Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
CAPÍTULO 2
ÓTICA FOTOGRAMÉTRICA
2.1 INTRODUÇÃO
A maioria dos instrumentos fotogramétricos depende, em algum grau,
de componentes óticos para seu funcionamento. O número e o tipo de
componentes varia de acordo com a complexidade do equipamento, e com o seu
grau de automação. Os modernos "restituidores digitais" (softcopy
photogrammetric workstations) empregam apenas óculos ativos com cristal
líquido ou com filtros polarizadores para permitir visão estereoscópica. Entretanto,
as câmaras fotogramétricas, incluindo as digitais, continuarão, necessariamente,
a possuir complexos conjuntos de lentes.
Figura 2.1 Convergência de ondas planas.
A ótica é a ciência que procura controlar e manipular a luz. Esta ciência
é dividida em dois ramos: ótica física e ótica geométrica.
Na ótica física a luz é tratada como um grupo de ondas
eletromagnéticas e a propagação da luz é considerada como uma progressão
destas ondas, cada qual tendo sua própria amplitude, freqüência e fase. Se as
ondas se propagam em linhas paralelas, diz-se que a luz é colimada. A figura 2.1
mostra vários planos de onda originados em uma fonte situada no infinito, à
esquerda das lentes; esta é uma luz colimada. As lentes mudam a forma das
ondas de plana para esférica; as ondas esféricas, à direita das lentes, convergem
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em direção a um ponto teórico.
Na ótica geométrica a luz é considerada como um conjunto de raios se
propagando em linha reta, em forma de feixes de raios paralelos que convergem
ou divergem em relação a si. Se os raios se propagam paralelamente diz-se que
a luz é colimada. Na figura 2.2(a), que é a tradicional representação de uma lente
simples positiva, os raios à esquerda das lentes são colimados, enquanto que os
raios à direita convergem para um ponto teórico. Na figura 2.2(b) os raios à
esquerda também são colimados mais divergem ao passar pelas lentes
negativas.
2.2 REFRAÇÃO E REFLEXÃO
(a)
(b)
Figura 2.2 (a) Lentes positivas (b) Lentes negativas
Quando o raio de luz atinge a superfície de algum material, parte da luz
pode ser transmitida, parte pode ser refletida e parte pode ser absorvida pelo
material. Em ótica, o vidro e o ar são usados como materiais transmitentes
devido à sua transparência; o vidro e superfícies metálicas e difusas são usados
para reflexão; e vidro colorido para absorção.
A passagem da luz de um material transparente para outro provoca
uma mudança em sua velocidade. A velocidade em cada meio permite definir o
que é chamado de índice de refração do meio, dado por:
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n=c/V
(2.1)
onde:
n é o índice de refração;
c é a velocidade da luz no vácuo, e
V é a velocidade da luz no meio em consideração.
Se um raio de luz, como AA', na figura 2.3, é dirigido de um meio
transparente para outro meio transparente, perpendicularmente à superfície que
separa os meios, parte da luz é refletida; a outra parte continua, sem desvios, no
segundo meio na direção A'A". Se um raio BB' incide na superfície de separação
com um ângulo i em relação à normal a superfície (ângulo de incidência), parte
da luz será refletida pela superfície na direção B'B" formando um ângulo r com a
normal (ângulo de reflexão). A outra parte da luz é refratada na superfície e sua
,,,
direção muda no segundo meio, de acordo com a direção B'B . A nova direção
forma um ângulo R com a normal (ângulo de refração). Todos os raios estão no
mesmo plano.
Figura 2.3 Reflexão e Refração.
O caminho BB'B" do raio na figura 2.3 é descrito pela lei da reflexão,
que estabelece que:
a)
o raio incidente, a normal, e o raio refletido estão contidos no mesmo
plano;
b)
o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão (i=r).
,,,
O caminho BB'B é descrito pela lei da refração (lei de Snell), que
estabelece que:
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a)
o raio incidente, a normal e o raio refratado estão num mesmo plano;
b)
ni sen i = nR sen R
(2.2)
onde:
ni é o índice de refração do meio no qual o ângulo de incidência i é
formado e;
nR é o índice de refração no qual o ângulo de refração R é formado.
Analisando a equação 2.2 pode-se perceber que o raio refratado é
desviado em direção à normal do meio de maior índice de refração. Se o raio
incidente estiver no ar, então ni = 1, para finalidades práticas, e a equação 2.2
pode ser reescrita como:
sen R = sen i / nR
(2.3)
Meio de maior índice de
refração
Figura 2.4 Ângulo crítico.
Se um raio de luz é dirigido de um meio de maior índice de refração
para um de menor índice, o raio se desviará na direção oposta à normal no
segundo meio. À medida que o ângulo de incidência aumenta, o ângulo de
o
refração também aumenta, mas a uma taxa maior, até que atinja 90 . Além deste
ponto o raio é totalmente refletido. Na figura 2.4, o raio AA' é refratado na direção
A'A"; o raio BB' forma um ângulo incidente ic com a normal, fazendo com que o
o
raio emergente B'B" forme um ângulo de refração de 90 com a normal; o raio
CC' é refletido na direção C'C", de volta ao mesmo meio, obedecendo a lei de
reflexão (i=r).
o
O ângulo incidente ic, que causa um ângulo de refração de 90 é
chamado de ângulo crítico para os dois meios. Este ângulo pode ser determinado
a partir da lei de Snell. Fazendo sen R = 1, temos da equação 2.2:
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sen ic = nr / ni
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(2.4)
Exemplo 2.1
Se o índice de refração do vidro na parte superior da figura 2.4 é 1.6, na
parte inferior é 1.85, qual é o ângulo crítico?
Solução:
Exemplo 2.2
Se na parte superior da figura 2.4 o meio for ar e na parte inferior o meio
tiver um índice de refração de 1.60, qual é o ângulo crítico?
Solução:
2.3 REFLETORES
Os refletores são usados em Fotogrametria para dirigir a luz e para
manipular os raios de luz usados para formar imagens. Esses refletores são de
três tipos: esféricos, parabólicos e elipsoidais. Suas superfícies são compostas
de metais polidos, como, por exemplo, aço inoxidável.
Figura 2.5 Refletores
(a) Refletor esférico côncavo;
(b) Refletor parabólico;
(c) Refletor elipsoidal.
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Os refletores esféricos são usados para intensificar a quantidade de luz
emitida do filamento S de uma lâmpada (figura 2.5.(a) - refletor esférico côncavo).
A luz que é refletida seria perdida, caso não houvesse o refletor. De acordo com
a lei de reflexão, se a fonte de luz for colocada no centro de curvatura, cada raio
é refletido de volta, porque o ângulo de incidência é zero.
Na figura 2.5.(b) mostra-se um refletor na forma de um parabolóide.
Uma fonte de luz em S produzirá raios de luz que, quando refletidos pela
superfície parabólica, formarão um feixe de raios paralelos e, portanto, colimado.
Este tipo de refletor é usado para produzir iluminação uniforme sobre uma área
de mesmo diâmetro do refletor.
O refletor mostrado na figura 2.5.(c) é do tipo elipsoidal. Se a fonte de
luz S for colocada num dos focos do elipsóide, os raios serão refletidos até o
outro foco L. Alguns instrumentos restituidores analógicos (Balplex, por exemplo)
usavam este tipo de refletor.
Figura 2.6 Espelhos
2.4 ESPELHOS
Os espelhos são uma classe especial de refletores, cujas superfícies
refletoras são planas. A reflexão pode ocorrer na superfície frontal (fig. 2.6.(a));
neste caso, são chamados de espelhos de superfície frontal (ou de primeira
superfície). A reflexão pode ocorrer na superfície posterior de um vidro contendo
uma camada de metal reflexivo (fig. 2.6.(b)).
Os espelhos de superfície frontal são usados nos instrumentos
fotogramétricos para alterar a direção dos raios de luz da imagem. Estes
espelhos devem ser suficientemente planos para preservar a geometria dos raios
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refletidos.
Um tipo de espelho de superfície frontal denominado espelho semi-prateado, é
usado para dividir um feixe de luz em duas partes, cada qual podendo ser
dirigida para onde se desejar (figura 2.7). A superfície reflexiva pode ser usada
para controlar a intensidade relativa dos feixes, ou para separar uma cor
particular do feixe e redirecioná-la. Os espelhos convencionais não são
adequados para serem usados em instrumentos precisos, pois provocam duplas
reflexões que originam “imagens fantasmas”.
Figura 2.7 Espelho semi-prateado
2.5 PRISMAS
Os prismas são elementos de vidro (ou cristal) usados nos caminhos
óticos quando for necessário refletir, inverter, rotacionar ou deslocar uma
imagem. Os prismas de reflexão empregam o princípio da reflexão total em base
no ângulo crítico da interface ar-vidro. Na figura 2.8.(a) é mostrado o prisma de
o
45 ou de ângulo reto. Um raio de luz incidindo normalmente à uma das faces é
o
refletido internamente em 90 e emerge normal à segunda face. O índice de
refração do vidro usado para produzir o prisma é tal que o ângulo crítico é menor
o
o
que 45 . Como o ângulo de incidência na superfície reflexiva é 45 , obtém-se
uma reflexão interna total. Contudo, se o raio de luz não atinge a superfície
o
perpendicularmente, então o raio refletido não formará 90 como o raio incidente.
A figura 2.8.(b) mostra um prisma de Porro, que tem uma configuração
idêntica ao prisma reto. Entretanto, a orientação em relação aos raios incidente e
emergente é diferente. Ocorrem duas reflexões internas e o raio é desviado em
o
180 . A dupla reflexão inverte a imagem, como pode ser verificado na figura, mas
a orientação lateral é preservada.
São usados dois prismas de Porro para reverter a imagem (figura
2.8.(c)). Este conjunto é usado em binóculos para inverter uma imagem formada
invertida pelas lentes.
O penta-prisma, mostrado na figura 2.8.(d), é usado para girar um raio
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o
em 90 , não importando se o raio incidente é normal à primeira face do prisma.
Os ângulos de incidência das superfícies reflexivas dentro do prisma são
menores que o ângulo crítico; portanto, essas superfícies devem ser espelhadas.
Figura 2.8 PRISMAS
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(a) ângulo reto (b) Porro (c) Dois prismas de Porro (d)
Penta-prisma (e) Prisma de Amici (f) Dove (g) Rombóide
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O prisma de Amici, mostrado na figura 2.8.(e) tem a mesma função do
o
prisma reto, isto é, muda a direção de um raio em 90 . Entretanto, a parte em
o
forma de V do prisma possui duas faces com ângulos retos (90 ), ao contrário da
superfície reflexiva simples do prisma reto. Isto provoca não somente a mudança
o
de direção dos raios em 90 , mas também inverte a imagem da direita para a
esquerda.
O prisma de Dove, mostrado na figura 2.8.(f), é usado para rotacionar
um feixe de raios colimados em um caminho ótico, em relação ao eixo deste
caminho. A face de entrada e a face de saída do prisma formam um ângulo de
0
aproximadamente 45 com a base do prisma. Isto faz com que a maior parte da
luz que entra no prisma seja refratada em direção à base do prisma. Como o
ângulo de incidência deste feixe com a base é maior que o ângulo crítico, ocorre
uma reflexão total. Ao deixar a segunda face, o raio é novamente refratado e
continua o caminho original, na mesma direção.
o
Na parte inferior da figura 2.8.(f), o prisma foi rotacionado 90 , no
sentido horário, em relação a um eixo paralelo à base. Isto causou uma rotação
o
de 180 dos raios emergentes à direita, quando comparados com suas posições
relativas na parte superior da figura. Portanto, uma rotação do prisma sobre seu
eixo causa uma rotação duas vezes maior no feixe de raios colimados
emergente.
O prisma rombóide, mostrado na figura 2.8.(g) tem a função de deslocar
um raio de luz paralelamente a este raio, em uma distância fixa, que depende
das dimensões do prisma. Sua função é a mesma de dois prismas retos,
mostrados na figura. A orientação dos raios é preservada, quando atravessam o
prisma rombóide.
2.6 CUNHAS ÓTICAS
As cunhas óticas de vidro são tipos específicos de prismas usados para
defletir um caminho ótico com um ângulo relativamente pequeno. Um prisma de
refração, mostrado na figura 2.9, causa um espalhamento do feixe de luz branca
em várias cores diferentes. Esta dispersão ocorre porque o comprimento de onda
de cada uma das cores é diferente e, conseqüentemente, os índices de refração
do vidro para cada cor também são diferentes. O comprimento de onda mais
curto, o violeta, é mais refratado que o comprimento mais longo, o vermelho.
Se colocarmos um prisma de refração, com um pequeno ângulo de
ápice A, no caminho do raio de luz, como mostrado na figura 2.10, o raio será
defletido em uma quantidade D, dada por:
D = A (n - 1)
2009
(2.4)
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onde:
D é o ângulo de deflexão;
A é o ângulo de ápice, e;
n é o índice de refração do vidro, usando um valor médio entre os
valores para o violeta e o vermelho (luz amarela do vapor de sódio).
Figura 2.10 Cunhas Óticas
(a) cunha simples;
(b) combinação de cunhas para permitir várias deflexões;
(c) cunha com ângulo zero, usada para deslocar um raio
paralelamente;
O prisma é chamado de cunha ótica quando o ângulo de ápice A é
o
menor que 3 .
A figura 2.10.(b) mostra um par de cunhas montadas de tal maneira que
os raios passem sem desvios de direção. Se cada cunha for rotacionada em
direções opostas, a deflexão causada pelas duas cunhas pode variar de zero até
um valor máximo, que depende dos ângulos das cunhas e do índice de refração
dos vidros.
Estas cunhas são usadas nas oculares de estereoscópios para causar
uma divergência do campo de visão de cada olho. Também são usadas em
restituidores para compensar o estrabismo dos operadores.
A placa plana paralela mostrada na figura 2.10.(c) é um tipo de cunha
em que ângulo de ápice é zero. A função da placa paralela é deslocar um raio de
luz paralelamente, em uma quantidade mensurável. De acordo com a rotação da
placa, o raio de luz é deslocado em uma quantidade e, dada por:
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e = t.sen(i - R) / cos R
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(2.5)
onde:
i é o ângulo de rotação da placa;
R é o ângulo de refração dado pela equação 2.3 e depende do índice
de refração do vidro, e;
t é a espessura da placa.
2.7 LENTES
Figura 2.11 Desenvolvimento de uma lente esférica.
A lente é um componente ótico bastante conhecido, devido ao seu
emprego em instrumentos como câmaras fotográficas, lupas etc. A função da
lente em fotogrametria é capturar os raios luminosos e focalizá-los em algum
ponto. A lente é usada na formação de uma imagem no plano focal de uma
câmara, sobre o filme fotográfico, ou nos sistemas óticos dos restituidores.
A figura 2.11.(a) representa a seção de um feixe de luz colimada,
supostamente monocromática, incidindo na face de um prisma com ângulo de
ápice A. Assume-se uma luz monocromática para desprezar o efeito da
dispersão. Os vários raios do feixe são redirecionados, mas mantém o
paralelismo original. Mudando a forma do prisma de uma para várias faces, os
raios podem ser focalizados em um mesmo ponto F'. A figura 2.11.(b) mostra
esta idéia. Aumentando o número de faces indefinidamente, de tal maneira que
todos os raios do feixe convirjam para F', será obtida uma superfície curva, cuja
seção transversal é mostrada na figura 2.11.(c). Se esta seção for rotacionada ao
redor do eixo XX, serão geradas duas superfícies curvilíneas, que formam as
superfícies de uma lente. Normalmente, estas superfícies são aproximadas por
superfícies esféricas, por razões práticas. A linha XX é o eixo ótico da lente, e
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passa pelos centros de curvatura de ambas as superfícies.
Os vários tipos de elementos de lentes usados na montagem de
sistemas de lentes são mostrados na figura 2.12. Aqueles elementos em que o
centro é mais espesso que as extremidades são elementos convergentes,
conhecidos como lentes positivas. Aqueles elementos que são mais finos no
centro são elementos divergentes, conhecidos como lentes negativas.
Lentes Positivas
(a)
(d)
(b)
Lentes Negativas
(e)
(c)
(f)
Figura 2.12 Lentes:
(a) duplo-convexa
(b) plano-convexa
(c) côncavo-convexa ou menisco positivo
(d) duplo-côncava
(e) plano-côncava
(f) convexo-côncava ou menisco negativo
2.8 LENTES DELGADAS
Para estudar as propriedades de formação de imagens das lentes,
considera-se uma única lente sem espessura (lente delgada). Na figura 2.13.(a),
um feixe de luz colimada, paralelo ao eixo da lente, incide na superfície curva de
uma lente delgada e é focalizado no ponto F', chamado foco principal, que está a
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uma distância f à direita das lentes. A distância f é chamada de distância focal
das lentes e é determinada por:
1
⎡1 1⎤
= (n - 1) ⎢ + ⎥
f
⎣ r1 r 2 ⎦
(2.6)
onde:
n é o índice de refração do vidro;
r1 e r2 são os raios de curvatura das superfícies esquerda e direita,
respectivamente.
Figura 2.13 Foco principal, distância focal e plano focal.
Se o centro de curvatura da superfície esquerda estiver à direita da
lente, r1 é considerado positivo; se estiver à esquerda, r1 é negativo. Se o centro
de curvatura da superfície direita estiver à esquerda, r2 é positivo; se estiver à
direita, r2 é negativo. Portanto, se a distância focal for positiva, a lente é positiva;
se a distância focal for negativa, a lente é negativa (figura 2.12).
2009
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Figura 2.14 Formação da imagem:
(a) objeto fora do foco principal, formando uma imagem real;
(b) objeto dentro do foco principal, formando uma imagem virtual.
Qualquer feixe de raios colimados incidentes na superfície da lente, com
qualquer ângulo possível, teoricamente convergirá para um ponto no plano
perpendicular ao eixo ótico e passante pelo foco principal (figura 2.13(b)). Este
plano é chamado de plano focal da lente. Para simplificar costuma-se representar
o feixe de raios apenas por um raio principal, como mostrado na figura 2.13.b.
A luz colimada pode ser produzida por uma fonte que esteja
suficientemente longe da lente, de tal maneira que os raios de luz que atinjam a
lente possam ser considerados paralelos. Se a fonte for colocada mais próxima à
lente, então os raios provenientes desta fonte divergirão em direção à lente,
desfazendo o paralelismo. Portanto, o objeto está a uma distância finita da lente.
A posição da imagem de um objeto formado pela lente sob esta premissa pode
ser determinada usando as construções mostradas nas figuras 2.14(a) e 2.14(b).
Na figura 2.14(a), três raios são traçados a partir de cada um dos dois
pontos objetos A e B que estão antes do foco principal F. Considere o raio AA'
paralelo ao eixo ótico. Depois de refratado pela lente, torna-se A'a, passando pelo
foco principal F'. O raio AA" é dirigido ao centro da lente e passa sem ser
desviado, porque as partes das superfícies da lente onde o raio passa são
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aproximadamente paralelas. Portanto, o raio AA" torna-se o A"a até a interseção
com A'a no ponto a. O raio AA"' passa pelo foco principal conjugado F, é
refratado pela lente em A"', formando a reta A"'a, paralela ao eixo ótico. A mesma
construção é feita para o ponto objeto B, com o objetivo de determinar a posição
do ponto imagem b. A imagem ab é denominada de imagem real.
A distância objeto p, medida desde o objeto até o centro da lente, e a
distância imagem q, medida desde o centro da lente até a imagem, são
relacionadas através da seguinte expressão:
1 1 1
+ =
p q f
(2.7)
As distâncias p e q são ambas medidas paralelamente ao eixo ótico.
É importante mencionar que se p é infinito, então a distância imagem q
será igual à distância focal, com mostra a figura 2.13. Se p estiver à esquerda da
lente é considerada positiva; se q estiver à direita é também considerada positiva.
Na figura 2.14(b), os pontos objetos A e B estão dentro do intervalo do
foco principal F. Através de uma construção similar àquela mostrada na figura
2.14(a), e eliminando AA"' para melhor clareza, pode-se ver que a imagem ab é
formada no mesmo lado do objeto, e que a distância imagem q é negativa. Esta
é uma imagem virtual. Este é o princípio básico de uma lente de aumento.
A relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto é
chamada de aumento lateral (linear). Esta relação pode ser deduzida a partir de
triângulos semelhantes na figura 2.14(a), e é dada por:
M=
tamanho da imagem q
=
tamanho do objeto
p
(2.8)
Exemplo 2.3
A distância focal de uma lente delgada é 240mm. Um objeto é colocado
a uma distância de 16m da lente. Onde será formada a imagem e qual o
aumento?
Solução:
Exemplo 2.4
Onde deveria ser colocado um objeto para produzir uma imagem com
metade de seu tamanho real, considerando uma lente de distância focal
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29
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
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240mm? Onde a imagem será formada?
Solução:
2.9 LENTES ESPESSAS
Figura 2.15 Lente espessa.
No item anterior assumiu-se que as lentes delgadas não possuíam
nenhuma espessura e que a refração ocorria em um plano passante pelo centro
da lente e perpendicular ao eixo da lente.
Considerando-se uma lente com espessura finita, o método para
calcular a distância focal e a maneira de traçar o raio de luz no sistema devem
ser modificados. A figura 2.15 é uma seção de uma lente com espessura t, cuja
distância focal é calculada por:
1
⎡ 1 1 (n - 1) t ⎤
= (n - 1) ⎢ + ⎥
f
⎣ r1 r 2 n r1 r 2 ⎦
(2.9)
Exemplo 2.5
Os raios de curvatura das duas superfícies de uma lente espessa são r1
= +70mm e r2 = +120mm. O índice de refração do vidro é de 1.70; a lente tem
espessura de 8.5mm. Qual é a distância focal da lente?
Solução:
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Exemplo 2.6
Calcule a distância focal da lente do exemplo 2.5 assumindo que esta
lente é delgada.
Solução:
Exemplo 2.7
Considerando-se os mesmos dados do exemplo 2.5, exceto que o raio
da superfície de maior curvatura é agora negativo, qual é a distância focal desta
lente menisco?
Solução:
As duas linhas H e H' da figura 2.15 são traços do plano principal da
lente. Estes planos têm a seguinte propriedade: se um raio de luz é dirigido para
um ponto no plano H, como o ponto m, este é refratado pela lente de tal maneira
que emerge no segundo plano H' em um ponto à mesma distância do eixo ótico
(m'). Os planos principais interceptam o eixo ótico em dois pontos N e N',
chamados de ponto nodal anterior e ponto nodal posterior, respectivamente. Os
pontos nodais têm a seguinte propriedade: se um raio de luz no espaço objeto é
dirigido para o ponto nodal anterior, como AN na figura 2.15, este é refratado pela
lente de tal maneira que emerge no ponto nodal posterior N'a, sem mudança em
sua direção. A distância NN' é conhecida como separação nodal.
A distância focal de uma lente espessa e as distâncias imagem e objeto
são medidas a partir dos planos principais (fig. 2.15). A principal diferença entre
os diagramas 2.14 e 2.15 é a inclusão do espaço entre os planos principais no
último. A relação entre a distância objeto p, a distância imagem q, e a distância
focal de uma lente espessa é a mesma que a de uma lente delgada, como foi
dado pela equação 2.7. O aumento é dado pela equação 2.8.
Na figura 2.15, fazendo x igual à distância do objeto ao primeiro foco
principal F e x' igual à distância do segundo foco principal F' à imagem, a
equação da lente, relacionando distância objeto, distância imagem e a distância
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
focal, pode ser desenvolvida na forma Newtoniana, como se segue:
Como p = f + x e q = f + x', e usando a equação 2.7:
1
1
1
+
=
f + x f + x′ f
Multiplicando por f :
f
f
+
=1
f + x f + x′
Isto se reduz a:
2
f = x . x′
(2.10)
Lentes espessas de várias curvaturas, espessuras e índices de refração
são combinadas para formar sistemas óticos mais complexos, que, por
simplicidade, são chamados simplesmente de lentes ou sistema de lentes.
2.10
ABERTURA
A abertura em um sistema de lentes é uma obstrução física que limita a
quantidade de luz que pode passar pelas lentes para formar uma imagem. As
lentes fotográficas usadas em uma câmara contém um diafragma cujo diâmetro
pode ser alterado para controlar a quantidade de luz que passa pelo sistema de
lentes.
O sistema de lentes é usado para formar uma imagem no plano focal de
uma câmara. A capacidade de transmitir luz, ou a "velocidade" da lente é dada
pelo número f, ou f/number, ou f/stop. Quanto menor o f/stop (por exemplo, f/2)
mais "rápida" é a lente, porque permite a passagem de maior quantidade de luz.
O f/stop é o número pelo qual a distância focal f é dividida para
determinar o diâmetro da abertura. Portanto, se a distância focal de uma lente é
152mm e a abertura é ajustada para f/8, o diâmetro de abertura será 152/8 =
19mm.
A quantidade de luz que passa pelo sistema de lentes aumenta ou
diminui e acordo com a área da abertura e, conseqüentemente,
proporcionalmente ao quadrado do diâmetro da abertura. Os f/stop padrão são
arranjados de tal maneira a aumentar com um incremento de
2009
2.
Portanto,
32
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
cada incremento do f/stop permite a entrada de metade da luz admitida no f/stop
anterior (fig. 2.17).
A tabela 2.1 mostra a relação entre o f/stop nominal, gravado na
objetiva da câmara, o diâmetro de abertura de uma lente com distância focal de
75mm, e quantidade relativa de luz admitida.
Figura 2.16 Marcação dos fstop em uma objetiva de uma câmara fotográfica.
Para uma câmara com distância focal diferente de 75mm, o diâmetro e
a área de abertura podem ser diferentes daqueles mostrados na tabela 2.1,
embora a quantidade relativa de luz para os f/stop dados permaneça a mesma.
Figura 2.17 Aberturas do diafragma e respectivos fstop.
2009
33
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Tabela 2.1 f/stop nominal versus quantidade de luz (f=75mm)
F/stop
Diâmetro de abertura
Área de abertura
Quantidade
2
nominal
relativa
de luz
πd
2
(mm )
4
1
1.4
2
2.8
4
5.6
8
11
16
22
32
45
75.00
53.03
37.50
26.52
18.75
13.26
9.38
6.63
4.69
3.31
2.34
1.66
4418
2209
1104
552
276
138
69
34.5
17.3
8.6
4.3
2.15
1
½
¼
1/8
1/16
1/32
1/64
1/128
1/256
1/512
1/1024
1/2048
2.8 ABERRAÇÕES DAS LENTES
Uma aberração da lente evita que um ponto seja formado também
como um ponto em sua posição teórica correta no plano focal. Ao contrário, a
imagem de um ponto é um pequeno borrão.
Figura 2.18
Aberração esférica.
Quando a curvatura das superfícies da lente, o índice de refração do
vidro e a espessura das lentes são conhecidos, pode-se calcular todas as
aberrações. Estas aberrações são: aberração esférica, coma, astigmatismo,
curvatura de campo, distorção e aberração cromática. Com exceção da última,
2009
34
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
todas as demais são calculadas considerando-se luz monocromática.
O efeito da aberração esférica é mostrado na figura 2.18. A imagem do
ponto é sempre um pequeno círculo, não importando onde seja colocado o plano
imagem. Esta aberração se aplica apenas a pontos no eixo ótico.
Se um ponto for imageado fora do eixo ótico, a imagem resultante será
uma mancha em forma de cometa. Isto é chamado coma, e é representado na
figura 2.19. O coma é similar à aberração esférica, exceto que afeta os pontos
fora do eixo ótico
Imagem
Figura 2.19 Coma
Figura 2.20 Astigmatismo
O astigmatismo e a curvatura de campo estão bastante relacionados. O
astigmatismo faz com que um ponto fora do eixo ótico seja imageado como duas
pequenas linhas, mutuamente perpendiculares, mas em diferentes planos. O
2009
35
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
efeito desta aberração é mostrado na figura 2.20 (com exagero). A linha S é
perpendicular ao eixo ótico e a linha T é perpendicular ao raio principal. As
seções tomadas entre estas linhas são elípticas. A elipse C é um círculo e
representa a menor mancha; isto é feito para representar a imagem de um ponto.
Superfície focal esférica
Figura 2.21 Curvatura de campo
Na figura 2.21, a curva denominada T representa o lugar geométrico
das posições obtidas pela linha T, mostrada na figura 2.20, à medida que o
ângulo de separação com o eixo ótico aumenta. A curva S é o lugar
geométrico das posições obtidas pela linha S, da figura 2.20; e a curva C é o
lugar geométrico das posições obtidas pelo círculo C da figura 2.20. Se a
curva C for rotacionada sobre o eixo ótico, gerará uma superfície curva,
representando a superfície de melhor definição, que é representação da
curvatura de campo.
A distorção é uma aberração que provoca um desvio na trajetória do
raio de luz emergente no ponto nodal posterior, em relação ao raio incidente no
ponto nodal anterior. Este tipo de aberração é chamado de distorção radial e é
representada na figura 2.22. Enquanto que as aberrações descritas
anteriormente provocam o borramento na imagem e a conseqüente perda de
definição, a distorção deforma geometricamente as imagens.
O raio proveniente de O, coincidente com o eixo ótico, não sofre desvio
de trajetória. O raio proveniente de A e incidente no ponto nodal anterior N
deveria emergir no ponto nodal posterior sem desvio, na linha tracejada N'a'. A
distorção, entretanto, provoca um desvio na direção N'a. Isto faz com que o ponto
imagem a seja desviado radialmente em relação ao ponto central o. Quando o
desvio é em direção oposta ao que deveria ser o ponto ideal, então esta distorção
é considerada positiva (a'a); caso contrário, é considerada negativa (bb').
2009
36
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Figura 2.22
Antonio M. G. Tommaselli
Distorção radial.
Na figura 2.23 (a) mostra-se um quadrado perfeito e em (b) e (c) o efeito
da distorção. A distorção em (b) é positiva e chamada de distorção em almofada
e em (c) é negativa e chamada de distorção em barrilete.
(a)
(b)
Figura 2.23 Efeitos da distorção radial simétrica.
(c)
Plano Focal
d
e
e’
O
f
f’
Linha sem
distorção
descentrada
Figura 2.24 Distorção descentrada.
A distorção radial simétrica, possui o mesmo valor para pontos a uma
2009
37
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
mesma distância do ponto principal da foto e pode ser modelada
matematicamente pelo polinômio a seguir. Os parâmetros do polinômio são
obtidos no processo de calibração da câmara.
Outra forma de distorção que não é uma aberração, mas é
conseqüência de uma montagem imperfeita dos elementos das lentes é a
chamada distorção tangencial, ou distorção descentrada. A distorção
descentrada é o deslocamento de um ponto imagem, normal à linha radial
passante pelo ponto. Como é mostrado na figura 2.24, a imagem d está em sua
posição correta tangencialmente; a imagem e foi deslocada no sentido horário
de sua posição correta em e', enquanto que o ponto f foi deslocado no sentido
anti-horário de sua posição correta f'. Se a imagem de uma linha reta e'f' passa
pelo ponto central o, a distorção descentrada fará com que esta reta seja uma
linha curva, exceto quando coincidir com a linha de distorção nula.
Na figura 2.25 mostra-se uma comparação dos efeitos das distorções
radial simétrica e descentrada.
Distorção radial
Distorção descentrada
Figura 2.25 Efeitos das distorções radial simétrica e descentrada.
As aberrações anteriormente citadas são monocromáticas. As lentes
podem apresentar a aberração cromática, que é causada pela dispersão da luz
em diferentes componentes de cor, criando uma mancha ao invés de um ponto
(figura 2.26). Esta aberração é controlada combinando-se lentes positivas e
negativas com diferentes índices de refração.
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Ponto focal vermelho
Raio de luz branca
Ponto focal azul
Luz azul
Aberração
cromática
longitudinal
Luz Vermelha
Figura 2.26 Aberração cromática.
Todas as lentes sofrem aberrações, algumas mais do que outras. O
método geral de reduzir as aberrações é introduzir elementos adicionais com
aberrações opostas; isto é chamado de correção das lentes. Algumas aberrações
podem ser minimizadas reduzindo-se a abertura das lentes. Conseqüentemente,
onde forem necessárias lentes de alta velocidade deve-se corrigir as aberrações,
uma vez que a abertura deverá ser relativamente grande.
2.12 PODER RESOLUTIVO DAS LENTES
A resolução ou poder resolutivo das lentes é a capacidade de um
conjunto de lentes de mostrar separadamente um conjunto de pequenos
detalhes. Supondo que um sistema de lentes esteja isento das aberrações
mencionadas anteriormente, um feixe de luz colimada incidente sobre este
sistema deveria convergir para um único ponto. Entretanto, devido ao fenômeno
da difração da luz nas bordas do diafragma das lentes, o que deveria ser um
ponto, torna-se um disco de luz com anéis concêntricos claros e escuros.
2009
39
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
r
Diâmetro
(a)
(b)
Figura 2.27 Efeito da difração:
(a) imagem de um ponto isolado (b) fusão de dois pontos.
A figura 2.27 mostra estes anéis; o gráfico 2.27(a) mostra a variação da
intensidade de luz em função do diâmetro do disco central e dos anéis. Dois
discos de luz serão percebidos como um único ponto quando a distância entre
eles for inferior ao raio r de um dos discos (figura 2.27(b)). Este raio é dado por:
⎡f ⎤
r = 1.22 λ ⎢ ⎥
⎣d ⎦
(2.11)
O poder resolutivo das lentes é dado como o inverso do raio r, ou:
Poder resolutivo =
onde:
1
⎛f ⎞
1.22 λ ⎜ ⎟
⎝d ⎠
linhas / mm
(2.12)
λ é o comprimento de onda da luz;
f é a distância focal da lente;
d é o diâmetro de abertura;
(f/d) é o f/stop;
Se o comprimento de onda for expresso em mm, então o poder
resolutivo será expresso como o número de linhas individuais, separadas por
2009
40
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Antonio M. G. Tommaselli
espaços iguais, que podem ser identificadas em uma distância de 1mm.
Considerando o valor médio do comprimento de onda da luz branca
(0.00056mm) e lembrando que todas as aberrações foram consideradas nulas, a
equação para o poder resolutivo pode ser expressa como:
poder resolutivo =
1460
linhas / mm
f / stop
(2.13)
Como exemplo, considere os valores mostrados na tabela 2.2, que
estabelecem o poder resolutivo em função do f/stop.
Tabela 2.2 Poder resolutivo das lentes em função do f/stop
f/stop
d
(mm)
Área
2
(mm )
P. Resolutivo
(l/mm)
1.4
53
2209
1042.8
4
18.75
276
365
8
9.38
69
182
Estes valores referem-se apenas ao efeito de difração, sem considerar
as aberrações. Como as lentes fazem parte de um sistema fotográfico a imagem
formada ainda será afetada, adicionalmente, pelo poder resolutivo da emulsão
fotográfica. Embora a diminuição da abertura (e aumento do fstop) reduza as
aberrações a contrapartida é o aumento do efeito da difração e a redução da
resolução das lentes. Como conseqüência recomenda-se reduzir a abertura
apenas o necessário para obter uma profundidade de campo aceitável.
Exemplo:
Calcule o poder resolutivo de uma lente para luz branca, considerando o
f/stop = 8;
Solução:
2009
41
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Outra maneira de medir o poder resolutivo das lentes é a Função
Transferência de Modulação (MTF - Modulation Transfer Function).
Figura 2.28 Padrões de resolução usados na determinação da resolução
das lentes.
A resolução das lentes em ambos os métodos é obtida fotografando-se
alvos especiais com emulsões de altíssima resolução. Estes alvos são dotados
de conjuntos de pares de linhas com várias espessuras e separações entre as
linhas (Figura 2.28). Para a determinação da resolução em linhas/mm a imagem
do padrão é ampliada até se verificar o conjunto de linhas mais finas ainda
distinguíveis na foto. Este método apresenta o inconveniente de ser subjetivo,
pois o critério de determinar quando um conjunto de linhas não é suficientemente
visível varia de pessoa para pessoa.
A Transferência de Modulação é determinada fazendo-se varreduras
com um microdensitômetro nas fotos dos padrões de linhas semelhantes aos
mostrados na figura 2.29. A distribuição de brilho (variações de densidade) para
linhas grossas com um maior espaçamento seria parecida com aquela mostrada
na figura 2.29 (a). Entretanto, a distribuição de brilho medida na imagem daquele
2009
42
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
padrão seria do tipo mostrado na figura 2.29(b). As bordas se tornam um pouco
arredondadas na figura 2.29(b), mas as amplitudes (ou modulação) das
diferenças de brilho são semelhantes tanto na imagem quanto no objeto original.
Portanto, considera-se que, a esta freqüência espacial do padrão, a
transferência de modulação é de 100%. As varreduras com o scanner feitas
sobre padrões cada vez mais finos, produzirão modulações mais reduzidas,
conforme mostra a figura 2.29(c). Neste caso (fig. 2.29(c)), a amplitude é metade
daquela do objeto original e, portanto, a transferência de modulação é de 50%.
Brilho do
objeto
modulação
Brilho da
imagem
M odulação
10%
Brilho da
imagem
M odulação
da imagem
M odulação do
objeto
Figura 2.29 Transferência de Modulação:
(a)
Modulação do objeto teste;
(b)
Transferência de modulação da imagem do mesmo objeto teste;
(c)
Transferência de modulação da imagem com uma frequência espacial
mais próximo;
(Observar em (b) que, mesmo ocorrendo uma modulação de 100%, há uma
redução no contraste das bordas. Em (c) há, ainda, mais redução no contraste
das bordas, além de uma redução na transferência de modulação para 50%).
Pode-se obter uma curva plotando-se várias transferências de
modulação (ordenadas) em relação às freqüências espaciais (abcissas), obtidas
a partir das medidas em vários padrões com diferentes freqüências espaciais
(figura 2.30). Esta curva é chamada de Função Transferência de Modulação
(MTF - Modulation Transfer Function). A MTF é um excelente indicador para
os efeitos de borda, além de permitir a predição da resolução que pode ser
2009
43
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Transferencia de modulação %
esperada a um determinado nível de detalhe.
80
60
40
20
20
Figura 2.30
40
60
80
Freqüência espacial (l/mm)
100
120
Curva da Função Transferência de Modulação
(MTF - Modulation Transfer Function)
2.13 PROFUNDIDADE DE CAMPO E DISTÂNCIA HIPERFOCAL
Figura 2.31
Profundidade de campo em função do diâmetro de abertura.
De acordo com a equação das lentes (eq. 2.27) um objeto colocado a
2009
44
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
uma distância p das lentes será focalizado a uma distância q no espaço imagem
(figura 2.31). Se o objeto for deslocado até o ponto AP sua imagem se
apresentará desfocada, porque o plano focal não foi movimentado para atender à
equação das lentes. Analogamente, se o objeto for deslocado até o ponto AL sua
imagem também ficará borrada.
Uma imagem borrada de um ponto pode ser considerada aceitável
desde que o diâmetro desta imagem seja suficientemente pequeno para que seja
visto como um ponto. Se a imagem for observada a olho nu o diâmetro pode ser
de 0.25mm. Se a imagem for ampliada então o diâmetro deve ser de 0.025mm.
Este círculo, que representa um borramento aceitável, é chamado de círculo de
confusão mínima (c é o diâmetro deste círculo).
A profundidade de campo é a distância AL-AP, para a qual podemos
movimentar um objeto, sem alterar o plano focal, e ainda considerá-lo focalizado.
A profundidade de campo depende da distância focal das lentes, do diâmetro de
abertura, e da distância objeto para o qual as lentes foram focalizadas. Na figura
2.31.(b) mostra-se que, à medida que o diâmetro de abertura diminui, a
profundidade de campo aumenta. A profundidade de campo é maior para uma
distância focal pequena do que para as distâncias focais grandes. Conforme a
distância objeto diminui a profundidade de campo também diminui.
A figura 2.32 mostra a focalização em diferentes posições dos pontos
no espaço objeto.
Lentes
Plano do negativo
Foco
Círculo de confusão
Círculo de confusão
Figura 2.32 Círculo de confusão para objetos a diferentes distâncias.
Na figura 2.33 mostra-se quais objetos ficarão focalizados e quais
estarão dentro do intervalo de focalização.
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Profundidade de campo
Ponto de focalização
Figura 2.33
Intervalo de profundidade de campo.
Este conceito não é fundamental em Aerofotogrametria, pois a distância
câmara-objeto é muito grande em relação às variações do relevo. Em
Fotogrametria à curta distância, entretanto, a profundidade de campo é
parâmetro importante para a obtenção de fotos de qualidade aceitável.
O cálculo da profundidade de campo pode ser feito por meio das
equações 2.14 e 2.15:
pp =
pl =
onde:
p
1 + (p - f)c
D
f2
p
1 - (p - f)c
(2.14)
D
(2.15)
f2
p é a distância objeto;
pp é o limite mais próximo da profundidade de campo;
pl é o limite mais distante;
D é o f/stop;
c é o círculo de confusão mínima e;
a distância pl - pp é a profundidade de campo.
Exemplo 1:
Calcular a profundidade de campo de uma lente de distância focal
75mm, com f/stop 5.6, para uma distância objeto de 5m.
Solução:
2009
46
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Exemplo 2:
Qual a profundidade de campo para uma distância de 2m, considerando
os dados do problema anterior?
Solução:
A distância hiperfocal é a distância objeto além da qual a
profundidade de campo atrás do objeto se estende até o infinito. Esta distância H
pode ser determinada considerando-se que se pl tende ao infinito; então, na
equação 2.15, o denominador tente a zero:
2
f
H=
+f
cD
(2.16)
Se uma lente é focalizada para sua distância hiperfocal, então a
profundidade de campo vai desde o infinito até a metade da distância hiperfocal.
Exemplo 3:
Calcule a distância hiperfocal e o limite próximo da profundidade de
campo para o exemplo 1.
Solução:
A profundidade de foco é a distância anterior ou posterior ao plano de
foco mais nítido, para uma dada distância objeto, para a qual a imagem ainda
terá uma focalização aceitável.
Este intervalo é função do círculo de confusão mínima, da focal, da
distância objeto, do f/stop e pode ser calculado pela equação 2.17:
d=
cpD
p-f
(2.17)
onde d é a profundidade de foco em ambas as direções (figura 2.34).
Exemplo 4:
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
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Calcule a profundidade de foco para a lente considerada no exemplo 1.
Solução:
Figura 2.34
Profundidade de foco em função do diâmetro de abertura.
2.14 FILTROS
Filtros são elementos óticos plano-paralelos, produzidos com vidros de
alta qualidade e que possuem várias funções. Nas câmaras fotogramétricas as
funções básicas dos filtros são:
absorção espectral;
•
distribuição da entrada de luz e;
•
proteção das lentes.
•
A luz branca pode ser dividida em um grande número de linhas
espectrais monocromáticas (cores espectrais). Ao agrupar estas cores em
bandas com largura de 10nm, temos as três cores primárias: azul, verde e
vermelho.
A adição de pares de cores primárias produz as cores primárias
subtrativas: ciano, amarelo e magenta. Estas cores são chamadas de subtrativas
porque são geradas pela subtração de uma cor primária da luz branca. Deste
2009
48
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
modo:
ciano = azul + verde = branco - vermelho
amarelo = verde + vermelho = branco - azul
magenta = vermelho + azul = branco - verde
Tais subtrações são obtidas por filtros, que absorvem parte da luz
incidente, transmitindo a parte restante. Se a luz branca atinge o filtro, a parte
transmitida dará a cor do filtro.
De acordo com as funçoes, podem ser identificados três tipos de filtros:
filtros coloridos, filtros de calor e filtros de densidade neutra.
Percentual de transmitância
Os filtros coloridos são compostos de vidros coloridos ou contém um
nível de gelatina colorida entre os vidros que absorvem certos comprimentos de
onda, deixando passar outros. As características de transmissão e absorção de
um filtro colorido são dadas pela sua curva de transmitância. Na figura 2.35 é
mostrada a curva de transmitância para um filtro verde.
100
80
60
Ultravioleta
40
Infravermelho
Vermelho
20
0
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
Comprimento de onda em (μm)
Figura 2.35 Curva de transmitância de um filtro verde.
Nesta figura nota-se que a transmissão máxima ocorre nos
comprimentos de onda próximos a 0.55 μm, que constitui a luz verde. A luz na
região violeta e ultra-violeta é completamente absorvida pelo filtro, bem como
uma grande parte do vermelho e infravermelho.
Os filtros não são 100% eficientes, como mostrou a figura 2.35. O filtro
verde transmite somente 80% da luz verde, 20% da luz azul e 35% da luz
vermelha. A figura 2.36 mostra a curva de transmitância de alguns filtros
utilizados em Fotogrametria.
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Filtro
Zeiss
Filtro
`Leica
Figura 2.36 Curva de transmitância de filtros para câmaras fotogramétricas.
(fonte Krauss, 1993)
Os filtros amarelo ou o vermelho são usados nas câmaras aéreas com
filme pancromático para absorver a luz azulada criada pela névoa na atmosfera.
Quando se utiliza filme infravermelho deve-se, então, usar um filtro
vermelho forte. Os filtros vermelhos, usados com o filme infravermelho,
absorvem todos os comprimentos de onda exceto os mais longos. Isto causa a
focalização dos raios de luz ligeiramente fora do plano focal, o que ocasiona a
desfocalização da imagem, a menos que as lentes ou o plano focal sejam
deslocados
Além de sua aplicação nos processos fotográficos, os filtros coloridos
também podem ser usados em alguns instrumentos para permitir a visão
estereoscópica, através de um processo chamado anaglifo, que será visto no
capítulo sobre visão estereoscópica.
Para ilustrar o efeito causado por um filtro colorido em uma foto preto e
branco, pode-se supor uma cena em que maças vermelhas são fotografadas
contra um fundo com folhas verdes. Neste caso, tanto as maças quanto as folhas
possuirão tonalidades semelhantes na foto preto e branco. Entretanto, quanto se
utiliza um filtro verde, as maças aparecerão mais escuras, isto é, menos expostas
do que as folhas, porque o filtro absorveu a maior parte da luz vermelha que as
maças refletem e deixou passar a luz verde das folhas.
Os filtros de calor são placas plano-paralelas que tanto refletem
quanto absorvem comprimentos de onda longos na região do infravermelho, de
tal maneira que os raios de luz não tenham nenhum efeito danoso ao filme.
O filtro de densidade neutra é uma placa plano paralela delgada
2009
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Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
contendo um sombreamento cinza que diminui do centro para as bordas. A sua
função é reduzir a quantidade de luz que passa pelo sistema ótico, sem mudar a
composição de cores da luz. Compensa, ainda, a diminuição do brilho nas bordas
da imagem. Outro efeito é a compensação do efeito de vinhetamento, que é
causado pela limitação física do feixe de luz que entra oblíquo no sistema ótico
(figura 2.37).
(a)
(b)
(c)
Figura 2.37 Vinhetamento ou Vinhete;
(a) Exemplo do efeito do vinhete em um sistema com duas lentes. A parte
sombreada nunca atinge a segunda lente, ou seja, a parte periférica da
imagem não recebe esta parcela de luz.
(b) Efeito do vinhete na imagem; o centro recebe mais luz do que a periferia,
devido à obstrução física dos raios de luz periféricos;
(c) Exemplo de imagem aérea com efeito de Vinhete (Fonte: Nobrega, 2001)
2.15 Distribuição de luz sobre o plano focal
2009
51
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
Na figura 2.38 observa-se que uma fonte de luz S produz uma
iluminância I em uma superfície esférica de raio d. Se for considerada agora a
distância 2d esta iluminância é espalhada em uma área quatro vezes maior que a
área original, reduzindo-se a I/4. A iluminância decresce, portanto, com o inverso
do quadrado da distância à fonte de luz, o que é conhecido como lei de
iluminância.
Figura 2.38 Iluminância em função da distância à fonte de luz.
Fonte: Moffit e Mikhail, 1980.
Figura 2.39 Iluminância em função do ângulo de campo.
Fonte: Moffit e Mikhail, 1980.
Na figura 2.39 mostra-se uma lente positiva com uma abertura a. A
iluminação que atinge o ponto o é normal ao plano focal neste ponto e forma um
ângulo Φ no ponto p com o eixo ótico. A iluminância em p será menor do que
em o, devido a (Moffit e Mikhail, 1980):
A abertura circular aparece como uma elipse em p e a área desta elipse
sofre uma redução pelo fator cos Φ em relação à abertura circular em o;
A obliquidade de incidência reduz a iluminância por um fator cos Φ (Lei de
Lambert);
A distância das lentes ao ponto p é maior do que a distância até o ponto
axial a, por um fator sec Φ . Portanto, de acordo com a lei de iluminância
2009
52
Fotogrametria Básica – Ótica Fotogramétrica
Antonio M. G. Tommaselli
(inverso do quadrado da distância), a iluminância é reduzida por uma fator
2
cos Φ .
Chamando a iluminância axial de E0 , e EΦ a iluminância no ponto que
forma o ângulo Φ com o eixo ótico, pode-se escrever a expressão:
Eφ = E0 cos4 φ
(2.18)
4
Esta equação é conhecida como lei cos Φ da iluminância. Os efeitos
desta equação são às vezes confundidos com o vinhete, ou costuma-se agrupálos com o mesmo nome.
2009
53