Bancário
Matemática Financeira
Apostila
Pedro Evaristo
2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
Matemática Financeira
CAPÍTULO 01
PORCENTAGEM
INTRODUÇÃO
A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento.
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidação: 20
por cento de desconto em todos os artigos", significa que você terá 20 reais de
desconto para cada 100 reais do preço do artigo que comprar.
Estabelecemos, então, a
razão
OBSERVAÇÃO:
20
100
e
podemos
afirmar que:
Toda razão a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem.
Assim,
20
100
é o mesmo que 20 por cento. A expressão por cento pode ser
substituída pelo símbolo %. Dessa forma, temos:
20
= 20 %
100
Veja os exemplos:
·
8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a
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80
8
ou
ou 80% do grupo.
10
100
2
Matemática Financeira
·
Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a
21
7
ou
ou 7% do
300
100
total.
EXEMPLO:
Se uma barra de chocolate é dividida em 5 pedaços e uma pessoa come 3 deles,
ela terá comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria
comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustração.
3
6
60
=
=
= 60%
5 10 100
FRAÇÃO x PORCENTAGEM
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3
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AUMENTOS E DESCONTOS
AUMENTO DE 20%
· Valor inicial Þ x
· Valor do aumento Þ 20% de x
· Valor após o aumento Þ 120% de x
DESCONTO DE 20%
· Valor inicial Þ x
· Valor do desconto Þ 20% de x
· Valor após o desconto Þ 80% de x
LINK:
Para ganhar tempo (o que é fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta
20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o desenvolvimento:
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x
Observe os aumentos e descontos a seguir:
x
+20%
x
+50%
x
+84%
x
+136%
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120%x
x
150%x
x
184%x
x
236%x
x
-20%
-50%
-84%
+100%
80%x
x
+100%
50%x
x
+200%
16%x
x
+400%
200%x
x
+800%
2x = 200%x
3x = 300%x
5x = 500%x
9x = 900%x
4
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LINK:
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5
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PORCENTAGEM DE CABEÇA
O segredo para calcular porcentagem de cabeça é perceber como é fácil
calcular 10% e 1%.
LINK:
LINK:
Para fazer porcentagem de cabeça, basta entender a relação de todas as
porcentagens com 10%.
· 10% de 120 = 12
(1/10 de 120 = 120/10 = 12)
· 20% de 120 = 24
(20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24)
· 30% de 120 = 36
(30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 =
36)
· 5% de 120 = 6
· 1% de 120 = 1,20
(5% é a metade de 10%, logo a metade de 12 é 6)
(1/100 de 120 = 120/100 = 1,20)
· 21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2)
· 35% de 120 = 42
(35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6
= 42)
· 52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 =
62,4)
· 90% de 120 = 108
(90% = 100% (o todo) – 10%, ou seja 120 – 12 = 108)
· 95% de 120 = 114
(95% = 100% (o todo) – 5%, ou seja 120 – 6 = 114)
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6
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· 99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) – 1%, ou seja 120 – 1,2 = 118,8)
· 125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30
= 150)
· 151% de 120 = 181,2
(151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja
120 + 60 + 1,2 = 181,2)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens?
SOLUÇÃO:
Lembre-se que porcentagem é fração, mas uma fração cujo denominador é 100.
Então, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50
alunos, basta escrever a fração que isso representa, procurando a fração
equivalente cujo denominador seja 100. Observe:
02. Em uma viagem de 200km, já foram percorridos 126km, qual o percentual já
percorridos?
SOLUÇÃO:
A fração do que já foi percorrido, em relação ao total da viagem, pode ser escrito
da seguinte forma:
03. Se João gastou 18/25 do seu salário, qual o percentual que ainda resta?
SOLUÇÃO:
Quem gasta 18 partes de 25 é por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa
fração equivale a:
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04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um município votaram contra uma
determinada obra, qual o percentual que votou a favor?
SOLUÇÃO:
Se 7 entre 20 vereadores votaram contra é por que os 13 restantes entre 20
votaram a favor, logo:
05. Após uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de
deferidos?
SOLUÇÃO:
Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, então foram deferidos 3 dentre 8.
Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em
seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe:
06. Em uma festa, o DJ tocou 8 músicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual
o percentual de nacionais nesse repertório?
SOLUÇÃO:
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07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único aumento
de quanto?
SOLUÇÃO:
Podemos empregar nessa questão um artifício aritmético que costumo chamar de
“truque do 100”.
A idéia consiste em escrever o número 100 e seguir os comandos, ou seja,
aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo
valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe:
Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se
facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no
início, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%.
Um fato interessante é que a ordem dos aumentos não altera o resultado final,
observe:
Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e
quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto
x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%).
08. Descontos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único desconto de
quanto?
SOLUÇÃO:
Da mesma forma que na questão anterior podemos aplicar o “truque dos 100”,
veja:
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10
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Portanto, redução de 44 para cada 100, ou seja, diminuição de 44%.
09. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços
dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem
sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A.
SOLUÇÃO:
Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original
deve aumentar 20 em relação a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%.
Observe:
Portanto, para retornar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer
acréscimo de 25%.
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CAPÍTULO 02
JUROS SIMPLES
INTRODUÇÃO
A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta
ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios
que teremos, tanto para ganhar dinheiro como
para evitar perde-lo. Como por exemplo, na
escolha do melhor financiamento de um bem ou
onde fazer aplicações financeiras.
O estudo da Matemática Financeira é todo
feito em função do crescimento do capital (C)
aplicado com o tempo. Definiremos capital como
qualquer quantidade de moeda ou dinheiro.
O montante (M), ou seja, o valor final do
capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que
é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto,
a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo
ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o
capital de outra.
O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de
juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um
intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade,
denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n).
Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando
sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro
caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no
segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.).
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De outra forma temos:
·
·
Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado,
somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos
calculando juros simples.
Quando os juros são incorporados ao capital após cada período
de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos
que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros
compostos.
Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da
esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas
por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois
seu aumento é exponencial (juros compostos).
CAPITAL (C): Aplicação, investimento, saldo
inicial, valor inicial, valor atual, valor presente
e principal.
MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado,
saldo devedor, saldo credor, valor futuro e
capital futuro.
JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e
compessação financeira.
TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de
juros e percentual de juros.
TEMPO (t): Prazo, período, número de
períodos e unidades de tempo.
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JUROS SIMPLES
Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é
constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este
coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros.
CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO:
A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de
6% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo?
No problema apresentado anteriormente, temos:
· capital aplicado ..............
R$ 600,00
· taxa % ao mês .............. 6% = 6/100 = 0,06
· tempo em meses ..........
3 meses
Temos que:
· Após o 1º período, os juros serão:
0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00
· Após o 2º período, os juros serão:
R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00
· Após o 3º período, os juros serão:
R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00
Assim, o montante (capital mais rendimentos) será de:
R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00
Vamos generalizar, deduzindo uma fórmula para calcular os juros simples.
ìC = capital aplicado
ï
íi = taxa % por período de tempo
ït = número de períodos de tempo
î
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Então, temos
· Após o 1º período, o total de juros será: C.i;
· Após o 2º período, o total de juros será: C.i+C.i;
· Após o 3º período, o total será: C.i+C.i+C.i;
· Após o t-ésimo período, o total de juros será:
C.i + C.i + C.i + .... + C.i.
t parcelas
Assim, a fórmula que fornece o total de juros simples é:
J = C.i.t
O montante final é de:
M=C+J
Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as fórmulas citadas.
Calculando os juros simples, temos:
J = 600.0,06.3 = 108
O montante será de:
M = C + J = 600 + 108 = 708
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TEMPO COMERCIAL
Nas aplicações financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam
convenção diferente para contagem do prazo.
O tempo pode ser contado de duas formas:
·
·
ANO CIVIL: 365 dias
ANO COMERCIAL: 360 dias
JUROS COMERCIAL (ORDINÁRIOS)
Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o
ano.
Nas aplicações práticas e por convenção, quando nos referimos apenas ao
número de meses, utilizaremos o mês comercial com 30 dias, de forma indiferente.
JUROS EXATOS
Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato.
Fica implícito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas
da negociação e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata,
inclusive considerando anos bissextos.
É importante saber que os bancos trabalham com juros ordinários e tempo
exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o último dia.
Taxa Diária (ao dia)
a.d.
Taxa Quinzenal (a quinzena)
a.qi.
Taxa Mensal (ao mês)
a.m.
Taxa Bimestral (ao bimestre)
a.b.
Taxa Trimestral (ao trimestre)
a.t.
Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q.
Taxa Semestral (ao semestre)
a.s.
Taxa Anual (ao ano)
a.a.
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TAXAS PROPORCIONAIS
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais,
quando ao serem aplicadas a um mesmo capital,
durante um mesmo período de tempo, produzem
um mesmo montante no final do prazo, em regimes
de juros simples.
LINK:
i
i M i B iT
i
ou
=
=
= S = A
1
2
3
6 12
i
iD iM
i
i
i
=
= B = T = S = A
1 30 60 90 180 360
EXEMPLO:
· 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a.
· 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.
· 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.
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SIMPLES x COMPOSTO
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros,
segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros
simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos:
JUROS SIMPLES - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
PRINCIPAL = 100
NO DE MESES
MONTANTE SIMPLES
1
100 + 10%.100 = 110,00
2
110 + 10%.100 = 120,00
3
120 + 10%.100 = 130,00
4
130 + 10%.100 = 140,00
5
140 + 10%.100 = 150,00
LINK:
· Juros calculado em cima
do principal.
· Não pode aplicar juros
em cima dos juros.
· Cresce como uma P.A..
· Taxa equivalente é
proporcional ao tempo.
As taxas equivalentes para cada período são proporcionais ao tempo.
100
+10%
110
+10
120
+10
130
+10
140
+20%
+30%
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+40%
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JUROS COMPOSTOS - após cada período, os juros são incorporados ao principal e
passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
PRINCIPAL = 100
NO DE MESES
MONTANTE COMPOSTO
1
100,00 + 10%.100,00 = 110,00
2
110,00 + 10%.110,00 = 121,00
3
121,00 + 10%.121,00 = 133,10
4
133,10 + 10%.133,10 = 146,41
5
146,41 + 10%.146,41 = 161
,05
LINK:
· Juros é calculado em
cima do saldo..
· Pode aplicar juros em
cima dos juros.
· Cresce como uma P.G..
· Taxa equivalente não é
proporcional ao tempo.
As taxas equivalentes para cada período não são proporcionais.
100
+10%
110
+10%
121
+10%
133,1
+10%
146,41
+21%
+33,1%
+46,41%
Observe que o crescimento do principal segundo M
simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo
compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um
crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser
ilustrado graficamente como no gráfico ao lado.
juros
JUROS
juros
COMPOSTO
JUROS
SIMPLES
C
t
1
Na prática, as empresas, órgãos governamentais
particulares costumam reinvestir as quantias geradas
pelas aplicações financeiras, o que justifica o
emprego mais comum de juros compostos na
Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se
justifica em estudos econômicos.
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e
investidores
19
Matemática Financeira
LINK:
Para ganhar tempo em muitas questões, o que é fundamental em concursos, observe que
se um capital x aumenta 20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o
desenvolvimento:
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x
x
+20%
120%x
x
+50%
-20%
-50%
x
150%x a seguir:
x
Observe os aumentos
e descontos
x
x
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+84%
+136%
184%x
x
236%x
x
-84%
+100%
80%x
x
50%x
x
16%x
x
200%x
x
+100%
+200%
+400%
+800%
2x
3x
5x
9x
20
Matemática Financeira
EXEMPLOS
01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com
taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação.
1ª SOLUÇÃO:
Sem usar fórmula, temos que:
5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 mês)
Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos:
12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses)
Portanto, o resgate (montante) será
R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00
2ª SOLUÇÃO:
Dados:
C = 800
i = 5% a.m.
t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do
tempo)
Aplicando na fórmula J = C.i.t, temos
J = 800.5%.12
J = 800.
5
100
.12
J = 480 (rendimento)
Como M = C + J, então
M = 800 + 480
Portanto
o
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resgate
(montante)
é
de
1280
reais.
21
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. (CESGRANRIO) Aplicações financeiras
podem
ser
feitas
em
períodos
fracionários e inteiros em relação à taxa
apresentada, tanto em regimes de
capitalização
simples
quanto
compostos. A partir de um mesmo
capital inicial, é possível afirmar que o
montante final obtido pelo regime
composto em relação ao montante
obtido pelo regime simples:
a) é sempre maior
b) é sempre menor
c) nunca é igual
d) nunca é menor
e) pode ser menor
02. Foi feita uma aplicação de R$
4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um
regime de juros simples, durante três
trimestres. Determine o valor do resgate
após esse período.
a) R$ 6.200,00
b) R$ 5.800,00
c) R$ 4.500,00
d) R$ 2.400,00
e) R$ 1.800,00
03. Diego atrasou o pagamento de um
boleto bancário de R$120,00, que
venceu dia 12 de março. Em caso de
atraso será cobrada multa de 4% e juros
simples de 3% a.m.. Quanto seria o total
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22
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pago por ele no dia 19 de agosto do mesmo ano?
a) 139,20
b) 144,00
c) 153,00
d) 162,40
04. (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12 800,00 foi
aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse
capital deve ficar aplicado por um período de
a) 8 meses.
b) 10 meses.
c) 1 ano e 2 meses.
d) 1 ano e 5 meses.
e) 1 ano e 8 meses.
05. (CESGRANRIO) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 a vista ou por
50% deste valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4
meses. Qual é a taxa de juros simples mensal cobrada?
a) 0,025% ao mês
b) 0,150% ao mês
c) 1,500% ao mês
d) 2,500% ao mês
e) 5,000% ao mês
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23
Matemática Financeira
ANOTAÇÕES:
06. (ESAF) O preço à vista de uma
mercadoria é de $1.000,00. O comprador
pode, entretanto, pagar 20% de entrada
no ato e o restante em uma única
parcela de $922,60 vencível em 90 dias.
Admitindo-se o regime de juros simples, a
taxa de juros anuais cobrada na venda a
prazo é de:
a) 98,4%
b) 122,6%
c) 22,6%
d) 49,04%
e) 61,3%
07. (NCE) Antônio tomou um empréstimo
de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal
de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a
cada mês é cobrado um juro de 4%
sobre o que resta a pagar. Antônio
pagou R$700,00 ao final do primeiro mês
e R$1.680,00 ao final do segundo; se
Antônio decidir quitar a dívida ao final do
terceiro mês, terá de pagar a seguinte
quantia:
a) R$3.500,00
b) R$3.721,00
c) R$3.898,00
d) R$3.972,00
e) R$3.120,00
08. (CESPE) Se o capital for igual a 2/3 do
montante e o prazo de aplicação for de
2 anos, qual será a taxa de juros simples
considerada?
a) 1,04% a.m.
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24
Matemática Financeira
b) 16,67% a.m.
c) 25% a.m.
d) 16,67% a.a.
e) 25% a.a.
09. (CESPE) Um consumidor desejava comprar um computador em determinada
loja, mas não dispunha da quantia necessária ao pagamento do preço à vista,
que era de R$ 1.400. Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse um
valor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante em
uma única parcela, no prazo máximo de seis meses, a contar da data da compra,
com juros mensais iguais a 4% ao mês, sob o regime de juros simples. Exatamente
cinco meses após a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor de
R$ 660,00. Nessa situação, é correto concluir que o valor da entrada paga pelo
consumidor foi igual a
a) R$ 280.
b) R$ 475.
c) R$ 740.
d) R$ 850.
e) R$ 1.120.
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25
Matemática Financeira
10. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 à taxa de juros
simples de 2% ao mês. Decorridos 2
ANOTAÇÕES:
meses, outra pessoa aplica R$8.000,00 à
taxa de juros simples de 4% ao mês.
Determine quantos meses depois da
primeira aplicação o montante referente
ao valor aplicado pela primeira pessoa
será igual ao montante referente ao valor
aplicado pela segunda pessoa.
a) 22
b) 20
c) 24
d) 26
e) 18
11. (FCC) Num mesmo dia, são aplicados
a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5%
ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se,
decorridos 2 anos e 8 meses da
aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7
600,00, o capital inicial era
a) R$ 12 500,00
b) R$ 12 750,00
c) R$ 14 000,00
d) R$ 14 500,00
e) R$ 14 750,00
12. (FCC) Determinado capital aplicado a
juros simples durante 18 meses rendeu R$
7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste
capital fosse aplicado a juros simples com
a mesma taxa anterior, geraria, ao final
de dois anos, o montante de R$ 40.000,00.
O valor do capital aplicado na primeira
situação foi:
a) R$ 24.000,00
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26
Matemática Financeira
b) R$ 20.800,00
c) R$ 15.200,00
d) R$ 12.500,00
e) R$ 10.400,00
GABARITO
01. E 02. B 03. B 04. B 05. D
06. E 07. E 08. E 09. D 10. A
11. A 12. E
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27
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CAPÍTULO 03
JUROS COMPOSTOS
INTRODUÇÃO
Na capitalização composta, o juro produzido no final de cada período
financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais
juros a render juros no período seguinte.
Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$
600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de
R$ 708,00.
No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros
compostos, ou seja, após cada período de tempo, os juros são integrados ao
capital, passando também a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas de
poupança.
Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos:
· Após o 1º período (mês), o montante será:
1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00
· Após o 2º período (mês), o montante será:
1,06 . R$ 636,00 = R$ 674,16
· Após o 3º período (mês), o montante será:
1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 61
Esse é o montante final, representado por M. Observe que esse montante é maior
do que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples.
Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para o
cálculo de juros compostos.
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28
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Sejam:
ìC = capital inicial
ïi = taxa % por período de tempo
ï
í
ït = número de períodos de tempo
ïîM = mon tan te final
Então:
· após o 1º período (mês), o montante será:
M1 = C + i.C
Þ
M1 = C.(1 + i);
· após o 2º período (mês), o montante será:
M2 = M1+ i.M1
Þ
M2 = C(1 + i).(1 + i)
M2 = M1.(1 + i)
Þ
M2 = C.(1 + i)2.
· após o 3º período (mês), o montante será:
M3 = M2 + i.M2 Þ
M3 = M2.(1 + i)
M3 = C(1 + i)2.(1 + i)
Þ
M3 = C.(1 + i)3.
Procedendo de modo análogo, é fácil concluir que, após t períodos de
tempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, será:
·
M = C.(1 + i)t
Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos:
M = 600.(1+6%)3
Olhando na tabela 1, temos (1+6%)3 = 1,1910, logo
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29
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M = 600.1,1910
então
M = 714,60
Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferença entre o montante
produzido e o capital.
J=M–C
No exemplo dado, teremos:
J = 714,60 – 600
Portanto
J = 114,60
LINK:
Na fórmula para o cálculo do Montante aparecem quatro variáveis: M, C, i e t. Podemos
encontrar qualquer uma delas, desde que se conheçam as outras três.
LINK:
É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A
tabela I, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de
acumulação (1+i)t.
Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+5%)10, basta olhar o resultado na linha
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30
Matemática Financeira
LEITURA NA TABELA
É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos
anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o
fator de acumulação (1+i)n.
Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+6%)9, basta olhar nessa
tabela o resultado na linha 9 (período) associada à coluna 6% (taxa), para
encontrar 1,6895 (como visto na figura).
TABELA 1
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO
1,6895
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31
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MONTANTE PARA PERÍODOS NÃO-INTEIROS
Para calcular o montante em juros composto em que o período não seja um
número inteiro de períodos a que se refere à taxa considerada. Isto decorre do
fato de que estamos considerando capitalizações descontínuas, ou seja, os juros
supõem-se formados apenas no fim de cada período de capitalização. Devemos,
portanto, considerar hipóteses adicionais para resolver o problema.
Dessa forma, podemos utilizar dois métodos: convenção exponencial (valor
real) ou convenção linear (valor aproximado).
CONVENÇÃO EXPONENCIAL
É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se
a taxa equivalente. Ou seja, se a taxa for anual e o período for dado em anos e
meses, devemos trabalhar com a taxa mensal equivalente e o período em meses.
MONTANTE
M2
M
M1
C
t1
t
t2
PERÍODO
CONVENÇÃO LINEAR
É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados por
interpolação. Ou seja, deve-se calcular os montantes no período anterior e
posterior ao período não-inteiro, considerando um crescimento linear entre eles.
MONTANTE
M2
M
M1
C
t1
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t
t2
PERÍODO
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EXEMPLOS
01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos,
com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação
SOLUÇÃO:
Dado:
ìM = ?
ï
ïC = R$ 800,00
í
ïi = 5% a.m.
MESMA UNIDADE DE TEMPO
ïît = 1ano = 12 meses
Sendo
M = C.(1 + i)t
então
M = 800.(1+5%)12
Pela tabela 1, temos:
M = 800.1,796 = 1436,8
Dessa forma, o juros será
J=M–C
J = 1436,8 – 800
J = 636,8
Portanto o montante final será de R$ 1.436,80 e o rendimento de R$ 636,80.
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EXERCÍCIOS
ANOTAÇÕES:
01. (ACEP) Fátima aplicou R$ 1.000,00 a
uma taxa de juros compostos de 10% ao
mês e por um prazo de 1 trimestre. Tendo
sido as capitalizações mensais, qual será
o valor do resgate?
a) R$ 1.331,00
b) R$ 1.300,00
c) R$ 331,00
d) R$ 300,00
e) R$ 1.000,00
02. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi
aplicado à taxa de 3% ao mês durante 3
meses. Os montantes correspondentes
obtidos segundo capitalização simples e
composta, respectivamente, valem
a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45.
b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00.
c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45.
d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00.
03. (CESGRANRIO) Milena tem dois
pagamentos a realizar. O primeiro é de
R$ 1.100,00 daqui a dois meses e o
segundo é de R$ 1.210,00 daqui a três
meses. Milena pretende juntar essas duas
dívidas em uma só, com vencimento
daqui a quatro meses. A taxa de juros
corrente é de 10% ao mês. Qual o valor a
ser pago?
a) R$ 2.310,00
b) R$ 2.600,00
c) R$ 3.074,61
d) R$ 3.003,00
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e) R$ 2.662,00
04. (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa
de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas
duas aplicações foi
a) R$ 149, 09
b) R$ 125,10
c) R$ 65,24
d) R$ 62,55
e) R$ 62,16
05. A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada mês, 10% sobre o saldo
do mês anterior. Se, no início de um mês, o saldo era x, e considerando-se que não
haja retiradas, depois de 4 meses o saldo será de:
a) (11/10)4.x
b) (11/10)3.x
c) x + (11/10)4.x
d) x + (11/10).x
e) x + 40%.x
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06. Carol investiu R$3.000,00 em um
fundo de longo prazo, que rende
cumulativamente 4% a.m. Quanto ela irá
resgatar dois anos depois? Dado:
(26/25)24 = 2,563
a) 9.760,00
ANOTAÇÕES:
b) 8.310,00
c) 7.689,00
d) 6.970,00
07. Determine o valor mais próximo da
aplicação que 14 meses mais tarde gera
um montante de R$2.000,00, quando
submetido a uma taxa mensal composta
de 5%. (Use 1,05-14 = 0,505)
a) R$ 1.010,00
b) R$ 1.100,00
c) R$ 1.210,00
d) R$ 1.320,00
08. (FCC) O capital que quadruplica em
2 meses, ao se utilizar de capitalização
composta, deve estar vinculado a uma
taxa mensal de
a) 50%
b) 100%
c) 150%
d) 200%
09. Quantos meses são necessários para
que um capital triplique, se for submetido
a uma taxa de juros compostos de
13%a.m.?
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a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
10. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de
juros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00?
a) 7 anos
b) 2 anos e 1 mês
c) 1 ano e 9 meses
d) 1 ano e 3 meses
11. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de
9% ao trimestre aumenta 100%.
a) 14
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
12. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa
mensal composta de juros dessa operação?
a) 2%
b) 4%
c) 6%
d) 8%
GABARITO
01. A 02. A 03. E 04. D 05. A 06. C
07. A 08. B 09. A 10. C 11. D 12. C
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CAPÍTULO 04
MÉDIAS
Prazo, taxa e capital médio são aqueles que substituem diversas aplicações
financeiras por uma única. É muito utilizado em operações de desconto de títulos
quando precisamos saber o prazo médio do desconto, ou a taxa média (ou única)
ou, ainda, o capital médio.
Esse assunto vem sendo cobrado em muitos concursos públicos, com
destaque para provas da Esaf. Observe a teoria e os exercícios resolvidos para
perceber a diferença entre cada uma das médias.
TAXA MÉDIA
Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos
distintos, podemos encontrar através de média ponderada a taxa média em que
esses capitais poderão ser aplicados produzindo os mesmos montantes.
iM =
C1.i1.t1 + C2 .i 2 .t 2 + ... + Cn .i n .t n
C1.t1 + C2 .t 2 + ... + Cn .t n
PRAZO MÉDIO
Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos
distintos, podemos encontrar através de média ponderada o prazo média em que
esses capitais poderão ser aplicados produzindo os mesmos montantes.
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tM =
C1.i1.t1 + C2 .i 2 .t 2 + ... + Cn .i n .t n
C1.i1 + C2 .i 2 + ... + Cn .i n
CAPITAL MÉDIO
Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos
distintos, podemos encontrar através de média ponderada o capital médio.
CM =
C1.i1.t1 + C2 .i 2 .t 2 + ... + Cn .i n .t n
i1.t1 + i 2 .t 2 + ... + i n .t n
EXERCÍCIOS
01. Determine a taxa média dos capitais C1 = 3000 e C2 = 4000, aplicados
respectivamente por 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m..
a) 3,92% a.m.
b) 3,42% a.m.
c) 2,84% a.m.
d) 2,36% a.m.
02. Determine o capital médio de duas aplicações C1 = 3000 e C2 = 4000, com
respectivos prazos de 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m..
a) 2976,23
b) 3176,32
c) 3769,23
d) 3976,32
03. Determine o prazo médio que devem ser aplicados os capitais C1 = 3000 e C2 =
4000, sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m. e aplicados respectivamente por 6 e
8 meses.
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a) 7,89 meses
b) 7,53 meses
c) 6,78 meses
d) 6,42 meses
04. (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros
simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%,
respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais.
a) 2,5%
b) 3%
c) 3,5%
d) 4%
e) 4,5%
05. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à
taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses,
respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.
a) quatro meses
b) quatro meses e cinco dias
c) três meses e vinte e dois dias
d) dois meses e vinte dias
e) oito meses
06. (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são
aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e
1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes
capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
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e) 3,5%
07. (ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital
de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é
aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês.
Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.
a) 3%
b) 2,7%
c) 2,5%
d) 2,4%
e) 2%
GABARITO
01. A 02. C 03. B 04. C 05. A 06. E 07. B
CAPÍTULO 05
DESCONTOS
DESCONTO SIMPLES
Os títulos de crédito, tais como Nota Promissória, Duplicata, Letra de
Câmbio, são instrumentos legais com todas as garantias jurídicas que podem ser
negociados com uma instituição de crédito, gerando uma operação ativa, que
consiste na transferência de direito através de endosso, em troca do seu valor
nominal ou de face, menos os juros proporcionais à taxa, vezes o tempo
compreendido entre a data da emissão até o vencimento do título.
Atualmente, não apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam
essas operações, que chamaremos de DESCONTO.
Temos os seguinte tipos de descontos:
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·
·
·
Comercial (Por Fora)
Racional (Por Dentro)
Bancário
NOMENCLATURA
VALOR NOMINAL ou de FACE (N)
Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido.
DESCONTO (D)
Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um
compromisso, quando quitado “n” períodos antes do vencimento.
TEMPO (t ou n)
Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do
vencimento. Os dias serão contados excluindo-se o dia da operação e
incluindo-se a data do vencimento.
TAXA (i)
Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem)
unidades, num determinado período, ou seja, o percentual de juros.
VALOR ATUAL ou ATUAL (A)
É a diferença entre o Valor Nominal e o Desconto. Também pode ser chamado de
valor descontado, que nada mais é do que o valor recebido na operação de
desconto.
DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)
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O calculo é efetuado sobre o valor nominal do título, de forma semelhante
ao calculo dos juros simples.
A
D N
=
=
1 - i .t i .t
1
Sendo
A – Valor Atual (Valor com desconto)
D – Desconto (Valor a ser descontado)
N – Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)
Onde N = A + D.
Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital
pode ser substituído por N e os juros por DC, então temos:
DC = N.i.t
A = N – DC
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)
Nesse caso o calculo é feito sobre o valor líquido ou atual.
A
D
N
=
=
1
i.t 1 + i.t
Sendo
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A – Valor Atual (Valor com desconto)
D – Desconto (Valor a ser descontado)
N – Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)
Observe que sempre N = A + D.
Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital
pode ser substituído por A e os juros por DR, então temos:
DR = A.i.t
A = N – DR
LINK:
COMERCIAL (DC) x RACIONAL (DR)
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44
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EXERCÍCIOS
01. Um cheque de R$ 800,00 com data para 120 dias foi trocado em uma
Factoring. Quanto será o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa
simples de 60% a.a. e seguir o desconto comercial?
a) R$ 600,00
b) R$ 640,00
c) R$ 700,00
d) R$ 720,00
02. Leonardo resgatou uma nota promissória 5 meses antes do seu vencimento e
por isso teve desconto de R$100,00. Sabendo que a taxa usada foi de 4%a.m. e o
desconto foi comercial, determine o valor dessa NP.
a) R$ 500,00
b) R$ 600,00
c) R$ 800,00
d) R$ 1.000,00
03. Nícolas descontou antecipadamente, em uma financeira, um cheque com
data para 3 meses mais tarde e por isso a financeira descontou R$96,00 de seu
valor. Sabendo que a taxa efetiva usada foi de 4%a.m.. Determine o valor desse
cheque.
a) R$ 800,00
b) R$ 896,00
c) R$ 946,00
d) R$ 1.000,00
04. (ESAF) Um valor de R$1.100,00 deve ser descontado racionalmente, um
bimestre antes do vencimento. Determine o valor atual recebido na operação,
sabendo que a taxa mensal utilizada foi de 60%.
a) 440
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Matemática Financeira
b) 500
c) 550
d) 1000
05. A loja Alfa Móveis, vende uma mesa por R$ 600,00 em quatro parcelas mensais
e iguais. O pagamento é feito com quatro cheques no valor de R$ 150,00 cada,
sendo o primeiro para 30 dias e os outros com datas para os meses subsequentes.
Para receber o dinheiro antecipado, a loja recorre a uma financeira, que
desconta comercialmente todos os cheques a uma taxa simples de 10% a.m..
Quanto receberá o comerciante?
a) R$ 450,00
b) R$ 510,00
c) R$ 540,00
d) R$ 360,00
06. Uma loja de informática vendeu um equipamento por R$ 514,80 e recebeu 3
cheques no valor de R$ 171,60 para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Para
receber o dinheiro antecipado, recorreu a uma financeira e descontou-os
antecipadamente a uma taxa simples de 10% a.m.. Se a financeira utilizar o
desconto por dentro, quanto receberá o comerciante?
a) R$ 431,00
b) R$ 411,00
c) R$ 380,00
d) R$ 206,00
07. Em uma loja o comerciante pode vender os produtos de duas formas: a vista,
dando um desconto comercial de x%, ou sem desconto e a prazo, recebendo um
cheque para 60 dias. Sabendo que esse cheque será negociado em uma
Factoring com desconto racional de 25% para o mesmo período, determine o
valor de x para que a escolha da opção seja indiferente para o comerciante.
a) 15
b) 18
c) 20
d) 25
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(ESAF) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto comercial de 20%
por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule
a taxa de desconto mensal da operação considerando um desconto simples por
dentro.
a) 6,25%.
b) 6%.
c) 4%.
d) 5%.
e) 5,5%.
08. Um título público de R$10.000,00 é descontado 3 semestres antes do
vencimento, com taxa efetiva de 50%a.s.. Qual seria a taxa semestral, se o
desconto fosse comercial?
a) 60%
b) 40%
c) 20%
d) 10%
09. Um desconto comercial simples de 25% a.m. é dado a uma duplicata três
meses antes do vencimento. Se o desconto tivesse sido racional, para se obter o
mesmo valor atual um trimestre antes, qual teria sido a taxa mensal na operação?
a) 25%
b) 75%
c) 100%
d) 300%
10. (ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao período, uma quantia de 1000 no fim do
período t, mais uma quantia de 2000 no fim do período t+2, juntos são
equivalentes, no fim do período t+1, a uma quantia de:
a) $ 4062,50
b) $ 3525,00
c) $ 2850,00
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47
Matemática Financeira
d) $ 3250,00
11. (CESGRANRIO) Uma duplicata no valor de R$13.000,00 deve ser descontada
um ano antes do vencimento, com taxa de 30% a.a.. Determine a diferença entre
D – d, onde D é o valor do desconto caso seja comercial e d é o valor do
desconto caso seja racional.
a) 500
c) 600
c) 800
d) 900
GABARITO
01. B 02. A 03. B 04. B 05. A 06. A
07. C 08. A 09. C 10. C 11. C 12. D
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48
Matemática Financeira
CAPÍTULO 06
TIPOS DE TAXAS
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a
um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo
montante no final do prazo, em regimes de juros simples.
i
i M i B iT
i
=
=
= S = A
1
2
3
6 12
ou
i
iD iM
i
i
i
=
= B = T = S = A
1 30 60 90 180 360
EXEMPLO:
· 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a.
· 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.
· 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.
TAXAS EQUIVALENTES
Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um
mesmo capital, em regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes,
durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do
período.
Assim duas ou mais taxas são equivalentes se, e somente se:
C(1 + i a )1 = C(1 + i s )2 = C(1 + i t ) 4 = C(1 + i m )12 = C(1 + i d )360
Portanto
(1 + i a ) = (1 + i s )2 = (1 + i t )4 = (1 + i m )12 = (1 + i d )360
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49
Matemática Financeira
De maneira geral temos:
I - taxa do período maior.
i - taxa do período menor.
n - numero de vezes que o período maior contém o menor.
Podemos escrever que então:
(1+ i )n = (1+ I )
1+ i = n 1+ l
Logo
i = n 1 + l -1
EXEMPLO:
Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.?
SOLUÇÃO:
Observando a tabela I, temos:
(1+2%)2 = 1,0404 = 1 + 4,04%
Portanto, 2% a.m é equivalente a 4,04% a.b.
EXEMPLO:
Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.?
SOLUÇÃO:
Observando a tabela I, temos:
(1+5%)6 = 1,34 = 1 + 34%
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50
Matemática Financeira
Portanto, 5% a.b é equivalente a 34% a.a.
EXEMPLO:
Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.?
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
(1 + iM)12 = (1 + 42,58%)1
Ou seja,
(1 + iM)12 = 1,4258
Observando a tabela I, na linha n = 12 temos uma taxa de 3%.
Portanto, 42,58% a.a. é equivalente a 3% a.m.
EXEMPLO:
Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.?
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos:
(1 + iM)12 = (1 + 60%)1
Ou seja,
(1 + iM)12 = 1,60
Observando a tabela I, na linha n = 12 temos 1,60 para uma taxa de 4%.
Portanto, 60% a.a. é equivalente a 4% a.m.
TAXA NOMINAL
A unidade de referência de seu tempo não coincide com a
unidade de tempo dos períodos de capitalização, geralmente a
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i EFETIVA =
i NOMINAL
n
51
Matemática Financeira
Taxa Nominal é fornecida em tempos anuais, e os períodos de capitalização
podem ser mensais, trimestrais ou qualquer outro período, inferior ao da taxa.
EXEMPLOS:
·
·
·
12% a.a. capitalizamos mensalmente.
20% a.a. capitalizamos semestralmente.
15% a.a. capitalizamos trimestralmente.
EXEMPLO:
36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal).
36 % a. a.
= 3% a.m. (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal)
12 meses
LINK:
A Taxa Nominal é bastante difundida e usada na
conversação do mercado financeiro, entretanto o seu valor
nunca é usado nos cálculos por não representar uma Taxa
Efetiva. O que nos interessará será a Taxa Efetiva embutida na
Taxa Nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em
cada período de capitalização.
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52
Matemática Financeira
TAXA EFETIVA
É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a
unidade de tempo dos períodos de capitalização.
EXEMPLO:
·
·
·
15% a.a. capitalizados anualmente.
5% a.s. capitalizados semestralmente.
3% a.m. capitalizados mensalmente.
LINK:
Nestes casos, costuma-se simplesmente dizer: 15% a.a., 3%
a.m., 5% a.s., omitindo-se o período da capitalização.
EXEMPLO:
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado
mensalmente?
SOLUÇÃO:
Seja
iN = 60% a.a. (cap. mens.)
Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a
seguinte proporção
i N i EF
=
12
1
Þ
60% iEF
=
12
1
Logo
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53
Matemática Financeira
iEF = 5% a.m. (cap. mens.)
Então
(1 + iA)1 = (1 + 5%)12
Pela tabela 1, temos:
1 + iA = 1,796
Portanto
iA = 0,796 = 79,6% a.a.
EXEMPLO:
Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado
mensalmente?
SOLUÇÃO:
Seja
iN = 24% a.s. (cap. mens.)
Como taxa nominal é semestral e a capitalização é mensal, a taxa efetiva
obedece a seguinte proporção
iN iEF
=
6
1
Þ
24% iEF
=
6
1
Logo
iEF = 4% a.m. (cap. mens.)
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54
Matemática Financeira
Então
(1 + iS)1 = (1 + 4%)6
Pela tabela 1, temos:
1 + iS = 1,265
Portanto
IS = 0,265 = 26,5% a.s.
EXEMPLO:
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital.
bimestralmente?
SOLUÇÃO:
Seja
iN = 42% a.a. (cap. bim.)
Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a
seguinte proporção
iN iEF
=
6
1
Þ
42% iEF
=
6
1
Logo
iEF = 7% a.b. (cap. bim.)
Então
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55
Matemática Financeira
(1 + iA)1 = (1 + 7%)6
Pela tabela 1, temos:
1 + iA = 1,50
Portanto
iA = 0,50 = 50% a.a.
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56
Matemática Financeira
TAXA REAL E APARENTE
Em uma situação em que a inflação for levada em consideração, a taxa i
aplicada sobre um capital é aparente, pois o montante produzido não terá o
mesmo poder aquisitivo.
Entenda que se em um certo período aplicarmos um capital C à taxa de
juros iA, obteremos o montante:
M = C.(1 + iA)
Se no mesmo período a inflação foi iINF, o capital C para manter seu poder
aquisitivo deve ser corrigido pela inflação, gerando um montante inflacionado:
MINF = C.(1 + iINF)
Dessa forma, MINF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em
momentos distintos: um afetado pela inflação e outro não.
Portanto, chamaremos de taxa real de juros iR a taxa que leva o valor MINF
ao valor M e de taxa aparente de juros iA a taxa que leva C ao valor M.
CÁLCULO DA TAXA REAL
Ora, C(1+iR) é o montante, no final de um período, considerando uma
economia sem inflação, à taxa real de juros iR. C(1+iINF) é o montante
considerando apenas a inflação e C(1+iR)(1+iINF) é o montante considerando o
juros reais e a inflação.
Como o montante gerado por uma taxa aparente iA, divulgada pelo
mercado financeiro, produz o mesmo montante gerado pelas taxas de inflação iINF
e real iR aplicadas uma sob a outra, temos:
C.(1+iA) = C.(1+iR)(1+iINF)
logo
(1+iA) = (1+iR)(1+iINF)
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57
Matemática Financeira
ou então
iR =
1 + iA
-1
1 + iINF
Onde
iR - taxa real
iA - taxa aparente
iINF - taxa de inflação
EXEMPLOS
EXEMPLO:
Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros nominal de 21% ao ano. No
mesmo período a inflação foi de 11%. Qual a taxa real de juros?
SOLUÇÃO:
Temos que
(1+iA) = (1+iR)(1+iINF)
Então
(1 + 21%) = (1 + iR).(1 + 11%)
1,21 = (1 + iR).1,11
1 + iR =
1,21
1,11
iR = 0,09
iR = 9%
EXEMPLO:
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58
Matemática Financeira
Um ano atrás um televisor 20” custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00
pelo mesmo produto. Sabendo que nesse mesmo período a inflação foi de 20%,
determine a taxa real de aumento sofrida pelo televisor.
SOLUÇÃO:
O aumento de R$260, representa 26% de R$1000, portanto essa é a taxa aparente.
Sendo
(1 + iA) = (1 + iR)(1 + iINF)
Então
(1 + 26%) = (1 + iR)(1 + 20%)
1,26 = (1 + iR).1,20
1 + iR = 1,26/1,20
iR = 1,05 – 1
iR = 5%
R$ 1.000,00
R$ 1.260,00
iAPARENTE = 26%
iINFLAÇÃO = 20%
iREAL = 5%
R$ 1.200,00
Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preço
5% acima da inflação.
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59
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EXERCÍCIOS
01. Qual a taxa anual aparente de um investimento, se a retabilidade real foi de
40%a.a. e a inflação do período foi de 20%?
a) 30%
b) 52%
c) 60%
d) 68%
02. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos,
transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100 %,
qual foi a inflação medida no mesmo período?
a) 100% ao período
b) 200% ao período
c) 300% ao período
d) 400% ao período
03. Sabendo-se que o rendimento anual em caderneta de poupança em um
determinado país subdesenvolvido no ano passado foi de 230%, e que a sua taxa
de inflação no período foi de 200%, determine o ganho real de um aplicador.
a) 10% a.a.
b) 11% a.a.
c) 12% a.a.
d) 13% a.a.
04. Um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (compostos) sobre
determinada aplicação. Qual deve ser a taxa aparente de juros para o período
de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%?
a) 40,9%
b) 42,0%
c) 45,9%
d) 49,6%
05. Se um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (simples) sobre
determinada aplicação. Qual deve ser a taxa nominal aparente de juros para o
período de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%?
a) 40,9%
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60
Matemática Financeira
b) 42,0%
c) 45,9%
d) 49,6%
06. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um
único aumento trimestral de:
a) 0,9%
b) 90%
c) 190%
d) 219,7%
e) 119,7%
07. Qual a taxa quadrimestral equivalente a 8% a.m.?
a) 32% a.q.
b) 34% a.q.
c) 36% a.q.
d) 38% a.q.
08. Se em um financiamento está escrito que a taxa de juros nominal anual é de
30%, com capitalização bimestral, então a taxa de juros anual equivalente será:
a) 0,76 + 1
b) 0,056 – 1
c) 1,056 – 1
d) 1+0,056
09. (CESGRANRIO) Um capital é aplicado com taxa anual de 10%, se o investidor
resgatar um semestre após a data da aplicação, então a taxa equivalente para
esse período:
a) deverá ser de 5% a.s.
b) deverá ser maior que 5% a.s.
c) deverá ser menor que 5% a.s.
d) deverá ser maior que 10% a.s.
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61
Matemática Financeira
e) dependerá do valor do capital
10. Uma aplicação financeira paga juros composto de 28% ao ano, capitalizados
trimestralmente. Qual é a taxa de juros trimestral efetiva de aplicação.
a) 7%
b) 6%
c) 5%
d) 7,5%
11. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano,
com capitalização mensal.
a) 21,3%
b) 24,0%
c) 26,8%
d) 32,4%
12. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s.
capitalizados mensalmente.
a) 40% a.q.
b) 46,41% a.q.
c) 51,54% a.q.
d) 69,65% a.q.
13. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s.
capitalizados bimestralmente.
a) 48%
b) 44%
c) 40%
d) 36%
e) 32%
14. Qual a Taxa Efetiva trimestral equivalente a uma Taxa Nominal de 36% a.a.
capitalizados mensalmente?
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62
Matemática Financeira
a) 8,27% a.t.
b) 9,27% a.t.
c) 10,27% a.t.
d) 11,27% a.t.
15. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros
de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia
uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores
mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são,
respectivamente, iguais a:
a) 69 % e 60 %
b) 60 % e 60 %
c) 69 % e 79 %
d) 60 % e 69 %
e) 120 % e 60 %
16. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização trimestral é equivalente a:
a) 10% ao mês
b) 30% ao trimestre
c) 58% ao semestre
d) 185,6% ao ano
e) 244% ao ano
GABARITO
01. D 02. C 03. A 04. D 05. B
06. E 07. C 08. C 09. C 10. A
11. C 12. B 13. B 14. C 15. D
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63
Matemática Financeira
CAPÍTULO 07
DESCONTO COMPOSTO
Os descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizações,
podendo ser usadas as mesma fórmulas, onde o valor descontado (D)
corresponde aos juros (J) do período (t), enquanto o valor nominal (N) e o valor
atual (A), corresponderão ao montante (M) e ao capital (C), dependendo do tipo
de desconto.
Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode
ocorrer de duas formas: desconto racional e desconto comercial. É importante
salientar que na grande maioria dos casos os descontos compostos são racionais,
portanto quando não estiver descriminado fica implicito o uso desse tipo de
desconto.
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL
Sabemos que quando o desconto é dito racional, devemos calular o
desconto em ralação ao valor atual, logo o valor nominal (N) corresponderá ao
montante (M) e o valor atual (A) corresponderá ao capital (C), assim como em
uma capitalização, portanto:
N
A
N = A.(1 + i )
t
0
1
2
3
...
t
Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) é equivalente ao valor
nominal (N) em períodos diferentes, assim como representado no fluxo.
Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente o
juro que o valor atual (A) deveria produzir nesse período, logo
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64
Matemática Financeira
D =N-A
LINK:
Na maioria dos casos é dado o valor nominal, a taxa e o
período para ser encontrado o valor atual (A<N), logo
A=
N
(1 + i )t
Podemos ainda escrever da seguinte forma
A = N.
Onde
1
(1 + i )t
1
(1 + i )t
é o inverso do fator de acumulação e seu
resultado pode ser facilmente encontrado na tabela 2, o que
facilita muito o trabalho do aluno, uma vez que será feita uma
simples multiplicação no lugar da divisão.
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL
No caso do desconto comercial, devemos calular o desconto em ralação
ao valor nominal (N), logo este corresponderá ao capital (C) e o valor atual (A)
corresponderá ao montante (M), que será sempre menor que o valor nominal. Se
for usada a fórmula da capaitalização a taxa de juros (i) deve ser negativa, mas a
forma prática é substituir (i) positiva na seguinte equação:
N
A
0
1
2
3
...
t
A = N.(1 - i )
t
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65
Matemática Financeira
Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente a
deflação calculada sobre ele, logo
D =N-A
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL
Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são
ditos equivalentes quando transportados para uma mesma data, anterior ou
posterior, a uma mesma data de juros, produzem nessa data, valores iguais.
Para melhor representar as entradas e saídas de capitais, envolvidas nos
problemas, faremos um esquema gráfico utilizando setas para cima e para baixo
ao longo de um eixo horizontal que representa o tempo. O sentido das setas é
convencionado. No exemplo abaixo, se $100, $50 e $200 representam entradas,
então $150 deve representar uma saída.
200
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
meses
8
150
Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data final do fluxo
de caixa, dizemos que existe um capital único que é equivalente a todos eles
denominado de Valor Futuro.
VF
VP
VF = VP .(1 + i )
n
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0
1
2
3
...
n
66
Matemática Financeira
Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data inicial do
fluxo de caixa, dizemos que existe um capital único que é equivalente a todos eles
denominado de Valor Presente ou Valor Atual.
VF
VP
VP = VF .
1
(1+ i )n
0
1
2
3
...
n
É comum usar essa equivalência de capitais para se fazer análise
comparativa
entre
dois
ou
mais
fluxos
diferentes.
Observe
que
independentemente da data escolhida para os transportes de capital, a
equivalência será verificada.
EXEMPLO:
(ESAF) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 em dois
bancos diferentes. Um parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, a taxa de 3%
a.m.. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B, a taxa de 4% a.m.. Após
um ano Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram
iguais. Deste modo, determine o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem
considerar os centavos.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os montantes:
BANCO A (i = 3%a.m.)
MA = x.(1+3%)12
e
BANCO B (i = 4%a.m.)
MA = (50000–x).(1+4%)12
Como MA = MB, temos:
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67
Matemática Financeira
x.(1+3%)12 = (50000–x).(1+4%)12
De acordo com a TABELA I, temos:
(1+3%)12 = 1,425760
(1+4%)12 = 1,601032
Ou seja,
x.1,425760 = (50000–x).1,601032
0,8905256.x = 50000 – x
1,8905256.x = 50000
Logo,
x = 26447,7
Portanto os valores aplicados são
BANCO A ® 26447,7
BANCO B ® 23552,3
EXERCÍCIOS
01. Três cheques iguais no valor de R$1.000,00 devem ser descontados
comercialmente, a uma taxa composta de 10% para cada período. Determine o
valor atual desses cheques, segundo o fluxo abaixo.
1000 1000 1000
0
1
2
3
a) R$ 2.700,00
b) R$ 2.514,00
c) R$ 2.439,00
d) R$ 2.300,00
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68
Matemática Financeira
02. Determine o valor atual de três cheques no valor de R$1.331,00, se forem
descontados racionalmente, a uma taxa composta de 10% para cada período,
segundo o fluxo a seguir.
1331 1331 1331
0
1
2
3
a) R$ 3.993,00
b) R$ 3.630,00
c) R$ 3.310,00
d) R$ 3.000,00
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69
Matemática Financeira
03. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 55.500,00, 60 dias antes do
vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o
banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa
foi de (desprezar os centavos no resultado final):
OBS.:
(1,84)1/3 = 1,23
(1,84)1/4 = 1,17
(1,84)1/6 = 1,11
a) $ 42.930
b) $ 44.074
c) $ 45.122
d) $ 47.435
e) $ 50.000
04. (CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$24.200,00 será descontado dois
meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês.
Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto
racional composto. A diferença D – d, em reais, vale
a) 399,00
b) 398,00
c) 397,00
d) 396,00
e) 395,00
05. Pedro quer fazer uma aplicação de R$ 5.000,00 em um dos três bancos em que
ele opera. Cada um deles oferece uma forma de retorno diferente, representadas
nos fluxos abaixo.
3000
3000
2000
2000
2000 2000 2000
1000
1000
0
1
2
3
0
BANCO A
5000
Prof. Pedro Evaristo
1
2
3
0
BANCO B
5000
1
2
3
BANCO C
5000
70
Matemática Financeira
Dessa forma, Pedro verificou que, para ele:
a) o Banco A é mais vantajoso
b) o Banco B é mais vantajoso
c) o Banco C é mais vantajoso
d) todos são igualmente vantajosos
06. (ESAF) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para
resolução da questão seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no
final dos meses ali indicados.
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA:
Fluxos
J
F
M
A
M
J
J
A
UM
1000
1000
500
500
500
500
250
50
DOIS
1000
500
500
500
500
500
500
300
TRÊS
1000
1000
1000
500
500
100
150
50
QUATRO
1000
1000
800
600
400
200
200
100
CINCO
1000
1000
800
400
400
400
200
100
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. O fluxo de caixa, da
tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é:
a) Fluxo Um
b) Fluxo Dois
c) Fluxo Três
d) Fluxo Quatro
e) Fluxo Cinco
GABARITO
01. C 02. C 03. E 04. B 05. A 06. C
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CAPÍTULO 08
RENDAS CERTAS
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só
vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um
processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida,
tem-se o processo de amortização.
Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem
que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.
Estes exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades, que
podem ser, basicamente de dois tipos:
RENDAS CERTAS: são aquelas cuja duração e pagamentos ou recebimentos
são prefixados. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de
duração, taxa de juros, etc, são fixos e imutáveis.
Exemplo: compra a prestação
RENDAS ALEATÓRIAS: os valores e/ou as datas de pagamento ou de
recebimento podem ser variáveis aleatórias.
Exemplo: seguro de vida.
Vamos estudar as rendas certas que são, simultaneamente: temporárias,
periódicas e imediatas (postecipadas ou antecipadas) e as diferidas.
Nos casos mais comuns e que vamos estudar, as rendas podem ser:
Temporárias: quando a duração for limitada
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Constantes: se todos os termos são iguais.
Periódicas: se todos os períodos são iguais.
Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1º período. Elas podem ser:
·
·
Postecipadas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos.
Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.
Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o 1º
período. Elas também podem ser postecipadas ou antecipadas.
Podemos então tratar as rendas certas como uma seqüência uniforme de
capitais. Estudaremos a seguir cada um dos casos separadamente:
·
·
·
·
VP (valor presente) de uma sequência uniforme postecipada.
VP (valor presente) de uma sequência uniforme antecipada.
VF (valor futuro) de uma sequência uniforme postecipada.
VF (valor futuro) de uma sequência uniforme antecipada.
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SEQUÊNCIAS UNIFORMES DE CAPITAIS
VALOR PRESENTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME POSTECIPADA
Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou parcelas, for feita no final
de cada período, será denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a
data inicial teremos:
VP =
P
P
P
P
+
+
+ ... +
(1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )2
(1 + i )n
P
0
1
P
2
P
3
P
...
n
Nesse caso, o valor presente (VP) será a soma dessa progressão geométrica
(P.G.), dada por Sn =
a1.(q n - 1)
q -1
, onde o primeiro termo é a1 =
P
e a razão é q =
(1 + i )
1
. Substiuindo esses dados, temos:
(1 + i )
VP = P.
(1 + i )n - 1
, ou simplesmente VP = P.an Øi .
n
i .(1 + i )
O fator de valor atual anØi (a n cantoneira i) está na tabela 3.
Se desejar encontrar a parcela (P) em função do valor presente (VP),
teremos:
i .(1 + i )
n
P = VP .
(1 + i )
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n
1
, ou simplesmente P = VP . a Ø .
-1
n i
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O fator de recuperação do capital 1/anØi está na tabela 4.
EXEMPLO:
Uma televisão foi comprada no carnê em 4 prestações mensais iguais de R$ 300,00
cada, sem entrada, iniciando a primeira parcela um mês após a compra.
Sabendo que para esse tipo de transação a loja trabalha com juros compostos de
9% a.m., determine qual deve ser o preço a vista dessa TV.
SOLUÇÃO:
O preço a vista da TV é o valor presente dessa série, portanto:
VP = P.a4Ø9%
Onde P = 300 e pela tabela III vemos que a4Ø9% = 3,2397, então
VP = 300.3,2397
VP = 971,91
Portanto o valor a vista da TV é R$ 971,91.
VALOR PRESENTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME ANTECIPADA
Quando uma série de pagamentos (P ou PMT) for feita no início de cada
período, será denominada de antecipada. Trazendo todos os P para a data inicial
teremos:
VP = P +
P
0
P
1
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P
2
P
3
P
P
P
+
+ ... +
2
(1 + i ) (1 + i )
(1 + i )n -1
P
...
n–1
n
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Observe que nesse caso, basta somar P que está no início da série com o
valor presente da sequência postecipada que começa no 1 e termina em n-1.
Dessa forma teremos:
VP = P + P.an -1Øi
VALOR FUTURO DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME POSTECIPADA
Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou depósitos, for feita no final
de cada período, será denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a
data final teremos:
VF = P + P(1+i) + P(1+i)2 +...+ P(1+i)n-1
P
0
1
P
2
P
3
P
...
n
Nesse caso, o valor futuro (VF) será a soma dessa progressão geométrica
a1.(q n - 1)
, onde o primeiro termo é a1 = P e a razão é q = (1 +
(P.G.), dada por Sn =
q -1
i). Substiuindo esses dados, temos:
VF = P.
(1+ i )n - 1
i
, ou simplesmente VF = P.snØi
O fator de acumulação de capital snØi (s n cantoneira i) está na tabela 5.
Um fato interessante é que o valor futuro dessa série de pagamentos é um
capital equivalente ao valor presente, dessa mesma série, na data final do
período, portanto podemos dizer que:
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VF = VP .(1 + i )n
Por esta razão, temos:
sn Øi = an Øi .(1 + i )n
EXEMPLO:
Uma pessoa resolveu poupar mensalmente R$400,00, pretendendo fazer uma
viagem de férias, aplicando no final de cada mês em um fundo que paga 24%
a.a. capitalizado mensalmente. Ao final de um ano, quanto ele terá guardado?
SOLUÇÃO:
A taxa de 24%a.a, dada no problema, é nominal. Portanto, a taxa efetiva é de 2%
a.m.
O montante acumulado ao final de uma ano (n=12) é o valor futuro dessa série,
portanto:
VF = P.s12Ø2%
Onde P = 400 e pela tabela 5 temos que s12Ø2% = 13,4121, então
VF = 400.13,4121
VF = 5364,84
Portanto, o valor acumulado é de R$ 5.264,84.
VALOR FUTURO DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME ANTECIPADA
Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou depósitos, for feita no
início de cada período, será denominada de antecipada. Trazendo todos os P
para a data final teremos:
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VF = P(1+i) + P(1+i)2 +...+ P(1+i)n
P
0
P
1
P
2
P
3
P
...
n–1
n
Essa série é equivalente a uma sequência postecipada com n+1 depósitos,
menos o depósito R da data final. Dessa forma teremos:
VF = P.sn +1Øi - P
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EXERCÍCIOS
01. Uma dívida foi financiada em doze parcelas mensais de R$ 500,00, sendo a
primeira para 30 dias. Determine o valor atual da dívida, sabendo que a taxa
utilizada foi de 4% a.m.. (Use 1,0412 = 1,6)
a) R$ 4.687,50
b) R$ 5.250,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 7.000,00
e) R$ 7.500,00
02. O cliente de um banco acerta com o gerente uma poupança programada,
onde serão aplicados automaticamente doze parcelas mensais de R$ 500,00,
sendo a primeira para 30 dias. Determine o valor futuro do saldo dessa aplicação
na data do ultimo depósito, sabendo que a taxa utilizada foi de 4% a.m.. (Use
1,0412 = 1,6)
a) R$ 4.687,50
b) R$ 5.250,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 7.000,00
e) R$ 7.500,00
03. Leonardo comprou uma moto em seis parcelas de R$600,00, sendo a primeira
no ato da compra e as demais a cada 30 dias. Determine o valor à vista dessa
moto, sabendo que a taxa utilizada pela financeira foi de 3% a.m.
a) 3348,00
b) 3250,00
c) 3124,00
d) 3012,00
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04. Qual o valor futuro da série de quatro depósitos antecipados mensais e iguais
no valor de R$1.000,00 cada, um mês após o último deposito, se aplicado a uma
taxa composta de 10% a.m.?
a) 4.000,00
b) 4.400,00
c) 5.105,10
d) 5.612,30
05. (ACEP) Uma família comprou uma geladeira nova, a prazo, em prestações
iguais, com juros. Assinale a alternativa CORRETA.
a) para um mesmo valor de prestação, o valor presente das prestações diminui
quando a taxa de juros aumenta.
b) no momento da compra, o valor presente da última prestação é igual ao valor
presente da primeira prestação.
c) o valor das prestações será maior se for dado um sinal no momento da compra.
d) o valor das prestações não depende da taxa de juros.
e) o valor das prestações não depende da quantidade de parcelas.
06. (CESGRANRIO) Uma série de 10 anuidades de R$ 100 mil pode ser usada para
amortizar um determinado financiamento. Sabendo que a taxa de juros oferecida para
financiamento é de 1,25% a.m., pode-se afirmar que o preço justo para pagamento à
vista é:
a) maior que R$ 1mi
b) R$1,1 mi
c) maior que R$ 1mi e menor que R$ 1,1 mi
d) R$ 1 mi
e) menor que R$ 1 mi
07. Quando Carol foi comprar um televisor de R$ 1.600,00, o vendedor informou
que a loja estava parcelando em 8 vezes sem entrada e supostamente sem juros,
ou seja, parcelas mensais de R$200,00. Ela então ofereceu R$ 1.400,00 à vista e
“em espécie”. Se a loja aceitar essa proposta, significa que estará cobrando
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indiretamente juros no parcelamento mensal, logo o valor da taxa de juros
embutida na operação a prazo é de:
a) 1%
b) 2%
c) 3%
d) 4%
08. Raquel comprou um carro de R$ 20.000,00 dando 40% de entrada e
financiando o restante em 18 parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira em
30 dias. Sabendo que a taxa utilizada pela financeira foi de 3%, determine o valor
de cada uma das prestações.
a) 872,50
b) 782,50
c) 978,20
d) 587,20
09. Hoje Felipe foi ao banco retirar a quantia que vinha juntando nos últimos 2 anos.
Ele efetuou 24 depósitos mensais e iguais, todos no valor de R$400,00, de forma
antecipada, até o mês anterior a data da retirada, em um fundo especial que lhe
rendia 4% ao mês. Qual a quantia resgatada 24 meses após o primeiro depósito?
a) 16.257,00
b) 15.632,00
c) 14.456,00
d) 13.365,00
10. (ACEP) Em uma loja, um certo computador está a venda por 10 parcelas
mensais de R$ 300,00, sem entrada, podendo também ser pago em 5 parcelas
bimestrais de R$ 615,00, sem entrada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?
a) 3% ao mês
b) 4% ao mês
c) 5% ao mês
d) 6% ao mês
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e) 7% ao mês
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01. A 02. E 03. A 04. C 05. A
06. E 07. C 08. A 09. A 10. C
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CAPÍTULO 09
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO
No Brasil são adotados vários esquemas de financiamento. Quando
contraímos uma dívida, devemos saldá-la por meio de pagamentos do principal e
dos juros contratados. Veremos os tipos mais usado, que são: Sistema Price
(Francês), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização
Crescente (SACRE) e Sistema de Amortização Misto (SAM).
SISTEMA FRANCÊS
Caracteriza-se pelo fato de o mutuário pagar a dívida, periodicamente, por
meio de prestações constantes. O Sistema Price é um caso particular do Sistema
Francês quando as parcelas são mensais.
A parcela (P) é dada em função do valor atual (A) que foi emprestado ou
financiado, do número de parcelas (n) e da taxa de juros (i), de acordo com a
fórmula
i .(1 + i )
n
P = A.
(1 + i )n - 1 ,
ou simplesmente
P = A.
1
an Øi .
Lembrando que anØi é o fator de valor atual de uma série de pagamentos
encontrado na tabela III.
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LINK:
Inicialmente paga-se muito juro e amortiza-se pouco.
Com o decorrer dos períodos, vai-se pagando menos
juros e, conseqüentemente, amortizando-se mais o
principal.
EXEMPLO:
Um empréstimo de R$ 1.000,00 é concedido para ser pago pelo sistema Francês
de Amortização em 5 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. Calcule o valor de
cada prestação e monte a planilha teórica do financiamento.
SOLUÇÃO:
No plano Price (sistema francês com prestações mensais), para encontrar a
prestação deve ser seguido o mesmo procedimento usado nas séries de
pagamento uniformes.
VP = P . anØi
Onde
VP é o capital (C) emprestado
P é a prestação
anØi é o fator de valor atual
Então pela fórmula temos:
P = C.
1
an Øi
é10%.(1 + 10%)5 ù
é i .(1 + i )n ù =
P = C.ê
ú 1000.ê (1 + 10%)5 - 1 ú
n
ë
û
ë (1 + i ) - 1û
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Pela tabela 4, encontramos o fator de recuperação de capital
1
= 0,264,
a5 Ø10 %
logo
P = 1000 . 0,264 = 264
MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO
264
1
0
264
2
3
4
5
1000
N PREST.
JUROS
AMORTIZAÇÃO
SALDO DEVEDOR
0
–
–
–
1000,00
1
264
10%.1000 = 100
264 – 100 = 164
1000 – 164 = 836
2
264
10%.836 @ 84
264 – 84 = 180
836 – 180 = 656
3
264
10%.656 @ 66
264 – 66 = 198
656 – 198 = 458
4
264
10%.458 @ 46
264 – 46 = 218
458 – 218 = 240
5
264
10%.240 = 24
264 – 24 = 240
240 – 240 = 0
SISTEMA SAC
No Sistema de Amortização Constante a dívida também é paga por meio
de prestações periódicas que englobam juros e amortização, no entanto,
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85
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caracteriza-se pelo fato de o mutuário pagar prestações decrescentes de valor,
com amortizações iguais como o próprio nome diz.
LINK:
A amortização do saldo devedor é constante e
prestação decresce. Os juros também são cobrados
sobre o saldo devedor.
EXEMPLO:
Uma dívida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAC em 5 prestações mensais,
à taxa de 10% a.m. Calcule o valor de cada prestação e monte a planilha teórica
do financiamento.
SOLUÇÃO:
No plano SAC o valor amortizado é sempre o mesmo, logo temos
A=
C
1000
Þ A=
= 200
n
5
Então no cálculo do valor de cada prestação deve ser feito cada mês, somando
o valor amortizado (A) ao juro produzido em relação ao saldo devedor do mês
anterior.
MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO
300
280
260
240
220
0
1
2
3
4
5
1000
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n
PREST.
JUROS
AMORTIZAÇÃ
O
SALDO DEVEDOR
0
–
–
–
1000
300
10%.1000 =
100
200
1000 – 200 = 800
2
280
10%.800 = 80
200
800 – 200 = 600
3
260
10%.600 = 60
200
600 – 200 = 400
4
240
10%.400 = 40
200
400 – 200 = 200
5
220
10%.200 = 20
200
200 – 200 = 0
1
SISTEMA SAM
O Sistema de Amortização Mista é a média aritmética do Sistema Price e do
SAC. A título de exemplo, construiremos a planilha de financiamento dado no
Sistema Price e SAC.
EXEMPLO:
Uma dívida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAM em 5 prestações
mensais, à taxa de 10% a.m.. Calcule o valor de cada prestação e monte a
planilha teórica do financiamento.
SOLUÇÃO:
Assim como no plano SAC, as prestações no plano SAM também são calculadas
todos os meses, pois a cada mês deve ser feito uma média das prestações obtidas
nos planos PRICE e SAC, então a prestação do primeiro mês será
P=
264 + 300
= 282
2
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Então fica claro que devem ser usados os dados obtidos nos exemplos anteriores.
MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO
282
272
262
252
242
0
1
2
3
4
5
1000
n
PREST.
JUROS
AMORTIZAÇÃO
SALDO DEVEDOR
0
–
–
–
1000
(264 + 300)/2 = 282
10%.1000 =
100
282 – 100 = 182
1000 – 182 = 818
2
(264 + 280)/2 = 272
10%.818 = 82
272 – 82 = 190
818 – 190 = 628
3
(264 + 260)/2 = 262
10%.628 = 63
262 – 63 = 199
628 – 199 = 429
4
(264 + 240)/2 = 252
10%.429 = 43
252 – 43 = 209
429 – 209 = 220
5
(264 + 220)/2 = 242
10%.220 = 22
242 – 22 = 220
220 – 220 = 0
1
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COMPARAÇÃO ENTRE OS PLANOS
· SALDO DEVEDOR:
Em todos os planos de amortização o saldo devedor diminui a cada
pagamento, uma vez que deve existir amortização em todos os períodos,
caso contrário não seria um plano de “amortização”.
· JUROS:
Os juros representam um percentual em cima do saldo devedor e por isso
também diminuem a cada pagamento em todos os planos.
· PARACELAS:
Observe, no diagrama a seguir, que as parcelas do PRICE são constantes, do
SAC começa maior e termina menor que nos outros sistemas, enquanto no
SAM tem sempre valor intermediário em relação aos outros planos.
· AMORTIZAÇÃO:
No plano PRICE a amortização é crescente, pois enquanto a parcela (P) é
constante, os juros (J) caem a cada período, portanto essa diferença (P – J)
vai aumentando. No plano SAC, como já é de se esperar, a amortização é
constante. Por fim, no plano SAM tudo é a média entre os outros dois planos,
o que por consequência faz com que a amortização seja crescente.
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EXERCÍCIOS
01. (ACEP) Qual das alternativas abaixo, em relação ao Sistema de Prestações
Constantes em pagamento de empréstimos, está CORRETA?
a) O saldo devedor tem comportamento linearmente decrescente.
b) Os juros pagos têm comportamento linearmente decrescente.
c) As amortizações têm comportamento crescente.
d) Todas as amortizações têm o mesmo valor.
e) As amortizações têm comportamento decrescente.
02. (CESGRANRIO) Para a construção de um galpão, para instalação de uma
indústria, foi feito um empréstimo no valor de R$10 mil, de forma a ser pago em 20
parcelas mensais e utilizando-se taxa mensal composta de 8%. Para amortizar a
dívida, se for utilizado o sistema PRICE, as parcelas ficarão em torno de R$1.018,50.
Dessa forma, comparando a parcela no PRICE com as parcelas no Sistema de
Amortização Constante (SAC) e no Sistema de Amortização Misto (SAM), podemos
afirmar que:
a) No SAC os juros pagos na primeira prestação são maiores
b) No SAM os juros pagos na primeira prestação são menores
c) No SAC a primeira prestação seria menor
d) No SAC a primeira prestação seria maior
e) No SAM a primeira prestação seria menor
03. Uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10 parcelas mensais e iguais,
com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias. Determine o da 1ª parcela.
a) R$ 628,00
b) R$ 582,00
c) R$ 518,00
d) R$ 480,00
e) R$ 400,00
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04. Uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10 parcelas mensais e iguais,
com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias. Determine o saldo devedor
imediatamente após o pagamento da 1ª parcela.
a) R$ 1.295,00
b) R$ 3.482,00
c) R$ 3.518,00
d) R$ 3.682,00
e) R$ 3.612,00
05. Uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10 parcelas mensais e iguais,
com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias. Determine o saldo devedor
imediatamente após o pagamento da 6ª parcela.
a) R$ 2.072,00
b) R$ 1.836,83
c) R$ 1.722,00
d) R$ 1.688,12
e) R$ 1.600,00
06. Através do sistema SAC, uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10
parcelas decrescentes, com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias.
Determine valor da 1ª parcela.
a) R$ 180,00
b) R$ 400,00
c) R$ 518,00
d) R$ 580,00
e) R$ 600,00
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91
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07. Através do sistema SAC, uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10
parcelas decrescentes, com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias.
Determine valor dos juros pagos na 2ª parcela.
a) R$ 180,00
b) R$ 400,00
c) R$ 518,00
d) R$ 580,00
e) R$ 600,00
08. Através do sistema SAC, uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10
parcelas decrescentes, com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias.
Determine valor da 2ª parcela.
a) R$ 180,00
b) R$ 400,00
c) R$ 518,00
d) R$ 580,00
e) R$ 600,00
09. Através do sistema SAC, uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10
parcelas decrescentes, com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias.
Determine saldo devedor imediatamente após o pagamento da 2ª parcela.
a) R$ 3.600,00
b) R$ 3.200,00
c) R$ 2.800,00
d) R$ 2.400,00
e) R$ 2.000,00
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Matemática Financeira
10. Através do sistema SAC, uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10
parcelas decrescentes, com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias.
Determine valor da 10ª parcela.
a) R$ 180,00
b) R$ 350,00
c) R$ 400,00
d) R$ 420,00
e) R$ 600,00
GABARITO
01. C 02. D 03. C 04. D 05. B
06. E 07. A 08. D 09. B 10. D
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