Estudo de Repetitividade e
Reprodutibilidade de Sistemas de
Medição
Variabilidade
Como visto, a variabilidade total de valores de X obtidos com um
instrumento de medição é resultante da combinação da variabilidade do
processo produtivo (de peça para peça) e da variabilidade inerente à
medição.
2
2
2
 total
  processo
  med
(5.1), repetida
onde:
2
 total
= Variância total da população de valores observados de X
2
 processo
= Variância dos valores verdadeiros de X, devido a causas
aleatórias ou especiais do processo.
2
 med
= Variância inerente à medição (devida ao instrumento, ao
procedimento e às condições de medição)
Variância Inerente a Medição
É decomposta em duas parcelas:
2
2
2
 med
  repe
  repro
Onde:
2
 repe
2
 repro
= Variância referente a repetitividade
= Variância referente a reprodutibilidade
(5.7)
Repetitividade
É o grau de concordância entre resultados de medições sucessivas de um
mesmo mensurado (uma mesma peça, por exemplo), sob as mesmas
condições de medição;
Define-se, então, repetitividade de um instrumento de medida como a
aptidão do instrumento em fornecer indicações muito próximas, em
medições sucessivas de um mesmo mensurando, sob as mesmas
condições de medição. Essas condições de repetitividade são:
•
•
•
•
•
Mesmo procedimento de medição;
Mesmo observador;
Mesmo instrumento de medição, utilizado nas mesmas condições;
Mesmo local;
Repetição em um curto período de tempo.
Reprodutibilidade
A reprodutibilidade dos resultados de medição é o grau de concordância
entre os resultados das medições de um mesmo mensurando efetuadas
sob condições variadas de medição, variando por exemplo o operador.
Note que repetitividade e reprodutibilidade não são valores numéricos, são
conceitos que se referem a propriedades e que podem ser expressos,
quantitativamente, em função das características da dispersão dos
resultados, por exemplo, em termos de variâncias.
A variância de repetitividade é a variância dos resultados de
medições sucessivas de uma mesma peça, sob as mesmas
condições de medição.
A variância de reprodutividade é a variância dos resultados de
medições de uma mesma peça efetuadas sob condições variadas
de medição.
2
2


Quanto menores repe e repro , maiores, respectivamente, serão a
repetitividade e a reprodutibilidade dos resultados das medições.
Usa-se, também, quantificar a repetitividade de um instrumento de
medição pela largura da faixa que conterá 99,73% dos resultados
sob condições de repetitividade, assumindo que o erro de medição
siga uma distribuição normal.
Estimativa de
 repe
e
 repro
Estima-se  repe por meio de medições sucessivas da mesma grandeza
realizadas por um mesmo operador, usando o mesmo instrumento e o
mesmo procedimento de medição, num mesmo local, sob as mesmas
condições e em curto período de tempo, tomadas aleatoriamente.
Para cada conjunto de medidas de uma mesma peça, calcula-se a
amplitude, em seguida R , a média das diversas amplitudes, e  repe é
estimado por:
^

repe
R

d2
(5.8)
Onde:
d2 é obtido da tabela 3.1, e é o nº de medidas repetidas de cada peça.
Normalmente usam-se duas medidas para cada peça.
Estimativa de
 repe
 repro
e
Na prática, nos ensaios mais simples, considera-se que a influência do
operador seja muito maior que a dos demais fatores, então  repro é estimado
simplesmente a partir da dispersão dos resultados médios obtidos por
diferentes operadores para a mesma grandeza e sob as mesmas condições
de operação. A expressão para a estimativa de  repro é:


 repe 


n.r
^
^

repro
R
  x
 d2





2
2
(5.9)
Sendo x max e x min , respectivamente, o máximo e o mínimo valor dos
resultados médios obtidos pelos diversos operadores; r, o nº de vezes que
cada item é medido por cada operador, e n, o nº de itens medidos.
Estimativa de
Onde:
 repe
e
 repro
Rx  x max  x min
(5.10)
Sendo x max e x min , respectivamente, o máximo e o mínimo valor dos
resultados médios obtidos pelos diversos operadores;
r = o nº de vezes que cada item é medido por cada operador;
n = o nº de itens medidos.
Estimativa de  repe e
 repro
Os valores de x não coincidirão exatamente com as médias teóricas dos
resultados de cada operador  A , B , etc., pois a variância de x é a soma de
duas variâncias: (i) a variância das médias teóricas dos resultados dos
diversos operadores (que nos interessa estimar) e (ii) a variância da média
amostral de cada operador em torno de seu valor teórico; esta última, está
relacionada com à repetitividade do instrumento, podendo ser estimada
por:
^ 2

n.r
repe


Por isso, melhor estimativa da variância devida ao operador é conseguida
2
R d2
subtraindo da variância total de x , estimada pelo termo
,a
x
variância da média amostral de cada operador, estimada por:

^
2
repe
n.r
Estimativa de
 repe
e
 repro
^ 2
Como aqui há mais de um operador, o valor de  repe a ser utilizado em 5.9
não é calculado pela fórmula 5.8, mas pela fórmula a seguir, onde R é a
média aritimética dos R S dos diversos operadores:
^
 repe
Se:
R

d2
2
^ 2



R d 2    repe n.r   0

x




Estima-se que:
 repro  0
(5.11)
Estimativa de
 repe
e
 repro
De posse então das estimativas das variâncias, podemos substituí-las em
5.7 para obter a estimativa de  med :
^
 med 
^ 2
^ 2
 rep   ^ repro
(5.12)
Finalmente, a estimativa da capacidade do sistema de medição pode ser
quantificada pelo índice R&R(“repetitividade e reprodutibilidade), dado por:
^
^ 2
^ 2
R & R  6. med  6.  rep   ^ repro
(5.13)
Adequabilidade do Sistema de Medição
Para avaliar-se um sistema de medição é adequado, é preciso comparar
sua capacidade, expressa pelo índice R&R, com as tolerâncias
da
R
característica de qualidade a ser medida e/ou com a variabilidade do
processo.
Em relação à faixa de tolerância especificada em projeto para a
característica
considerada (LSE – LIE), define-se a razão PT
(Porcentagem de Tolerância), que é dada por:
R&R
PT 
100
LSE  LIE
Em relação à variabilidade total do conjunto de dados, utiliza-se a seguinte
razão:
%R & R 
R&R
^
6. total
100
Adequabilidade do Sistema de Medição
^
Onde,  total é o estimador de  total e é calculado por:
^
 total 
o
n
r
i 1
j 1
k 1
 . .
. X ijk  X 


2
onr  1
onde o é o número de operadores, n é o número de itens (peças), r é o
número de medidas de cada item por cada operador e X é a média
aritmética global de todas as onr medidas.
A adequabilidade do sistema de medição é classificada de acordo
com %R&R da maneira indicada na Tabela 5.1.
Tabela 5.1 Classificação de sistema de medição quanto à % R&R
Por vezes, usa-se também classificar a adequabilidade do sistema de
medição pela razão PT (devendo essa ser inferior a 10%); contudo, esse
critério pode ser pouco rigoroso, no caso de processos altamente
capazes.
Ainda que o número de peças, de operadores e de repetições de
medições de cada peça por cada operador possa variar, a norma QS
9000 recomenda que, para simplificar o estudo sem comprometer a
confiabilidade dos resultados, o experimento seja feito da seguinte forma:
• amostra de tamanho n = 10; cada operador medindo 2 vezes a mesma
peça;
• três operadores medindo as mesmas peças.
Exemplo
Considere o caso em que se deseja levantar a repetitividade e a reprodutibilidade de um micrômetro com leitura
milesimal, usado na medição do resultado de um processo de usinagem de uma dimensão de um componente.
Para isso, dez peças são selecionadas aleatoriamente. Em seguida, três operadores igualmente treinados na
utilização do instrumento medem duas vezes cada uma das peças. A seqüência em que cada um dos
operadores mede cada uma das peças é aleatorizada. Os resultados são apresentados na Tabela 5.2. A tabela
5.3 apresenta os cálculos de média e amplitude para os dados coletados.
Tabela 5.2 Dados para estudo de R&R, exemplo 5.1.
Tabela 5.3 Médias e amplitudes, exemplo 5.1
Para o cálculo da repetitividade do instrumento,  repe pode ser estimada a
partir da expressão 5.11, onde d 2 é extraído da Tabela 2.6 para n = 2, já
que cada amplitude foi calculada a partir de duas medidas repetidas do
mesmo item, feitas pelo mesmo operador. Ou seja:
R
0,0039  0,0017  0,0038
 0,00313
3
^

repe
^

repe

0,00313
1,128
 0,00278
Assim, a repetitividade do instrumento é quantificada
^
por:
6 repe  0,0167 16,7m
o que ocorre à largura da faixa que contém 99,73% dos resultados sob condições
de repetitividade, quando o erro de medição segue uma distribuição normal.
Para estimar  repro , usam-se as expressões 5.10 e 5.9, conforme segue:
R  20,07935 20,0714
x
R  0,0079
x
2
^
 repro
(0,00278) 2
 0,0079
 
 
1
,
693
20


^
 repro  0,0046
Portanto, a reprodutibilidade do instrumento é quantificada por:
^
6 repro  0,0280 28m
Finalmente, a estimativa da capacidade do sistema de medição é dada por
R&R, conforme segue:
^
R & R  6  med  6 (0,00278) 2  (0,0046) 2
R & R  0,0325 32,5m
Essa é a largura da faixa que conterá 99,73% dos resultados se o erro de
medição seguir uma distribuição normal.
Estudo de Caso
• A importância de CEP (Controle Estatístico de Qualidade)
• Redução na variabilidade
Melhoria no processo
Rotina
Coleta de dados
Cálculo dos limites de
controle
Melhoria
Avaliação da
estabilidade do
processo
Ação local
Ação sobre as
causas especiais
Avaliação da
capacidade do
processo
Ação no sistema
Ação sobre as
causas comuns
Fonte: RIBEIRO e CATEN, 1998.
Figura 1 - Estratégia para melhorias no controle
estatístico de processos.
Estudo de Caso –
Estudo de Capabilidade
•
•
•
•
•
•
Objetivo: Aprovação de um novo fornecedor de tampas para
Xampu.
Testes para aprovação ou não da tampa – análise de cpk.
Análise específica para os critérios fora da especificação ou com
cpk menor que 1,33.
Critério encontrado para não aprovação: Força de abertura
abaixo do valor especificado (<LIE).
Causas encontradas: Laudo do fornecedor com medidas erradas,
devido a falta de aferição no equipamento de medição para a
força de abertura (Máquina de Tração) aliado a não padronização
da forma de medição (erro do operador).
Soluções encontradas.
Conclusão
• Sistema ideal seria aquele que produzisse somente resultados
corretos(coincidindo com o valor verdadeiro da grandeza medida);
• Entretanto, em qualquer processo, de medição produz resultados
com erros ou com certo grau de incerteza (cada valor medido traz
embutido um erro de medição), que como vimos a variabilidade
desses erros são a soma das variâncias do processo e da medição
2
2
2
(  total
);
  processo
  med
• Estimar as naturezas, causas e componentes do erro de medição
nos mostra se o sistema de medição é adequado ou não;
• Sendo um sistema de medição não adequado ao controle de
qualidade de um processo, quando essas estimativas não forem
suficientemente pequenos para o processo, necessitando assim ser
revisto o processo de medição.
Bibliografia
• COSTA; EPPRECHT; CARPINETTI.
Controle Estatístico de Qualidade. Editora
atlas; 2ª edição; 2010.