REVISÃO MATEMÁTICA ITA/IME – 2012
100 QUESTÕES
Professor: Eurico Dias ([email protected])
Obs: A distribuição dos tópicos abordados nas 100 questões
segue aproximadamente a porcentagem média de cobrança
desses assuntos nas últimas provas do ITA.
6) (ITA-74) Seja AB  CD no quadrilátero ABCD, mostrado
na figura abaixo. Então podemos garantir que:
sen  sen 

a)
sen  sen 
B
b)  = 

c) tg  . tg  . tg  . tg 
2
d) BC  AD . AB
e) N.D.R.A.
A
I - Geometria Plana
1) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros.
Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao
lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as
relações 3a = 7c e 3b = 8c.
a) 30 b) 60º c) 45º d) 120 e) 135º
2) Um triângulo ABC está inscrito num círculo de raio 2 3 .
Sejam a, b e c os lados opostos aos ângulos A, B e C
respectivamente. Sabendo que a = 2 3 e (A,B,C) é uma
progressão aritmética, podemos afirmar que:
(a) c = 4 3
e A = 30º
(b) c = 3 3
e A = 30º
(c) b = 6
e C = 85º
(d) b= 3 e C = 90º
(e) n.d.a
3) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2
cm . Sejam  e , respectivamente , os ângulos opostos aos
2
segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm ) igual a
2
a) 2sen  cotg  + sen 2
2
b) 2sen  tg - sen 2
2
c) 2cos  cotg  + sen 2
2
d) 2cos  tg  + sen 2
2
e) 2sen  tg  - cos 2

7) (ITA-75) Os lados de dois octógonos regulares têm,
respectivamente, 5 cm e 12 cm. O comprimento do lado de
um terceiro octógono regular, de área igual à soma das
áreas dos outros dois, é:
a) 17 cm
c) 14 cm
e) N.D.R.A.
b) 15 cm
d) 13 cm
8) (ITA-75) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em
uma circunferência. Sabe-se que
ˆ  2C
ˆ, B
ˆ . sen C
ˆ  - 9 . Neste
ˆ D
ˆ e tg B
ˆ . tg D
ˆ  sen A
A
4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
caso, os valores de A, B, C, D são, respectivamente.
a) 150°, 45°, 75°, 30°
d) 120°, 120°, 60°, 60°
b) 90°, 120°, 45°, 60°
e) N.D.R.A.
c) 120°, 150°, 60°, 30°
9) O lado do pentágono regular inscrito numa circunferência
de raio R =
a) 5
e)
10  2 5 vale:
5
b)
2
d)
5 5 5
10
10) Sejam A, B e C os comprimentos dos lados de um
triângulo, e a, b e c os valores dos ângulos opostos. Se é
dado que
5) Um triângulo abc com |ac| = B, |ab| = C e |bc| = A
1  1 
3
satisfaz
. O ângulo em b mede:
AB BC ABC
o
o
o
o
a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) nda
C
D
c) 5 - 5
4) Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha
que os vértices de (P) determinam 2n triângulos, cujos lados
não são lados de (P). O valor de n é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 20
e) não existe um polígono regular com esta propriedade.


BC CA AB


, qual das relações
11
12
13
abaixo é verdadeira?
sina sinb sinc


10
12
14
sina sinb sinc


b)
12
14
10
sina sinb sinc


c)
10
14
12
a)
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sina sinb sinc


14
12
10
sina sinb sinc


e)
14
10
12
2
2
2
2
b) a + b + c + d é igual a
d)
13
;
5
c) a, b, c, d não são reais;
1
1
1
1
d)
+
+
+
é a soma das raízes;
bcd
acd
abd
abc
e) N.D.R.A.
11) (IME-72) Sejam “n” circunferências de raio R, tangentes
entre si duas a duas e tendo seus centros sobre os vértices
de um polígono regular. Calcule a área exterior às
circunferências e compreendida entre elas, em função de R
e n.



R 2 n.tg  cot 
n
n

(n  1)
2
b) R .tg
2
 (n  2) 
2

c) R n. cot 
n
2




2
d) R sen  cos 
n
n



2
e) R  tg  cos 
n
 n
a)
16) (ITA-74) Seja M 
3
1
a

1

1
, onde a, b, c, são as
b
c2
2
3 x + 54 = 0. Então podemos
2
2
raízes da equação x afirmar que:
a) log3M é um número irracional.
b) log3M é um número primo.
5
c) log3M = .
3
5
d) log3M =  .
2
e) N.D.R.A.
3
17) Calcular os valores de m, de modo que a equação x +
2
mx + 11x +m = 0 admita as raízes ,  e , as quais verificam
2
2
2
a relação  +  +  = 14.
a) -6 e 6 b) -2 e 4 c) 2 e 5 d) 3 e 5 e) nda
18) (ITA-76) Determine os valores de a e b, tais que os
3
2
3
polinômios x – 2ax + (3a + b)x – 3b e x – (a + 2b)x + 2a
sejam divisíveis por x + 1.
a) a = 0 b = - 3 b) a = 3 b = - 4
c) a = 4 b = - 2 d) a = 5 b = - 1
e) a = 1 b = - 7
II - Polinômios
12) O resto da divisão do polinômio P(x) = x
2
polinômio D(x) = x – x é igual a
a) 0 b) 1 c) – x d) x e) 2x
100
pelo
2
2
13) Considere todas as parábolas y = ax + bx + c (a, b e c
4
3
reais) que encontram o gráfico da função f(x) = 2x + 7x + 3x
– 5 em quatro pontos distintos, digamos (x1, y1), (x2, y2), (x3,
y3), (x4, y4). Determine o valor de x1 + x2 + x3 + x4.
a) – 7/2 b) (a – 7)/2 c) a + b + c d) 9
e) impossível de calcular pois depende de a, b e c
14) Sejam a, b, c e d as raízes (nos complexos) do polinômio
4
2
x + 6x + 4x + 2. Encontre um polinômio P(x), do quarto
2
2 2
2
grau, que tenha como raízes a , b , c e d .
4
3
2
a) x + 12x + 40x + 8x + 4
4
3
2
b) x + 12x + 20x + 4x + 4
4
3
2
c) x + 16x + 16x + 10x + 4
4
2
d) x + 40x + 4x + 4
4
2
e) x + 36x + 16x + 4
4
3
15) (ITA-75) Sendo a, b, c, d as raízes da equação 2x – 7x +
2
9x – 7x + 2 = 0, podemos afirmar que:
a) a, b, c, d são reais positivas;
19) Um polinômio P(x), dividido por x + 1 e x + 4 dá restos 0
e x + 1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P(x)
2
por (x + 2)(x + 4)?
2
2
a) x /4 + 2x + 5
b) x /8 + x + 3/2
2
2
c) x + 5x/8 + 7
d) x /16 + 7x/4 + 1
e) NDA
20) Se a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um
triângulo retângulo, então o que podemos afirmar sobre as
2 2
2
2
raízes da equação a x – b x – c = 0.
a) são iguais
b) uma é igual a – 1 é a outra está entre 0 e 1.
c) uma é igual a 1 e a outra está entre 0 e 2.
d) uma é igual a 1 e a outra está entre – 1 e 0.
e) são dois números racionais
21) Seja P(x) um polinômio de grau n  1, com coeficientes
2
reais. Sabendo que P(3 + i ) = 2 – 4i, onde i = –1, calcule P(3
– i ).
a) 2 – 4i b) 4 + 2i c) 4 – 2i d) 2 + 4i e) 0
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III - Geometria Espacial
22) (ITA-67) Cortando-se uma pirâmide regular de altura h,
com um plano paralelo à base, resulta uma segunda
pirâmide. Se a razão entre as áreas das superfícies laterais
das pirâmides (menor/maior) for r, a que distância do
vértice deve passar o plano?
r
e) hr
h
23) (ITA-71) Cortando-se um determinado prisma triangular,
o
reto, por um plano  que forma um ângulo de 45 com o
plano da base ABC observamos que a reta r, interseção de 
com o plano da base, dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de C.
2
Se a área da base for 21 cm , o volume do tronco de prisma
compreendido entre a base ABC e o plano  será:
3
3
3
a) 105 cm
b) 294 cm c) 98 cm
3
3
d) 98 2 cm e) 98 cm
2
2
a) h r
b) h r
c) r h
d)
24) (ITA-72) Seja B' C' a projeção do diâmetro BC de um
círculo de raio r sobre a reta tangente t por um ponto M
deste círculo. Seja 2k a razão da área total do tronco do
cone gerado pela rotação do trapézio BCC’B’ ao redor da
reta tangente t e a área do círculo dado. Qual é o valor de k
para que a medida do segmento MB' seja igual a metade
do raio r?
a)
3
b)
3/2
c) 2
d) 1/2
e) 4
25) (ITA-73) Um octaedro regular está inscrito num cubo,
que está inscrito numa esfera, e que está inscrita num
tetraedro regular. Se o comprimento da aresta do tetraedro
é 1, qual é o comprimento da aresta do octaedro?
a)
2
27
3
b)
4
c) 2
4
d) 1/6
e) 1/12
26) Um poliedro convexo tem exatamente 6 vértices e
exatamente 12 arestas.
Considere as afirmativas:
I – O número de faces é igual a 8;
II – O número de faces quadrangulares é igual ao número
de faces triangulares;
III – Todas as faces do poliedro são triangulares;
IV – Todas as faces do poliedro são quadrangulares;
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é correta.
b) Somente as afirmativas I e II são corretas.
c) Somente as afirmativas I e III são corretas.
d) Somente as afirmativas I e IV são corretas.
e) Todas as afirmativas estão erradas.
27) (ITA-75) Consideremos uma esfera de raio r = 1 cm e um
ponto P fora desta esfera. Sabemos que a distância deste
ponto P à superfície da esfera mede 2 cm. Qual é a razão K
entre a área da superfície da esfera e a da calota visível do
ponto P?
a) K = 1 b) K = 2 c) K = 3 d) K = 5/2 e) N.D.R.A.
28) (ITA-75) As medidas dos catetos de um triângulo
retângulo são (sen x) cm e (cos x) cm. Um estudante
calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste
triângulo em torno da hipotenusa, e obteve como resultado
3
 cm . Considerando este resultado como certo, podemos
afirmar que:


a) x 
c) x  e) N.D.R.A.
6
4


b) x 
d) x 
3
5
29) (ITA-77) O ângulo da geratriz com o eixo de um cone de
revolução mede 30°. Se S é a área de sua secção reta a uma
distância h do vértice, qual a relação entre S e h?
h 2
2
2 2
d) S =
h
3
a) S =
b) S =
3 2
h
2
c) S =
h 2
3
e) n.d.a.
30) (ITA-75) As dimensões de um paralelepípedo retângulo
2
3
são proporcionais aos números loget, loget e loget e a área
2
total é 792 cm . Sabendo-se que a soma das dimensões vale
12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores
destas dimensões?
a) 6; 12 e 18
c) 2; 3 e 4
e) N.D.R.A.
b) 5; 10 e 15
d) 2; 4 e 8
IV - Geometria Analítica
31) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos
pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
x 2  y 2

40
det
4

 34
y 1

2 6 1
 288 .
2 0 1

5 3 1
x
a) Uma elipse. b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
32) (ITA-78) Seja o triângulo de vértices A: (1,2); B: (2, 4) e C:
(4, 1), no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A
distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo
ao lado AC, é:
a)
9 10
70
b)
9
70
c) 8 10
d) 3 3
e) n.d.a.
33) Seja S o conjunto de todos os pontos no plano xy cuja
d
distância d1 a (0, 0) e a distância d2 a (1, 0) satisfaz 1  4 .
d2
Qual é a máxima distância possível entre dois pontos de S?
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a) 8/15
b) 13/45
c) 4/25
d) 4/75
e) 3/35
2
2
34) (IME 92/93 Militares) Dada a cônica x + 2y + 3x – 3y – 3
= 0, determine a área do triângulo formado pelo centro da
cônica e dois de seus vértices.
a)
51 2
32
b)
51 2
16
c)
102
2
d)
51
2
e)
102
5
35) (ITA-77) No sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, uma das retas tangentes à circunferência de
2
2
equação x + y + 2x + 4y – 20 = 0, passando pelo ponto P0 (–
2, 5) tem equação:
a) 3x – y + 1 = 0 b) x + y – 3 = 0 c) x + 3y – 13 = 0
d) 4x – 3y + 23 = 0 e) 3x + 4y + 10 = 0
36) (ITA-74) A reta que passa pela interseção das
2
2
2
2
circunferências x + y = 1 e (x – 1) + (y – 1) = 2, é tal que:
a) tem equação 3x/5 – 3y/4 + 1/4 = 0
b) não passa pela origem
c) passa pela origem
d) não é perpendicular e reta que passa pelos centros das
circunferências.
e) nda
37) (ITA-74) A reta que passa pelas intersecções das
2
2
2
2
circunferências x + y = 1 e (x – 1) + (y – 1) = 2, é tal que:
3
2
1
a) tem equação x - y   0 .
5
3
4
b) não passa pela origem.
c) passa pela origem.
d) não é perpendicular a reta que passa pelos centros das
circunferências.
e) N.D.R.A.
38) (ITA-75) Seja S o conjunto das soluções do sistema de
desigualdades: 2x + y – 3 > 0
x – 2y + 1 < 0
y–3<0
x + my – 5 < 0, onde m é real.
A representação geométrica de S, em coordenadas
cartesianas ortogonais (x, y), é:
a) um quadrilátero para qualquer m > 0.
b) um triângulo isósceles para qualquer m < 0.
5
c) um triângulo retângulo para m < 0 ou
< m < 4.
3
5
d) S é o conjunto vazio para m > .
3
e) N.D.R.A.
39) (ITA-75) Considere a circunferência C que passa a pelos
pontos (0, 0), (2, 0), e (0, 2) em um sistema de coordenadas
cartesianos ortogonais. Uma das retas tangentes a esta
circunferência, que passa pelo ponto (3, 5), tem por
equação:
a) x + y – 3 = 0;
b) 7x – y + 8 = 0;
c) x – y + 2 = 0;
d) 6x – y – 16 = 0;
e) N.D.R.A.
V - Trigonometria
40) O conjunto de soluções da equação sen 2x = cos x
pertencentes ao intervalo [0, 2] é:
a) {arc tg (0,5)}
b) {arc tg (0,5),  + arc tg (0,5)}
c) {/6, 5/6}
d) {/6, /2, 5/6, 3/2}
e) { }
5
41) (ITA-75) Admitindo-se que o polinômio P(y) = y – (tg
2 3
2
2
u) y + (tg u) y + sec u – tg u é divisível pelo polinômio Q(y)
π
2
2
= y + cotg u – cosec u, onde
 u  π , podemos
2
assegurar que:
a) tg u é um número irracional negativo;
b) cossec u = - sec u;
2
c) u =
;
3
d) tg u é um numero tal que – 1 < tg u < 0;
e) N.D.R.A.
42) (ITA-75) Sabendo-se que sen x 
m-n
,n 0 e m0,
mn
 π x
podemos afirmar que tg  -  é igual a:
 4 2
a) 
n
m
b) 
m
n
c)  ( 1 -
n
)
m
n
m
d) 
e) N.D.R.A.
43) (ITA-77) Considere um triângulo ABC cujos ângulos
internos  , B̂ e Ĉ verificam a relação sen  = tg
B̂  Ĉ
.
2
Então podemos afirmar que:
a) Com os dados do problema, não podemos determinar Â
nem B̂ e nem Ĉ .
b) Um desses ânulos é reto.

5
c) Â = e B̂ + Ĉ =
6
6


5
d) Â = , B̂ =
e Ĉ =
6
6
12
e) n.d.a.
44) A menor solução positiva da equação
2
sen 9x + sen 5x + 2 sen x = 1 é:
a)

4
b)
3
84
c)

42
d)

84
e)
45) O conjunto das soluções da inequação
4
3
2
cos x - 4 cos x + 6 cos x - 4 cosx + 1 < 0 é:
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
294
a) 
d) {k | k  Z}
b) 
c) {2k | k  Z}
e) {(2k + 1) | k  Z}
46) (IME-72) Determine os valores de x que satisfazem a
equação:
arcsen( x 3)  arcsen 2x  arcsen x .
a) x = 0
b) x =  1
c) x = 0, x =  1
d) x = 0, x =  3
e) x = 0; x =  1/2
a) Nenhum valor de x real é solução.
b) Se x < 3 então x é solução.
c) Se x > 7/2 então x é solução.
d) Se x > 4 então x é solução.
e) Se 3 < x < 4 então x é solução.
52) (ESPCEX-93) Sejam os conjuntos A = {x  / x  1/2}, B =
{x  / x  – 1} e as funções f de A em – definidas por f(x)
2
= 2x – 1; g de – em +, definida por g(x) = x e h de + em
B, definida por h(x) = 4x – 1. Pode-se, então, afirmar que a
função inversa de ho(gof) é definida por:
a)
2  x 1
4
b) 16x – 16x + 3
c)
2  x 1
4
d)
VI - Funções / Equações
47) Seja uma função f real definida para todo x real tal que: f
é ímpar; f(x + y) = f(x) + f(Y); e f(x)  0, se x 0. Definindo g(x)
=
f (x) - f (1)
, se x  0, e sendo n um número natural,
x
podemos afirmar que:
a) f é não – decrescente e g é uma função ímpar.
b) f é não – decrescente e g é uma função par.
c) g é uma função par e 0  g(n)  f(1).
d) g é uma função ímpar e 0  g(n)  f(1).
e) f é não – decrescente e 0  g(n)  f(1).
2

2  x 1
4
1
 F( x ) , onde a é um número
 a 1 2 
53) Seja G ( x )  
1
x
real positivo diferentes de 1 e F(x) é uma função ímpar. Qual
das alternativas abaixo é verdadeira?
a) G(x) é uma função ímpar.
b) G(x) é uma função par.
c) G(x) não é uma função par e nem ímpar.
d) G(x) pode ser uma função par ou ímpar dependendo do
valor de a.
2
48) Dada a função real definida por f(x) = x , considere a
função real g definida por g(x) = f(x+m) + k, sendo m e k  IR.
É INCORRETO afirmar que:
a) o gráfico da função g em relação ao gráfico da função f é
deslocado k unidades para cima, se k > 0, e m unidades para
a direita, se m < 0.
b) a equação do eixo de simetria da parábola que representa
g é dada por x – m
c) se m = 0 e k = 1, então o conjunto imagem de g é dado por
Im = {y  IR | y  1}
d) se m = -2 e k = -3, então as coordenadas do vértice da
parábola que representa g são (-m,k)
x 2  ax  2
 2 se e só se:
49) Para todo x real,  3  2
x  x 1
a) -3 < a < 2
d) -1 < a < 7
b) -1 < a < 2
e) -6 < a < 2
c) -6 < a < 7
50) (ESPCEX-96) Seja a função f: RR, definida por
–1
f(x) = 2x + |x + 1| – |2x – 4|. O valor de f (30) é:
a) 6.
b) 20.
c) 25.
d) 35. e) 10.
51) (ITA-85) Considere as seguintes função: f(x) = x – 7/2 e
2
g(x) = x – 1/4 definidas para todo x real. Então, a respeito
da solução da inequação |(gof)(x)| > (gof)(x), podemos
afirmar que:
54) Considere a função F: NN definida por
 n / 3 se n é um múltiplo de 3
F(n )  
caso contrário
2n  1
Para quantos inteiros positivos k vale a equação F(F(k)) = k?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
55) Se f(x) = ax – c satisfaz – 4  f(1)  – 1 e
– 1  f(2)  5, então:
a) 7  f(3)  26 b) – 1  f(3)  20 c) – 4  f(3)  15
d) – 28/3  f(3)  35/3 e) 8/3  f(3)  13/3
2
56) (ITA-77) Supondo a < b, onde a e b são constantes reais,
considere a função H(x) = a + (b – a)x definida no intervalo
fechado (0, 1). Podemos assegurar que:
a) H não é uma função injetora
b) Dado qualquer y < b, sempre existe um x em (0, 1)
satisfazendo H( x ) = y
c) Para cada y , com a < y < b, corresponde um único real
x , com 0 < x < 1, tal que H ( x ) = y .
d) Não existe uma função real G, definida no intervalo
fechado (a, b), satisfazendo a relação G(H(x)) = x para cada x
em (0, 1).
e) n.d.a.
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57) (ITA-78) Seja f (x) uma função real de variável real. Se
para todo x no domínio de f temos f (x) = f (-x), dizemos que
a função é par; se, no entanto, temos f (x) = -f (-x), dizemos
que a função é impar. Com respeito á função g (x) = loge [
sen x + 1  sen 2 x ], podemos afirmar que:
a) está definida apenas para x  0;
b) é uma função que não é par nem impar.
c) é uma função par.
d) é uma função impar.
e) n.d.a.
A soma das opções corretas é igual a
a) 6 b) 5 c) 3 d)2
63) (ITA-74) A equação xn – 1 = 0, onde n é um número
natural maior do que 5, tem:
a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas
quando n é par.
b) 1 raiz positiva, (n – 1) raízes não reais quando n é par.
c) 1 raiz negativa, (n – 1) raízes complexas quando n é impar.
d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n - 2) raízes complexas
quando n é um número natural qualquer.
e) N.D.R.A.
2
58) Se f(x) satisfaz 2.f(x) + f(1 – x) = x para todo x, então
f(x) =
2
2
2
a) (x – 3x + 1)/2
b) (x + 8x – 3)/9 c) (4x + 3x – 2)/6
2
2
d) (x + 2x – 1)/3
e) (x + 9x – 4)/9
64) (ITA-78) O lugar geométrico, no plano complexo,
representado pela equação z z - z 0 z - z 0 z  k  0 , onde k é
um número real positivo e z 02  k, é:
2
59) Suponha que o gráfico de y = ax + bx + c é dado pela
figura abaixo. Então entre as expressões:
ab, ac, b, a + b + c, a – b + c
quantas são positivas?
a) uma hipérbole com centro z0.
b) uma elipse com um dos focos em z 0.
c) uma circunferência com centro em z0.
d) uma parábola com vértice em z0.
e) n.d.a.
65. Para i   1, os valores reais de a e b tais que
ai i
 3  bi são, respectivamente:
i 3 i 26
1
a) 0 e 3 2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
b) – 4 e 1 c) 3 2 e 0
d) 3 2 e 2
e) NRA
z o conjugado do número
complexo z . A equação z = z :
e) 5
66) Representemos por
3
60) Seja f uma função real tal que: f(2) = 3 e
f(a + b) = f(a) + f(b) + ab, para todo a e b. Calcule f(11).
Resp: 66
61. Quantas pares ordenados (x,y) , x e y sendo números
inteiros, são soluções da inequação : x  y  100 ?
a)19801
b) 19802
c) 19803
d) 19804
e) 19805
VII - Complexos
62) Considere o número complexo z tal que z  z = 2 – i,
onde i =  1 e identifique entre as opções abaixo, as que
são corretas.
(01)
(02)
(04)
O afixo de z é ponto do 1º quadrante.
3

z  
4

1002
é real positivo.
a) possui uma única raiz.
b) possui exatamente quatro raízes.
c) tem o produto das suas raízes igual a 1.
d) tem o produto das suas raízes igual a -1.
e) tem a soma das suas raízes igual a 0 .
67) No conjunto dos números complexos seja  tal que 
< 1. O lugar geométrico dos pontos z  C que satisfazem a
z
igualdade:
 1 é:
1  z
a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1.
b) Uma hipérbole.
c) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 2.
d) Uma parábola.
e) Formado por duas retas concorrentes.
Observação: A notação  é usada para denotar o
conjugado complexo de  .
n
1

O menor inteiro positivo n para o qual  z   é
4

real negativo pertence ao intervalo ]2, 5[
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VIII - Combinatória
n
68) Considere que   significa a combinação de n
p
 n 
 
elementos tomados p a p. Assim,   2   é idêntico a:
 2 


 n  1
n
n
n
 n  1
 e) 3

a)   b) 2  c) 3   d) 2
 3 
2
3 
4
 4 
69) (ITA-77) Se colocarmos em ordem crescente todos os
números de 5 algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7,
a posição do número 61473 é:
a) 76º b) 78º c) 80º d) 82º e) 84º
70) Uma escola oferece 5 diferentes classes de línguas, 4
diferentes classes de ciências e 3 diferentes classes de
matemática. De quantas maneiras é possível escolher 2
classes, não ambas do mesmo assunto?
a) 64 b) 50 c) 21 d) 36 e) 47
71. Um novo tipo de cadeado com dez botões está sendo
comercializado, onde para abri-lo devemos pressionar – em
qualquer ordem – os cinco botões corretos. O exemplo
abaixo mostra um cadeado com a combinação 1,2,3,6,9 .
1
2
3
6
9
IX - Matemática Básica
74. A classificação dos tipos sangüíneos é feita de acordo
com presença dos antígenos A, B e Rh. Segundo a escrita
biomédica, a presença de A e B é simbolizada por AB, a
ausência de A e B é simbolizada por O; a presença de Rh por
+
Rh e a ausência de Rh por Rh. Em um grupo de 100
pacientes de um hospital verificou-se 6 pacientes tem
sangue (O, Rh); 45 pacientes são portadores de somente
um dos antígenos no sangue, sendo 6 portadores do
antígeno A e 36 do antígeno Rh; 10 pacientes são
portadores dos 3 antígenos; 83 pacientes são portadores do
antígeno Rh sendo que destes, nenhum é portador do
antígeno A sem ser do antígeno B, Se x e y representam o
+
número de pacientes cujos tipos sangüíneos são (B, Rh ) e
(AB, Rh) respectivamente então x + y é igual a :
a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42
75. Alice em mais uma de suas viagens, encontra-se à frente
de 3 portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz
a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma
linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na
outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontrase uma inscrição:
Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está
na porta 2.”
Porta 2: ”Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro:
mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontrase um feroz dragão.”
Porta 3: “podes entrar sem medo pois atrás dessa porta não
há dragão algum .”
Supondo que novos cadeados sejam criados de modo que
suas combinações incluam desde um até nove botões
pressionados, o número de combinações adicionais que isto
perm ite é :
a) 710
b) 730
c) 750
d) 770
e) 790
Alertada por seu amigo Shrek de que uma e somente uma
dessas inscrições é falsa (sendo as outras duas verdadeiras),
Alice conclui então, corretamente, que atrás das portas 1, 2
e 3 encontram-se, respectivamente :
a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa.
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão.
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão.
d) A linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro.
e) O feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro.
72) Reduzidos os termos semelhantes, quantos termos
17
existem no desenvolvimento de (a + b + c + d + e) ?
a) C21, 5 b) C17, 5 c) C12, 5 d) 2.C21, 5 e) 2.C17, 5
76. Um casal tem filhas e filhos. Cada filho tem um numero
de irmãos igual ao numero de irmãs.
Cada filha tem um numero de irmãos igual ao dobro do
numero de irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) NRA
73 - O conjunto A possui n elementos.
a) Determine o número de relações que podem ser
construídas em A.
b) Determine o número de relações reflexivas.
c) Determine o número de relações simétricas.
d) Determine o número de relações anti-simétricas.
e) Determine o número de relações reflexivas e simétricas.
f) Determine o número de relações reflexivas e antisimétricas.
77. Quantos números de 1 a 1000 possuem números impar
de divisores?
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
78. Para todo conjunto S, seja S o número de elementos
de S, e seja n(S) o número de subconjuntos de S. Se A, B, C
são conjuntos tais que :
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nA  nB  nC  nA  B  C e A  B  100
então, o valor mínimopossível para A  B  C é igual a :
a) 96
b) 97
c) 98
d) 99
e) 100
 1 m

 uma matriz quadrada 2 x 2 , onde m é
0 1
uma número inteiro qualquer. Se P = (a ij) é uma matriz
n
n-1
n-2
definida por
P = X + X + X + ... + X , onde n é um
inteiro positivo (n  1), então podemos afirmar que:
79. (EN) Se
 12
7,5
 2 x  3 y  3x  4 z  1

 30
37

3

 3x  4 z 5 y  9 z
 222
8

5

5
y

9
z
2
x

3y

Determine x+y+z:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
n(n  1)
2
n(n  1)
b) um elemento aij da matriz P é igual a m.
2
m(m -1)
c) um elemento aij da matriz P é igual a n.
2
a) um elemento aij da matriz P é igual a
m.
d) P é uma matriz cujos elementos são todos inteiros se, e
somente se, m é par.
e) nda
X - Matrizes
80) Considere as seguintes informações sobre matrizes reais
quadradas de ordem n :
I- Se as matrizes, não singulares, A e B são ortogonais , então
A.B é ortogonal.
-1
II- A inversa da matriz C = .A é .A .
-1
III- Se a matriz A é ortogonal, então A é ortogonal.
3
3
2
2
3
IV- (A - B) = A - 3A B + 3AB + B
Então:
a) Todas as afirmações são corretas.
b) Apenas a afirmação I é correta.
c) Apenas a afirmação II é falsa.
d) Apenas a afirmação III é correta.
e) Apenas as afirmações I e III são corretas.
81) Dadas as afirmações:
 2 - 3 - 5
1 0



1997
I- Se A =  -1 4
5  , então A =  0 1
 1 - 3 - 4
 0 0
cos - sen 
II- A matriz A = 
 é ortogonal.
sen cos 
 -1 -1 -1 


1997
III- Se B =  0 1 0 , então B
=B
 0 0 1
82) Seja X =
0

0 .
1
IV- Uma matriz T é involuntória se, e somente se, (I - A) . (I +
A) = 0.
V- Duas matrizes comutam se, e somente se, são quadradas
e de mesma ordem.
Pode-se afirmar que o número de afirmações corretas é:
a) 1
b) 2
c) 3 d) 4 e) 5
83) (IME-75/76) Considere as matrizes A e B, apresentadas
abaixo:
0 0 c 
16 0 10


A  0 b 0 , B   0 25 0  . Os elementos a, b e
a 0 0
 6 0 16
c, da matriz A, são números positivos. Determine a matriz A
1
2
sabendo que A + 2A + I = B. Considere que I é a matriz
identidade de ordem 3.
0 1 / 5
 0

a) 0 1 / 4
0 

1 / 3 0
0 
0
0 
1 / 3

c) 0
 1 / 6 0 

 0
0
1 / 5
e) Não existe A
–
0 1 / 3
 0


b) 0 1 / 4 0


1 / 5 0
0 
0
0 
1 / 3

d) 0
 1 / 6 0 

 0
0
1 / 5
–1
84) (IME-81/82) Seja Mn(R) o conjunto das matrizes
quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Defini-se a
função : Mn(R) x Mn(R)  Mn(R) por
(A, B) = AB – BA. Calcule o valor de
((A, B), C) + ((B, C), A) + ((C, A), B) :
a) 0
b) 2BCA – 2BAC
c) ABC – ACB + BCA – BAC + CAB – CBA
d) 4CAB + 4BAC
e) 6ACB – 6BCA
XI - Sequências
85) (IME-71) Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao
solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe
até a metade da altura de que caiu. Calcular o comprimento
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total percorrido pela bola em suas trajetórias, até atingir o
repouso.
y
D
E
a) h
b) 2h
c) 3h
d) 7h/3
e) 3h/2
86) (IME-72) Achar o valor da soma dos termos da série
abaixo. (O valor absoluto de a é menor que 1):
a 2a 3a 4a



 ...
a a2 a3 a4
a) a + 1
b) (a – 1)/a
c) a – 1
d) a/(a – 1)
2
e) [a/(a – 1)]
k
– 1/2, e a progressão geométrica a1, a2, a3, ..., an de razão q >
i–1
0, ai = q .det A, i = 1, 2, 3, ..., n.
1
k
3  e a soma dos 16 primeiros
 2  1


1
3
termos dessa progressão geométrica é igual a 
,
3 6
Se a3 = det B, com B   3
podemos dizer que k é:
–8
a) k = 1 – 3
b) k é um número negativo
–8
c) k = 1 + 3
d) k  0
e) k = 1
88.
(IME-80/81)
Mostre
que
o
4444
......
48888
......
8 9 é um quadrado perfeito.




C
x
número
(n1) vezes
progressão aritmética de 1º termo b1 
91) (ITA-71) Determinando-se a condição sobre t para que a
x
x
equação 4 – (log t + 3)2 – log t = 0 admita duas raízes
reais e distintas, obtemos:
–3
–1
a) e  t  1 b) t  0 c) e < t < 1
2
d) 3 < t < e
e) N.r.a
92) (ITA-78) A soma de todos os valores de x que satisfazem
à identidade abaixo: 9
a) 0
b) 1
1
e último termo
a1
1
a
. Calcule 5 em função de a1 e a10.
a10
b6
XII - Logaritmos
90) A curva abaixo representa o gráfico da função f definida
por
Se B e C têm coordenadas
f ( x)  loga x.
respectivamente iguais a (2,0) e (8,0), e se a área do trapézio
BCDE é igual a 6, então, pode-se dizer que a área do
triângulo ABE é
c) 2
x
1
2
4

1 x
3
d) 3
 1 , é:
e) n.d.a.
93) O conjunto - solução da equação
 5
 
 2
89. (IME-78/79) Seja uma progressão aritmética de 1º termo
a1  0 e último termo a10, tal que a1  a10  0 . Seja a
b10 
B
a) um número irracional
b) um número primo
c) um número quadrado perfeito
d) uma dízima periódica
1 k 
87) (ITA-78) Sejam a matriz A  
 , k é real,
2  1
n vezes
A
0
4x
x
3  5
5
    é:
4  4
8
 5
5
5 1
 b){1} c)  ,  d) 1,  e) nda
4 
4 2
 2 
a) 
XIII - Determinantes
94) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B
t
t
são inversíveis e ABCA = A , onde A é a transposta da matriz
A. Então podemos afirmar que:
-1
a) C é inversível e det C = det(AB) ;
b) C não é inversível pois det C = 0;
c) C é inversível e det C = det B;
2
d) C é inversível e det C = (det A) . Det B;
det A
e) C é inversível e det C =
.
det B
95) Seja  um número real, I a matriz identidade de ordem 2
e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos a ij são
definidos por: aij = i + j . Sobre a equação em  definida por
det (A - I) = det A -  , qual das afirmações abaixo é
verdadeira ?
a) Apresenta apenas raízes negativas.
b) Apresenta apenas raízes inteiras.
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1 a a 


96) Seja a matriz A  a 1 a , onde a  . Considere


a a 1
b) se k1 + k2 + k3  0, então o sistema só admite solução
trivial.
2
c) o sistema admite solução não trivial se e somente se k 1 +
2
2
k2 + k3 = 0.
d) se k1  0, k2  0 e k3  0, então o sistema só admite
solução trivial.
e) o sistema admite solução não trivial para quaisquer
valores reais de k1, k2 e k3.
que 1, 2 e 3 são as três raízes da equação det (A – I) = 0,
sendo I a matriz identidade de ordem 3. Determine um valor
2
2
2
de a de modo que 1 + 2 + 3 = 27.
a) a = – 1 b) a = 0 c) a = 1 d) a = 2 e) a = 3
XV – Probabilidade
c) Uma raiz é nula e a outra negativa.
d) As raízes são 0 e 5/2.
e) Todo  real satisfaz esta equação.
XIV - Sistemas Lineares
97) Analise as proposições abaixo, classificando-as em
VERDADEIRA(S) ou FALSA(S).
x  y  0

I) o sistema linear  x  z  0 é indeterminado para m= -1 e
 y  mz  0

2
2
2
100) Dentro de uma caixa há nove etiquetas. Cada etiqueta
recebe um número de 01 a 09, sem repetir nenhum. Retirase três delas, uma a uma, sem reposição. A probabilidade de
que os três números correspondentes às etiquetas retiradas
sejam, nesta ordem, ÍMPAR – PAR – ÍMPAR ou PAR – ÍMPAR
– PAR é de
1
5
20
5
a)
b)
c)
d)
28
81
36
18
uma de suas soluções é a terna ordenada (-1, 1, 1)
(m  1) x  7 y  10
seja possível deve4 x  (m  2) y  0
II) Para que o sistema 
se ter m = -5, somente.
III)
Na
equação
matricial
y  2  1  1  3 0
x 1
a soma x+y+z é igual
.

 z
x  y  z  0 1   2 5

a3
Tem-se a seqüência correta:
a) V, V, F b) F, V, F c) V, F, V
d) F, F, V
98) (ITA-78) Examinando o sistema abaixo
5x  4y  2z  0

 x  8y  2z  0 podemos concluir que:
2x  y  z  0

a) o sistema é determinado
b) o sistema é indeterminado com 2 incógnitas arbitrárias
c) o sistema é indeterminado com 1 (uma) incógnita
arbitrária
d) o sistema é impossível
e) n.d.a.
99) (ITA-77) Seja:
(k 1  k 2 ) x  (k 2  k 3 ) y  (k 1  k 3 )z  0

(k 2  k 1 ) x  (k 2  k 3 ) y  (k 3  k 1 )z  0
(k  k ) x  (k  k ) y  (k  k )z  0
2
3
2
3
1
 1
um sistema homogêneo de equações lineares reais em x, y e
z. Com respeito ao sistema acima podemos afirmar:
a) se k1   k2, k1   k3 e k2   k3 então o sistema só
admite solução trivial.
10 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m
GABARITO
a5
b6
90) C
94) A
98) C
89)
1) B
2) A
3) A
4) B
5) C
6) A
7) D
8) D
9) C
10) D
11) C
12) D
13) A
14) A
15) D
16) D
17) A
18) B
19) E
20) D
21) D
22) B
23) C
24) C
25) D
26) C
27) C
28) E
29) C
30) A
31) C
32) A
33) A
34) A
35) D
36) B
37) B
38) C
39) D
40) B
41) D
42) B
43) C
44) C
45) C
46) E
47) E
48) B
49) B
50) C
51) E
52) A
54) C
55) B
56) C
57) D
58) D
59) B
60) 66 61) A
62) B
63) A
64) C
65) B
66) E
67) A
68) E
69) A
70) E
71) C
 a1 . a10 .
91) E
95) B
99) D
92) B 93) B
96) D 97) C
100) B
Júlio Sousa
Email: [email protected]
53) B
72) A
73)
b) 2 n2  n
a) 2 n 2
e) 2
n2  n
2
f) 3
C) 2
n2  n
2
n2  n
2
n2  n
2
74) B
75) E
76) C 77) D
78) B
79) E
80) E
82) A
83) B
84) A 85) C
86) E
87) B

d) 2 n * 3
81) C
 
2
88) Número = 2 . 10n  1 / 3 .
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