CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
09
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
Página | 2
Equação de 2ºGrau
Introdução
Textos babilônios, escritos há cerca de 4000 anos, já faziam referência a
problemas que resolvemos hoje as equações de 2º grau.
Um dos problemas mais comuns nesses escritos era o que tratava da
determinação de dois números, quando conhecidos a soma e o produto deles. A
resolução desses problemas era estritamente geométrica: consideravam o
produto dos dois números como a área; e a soma deles, o semi-perímetro de um
retângulo.
As medidas dos lados do retângulo correspondiam aos números dados,
que eram sempre naturais.
Esse tratamento geométrico era longo e cansativo, o que levou os gregos
– e posteriormente os árabes – a buscarem um procedimento mais metódico
para resolver tais problemas.
No século IX, al-Khowarizmi, matemático árabe, desenvolveu um
processo para resolução desses problemas que deu início à chamada álgebra
geométrica.
Bhaskara
No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o matemático
hindu Bhaskara (1114 – 1185) apresentou um processo puramente algébrico que
permitia resolver qualquer equação de 2º grau. Ele chegou a uma fórmula que é
usada até hoje e que ficou conhecida como Fórmula de Bhaskara para a
resolução de equações de 2º grau.
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Equação de 2ºGrau
Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na
qual a incógnita aparece elevada ao quadrado.
Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Veja alguns exemplos:
x²-6=0
2x² = 10x
x ² - 5x + 6 = 0
Repare que em todas aparece o termo x².
De forma geral, a equação do 2º grau é escrita assim:
ax² + bx + c = 0
onde a, b, e c são números quaisquer. Mas, o número a não pode ser zero,
porque, nesse caso, o termo x ² seria eliminado.
 O número a é o coeficiente de x².
 O número b é o coeficiente de x.
 O número c é o termo independente.
Nas equações abaixo observe os valores de a, b e c:
2x2 + 3x – 40 = 0; onde a = 2; b = 3; c = -40
x2 – 7x + 10 = 0; onde a = 1; b = -7; c = 10
5y2 + 3y - 2 = 0; onde a = 5; b = 3; c = -2
2x² - 10x = 0; onde a = 2; b = -10; c = 0
y² - 6 = 0; onde a = 1; b = 0; c = -6
É de extrema importância saber reconhecer os coeficientes de uma equação de
2º grau.
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Exercício
Questão 01:
Escreva no seu caderno somente as equações que são de 2º grau com uma
incógnita:
a) 3x² - x + 2 = 0
e) 5x² - x = 0
b) 10x4 – 3x² + 5 = 0
f) 2x³ + 5x – 1 = 0
c) 2x – 7 = 0
g) 7x² + 7 = 0
d) x² + 5x – 6 = 0
h) 0x² - 5x + 6 = 0
Equação Completa e Equação Incompleta
Pela definição, devemos ter sempre
. Entretanto, podemos ter
ou
. Assim:
 Quando
e
, a equação de 2º grau se diz completa.
Exemplos:
5x² -7x +4 = 0 é uma equação completa ( a = 5, b = -7, c = 4 ).
y² +10y +20 = 0 é uma equação completa ( a = 1, b = 10, c = 20 ).
 Quando
ou
ou
, a equação de 2º grau se diz
incompleta.
Exemplos:
x² - 9 = 0 é uma equação incompleta ( a = 1, b = 0, c = -9 ).
5t² + 10t = 0 é uma equação incompleta ( a = 5, b = 10, c = 0 ).
3y² = 0 é uma equação incompleta ( a = 3, b = 0, c = 0 ).
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Exercícios
Questão 02:
Todas as equações seguintes são de 2º grau. Nessas condições, identifique os
coeficientes de cada equação:
Exemplo: x² + 5x – 3 = 0 → a = 1, b = 5, c = -3
a) 10x² - 7x + 1 = 0
e) -6x² + x + 1 = 0
b) x² + 2x – 8 = 0
f) -4x² + 6x = 0
c) 7p² + 10p + 3 = 0
g) r² - 25 = 0
d) y² - 3y – 4 = 0
h) 5x² = 0
Questão 03:
Identifique como completa ou incompleta cada equação do 2º grau abaixo:
a) x² - 7x + 10 = 0
d) x² - x – 12 = 0
b) – 2x² + 3x – 1 = 0
e) 9x² - 4 = 0
c) 4x² - 6x = 0
f) 5x² - 10x = 0
Questão 04:
Forme as equações do 2º grau:
Exemplo: a = 1, b = -5, c = -6 → x² - 5x² - 6 = 0
a) a = 1, b = -6, c = 5
e) a = 8, b = 0, c = 0
b) a = 3, b = 7, c = 8
f) a = 1, b = -3, c = -4
c) a = 5, b = 10, c = 0
g) a = 7, b = 1, c = -15
d) a = 2, b = 0, c = -18
h) a = 1, b = 1, c = 0
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Fórmula de Bhaskara
Ou
Na fórmula que encontramos para a solução da equação do 2º grau, vemos que,
dentro da raiz quadrada, existe o número b² - 4ac. Esse número é, em geral,
representado pela letra grega (delta) e chama-se discriminante. Usando essa
nova letra, temos que as raízes da equação ax² + bx + c = 0 são:
e
Onde:
O discriminante
(delta) indica o número de soluções da equação do seguinte
modo:

Se
for positivo, a equação terá duas soluções reais diferentes.

Se
for zero, a equação terá um só valor real para a solução.

Se
for negativo, a equação não terá soluções reais.
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 Resolução de Equação de 2ºgrau Completa
Veja os exemplos para resolver equações de 2º grau:
EXEMPLO 1:
Resolva a equação
Resolução:
Lembrando que a forma geral da equação é:
a x2 + b x + c = 0
Comparamos a forma geral com a equação a ser resolvida, temos:
a = 1; b = -5; c = -6
x
b 
2a
  5 
2 .1
57
x
2
x
Como é positivo,
teremos duas soluções
reais diferentes.
49
x1 
57
12

6
2
2
x2 
57
2

 1
2
2
A solução da equação x² - 5x - 6 = 0 é: S = { -1, 6 }
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EXEMPLO 2:
Resolva a equação
Resolução:
Na equação
, temos:
a = 1; b = 5; c = 6
x 
b 
2a
 5 
2 .1
 5 1
x 
2
x 
Como é positivo,
teremos duas soluções
reais diferentes.
x1 
1
 5 1
4

 2
2
2
 5 1
6

 3
2
2
A solução da equação x² + 5x + 6 = 0 é: S = { -3, -2 }
x2 
EXEMPLO 3:
Resolva a equação
Na equação
, temos:
a = 1; b = 6; c = -16
x
b 
2a
 6   100
2 .1
 6  10
x
2
x
Como é positivo,
teremos duas soluções
reais diferentes.
x1 
 6  10
4

2
2
2
x2 
 6  10
 16

 8
2
2
A solução da equação x² + 6x - 16 = 0 é: S = { -8, 2 }
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EXEMPLO 4:
Resolva a equação
Na equação
, temos:
a = 2; b = -7; c = 3
x
b 
2a
  7  
2 .2
75
x
4
x
Como é positivo,
teremos duas soluções
reais diferentes.
25
x1 
75
12

3
4
4
x2 
75
2
1


ou 0,5
4
4
2
A solução da equação 2x² - 7x + 3 = 0 é: S = { ½, 3 }
EXEMPLO 5:
Resolva a equação
Na equação
, temos:
a = 1; b = 2; c = 1
x 
b 
2a
 2  
2 .1
20
x 
2
x 
Como é zero, teremos
uma única solução real.
0
x1 
20
2

 1
2
2
x2 
20
2

 1
2
2
A solução da equação x² + 2x + 1 = 0 é: S = { -1 }
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EXEMPLO 6:
Resolva a equação
Na equação
, temos:
a = 3; b = 6; c = 4
Como
é negativo, equação não terá soluções reais, pois não existe (nos
números reais) raiz quadrada de número negativo. Por esse motivo não há
necessidade de utilizar a Fórmula de Bhaskara. Sendo assim a solução dessa
equação é considerada como conjunto vazio que pode ser representada como
{ } ou ø .
A solução da equação 3x² + 6x + 4 = 0 é: S = { } ou S = ø
 Resolução de Equação de 2ºgrau Incompleta
São aquelas que possuem os coeficientes b e c ambos nulos, ou apenas um deles
nulo. As equações incompletas podem ser resolvidas por outros métodos mais
simples que a fórmula de Bhaskara. Mas também poderá ser resolvida pela
fórmula obtendo a mesma solução.
A seguir veremos dois métodos de resolução para equações incompletas.
EXEMPLO 7:
Resolver a equação x² - 36 = 0
x 2  36
x  36
x  6
x1  6
x 2  6
A solução da equação x² - 36 = 0 é: S = { -6, 6 }
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EXEMPLO 8:
Resolver a equação 2x² - 288 = 0
2 x ²  288  0
2 x 2  288
288
2
2
x  144
x2 
x   144
x  12
x1  12
x 2  12
A solução da equação 2x² - 288 = 0 é: S = { -12, 12 }
EXEMPLO 9:
Resolver a equação x² + 3x = 0
x (x + 3) = 0
ou
x=0
x30
x  3
A solução da equação x² + 3x = 0 é: S = { -3, 0 }
EXEMPLO 10:
Resolver a equação 3x² - 15x = 0
x (3x – 15) = 0
x=0
ou
3 x  15  0
3 x  15
15
3
x5
x
A solução da equação 3x² – 15x = 0 é: S = { 0, 5 }
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Exercícios
Questão 05:
Resolva as equações do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara:
a) x2 - 5x – 6 = 0
f) x2 - 6x + 9 = 0
b) x2 + 3x – 10 = 0
g) x2 - x - 2 = 0
c) x2 + 5x + 4 = 0
h) x2 + x – 30 = 0
d) x2 - 8x + 15 = 0
i) 2x2 - 5x – 3 = 0
e) x2 - 2x -3 = 0
j) 5x2 + 11x +2 = 0
Questão 06:
Qual é o número que elevado ao quadrado é igual a 25?
Questão 07:
Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?
Questão 08:
Resolva as equações incompletas:
a) x² - 4 = 0
d) x² + 3x = 0
b) x² - 49 = 0
e) x² -5x = 0
c) 2x² - 18 = 0
f) 2x² -8x = 0
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Problemas do 2º grau
Nas páginas anteriores, tratamos de resoluções de equações do 2º grau. Agora,
vamos resolver problemas que dependem dessas equações.
Observe que o significado das incógnitas deve ficar bem claro para que o
equacionamento do problema possa ser feito sem dificuldade. Após a resolução
da equação, devemos verificar se as duas raízes servem como resposta para o
problema em questão. Freqüentemente, como você irá perceber, uma delas não
faz sentido.
Como esta é uma aula de resolução de problemas, é interessante que você leia
atentamente cada enunciado e pense um pouco antes de ver a solução.
PROBLEMA 1:
Um operário foi contratado para construir uma calçada em volta de dois lados
de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo.
20m
30m
Calçada -
O terreno mede 20 m por 30 m e a calçada deve ter sempre a mesma largura.
Sabendo que o operário dispõe de 72 m² de lajotas para fazer a obra, qual deve
ser a largura da calçada?
Solução: É claro que a largura da calçada é nossa incógnita. Vamos então
chamar de x a medida que desejamos calcular. Podemos calcular de várias
formas a área da calçada, que é igual a 72 m². Uma delas é a que mostramos na
figura abaixo:
x
Área = 30x
30
x
Área = x²
20
x
x
Área = 20x
Somando as áreas das três partes em que a calçada foi dividida, temos:
x² + 30x + 20x = 72 ou
x² + 50x - 72 = 0
Essa é uma equação do 2º grau e nossa incógnita x, a largura da calçada, é uma
de suas raízes. Vamos então resolver a equação:
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Resolvendo a equação
, teremos:
a = 1; b = 50; c = -72
x
b 
2a
 50   2788
2. 1
 50  52,8
x
2
x
Utilizando uma calculadora para
obter valores aproximados das
raízes, temos:
x1 
 50  52,8
2,8

 1,4
2
2
x2 
 50  52,8
 102,8

 51,4
2
2
Como a medida do comprimento é sempre um número positivo, observe que a
solução x = - 51,4 não faz sentido no nosso problema. Portanto, a largura da
calçada é de aproximadamente 1,4 m, ou seja, 1 metro e 40 centímetros.
Conferindo resultados
Depois de resolver um problema, é aconselhável conferir o resultado
encontrado para verificar se ele está mesmo correto. Afinal, é sempre possível
ocorrer algum engano. Vamos então conferir o resultado do problema que
acabamos de resolver.
 Conferindo o problema 1
Nesse problema, encontramos para a largura da calçada x ≅ 1,4 m,
aproximadamente.
Vamos então calcular a área da calçada usando esse valor:
≅
≅
≅
que é aproximadamente 72. Se o operário tem 72 m² de lajotas para fazer a
calçada, então a largura de 1,4 m está certa.
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PROBLEMA 2:
João comprou um certo número de camisetas (todas iguais) para dar a seus
empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, passando em outra loja, viu a
mesma camiseta em promoção, R$ 2,00 mais barata. Desta vez, comprou uma
camiseta a mais que na compra anterior e gastou R$ 90,00. Quantas camisetas
João comprou ao todo?
Solução: precisamos dar nome às nossas incógnitas, isto é, àquilo que não
conhecemos no problema. Nós não sabemos quantas camisetas João comprou
da primeira vez. Vamos então chamar essa quantidade de x. Também não
sabemos o preço da camiseta na primeira compra. Vamos chamar esse preço de
y. Desta forma, na segunda compra, João comprou x + 1 camisetas e o preço de
cada uma é y - 2, ou seja, R$ 2,00 a menos. Podemos então resumir o que
conhecemos no quadro abaixo:
COMPRA
1ª COMPRA
2ª COMPRA
Nº CAMISETAS
x
x+1
PREÇO
y
y–2
TOTAL GASTO
96
90
Multiplicando o número de camisetas pelo preço de uma delas, teremos o total
gasto em cada compra. Logo, as equações são as seguintes:
Temos aqui um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos
inicialmente desenvolver a 2ª equação:
Como a 1ª equação nos informa que xy = 96, ficamos com:
Agora, vamos substituir esse valor de y na 1ª equação:
Aí está a equação do 2º grau fornecida pelo problema. Vamos simplificar todos
os termos por 2 e resolvê-la.
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Resolvendo a equação
, teremos:
a = 1; b = -2; c = -48
x
b 
2a
  2   196
2 .1
2  14
x
2
x
Utilizando uma calculadora para
obter valores das raízes, temos:
x1 
2  14
16

8
2
2
x2 
2  14
 12

 6
2
2
Lembre-se de que x é o número de camisetas que João adquiriu na primeira
compra. Logo, esse número não pode ser - 6. Concluímos que x = 8, ou seja,
João comprou 8 camisetas. Como na segunda compra ele adquiriu uma
camiseta a mais, o número total de camisetas compradas é 8 + 9 = 17.
 Conferindo o problema 2
Concluímos nesse problema que João adquiriu 8 camisetas na primeira compra
e 9 na segunda. Vamos então calcular o valor de y, que é o preço de cada
camiseta na primeira compra.
Temos x = 8 e a equação x.y = 96. Logo,
Então, cada camiseta custou R$ 12,00.
Vamos agora conferir a segunda compra. Sabemos que ele comprou 9 camisetas
e cada uma custou R$ 10,00, ou seja, R$ 2,00 a menos. Então, ele gastou 9 · 10 =
90 reais, o que confere com o enunciado.
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Exercícios
Questão 09:
Os números 1, 2, 3, 4 ... são chamados de números naturais. Cada número
natural possui um consecutivo, que é o número que vem depois dele. Por
exemplo, o consecutivo de 1 é 2. O consecutivo de 8 é 9 etc. Multiplicando-se
um número natural por seu consecutivo, encontramos 132. Que número é esse?
Questão 10:
Um terreno retangular tem 50 m² de área. Diminuindo seu comprimento em 3
m e aumentando sua largura em 2 m, o terreno transforma-se em um quadrado.
Qual é a área desse quadrado?
Sugestão: Observe a figura abaixo:
x
3
x
2
Questão 11:
Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três
delas são mulheres. A conta, de R$ 72,00, foi inicialmente dividida entre todos,
mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres não
deveriam pagar. Então, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foi
paga. Quantas pessoas havia no grupo?
Sugestão: Escolha as seguintes incógnitas:
x = número de pessoas do grupo
y = valor que cada um deveria pagar
Questão 12:
Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:
Imagine que 480 soldados estão formados, arrumados em linhas e colunas.
O número de linhas é 4 unidades maior que o número de colunas. Quantas são
as linhas e as colunas dessa formação?
Página | 18
Gabarito
Questão 01: Alternativas: a, d, e, g.
Questão 02:
a)
b)
c)
d)
a=10; b=-7; c=1
a=1; b=2; c=-8
a=7; b=10; c=3
a=1; b=-3; c=-4
e)
f)
g)
h)
a=-6; b=1; c=1
a=-4;b=6; c=0
a=1; b=0; c=-25
a=5; b=0; c=0
Questão 03:
a) Equação completa;
b) Equação completa;
c) Equação incompleta;
d) Equação completa;
e) Equação incompleta;
f) Equação incompleta.
Questão 04:
a)
b)
c)
d)
x2-6x+5=0
3x2 +7x+8=0
5x2 +10x=0
2x2-18=0
e) 8x2=0
f) x2-3x-4=0
g) 7x2+x-15=0
h) x2+x=0
Questão 05:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Questão 06: O número 5.
Questão 07: O número 2.
Questão 08:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Questão 09: O número 11.
Questão 10: Lado 7m e Área 49m2.
Questão 12: 9 pessoas.
Questão 11: 24 linhas e 20 colunas.
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Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
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Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010
Página | 21