DIDATIKA
vestibulares
Nome: ___________________________________________________________
Sala: _____
Nota: _____
Um terno de números naturais e diferentes de zero (x; y; z) é denominado pitagórico se tais números satisfazem a
igualdade x2 + y2 = z2. Exemplos de ternos pitagóricos são (3; 4; 5), (5; 12; 13) etc. Perceba que um terno pitagórico,
como (3; 4; 5), gera infinitos outros da forma (3n; 4n; 5n) onde n = 2, 3, 4... Esses infinitos ternos são contados como
um só, e representados por (3; 4; 5), chamado terno reduzido. Embora existam infinitos ternos pitagóricos reduzidos,
existe como encontrá-los sem que seja necessário ficar testando números aleatórios. O teorema enunciado a seguir
permite que se calculem quantos desses ternos quisermos.
Sejam p e q dois números inteiros que satisfazem as seguintes condições:
1)p>q>0
2 ) p e q são primos entre si
3 ) p e q não são ambos ímpares.
Então as expressões
x = p2 – q2
y = 2 . pq
z = p2 + q2
fornecerão ternos pitagóricos (x; y; z) reduzidos.
a) A partir desse teorema, encontre dois ternos pitagóricos reduzidos, distintos dos ternos (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13)
e (17 ; 144 ; 145) . (1,5 ponto)
b) Obtenha p e q nas condições do teorema, tais que seja possível obter o terno (17 ; 144 ; 145). (1,5 ponto)
c) Prove que para x = p2 - q2, y = 2 pq e z = p2 + q2, tem-se x2 + y2 = z2 para todo p e q. (2,0 pontos)
COMENTÁRIO:
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Um terno de números naturais e diferentes de zero (x; y; z) é denominado pitagórico se tais números satisfazem a
igualdade x2 + y2 = z2. Exemplos de ternos pitagóricos são (3; 4; 5), (5; 12; 13) etc. Perceba que um terno pitagórico,
como (3; 4; 5), gera infinitos outros da forma (3n; 4n; 5n) onde n = 2, 3, 4... Esses infinitos ternos são contados como
um só, e representados por (3; 4; 5), chamado terno reduzido. Embora existam infinitos ternos pitagóricos reduzidos,
existe como encontrá-los sem que seja necessário ficar testando números aleatórios. O teorema enunciado a seguir
permite que se calculem quantos desses ternos quisermos.
Sejam p e q dois números inteiros que satisfazem as seguintes condições:
1)p>q>0
2 ) p e q são primos entre si
3 ) p e q não são ambos ímpares.
Então as expressões
x = p2 – q2
y = 2 . pq
z = p2 + q2
fornecerão ternos pitagóricos (x; y; z) reduzidos.
a) A partir desse teorema, encontre dois ternos pitagóricos reduzidos, distintos dos ternos (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13)
e (17 ; 144 ; 145) . (1,5 ponto)
b) Obtenha p e q nas condições do teorema, tais que seja possível obter o terno (17 ; 144 ; 145). (1,5 ponto)
c) Prove que para x = p2 - q2, y = 2 pq e z = p2 + q2, tem-se x2 + y2 = z2 para todo p e q. (2,0 pontos)
Resolução Esperada
a)
Por exemplo, para p = 5 e q = 2, obtemos o terno (21; 20; 29) e para p = 7 e q = 2, obtemos o terno (28; 45; 53).
b)
Se p e q não são ambos ímpares, p2 e q2 também não são. Assim, p2 + q2 e p2 - q2 são necessariamente
ímpares, com p2 + q2 > p2 – q2. Então, p2 + q2 = 145 e p2 - q2 = 17.
Somando as duas equações, temos 2p2 = 162 ⇒ p2 = 81 ∴ p = 9. Assim, 92 - q2 = 17 ⇒ q2 = 64 ∴ q = 8.
c)
Para provar que x2 + y2 = z2, podemos desenvolver o primeiro membro e provar que ele é idêntico ao segundo
membro
x2 + y2 = (p2 - q2)2 + (2 pq)2
x2 + y2 = p4 - 2 p2q2 + q4 + 4 p2q2
x2 + y2 = p4 – 2 p2q2 + q4
x2 + y2 = (p2 + q2)2
∴ x2 + y 2 = z2
COMENTÁRIO:
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