Resposta no Tempo
Carlos Alexandre Mello
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1
Resposta no Tempo - Introdução
Como já discutimos, após a representação
matemática de um subsistema, ele é analisado em
suas respostas de transiente e de estadoestacionário para verificar se o subsistema possui
as características desejadas no projeto
Após essa análise, o subsistema pode ser
acoplado em um sistema de malha fechada
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2
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Também como já vimos antes, a resposta de um
sistema é a soma de duas respostas: a resposta
forçada e a resposta natural
Apesar da análise de um sistema por equações
diferenciais ser eficiente, em geral, é um processo
bastante custoso
O uso de polos e zeros e sua relação com a
resposta de um sistema é uma técnica rápida e
eficiente
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3
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Polos de uma função de transferência são:
Os valores da variável s da transformada de Laplace
que fazem a função de transferência tender para infinito
As raízes do denominador da função de transferência
que não são comuns a raízes do numerador
Evitando cancelar um fator do numerador com um do
denominador
Zeros de uma função de transferência são:
Os valores da variável s da transformada de Laplace
que fazem a função de transferência igual a zero
As raízes do numerador da função de transferência que
não são comuns a raízes do denominador
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4
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
Considere a função de transferência abaixo:
G(s)
R(s)
C(s)
Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2
Esses valores são plotados no plano s, usando um X
para indicar um polo e um O para indicar um zero
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5
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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6
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos
analisar a resposta do sistema a um degrau unitário
Ou seja, R(s) = 1/s
Assim, temos:
Ou:
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7
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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8
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
1.
2.
3.
4.
Da Figura anterior podemos concluir:
Um polo na função de entrada gera a forma da
resposta forçada (o polo na origem gerou a função
degrau na saída)
Um polo na função de transferência gera a forma da
resposta natural (o polo em -5 gerou e-5t)
Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial
do tipo eαt, onde α é a localização do polo no eixo real
(o polo em -5 gerou e-5t)
Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as
respostas forçada e natural (o cálculo dos coeficientes
da expansão em frações parciais)
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9
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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10
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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11
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Vamos ver outro exemplo para analisar como
podemos usar a técnica de polos e zeros para
obter a forma da resposta do sistema
Resposta por inspeção
Como vimos, cada polo da função de transferência
do sistema que está no eixo real gera uma
resposta exponencial que é componente da
resposta natural
Os polos da entrada geram a resposta forçada
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12
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva
a saída c(t), em termos gerais.
Por inspeção, cada polo gera uma componente
exponencial como parte da resposta natural
O polo da entrada gera a resposta forçada
Assim:
Resposta
forçada
Resposta natural
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13
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Exemplo 2: Um sistema tem função de
transferência
por inspeção, sua saída c(t), em termos gerais,
para uma entrada como degrau unitário é:
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14
Sistemas de Primeira Ordem
Sistemas de Primeira Ordem sem zeros:
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15
Sistemas de Primeira Ordem
Se G(s) = a/(s + a) e a entrada é um degrau
unitário R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da
resposta ao degrau é C(s), onde:
onde o polo na origem gera a resposta forçada cf(t) = 1 e o
polo do sistema em –a gera a resposta natural cn(t) = -e-at
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16
Sistemas de Primeira Ordem
O único parâmetro é a variável a que é necessária
para descrever a resposta em transiente
Quando t = 1/a:
ou:
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17
Sistemas de Primeira Ordem
Considerando que:
(1)
(2)
(3)
Vamos definir três especificações de desempenho
de resposta de transiente....
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18
Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
Dizemos que 1/a é uma constante de tempo da
resposta, Tc
Dada a relação (2) anterior, a constante de tempo
pode ser descrita como o tempo para e-at decair
para 37% do seu valor inicial
Da mesma forma, a constante de tempo é o tempo
que leva para a resposta ao degrau subir para
63% do seu valor final (considerando a relação (3)
anterior)
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19
Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
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20
Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
O parâmetro a é chamado de frequência
exponencial
A constante de tempo pode ser considerada um
parâmetro de especificação de transiente para um
sistema de primeira ordem já que ela está
relacionada com a velocidade de resposta do
sistema a um degrau de entrada
No gráfico de polos, o polo está localizado na
posição oposta à constante de tempo
Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginário
(abscissa), mais rápida a resposta de transiente
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21
Sistemas de Primeira Ordem
Tempo de Subida – Rise Time
O Tempo de Subida, Tr, é definido como o tempo
que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final
O tempo de subida é encontrado resolvendo (1)
para a diferença de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1
Assim: Tr = 2,31/a – 0,11/a ⇒ Tr = 2,2/a
c(t) = 1 – e-at
0,9 = 1 – e-at ⇒ 0,1 = e-at ⇒ -at = ln(0,1) = -2,31
t = 2,31/a
Para c(t) = 0,1, o mesmo cálculo leva a 0,11/a
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22
Sistemas de Primeira Ordem
Tempo de Acomodação – Settling Time
O Tempo de Acomodação, Ts, é definido como o
tempo que a resposta alcança e fica dentro de
uma faixa de ±2% do seu valor final
Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t,
encontramos Ts = 4/a
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23
Sistemas de Primeira Ordem
Problema: Um sistema tem função de
transferência:
Encontre a constante de tempo, Tc, o tempo de
acomodação, Ts, e o tempo de subida, Tr
Solução:
Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg
Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg
Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg
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24
Sistemas de Segunda Ordem
Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas
de segunda ordem têm uma grande variedade de
respostas que precisam ser analisadas
Enquanto apenas variar o parâmetro de um
sistema de primeira ordem muda sua velocidade
de resposta, mudanças nos parâmetros de
sistemas de segunda ordem podem mudar a forma
da resposta
Por exemplo, considere o sistema genérico:
G(s)
R(s)=1/s
C(s)
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25
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
-7,854
-1,146
Sistema Sobreamortecido
(Overdamped)
Exemplo 1:
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26
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
-1 + j√8
-1 - j√8
Sistema Subamortecido
(Underdamped)
Exemplo 2:
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27
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
j3
-j3
Sistema Não-Amortecido
(Undamped)
Exemplo 3:
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28
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
-3 (polo duplo)
Sistema Criticamente
Amortecido
(Critically Damped)
Exemplo 4:
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29
Sistemas de Segunda Ordem
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30
Sistemas de Segunda Ordem
Um sistema sobreamortecido se aproxima
rapidamente do valor final
A resposta de um sistema subamortecido é
sempre mais lenta, qualquer que seja o sinal de
entrada
O sistema criticamente amortecido é o que
apresenta resposta mais rápida
Vamos agora analisar cada tipo de resposta e
mostrar como podemos usar os polos para
determinar a natureza dessa resposta sem
precisar usar expansão em frações parciais e
transformada inversa de Laplace....
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31
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Sobreamortecida
No exemplo 1 anterior, temos:
A função tem um polo na origem que vem do
degrau de entrada e dois polos reais que vêm da
função de transferência do sistema
Assim, a saída pode ser escrita como:
Gerando o gráfico do exemplo 1 que é chamado
de sobreamortecido
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32
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
No exemplo 2 anterior, temos:
A função tem um polo na origem que vem do
degrau de entrada e dois polos complexos que
vêm da função de transferência do sistema
Polos em s = -1 ± j√8
Encontramos c(t):
Parte complexa = frequência
de oscilação da senóide
Parte real = expoente da exponencial: controla
o decaimento da amplitude da senóide
tg-1(Re/Img)
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33
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
A resposta em transiente consiste de uma
amplitude decaindo exponencialmente gerada pela
parte real do polo do sistema vezes uma onda
senoidal gerada pela parte imaginária do polo do
sistema
O valor da parte imaginária é a frequência real da
senóide (chamada frequência de oscilação
amortecida - ωd)
A resposta do estado estacionário (degrau unitário)
foi gerada pelo polo da entrada localizado na
origem (chamada resposta subamortecida)
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34
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
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35
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
e-t
cos(√8*t)
e-t*cos(√8*t)
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36
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
Exemplo: Por inspeção, escreva a forma da
resposta ao degrau do sistema abaixo:
G(s)
R(s)=1/s
C(s)
Solução:
A forma da resposta forçada é um degrau
Os polos do sistema são s = -5 ± j13,23
A parte real, -5, é a frequência da exponencial
A parte imaginária, 13,23, é a frequência em radianos para as
oscilações da senóide
⇒
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37
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
Exemplo (cont.):
Solução:
Assim, c(t) é uma constante mais um senóide
exponencialmente amortecida
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38
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Não Amortecida
No exemplo 3 anterior, temos:
A função tem um polo na origem que vem do
degrau de entrada e dois polos imaginários que
vêm da função de transferência do sistema
Polos: s = ±j3
Trata-se de uma classe do caso anterior onde a
parte real tem valor igual a zero
Assim, a exponencial será e-0t = 1
A resposta é dita não amortecida
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39
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Criticamente Amortecida
No exemplo 4 anterior, temos:
A função tem um polo na origem que vem do
degrau de entrada e dois múltiplos polos reais que
vêm da função de transferência do sistema
Polos: s = -3
Esses dois polos geram uma exponencial e uma
exponencial multiplicada pelo tempo
Assim, a saída pode ser estimada como:
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40
Sistemas de Segunda Ordem
Em resumo:
Respostas Sobreamortecidas
Polos: dois polos reais em –a e –b
Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo
iguais à localização dos polos: c(t) = K1e-at + K2e-bt
Respostas Subamortecidas
Polos: dois polos complexos em –a ±jω
Resposta natural: Senóide amortecida com um envelope
exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do
polo. A frequência em radianos da senóide é igual à parte
imaginária dos polos: c(t) = Ke-atcos(ωt - φ)
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41
Sistemas de Segunda Ordem
Em resumo:
Respostas Não Amortecidas
Polos: dois polos imaginários em ±jω
Resposta natural: Senóide não amortecida com frequência em
radianos igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Kcos(ωt - φ)
Mesmo caso anterior com a = 0
Respostas Criticamente Amortecidas
Polos: dois polos reais em –a
Resposta natural: Um termo é uma exponencial com constante
de tempo igual ao polo e o outro termo é uma mesma
exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e-at + K2te-at
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42
Sistemas de Segunda Ordem
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43
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Definição: Medidas necessárias para descrever as
características da resposta de transiente de
sistemas de segunda ordem
Como a constante de tempo define para sistemas de
primeira ordem
1) Frequência Natural
2) Coeficiente de Amortecimento
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44
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
1) Frequência Natural, ωn
A frequência natural de um sistema de segunda ordem é
a frequência de oscilação do sistema sem
amortecimento
2) Coeficiente de Amortecimento, ζ (zeta)
O coeficiente de amortecimento pode ser entendido
como uma comparação entre a frequência de
decaimento exponencial e a frequência natural
ζ = Frequência de decaimento exponencial
Frequência natural (rad/segundos)
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45
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Vamos usar esses conceitos na definição de
sistemas de segunda ordem
Considere o sistema geral:
Sem amortecimento, os polos estariam no eixo
imaginário e a resposta seria uma senóide não
amortecida
Para os polos serem puramente imaginários,
teríamos a = 0:
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46
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
ωn é frequência de oscilações do sistema
Como os polos estão em ±j√b: ωn = √b ⇒ b = ωn2
Assim, o coeficiente b está associado à frequência
natural; e o coeficiente a?
Considerando um sistema subamortecido, os polos
complexos têm uma parte real, σ, igual a –a/2
A magnitude desse valor é o decaimento
exponencial:
ζ = Frequência de decaimento exponencial = |σ| = a/2
Frequência natural (rad/segundos)
ωn
ωn
⇒ a = 2ζωn
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47
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Assim, a equação geral de um sistema de segunda
ordem é:
Exemplo:
Se
Quem são ζ e ωn?
ωn2 = 36 ⇒ ωn = 6
2 ζωn = 4,2 ⇒ ζ = 0,35
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48
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Resolvendo a equação geral para sistemas de
segunda ordem em busca de seus polos temos:
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49
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
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50
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
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51
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Exemplos:
a = 2ζωn
⇒ ζ = a/(2√b)
e
ωn = √b
⇒ ωn = √12 = 3,46
⇒ ζ = 8/(2√12) = 1,15 > 1 ⇒ Sobreamortecido
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52
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Exemplos:
a = 2ζωn
⇒ ζ = a/(2√b)
e
ωn = √b
⇒ ωn = √16 = 4
⇒ ζ = 8/(2√16) = 1 ⇒ Criticamente amortecido
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53
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
Exemplos:
a = 2ζωn
⇒ ζ = a/(2√b)
e
ωn = √b
⇒ ωn = √20 = 4,47
⇒ ζ = 8/(2√20) = 0,89 < 1 ⇒ Subamortecido
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54
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Vamos analisar a resposta ao degrau de um
sistema subamortecido:
ζ < 1 (sistema subamortecido):
⇒
⇒
∴
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55
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
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56
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Outros parâmetros associados com a resposta
subamortecida:
Tempo de subida (Rise Time – Tr): O tempo necessário
para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final
Tempo de pico (Peak Time – Tp): O tempo necessário
para atingir o primeiro pico
Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O
máximo valor de pico da curva de resposta, expresso
como uma porcentagem do estado estacionário
Tempo de Acomodação (Settling Time - Ts): O tempo
necessário para que a curva de resposta alcance (e
permaneça dentro) cerca de ±2% do valor estacionário
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57
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
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58
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Cálculos:
Tr é calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e
subtraindo os valores de tempo encontrados.
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59
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
A tabela abaixo é usada para cálculo aproximado
de Tr dependendo do valor de ζ :
Tr = (1,768ζ3 - 0,417ζ2 + 1,039ζ + 1)/ωn
Exemplo: ζ = 0,75 ⇒ Tr ≅ 2,3 seg
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60
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Vamos relacionar essas variáveis à localização
dos polos que geram as características do sistema
Vemos abaixo um gráfico de polos para um
sistema de segunda ordem geral subamortecido:
cosθ = ζ
ωd = parte imaginária do polo
σd = magnitude da parte real do polo
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61
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Das equações anteriores de TP e TS, podemos
concluir que:
TP é inversamente proporcional à parte imaginária do
polo
TS é inversamente proporcional à parte real do polo
Como linhas horizontais no plano-s são linhas de valor
imaginário constante, elas também são linhas de tempo de pico
constante
Como linhas verticais no plano-s são linhas de valor real
constante, elas também são linhas de tempo de acomodação
constante
Como ζ = cosθ, linhas radiais são linhas com ζ
constante (ou seja, %OS constante, já que só depende
de ζ)
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62
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
63
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Se os polos se movem na vertical, a frequência aumenta,
mas o envelope permanece o mesmo já que a parte real
dos polos não muda.
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
64
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Se os polos se movem na horizontal, a frequência
permanece constante. Um movimento para a esquerda
aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de
pico é constante porque a parte imaginária também é
constante.
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65
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Movendo os polos em uma linha radial constante a
porcentagem de sobressinal permanece constante.
Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais
rápida a resposta.
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66
Sistemas de Segunda Ordem
Subamortecidos
Exemplo 1: Ache ζ, ωn, TS, TP, Tr e %OS para o
sistema com função de transferência:
omegan = 19
zeta = 0.4211
Ts = 0.5000
Tp = 0.1823
pos = 23.2620
Tr = 0.0787
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67
Resposta de Sistema com Polos
Adicionais
Os parâmetros anteriores podem ser usados para
cálculos apenas em sistemas com um ou dois
polos, mas não para sistemas com mais polos ou
com zeros
Sob certas condições, um sistema com mais polos
ou com zeros pode ser aproximado para um
sistema de segunda ordem que tem apenas dois
polos complexos dominantes
Vamos analisar o efeito de um polo adicional em
um sistema de segunda ordem
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68
Resposta de Sistema com Polos
Adicionais
Vamos analisar as condições que devem existir
para aproximar o comportamento de um sistema
de três polos para um de dois polos
Considere um sistema de três polos com polos
complexos e um polo real
Considere os polos complexos em:
- ζωn ± jωn√1 - ζ2
e o real em -αr
A saída é então:
ou:
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69
Resposta de Sistema com Polos
Adicionais
Termo 1
Termo 2
Termo 3
A exponencial com expoente αr é o termo novo
derivado do fato do sistema ter três polos,
portanto, é o elemento a ser analisado
Consideraremos três casos:
Caso I: αr = αr1 e não é muito maior que ζωn
Caso II: αr = αr2 >> ζωn
Caso III: αr → ∞
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70
Resposta de Sistema com Polos
Adicionais
Termo 1
O termo 3 tende a decair bem mais rápido que o termo 2 que
traz a resposta ao degrau subamostrada
Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro
Caso III: αr → ∞
Termo 3
Caso II: αr = αr2 >> ζωn
Termo 2
Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um
sistema de segunda ordem puro
Caso I:
O sistema não pode ser aproximado para um de segunda ordem
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71
Resposta de Sistema com Polos
Adicionais
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
72
Resposta de Sistema com Zeros
Vamos adicionar um zero a um sistema de
segunda ordem
Como vimos antes, os zeros afetam a amplitude
da resposta
Considere por exemplo o sistema:
e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10
Polos: -1 ± j2,828
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73
Resposta de Sistema com Zeros
deng = [1 2 9];
Ta = tf([1 3]*9/3, deng);
Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ;
Tc = tf([1 10]*9/10, deng);
T= tf(9,deng);
step (T, Ta, Tb, Tc)
text (0.5, 0.6, 'no zero')
text (0.4, 0.7, 'zero at -10')
text (0.35, 0.8, 'zero at -5')
text (0.3, 0.9, 'zero at -3')
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74
Resposta de Sistema com Zeros
À medida que o zero se afasta dos polos
dominantes (aumenta seu valor absoluto), a
resposta se aproxima de um sistema de segunda
ordem
Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a
resposta transitória
Considere um sistema com resposta C(s) sem
zeros
Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que
termos: (s + a)C(s) = sC(s) + aC(s)
Ou seja, a derivada da resposta original e uma versão
em escala da resposta original
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75
Resposta de Sistema com Zeros
Se a, o negativo do zero, é muito grande, a
transformada de Laplace será aproximadamente
aC(s), ou seja, apenas a versão em escala da
resposta original
Se a não for tão grande, a resposta tem um
componente adicional que é a derivada da
resposta original
À medida que a diminui, o termo derivativo
contribui mais e mais com a resposta e aumenta
seu efeito como pode ser visto na figura anterior
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76
Resposta de Sistema com Zeros
Se a for negativo, o zero passa a estar no semiplano direito, o resultado para um sistema de
segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a
resposta começa negativa até alcançar um valor
de estado estacionário positivo
Tal sistema é chamado de sistema de fase nãomínima
Se um carro é um sistema de fase não-mínima, ele
vai primeiro virar um pouco para a esquerda
quando receber o comando para virar à direita
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77
Resposta de Sistema com Zeros
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
78
Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 4, Problemas:
2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 37, 45 (mas
usando os conceitos da seção 4.10 e não 4.11)
No MatLab:
3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentário da questão 45)
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
79
A Seguir....
Redução de Múltiplos Subsistemas
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
80