Apostila de Matemática Financeira
Parte 01
Autor:
Guilherme Yoshida
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Capítulo 1
1.1 - Conceito dos Elementos Básicos da Matemática Financeira
Porcentagem – Representa parte de um número.
Capital(C) – Valor aplicado.
Juros(J) – Rendimento de uma aplicação.
Taxa de Juros – Porcentagem aplicada a um capital que rende juros.
Montante(M) – É o capital acrescido de juros.
Capitalização – Incidência da taxa de juros sobre o capital.
Desconto – É o abatimento dado sobre um título de crédito quando resgatado antes do seu
vencimento.
Valor Atual ou Valor Líquido(A) – Valor de um montante com desconto.
Valor de Face ou Valor Nominal(N) – Valor total de um título na data do vencimento.
1.2 – Taxa de Juros e Taxa Unitária
Taxa unitária(i) é a taxa de juros dividida por 100. A taxa de juros é mais usada quando
queremos representar uma taxa. Ex.: 14%, 5%. Já a taxa unitária é mais usada quando vamos
resolver as operações matemáticas.
Como passar taxa de juros para taxa unitária?
Exemplos e exercícios:
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1.3 – Fator de Capitalização e de Descapitalização
Fator de capitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor para
que tenhamos o valor com aumento. Ex.: Se um produto custava R$ 200 e teve um aumento
de 30%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 200 pelo fator de capitalização,
que é 1,3. Assim o produto passou a custar R$ 260.
Como calcular o fator de capitalização?
Exemplos e exercícios:
Aumento de 15,6%
Aumento de 22,3%
Aumento de 0,89%
Aumento de 59,31%
Aumento de 67%
Aumento de 9,8%
Fator de descapitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor
para que tenhamos o valor com desconto. Ex.: Se um produto custava R$ 400 e teve um
desconto de 25%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 400 pelo fator de
descapitalização, que é 0,75. Assim o produto passou a custar R$ 300.
Como calcular o fator de descapitalização?
Exemplos e exercícios:
Desconto de 20%
Desconto de 69,5%
Desconto de 39,8%
Desconto de 47,02%
Desconto de 15,4%
Desconto de 99,32%
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Capítulo 2
2.1 - Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Taxa proporcional é utilizada no regime de capitalização simples, quando aplicamos taxa de
juros simples. Para encontrarmos a taxa proporcional, basta multiplicarmos a taxa pelo
período de tempo que ela será empregada.
Exemplo:
Em regime de juros simples, uma aplicação rende 5%a.m. Qual é a taxa de rendimento
semestral? Se em um mês rende 5%, então em seis meses vai render 30%.
Taxa equivalente é utilizada no regime de capitalização composta, quando aplicamos taxa de
juros composto. Para determinarmos a taxa equivalente vamos aplicar uma fórmula bem
simples.
i = taxa unitária
n = período de aplicação
Exemplo:
Uma compra foi parcelada em quatro vezes com taxa de juros composto de 3%a.m. Qual será
a taxa de juros total paga ao final das prestações?
Exercício:
Uma dívida foi renegociada e parcelada em dez vezes com taxa de juros composto de 4,2%a.m.
Qual é a taxa equivalente dessa renegociação?
2.2 - Taxa Aparente e Taxa Real
Taxa aparente não leva em consideração a inflação. Então se você ganhou um aumento de
salário de 9% e a inflação no período foi de 7%, isso significa que seu poder aquisitivo não
aumentou 9%, é um aumento aparente.
A taxa real tem como objetivo descontar a inflação do período.
Como calcular a taxa real?
Exemplo:
Um investidor teve 12% de rentabilidade com seus investimentos em um ano. Sabendo que no
mesmo período a inflação foi de 8%, qual foi a taxa real de rentabilidade desse investidor?
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Exercício:
Em um ano a poupança rendeu 7%. No mesmo período a inflação apurada foi de 10%. Qual foi
a taxa real da aplicação na poupança?
Uma aplicação em CDB rendeu 21% em dois anos de aplicação. Sabe-se que no primeiro ano a
inflação foi de 9% e no segundo ano foi de 7,5%. Qual foi a taxa real dessa aplicação?
2.3 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa nominal é quando o período de capitalização é diferente do prazo informado. A grande
vantagem da taxa nominal para o comércio é que ela deixa a taxa mais atraente por não
representar a taxa real que será cobrada, que é a grande desvantagem para o consumidor.
Exemplos:
10%a.m / bimestre (capitalizada bimestralmente)
30%a.a / dia (capitalizada diariamente)
25%a.s / mês (capitalizada mensalmente)
Taxa efetiva é quando o período de capitalização é igual ao do prazo informado. Com a taxa
efetiva o consumidor sabe quanto pagara efetivamente ao final das prestações.
Exemplos:
10%a.m / mês (capitalizada mensalmente)
30%a.a / ano (capitalizada anualmente)
25%a.s / semestre(capitalizada semestralmente)
Como calcular a taxa efetiva a partir da taxa nominal? Aplicando a técnica de taxa
proporcional.
Exemplo:
Qual é a taxa efetiva semestral de uma taxa nominal de 36%a.a capitalizada bimestralmente?
Use a proporção: 36%a.a = 6%a.b
Use a equivalência: 6%a.b =
Exercícios:
1) Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 42,6%a.s capitalizada
mensalmente?
2) Qual é a taxa efetiva mensal de uma taxa nominal de 35%a.a capitalizada
semestralmente?
3) Qual é a taxa efetiva bianual de uma taxa nominal de 22,5%a.a capitalizada
trimestralmente?
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Capítulo 3
3.1 – Capitalização Simples e Composta
Capitalização simples é utilizada para calcular juros simples (tópico 3.2).
Capitalização composta é utilizada para calcular juros composto (tópico 3.3).
Vamos supor que um investidor aplicou um capital que rende uma taxa de juros de 10%a.m.
Qual será a diferença dos rendimentos se o regime de capitalização for simples ou composta?
Vejam a diferença quando um capital é aplicado a regime de capitalização simples e outro que
é aplicado a regime de capitalização composta.
No regime de capitalização simples os juros ao final de cinco meses de aplicação foram de R$
50. Já no regime de capitalização composta os juros apurado no mesmo período foi de R$
61,05.
Enquanto na capitalização simples o montante cresce linearmente na capitalização composta o
montante cresce exponencialmente.
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3.2 – Juros Simples
Juros Simples
Montante
Legenda: J = Juros C = capital i = taxa unitária t= tempo
É importante lembrar que para resolver os exercícios corretamente a unidade temporal da
taxa e do período de aplicação deve ser os mesmos. Ex.: Se a taxa for i = 1%a.m, o tempo tem
que ser dado em meses. Se o a taxa for i = 1%a.s e o tempo for t = 36 meses, então devemos
passar o tempo de meses para semestre, t = 6 semestres.
Exemplo:
Um investidor aplicou R$ 500 a uma taxa de juros simples de 4%a.m durante 1 semestre. Qual
foi o juros resgatado pelo investidor?
C = 500
i = 4%a.m
t = 1 semestre = 6 meses
(Simples assim!)
Continuando esse exemplo, qual foi o montante resgatado?
3.3 – Juros Composto
Montante
Legenda: C = capital i = taxa unitária t= tempo
Em juros compostos utiliza-se nos exercícios a fórmula do montante. Tendo o montante e o
capital, para encontrar os juros basta subtrair
Da mesma forma que nos juros simples a unidade temporal da taxa e do período de aplicação
deve ser os mesmos.
Exemplo:
Um investidor aplicou R$ 700 a uma taxa de juros composto de 5%a.a durante 48 meses. Qual
foi o juros e o montante resgatado pelo investidor?
C = 700
i = 5%a.a
t = 48 meses = 4 anos
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Capítulo 4
O desconto ocorre quando há antecipação no pagamento de um título. Assim, um ativo que
valeria R$ 2.000 se ficasse aplicado durante 2 anos, valerá somente R$ 1.400 se resgatado em
1,5 ano de aplicação, por exemplo.
4.1 – Desconto Simples
Precisamos conhecer dois tipos de desconto simples: desconto comercial e desconto racional.
4.1.1 – Desconto Comercial Simples
O desconto comercial simples é calculado com base no valor nominal do título. Outras
nomenclaturas comuns são: desconto bancário e desconto por fora.
Dc = desc. comercial; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo
Exemplo:
Um título com valor nominal de R$ 5.000 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento.
Qual é o desconto comercial simples e o valor atual desse título se a taxa de desconto foi de
3%a.m?
N = R$ 5mil
t = 4 meses
id = 3%a.m
Ou
4.1.2 – Desconto Racional Simples
O desconto racional simples é calculado com base no valor atual do título. Outras
nomenclaturas comuns são: desconto verdadeiro e desconto por dentro.
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Dr = desc. racional; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo
Exemplo:
Um título de R$ 1000 foi resgatado 10 meses antes do seu vencimento. Considerando que
a taxa de desconto racional simples foi de 4%a.m, qual foi o valor do desconto e o valor
resgatado?
N = 1000
t = 10 meses
ir = 4%a.m
4.2 – Desconto Composto
Assim como no desconto simples, existem dois tipos de desconto composto: desconto
comercial e desconto racional.
4.2.1 – Desconto Comercial Composto
Também conhecido como desconto por fora, o desconto comercial composto é calculado
sobre o valor nominal do título.
Dc = desc. comercial; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazo
Exemplo:
Um título de R$ 1.000 foi resgatado 5 meses antes do seu vencimento. Considerando que a
taxa de desconto comercial composto foi de 2%a.m, qual foi o valor do desconto e o valor
resgatado?
N = 1000
t = 5 meses
ir = 2%a.m
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4.2.1 – Desconto Racional Composto
Conhecido como desconto por dentro ou racional.
Dr = desc. racional; N = valor nominal; i = taxa de desconto; A = valor atual; n = prazo
Coloquei a fórmula do desconto, mas a maneira mais fácil de calcular o valor do desconto é
usando
– .
Exemplo:
Um título de R$ 2.000 foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento. Considerando que a
taxa de desconto racional composto foi de 2%a.m, qual foi o valor resgatado?
N = 2000
n = 3 meses
ir = 2%a.m
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