Associação de Resistores e Resistência Equivalente
1. Introdução
A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da resistência
equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se numa série
de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que compõem
determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução de circuitos e será
brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de determinação da resistência
equivalente.
2. Resistência Equivalente da Associação em Série
Neste caso, todos os resistores são
percorridos pela mesma corrente,
sendo que o terminal final do
primeiro é conectado ao início do
segundo e assim por diante,
conforme mostra a Figura 1. O
resistor equivalente é o resistor que
quando conectado aos terminais a-b
possui as mesmas características
elétricas que a associação série dos
resistores 1 a n, sendo n o número
total de resistores em série.
Portanto, para a tensão v aplicada
aos terminais a-b, a corrente no
resistor equivalente será a mesma
da
associação
série
dos
n
resistores.
A determinação da resistência
equivalente é baseada nas LKT e na
LKC, conforme segue.
Considerando a Figura 1, obtém-se
pela LKC:
i = i1 = i2 = i3 = i4 = L = in
a
+
+
R1
- +
i
R2
i
- +
R3
i
- +
R4
-
+
i
Rn
-
i
v
_
b
Re
a
+
i
v
_
b
Figura 1 - Resistência equivalente da associação série de
resistores
(1)
Pela LKT obtém-se:
v = v1 + v2 + v3 + v4 + L + vn
(2)
onde,
vk = tensão no resistor k
ik = corrente no resistor k
Utilizando a Lei de Ohm, a última equação pode ser escrita como:
v = R1 ⋅ i1 + R2 ⋅ i2 + R3 ⋅ i3 + R4 ⋅ i4 + L + Rn ⋅ in
(3)
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v = R1 ⋅ i + R2 ⋅ i + R3 ⋅ i + R4 ⋅ i + L + Rn ⋅ i
(4)
v = (R1 + R2 + R3 + R4 + L + Rn ) ⋅ i
(5)
Por outro lado, para o resistor equivalente existe a seguinte relação:
v = Re ⋅ i
(6)
Comparando-se as duas últimas equações obtém-se para a resistência equivalente dos n
resistores em série, a partir dos terminais a-b, a seguinte expressão:
Re = (R1 + R2 + R3 + R4 + L + Rn )
(7)
A partir da resistência equivalente, pode-se também determinar a condutância equivalente Ge :
Ge =
Ge =
1
1
=
Re (R1 + R2 + R3 + R4 + L + Rn )
(8)
1
 1
1
1
1
1


+
+
+
+L+
G5 
 G1 G2 G3 G4
(9)
Na última equação Gk é a condutância do resistor k.
3. Resistência Equivalente da Associação em Paralelo
A resistência equivalente da associação paralela de resistores é obtida de forma análoga ao
caso anterior. Neste caso, todos os resistores possuem a mesma tensão, sendo que todos
estão conectados aos mesmos terminais a-b. Utilizando-se a LKT e LKC para a associação
paralela mostrada na Figura 2, obtêm-se as seguintes relações:
a
+
+
i
v
i1
G1
_
b
Ge =
a
+
+
+
i2
G2
_
G3
i3
_
+
+
i4
G4
_
1
Re
i
v
_
b
Figura 2 - Resistência equivalente da associação paralela de resistores
Gn
_
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v = v1 = v2 = v3 = v4 = L = vn
(10)
i = i1 + i2 + i3 + i4 + L + in
(11)
Utilizando a Lei de Ohm, a última equação pode ser escrita da forma seguinte, onde Gk é a
condutância do resistor k:
i = G1 ⋅ v1 + G2 ⋅ v2 + G3 ⋅ v3 + G4 ⋅ v4 + L + Gn ⋅ vn
(12)
i = G1 ⋅ v + G2 ⋅ v + G3 ⋅ v + G4 ⋅ v + L + Gn ⋅ v
(13)
i = (G1 + G2 + G3 + G4 + L + Gn ) ⋅ v
(14)
Por outro lado, para a condutância equivalente vale a seguinte relação:
(15)
i = Ge ⋅v
Comparando-se as duas últimas equações, obtém-se condutância equivalente da associação
paralela de n resistores a partir dos terminais a-b:
Ge = (G1 + G2 + G3 + G4 + L + Gn )
(16)
Pode-se também expressar a resistência equivalente a partir da expressão da condutância
equivalente:
Re =
Re =
1
1
=
Ge (G1 + G2 + G3 + G4 + L + Gn )
1
 1
1
1
1
1
 +

+
+
+L+
Rn 
 R1 R2 R3 R4
(17)
(18)
4. Resistência Equivalente da Associação Mista
No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que estão
conectadas em paralelo devem-se aplicar sucessivamente as equações (7) e (17)-(18) até que
se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a seguir ilustra este
procedimento.
Considere o circuito da Figura 3 onde se deseja calcular a resistência equivalente a partir dos
terminais a-b. Pela Figura 3, os resistores R4 e R5 estão em série podendo-se determinar a
resistência equivalente R A para esta parte do circuito utilizando a equação (7) (vide Figura
3a):
R A = R4 + R5
(19)
O circuito possuirá agora a forma mostrada na Figura 3b, onde observa-se que os resistores
R A e R3 estão em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a equação (18), resultando
para a resistência RB :
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a)
R4
R2
a
R3
R1
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R5
b
R2
a
b)
RA
R3
R1
b
R2
a
c)
R1
RB
R1
RC
b
a
d)
b
a
e)
RD
b
Figura 3 - Resistência equivalente da associação mista de resistores
RB =
1
1
1
+
R A R3
=
R A ⋅ R3
R A + R3
(20)
Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na Figura 3c. Os resistores RB e
R2 estão agora em série e a resistência equivalente RC correspondente a estes dois é dada
pela equação (7):
RC = RB + R2
(21)
O circuito assume agora a forma mostrada na Figura 3d, onde os resistores RC e R1 estão em
paralelo e podem ser associados pelo equação (18) resultando na resistência equivalente do
circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominada de RD :
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RD =
1
1
1
+
R C R1
=
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R C ⋅ R1
R C + R1
(22)
Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois terminais
específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência equivalente
diferente. Não existe, portanto, o conceito de resistência equivalente do circuito ou
resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de dois terminais do
circuito.
5. Resistência Equivalente de Circuitos contendo Fontes
Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou parte
dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes
independentes ou controladas, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par
de terminais. Deve-se contudo, diferenciar dois casos típicos que são abordados na
seqüência.
5.1 Circuito contendo somente Fontes Independentes
R2
a
a)
R3
E
I
R1
b
R2
a
b)
R3
R1
b
Figura 4 - Resistência equivalente da associação mista de resistores contendo fontes independentes.
Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes
independentes do circuito. As fontes de tensão serão substituídas por terminais em curtocircuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a resistência
equivalente para o circuito mostrado na Figura 4a, será obtida a partir do circuito mostrado na
Figura 4b, onde as fontes foram anuladas.
5.2 Circuito contendo Fontes Independentes e Fontes Controladas
Neste caso deve-se, como no caso anterior, anular as fontes independentes e, contudo,
manter as fontes controladas no circuito, uma vez que estas dependem de tensões e
correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte de
tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida
determinar-se a corrente na mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão
aplicada e a corrente. Alternativamente, pode-se também aplicar uma fonte de corrente e
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3
2
a
+
a)
Vx
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+
- 5 ⋅ Vx
4
12 volts
b
a
i
b) 1 V
3
2
+
Vx
-
4
+
- 5 ⋅ Vx
b
a
0.3333
c) 1 V
3
b
Figura 5 - Resistência equivalente da associação mista de resistores contendo fontes independentes e fontes
controladas.
determinar a tensão nos terminais a-b. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer,
devendo-se optar por um valor que simplifique o cálculo (1 volt ou 1 A, por exemplo). Este
procedimento baseia-se no fato que a resistência equivalente expressa a relação entre a
tensão e a corrente nos terminais considerados. Desta forma, este procedimento é geral e
pode ser aplicado também para o caso do circuito conter apenas resistores. O exemplo a
seguir ilustra o procedimento delineado.
Considere o circuito mostrado na Figura 5 para o qual deseja-se determinar a resistência
equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Figura 5a e o circuito
utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Figura 5b. Neste caso foi
aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1 volt. Utilizando-se as técnicas de análise de
circuitos estudadas anteriormente, obtém-se uma corrente na fonte de 1/3 A. Desta forma, a
resistência equivalente será :
Re =
Vf
i
(23)
Re =
1
=3Ω
1
3
(24)
6. Exercícios Recomendados
A seguir é apresentada uma lista de exercícios selecionados da bibliografia aconselhada para a
disciplina. Aconselha-se que para uma melhor assimilação que todos os exercícios sejam
resolvidos.
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Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos.
Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 2. Problemas: 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.39,
2.40, 2.41, 2.42, 2.46, 2.47, 2.48.
David Irwin (2003). Análise básica de circuitos para engenharia. LTC Editora.
621.3192 I65a (Central 17, Edição 2000), Capítulo 3. Problemas: 3.3, 3.4, 3.7, 3.48, 3.49,
3.55, 3.56,3.57