O Básico da Análise de
Regressão com Dados de Séries
Jaci2
ED Séries2006
Mestrado em Informática/UFES
Profs Flávio e Magnos
Economics 20 - Prof. Anderson
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Séries Temporais vs. Dados de corte
transversal
Séries temporais têm uma ordenação temporal;
Passado pode afetar o futuro;
Há aleatoriedade em dados temporais?
Processo estocástico ou processo de série
temporal;
Não há amostras aleatórias de indivíduos, apenas a
realização de um único processo estocástico.
O tamanho da amostra de um conjunto de dados
de séries temporais é o número de períodos em
que observamos as variáveis de interesse.
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Exemplos de Modelos:
Modelos Estáticos
Um modelo estático relaciona duas variáveis
contemporaneamente:
yt = b0 + b1zt + ut
Estático → modela uma relação contemporânea
(entre duas ou mais variáveis);
Interessante quando se acredita que z tem um
efeito imediato em y.
Exemplo clássico: curva de Philips estática
(relaciona taxa de inflação e taxa de desemprego);
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Exemplos de Modelos:
Modelos de Defasagens Distribuidas Finitas
Permite que uma ou mais variáveis afetem y com defasagens:
yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut
Um modelo de defasagens finitas de ordem q inclui q defasagens de z.
Chamamos d0 de propensão de impacto ou mutiplicador de
impacto.
Chamamos d0 + d1 +…+ dq de propensão de longo prazo (PLP) ou
de multiplicador de longo prazo.
Devido à multicolinearidade (correlação substancial em zt ,zt-1, zt-2 …),
Pode ser difícil conseguir estimativas individuais precisas dos dj .
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Hipóteses para Inexistência de Viés
do MQO
ST .1: Linear nos parâmetros:
yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut
ST .2: Média condicional zero:
E(ut|X) = 0, t = 1, 2, …, n
Obs.: A média condicional zero implica que
o erro no tempo t, ut, é não-correlacionado
com cada regressor em todos os períodos de
tempo.
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Hipóteses para Inexistência de Viés
do MQO
Em E(ut|X) = 0, X é uma matriz de todas as
variáveis independentes vs. o tempo;
Exogeneidade contemporânea: E(ut|xt)=0;
Exogeneidade estrita: E(ut|X) = 0;
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Hipóteses para Inexistência de Viés
ST .3: Inexistência de colinearidade
perfeita: nenhum regressor é constante ou
é uma combinação linear perfeita dos
outros.
Sob essas 3 hipóteses os estimadores MQO
são não-viesados;
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Hipóteses para Inexistência de Viés
A hipótese de amostra aleatória foi
descartada;
Essa hipótese implicava que os ui eram
independentes;
ST .2 garante essa propriedade
(exogeneidade strita);
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Homoscedasticidade
ST .4: Homoscedasticidade:
Var(ut|X) = Var(ut) = s2
Significa que Var(ut|X) não depende de X e
é constante ao longo do tempo;
Exige dos fatores não-observáveis que
estejam afetando o regressando com uma
variância constante ao longo do tempo;
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Inexistência de Correlação serial
ST .5: Inexistência de Correlação serial:
Os erros em dois períodos de tempo
diferentes devem ser não correlacionados:
Corr(ut,us| X)=0 for t  s
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Variâncias Amostrais do MQO
Sob essas 5 hipóteses de Gauss-Markov, as
variâncias do MQO para dados de séries
temporais são as mesmas do MQO para
dados de corte transversal.
Var(^βj|X) = s2/[SQTj (1 - Rj2)], j = 1, …k,
MQO permanesce BLUE
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Inferência sob as Hipóteses do
Modelo Linear Clássico
Com a hipótese adicional ST .6: Normalidade
(erros normais), não há nenhuma alteração no
modo de como fazer inferência para MQO de
séries temporais;
Sob essas 6 hipóteses tudo que aprendemos
sobre estimadores e inferência das regressões
de corte transversal aplica-se diretamente às
regressões em séries temporais.
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Variáveis DUMMY
São variáveis independentes binárias (ou dummy);
Principais componentes para fazer estudo de evento;
Exemplo:
gfr: taxa geral de fertilidade (para cada 1000 mulheres)
pe: taxa de insenção de impostos
ww2: = 1 para os anos de 1941 a 1945 (segunda guerra)
pill: = 1 apartir de 1963 (1ª pílula anticoncepcinal)
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Variáveis DUMMY
Cada variável é estatisticamente significante ao nível de 1%;
ww2 = 24: Significa que houve cerca de 24 nascimentos a menos
para cada 1000 mulheres durante a segunda guerra mundial;
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Números Índices
Medida estatística idealizada para mostrar as
oscilações de uma variável em função de: tempo,
posição geográfica …
Exemplo: Indices de Inflação/Preço;
Valores Nominais vs.Valores reais;
Usar índices de preço para transformar uma série
temporal em valores nominal para valores reais;
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Tendência em Séries Temporais
Muitas séries temporais econômicas têm uma
tendência temporal;
Não se pode assumir que duas séries com
tendência (na mesma direção ou opostas) tenham
uma relação causal;
Provavelmente, essa falsa relação causal é devido
a fatores não-observados diversos;
Como capturar adequadamente uma tendência?
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Tendência Temporal Linear
Uma tendência linear pode ser modelada como:
yt = a0 + a1t + et, t = 1, 2, …
Mantendo todos os outros fatores fixos (em et), a1
mede a mudança em yt em intervalo de tempo
Outra possibilidade é:
E(yt) = a0 + a1t
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Tendência Temporal Linear
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Tendência Temporal Exponencial
Muitas séries econômicas são bem
aproximadas por uma tendência
exponencial, cujo modelo pode ser dado
por:
log(yt) = a0 + a1t + et, t = 1, 2, …
Caracteriza uma taxa (percentual) média
constante de crescimento;
a1 = ∆log(yt) ≈ (yt – yt-1) /yt-1
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Tendência Temporal Exponencial
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Tendência Temporal Quadrática
Apesar de menos comum, algumas
tendências mais complicadas podem
requerer um modelo quadrático:
yt = a0 + a1t + a2t2 + et, t = 1, 2, …
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Variáveis com Tendência e Análise
de Regressão
Variáveis com tendência não violam as hipóteses do
modelo linear clássico;
O problema da regressão espúria.
A adição de uma tendência temporal elimina esse
problema:
É o mesmo que usar séries “destendenciadas”na
regressão;
O modelo reconhece que y pode ter uma tendência nãorelacionada aos regressores;
Nesse caso, omitir t a regressão geralmente levará a
estimadores viesados;
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Variáveis com Tendência e Análise
de Regressão
Exemplo:
invpc : investimento imobiliário real per capita
price: índice de preco de imóveis
A elasticidade de invpc em relação a price é
estatisticamente significante e não é estatisticamente ≠ 1
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Variáveis com Tendência e Análise
de Regressão
Adicionando uma tendência temporal:
A elasticidade de invpc em relação a price é negativa e
não é estatisticamente ≠ 0
Não podemos concluir que invpc não é afetado por
price;
Fatores não-observados, que afetam invpc e price, não
foram modelados;
A tendência temporal indica um crescimento de 1% ,em
média, em invpc;
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Variáveis com Tendência e Análise
de Regressão
Outro Exemplo (Equação da Fertilidade):
gfr: taxa geral de fertilidade (para cada 1000 mulheres);
pe: taxa de insenção de impostos;
ww2: = 1 para os anos de 1941 a 1945 (segunda guerra);
pill: = 1 apartir de 1963 (1ª pílula anticoncepcinal);
Conclusão:


O coeficiente pe triplicou e é muito mais significante;
Curioso: pill deixou de ser significante;
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Variáveis com Tendência e Análise
de Regressão
Outro Exemplo (Equação da Fertilidade):


Tgf apresentou tanto tendência crescente e
decrescente durante o periodo de 1913 a 1984;
O que sugere o uso de tendência quadrática:
Conclusão:


O coeficiente de pe aumentou ainda mais, permanescendo significante;
pill passou a ter efeito em gfr, sendo marginalmente;
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Inclusão de uma Tendência
Temporal: Retirada de Tendência
É possível mostrar que β1
e β2 na equação:
Podem ser obtidos assim:
 Compute a regressão
de y1,xt1 e xt2 sobre
uma constante e t;
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Inclusão de uma Tendência
Temporal: Retirada de Tendência
Encontre os resíduos:
Ϋt pode ser entendida
como uma variável
que teve sua tendência
temporal retirada;
Fazendo a regressão
de Ϋt sobre ¨xt1 e ¨xt2
encontramos β1 e β2;
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Inclusão de uma Tendência
Temporal: Retirada de Tendência
Obs.: o grau de ajuste (R2) quando a variável
dependente apresenta uma tendência pode
apresentar problemas;
O autor sugere regredir primeiro Ϋt sobre ¨xt1 e
¨xt2 e depois calcular R2 assim(SSR=SQR):
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Sazonalidade
Com certa freqüência, séries temporais
exibem alguma periodicidade;
Exemplo: Vendas trimestrais do varejo;
A sazonalidade pode ser tratada com a
inclusão de um conjunto de variáveis
dummys sazonais;
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Sazonalidade
Modelo geral para dados mensais:
fevt …dezt são variáveis dummy;
β0 é o intercepto de janeiro;
Se não houver sazonalidade: δ1 ... δ11 = 0 (pode ser
verificado por um teste F)
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Sazonalidade
Assim como na inclusão de tendência temporal
em uma regressão, a inclusão de variáveis dummy
pode ser interpretada como dessazonalização dos
dados;
Isso pode ser concluído regredindo-se a variável
dependente e todas independentes sobre as
dummies mensais, em seguida regredindo-se a
variável dependente sobre as independentes (sem
as dummies);
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