ r 'i  = 0 ⇒ ∑ mi ⋅ i = 0
dt  i=1
dt
i =1
i =1


n
⇒
n
i =1
(4) –
n
∑m
i =1
r r r
⋅
r
i
G × v 'i = 0 , portanto também o terceiro termo da soma é nulo.
∑m
i
r
r r
⋅ r 'i ×v 'i = H G , ou seja, corresponde ao momento cinético em relação ao
centro de massa.
Portanto, o momento cinético em relação ao ponto O pode ser obtido a partir
do momento cinético em relação ao centro de massa, pela seguinte expressão:
r
r
r
r
r
r
H O (t ) = H G (t ) + H O ,G (t ) = H G (t ) + M ⋅ rG (t ) × vG (t )
(5.83)
Esta expressão traduz o teorema da composição do momento cinético, segundo o
qual, em qualquer instante o momento cinético de um sistema de partículas num
ponto fixo qualquer O é igual à soma vectorial do momento cinético do sistema em
r
relação ao centro de massa, H G , com o momento cinético em relação ao ponto fixo
de uma partícula de massa igual à massa total M do sistema, localizada no centro de
massa e movendo-se com uma velocidade igual à velocidade do centro de massa.
5.11.3 Teorema do momento cinético
Considerando o sistema de partículas definido no ponto anterior e a definição
do momento cinético,
n
r
r r
H O (t ) = ∑ mi ⋅ ri × vi
i =1
186
(5.84)
Capítulo 5
derivando em ordem ao tempo vem:
r
r r n d r r
dH O d  n
=  ∑ mi ⋅ ri × vi  = ∑ (ri × pi ) =
dt
dt  i =1
 i =1 dt
r
r
 d ri r r dpi 
= ∑  × pi + r ×

dt 
i =1  dt
(5.85)
n
(1)
(2)
r
r
(1) – os vectores dri dt e pi são colineares, por isso, o seu produto vectorial é
nulo;
r
r
(2) – de acordo com a segunda lei de Newton, Fi = dpi dt
então:
r
n
r r
dH O
= ∑ ri × Fi
dt
i =1
(5.86)
Esta expressão traduz o teorema do momento cinético, segundo o qual, em
qualquer instante a derivada do momento cinético de um sistema de partículas em
relação a qualquer ponto fixo O é igual à soma vectorial dos momentos, nesse
ponto, de todas as forças exteriores aplicadas ao sistema nesse instante, ou seja, é
igual ao momento no ponto fixo do torsor das forças exteriores aplicadas ao sistema
de partículas nesse instante.
5.11.4 Princípio da conservação do momento cinético
Num sistema isolado, isto é, se não houverem forças exteriores aplicadas,
então a derivada do momento cinético em qualquer ponto e em qualquer instante é
nula.
r
n
r r
r r r
dH O
Se Fi = 0 ⇒
= ∑ ri × 0 = 0 ⇒
dt
i =1
r r
Se Fi = 0 ⇒
r
H O = constante
(5.87)
187
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Isto traduz o princípio da conservação do momento cinético, segundo o qual,
num sistema isolado (não actuado por forças exteriores) o momento cinético do
sistema calculado em qualquer ponto do espaço permanece constante no tempo.
A esta invariabilidade temporal do momento cinético em sistemas isolados
poderá estar associado um valor constante diferente de zero. A estas duas hipóteses
correspondem duas situações distintas de movimento de um sistema de partículas,
conforme se verá a seguir.
5.12 CONDIÇÕES GERAIS DE EQUILÍBRIO DE UM SISTEMA DE
PARTÍCULAS
Nos sub-capítulos anteriores viu-se que se for nula a resultante das forças
exteriores aplicadas a um sistema de partículas, o seu movimento será tal que o
centro de massa estará em equilíbrio.
Como se viu, pelo teorema do centro de massa tem-se:
n r
r
r
F (t ) = ∑ Fi = M ⋅ aG
(5.88)
i =1
r
r r
r
Se F = 0 ⇒ aG = 0 , então:
– o centro de massa está em repouso; ou,
– o centro de massa tem um movimento rectilíneo e uniforme.
Tal como foi referido anteriormente, a equação
n
r
∑F
i =1
i
r
r
= M ⋅ aG = 0
(5.89)
representa apenas uma condição necessária de equilíbrio de um sistema de
partículas, pois que do anulamento das forças exteriores (ou da sua resultante)
apenas fica assegurado o equilíbrio do ponto fictício centro de massa.
188
Capítulo 5
Note-se que o centro de massa, G, poderá estar em equilíbrio sem que o
sistema de partículas esteja em equilíbrio, pois ele poderá ter ainda movimento de
rotação em torno de qualquer eixo que passa pelo centro de massa.
Por definição de equilíbrio, é condição necessária e suficiente para que um
sistema de partículas materiais esteja em equilíbrio, que todas as partes constituintes
(ou seja, todas as partículas) estejam em equilíbrio. Portanto, a condição necessária
e suficiente de equilíbrio implica que todas as partículas estejam em repouso ou em
movimento rectilíneo e uniforme.
Portanto, um sistema está em equilíbrio nas seguintes duas situações:
1ª) Todas as partículas estão em repouso:
– condição necessária de equilíbrio:
∀i
r r
r r
vi = 0 ⇒ ai = 0 ⇒
n
r
r
r
∑F = F = M ⋅a
i =1
i
G
r
=0
(5.90)
– condição suficiente de equilíbrio:
∀i
n
n
r
r r
r r
r r r
vi = 0 ⇒ H O (t ) = ∑ mi ⋅ ri × vi = ∑ mi ⋅ ri × 0 = 0 ⇒
i =1
i =1
(5.91)
r
dH O (t ) n r r r
⇒
= ∑ ri × Fi = 0
dt
i =1
2ª) Todas as partículas estão em movimento rectilíneo e uniforme:
– condição necessária de equilíbrio:
∀i
r r
r r
vi = 0 ⇒ ai = 0 ⇒
n
r
r
r
∑F = F = M ⋅a
i =1
i
G
r
=0
(5.92)
– condição suficiente de equilíbrio:
∀i
r
n
r
r r
r r
dH O (t ) r
=0
vi = 0 ⇒ H O (t ) = ∑ mi ⋅ ri × vi = constante ⇒
dt
i =1
(5.93)
189
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Em resumo:
r
r
r
→ F = M ⋅ aG = 0
–
r
dH O (t ) n r r r
= ∑ ri × Fi = 0 –
→
dt
i =1
representa a condição necessária de equilíbrio e
significa ausência de translação do centro de
massa, isto é, o centro de massa está em
equilíbrio.
representa a condição suficiente de equilíbrio e
significa ausência de rotação do sistema de
partículas materiais em torno de qualquer ponto
O.
5.13 ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
A energia cinética T de um sistema de
partículas define-se como a soma das
energias cinéticas das várias partículas
do sistema:
1 n
T = ⋅ ∑ mi ⋅ vi2
2 i =1
(5.94)
Figura 5.19 – Energia cinética de um sistema de partículas.
Para o cálculo da energia cinética de um sistema compreendendo um vasto
número de partículas (como é o caso de um corpo rígido) torna-se, muitas vezes,
conveniente considerar o movimento do centro de massa, G, do sistema
separadamente do movimento relativo ao sistema de referência (baricêntrico) ligado
a G.
r
Conforme se viu na secção 5.11.2, a velocidade vi da partícula Pi
relativamente a um referencial newtoniano Oxyz, pode ser obtido pela soma
r
vectorial da velocidade de translação vG do centro de massa do sistema e da
r
velocidade v 'i relativamente ao referencial baricêntrico Gx'y'z':
r r r
vi = vG + v 'i
r r
Atendendo a que vi2 = vi ⋅ vi , então:
190
(5.95)
Capítulo 5
r r
1 n
T = ⋅ ∑ mi ⋅ (vi ⋅ vi )
2 i =1
⇒ T=
⇒ T=
⇒
r r
r r
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ (vG + v 'i ) ⋅ (vG + v 'i ) ⇒
2 i=1
r r 1 n
r
1 n
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ vG2 + ⋅ ∑ mi ⋅ 2 ⋅ vG ⋅ v 'i + ⋅ ∑ mi ⋅ v 'i2
2 i =1
2 i =1
2 i =1
(5.96)
Como,
r r
r n
r
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ 2 ⋅ vG ⋅ v 'i = vG ⋅ ∑ mi ⋅ v 'i
2 i =1
i =1
(5.97)
mas,
n
r
∑ m ⋅ v'
i =1
i
i
r
= M ⋅ v 'G2
(5.98)
r
em que v 'G é a velocidade de G relativamente ao referencial baricêntrico Gx'y'z',
que é nula (a velocidade relativa de G em relação ao referencial que se move com
r
velocidade vG é nula). Logo,
n
r
r n
r
r r
⋅
v
'
=
v
⋅
m
⋅
v
'
=
v
∑
G
i
G
i
i
G ⋅0 = 0
r
∑m ⋅v
i =1
i
(5.99)
i =1
então a energia cinética, definida na expressão (5.96), vem:
n
r
1
1 n
T = ⋅ vG2 ⋅ ∑ mi + ⋅ ∑ mi ⋅ v 'i2
2
2 i =1
i =1
⇒
⇒
r
1
1 n
2
T = ⋅ M ⋅ vG + ⋅ ∑ mi ⋅ v 'i2
2
2 i =1
(5.100)
Esta equação mostra que a energia cinética T de um sistema de partículas pode
obter-se adicionando a energia cinética do centro de massa G (supondo que toda a
massa está concentrada em G) com a energia cinética do sistema durante o seu
movimento em relação ao referencial baricêntrico Gx'y'z'.
191
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
5.13.1 Energia cinética de um sistema de partículas contínuo
A equação (5.100) traduz a energia cinética de um sistema de partículas. No
entanto, para sistemas contínuos, a energia
cinética é traduzida por uma expressão
alternativa que resulta da interpretação da
r
velocidade relativa v 'i .
Tratando-se de um sistema em que as
partículas estão rigidamente ligadas entre si,
a velocidade relativa da partícula Pi pode
ser obtida pelo seguinte produto vectorial:
Figura 5.20 – Energia cinética de um sistema
contínuo.
r
r dr 'i r r
v 'i =
= ω × r 'i
dt
(5.101)
r
em que r 'i é o vector posição em relação ao referencial baricêntrico, com grandeza
constante, porque o sistema é rígido. Logo, atendendo à equivalência entre os
v
operadores matemático d dt e mecânico ω × , quando aplicados a um vector
variável no tempo mas de grandeza constante, a igualdade definida em (5.101) é
válida.
Desta forma, a energia cinética do sistema pode ser obtida considerando a
segunda parcela da soma definida na expressão (5.100) como sendo a energia
cinética devida ao movimento em relação ao referencial baricêntrico, definida por:
r
r r
r r
1 n
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ v 'i2 = ⋅ ∑ mi ⋅ (ω × r 'i ) ⋅ (ω × r 'i ) =
2 i =1
2 i =1
r r
r r
1 n
= ⋅ ∑ mi ⋅ (ω ⋅ u × r 'i ) ⋅ (ω ⋅ u × r 'i ) =
2 i =1
=
r r
r r
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ ω 2 ⋅ (u × r 'i ) ⋅ (u × r 'i )
2 i =1
r r
r r 2
(u × r 'i ) 2 = u × r 'i = d G2
i
=
192
1 n
⋅ ∑ mi ⋅ d G2 ⋅ ω 2
2 i =1
i
(5.102)
Capítulo 5
como o momento de inércia de massa em relação ao eixo baricêntrico ∆G é dado
por:
n
I ∆ = ∑ mi ⋅ d G2
G
i =1
(5.103)
i
substituindo na expressão (5.102) vem:
r
1 n
1
⋅ ∑ mi ⋅ v 'i2 = ⋅ I ∆ ⋅ ω 2
2 i =1
2
G
(5.104)
Portanto, a energia cinética de um sistema de partículas rigidamente ligadas entre si
pode ser definida como:
T (t ) =
1
1
⋅ M ⋅ vG2 (t ) + ⋅ I ∆ ⋅ ω 2 (t )
2
2
G
(5.105)
em que,
1
⋅ M ⋅ vG2 (t ) →
2
corresponde à energia cinética de translação do sistema de
partículas, isto é, identifica-se com a energia cinética do
seu centro de massa.
1
⋅ I ∆ ⋅ ω 2 (t ) → corresponde à energia cinética de rotação do sistema de
2
partículas em relação a um eixo baricêntrico ∆G
relativamente ao qual o sistema roda instantaneamente com
velocidade angular ω(t).
G
5.14 TEOREMA DAS FORÇAS VIVAS OU TEOREMA DA VARIAÇÃO
DA ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
No capítulo 4, dinâmica das partículas, viu-se que, de acordo com o teorema
r
das forças vivas, o trabalho realizado pela força Fi , aplicada à massa mi, para
deslocar do ponto A para o ponto B, é igual à variação da energia cinética da
partícula:
B
r
(W ) = ∫ F ⋅ drr = (T ) − (T )
B
A i
i
B i
A i
(5.106)
A
193
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Num sistema de partículas materiais, este princípio pode aplicar-se a cada
partícula Pi do sistema, em que (WAB )i representa o trabalho realizado pelas forças
r
r
internas f ji e pela resultante das forças externas Fi que actuam sobre Pi.
Adicionando as energias cinéticas das várias partículas do sistema e
considerando o trabalho de todas as forças envolvidas, pode aplicar-se a equação
(5.106) a todo o sistema:
(W )
B
A sistema
⇒
n
n B r
n
r n
= ∑ (WAB )i = ∑ ∫ Fi ⋅ dr = ∑ (TB )i − ∑ (TA )i
(W )
i =1
B
A ext .
i =1 A
i =1
+ (WAB )int . = ∑ (TB )i − ∑ (TA )i = TB − TA
⇒
(W )
n
n
i =1
i =1
B
A ext .
⇒
i =1
+ (WAB )int . = TB − TA
⇒
(5.107)
em que,
(W )
– trabalho realizado pelas forças exteriores;
(W )
– trabalho realizado pelas forças interiores.
B
A ext .
B
A int
Na mecânica dos corpos rígidos (sólidos indeformáveis), as partículas não se
r
r
deslocam entre si, logo as forças interiores, f ji e f ij , não realizam trabalho,
portanto, o trabalho realizado pelas forças interiores, (WAB )int , é nulo:
B
Corpos indeformáveis: (WA )ext . = TB − TA
Exemplo de aplicação
194
(5.108)
Capítulo 5
195
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
5.15 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO
DE UM EIXO FIXO
Quando um corpo rígido é obrigado a rodar em torno de um ponto fixo O, é
preferível escrever uma equação que envolva os momentos, em relação a O, das
forças aplicadas, uma vez que esta equação não conterá a reacção desconhecida
existente em O.
Recorde-se que, de acordo com o teorema do momento cinético (ver 5.11.3), o
momento no ponto fixo O do torsor das forças exteriores aplicadas ao sistema num
dado instante é igual à derivada temporal do momento cinético:
r
r
r
dH O (t ) n r
= ∑ ri (t ) × Fi (t ) = M O (t )
(5.109)
dt
i =1
r
onde M O (t ) é o momento axial no ponto O devido ao torsor resultante das forças
exteriores aplicadas.
Neste sub-capítulo serão definidas as equações de equilíbrio de um corpo
rígido com movimento de rotação em torno de um eixo fixo, tendo em conta o
conceito de momento axial de um torsor e a determinação da sua energia cinética.
5.15.1 Movimento de rotação em torno de um eixo fixo qualquer
Considere-se um corpo indeformável efectuando
um movimento de rotação em torno de um eixo
∆ que passa pelo ponto O.
Sendo ∆ o eixo de rotação, então qualquer ponto
que se encontre sobre esse eixo terá velocidade
nula:
r r
vO = 0 ; ∀O ∈ ∆
(5.110)
Figura 5.21 –
Rotação em torno de
um eixo qualquer.
A velocidade em qualquer ponto do corpo fora do eixo de rotação pode ser
obtida em função da velocidade angular dada por:
196
Capítulo 5
r
r
r
vi (t ) = ω (t ) × ri (t ) ;
r
ri (t ) = Pi (t ) − O
(5.111)
r
O momento cinético, H O , em relação ao ponto fixo O será:
n r
n
r
r
r
H O (t ) = ∑ H O ,i (t ) = ∑ mi ⋅ ri (t ) × vi (t )
i =1
⇒
n
r
r r r
H O = ∑ mi ⋅ ri × (ω × ri ) ⇒
r
r
(ω = ω ⋅ u∆ )
i =1
⇒
⇒
i =1
n
r
r r r
H O = ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri × (u∆ × ri )
(5.112)
i =1
r
Projectando o vector momento cinético H O na direcção do eixo de rotação vem:
n
r r 
r r r  r
H ∆ = H O ⋅ u ∆ = ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri × (u∆ × ri ) ⋅ u ∆
 i =1
r
r  r
A
r r r r r r
( A × B ⋅ C = C × A ⋅ B)
→
B
C
n
r r r r
H ∆ = ω ⋅ ∑ mi ⋅ u ∆ × ri ⋅ (u∆ × ri ) ⇒
i =1
⇒
n
r r 2
H ∆ = ω ⋅ ∑ mi ⋅ (u∆ × ri )
(5.113)
i =1
como,
r r r r
u∆ × ri = u∆ ⋅ ri ⋅ senα i = 1 ⋅ ri ⋅ senα i = d i
(5.114)
em que di é a distância da partícula Pi ao eixo ∆.
Figura 5.22 – Distância da partícula
Pi ao eixo ∆.
então,
(ur∆ × rri )2 = d i2
(5.115)
logo, substituindo em (5.113) vem:
n
H ∆ = ω ⋅ ∑ mi ⋅ d i2
(5.116)
i =1
tendo em conta que o momento de inércia de massa em relação ao eixo ∆ é:
197
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
n
I ∆ = ∑ mi ⋅ d i2
(5.117)
i =1
então a componente do momento cinético em relação ao ponto O segundo o eixo ∆
é dada por:
H∆ = ω ⋅ I∆
(5.118)
De acordo com o teorema do momento cinético, o momento axial do torsor em
torno do eixo ∆ é igual à derivada temporal do momento cinético em relação a ∆:
dH ∆ d
dω
d 2θ
= (ω ⋅ I ∆ ) = I ∆ ⋅
= I∆ ⋅ 2
M∆ =
dt
dt
dt
dt
⇒
⇒
M ∆ = I∆ ⋅α
(5.119)
Esta é a equação governativa do movimento de rotação dum corpo rígido em torno
de um eixo qualquer ∆, que traduz o princípio fundamental da dinâmica escalar da
rotação de um corpo rígido.
O correspondente princípio fundamental da dinâmica em termos vectoriais da
rotação de um corpo rígido é:
v
r
r
r
d 2θ r
M ∆ = M ∆ ⋅ u∆ = I ∆ ⋅ 2 ⋅ u∆ = I ∆ ⋅ α ⋅ u∆ = I ∆ ⋅ α
dt
(5.120)
Existe uma analogia entre o princípio fundamental da dinâmica vectorial de
rotação de um sistema de partículas e o princípio fundamental da dinâmica vectorial
de translação, o qual é expresso, como se sabe, pela segunda lei de Newton através
de:
r
r
r
d 2r
F = m⋅a = m⋅ 2
dt
(5.121)
(Daqui se constata que I∆ é uma medida da inércia de rotação).
Se o movimento de rotação se der em torno de um eixo qualquer não
baricêntrico, então a velocidade do centro de massa será:
r
r
r
vG (t ) = ω (t ) × rG (t )
198
(5.122)
Capítulo 5
e uma aceleração dada por:
r
r
r
r
r
dvG (t ) dω (t ) r
drG (t )
aG (t ) =
=
× rG (t ) + ω (t ) ×
dt
dt
dt
⇒
⇒
r
r
r
r
r
aG (t ) = α (t ) × rG (t ) + ω (t ) × vG (t )
(5.123)
Isto significa que o centro de massa está em movimento acelerado. E, de acordo,
com o teorema do centro de massa, a equação de equilíbrio dinâmico de translação é
dada por:
n r
r
r
F (t ) = ∑ Fi (t ) = M ⋅ aG (t )
(5.124)
i =1
r
sendo aG (t ) a aceleração associada ao centro de massa, que é obtida pela expressão
(5.123).
Assim, as equações de equilíbrio dinâmico de um corpo rígido em movimento
de rotação em torno de um eixo qualquer não baricêntrico são:
n r
r
r
- equilíbrio de translação: F (t ) = ∑ Fi (t ) = M ⋅ aG (t )
i =1
- equilíbrio de rotação:
v
r
M ∆ (t ) = I ∆ ⋅ α (t )
5.15.2 Movimento de rotação em torno de um eixo baricêntrico
Utilizando um raciocínio idêntico ao anterior e considerando que o eixo de
rotação passa pelo centro de massa, ∆G, encontrar-se-ia sucessivamente:
r
r
H ∆ (t ) = ω (t ) ⋅ I ∆
G
(5.125)
G
r
r
dH ∆ (t )
r
d 2θ (t )
= I∆ ⋅
= I ∆ ⋅ α (t )
M ∆ (t ) =
2
dt
dt
G
G
G
G
(5.126)
Neste caso, a velocidade do centro de massa é nula (porque o eixo de rotação é
baricêntrico) e, por consequência, a aceleração do centro de massa é nula:
r
r
r
r
r
r
aG (t ) = α (t ) × rG (t ) +rω (t ) × vG (rt ) = 0
(5.127)
colineares, logo = 0
=0
199
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
Logo, a resultante das forças exteriores é nula porque:
r r
r n r
r
F = ∑ Fi = M ⋅ aG = M ⋅ 0 = 0
(5.128)
i =1
Todavia, existe um binário resultante expresso por:
r
r
d 2θ (t )
M ∆ (t ) = I ∆ ⋅
= I ∆ ⋅ α (t )
2
dt
G
G
(5.129)
G
Assim, as equações de equilíbrio dinâmico de um corpo rígido em movimento
de rotação em torno de um eixo qualquer baricêntrico são:
n r
r
r
- equilíbrio de translação: F (t ) = ∑ Fi (t ) = 0
i =1
- equilíbrio de rotação:
v
r
M ∆ (t ) = I ∆ ⋅ α (t )
G
G
5.15.3 Energia cinética do movimento de rotação
Conforme se viu em 5.13, a energia cinética de um sistema de partículas, ou
em particular de um corpo rígido, é decomposta na soma da parcela do movimento
de translação do seu centro de massa e da parcela do movimento das restantes
partículas relativamente ao centro de massa:
r
1
1 n
1
1
2
T = ⋅ M ⋅ vG + ⋅ ∑ mi ⋅ v 'i2 = ⋅ M ⋅ vG2 + ⋅ I ∆ ⋅ ω 2
2
2 i =1
2
2
G
(5.130)
Esta expressão evidencia que a dinâmica global do sistema é analisada de modo
equivalente pela dinâmica de um sistema com características baricêntricas (vG, I∆G).
Portanto, mesmo que o sistema tenha um movimento global não baricêntrico, a sua
energia cinética é calculada como a soma das duas referidas parcelas expressas em
características baricêntricas.
Mas, se o corpo tiver uma rotação
não baricêntrica em torno de um eixo
∆, a velocidade do seu centro de
r
massa vG será expresso por:
Figura 5.23 – Rotação não baricêntrica.
200
Capítulo 5
r
r
r
vG (t ) = ω (t ) × rG (t )
(5.131)
r
r
em que ω (t ) é o vector rotação instantâneo do corpo em torno do eixo ∆ e rG (t ) é o
vector posição instantâneo do centro de massa relativamente a qualquer ponto O
localizado no eixo de rotação. Assim,
r r
r r
r r
r r
vG2 = (ω × rG ) ⋅ (ω × rG ) = ω 2 ⋅ (u∆ × rG ) ⋅ (u ∆ × rG ) = ω 2 ⋅ d G2
(5.132)
em que dG é a distância do baricentro G ao eixo ∆ ou, alternativamente, a distância
dos eixos paralelos ∆ e ∆G.
Portanto, atendendo às expressões (5.130) e (5.132), para qualquer movimento
geral de rotação não baricêntrica, a energia cinética é dada por:
1
1
T = ⋅ M ⋅ ω 2 ⋅ d G2 + ⋅ I ∆ ⋅ ω 2
2
2
G
⇒
⇒
1
T = ⋅ (M ⋅ d G2 + I ∆ )⋅ ω 2
2
G
(5.133)
Pelo Teorema de Steiner, sabe-se que o momento de inércia de massa I∆ em relação
ao eixo de rotação ∆ é obtido a partir do momento de inércia de massa I∆G em
relação ao eixo baricêntrico ∆G, paralelo ao eixo ∆, pela seguinte relação:
I ∆ = I ∆ + M ⋅ d G2
G
(5.134)
substituindo na expressão (5.133) vem:
1
T = ⋅ I ∆ ⋅ω 2
2
(5.135)
Portanto, para rotações não baricêntricas, a energia cinética do corpo é dada
por:
T (t ) =
1
1
1
⋅ M ⋅ vG2 (t ) + ⋅ I ∆ ⋅ ω 2 (t ) = ⋅ I ∆ ⋅ ω 2 (t )
2
2
2
G
(5.136)
201
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
5.16 EXTENSÃO DO PRINCÍPIO DE D'ALEMBERT AO MOVIMENTO
DE UM CORPO RÍGIDO
No estudo da dinâmica da partícula, visto no capítulo anterior, verificou-se
que o Princípio de D'Alembert recorria a uma força fictícia (designada de força de
inércia) para estabelecer o equilíbrio dinâmico da partícula em movimento como se
tratasse de um equilíbrio estático:
r
n
∑F
k
k =1
r
r
r
r
+ Finércia = 0 ; ( Finércia = − m ⋅ a )
(5.137)
Um sistema de partículas materiais tem, geralmente, para além de movimentos
de translação, movimentos de rotação. Deste modo, existe, como se viu, um
princípio fundamental da dinâmica para a translação do corpo e um princípio
fundamental da dinâmica para a rotação do corpo.
De igual modo, existirá o princípio de D'Alembert para formular o equilíbrio
dinâmico instantâneo associado à translação e o princípio de D'Alembert para
formular o equilíbrio dinâmico instantâneo associado à rotação:
– Princípio de D'Alembert – versão translação
n
r
r
r
F
=
∑ i ∑ mi ⋅ ai = M ⋅ aG
n
i =1
⇒
⇒
i =1
r
r r
F
F
0
+
=
∑ i inércia
n
;
i =1
r
r
( Finércia = − M ⋅ aG )
(5.138)
– Princípio de D'Alembert – versão rotação
n
r
r
r r
M ∆ = ∑ ri × Fi = I ∆ ⋅ α
⇒
i =1
⇒
r
r
r
M ∆ + M inércia = 0
;
r
r
( M inércia = − I ∆ ⋅ α )
(5.139)
Assim, segundo este princípio, em qualquer instante é nulo o momento das
forças sobre um corpo em movimento, calculado em qualquer ponto P do espaço,
quando nessa soma de momentos está incluído o momento das forças de inércia.
202
Capítulo 5
5.17 CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O TEOREMA DO IMPULSO
Viu-se anteriormente que o teorema do impulso pode ser caracterizado de duas
formas diferentes:
1ª forma) O impulso exercido pelas forças aplicadas a um sistema de
partículas durante um intervalo de tempo [t1, t2] é igual à diferença
entre as quantidades de movimento nos instantes t2 e t1:
t
r
r
r
r
I [t ,t ] = ∫ F (t ) dt = p (t 2 ) − p (t1 )
2
1 2
(5.140)
t1
2ª forma) Quando um sistema se encontra sob a acção de forças durante um
certo intervalo de tempo [t1, t2], a quantidade de movimento final,
r
p (t 2 ) , do sistema pode obter-se pela soma vectorial da sua
r
quantidade de movimento inicial, p (t1 ) , com o impulso exercido
pelas forças aplicadas durante o intervalo de tempo considerado.
t
r
r
r
p (t 2 ) = p (t1 ) + ∫ F (t ) dt
2
(5.141)
t1
Uma terceira forma corresponde a uma extensão da segunda, aplicável a
sistemas de partículas e que permite caracterizar instantaneamente as características
do movimento de rotação do sistema de partículas:
t r
r

r
m p [ p (t2 )] = m p  p (t1 ) + ∫ F (t ) dt 
t


2
(5.142)
1
em que mp[...] representa o momento das forças indicadas entre parêntesis recto em
relação à origem do sistema de eixos de referência.
Como o momento da quantidade de movimento corresponde ao momento
r
r
cinético, H P (t ) = m p [ p (t )] , então:
(
r
r
r
H p (t 2 ) = H p (t1 ) + m p I [t ,t
1 2
]
)
(5.143)
que traduz o princípio da conservação da quantidade de movimento – versão
rotação.
203
Dinâmica (cinética) de um sistema de partículas
A expressão anterior poderia também ser definida através da consideração da
r r r
definição de momento ( mP ( x ) = r × x ):
t
r
r
r
p (t 2 ) = p (t1 ) + ∫ F (t ) dt
2
se
(5.144)
t1
t
r

r r
r r
r × p (t 2 ) = r ×  p (t1 ) + ∫ F (t ) dt 
t


2
então
⇒
1
⇒
r r
r r
r r
r × p (t 2 ) = r × p (t1 ) + r × I [t ,t
1 2
]
(5.145)
Esta expressão é equivalente à expressão (5.143).
Habitualmente, o ponto P é
escolhido de modo a anular os
momentos das forças impulsivas
sobre o sistema de partículas
(frequentemente desconhecidos).
Figura 5.24 – Rotação em torno do ponto P.
204