Prof. Luciano Lima - [email protected] 3 + 4 6 bh/4 3 bh/4 - 4 6 bh/2 bh/4 bh/4 bh/2 + 1 5 2 - bh/4 1 5 2 Empenamento Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Mestrado Acadêmico Faculdade de Engenharia – FEN/UERJ Professor: Luciano Rodrigues Ornelas de Lima 2 Introdução Empenamento ocorre quando seções não-circulares são submetidas à torção Para seções I, na consideração da torção, introduziuse Iy 2 Iw = C w = (d − t f ) 4 Agora, considera-se o empenamento em uma seção qualquer 1 Prof. Luciano Lima - [email protected] 3 Deformações de Empenamento seção aberta linha média da seção c/ centróide C(0,0), centro de cisalhamento S(x0,y0) e um ponto qualquer Q(x,y) em Q → tangente distante ρ de C e ρ0 de S → deslocamentos + distância a entre Q e S u, v e φ 4 Deformações de Empenamento elemento (faixa) dz ρ0 e a → distâncias tangencial e direta entre SeQ A distância tangencial é positiva → um observador em Q olhar na direção + da tangente tem S à esquerda 2 Prof. Luciano Lima - [email protected] 5 Deformações de Empenamento o elemento em Q é ds.dz A torção do elemento em torno de S → ABCD desloca-se p/ AB’C’D’ no comprimento dz a torção vale dφ o deslocamento de D → direção + de z vale dw mesmo deslocamento de B’ → A 6 Deformações de Empenamento deformação por empenamento → distorção no plano dφ + → dw – distância C’C = a.dφ 3 Prof. Luciano Lima - [email protected] 7 Deformações de Empenamento duas vistas → projeções ortogonais 9no plano xy olhando p/ baixo 9no plano s-z no plano xy → seção original sem empenamento → uma linha 8 Deformações de Empenamento no plano s-z → seção original aparece como um retângulo as configurações após o empenamento aparecem pontilhadas 4 Prof. Luciano Lima - [email protected] 9 Deformações de Empenamento nessas projeções → desprezando-se efeitos de 2a ordem retângulo no plano s-z deforma-se segundo um ângulo a.sinβ.dφ/dz dw = -a.sinβ.dφ/dz.ds mas a.sinβ = ρ0 e dw = - ρ0.dφ/dz.ds dφ/dz → independe da seç seção 10 Deformações de Empenamento Então, se dw = - ρ0.dφ/dz.ds s dφ w = ∫ dw = − ∫ ρ0 ds + c dz 0 s dφ ou w = w 0 − ρ0 ds dz ∫0 onde w = deformação por empenamento de qualquer ponto ao longo da linha média a uma distância S de O w0 = deformação por empenamento no ponto O 5 Prof. Luciano Lima - [email protected] 11 Deformações de Empenamento Definindo-se o dobro da área setorial ou empenamento unitário em relação S s ω0 = ∫ ρ 0 ds Ä w = w0 − 0 dφ ω0 = w 0 − φ'.ω0 dz s 1 ω A = ∫ ρ0 ds = 0 ⇒ ω0 = 2A 20 2 assume-se que não há restrição ao empenamento → não se desenvolvem deformaçãoes e tensões axiais 12 Torção Não-Uniforme Se as deformações por empenamento dadas por w são restringidas, tensões longitudinais (normais) desenvolvem-se σw = E.εw e εw = dw = w ' = w '0 −φ".ω0 dz σ w = E.w '0 −E.ω0 .φ" (ω0 = f(s) e não de z) tensões cisalhantes → zero na face livre p/ o empenamento tensões cisalhantes 6 Prof. Luciano Lima - [email protected] 13 Torção Não-Uniforme s s s 0 0 0 τ w t.dz + ∫ t (σ w + dσ w ) ds − ∫ tσ w ds = 0∴ τ w t.dz = − ∫ t dσ w ds dz 14 Torção Não-Uniforme Como somente momento torsor é aplicado → P = Mx = My =0 E E ( ) P = 0 = ∫ σ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" t ds 0 E 0 E ( ) ( ) M x = 0 = ∫ yσ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" y.t ds 0 0 E E 0 0 M y = 0 = ∫ xσ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" x.t ds 7 Prof. Luciano Lima - [email protected] 15 Torção Não-Uniforme Mas w0 e w’0 não são funções de s E E ( ) P = 0 = ∫ σ w t ds = E ∫ w '0 − ω0 φ" t ds 0 0 E φ" 0 = w ∫ t ds − φ" ∫ ω0 t ds ou w = ∫ ω0 t ds A 0 0 0 E E ' 0 ' 0 E substituindo-se na equação de σw ⎡1 E ⎤ σ w = E.w '0 −E.ω0 .φ" ⇒ σ w = Eφ" ⎢ ∫ ω0 t ds − ω0 ⎥ ⎣A 0 ⎦ E definindo-se o empenamento normalizado ωn 16 Torção Não-Uniforme E definindo-se o empenamento normalizado ωn → propriedade da seção transversal relacionada com as tensões normais de empenamento da seção S a O em relação a origem E } 1 ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 A0 { ao longo de toda a seção ⎡1 E ⎤ σ w = Eφ" ⎢ ∫ ω0 t ds − ω0 ⎥ = Eφ" ωn ⎣A 0 ⎦ 8 Prof. Luciano Lima - [email protected] 17 Torção Não-Uniforme Lembrando do fluxo de cisalhamento τt s τw t = −∫ t 0 } dσ w ds dz σ w = Eφ" ωn s ⇒ τ w t = − ∫ t Eφ" ' ωnds 0 na figura ao lado onde o fluxo cisalhante em Q = τt, o momento torsor total é ⎛s ⎞ M w = ∫ τ w t ρ 0 ds ⇒ M w = −Eφ" ' ∫ ρ0 ⎜⎜ ∫ ωn t ds ⎟⎟ ds 0 0 ⎝0 ⎠ E E 18 Torção Não-Uniforme ⎛s ⎞ M w = ∫ τ w t ρ 0 ds ⇒ M w = −Eφ" ' ∫ ρ0 ⎜⎜ ∫ ωn t ds ⎟⎟ ds 0 0 ⎝0 ⎠ E E Integrando-se por partes ∫ u dv = u.v − ∫ v du s com u = ∫ ωn t ds e dv = ρ 0 ds 0 s du = ωn t ds e v = ∫ ρ0 ds = ω0 0 Fornecendo ⎛ E M w = Eφ" ' ⎜⎜ ω0 0 ⎝ ⎞ ω − ω ω t ds t ds ∫0 n ∫0 0 n ⎟⎟⎠ E E 9 Prof. Luciano Lima - [email protected] 19 Torção Não-Uniforme E 1 Mas ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 e A0 ⎛1E ⎞ Logo ∫ ωn t ds = ∫ ⎜⎜ ∫ ω0 t ds − ω0 ⎟⎟t.ds A0 0 0⎝ ⎠ { E E constante E E E E 1 ∴ ∫ ωn t ds = ∫ ω0 t ds ∫ t ds − ∫ ω0 t ds A0 0 0 0 { A E E 0 0 = ∫ ω0 t ds − ∫ ω0 t ds = 0 20 Torção Não-Uniforme Na equação de Mw → sobra apenas o segundo termo ⎛ E M w = Eφ" ' ⎜⎜ ω0 0 ⎝ ⎞ ⎟ ω − ω ω t ds t ds n 0 n ∫0 ∫0 ⎟ ⎠ E E zero E na equação do empenamento normalizado E E 1 1 ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 ⇒ ω0 = ∫ ω0 t ds − ωn A0 A0 E E E E 1 Fornecendo ∫ ω0 ωn t ds = ∫ ω0 tds ∫ ωn tds − ∫ ωn2 tds A0 0 0 0 10 Prof. Luciano Lima - [email protected] 21 Torção Não-Uniforme E E E E 1 ω ω t ds = ω0 tds ∫ ωn tds − ∫ ωn2 tds 0 n ∫0 ∫ A0 0 0 zero E E M w = −Eφ" ' ∫ ω0 ωn t ds ⇒ M w = −Eφ" ' ∫ ωn2 t ds 0 0 E M w = −EIw φ" ' onde Iw = ∫ ωn2 t ds 0 Momento de inércia de empenamento (mm6) Lembrando-se que E ( 1 ωn = ∫ ω0 t ds − ω0 mm2 A0 ) s e ω0 = ∫ ρ 0 ds (mm2 ) 0 22 Torção Não-Uniforme Nota-se que da equação do momento devido ao empenamento, se todos os ρ0 são zero, Mw=0 E M w = ∫ τ w t ρ0 ds 0 Para seções transversais feitas de elementos de placas planas que se encontram em um ponto tais como cantoneiras, cruciformes e T’s → Mw=0 11 Prof. Luciano Lima - [email protected] 23 Cálculo de Iw Deve-se lembrar que ω0 e ωn são propriedades da seção transversal dependentes de s Propriedades de empenamento unitário ρ0 constante p/ o elemento Elemento ij s ∴ ω0 = ρ0 ∫ ds 0 Com variação linear 24 Cálculo de Iw Com variação linear i= j ω0 j = ∑ ρ 0ijL ij e ωnj = i=0 1 ⎡ 1 i=n (ω0i + ω0 j ) t ijL ij ⎤⎥ − ω0 j ∑ ⎢ A ⎣ 2 i=0 ⎦ E para cada elemento de s até o fim ωn = ωni + ωnj − ωni L ij .s Portanto 2 ⎡ ωnj − ωni ⎤ tds ω = ω + ⎢ ∑0 ni L .s⎥ t ijds ∫ ⎥⎦ ⎢⎣ ij 2 n L ij 12 Prof. Luciano Lima - [email protected] 25 Cálculo de Iw 2 ⎡ ωnj − ωni ⎤ 2 tds ω = ω + ∫ n ∑0 ⎢⎢ ni L ij .s⎥⎥ t ijds ⎦ ⎣ 2 2 ⎡ ⎞ ⎛ ( ) 2 ω ω − ω L ω − ω L3ij ⎤ ni nj ni ij nj ni 2 ⎟ ⎥ = t ij ⎢ωniL ij + +⎜ L ij 2 ⎜⎝ L ij ⎟⎠ 2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ L ij ⎡ 2 ωnj2 2 ω2 ⎤ 2 = t ijL ij ⎢ωni + ωni ωnj − ωni + − ωnjωni + ni ⎥ 3 3 3 ⎦⎥ ⎣⎢ = t ijL ij 3 [ω 2 ni + ωnjωni + ω 2 nj ] ( ) 1 n 2 ⇒ Iw = ∑ ωni + ωnjωni + ωnj2 t ijL ij 3 0 26 Exemplo Considera-se um perfil I representado através da linha média da espessura As extremidades de cada placa são numeradas A distância ao longo do elemento és ρ0ij é a distância perpendicular do centro de cisalhamento até cada elemento ρ0 é positivo quando indo de i para j o centro de cisalhamento estiver à esquerda b/2 b/2 3 4 6 h 1 5 2 1234 25 36 movimento i para j 13 Prof. Luciano Lima - [email protected] 27 ωn Exemplo 1 [∑ (ω + ω )t L ]− ω = 0i 0j ij ij b/2 ωn = 3 0i 2A Assume-se ω01 = 0 2A = 2 [2.t.b + w.h] onde t é a espessura da mesa e w a espessura da alma ⎡ 2 1 bh2 w ⎤ ωn = ⎢b ht + ⎥ − ω0 i 2[ 2tb + wh] ⎣ 2 ⎦ b/2 4 6 h 1 5 2 bh [2bt + wh] bh − ω0 i = − ω 0 i 4 [2bt + wh] 4 movimento i para j 1234 25 36 28 Exemplo ⎤ 1⎡ Iw = ⎢∑ ωni2 + ωnjωni + ωnj2 t ijL ij ⎥ 3⎣ ⎦ ( b/2 ) b/2 3 4 6 2 1 ⎡⎛ bh ⎞ tb ⎤ b 3h2 t 2b 3 t 2 1 = Iw = ⎢⎜ ⎟ ⎥.4 = .h . 3 ⎢⎣⎝ 4 ⎠ 2 ⎥⎦ 24 12 4 h2 I w = Iy . 4 h 1 5 2 1234 25 36 movimento i para j 14 Prof. Luciano Lima - [email protected] 29 Exemplo ρ0 Ponto ρ0Lij Lij 1 ω0=Σ tijLij 0 h/2 b/2 bh/4 bh/4 bh/4 2 tb/2 bh/4 bh/4 0 H 0 3 b/2 bh/4 bh/4 bh/2 bh/2 2 bh/4 bh/4 h/2 b/2 bh2w/2 0 3b2ht/8 -bh/4 0 bh/4 bh/4 tb/2 3b2ht/8 bh/2 bh/2 3 0 tb/2 4 5 b2ht/8 wh bh/4 bh/4 h/2 bh/4 bh/4 -h/2 b/2 -bh/4 0 - bh/4 bh/4 6 ωn (ω0j+ ω0i)tijLij tb/2 b2ht/8 0 bh/4 30 Exemplo 3 + 4 bh/4 3 bh/4 6 - 4 6 bh/2 bh/4 bh/4 bh/2 + 1 5 2 Distribuição de ωn - bh/4 1 5 2 Distribuição de ω0 15
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