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3
+
4
6
bh/4
3
bh/4
-
4
6
bh/2
bh/4
bh/4
bh/2
+
1
5
2
-
bh/4
1
5
2
Empenamento
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Mestrado Acadêmico
Faculdade de Engenharia – FEN/UERJ
Professor: Luciano Rodrigues Ornelas de Lima
2
Introdução
ƒ Empenamento ocorre quando seções não-circulares
são submetidas à torção
ƒ Para seções I, na consideração da torção, introduziuse
Iy
2
Iw = C w = (d − t f )
4
ƒ Agora, considera-se o empenamento em uma seção
qualquer
1
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3
Deformações de Empenamento
ƒ seção aberta
ƒ linha média da seção c/
centróide C(0,0), centro
de cisalhamento S(x0,y0)
e um ponto qualquer
Q(x,y)
ƒ em Q → tangente
distante ρ de C e ρ0 de
S → deslocamentos +
ƒ distância a entre Q e S
u, v e φ
4
Deformações de Empenamento
ƒ elemento (faixa) dz
ƒ ρ0 e a → distâncias
tangencial e direta entre
SeQ
ƒ A distância tangencial é
positiva → um
observador em Q olhar
na direção + da
tangente tem S à
esquerda
2
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5
Deformações de Empenamento
ƒ o elemento em Q é ds.dz
ƒ A torção do elemento em
torno de S → ABCD
desloca-se p/ AB’C’D’
ƒ no comprimento dz a
torção vale dφ
ƒ o deslocamento de D →
direção + de z vale dw
ƒ mesmo deslocamento de
B’ → A
6
Deformações de Empenamento
ƒ deformação por
empenamento → distorção
no plano
ƒ dφ + → dw –
ƒ distância C’C = a.dφ
3
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7
Deformações de Empenamento
ƒ duas vistas →
projeções
ortogonais
9no plano xy
olhando p/ baixo
9no plano s-z
ƒ no plano xy →
seção original sem
empenamento →
uma linha
8
Deformações de Empenamento
ƒ no plano s-z →
seção original
aparece como um
retângulo
ƒ as configurações
após o
empenamento
aparecem
pontilhadas
4
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9
Deformações de Empenamento
ƒ nessas projeções →
desprezando-se
efeitos de 2a ordem
ƒ retângulo no plano s-z
deforma-se segundo
um ângulo
a.sinβ.dφ/dz
ƒ dw = -a.sinβ.dφ/dz.ds
mas a.sinβ = ρ0 e dw
= - ρ0.dφ/dz.ds
ƒ dφ/dz → independe
da seç
seção
10
Deformações de Empenamento
ƒ Então, se dw = - ρ0.dφ/dz.ds
s
dφ
w = ∫ dw = − ∫ ρ0 ds + c
dz 0
s
dφ
ou w = w 0 −
ρ0 ds
dz ∫0
onde w = deformação por empenamento de qualquer
ponto ao longo da linha média a uma distância S de O
w0 = deformação por empenamento no ponto O
5
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11
Deformações de Empenamento
ƒ Definindo-se o dobro da área setorial ou
empenamento unitário em relação S
s
ω0 = ∫ ρ 0 ds
Ä
w = w0 −
0
dφ
ω0 = w 0 − φ'.ω0
dz
s
1
ω
A = ∫ ρ0 ds = 0 ⇒ ω0 = 2A
20
2
ƒ assume-se que não há restrição ao
empenamento → não se desenvolvem
deformaçãoes e tensões axiais
12
Torção Não-Uniforme
ƒ Se as deformações por empenamento dadas por w
são restringidas, tensões longitudinais (normais)
desenvolvem-se σw = E.εw e
εw =
dw
= w ' = w '0 −φ".ω0
dz
σ w = E.w '0 −E.ω0 .φ"
(ω0 = f(s) e não de z)
ƒ tensões cisalhantes → zero
na face livre p/ o empenamento
tensões cisalhantes
6
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13
Torção Não-Uniforme
s
s
s
0
0
0
τ w t.dz + ∫ t (σ w + dσ w ) ds − ∫ tσ w ds = 0∴ τ w t.dz = − ∫ t
dσ w
ds
dz
14
Torção Não-Uniforme
ƒ Como somente momento torsor é aplicado →
P = Mx = My =0
E
E
(
)
P = 0 = ∫ σ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" t ds
0
E
0
E
(
)
(
)
M x = 0 = ∫ yσ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" y.t ds
0
0
E
E
0
0
M y = 0 = ∫ xσ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" x.t ds
7
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15
Torção Não-Uniforme
ƒ Mas w0 e w’0 não são funções de s
E
E
(
)
P = 0 = ∫ σ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" t ds
0
0
E
φ"
0 = w ∫ t ds − φ" ∫ ω0 t ds ou w = ∫ ω0 t ds
A 0
0
0
E
E
'
0
'
0
ƒ E substituindo-se na equação de σw
⎡1 E
⎤
σ w = E.w '0 −E.ω0 .φ" ⇒ σ w = Eφ" ⎢ ∫ ω0 t ds − ω0 ⎥
⎣A 0
⎦
ƒ E definindo-se o empenamento normalizado ωn
16
Torção Não-Uniforme
ƒ E definindo-se o empenamento normalizado ωn →
propriedade da seção transversal relacionada com as
tensões normais de empenamento da seção S a O
em relação a
origem
E
}
1
ωn = ∫ ω0 t ds − ω0
A0
{
ao longo de toda a seção
⎡1 E
⎤
σ w = Eφ" ⎢ ∫ ω0 t ds − ω0 ⎥ = Eφ" ωn
⎣A 0
⎦
8
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17
Torção Não-Uniforme
ƒ Lembrando do fluxo de cisalhamento τt
s
τw t = −∫ t
0
}
dσ w
ds
dz
σ w = Eφ" ωn
s
⇒ τ w t = − ∫ t Eφ" ' ωnds
0
ƒ na figura ao lado onde o fluxo cisalhante
em Q = τt, o momento torsor total é
⎛s
⎞
M w = ∫ τ w t ρ 0 ds ⇒ M w = −Eφ" ' ∫ ρ0 ⎜⎜ ∫ ωn t ds ⎟⎟ ds
0
0
⎝0
⎠
E
E
18
Torção Não-Uniforme
⎛s
⎞
M w = ∫ τ w t ρ 0 ds ⇒ M w = −Eφ" ' ∫ ρ0 ⎜⎜ ∫ ωn t ds ⎟⎟ ds
0
0
⎝0
⎠
E
E
ƒ Integrando-se por partes
∫ u dv = u.v − ∫ v du
s
com u = ∫ ωn t ds
e dv = ρ 0 ds
0
s
du = ωn t ds e v = ∫ ρ0 ds = ω0
0
ƒ Fornecendo
⎛ E
M w = Eφ" ' ⎜⎜ ω0 0
⎝
⎞
ω
−
ω
ω
t
ds
t
ds
∫0 n
∫0 0 n ⎟⎟⎠
E
E
9
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19
Torção Não-Uniforme
E
1
ƒ Mas ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 e
A0
⎛1E
⎞
ƒ Logo ∫ ωn t ds = ∫ ⎜⎜ ∫ ω0 t ds − ω0 ⎟⎟t.ds
A0
0
0⎝
⎠
{
E
E
constante
E
E
E
E
1
∴ ∫ ωn t ds = ∫ ω0 t ds ∫ t ds − ∫ ω0 t ds
A0
0
0
0
{
A
E
E
0
0
= ∫ ω0 t ds − ∫ ω0 t ds = 0
20
Torção Não-Uniforme
ƒ Na equação de Mw → sobra apenas o segundo termo
⎛ E
M w = Eφ" ' ⎜⎜ ω0 0
⎝
⎞
⎟
ω
−
ω
ω
t
ds
t
ds
n
0
n
∫0
∫0
⎟
⎠
E
E
zero
ƒ E na equação do empenamento normalizado
E
E
1
1
ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 ⇒ ω0 = ∫ ω0 t ds − ωn
A0
A0
E
E
E
E
1
ƒ Fornecendo ∫ ω0 ωn t ds = ∫ ω0 tds ∫ ωn tds − ∫ ωn2 tds
A0
0
0
0
10
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21
Torção Não-Uniforme
E
E
E
E
1
ω
ω
t
ds
=
ω0 tds ∫ ωn tds − ∫ ωn2 tds
0
n
∫0
∫
A0
0
0
zero
E
E
M w = −Eφ" ' ∫ ω0 ωn t ds ⇒ M w = −Eφ" ' ∫ ωn2 t ds
0
0
E
M w = −EIw φ" ' onde
Iw = ∫ ωn2 t ds
0
Momento de inércia de
empenamento (mm6)
ƒ Lembrando-se que
E
(
1
ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 mm2
A0
)
s
e ω0 = ∫ ρ 0 ds (mm2 )
0
22
Torção Não-Uniforme
ƒ Nota-se que da equação do momento devido ao
empenamento, se todos os ρ0 são zero, Mw=0
E
M w = ∫ τ w t ρ0 ds
0
ƒ Para seções transversais feitas de elementos de
placas planas que se encontram em um ponto tais
como cantoneiras, cruciformes e T’s → Mw=0
11
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23
Cálculo de Iw
ƒ Deve-se lembrar que ω0 e ωn são propriedades da
seção transversal dependentes de s
ƒ Propriedades de empenamento unitário
ƒ ρ0 constante p/ o elemento
Elemento ij
s
∴ ω0 = ρ0 ∫ ds
0
ƒ Com variação linear
24
Cálculo de Iw
ƒ Com variação linear
i= j
ω0 j = ∑ ρ 0ijL ij e ωnj =
i=0
1 ⎡ 1 i=n
(ω0i + ω0 j ) t ijL ij ⎤⎥ − ω0 j
∑
⎢
A ⎣ 2 i=0
⎦
ƒ E para cada elemento de s até o fim
ωn = ωni +
ωnj − ωni
L ij
.s
ƒ Portanto
2
⎡
ωnj − ωni ⎤
tds
ω
=
ω
+
⎢
∑0 ni L .s⎥ t ijds
∫
⎥⎦
⎢⎣
ij
2
n
L ij
12
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25
Cálculo de Iw
2
⎡
ωnj − ωni ⎤
2
tds
ω
=
ω
+
∫ n ∑0 ⎢⎢ ni L ij .s⎥⎥ t ijds
⎦
⎣
2
2
⎡
⎞
⎛
(
)
2
ω
ω
−
ω
L
ω
−
ω
L3ij ⎤
ni
nj
ni
ij
nj
ni
2
⎟ ⎥
= t ij ⎢ωniL ij +
+⎜
L ij
2 ⎜⎝ L ij ⎟⎠ 2 ⎥
⎢
⎣
⎦
L ij
⎡ 2
ωnj2 2
ω2 ⎤
2
= t ijL ij ⎢ωni + ωni ωnj − ωni +
− ωnjωni + ni ⎥
3 3
3 ⎦⎥
⎣⎢
=
t ijL ij
3
[ω
2
ni
+ ωnjωni + ω
2
nj
]
(
)
1 n 2
⇒ Iw = ∑ ωni + ωnjωni + ωnj2 t ijL ij
3 0
26
Exemplo
ƒ Considera-se um perfil I
representado através da linha
média da espessura
ƒ As extremidades de cada placa
são numeradas
ƒ A distância ao longo do elemento
és
ƒ ρ0ij é a distância perpendicular
do centro de cisalhamento até
cada elemento
ƒ ρ0 é positivo quando indo de i
para j o centro de cisalhamento
estiver à esquerda
b/2
b/2
3
4
6
h
1
5
2
1234
25
36
movimento
i para j
13
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27
ωn
Exemplo
1
[∑ (ω + ω )t L ]− ω
=
0i
0j
ij ij
b/2
ωn =
3
0i
2A
ƒ Assume-se ω01 = 0
ƒ 2A = 2 [2.t.b + w.h] onde t é a
espessura da mesa e w a
espessura da alma
⎡ 2
1
bh2 w ⎤
ωn =
⎢b ht +
⎥ − ω0 i
2[ 2tb + wh] ⎣
2 ⎦
b/2
4
6
h
1
5
2
bh [2bt + wh]
bh
− ω0 i = − ω 0 i
4 [2bt + wh]
4
movimento
i para j
1234
25
36
28
Exemplo
⎤
1⎡
Iw = ⎢∑ ωni2 + ωnjωni + ωnj2 t ijL ij ⎥
3⎣
⎦
(
b/2
)
b/2
3
4
6
2
1 ⎡⎛ bh ⎞ tb ⎤
b 3h2 t 2b 3 t 2 1
=
Iw = ⎢⎜ ⎟ ⎥.4 =
.h .
3 ⎢⎣⎝ 4 ⎠ 2 ⎥⎦
24
12
4
h2
I w = Iy .
4
h
1
5
2
1234
25
36
movimento
i para j
14
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29
Exemplo
ρ0
Ponto
ρ0Lij
Lij
1
ω0=Σ
tijLij
0
h/2
b/2
bh/4
bh/4
bh/4
2
tb/2
bh/4
bh/4
0
H
0
3
b/2
bh/4
bh/4
bh/2
bh/2
2
bh/4
bh/4
h/2
b/2
bh2w/2
0
3b2ht/8
-bh/4
0
bh/4
bh/4
tb/2
3b2ht/8
bh/2
bh/2
3
0
tb/2
4
5
b2ht/8
wh
bh/4
bh/4
h/2
bh/4
bh/4
-h/2
b/2
-bh/4
0
- bh/4
bh/4
6
ωn
(ω0j+ ω0i)tijLij
tb/2
b2ht/8
0
bh/4
30
Exemplo
3
+
4
bh/4
3
bh/4
6
-
4
6
bh/2
bh/4
bh/4
bh/2
+
1
5
2
Distribuição de ωn
-
bh/4
1
5
2
Distribuição de ω0
15