RADICAIS DUPLOS
Ernesto Rosa
Quando fazia cursinho, precisei resolver a equação biquadrada x4 − 8x2 + 4 = 0.
Apliquei a fórmula e encontrei as quatro raízes: x = ± 4 ± 2 3 . A resposta do livro estava
diferente: x = ± (1± 3 ). Sabendo que era impossível ter oito raízes em uma equação
polinomial do quarto grau, verifiquei minhas contas e... estavam certas. Pronto! Acabara de
encontrar uma resposta errada na apostila. No entanto, experimentei substituir 1+ 3 na
equação e tive uma surpresa... era raiz! Fui rever a substituição e encontrei uma passagem que
me espantou na época:
(1+ 3 )4 − 8 (1+ 3 )2 + 4 = ((1+ 3 )2)2 − 8(1+ 3 )2 + 4 =
= (1+2 3 +3)2 − 8(1+2 3 +3) + 4 = (4+2 3 )2 − 8 (4+2 3 ) + 4 etc.
Reparei que tinha obtido (1+ 3 )2 = 4+2 3 , que era um dos radicais que eu
encontrara. Portanto, uma das minhas respostas era:
4+2 3 =
(1 + 3 ) 2 = 1+ 3 ,
significando que 4 + 2 3 e 1+ 3 são numerais diferentes para o mesmo número. A
segunda forma (1+ 3 = 1+1,73...= 2,73...) é muito mais simples e isso ficou mais claro
quando tentei calcular 4 + 2 × 1,73... … mesmo com régua de calcular.
Outras vezes surgiram problemas desse tipo e aprendi a me desembaraçar, quando era
21 + 432 . A parcela 21 deve ser a soma dos dois quadrados e o
432 , que é o mesmo que 12 3 , deve ser duas vezes o primeiro pelo segundo: 12 3 =
2×6 3 que pode ser 2×(2)(3 3 ) ou 2×(3)(2 3 ) etc. Tentando
possível. Por exemplo:
encontrava (3+2 3 )2 = 21+12 3 . Por isso 21 + 432 = (3 + 2 3 ) 2 = 3+2 3 .
Com o tempo desenvolvi mais o método, escrevendo:
a 2 + 3b 2 = 21
21 + 12 3 = (a + b 3 ) 2 = a 2 + 3b 2 + 2ab 3 ⇒ 
ab = 6
Neste caso, experimentando, encontrava a=3 e b=2, ficando tudo mais fácil.
O nosso conhecimento é sempre construído assim, mediante um processo, uma
seqüência de passos (ou uma matriz de passos) que pode variar de pessoa para pessoa,
dependendo do que ela já possui de acervo. A função da escola não é dar tudo pronto e
formalizado, mas promover essas construções. Principalmente nas séries iniciais. Tudo o que
damos pronto impede a criação e acaba, portanto, como um conhecimento de baixa qualidade.
No caso acima, tive a sorte de ninguém me ensinar, o que abriu espaço para as minhas
próprias e emocionantes construções.
Um dia ganhei um livro bem velho −“Álgebra”–
escrito por Isidoro Dumont, da Livraria Francisco
Alves, que está comigo até hoje. Foi um livro muito
importante para mim e, não sei porque, adquiriu, como que,
um caráter meio mágico de me dar poder. Eu o usava como
um livro de receitas mágicas. Estudei-o com todo cuidado,
empenho e muita emoção. Lá encontrei, na página 186, a
transformação de A + B em x + y .
Está assim, com as restrições usuais para radicandos:
A+ B = x + y ⇒
⇒ A + B = ( x + y ) 2 = x + 2 xy + y ⇒
 A=x+y
x + y = A
⇒ 
⇒ 
 xy = B 4
 B = 2 xy
Resolvendo a equação X2 − AX +
A ± A2 − B
B
= 0, obtemos: X =
que são os
4
2
valores de x e de y. Por isso:
A+ B =
A + A2 − B
A − A2 − B
+
2
2
onde devemos ter A>0 e ainda A2 − B igual ao quadrado C2 de um número racional, caso
contrário, continuaríamos com radicais duplos.
No exemplo: x =
21 + 432 temos A2 − B = 212 − 432 = 442−432 = 9 = 32,
21 + 3
21 − 3
+
= 12 + 9 = 3 + 12 = 3 + 2 3 .
2
2
No dia que fiz esse estudo, finalmente compreendi porque a resposta da equação
biquadrada do cursinho tinha sido x = ± (1± 3 ) e não aquelas que eu havia obtido
diretamente com a fórmula. É que o assunto radicais duplos era do currículo.
Em Trigonometria apareceram radicais duplos mais complicados. Se calcularmos o
cos 30° + 1
cos 15o duas vezes: a) cos 15o = cos (45o − 30o) e b) cos 15° =
, teremos um
2
pouco mais de dificuldades para mostrar, por aritmética, que as duas respostas representam o
mesmo número.
Esse assunto não é mais estudado no primeiro grau, junto com muitas outras coisas
que também foram retiradas do currículo. Já é História da Educação Matemática. E esta
formalização final talvez nem seja mesmo importante, mas é útil saber completar um
quadrado para simplificar um radical duplo. E o mais importante é construir um
conhecimento!
por isso
21 + 432 =
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