LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
3 de Dezembro de 2005, às 16:10
Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı́sica Teórica
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Matéria para a SEGUNDA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
26 Potencial Elétrico
26.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
26.2.1 O potencial elétrico . . . . . . .
26.2.2 Cálculo do potencial a partir do
campo . . . . . . . . . . . . . .
26.2.3 Potencial criado por uma carga
puntiforme . . . . . . . . . . .
26.2.4 Potencial criado por um dipolo
elétrico . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
3
6
7
26.2.5 Potencial criado por distribuição contı́nua de cargas . . . . .
26.2.6 Cálculo do campo a partir do
potencial . . . . . . . . . . . .
26.2.7 Energia potencial elétrica de um
sistema de cargas puntiformes .
26.2.8 Um condutor isolado . . . . . .
26.2.9 O acelerador de van de Graaff .
26.2.10 Problemas Adicionais . . . . .
26.2.11 Problemas da terceira edição do
livro-texto . . . . . . . . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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jgallas @ if.ufrgs.br
(lista2.tex)
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26 Potencial Elétrico
Na Fig. 26-2 do Halliday, o campo elétrico
do lado esquerdo ou do lado direito?
26.1 Questões
Q 26-1.
Podemos considerar o potencial da Terra igual a
Volts em vez de igual a zero? Que efeito terá esta escolha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b)
diferenças de potencial?
Sim. O potencial elétrico num ponto pode assumir
qualquer valor. Somente a diferença de potencial é que
possui sentido fı́sico determinado. Por razões de comodidade, podemos admitir que o potencial da Terra (ou
de qualquer outro referencial eqüipotencial ) seja igual
a zero. Qualquer outro valor escolhido também serve,
pois o que será fisicamente relevante é a diferença de
potencial.
Q 26-2.
O que aconteceria a uma pessoa, de pé sobre uma plataforma isolada, se o seu potencial fosse aumentado
Volts em relação a Terra?
Não aconteceria nada de grave: como a pessoa está
isolada, ela apenas teria seu potencial aumentado em
Volts. Mas caso a pessoa resolvesse descer da
tal plataforma deveria faze-lo com muito cuidado...
é maior
O módulo do campo elétrico pode ser estimado da
a razão
, onde é a distância entre duas superfı́cies eqüipotenciais. Note que do lado esquerdo da
figura 26-2 a distância entre duas superfı́cies eqüipotenciais é menor do que a distância entre duas superfı́cies
eqüipotenciais do lado direito. Sendo assim, concluı́mos
que o valor de na extremidade esquerda da figura 26-2
é maior do que na extremidade direita da figura 26-2.
Lembre que é proporcional à densidade de linhas de
força (as quais são ortogonais às superfı́cies eqüipotenciais em cada um dos pontos destas superfı́cies eqüipotenciais).
Q 26-24.
Vimos na seção 26-10 que o potencial no interior de um
condutor é o mesmo que o da sua superfı́cie. (a) E no caso de um condutor com uma cavidade irregular no seu
interior? (b) E no caso da cavidade ter uma pequena
“brecha” ligando-a com o lado de fora? (c) E no caso
da cavidade estar fechada mas possuir uma carga puntiforme suspensa no seu interior? Discuta o potencial
no interior do material condutor e em diferentes pontos
dentro das cavidades.
Q 26-3.
(a) Teria o mesmo valor
.
Por que o elétron-volt é freqüentemente uma unidade (b) Se o condutor está isolado e carregado, terı́amos
igualmente
e
constante no interior e
mais convencional para energia do que o joule?
na superfı́cie, mas não poderı́amos determinar o valor
Espaço reservado para a SUA resposta.....
numérico da constante.
Q 26-13.
(c) Idem ao item (b), inclusive dentro da cavidade irregular.
O fato de só conhecermos , num dado ponto torna
possı́vel o cálculo de
neste mesmo ponto? Se não, A carga puntiforme irá induzir cargas de sinal contrário
que informações adicionais são necessárias?
e de mesmo valor absoluto na superfı́cie da cavidade e,
conseqüentemente,
de mesmo valor na superfı́cie exterNão. De acordo com a Eq. 26-8, para se calcular uma
na
do
sólido
irregular.
No sólido, neste caso, devido a
diferença de potencial, torna-se necessário o conhecipresença
da
carga
,
o
potencial mudará de valor mas
mento de E ao longo de um dado percurso ligando os
ainda
será
constante
e
o
campo elétrico nulo, pois tratadois pontos tomados para o cálculo desta diferença de
se
de
um
condutor
carregado
e isolado.
potencial.
!
Q 26-14.
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(RO!BOI $& ' J 26.2 Problemas e Exercı́cios
26.2.1 O potencial elétrico
(b) Igualando a energia solicitada no item (a) com a
energia cinética do carro, encontramos:
e, portanto,
(SUT VXW>Y "
E 26-1.
Z "
T [ [B\ &
$ ]
V M
^
W (
#"%$&'
A diferença de potencial elétrico entre pontos de descarm/s
ga durante uma determinada tempestade é de
V. Qual é o módulo da variação na energia potencial
(c) A energia fornece o calor necessário para fundir
elétrica de um elétron que se move entre estes pontos?
uma certa massa
de gelo. Fazendo
e usando
Use o conceito de potencial e, subseqüentemente, a Eq. 5 do Cap. 20, encontramos o seguinte valor para a
uma conversão de unidades, de Joules para eV, confor- massa :
me o Apêndice F, para obter a resposta do livro:
J
kg
J/kg
C
V
J
P 26-5.
J
eV/J
Quando um elétron se move de até ao longo da lieV
GeV
nha de campo elétrico mostrado na Fig. 26-24 (pg. 82),
o campo elétrico realiza um trabalho de
J
sobre ele. Quais são as diferenças de potencial elétrico
E 26-2.
(a)
, (b)
e (c)
?
Uma bateria de carro de
Volts é capaz de fornecer
(a)
uma carga de
Ampères hora. (a) Quantos Coulombs
de carga isto representa? (b) Se toda esta carga for desV
carregada a Volts, quanta energia estará disponı́vel?
_
_
)(
*+
, -$&/. ' 10 , "%$& ' 0
23"4$&/. 65
, 2"$789. :5 0;, /- #"=<>"4$& 6?
2@$78 ? A #"
_U (P I
2
a8$&
0
8"
C
@B<
$&'
I
$ K
I &
b
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^`RP
hidfjg
c
I 2<%$d8 . '
hidfje
L kg e
2B<$78 . '
e fj g f ! l
f I -%$78 . ' f "9
<- 5
L
Nota: ! é uma carga-teste positiva e gke o trabalho
5
feito pelo campo elétrico. Observe das linhas de campo na figura que o ponto b está mais próximo de cargas
negativas do que o ponto c . (O vetor campo E aponta
8"
(a) Como A C/s, encontramos:
!DEGFH, @B< ;0 ,JI - 0HI 3"=<$&K C (b) Usando a Eq. 4, encontramos para a energia solicipara as cargas negativas.)
tada o seguinte valor:
(b) A ddp é a mesma que a do item anterior.
(c) Zero, pois os pontos e estão sobre uma equipoMJ
tencial.
L !BMI "B<$& K $7N" AOI -3"
P 26-3.
m
26.2.2 Cálculo do potencial a partir do campo
'
Em um relâmpago tı́pico, a diferença de potencial entre
pontos de descarga é cerca de
V e a quantidade de
carga transferida é cerca de
C. (a) Quanta energia é
liberada? (b) Se toda a carga que foi liberada pudesse ser usada para acelerar um carro de
kg a partir
do repouso, qual seria a sua velocidade final? (c) Que
quantidade de gelo a C seria possı́vel derreter se toda
a energia liberada pudesse ser usada para este fim? O
calor de fusão do gelo é
J/kg.
I
5
c
PQMI I $78 K
(a) Usando a Eq. 4, encontramos o seguinte valor para
a energia:
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E 26-9.
n /
oqp
Y
A densidade de carga de um plano infinito, carregado é
C/m . Qual é a distância entre as superfı́cies
eqüipotenciais cuja diferença de potencial é de Volts?
\
De acordo com a Tabela 1, para um plano infinito
uniformemente carregado, podemos escrever a seguinte
relação:
nsr
M 5 f " t 5
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@\
r
Donde se conclui que para duas superfı́cies eqüipotenV entre eles, calcule o campo elétrico na superfı́cie:
ciais separadas por uma distância
, a diferença de (a) do fio e (b) do cilindro. (Sugestão: Use o resultado
energia potencial é dada por:
do Problema 24, Cap. 25.)
n
lf "t r 5
Portanto considerando apenas o módulo de
tramos a resposta:
r "Bt 5 n /@ @ \
mm
r
Usando o resultado do problema 25-24, pag. 58, encontramos para o campo elétrico entre o fio e o cilin. Usando a Eq. 26-11,
, encon- dro a expressão
pag. 68, encontramos para a diferença de potencial entre
o fio e o cilindro a seguinte expressão:
ƒ‚y9, "=w„t vB0
5
M†…Dfj†‡fˆ~ Š€ ‰ v €Š‹
P 26-11.
v8…
v8‡
~ € ‹ =" w„‚ t v v
5
€Š‚ ‰
8v ‡
"=w„t
v
5†Œ|Ž …‘‘’
O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de onde
e
representam os raios do fio e do cilinraio , com carga espalhada com uniformidade por todo dro, respectivamente. Desta equação obtemos facilmenseu volume, está radialmente direcionado e tem módulo te que
dado por
u
!
<wyx!Nv ]
5u
‚s
"=w„t vN5 ‡”=v8…B•8’
Œ}“
e, portanto, que
Nesta expressão, (positiva ou negativa) é a carga total
da esfera e é a distância ao centro da esfera. (a) ToVolts
mando
no centro da esfera, determine o potencial
dentro da esfera. (b) Qual é a diferença de potencial elétrico entre um ponto da superfı́cie e o centro da
esfera? (c) Sendo positiva, qual destes dois pontos tem Portanto: (a) Na superfı́cie do fio, temos:
maior potencial?
Volts
M V/m
m
(a) Como a expressão do campo é dada, para
determinar-se o potencial basta calcular a integral
(b) Na superfı́cie do cilindro:
z,vB0
u
@@/
o-B<
,|vB0– "=w„‚ t %
v
5 v v |Œ }“ v8‡”NvN…=•
8-B<
-/@
@
a$&
˜
\ .†— I
!
{,|vB0+fjz, 0}lf~Q€ v 5
, temos
Como z, 0}
@ @/
o -< f <wyx ! u ] Q
~ € vv
5 Y 5
f @wy! x u v ] 5
Y
z,vB0Rf @wy! x u v ] 5
(b) Na superfı́cie (vu ) a diferença de potencial é
Mz,uD0+fjz, 0}f @Bwy! x u 5
P 26-13*.
!
Volts
m
@/
@"
kV/m
™ v
Uma carga está uniformemente distribuı́da através de
um volume esférico de raio . (a) Fazendo
no
infinito, mostre que o potencial a uma distância do
centro, onde
, é dado por
u
vš›u
Y f vY0
9! ,IB@ u wyx 7
]
5u
(Sugestão: Ver o exemplo 25-7.) (b) Por que este resultado difere daquele do item (a) do Problema 11? (c)
(c) Como a diferença acima é negativa, o centro tem
Qual a diferença de potencial entre um ponto da supotencial maior.
perfı́cie e o centro da esfera? (d) Por que este resultado
não difere daquele do item (b) do Problema 11?
P 26-12.
(a) Fora da distribuição de cargas a magnitude do
Um contador Geiger possui um cilindro metálico com campo elétrico é
e o potencial é
cm de diâmetro, tendo estendido ao longo do seu ei, onde é a distância a partir do cenxo um fio de
cm de diâmetro. Se aplicarmos tro da distribuição de cargas.
"9
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5
v
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Dentro da distribuição, usamos uma superfı́cie Gaussiana esférica de raio concêntrica com a distribuição de
cargas. O campo é normal à superfı́cie e sua magnitude é uniforme sobre ela, de modo que o fluxo através
da superfı́cie é
. A carga dentro da Gaussiana é
.
Com isto, a lei de Gauss fornece-nos
v
<w v Y !Nv ] Bu ]
<wyx v Y !Nv ] ]
5
u
«
v Y›¬ v <wyx!Nv ]
5u
v
hž
v vY
puntiforme e o potencial é
Se chamarmos de
o potencial sobre a superfı́cie da
distribuição de cargas, então o potencial num ponto interno localizado a uma distância do centro será
­ v
v ¬ vY
v š®v)š®v Y v š®v
vDv Y vOv (a) Para v ¬ v Y o campo é como o de uma carga
<wyx ^ v ’
5
que, simplificando, mostra ser o campo fora da Gaussiana dado por
hž
^
Uma casca esférica espessa de carga e densidade volumétrica de carga , está limitada pelos raios
e ,
onde
. Com
no infinito, determine o
potencial elétrico em função da distância ao centro
da distribuição, considerando as regiões (a)
, (b)
, (c)
. (d) Estas soluções concordam
em
e
? (Sugestão: Ver o exemplo 25-7.)
hžŸfQ~Q € v
hžŸf <wyx ! u ] ~ € vv
5Y
N
!
v
ž f @Bwyx u ] @Bwyx ! u 5
5
v4¡u
onde o zero do potencial foi tomado no infinito.
(b) Para determinar o potencial no intervalo
usamos a lei de Gauss para calcular o campo elétrico,
integrando-o posteriormente ao longo de uma trajetória
radial, de até . A melhor Gaussiana é uma superfı́cie
esférica concêntrica com a casca em questão. O campo é radial, normal à superfı́cie, com magnitude uniforme sobre a superfı́cie, de modo que o fluxo através
da superfı́cie é
. O volume da casca é
, de modo que a densidade de carga é
v š¯vˆš
vY
vY
v
°› < w v Y <w ,|v Y] &
]
f v 0=I
« <w ,v 3I ] ^ &
Y f v ] 0
O valor de
pode ser encontrado colocando-se
na expressão do potencial em pontos fora da distribuição
de cargas, o que fornece-nos
. Portanto Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio é
†žqO!9, <wyx 5 uD0
Y
f v Y8¥ <wy! x u f " v u ] " u{£ @Bwyx ! u ]¤ Iu Y &
5 ¢
5
<w
! I ,|v ] 7
f v ] 0+«%O^
Ž
v] &
f v]
]v Y f&v ]  v
(b) No Problema 11 o potencial elétrico foi tomado co- A lei de Gauss fornece-nos
mo sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui, o
zero está no infinito.
De acordo com a expressão derivada na parte (a), o potencial no centro da esfera é
. Por- donde obtemos a magnitude do campo elétrico:
tanto,
, que é o resultado
encontrado no Problema 11.
(c) A diferença de potencial é
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5
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5
5
hž
vs±v Y
<wy^ x v ] f7v ] Y ] ]
5 v ,|v Y f7v 0
Sendo
o potencial elétrico na superfı́cie externa da
casca (
), então o potencial a uma distância do
centro
é
dado
por
Este valor ó mesmo dado pela expressão obtida no Problema 11, como não poderia deixar de ser.
(d) Moral da história toda: apenas as diferenças de potencial tem significado fı́sico, não importando qual o valor do potencial num só ponto. Analogamente ao caso
gravitacional, mudar-se o ponto de referência de lugar
não altera as diferenças de potencial.
P 26-14*.
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hž
v›´v Y
O valor da constante
na superfı́cie externa é encontrado substituindo-se
na expressão para o potencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja, P 26-24.
. Substituindo-se este valor na exUm campo elétrico de aproximadamente
V/m é
pressão acima e simplificando-a, obtemos
freqüentemente observado próximo à superfı́cie da Terra. Se este campo fosse realmente constante sobre a
superfı́cie total, qual seria o valor do potencial elétrico
num ponto sobre a superfı́cie? (Veja Exemplo 26-5; suComo
, o potencial pode ser es- ponha
no infinito.)
crito de uma maneira mais simples e elegante como
Usando o resultado do Exemplo 26-5, encontramos
para o potencial da esfera a seguinte expressão:
. Usando a Eq. 25-16, verificamos que o campo elétrico de uma esfera é dado por
(c) O campo elétrico anula-se na cavidade, de modo que
o potencial será sempre o mesmo em qualquer ponto
da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de
um ponto qualquer sobre a superfı́cie interna da casca. Portanto, usando-se o valor para o raio médio da terra
Escolhendo-se
no resultado do item (b) e simplim, dado no Apêndice C, temos
ficando, encontramos
†ždµ^49, <wyx 5 v Y 0
Y
<wy^ x v ] f&v ] I"v Y f
5 Y Ž
<
«ˆ¯I^4 w ,|v Y] f v ] 0G•
“
Y Y
I « x IB"v Y f v " f
5qŽ
v " Y f v ] v 
%
v ] v
vD - >I [ $78 ¶
vOv Y f vY0
]
<wy^ x I" ,, vv Y] 7
5 Y f7v 90 ’
µ
!/, <w„t 5 v=0
«
ou ainda, em termos da densidade de carga ,
<w„ t ! Y
5 v
v - I3[
MV
P 26-25.
N" « x |, v YY 7
f v Y 0 5
(d) As soluções concordam para vv e D
v v Y .
26.2.3 Potencial criado por uma carga puntiforme
Suponha que a carga negativa de uma moeda, de um
centavo, de cobre, fosse levada para uma distância muito grande da Terra — talvez uma galáxia distante — e
que a carga positiva fosse uniformemente distribuida sobre a superfı́cie da Terra. De quanto variaria o potencial
elétrico na superfı́cie da Terra? (Veja o Exemplo 23-3.)
! 3I [ $8 K
O Exemplo 23-3 nos diz que a carga contida em tal
moeda é
C, enquanto que do Apêndice C
vemos
que
o
raio
da
Terra
é
m. Como
Grande parte do material compreendido pelos anéis de
a
carga
positiva
pode
ser
considerada
como
estando
no
Saturno (Fig. 26-27 na terceira edição do Halliday,
infinito,
vemos
que
a
variação
de
potencial
será
ou Fig. 26-28 na quarta) tem a forma de minúsculas
partı́culas de poeira cujos raios são da ordem de
m. Estes pequenos grãos estão numa região que contém
um gás ionizado e diluı́do, e adquirem elétrons em excesso. Se o potencial elétrico na superfı́cie de um grão
V
for de
V, quantos elétrons em excesso foram adquiridos?
Note que a resposta do livro está incorreta.
E 26-19.
8 .†¶
f <3
<w„t ! u ¸
5
u¹¸7 /- 3I [ $X ¶
, 2$&-/
' 0;, $&
I3[ $78 K 0
¶
I3[
2 I $78 ? Usando o resultado do Exemplo 26-3, encontramos
para o potencial da esfera a seguinte expressão:
<w„t! u 5
Sendo o número de elétrons em excesso, temos
e, portanto,

*


<w„t D u 9" @%$&K
5* [
elétrons
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
!·
P 26-26.
\ I
Uma gota esférica de água tem uma carga de
pC e
V. (a) Calcule o
o potencial na sua superfı́cie é de
raio da gota. (b) Se duas gotas iguais a esta, com mesma
carga e o mesmo raio, se juntarem para constituir uma
única gota esférica, qual será o potencial na superfı́cie
desta nova gota?
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<w„t uD0
a Eq. 26-12, temos º»!/,
"
5
\ (a)V,Usando
ou seja,
<w„t v! và  5 Ž
u¨ <w„t! /
\BI 2 mm
(Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista co5
mo a soma de uma carga isolada e um dipolo.)
(b) O raio v da nova gota esférica pode ser obtido da ex<w ] " , <w u ] 0 ou seja, v% " Š¼ ] u A carga
pressão v " -$78 . C ’
total sobre a nova gota é dada por !
Supondo que haja uma distribuição uniforme, vemos
que o potencial ½ procurado é dado por
"
"
½ <w„t ! v <w„t , " ! ] u0 ¡[ 2< V 5
5 ³¼
M Y onde potencial da carga do centro
e Y potencial do dipolo.
26.2.4 Potencial criado por um dipolo elétrico
P 26-32.
! -*
! Y ¾f *
Uma carga puntiforme
está fixa na origem de
um sistema de coordenadas retangulares, e uma segunda
carga puntiforme
está fixa em
nm,
. O lugar geométrico de todos os pontos, no plano
com
, é um cı́rculo centrado sobre o eixo
, como mostra a Fig. 26-31. Determine (a) a posição
do centro do cı́rculo e (b) o raio do cı́rculo. (c) A
seção transversal no plano
da superfı́cie equipoten- Para
cial de V também é um cı́rculo?
À ¿À
¿
¿‡
Á ¿À
\
¿& @
-
u
¿‡ u
u ¿‡
(a) e (b) As equações que determinam
e são as
seguintes, chamando de o ponto em
e de o
ponto em
, onde o cı́rculo intersecta o eixo :
u¨f&¿
g e ‡
b
¿
!Y
¿Y ®
f ,u¨f7¿ ‡ 0 ’
!Y
‡ ¿ Y f®,u ¿ ‡ 0 Resolvendo este sistema de equações para u e y
¿‡
< w„t
5
<w„t
5
!
u ¿
!
u¨f7 ¿
‡
c
Æ
Y T7!
v¯’
! T
T vfd
Df&v
v
T7! v Y f&
v
fª !
" !=
O
T
Y
vY d
f Y’
" != !
M Y OT v v Y fd Y 
Ž
vÂÄ temos, finalmente,
"
T v! v !=Y  Ž
E 26-34.
fÅ\B!
Æ
"
Temos que, uma carga
está a uma distância de
, uma carga
está a uma distância de , e duas
cargas
estão cada uma a uma distância de , de
en- modo que o potencial elétrico em é
\!
fÅ\!
Æ
Æ
- *=0 Y , @
- 0
Y¿ Y
<wy! x f " \ f \ \ „\ £ lf @Bwy\Bx ! !
,
<
@
¿ ‡ ! Y fd! Y , - *=0 Y f›,³f *=0 Y f nm ’
5¢
5
! ! Y ¿ Y Y , - *=0;,6f 8 *=0;, @/
- 0 @/
o O zero do potencial foi tomado como estando no infinito.
nm
u ! Y fd! Y , - *=0 Y f›,³f *=0 Y Y
(c) Não. A única equipotencial que é um cı́rculo é aque- E 26-39.
la para .
(a) Toda carga está a mesma distância u de m , de
modo que o potencial elétrico em m é
P 26-33.
^ -^
<
y
w
x u f u±£ lf <wy\x ^ u ’
Para a configuração de cargas da Fig. 26-32 abaixo,
5O¢
5
mostre que z,v=0 para os pontos sobre o eixo vertical,
supondo que vD é dado por
onde o zero do potencial foi tomado no infinito.
contramos
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Æ
(b) Toda a carga está a mesma distância
de modo que o potencial elétrico é
<wyx
3 de Dezembro de 2005, às 16:10
Ç u Y rY
de
-^
f
Y rY Ç u Y rY£
5 ¢Ç u
f < wyx Ç \u ^ Y r Y 5
^
26.2.5 Potencial criado por distribuição contı́nua
de cargas
E 26-40.
Æ
Qual é o potencial no ponto
na Fig. 26-40, a uma
distância da extremidade direita de uma barra fina de
plástico de comprimento e carga total
? A carga
está distribuı́da uniformemente e
no infinito.
P
¿ ¿
fÅ^
Considere um elemento infinitesimal da barra, localizado entre e
. Ele possui um comprimento
e contém uma carga
, onde
é a densidade linear de carga da barra. Sua distância do
ponto é
e o potencial que ela cria no ponto é
¿
¿
Æ
¿
!·¾‚Q¿
‚ »fÅ^=P
Æ
‚ ¿ 3 <w„t 3 ! ¿ < w„t )
5
5 Æ¿
Para encontrar o potencial total no ponto basta agora
integrar sobre todo comprimento da barra. Portanto,
Um disco de plástico é carregado sobre um lado com
uma densidade superficial de carga e, a seguir, três
quadrantes do disco são retirados. O quadrante que resta, é mostrado na Fig. 26-39, pg. 85. Com
no
infinito, qual é o potencial criado por esse quadrante no
ponto , que está sobre o eixo central do disco original,
a uma distância do centro original?
Como o disco foi uniformemente carregado, isto implica que quando o disco completo estava presente cada
quadrante contribuia de modo igual para o potencial em
, de modo que o potencial em devido a um único
quadrante é igual a um quarto do potencial devido ao
disco todo.
Vamos, portanto, determinar o potencial devido ao disco
26.2.6 Cálculo do campo a partir do potencial
completo.
Consideremos um anel de carga com raio e largura . Sua área é
e ele contém uma carga
E 26-45.
. Toda esta carga está a uma distância
de , de modo que o potencial devido a tal Na seção 26-8, vimos que o potencial para um ponto
sobre o eixo central de um disco carregado era
anel é
n
Æ
´ r
Æ
Æ
v
3!j =" r w n d
v v
Ç vY Y Æ
"=w v`v
~ Ì ¿ ¿
<w„‚ t ‚<w„t 5 5 ,J †¿ 0 Ê
ÊÊ Ì
5
ª
5
o
Í
Î
‚<w„t
,J P0‘f 
Ï
5
k
Ž
o
Í
Î
P ÍaÎ
‚<w„t
5 ÍoÎ Ž 
fÅ<^4w„t BP
P 5¯ÍoÎ Ž q
v
B" w n
n
3 <wyx Ç v Y v¹ r v Y "Nx Ç v¹v Y v r Y 5 Æ
5
O potencial total em é a soma dos potenciais de todos
anéis:
n v v
N" x ~ Ç v Y r Y 5 5
n
"Bt
Use a Eq. 26-34 e a simetria para mostrar que
um tal ponto é dado por
n
r
Y
/
Y
Ê
v
"Nx
Ê
n 5ÉÈ Y r Ê 5Y r "Nx
u
f £
5 ¢È
Æ
O potencial hË , devido a meio quadrante, em é
n
hË < @Bx
u Y rY f r£
5 ¢È
P 26-41.
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u Y rY f r
5ŸŽ È
€
"Bn t f
5 Ž Ç
f 3{v ,|vB0 Ð vv Ð
n
f "Bt v ,J! Y n5 “ Y f "Bt " ,JÑ
n 5Å¢
"Bt f ,Ñ Y 5ғ
para
r
Yu r Y 
v Y 0 Š¼ Y f&v•
v Y 0 . ³¼ Y C " vf £
v
v Y 0 Š¼ Y •
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Portanto,
Se
OT !
vY’
"Bn t 5
vÂÓÑ Ô
vÕÓÑ Ô
onde
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!D n w Ñ Y ˜
P 26-49.
A barra fina com carga positiva da Fig. 26-42 tem uma
densidade linear de carga uniforme e se encontra ao
longo de um eixo como é mostrado. (a) Com
no infinito, determine o potencial devido à barra no ponto sobre o eixo . (b) Use o resultado do item anterior
P 26-48.
para calcular a componente do campo elétrico em ao
(a) Mostre, calculando diretamente a partir da Eq. 26- longo do eixo . (c) Use a simetria para determinar a
25, que o potencial elétrico, num ponto do eixo de um componente do campo elétrico em numa direção peranel carregado, de raio , é dado por
pendicular ao eixo .
Se
‚
Æ
¿
¿
Æ
¿
u
¾ Æ
¿
(a) Suponha a origem dos ¿ como sendo a extremi <w„t Ç r Y ! u Y dade direita da barra e considere um elemento infini5
(b) Partindo deste resultado, obtenha uma expressão tesimal da barra localizado numa coordenada negativa
¿ ½ , com um comprimento Æ ¿ ½ e contendo uma carcorrespondente para , nos pontos axiais,
e compare ¿ˆ¨
!D¨‚¿h½ . Sua distância
ga
com o resultado do cálculo direto de apresentado na
Æ de é ¿fÿh½ e o potencial
que tal elemento cria em
seção 24-6 do Cap. 24.
Ö
‚ˆ!9, "Bw uD0
(a) Seja um elemento de linha do anel. A densidade de carga linear do anel é
. O potencial
produzido por um elemento infinitesimal de carga
é dado por
>
3!DM‚Ö
3
O potencial no ponto
Æ
<w„t
5
<w„t
3!
v B" w
,J! u 0³BÖ Y r Y 0 Š¼ Y
J
,
u
5
considerado é dado pela integral
~ 3 ~ <w„t "Bw ! u ,Ju Y BÖ r Y 0 ³¼ Y 5
Note que u e r permanecem constantes ao longo do
anel, fazendo com que a integral se reduza a
"Bw
<w„t ,u ,Y ! r YuD0 0Š¼ Y ~ BÖ 5
"Bw u , o comprimenComo a integral de Ö é igual a ÖÅ
to do anel, obtemos
l <w„t , u Y ! r Y 0 Š ¼ Y 5
(b) Analisando a simetria do problema, concluı́mos que
o campo elétrico não possui nenhuma componente ortogonal ao eixo do anel. Portanto, o campo elétrico é
orientado ao longo do eixo do anel (para fora do anel),
sendo dado por
lf > < w„ t
!r
r
r Y0]¼Y
Y
5 ,u
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é
¿h½ > <wyx |, ¿{3f7! ¿ ½ 0 < wyx ,|¿z‚f&
¿ ½0
5
5
Æ
Para encontrar o potencial total em , integramos sobre
toda a barra:
<wy‚ x ~ . 5 ¿zf&¿†½ ¿ ½ 5 Ì
f <wy‚ x ln ,¿zf7¿ ½ 0 ÊÊÊ 5 .
5 <wy‚ x ln ¿ ¿ P Ì
5
(b) Encontramos a componente ¿ do campo elétrico
através da derivada do potencial elétrico com respeito
a¿ :
ª× fzØ lf <wk‚ wyx Ø ln ¿ P
¿ ¿
5
Ø ¿‚
Ø
f <wyx ¿ ¿ P ¿ f ¿ ¿ Y P 
5 P Ž
‚
<wyx ¿‘,|¿ P0 5
(c) Considere
Æ dois pontos a iguais distâncias de ambos
lados de , ao longo da linha que é perpendicular ao
eixo ¿ . A diferença no potencial elétrico dividida pela
separação dos dois pontos dá a componente transversal
do campo elétrico. Como os dois pontos estão situados simetricamente em relação à barra, seus potenciais
coincidem sendo, portanto, zero a diferença de potencial. Consequentemente, a componente transversal do
campo elétrico também é zero.
P 26-50.
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P
Na Fig. 26-43, uma barra fina de comprimento carregada positivamente, colocada ao longo do eixo
com uma extremidade na origem
, tem uma
distribuição de carga linear dada por
, onde
é constante. (a) Considerando o potencial no infinito
igual a zero, calcule o valor de no ponto sobre o
eixo dos . (b) Determine a componente vertical , da
intensidade do campo elétrico em , a partir do resultado do item(a), bem como através de um cálculo direto.
(c) Por que não podemos calcular o componente horizontal ( ) do campo elétrico em usando o resultado
do item (a)?
,|¿§ 0
‚¡ÚÙ9¿
Ù
Æ
ª Û
Æ
À
×
¿
Æ
3!¨‚¿ e, portanto, que
¨~ƒ> TÜ~ v !
(a) Temos que
TÜ~ Ì ,|¿ Y ‚hÀ ¿ Y 0 ³¼ Y
5
TÙª~ Ì ,¿ Y ¿†À ¿ Y 0 ³¼ Y
À>Y , Ýs 5 " ¿h¿ e que Þ%݆ß>ÝX
Sabendo que ÝsO¿ Y
àNáâ>ã , temos
ßBä "
TÜÙ " ~ Ì ,¿ Y ¿†À ¿ Y 0 ³¼ Y
5 ,|¿ Y À9Y 0 . ã ä T7Ù "›å f O ² æ Ì
Y
5
Y
Y
À
TÜÙ ,|¿
0 Š¼ Y • 5Ì
TÜÙ “ ,P Y À Y 0 ³¼ Y f À £ ¢
(b)
Å Û f ), À 0 ç À fªTÙ7è " ,P Y À Y 0 ã . C " À f ;é ç
²
Y
Y
À
À
TÙ f ,P
0 . Š¼ Y £ ç ¢
ªÛ
26.2.7 Energia potencial elétrica de um sistema de
cargas puntiformes
E 26-52.
! "/
$& †. /" ¶ z
Duas cargas
C estão fixas no espaço,
separadas pela distância
cm, como está indicado na figura abaixo. (a) Qual é o potencial elétrico no
ponto ? (b) Uma terceira carga
C
é trazida lentamente do infinito até o ponto . Quanto trabalho foi realizado? (c) Qual a energia potencial
da configuração quando a terceira carga está no lugar
desejado?
!X "/
s$ 8 .y¶
m
m
(
O cálculo direto do módulo da componente
feito da seguinte maneira:
pode ser
ÅÛ MT7Ù ~ Ì Å¿ ê1 ëì9í ¿ ÀY ¿Y
5
(c) Quando calculamos o potencial {, À 0 no item (a),
a variável ¿ foi integrada. Assim,
não podemos ×usar a
×
relação dada por * îfï × E para calcular
. Isï soubéssemos o potencial
to seria possı́vel somente se
z,¿ ’ À 0 .
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v
(a) A distância entre o ponto
duas cargas é dada por
vD
Z
m
e qualquer uma das
" Y " Y Ç "
Ž  Ž 
Como as cargas estão a mesma distância, de acordo com
o Princı́pio de Superposição, basta calcular o potencial
devido a qualquer uma delas e multiplicar por dois. Portanto, o potencial em é
m
‡ "%$ < w„t vy! £ /" \ <
¢ 5
M Volts
m fica fácil calcular
! ] ,ðM!B0 até tal ponto:
(b) Sabendo-se o potencial no ponto
o trabalho para deslocar a carga
L ¡( ] O! ] h‡Ÿl, "$789.y¶ 0;, "9
\ <)$&¶ 0}M\ @ J Alternativamente, usando a técnica indicada no Exemplo 26-10, encontramos para a energia potencial do conjunto das três cargas a seguinte relação:
(}… <w„t
!Y !Y !Y
" > Ç " £
5O¢ 9 Ç
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!<w„Y t Ç " Ç "
£
Y! 5¢ ñ" " /- @@< Ç 0}A
J
<w„t ,
5
Antes de trazer do infinito a terceira carga, a energia potencial inicial do conjunto das duas cargas é dado por:
Y
(HòÉ <w„t ! v 5
Substituindo os dados numéricos, obtemos para a ener [ 2@ J O trabalho que o
gia potencial inicial (
agente externo deve realizar para deslocar a terceira carga do infinito até o ponto m é numéricamente igual à
variação da energia potencial do sistema, ou seja,
L M(–…DfQ(HòÉ -/
@@< f [ 2@ ¨\ @- J (c) A energia potencial do conjunto das três cargas já foi
calculada no item (b), ou seja,
( … -
@@B< J 3 de Dezembro de 2005, às 16:10
E 26-59.
Ö ,G a \ m0 o comprimento do retângulo
/
e óÅ,G
\ m0 sua largura. A carga ! está a uma
distância Ö do ponto b e a carga ! Y está a uma distância
ó , de modo que o potencial elétrico em b é
g <wyx ! Ö ! ô Y £ -/
$& Volts 5Å¢
(a) Seja
(b) Analogamente,
he <wyx
Volts
(c) Como a energia cinética é zero no inı́cio e no fim
da viagem, o trabalho feito pelo agente externo é igual
à variação da energia potencial do sistema. A energia
potencial é dada pelo produto da carga e o potencial
elétrico. Sendo
a energia potencial quando
está
em
e
quando está em , o trabalho feito para
mover-se de para é
( e
!]
b
L
!]
( g
c
!]
b
c
( g fQ( e
! ] ,J g fd e 0
,JI $78 .†¶ 0 -/
%$78 [ @%$78K 
"/
\ J Ž
E 26-56.
Determine uma expressão para o trabalho necessário para colocarmos as quatro cargas reunidas como está indicado na figura abaixo.
! ! Y f[ @%$78 K
ô
DÖ £
5¢
(d) O trabalho feito pelo agente externo é positivo e,
portanto, a energia do sistema de três cargas aumenta.
(e) e (f) A força eletrostática é conservativa. Portanto, o
trabalho é sempre o mesmo, independentemente da trajetória percorrida.
P 26-61.
^
Æ
V
Uma partı́cula de carga (positiva) é mantida num ponto fixo. Uma segunda partı́cula de massa e carga
(negativa)
move-se com velocidade constante, num
cı́rculo de raio , cujo centro é o ponto . Obtenha
uma expressão para o trabalho
que deve ser realizaA energia total da configuração é a soma das energias do por um agente externo sobre a segunda partı́cula a
correspondentes a cada par de cargas, a saber:
fim de aumentar o raio deste cı́rculo para .
fª!
(
( Y ( ]
Y
Tñ, fªÑ ! T7! Y ,³f <
Ñ
( ( Y] ( Y ( ]
!Y f !Y f !Y !Y f !Y0
Ñ/Ç " Ñ Ñ Ñ9Ç " Ñ
Y
Ç " 0–lf /
#"9 t ! Ñ 5
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
v
Æ
L
vY
L&õ
Seja
hòªƒ^49, <wyx 5 v8òð0
o trabalho realizado contra as forças eletrostáticas. Então, sendo
num ponto
devido a carga , temos
v8ò
^
L7õ Rfª!9,ð Y d
f 0} <D^ „w t! v f v Y £ 5 ¢ 
Como o movimento é circular uniforme, igualando a
força centrı́peta com a força eletrostática, obtemos uma
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relação que nos fornece
cinética:
ö
VXW>Y
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e, portanto, a energia
V W3Y
X
<w„t D^ v Y ! v 5
Com isto, a energia cinética da carga fª! é
VXW3Y T¦ " " <w„t ^v ! 5
A variação da energia cinética entre as órbitas de raios
v e v Y é
T fdT Y " <^w„t! v f v Y £ 5 ¢ Æ
P 26-64.
Uma partı́cula de carga é mantida fixa num ponto
e uma segunda partı́cula de massa com a mesma carga está inicialmente em repouso a uma distância de
. A segunda partı́cula é, então, liberada, sendo repelida pela primeira. Determine sua velocidade no instante
em que ela se encontra a uma distância de . Dados:
C;
mg;
mm e
mm.
!
V
Æ !
!ˆ÷I op
V "
v
Æ
vY
v 2
Pela lei da conservação da energia, temos:
! Y !Y s
V W>Y <w„t v
< w„t v Y
"
5 5
(b) A força existente depois do fio ser cortado é dada
pela força de interação Coulombiana. Portanto,
ö
Y
<w„t ! Y /
#""=< [B\ N
5
De acordo com a Terceira Lei de Newton, esta força é a
mesma (em módulo) para
ö as duas esferas. Portanto, as
magnitudes das acelerações são dadas por
Ñ Vö < \ Ñ Y V Y " "9
\
final
nalmente que
(
V Y m/s
§!j\ ¦\
Duas pequenas esferas de metal de massa
ge
g têm cargas positivas iguais,
massa
C. As esferas estão ligadas por uma corda de massa
desprezı́vel e de comprimento
m, que é muito
maior que o raio das esferas. (a) Calcule a energia potencial eletrostática do sistema. (b) Qual é a aceleração
de cada uma das esferas no instante em que cortamos o
fio? (c) Determine a velocidade de cada uma das esferas
muito tempo depois do fio ter sido cortado.
final
W Y MI @ B[ I
Substituindo os dados numéricos, obtemos a seguinte
resposta:
p
O ’
m/sY
(
I" V Y W Y Y ¡
(
Portanto,
V
Y
V WY V WY
" " Y Y
final
9
"
v Y \ Da conservação do momento linear sabemos que V W f V Y W Y e, como temos V V Y " , segue que
W " W Y . Substituindo-se este valores
de W e V
expressão da energia final (
na
acima encontramos fi-
W Y V " <w„! Y t f 5¹¢ v v Y £
P 26-65.
m/s
(c) Muito tempo depois do fio ser cortado, as esferas
estão suficientemente afastadas de modo que a energia potencial é igual a zero. Neste caso, pela Lei da
Conservação de energia, temos:
Donde se conclui que
W "9
<@%$78 ]
! Y /
#"" \J
<
„
w
t inicial
5
ö(
(a) A energia potencial inicial é dada por
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
m/s
’
inicial
"" \ W " W Y ¡[ [ <3
m/s
P 26-70.
Considere a energia potencial como sendo zero quando o elétron que se move estiver muito distante dos
elétrons fixos e use o princı́pio de conservação da energia.
A energia potencial final é
, onde
é a metade da distância entre os elétrons.
A energia cinética inicial é
, onde é a
velocidade inicial e a massa do elétron que se move.
A nergia cinética final é zero.
Portanto,
ou, isto é,
de
onde se obtém
V
T{òÒM(–…
( … " * Y /, <wyx 5 30
V W3Y "
W
T ò X
VXW3Y " " * Y 9, <wyx > 0
’
W ø <wy< x * YV OI "$& Y
5 m/s
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3 de Dezembro de 2005, às 16:10
26.2.8 Um condutor isolado
(a)
TÚ " Ñ9
P 26-75.
\ vd / o \ Sendo zero o potencial no infinito, o potencial na su<wyx v=0 , onde ! é a carga
perfı́cie da esfera é ´Á!/,
5
sobre a esfera e v o seu raio. Portanto
/
o
!D <wyx 5 2
, $&\ m'701ù , \ C V Y V0 m Y "/
\ $)9. ? C Qual é a carga sobre uma esfera condutora de raio
m sabendo-se que seu potencial é
V e (b)
que
no infinito?
T¦OÑ9
, -$789. ' C 0;, $&¶ V0
-$&/. Y J Y " , temos
Z "
Z
T " !B V
V
W ú
Como a partı́cula tem o dobro da carga de um próton
e vezes mais massa, a razão das velocidades finais é
. Para
Volts, temos
P 26-79.
I
fªI $ 8 . ?
V W
(c) Como TÚ X
<
$Q . ?
" , -$&9. ' C;0 , $78¶ V0
I "%$& . Y J W8û W ü ¡
Ç "
8 ¶
W8û <$&— m/s
W ü 2/
@$&¶
Duas esferas metálicas têm raio de cm e cargas de
m/s
Ce
C. Suponha que estas cargas estejam distribuı́das de maneira uniforme e que os
centros das esferas estejam afastados metros um do
outro. Sendo assim, calcule: (a) o potencial do ponto P 26-86.
situado à meia distância entre os centros das esferas e
Um eletrodo de alta voltagem de um acelerador ele(b) o potencial de cada esfera.
trostático é uma casca esférica metálica, carregada, que
(a) No ponto situado à meia distância, o potencial é possui um potencial
MV. (a) Descargas
dado por
elétricas ocorrem no gás desta máquina num campo
MV/m. Que restrição a respeito do raio
da casca deve ser feita para evitar que tais descargas
m
m
aconteçam? (b) Uma longa correia de borracha em movimento transporta cargas para a casca a
C/s, e o
V
potencial da casca permanece constante devido ao escoamento. Qual é a potência mı́nima necessária para
(b) Como é muito maior que , para calcular o po- transportar a carga? (c) A correia tem largura
m/s. Detertencial de cada esfera podemos desprezar a influência m e se movimenta com velocidade
mine a densidade superficial de carga sobre a correia.
mútua entre as esferas. Portanto,
"
D$& . ? fªI $78 . ?
<w„t
£
5¹¢
2$& ' $ ,6f " 0 $789. ? f @ ý ¹2/
8
v
I p
<w„t ! v 5
!Y
Y <w„t v 5
v
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2$78 ' , $&
$& . Y
I V I
’
2$78 ' ,6fªI $7$&8 . . ? 0
Y
2f V
I
`¡!9, <w„t 5 vB0
O=v
<w„t Y
š 8 ? !9, 5 v 0
O potencial da esfera é dado por
eo
campo elétrico nas vizinhanças da superfı́cie externa da
esfera é dado por
. Portanto,
.
Para um valor
V/m, é necessário que
v Ü
, 2$&¶ 0;, 9. ? 0} /
2
P 26-84.
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
m
2
cm
L ¾^4
(b) O trabalho realizado pela força externa para carregar
a esfera com uma carga total é dado por
.
Portanto, a potência
fornecida para o gerador eletrostático deve ser dada por
Æ
26.2.9 O acelerador de van de Graaff
ô \ W ¯
I
^
Æ L O 3 ^ " [ F
F
W
/" [
kW
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n
3 de Dezembro de 2005, às 16:10
¿
^ n b» n , ô ¿†0 ™
>^ n ¿ n ôªW F
F
(c) Sendo a densidade superficial de cargas e o comprimento da correia, encontramos
Com isto
Donde se conclui que
n > ^4Åô BW F "%$& . K
C/m
Y "Hp
C/m
Y
ÿ
P 26-29 .
Uma grossa camada esférica, com densidade de carga
uniforme, é limitada pelos raios e , onde
.
Calcule o potencial elétrico em função da distância
ao centro da distribuição, considerando as regiões onde:
(a)
; (b)
e (c)
. (d) Estas
soluções concordam se
e se
?
v ¬ vY
!
"Ñ
^
^
Duas cargas iguais
estão fixas nas extremidades de
uma linha de comprimento . Uma carga
, de massa , é colocada no centro da linha e pode mover-se
livremente. (a) mostre que o movimento de é instável
para pequenos deslocamentos perpendiculares á linha, e
estável para pequenos deslocamentos ao longo da linha.
(b) Se a carga for deslocada, ao longo da linha, por
uma distância
, qual será o potencial elétrico no
local de , devido ás duas cargas ? (c) Aplique a expansão binomial á expressão desse potencial e retenha
somente o termo de mais baixa ordem em . A seguir,
determine o módulo da força eletrostática que atua sobre
na posição . (d) Se a carga for abandonada nesta
posição , qual será a freqüência angular da oscilação
resultante de em torno do centro da linha?
V
^
¿Oš`Ñ
^
!
¿
^
¿
¿
v Y7¬ v ¬ v vDv Y
^
v Yz¬ v v
vQš§v
vv (a) Seja a carga total contida na camada esférica.
Para
é claro que o potencial é dado pelo potencial de uma carga puntiforme, portanto,
26.2.10 Problemas Adicionais
P 26-89.
v vY
^
^
(a)
26.2.11 Problemas da terceira edição do livro-texto
v ¬ vY
<w„^ t v 5
A carga total também pode ser expressa em função da
densidade de cargas de seguinte modo:
«
« $ , volume da camada esférica0
<
« $ I w ,|v Y] f&v ] 0 Sobre a superfı́cie da camada esférica, o potencial ^lM~ƒ«3>
calculado acima fornece
]
<w„^ t v Y I « t v YY f vv Y £ 5
5 ¢
€²
(b) Para determinar o potencial na região entre v
v Y , é conveniente utilizar a Eq. 26-8,
€
…
h…fdhò‘lfˆ~ ò C1 e
Considere um caminho retilı́neo ligado a um ponto da
superfı́cie a um ponto situado a uma distância do centro da esfera. Logo, integrando a Eq. 26-8 entre estes
Duas esferas condutoras, idênticas, de raio
cm, estão afastadas por uma distância
m. Qual limites, encontramos:
é a carga de cada esfera se o potencial de uma delas é
V e o da outra
V? Que suposições foram
feitas?
Para determinar o campo elétrico entre e é conveComo
, podemos supor que as duas esferas posniente utilizar a Lei de Gauss. Construa uma superfı́cie
suem uma distribuição uniforme de cargas, uma vez que
gaussiana esférica de raio igual a . De acordo com a
podemos desprezar a ação do campo elétrico de uma das
figura indicada na solução deste problema, vemos que
esferas sobre a outra esfera. Portanto,
existe uma carga total
no interior desta superfı́cie
gaussiana esférica. Portanto, aplicando a Lei de Gauss,
V
podemos escrever a seguinte relação:
E 26-64.
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v
a \
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a \ m, as cargas valem
Donde se conclui que para v
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camada
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
3 de Dezembro de 2005, às 16:10
^
onde camada representa o volume da camada esférica que Caso você deseje obter
em termos da carga total
contém a carga .
da camada esférica, basta substituir por usando a
Portanto, podemos escrever a seguinte relação para o relação encontrada entre estas grandezas no item (a).
módulo do campo elétrico:
(c) Em todos os pontos da cavidade, como não existe nenhuma carga nesta região e levando em conta a simetria
esférica, concluimos que o potencial é constante e igual
Para integrar
note que o campo ao potencial na superfı́cie esférica de raio . Em ouelétrico E é orientado para fora enquanto que o percurso tras palavras, concluimos que todo o volume delimitado
escolhido (de até ) está orientado para dentro. No- pela superfı́cie esférica de raio é um volume eqüipote também que
(porque quando aumenta a tencial. Este potencial comum é igual ao potencial na
distância até o centro diminui). Portanto, levando em superfı́cie esférica de raio , ou seja, fazendo
encontramos a resposta:
conta a relação tirada da Eq. 8 e a acima citada, temos: na relação encontrada para
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Substituindo o resultado encontrado anteriormente para
na relação acima, encontramos a seguinte resposta
para o potencial
em função de para a região entre
e :
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Caso você deseje obter em termos da carga total ^
da camada esférica, basta usar a relação para ela, encontrada no item (a).
vsv Y
na expressão para , item (b), e você
(d) Faça
encontrará o potencial na superfı́cie esférica de raio ,
ou seja, você encontrará o potencial na superfı́cie externa da camada esférica pela relação
[item (a)]. Faça
na expressão para
e você encontrará o potencial na superfı́cie esférica de raio , ou seja, você
encontrará o resultado
(item (c)).
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