Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 – DOU - 10.04.2012.
Estatística – Quest(XI)
Correlação e Regressão:
Correlação:
1) Resolvido:
xi
4
6
8
10
12
∑ = 40
yi
12
10
8
12
14
∑ = 56
xi2
16
36
64
100
144
∑ = 360
xi.yi
48
60
64
120
168
∑ = 460
5 𝑥 460 − 40 𝑥 56
√(5 𝑥 360 − 402 )(5 𝑥 648 − 562 )
=
60
√200 𝑥 104
=
yi2
144
100
64
144
196
∑ = 648
60
= 𝟎, 𝟒𝟐
144,22
Regressão:
1) Resolvido:
xi
2
4
6
8
10
12
14
∑ = 56
yi
30
25
22
18
15
11
10
∑ = 131
xi2
4
16
36
64
100
144
196
∑ = 560
xi.yi
60
100
132
144
150
132
140
∑ = 858
Y = Ax + B
𝑎=
𝑏=
7 𝑥 858−56 𝑥 131
7 𝑥 560− 562
=
−1330
784
= −𝟏, 𝟕
131
56 131 95,2
226,2
− (−1,70) 𝑥
=
+
=
= 𝟑𝟐, 𝟑
7
7
7
7
7
y (estimado) = -1,7x + 32,3
C o m p l e x o
d e
E n s i n o
S u p e r i o r
d e
C a c h o e i r i n h a
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1
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Exercícios:
1) Calcule o índice de correlação:
Peso Real (xi)
18
30
42
62
73
97
120
∑ = 442
Peso Aparente (yi)
10
23
33
60
91
98
159
∑ = 474
7 𝑥 41205 − 442 𝑥 474
√(7 𝑥 35970 − 4422 )(7 𝑥 48484 − 4742 )
xi.yi
180
690
1386
3720
6643
9506
19080
∑ = 41205
=
xi2
324
900
1764
3844
5329
9409
14400
∑ = 35970
78927
√56426 𝑥 114712
=
yi2
100
529
1089
3600
8281
9604
25281
∑ = 48484
78927
= 𝟎, 𝟗𝟖
80453,33
2) a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlação retilínea: SIM
b) Calcule o índice de correlação:
xi
11
14
19
19
22
28
30
31
34
37
∑ = 245
yi
13
14
18
15
22
17
24
22
24
25
∑ = 194
xi.yi
143
196
342
285
484
476
720
682
816
925
∑ = 5069
10 𝑥 5069 − 245 𝑥 194
√(10 𝑥 6693 − 2452 )(10 𝑥 3948 − 1942 )
C o m p l e x o
d e
E n s i n o
=
xi2
121
196
361
361
484
784
900
961
1156
1369
∑ = 6693
3160
√6905 𝑥 1844
S u p e r i o r
d e
=
yi2
169
196
324
225
484
289
576
484
576
625
∑ = 3948
3160
= 𝟎, 𝟖𝟗
3568,3
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2
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c) Conclusões: Neste exemplo há correlação perfeita e positiva entre as variáveis.
3) A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria:
Anos
Quantia (t)
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
34
36
36
38
41
42
43
44
46
Calcule:
a) Coeficiente de correlação:
Anos (xi)
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
∑ = 17856
Quantia (yi)
34
36
36
38
41
42
43
44
46
∑ = 360
xi.yi
67320
71316
71352
75354
81344
83370
85398
87428
91448
∑ = 714330
xi2
3920400
3924361
3928324
3932289
3936256
3940225
3944196
3948169
3952144
∑ = 35426364
yi2
1156
1296
1296
1444
1681
1764
1849
1936
2116
∑ = 14538
𝑛∑𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 − (∑𝑥𝑖 ). (∑𝑦𝑖 )
𝑟=
√[𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2 ] . [𝑛∑𝑦𝑖 2 − (∑𝑦𝑖 )2 ]
6.428.970 − 6.428.160
𝑟=
√540 𝑥 1242
=
810
≅ 𝟎, 𝟗𝟗
818,95055
b) A reta ajustada:
𝑎=
𝑛∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
810
=
= 𝟏, 𝟓
2
2
𝑛∑𝑥𝑖 − (∑𝑥𝑖 )
540
0
360
x̅ = = 0
y̅ =
𝑏 = 40 − (0 𝑥 1,5) = 40
𝑏 = y̅ − 𝑎x̅
9
9
= 40
y = 1,5x + 40
c) A produção estimada para 1989?
y = 1,5x + 40  y = 1,5 . 5 + 40  y = 47,5
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3
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4) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra
de aço varia (dilata) em função da temperatura:
Temperatura (ºC)
Comprimento (mm)
10
15
20
25
30
1003
1005
1010
1011
1014
a) Coeficiente de correlação:
Temperatura (xi)
10
15
20
25
30
∑ = 100
Comprimento (yi)
1003
1005
1010
1011
1014
∑ = 5043
xi.yi
10030
15075
20200
25275
30420
∑ = 101000
xi2
100
225
400
625
900
∑ = 2250
yi2
1006009
1010025
1020100
1022121
1028196
∑ = 5086451
𝑛∑𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 − (∑𝑥𝑖 ). (∑𝑦𝑖 )
𝑟=
√[𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2 ] . [𝑛∑𝑦𝑖 2 − (∑𝑦𝑖 )2 ]
700
𝑟=
√1250 𝑥 406
=
700
≅ 𝟎, 𝟗𝟖
712
b) A reta ajustada:
𝑎=
𝑛∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
700
=
= 𝟎, 𝟓𝟔
𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2
1250
x̅ =
100
5
= 20
y̅ =
𝑏 = 1008 − (0,56 𝑥 20) = 997,80
5043
5
= 1008,6
𝑏 = y̅ − 𝑎x̅
y = 0,56x + 997,80
c) O valor estimado do comprimento da barra a temperatura de 18ºC:
y = 0,56x + 997,40  y = 0,56 . 18 + 997,40  y = 1007,48mm
d) O valor estimado do comprimento da barra a temperatura de 35ºC:
y = 0,56x + 997,40  y = 0,56 . 35 + 997,40  y = 1017mm
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4
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5) A variação do valor da UPC, relativo aos meses de 1995, deu origem a tabela:
Meses
Valores (R$)
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
10,32
10,32
11,34
11,34
11,34
12,22
12,22
a) Calcule o grau de correlação:
Meses (xi)
05
06
07
08
09
10
11
∑ = 56
Valores (yi)
10,32
10,32
11,34
11,34
11,34
12,22
12,22
∑ = 79,10
xi2
25
36
49
64
81
100
121
∑ = 476
xi.yi
51,60
61,92
79,38
90,72
102,06
122,20
134,42
∑ = 642,30
yi2
106,5024
106,5024
128,5956
128,5956
128,5956
149,3284
149,3284
∑ = 897,4484
𝑛∑𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 − (∑𝑥𝑖 ). (∑𝑦𝑖 )
𝑟=
√[𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2 ] . [𝑛∑𝑦𝑖 2 − (∑𝑦𝑖 )2 ]
66,50
𝑟=
√4964, 45
=
66,50
≅ 𝟎, 𝟗𝟒
70,46
b) Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X:
𝑎=
𝑛∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
66,5
=
= 𝟎, 𝟑𝟒
2
2
𝑛∑𝑥𝑖 − (∑𝑥𝑖 )
196
x̅ =
28
7
=4
y̅ =
𝑏 = 11,3 − (4 𝑥 0,34) = 9,94
79,1
7
= 11,3
𝑏 = y̅ − 𝑎x̅
y = 0,34x + 9,94
a) Estime o valor da UPC para o mês de dezembro:
y = 0,34x + 9,94  y = 0,34 . 8 + 9,94  y = 12,66
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5
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6) A partir da tabela:
xi
1
2
3
4
5
6
yi
70
50
40
30
20
10
a) Calcule o coeficiente de correlação:
xi
1
2
3
4
5
6
∑ = 21
𝑟=
yi
70
50
40
30
20
10
∑ = 220
xi2
1
4
9
16
25
36
∑ = 91
xi.yi
70,00
100,00
120,00
120,00
100,00
60,00
∑ = 570,00
yi2
4.900
2.500
1.600
900
400
100
∑ = 10.400
𝑛∑𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 − (∑𝑥𝑖 ). (∑𝑦𝑖 )
√[𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2 ] . [𝑛∑𝑦𝑖 2 − (∑𝑦𝑖 )2 ]
6570 − 21220
=
√(6 𝑥 91 − 212 )(6 𝑥 10400 − 2202 )
−1200
√1470000
=
−1200
= −𝟎, 𝟗𝟗
1212
b) A reta ajustada:
𝑎=
𝑛∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖 (6 𝑥 570) − (21 𝑥 220)
−1200
=
=
= −𝟏𝟏, 𝟒
(6 𝑥 91) − 212
𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2
105
x̅ =
21
6
= 3,5
y̅ =
220
6
= 36,66
𝑏 = 36,66 − (3,5 𝑥 − 11,4) = 76,60
𝑏 = y̅ − 𝑎x̅
y = 11,4x + 76,6
c) Estime o valor Y para X – 0:
y̅ = (−11,4 𝑥 0) + 76,6 = 𝟕𝟔, 𝟔
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6
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7) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à
variação de preço de venda, obteve a tabela:
Preço (xi)
38
42
50
56
59
63
70
80
95
110
Demanda (yi)
350
325
297
270
256
246
238
223
215
208
a) Determine o coeficiente de correlação:
Preço (xi)
38
42
50
56
59
63
70
80
95
110
∑ = 663
Demanda (yi)
350
325
297
270
256
246
238
223
215
208
∑ = 2628
xi2
1444
1764
2500
3136
3481
3969
4900
6400
9025
12100
∑ = 48719
xi.yi
13300
13650
14850
15120
15104
15498
16660
17840
20425
22880
∑ = 165327
yi2
122500
105625
88209
72900
65536
60516
56644
49729
46225
43264
∑ = 711148
b) A reta ajustada:
𝑎=
𝑛∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖 (10 𝑥 165327) − (663 𝑥 2628)
−89094
=
=
= −𝟏, 𝟖𝟕
(10 𝑥 48719) − 6632
𝑛∑𝑥𝑖 2 − (∑𝑥𝑖 )2
47621
x̅ =
663
10
= 66,3
y̅ =
2628
10
= 262,8
𝑏 = 262,8 − (66,3 𝑥 − 1,87) = 386,78
𝑏 = y̅ − 𝑎x̅
y = -1,87x + 386,7
c) Estime Y para X = 60 e X = 120:
60 → 𝑌̅ = −1,87 x 60 + 386,78 = 𝟐𝟕𝟒,𝟓𝟖
120 → 𝑌̅= −1,87 x 120 + 386,78 = 𝟏𝟔𝟐,𝟑𝟖
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