Lógica de Predicados
Conteúdo
Correção Exercícios
Negando quantificadores agrupados (Rosen 57)
Tradução Lógica - Português (Rosen 55)
Tradução Português – Lógica(Rosen 56)
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
a) Todos amam Jerry
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
a) Todos amam Jerry
y
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
a) Todos amam Jerry
y
x L(x,Jerry)
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
b) Todas as pessoas amam alguém
?????
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
b) Todas as pessoas amam alguém
x y L(x,y)
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
c) Há alguém que é amado por todos
??????
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
c) Há alguém que é amado por todos
y x L(x,y)
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
i) Todos amam a si próprio
????
Exercícios – Rosen (59)
9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama
y”, em que o domínio para x e y são todas as
pessoas do mundo. Use quantificadores para
expressar cada proposição abaixo.
i) Todos amam a si próprio
x L(x,x)
Exercícios – Rosen (59)
11) Considere S(x) como o predicado “x é um
estudante”, F(x) o predicado “x é um membro
da faculdade” e A(x,y) o predicado “x fez uma
pergunta a y”, em que o domínio são todas
pessoas associadas a sua escola. Use
quantificadores para expressar cada
proposição a seguir.
a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels
Exercícios – Rosen (59)
11) S(x) = “x é um estudante”
F(x) = “x é um membro da faculdade”
A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”
Domínio {todas pessoas da sua escola}
a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels
A(x,y)
Quem é?
Exercícios – Rosen (59)
11) S(x) = “x é um estudante”
F(x) = “x é um membro da faculdade”
A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”
Domínio {todas pessoas da sua escola}
a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels
A(Lois,professor Michaels)
Exercícios – Rosen (59)
11) S(x) = “x é um estudante”
F(x) = “x é um membro da faculdade”
A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”
Domínio {todas pessoas da sua escola}
a) Todo estudante fez uma pergunta ao
professor Gross
A(x,y)
Quem é?
Exercícios – Rosen (59)
11) S(x) = “x é um estudante”
F(x) = “x é um membro da faculdade”
A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”
Domínio {todas pessoas da sua escola}
a) Todo estudante fez uma pergunta ao
professor Gross
A(x,professor Gross)
Quem é?
Exercícios – Rosen (59)
11) S(x) = “x é um estudante”
F(x) = “x é um membro da faculdade”
A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”
Domínio {todas pessoas da sua escola}
a) Todo estudante fez uma pergunta ao
professor Gross
A(x,professor Gross)
Teremos que restringir o domínio...
Exercícios – Rosen (59)
11) S(x) = “x é um estudante”
F(x) = “x é um membro da faculdade”
A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”
Domínio {todas pessoas da sua escola}
a) Todo estudante fez uma pergunta ao
professor Gross
x(S(x)
A(x,professor Gross))
Universal = Condicional!!!!
Exercícios – Rosen (61)
26) Considere Q(x,y) como a proposição “x+y =
x-y”. Se o domínio das duas variáveis forem
todos os números inteiros, quais são os
valores verdade?
a) Q(1,1) = ???
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
b) Q(2,0) = ????
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
b) Q(2,0) = Verdade
c) yQ(1,y) = ?????
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
b) Q(2,0) = Verdade
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = ????
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
b) Q(2,0) = Verdade
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = Falso
e) x yQ(x,y) = ????
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
b) Q(2,0) = Verdade
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = Falso
e) x yQ(x,y) = Verdade, letra b)
f ) x yQ(x,y) = ????
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
b) Q(2,0) = Verdade
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = Falso
e) x yQ(x,y) = Verdade, letra b)
f ) x yQ(x,y) = Verdade. Qual?
g) y xQ(x,y) = ????
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
h) y xQ(x,y) = ???
b) Q(2,0) = Verdade
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = Falso
e) x yQ(x,y) = Verdade, letra b)
f ) x yQ(x,y) = Verdade. Qual?
g) y xQ(x,y) = Verdade. Qual?
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
h) y xQ(x,y) = F
b) Q(2,0) = Verdade
i) x yQ(x,y) = ???
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = Falso
e) x yQ(x,y) = Verdade, letra b)
f ) x yQ(x,y) = Verdade. Qual?
g) y xQ(x,y) = Verdade. Qual?
Exercícios – Rosen (61)
26) Q(x,y) = “x+y = x-y”
Domínio = Z
a) Q(1,1) = Falso
h) y xQ(x,y) = F
b) Q(2,0) = Verdade
i) x yQ(x,y) = F
c) yQ(1,y) = Falso
d) xQ(x,2) = Falso
e) x yQ(x,y) = Verdade, letra b)
f ) x yQ(x,y) = Verdade. Qual?
g) y xQ(x,y) = Verdade. Qual?
Negando Quantificadores
Agrupados
Sentenças que envolvem quantificadores
agrupados podem ser negados por
aplicações sucessivas das regras de
negação de sentenças com um único
quantificador.
Quais eram as regras?
Negando Quantificadores
Agrupados
Sentenças que envolvem quantificadores
agrupados podem ser negados por
aplicações sucessivas das regras de
negação de sentenças com um único
quantificador.
~ x P(x)
~ x P(x)
x ~P(x)
x ~P(x)
Negando Quantificadores
Agrupados
Sentenças que envolvem quantificadores
agrupados podem ser negados por
aplicações sucessivas das regras de
negação de sentenças com um único
quantificador.
~ x y (xy=1)
Negando Quantificadores
Agrupados
Sentenças que envolvem quantificadores
agrupados podem ser negados por
aplicações sucessivas das regras de
negação de sentenças com um único
quantificador.
~ x y (xy=1)
x~ y (xy=1)
Negando Quantificadores
Agrupados
Sentenças que envolvem quantificadores
agrupados podem ser negados por
aplicações sucessivas das regras de
negação de sentenças com um único
quantificador.
~ x y (xy=1)
x~ y (xy=1)
x y ~(xy=1)
Negando Quantificadores
Agrupados
Sentenças que envolvem quantificadores
agrupados podem ser negados por
aplicações sucessivas das regras de
negação de sentenças com um único
quantificador.
~ x y (xy=1)
x~ y (xy=1)
x y ~(xy=1)
x y (xy 1)
Verdade?
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
Vamos construir primeiro a afirmação!!!!
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
Quais predicados teremos que usar???
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
Qual o conectivo???
P(w,f) ???? Q(f,a)
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
Qual o quantificador de w???
(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
Qual o quantificador de a???
w(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
Qual o quantificador de f???
w a(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Existe uma mulher que já tenha tomado um
avião em todas as linhas aéreas do mundo”
w a f(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
Negando!!!!!
~ w a f(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
De Morgan!!!!!
~ w a f(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
De Morgan Novamente!!!!!
w~ a f(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
De Morgan Mais Uma Vez!!!!!
w a ~ f(P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
Eita De Morgan!!!!!
w a f~ (P(w,f) ^ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“Não existe uma mulher que já tenha tomado
um avião em todas as linhas aéreas do
mundo”
No Português!!!!!
w a f (~ P(w,f) v ~ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Exemplo:
P(w,f) = “w tomou o avião f”
Q(f,a) = “f é um avião da linha a”
Domínio = {todas as mulheres}
“ Para toda mulher existe uma linha aérea tal
que, para todos os aviões, essa mulher não
tomou esse avião ou esse avião não é dessa
linha aérea”
w a f (~ P(w,f) v ~ Q(f,a))
Negando Quantificadores
Agrupados
Traduzindo para o português
É complicado!!!!
Traduzindo para o português
1o. Passo:
Escrever por extenso o que os quantificadores e
predicados da expressão significam.
Traduzindo para o português
Exemplo:
C(x) = “x tem um computador”
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio(x,y)= {estudantes da sua escola}
x(C(x) v y(C(y) ^F(x,y)))
Traduzindo para o português
Exemplo:
C(x) = “x tem um computador”
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio(x,y)= {estudantes da sua escola}
x(C(x) v y(C(y) ^F(x,y)))
1o. Passo: Escrever por extenso o
que os quantificadores e predicados
da expressão significam.
Traduzindo para o português
Exemplo:
C(x) = “x tem um computador”
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio(x,y)= {estudantes da sua escola}
x(C(x) v y(C(y) ^F(x,y)))
Para todo estudante x da sua classe, x tem um
computador ou existe um estudante y tal que y tem um
computador e x e y são amigos!!!
Traduzindo para o português
2o. Passo:
Expressar esse significado em uma sentença o
mais simples possível
Para todo estudante x da sua classe, x tem um
computador ou existe um estudante y tal que y tem um
computador e x e y são amigos!!!
Todo estudante da sua classe tem um computador ou
tem um amigo que tem uma computador!!!
Traduzindo para o português
Podemos continuar???
Exercício
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio (x,y,z) = “estudantes da sua escola”
x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y
z))
~(F(y,z)))
Traduzir para o português!!!!
Exercício
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio (x,y,z) = “estudantes da sua escola”
x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y
z))
~(F(y,z)))
Se os estudantes x e y são amigos e os
estudantes x e z são amigos e, ainda mais,
se y e z não são o mesmo estudante, então y
e z não são amigos.
Exercício
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio (x,y,z) = “estudantes da sua
escola”
x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y
z))
Entenderam?!
~(F(y,z)))
Se os estudantes x e y são amigos e os
estudantes x e z são amigos e, ainda
mais, se y e z não são o mesmo
estudante, então y e z não são amigos.
Exercício
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio (x,y,z) = “estudantes da sua escola”
x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y
z))
~(F(y,z)))
Com os quantificadores!!!
Existe um estudante tal que para todo
estudante y e para todo estudante z diferente
de y, se x e y são amigos e x e z são amigos
então y e z não são amigos.
Exercício
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio (x,y,z) = “estudantes da sua escola”
x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y
z))
~(F(y,z)))
Simplificando!!!
Existe um estudante tal que nenhum par de
amigos seus é também amigos entre si.
Exercício
F(x,y) = “x e y são amigos”
Domínio (x,y,z) = “estudantes da sua escola”
x y z ((F(x,y)^F(x,z)^(y
z))
~(F(y,z)))
Simplificando!!!
Existe um estudante tal que nenhum par de
amigos seus é também amigos entre si.
!!! Meus amigos não são amigos uns dos
outros!!!
Perguntas?!!
Exercícios para a mente.
Rosen pg 58
1
Rosen pg 59
9 d)
9 e)
9 f)
Rosen pg 61
30