EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE EDPS - FICHA 4
(1) Prove que para f suficientemente regular
Z
Z
R
!
Z
f (y) dy =
B(x,r)
f (y) dS(y)
0
dr.
∂B(x,r)
(2) Uma função u ∈ C 2 (Ω) diz-se subharmónica (superharmónica) se
4u > (6)0.
• Prove que se u é subharmónica (superhamónica) então
Z
u(x) 6 (>) −
u(y) dy
B(x,r)
para cada bola B(x, r) ⊂ Ω.
• Seja u ∈ C 2 (Ω). Prove que se u é subharmónica (superharmónica) então
max u = max u
∂Ω
Ω
(min u = min u).
∂Ω
Ω
• Seja φ : R → R regular e convexa. Supondo que u é harmónica veja que v = φ(u) é
subharmónica.
• Prove que v = |Du|2 é subharmónica se u for harmónica.
(3) Sejam u, v ∈ C(Ω). Suponhamos que u e v são, respectivamente, harmónica e subarmónica
em Ω. Suponhamos ainda que v(x) 6 u(x) para todo o x ∈ ∂Ω. Prove que v 6 u em Ω.
(4) (Continuidade em relação aos valores na fronteira) Sejam u, v ∈ C(Ω)∩C 2 (Ω) tais que −4u =
−4v = f em Ω, e tais que u = u1 e v = v1 em ∂Ω. Prove que
min(u1 − v1 ) 6 u(x) − v(x) 6 max(u1 − v1 )
∂Ω
∂Ω
para todo o x ∈ Ω.
(5) (...)
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