1
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1) Um estudo mostrou que a área desertificada de um município dobra a cada
1
década e atualmente essa área representa 1024 do município. Considerando que a
conclusão desse estudo está correta e não será tomada nenhuma providência,
daqui a exatamente k décadas todo o município terá se transformado em
deserto. Determine k.
Resolução
Sendo A a área total do município, a sequencia das áreas desertificadas desse
município, década a década, a partir do momento atual até a desertificação total,
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
é a PG de razão 2, com primeiro termo 1024 e último termo (1024 , 512 , 256 , … , 𝐴)
O número de termos dessa PG pode ser determinada pela fórmula geral, em que
1
𝑎𝑛 = 𝐴, 𝑎1 = 1024 e q=2.
Assim:
𝐴
𝐴 = 1024 . 2𝑛−1 → 1024. 𝐴 = 2𝑛−1 . 𝐴 → 2𝑛−1 = 1024 → 2𝑛−1 = 210
𝑛 − 1 = 10 → 𝑛 = 10 + 1 → 𝑛 = 11
Como a sequência tem 11 termos, concluímos que daqui a 10 décadas, ou 100
anos, tudo será deserto.
1 1
2) Calcular a soma dos 11 primeiros termos da PG (4 , 2 , 1,2,4, … )
Resolução
𝑆𝑛 =
𝑎1 .(1−𝑞 𝑛 )
1
para 𝑎1 = 4 , 𝑞 = 2 𝑒 𝑛 = 11
1−𝑞
1
1
1
−2047
(1 − 211 )
(1 − 2048)
.
.
.
−2047
4
𝑆11 = 4
→4
→4
→
1−2
−1
−1
−1
−2047 1
−2047
2047
.
→
→ 𝑆11 =
𝑜𝑢 511,75
4
−1
−4
4
3) Calcular a soma dos 30 primeiros termos da PG (4, 4, 4, ...)
Resolução
Como é uma PG constante e q=1, S30=30.a1, então, S30=30.4, assim, S30=120
INEQUAÇÕES MODULARES
1) |𝑥 + 1| > 2
Caso: |𝑥| > 𝑎 ↔ 𝑥 < −𝑎 𝑜𝑢 𝑥 > 𝑎
|𝑥 + 1| < −2 → 𝑥 + 1 < −2 → 𝑥 < −2 − 1 → 𝒙 < −𝟑
|𝑥 + 1| > 2 → 𝑥 + 1 > 2 → 𝑥 > 2 − 1 → 𝒙 > 𝟏
2
-3
S1
1
S2
S1
S2
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 1}
2) |4𝑥 − 3| ≤ 13
Caso: −13 ≤ 4𝑥 − 3 ≤ 13
−10
−𝟓
−13 ≤ 4𝑥 − 3 → −13 − 3 ≤ 4𝑥 → −10 ≤ 4𝑥 →
≤𝑥→
≤𝒙
4
𝟐
16
4𝑥 − 3 ≤ 13 → 4𝑥 ≤ 13 + 3 → 4𝑥 ≤ 16 → 𝑥 ≤
→𝒙≤𝟒
4
-5/2
S1
4
S2
S1
S2
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/
−5
≤ 𝑥 ≤ 4}
2
𝑥−3
3) |
2
Caso:
|>1
𝑥−3
2
< −1 𝑜𝑢
𝑥−3
2
>1
𝑥−3
< −1 → 𝑥 − 3 < −2 → 𝑥 < −2 + 3 → 𝒙 < 𝟏
2
𝑥−3
>1→ 𝑥−3> 2→ 𝑥 > 2+3→ 𝒙> 𝟓
2
1
S1
5
S2
S1
S2
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 5}
4) |𝑥 2 + 4𝑥 − 6| > 15
Caso: 𝑥 2 + 4𝑥 − 6 > 15 𝑜𝑢 𝑥 2 + 4𝑥 − 6 < −15
𝑥 2 + 4𝑥 − 6 > 15 → 𝑥 2 + 4𝑥 − 6 − 15 > 0 → 𝑥 2 + 4𝑥 − 21 > 0
3
−4 ∓ 10
→ 𝒙´ = −𝟕 𝒆 𝒙´´ = 𝟑
2
𝑥 2 + 4𝑥 − 6 < −15 → 𝑥 2 + 4𝑥 − 6 + 15 < 0 → 𝑥 2 + 4𝑥 + 9 < 0
∆= −20
∆= 16 − 4. (−21) → ∆= 100 →
-7
S1
S2
S1
S2
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅/−7 ≤ 𝑥 ≤ 3}
3
4
FUNÇÃO MODULAR
1) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|
x
1
3
5
y
y
2
0
2




x









𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅}
𝐼𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 0}
2) 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 3
x
-2
0
2
y
y
-1
-3
-1



x















𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅}
𝐼𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ −3}
3) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| − 2
x
1
2
3
4
5
y
0
-1
-2
-1
0
y


x





𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅}
𝐼𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ −2}






5
4) 𝑓(𝑥) = |𝑥| + |𝑥 + 2|
x
-3
-2
-1
0
1
y
4
2
2
2
4
y




x









𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅}
𝐼𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 2}
5) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 5𝑥 + 6|
∆= (−5)2 − 4.1.6 → ∆= 1
−(−5) ∓ 1
→ 𝑥´ = 2 𝑒 𝑥´´
2
=3
−1
𝑦𝑣 =
= |−0,25| → 0,25
4
−(−5) 5
𝑥𝑣 =
= = 2,5
2
2
y


x




6
EQUAÇÃO MODULAR
3𝑥−4
1) |
2
|=4
3𝑥 − 4
3𝑥 − 4
= 4 𝑜𝑢
= −4
2
2
3𝑥 − 4
12
= 4 → 3𝑥 − 4 = 8 → 3𝑥 = 8 + 4 → 3𝑥 = 12 → 𝑥 =
→𝒙=𝟒
2
3
3𝑥 − 4
−𝟒
= −4 → 3𝑥 − 4 = −8 → 3𝑥 = −8 + 4 → 3𝑥 = −4 → 𝒙 =
2
𝟑
2) |3𝑥 + 6| = −2
3𝑥 + 6 = 2 𝑜𝑢 3𝑥 + 6 = −2
3𝑥 + 6 = 2 → 3𝑥 = 2 − 6 → 3𝑥 = −4 → 𝒙 =
−𝟒
𝟑
3𝑥 + 6 = −2 → 3𝑥 = −2 − 6 → 3𝑥 = −8 → 𝒙 =
−𝟖
𝟑
3) |𝑥 2 + 2𝑥| = 3
𝑥 2 + 2𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 2 + 2𝑥 = −3
𝑥 2 + 2𝑥 = 3 → 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 → ∆= 4 − 4.3 → ∆= −8
𝑥 2 + 2𝑥 = −3 → 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0 → ∆= 4 − 4. (−3) → ∆= 16
−2 ∓ 4
→ 𝒙´ = −𝟑 𝒆 𝒙´´ = 𝟏
2