AULA 2 Notação A Vector ^ Versor ~ e ~ A. B Produto interno ~ Produto externo Tensor B Nabla ~ A B ~ ~ ~ Gradiente de um campo escalar Divergência de um campo vectorial u .A ~ Rotacional de um campo vectorial A ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Leis do electromagnetismo regidas pelas equações de Maxwell. Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX). Força de Lorentz: F q E v B ~ Campos vectoriais ~ ~ ~ E (campo eléctrico) e B (indução magnética) grandezas fundamentais ~ ~ de campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação. Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico D , campo magnetico H ~ ~ Em espaço livre: H ~ 1 o B ~ D o E ~ ~ Permeabilidade magnética o 4 107 H m1, permitividade PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 o 1/ 3 109 F m1 Lei de Faraday A circulação de E ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da ~ indução magnetica através de A. ^ n ~ f f E . dl ~ ~ t A B . ds ^ dl dl t A ~ ^ t ~ dS dS ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 ^ n ~ ~ ~ Teorema de Stokes (cálculo vectorial) Circulação (integral de linha) de um campo vectorial U ao longo de uma linha fechada ~ Гf = fluxo do rotacional de U através de A. ~ f U . dl ~ ~ A U . ds ~ ~ E ~ ~ B ~ t Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial) Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos U e . U em todos os pontos do espaço. ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 ~ Lei de Gauss O fluxo total de D que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total ~ contida nesse volume. D . ds Sf ~ ~ q V dv • Teorema da divergência (cálculo vectorial) . d S V .U d v Sf U ~ ~ ~ ~ . D ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Campo magnético A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é J ~ • Lei de Ampere f H . dl ~ ~ A J . ds Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo • ~ D ~ t Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as previsões teóricas). PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Termo D ~ t f H . dl ~ ~ D . ds ~ A t ~ S J . ds ~ Teorema de Stokes do cálculo vectorial H J ~ ~ Divergência de H D ~ t ~ Não foram encontrados até agora cargas magnéticas Sf B . ds 0 ~ ~ Teorema da divergência .B 0 ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 ~ Termo D ~ t J traduz um fluxo de cargas eléctricas livres. ~ Como a carga se conserva Sf J . ds ~ ~ t dV Teorema da divergência . J ~ 0 t PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Eq. da continuidade I ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Eqs. de Maxwell H J ~ ~ ~ ~ t ~ E . D D B ~ t . B o ~ Sabendo e J tem-se 12 incógnitas e 8 eqs. ~ Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio, relações Constitutivas. PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Relações constitutivas • A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características. Propriedades dos meios • • • • • • • Homogéneos Lineares Isótropos Anisotropos Temporalmente dispersivos Espacialmente dispersivos Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão espacial. PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Comportamento dieléctrico e magnético Regimes estacionários Resposta do meio a um campo electromagnético estático e uniforme é descrita em termos de momentos dipolares induzidos eléctricos e magnéticos. Comportamento dieléctrico Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico. D 0 E P ~ ~ ~ P ~ Efeitos da polarização equivalentes aos produzidos por - vector polarização eléctrica p .P Comportamento magnético O comportamento magnético dos materiais é complexo. PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 ~ Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica B são induzidas pequenas correntes ~ microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos às variações do campo aplicado. Comportamento diamagnético, momentos magnéticos em oposição ao campo magnético. Comportamento paramagnético, há a possibilidade de alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o campo magnético intensifica-se. Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos induzidos são muito mais intensos do que nos materiais com comportamento magnético ordinário. Magnetização Correntes microscópicas induzidas (Amperianas). magnetização M - momento dipolar ~ magnético por unidade de volume. A densidade de corrente associada às correntes microscópicas é dada por tem-se B 0 ( H M ) ~ ~ ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 x M ~ e Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos). Regimes variáveis no tempo Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial relações entre D (t ) e ~ H (t ) ~ descritas cada uma por uma convolução temporal. ~ D (t ) ~ t t´ E (t ' ) dt´ (t ) * ~ E (t ) e entre B(t ) e ~ E (t ) ~ B (t ) (t ) * H (t ) ~ ~ J (t ) (t ) * E (t ) ~ ~ No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de Fourier de D (t ) e E (t ) e de B (t ) e H (t ) . ~ ~ ~ ~ D ( ) ( ) . E ( ) ~ ~ B ( ) ( ) . H ( ) ~ ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Equações de Maxwell em Meios Materiais Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre existe também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico . E p o ~ aplicado (separação de cargas negativas e positivas). Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio. A introdução de p . P ~ D tem a vantagem de invocar apenas a ~ densidade de carga livre. .D ~ PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Leide Gauss 1 B J ~ ~ o M ~ P ~ t o E ~ t Corrente livre Corrente Amperiana Corrente de polarização Corrente deslocamento de vácuo • O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é determinado pela densidade de corrente total. PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 H J ~ ~ D ~ t D ~ A introdução dos campos D e H facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna-se ~ ~ necessário arranjar um modelo para descrever os meios. PROE 2S0506 CFI Aula1 230206 Sistema de Unidades • Sistema MKSA [Metro Kilograma Segundo Ampere] • Metro, referenciado ao segundo e à velocidade da luz no vácuo • Quilograma, massa de uma barra padrão feita de uma liga de Platina/Irídio (Sévres, Paris) • Segundo, 9.192.631.770 períodos da radiação electromagnética emitida numa transição de um átomo de Césio • Ampére, corrente constante que, percorrendo dois condutores (comprimento infinito afastados de 1m no vácuo), produziria entre os condutores uma força de 2 x 10 Newton por cada metro de condutor. • Sistema MKSA racionalizado o 4 107 Hm1 PROE 2S0506 CFI Aula1 230206
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