Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 73
UMA CONSTRUCAO DO CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ATRAVES DE MATRIZES 1
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Luana Beatriz Cardoso , Nicole Ingrid , Amanda Santos Silva3, Roger Gomes Soares da Silva4& Antonio Carlos Tamarozzi5 1
Aluna do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação Tutorial/SESU – Matemática – UFMS ‐ Campus de Três Lagoas. 2Aluna do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação Tutorial/SESU – Matemática – UFMS ‐ Campus de Três Lagoas.³Aluna do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação Tutorial/SESU – Matemática – UFMS ‐ Campus de Três Lagoas.4Aluno do Curso de Lic.em Matemática da UFMS – Matemática – UFMS ‐ Campus de Três Lagoas.5 Professor associado do curso de Matemática da UFMS e tutor do Programa de Educação Tutorial/SESU – Matemática – UFMS ‐ Campus de Três Lagoas. RESUMO Consideremos M o conjunto de todas as matrizes quadradas Mij de ordem 2, com entradas reais, onde M11= M22 e M21= ‐M12 . Ao longo deste trabalho demonstramos que M é fechado para as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes e que estas operações conferem a M a estrutura de corpo. Este é um resultado interessante haja vista que, é senso comum, que a comutatividade e a existência de inversos para a operação de multiplicação, não se verificam em estruturas gerais envolvendo matrizes. Construímos uma associação entre M e ԧ que é um isomorfismo, sendo possível exibir uma visualização concreta de um número complexo através de matrizes. Palavras‐chave: Corpo de uma matriz, Isomorfismo, Números complexos. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS Desde o contato inicial, em geral no ensino médio, o conjunto de matrizes é apresentado com suas operações usuais de adição e multiplicação, onde é enfatizado que, de maneira geral, a operação de multiplicação não é comutativa. Com efeito, mesmo para matrizes elementares da forma A=
e B=
, podemos observar que AB≠BA. Contudo, pode‐se mostrar que o conjunto M =
é fechado para as operações usuais de adição e multiplicação. Estas são conseqüências particulares de um resultado ainda mais profundo, de fato, verificaremos que, relativo a estas operações, M tem estrutura de um Corpo. Um conjunto K arbitrário, munido de operações que denotaremos pelos símbolos “+” e “.” , é dito ser um corpo se (K,+) e (K –{0},.) são grupos comutativos e se for válida a propriedade distributiva de . em relação a +. Isto significa que para quaisquer elementos a,b, c  K, temos ‐associtatividade : a+(b+c)= (a+b)+c e a.(b.c)=(a.b).c ; Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 74
‐comutatividade : a+b = b +a e a. b= b.a; ‐ existência de elementos neutros:  0  K e  1  K, tais que a+0= a e a.1 =a; ‐ existência de simétricos,  a  K existe –a  K tal que a+(‐a)=0 e  a  K –{0}, existe a‐1  K tal que a.( a‐1)=1; ‐ distributividade a.(b+c)=a.b+a.c Além de M satisfazer estas propriedades de corpo, pode ser provado algo ainda mais surpreendente, M é um corpo isomorfo a ԧ. Com esta formulação, os números complexos podem ser identificados como matrizes com entradas reais, de forma que a estrutura abstrata de ԧ, adquire a visualização concreta, por meio de matrizes. METODOLOGIA A abordagem com o conjunto M foi motivado a partir de problemas de álgebra abstrata. As verificações dos resultados enunciados para o conjunto M, são realizadas a partir de cálculos diretos envolvendo operações com matrizes. Em particular para provarmos o fechamento e B=
das operações, considerando matrizes A=
A+B = +
. AB =
꞊ , arbitrárias em M, temos = ꞊ e =
mostrando claramente que A+B e A.B são elementos de M. A verificação de que M é isomorfo a ԧ é realizada mediante a correspondência de um número complexo arbitrário a+bi com a matriz Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 , onde verificamos que tal Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 75
correspondência cumpre a definição de isomorfismo de corpos. Observemos que a unidade imaginaria i corresponde à matriz , o que permite‐nos visualizar um número complexo genérico utilizando matrizes. RESULTADOS Como verificado acima, o conjunto M=
é fechado para a operação de adição e multiplicação de matrizes. Vamos mostrar que M tem estrutura de corpo relativo a estas operações. A propriedade associativa da adição e multiplicação, comutativa da adição e distributiva da adição em relação a multiplicação, são validas para quaisquer matrizes quadradas de ordem 2, em particular para os elementos de M. A conclusão da verificação depende então da seguinte seqüência de verificações: A operação de multiplicação é comutativa em M : De fato, dados A=
e B=
elementos arbitrários de M, temos: AB ꞊ ꞊ .
= BA Existência de elementos neutros O elemento neutro da operação de adição é a matriz nula
, pois dado A=
elemento arbitrários de M +
꞊
além disso,vemos claramente que  M, onde a b 0. O elemento neutro da operação de multiplicação é a matriz identidade, pois dado A=
elemento arbitrário de M . ꞊ Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 ꞊ ꞊ Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 76
E considerando a ꞊ 1 e b ꞊ 0, na definição de M , vemos claramente que  M. Existência de simétrico aditivo O simétrico de arbitrário em M é que é um elemento de M, pois, ꞊ Existência de simétrico multiplicativo Dado A=
elemento arbitrário de M \ {0}, onde 0 representa a matriz nula, temos que a e b não são simultaneamente nulos, logo det (A)= a2+b2 ≠0 e existe A‐1. Para encontrarmos A‐1 = , devemos ter, .
꞊
꞊
E assim obtemos o sistema 4x4 cuja única solução é x =
, z꞊
e w= Portanto a inversa de é dada por A‐1 = Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 77
que é claramente um elemento de M. Isomorfismo de corpos Sejam S e T corpos, cujas operações, por simplificação, serão ambas identificadas por “+” e “.” . Uma aplicação f: S T é um isomorfismo entre corpos, se : i) f é uma bijeção ; ii) f: (S,+) (T,+) é um homomorfismo de grupos; iii) f: (S – {0}, . ) (T –{0}, .) é um homomorfismo de grupos; Ou seja, f é uma bijeção entre os corpos S e T que satisfaz f(a + b) = f(a) + f(b), para quaisquer a,b ϵ S; f(a .b) = f(a).f(b), para quaisquer a,b ϵ S. Quando existe um isomorfismo entre o corpo (S,+,.) e o corpo (T,+,.), tais corpos são denominados isomorfos. O isomorfismo entre M e ԧ Recordemos que o conjunto dos números complexos pode ser definido por ԧ ={ x+ i.y | x,y ‫א‬ Թ} . Consideremos a aplicação f: ԧ → M definida por f(a+bi)= . Observemos que para números complexos arbitrários a+bi e c+di, temos: Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 78
O que mostra ser f um homomorfismo de grupos relativo a operação + . Da mesma forma observemos que para quaisquer a+bi e c+di de ԧ , temos f
=f
= f
= = f(a+bi).f(c+di) O que mostra ser f um homomorfismo entre os grupos ԧ – {0} e M – {0}. Que f é uma aplicação sobrejetora, segue direto da definição . Para verificarmos que f é injetora, observemos que f(a + bi) = f(c + di) => = => a = c , b = d => a+bi=c+di Uma vez provado que M  ԧ, esta provado que as matrizes em M comportam‐se como números complexos. Notemos que para uma matriz genérica de M temos, = Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 A expressão acima sugere que as matrizes e 79
fazem o papel de unidade real e imaginária em M, e de fato estas são as imagens das respectivas unidade real e imaginária de ԧ, além disso, assumindo um papel similar ao número i. DISCUSSÕES A utilização e manipulações de operações usuais em M, são suficientes para assegurar a M a estrutura de corpo, onde são evidenciadas propriedades que sugerem comportamento similar às propriedades verificadas com o corpo dos números complexos. E de fato, esta questão fica evidenciada, a partir do estabelecimento de uma bijeção entre estes conjuntos que preserva as características das operações, ou seja são estruturas isomorfas. CONCLUSÃO No decorrer deste trabalho desenvolvemos propriedades do conjunto M =
, onde são destacadas propriedades algumas das quais não observadas em estruturas gerais envolvendo matrizes. Estas são consequências particulares do resultado mais profundo de que M, relativo a estas operações usuais tem estrutura de um Corpo. O estabelecimento de um isomorfismo entre M e ԧ, possibilita o interessante resultado de identificar em M as unidades real e imaginária, assegurando a M a realização concreta dos números complexos. Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 80
REFERÊNCIAS [1]AYRES, F. Matrizes. Rio de Janeiro: MacGraw‐Hill, 1974 [2]BELLMAN, R. Introduction to matrix analysis, 2.ed. New York: MacGraw‐Hill, 1997. [3] LIMA, E. Álgebra Linear, 8.ed. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2009. [4] IEZZI, G. & Hazzan, S. Fundamentos de matemática elementar, Vol.4 (Sequências, matrizes, determinantes e sistemas). 7.ed. São Paulo, Atual Editora, 2004. [5] LIPSCHUTZ,S. & LIPSON,M. Álgebra Linear, 4.ed. Coleção Schaum, 2011. [6]ANTON, H. & RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações, Bookman, 8.ed., Porto Alegre, RS, 2001. [7]NOBLE, B. & Daniel, J.W. Álgebra Linear aplicada.2.ed. Editora Prentice‐Hall do Brasil Ltda: Rio de Janeiro, 1986. [8]TAMAROZZI, A .C. Matrizes em blocos. Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, v 40, p. 41–45, 1999. Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012