SUMÁRIO
1 NOÇÕES DE FINANÇAS E MATEMÁTICA FINANCEIRA............................................. 2
1.1 O QUE É FINANÇAS .................................................................................................... 2
1.2 ADAPTAÇÃO ÀS MUDANÇAS..................................................................................... 3
1.3 CONSTRUINDO UMA IMAGEM ................................................................................... 4
1.4 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DE UMA EMPRESA ............................................. 5
1.5 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DA FAMÍLIA.......................................................... 6
1.6 A RELAÇÃO ENTRE FINANÇAS E MARKETING....................................................... 7
1.7 RELAÇÃO ENTRE OBJETIVOS CORPORATIVOS E MARKETING ........................... 9
2 MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA.................................................................... 9
2.1 FLUXO DE CAIXA ........................................................................................................ 9
2.2 JURO .......................................................................................................................... 11
2.3 TAXAS ........................................................................................................................ 12
2.4 TAXA DE JURO .......................................................................................................... 13
2.5 REGRAS BÁSICAS .................................................................................................... 14
2.6 CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS (SIMPLES E COMPOSTO)............ 15
3 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS .............................................................................. 17
3.1 APLICAÇÕES PRÁTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ........................ 17
3.2 FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES............................................................................. 18
3.3 MONTANTE E CAPITAL (JUROS SIMPLES)............................................................. 21
3.4 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE (JUROS SIMPLES) ..................... 23
3.5 JURO EXATO E JURO COMERCIAL......................................................................... 26
3.6 EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA ................................................................................... 27
3.7 FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS..................................................................... 28
3.8 TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) .................................................... 33
3.9 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA (JUROS COMPOSTOS) .................................... 38
4 DESCONTOS ............................................................................................................. 42
4.1 DESCONTO SIMPLES ............................................................................................... 43
4.1.1 Desconto Racional (ou “por dentro”)................................................................... 43
4.2 DESCONTO COMPOSTO .......................................................................................... 47
4.2.1 Desconto composto “por fora”............................................................................. 48
4.2.2 Desconto Composto “por dentro”........................................................................ 50
5 PRESTAÇÕES ........................................................................................................... 55
6 PROJETOS DE INVESTIMENTOS EM MARKETING .................................................. 58
6.1 AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO EM MARKETING ....................... 60
LISTA DE EXERCÍCIOS................................................................................................... 66
REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 75
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1 NOÇÕES DE FINANÇAS E MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 O QUE É FINANÇAS
Podemos conceituar Finanças como sendo a aplicação de uma série de princípios
econômicos e financeiros para maximizar a riqueza ou o valor total de um negócio. Mais
especificamente, ao usar o valor presente líquido (fluxo de caixa futuro, descontado o
valor presente menos os custos originais) para medir a rentabilidade, uma empresa
maximiza a riqueza investindo em projetos e adquirindo ativos cujos retornos combinados
produzem os lucros mais altos possíveis com os menores riscos. Na realidade, ninguém
realmente sabe quando a riqueza máxima é atingida, embora ela seja entendida como a
meta final de toda empresa. Uma maneira de descobrir a riqueza de uma empresa é por
intermédio do preço de sua ação ordinária. Quando o preço das ações de uma empresa
aumenta, diz-se que a riqueza dos seus acionistas está aumentando. Por que o preço das
ações reflete a capacidade de uma empresa criar e aumentar riqueza? Porque o mercado
de ações é um mecanismo muito eficiente. Portanto, o preço das ações reage muito
rapidamente a todas as informações disponíveis como também à perspectiva de
mudanças futuras na riqueza da empresa. Atualmente, o mercado é ainda mais eficiente
porque os investidores estão mais bem informados e os administradores utilizam métodos
melhores e estratégias mais eficazes para evidenciar o seu desempenho. A proliferação
de computadores tem propiciado uma base mais ampla para selecionar as melhores
alternativas de investimento. Naturalmente, o advento da Internet revolucionou as formas
de procura, coleta e difusão de informações a partir das quais são tomadas decisões
empresariais mais seguras.
Atualmente, os administradores financeiros dispõem de muitas ferramentas
sofisticadas para solucionar difíceis problemas empresariais. Mas nem sempre foi assim.
Antes de 1970, a ênfase incidia sobre as novas formas de atingir eficácia na
administração do capital de giro, melhorando os métodos para manutenção de registros
financeiros e de interpretação dos balanços patrimoniais e demonstrativos de resultados.
O horizonte das finanças se ampliou desde então, e a ênfase hoje recai sobre as formas
de orçar com eficácia os recursos escassos e investir os capitais nos ativos ou projetos
que apresentam o melhor balanceamento de risco/retorno. A atenção tem se voltado ao
estudo das diferentes alternativas e do efeito de cada uma delas sobre o valor da
empresa. O foco mais importante são as opções de proteção contra os riscos do uso de
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derivativos financeiros. Métodos mais aprimorados já estão disponíveis para avaliar os
riscos e os lucros dos investimentos, como também para simular os resultados das
diferentes decisões antes de se investir capitais limitados e escassos. A necessidade de
desenvolver planos em um longo prazo, para tirar proveito de novos instrumentos
financeiros e para entender os princípios das finanças internacionais, está se tornando
cada vez mais evidente.
O conhecimento de finanças não deve se restringir aos tesoureiros, controladores e
planejadores financeiros. Em qualquer empresa, se contadores, estatísticos e
profissionais de marketing, concomitantemente, fizerem uma avaliação e tiverem um
entendimento dos princípios de finanças, poderão participar mais efetivamente do
processo decisório. Diferentes departamentos devem participar da finalização dos planos
elaborados pela área financeira.
1.2 ADAPTAÇÃO ÀS MUDANÇAS
A área de finanças é, em parte, ciência e, em parte, arte. A análise financeira
fornece os meios de tomar decisões de investimento flexíveis e corretas, no momento
apropriado e mais vantajoso. Quando os administradores financeiros são bem-sucedidos,
ajudam a melhorar o valor das ações da empresa.
Um administrador emite sinais favoráveis aos investidores ao estabelecer um
registro de demonstrativos financeiros seguros, mostrando retorno com um crescimento
rápido e contínuo, com um nível mínimo de risco. Por que os sinais corretos são tão
necessários?
Porque
são
os
acionistas
(investidores),
fundamentalmente,
que
determinam o valor de mercado da empresa a partir dos preços das ações que ela emite.
Se a empresa tiver um bom resultado, e as pessoas acreditarem que tal resultado irá se
manter, a valorização será grande. Ao contrário, um mau resultado, com expectativas de
retornos desfavoráveis e altos níveis de riscos, reduzirá o valor das ações.
Para ter êxito, os administradores financeiros precisam se envolver com as
mudanças que ocorrem constantemente no campo das finanças. Eles devem adotar
métodos mais sofisticados para poder planejar melhor num ambiente de crescente
competitividade. Precisam lidar de forma eficiente com as mudanças que ocorrem dentro
e fora da empresa. Em resumo, os administradores financeiros são responsáveis pelo
reconhecimento e pela resposta aos fatores de mudanças nos ambientes privados,
públicos e financeiros.
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Há uma crescente necessidade de escolher corretamente o momento para
introduzir novos produtos, para entregar produtos e serviços que atendam às
necessidades atuais e em desenvolvimento, e para assegurar que as decisões de
marketing sejam apoiadas por planos alternativos. Mudanças nos esforços de pesquisa e
produção são algumas vezes necessárias para garantir que os novos produtos possam
responder aos desafios de um mercado cada vez mais competitivo (em essência, essa é
uma das principais atividades de marketing: desenvolver novos produtos, novos mercados
para garantir a sobrevivência da empresa).
1.3 CONSTRUINDO UMA IMAGEM
Muitas vezes, os planos financeiros mais bem-sucedidos não recebem a devida
atenção principalmente porque os administradores e/ou profissionais de finanças não
conseguem divulgá-los ou os promovem excessivamente. No passado, essa informação
era transmitida aos analistas de títulos que, por sua vez, informavam aos investidores
sobre os novos progressos que ocorriam na empresa. Mas, essa abordagem era muito
seletiva e atingia apenas alguns investidores. Geralmente, os funcionários da empresa
divulgavam essa informação pelos jornais, pela televisão e por relatórios trimestrais e
anuais. Na melhor das hipóteses, essa informação era esporádica e sem imediação.
A meta deveria ser a disseminação de nova informação tão rapidamente quanto
possível, alcançando um grande número de investidores. A Internet está se tornando – e
irá se consolidar como - um veículo eficaz para atingir essa meta.
A empresa deveria procurar fazer investimentos em áreas que os investidores
associem a crescimento, atração, e que possuam grande potencial. Infelizmente, muitas
empresas boas e financeiramente confiáveis são associadas a áreas pouco valorizadas.
Bons produtos não recebem o reconhecimento que merecem. A idéia é dirigir a atenção
dos investidores para as áreas mais atraentes da empresa para conseguir uma melhor
valorização. A empresa pode querer que os investidores saibam que ela está se
deslocando para áreas mais atraentes de crescimento e rentabilidade. A responsabilidade
da empresa com os acionistas é criar a melhor imagem possível. Uma recente estratégia
de sucesso tem sido o emprego de “ações de ativos específicos da empresa”. Tal
estratégia consiste na emissão de uma nova ação para representar aquela parte dos
ativos que têm a melhor perspectiva financeira. Dessa forma, os investidores podem
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associar a ação a áreas similares de alto valor e dar ao preço de uma ação de ativos
específicos da empresa todo o valor que ela merece.
Os administradores devem dar maior atenção a este conceito de construção da
imagem ao adquirirem novas empresas, ao criarem novas linhas de produtos ou a darem
novos rumos à pesquisa. Essa parte da estratégia de investimento, seja real ou ilusória,
deve estar sempre presente na mente dos administradores quando tencionam mudar a
percepção que o investidor tem do potencial de investimentos da ação da empresa.
1.4 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DE UMA EMPRESA
O orçamento é a ferramenta administrativa mais adequada para se planejar
financeiramente e, com segurança, as atividades operacionais de uma instituição, quer
sejam atividades rotineiras (tais como folha de pagamento, manutenção da frota de
veículos) ou periódicas (tais como projetos com tempo certo de duração, participação em
seminários ou congressos).
Os
orçamentos
devem
ser
confeccionados,
preferencialmente, subdivididos em centros de custos, os quais refletirão as necessidades
de controle de cada conjunto de tarefas, grupos de pessoas ou eventos. Orçar não só
significa estimar a real necessidade de recursos de um centro de custo durante um
determinado período como também avaliar com precisão a entrada dos recursos para
sustentar a operacionalidade da instituição, ou seja, consiste em responder, de forma
imediata, às seguintes perguntas:
1º - Nas próximas X semanas teremos disponibilidade para pagar os desembolsos
que irão ocorrer?
2º - Caso negativo, que desembolsos poderão ser remanejados? Ou que entradas
de recursos poderão ser antecipadas?
3º - Caso positivo e havendo disponibilidade de caixa, que investimentos poderão
ser efetuados?
O acompanhamento dos eventos financeiros é efetuado em tempo hábil e mediante
números precisos através do fluxo de caixa. Essa ferramenta administrativa permite o
acompanhamento periódico - de acordo com as necessidades da instituição e, em tempo
real das origens e aplicações dos recursos, o que possibilita decisões em tempo hábil. O
fluxo de caixa permite responder às questões acima e garantem a sobrevivência da
empresa.
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Os Administradores Financeiros costumam avaliar a saúde financeira de uma
empresa sob três aspectos:
1 – Lucro Líquido: quanto foi o lucro líquido alcançado depois de suas operações?
(medida absoluta);
2 – Retorno sobre o Investimento: para cada R$ 1,00 investido qual foi o retorno
em termos percentuais? (medida relativa);
3 – Fluxo de Caixa: a empresa teve disponibilidades financeiras para saldar e
honrar seus compromissos em dia? (medida de sobrevivência).
Ganhar dinheiro é o objetivo de toda e qualquer empresa privada. Maximizar o
capital é o objetivo de seus proprietários ou acionistas.
1.5 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DA FAMÍLIA
Tal qual uma empresa, uma família deve se planejar financeiramente para garantir
o atendimento das necessidades básicas de seus membros: saúde, alimentação,
moradia, educação, lazer dentre outros. Uma família que se planeja financeiramente
consegue viver de forma mais tranqüila e consegue assegurar um futuro melhor para
todos os seus membros.
Quando falamos em Planejamento Financeiro Familiar, devemos usar a
racionalidade em todas as decisões que envolvam recursos financeiros. Como exemplo,
podemos citar o planejamento para se conceber um filho, que é um desejo de todos os
casais. Antes da concepção, pai e mãe devem ter certeza suficiente de que terão
recursos financeiros para essa “nova“ despesa que virá. Segundo os especialistas, um
filho consome, em média, 30% do orçamento familiar. Devemos estar preparados para
essa despesa. Muitos dos problemas sociais que enfrentamos atualmente são oriundos
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da ausência de um planejamento familiar e, conseqüentemente, da ausência de recursos
financeiros para possibilitar uma boa educação, saúde, alimentação etc. Um filho sem
educação, tem muito mais dificuldade para ter acesso a um bom emprego e garantir uma
boa renda. Sem renda e sem oportunidades, dá-se início a um novo ciclo, sem
planejamento e, conseqüentemente, aumentar-se-á a pobreza do país e todos os
problemas sociais que enfrentamos atualmente.
Outro exemplo da ausência de planejamento financeiro nas famílias de baixo poder
aquisitivo é o que chamamos de “bola de neve”. Comumente, em razão da facilidade de
compra e dos prazos de pagamento oferecidos por lojas de diversos segmentos,
consumidores tendem a comprar, por exemplo, uma TV que custa à vista R$ 399,00 em
12 prestações mensais de R$ 55,00 (que gera, no final de 12 meses, um montante final
de R$ 660,00 ou juros de R$ 261,00, valor este, que poderia ser usado para adquirir
outros bens, caso houvesse sido adotada uma estratégia de poupar os recursos para se
comprar essa mesma TV com valor de à vista, ou barganhando um desconto,
considerando-se o pagamento à vista).
1.6 A RELAÇÃO ENTRE FINANÇAS E MARKETING
Os caminhos do marketing estão cada vez mais atrelados aos resultados
financeiros, como acontece em qualquer outro setor. Nesse mercado, contudo, nota-se
que as mudanças de comportamento dos indivíduos, devido às influências das novas
tecnologias, imprimiram agilidade ao dia-a-dia tanto dos profissionais como dos
consumidores. Nas áreas de comunicação e marketing, os reflexos são muitos,
principalmente com relação à fragmentação das verbas da publicidade e, nesse sentido,
uma das maiores preocupações dos executivos do setor é mensurar o retorno real após a
realização das ações de marketing.
As decisões de marketing estão diretamente ligadas à área financeira. As decisões
de produto englobam a identificação de oportunidades de lançamento de produtos e
serviços, a adequação destes às necessidades e desejo dos clientes, a formulação de
estratégias de produto e linhas de produto (como diferenciação, posicionamento etc.) e a
administração do ciclo de vida do produto. Com base no ciclo de vida de um produto,
pode-se projetar a receita da empresa (parte integrante de um orçamento empresarial).
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DEMANDA
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INTRODUÇÃO
CRESCIMENTO
MATURIDADE
DECLÍNIO
TEMPO
FIGURA 1. Ciclo de Vida do Produto.
Com as informações da demanda, pode-se projetar a receita da empresa conforme
abaixo:
Receita Total = Preço de Venda (Preço de Venda Praticado) x Qtd (Vendida)
Gráfico da Receita Total
5000
RT (R$)
4000
3000
2000
1000
0
1
2
3
4
5
6
Qtd (Mil)
GRÁFICO 1. Receita Total.
As decisões de preço envolvem a seleção da estratégia de preço que gere
vantagem competitiva e diferenciação para cada produto ou linha de produto, bem como
maximize o retorno para a empresa, em termos financeiros e, como também, para os
parceiros da empresa (canais de distribuição).
As decisões de promoções são aquelas relativas aos investimentos em estratégias
e atividades de comunicação (propaganda, marketing direto, relações publicas,
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publicidade, eventos, seminários) e promoção de vendas (sorteios, prêmios, campanhas,
descontos de preços, brindes e outros).
Enfim, toda e qualquer decisão de marketing tem relação direta com a área
financeira, pois é a função marketing e de vendas que são responsáveis pela geração de
receita para a empresa. Como todo e qualquer investimento, o investimento realizado na
área de marketing tem um único objetivo: aumentar a participação da empresa no
mercado, ou seja, gerar mais receita e ganho para a empresa.
1.7 RELAÇÃO ENTRE OBJETIVOS CORPORATIVOS E MARKETING
Ao investirem em ações de marketing de relacionamento com o mercado, as
empresas descobrem que a qualidade do atendimento nos estabelecimentos comerciais
está relacionada ao comprometimento dos profissionais de venda e, para isso, atentam
para a conquista de sua confiança para que eles “vistam a camisa” da marca. Para esse
resultado, entretanto, é fundamental que esses profissionais sejam, e se sintam,
valorizados. Assim, o incentivo financeiro usado como único benefício não tem mais o
mesmo impacto de antes, o convívio se tornou essencial para estabelecer a relação de
confiança. Então, nos programas de relacionamento com o mercado, há objetivo claro de
resgatar o comprometimento desses profissionais, cada vez mais capacitados e
especializados na função que optaram como carreira.
Para se atingir um objetivo corporativo, o comprometimento deve ser de toda a
organização e não somente da função de marketing ou de produção.
2
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
2.1 FLUXO DE CAIXA
Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas (Recebimento
de Valores) e Saídas (Pagamentos de Valores) de capital, realizadas em determinados
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períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha
de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela
com essas mesmas indicações.
Na representação gráfica de um fluxo de caixa, as entradas são representadas com
uma seta para cima e as saídas são representadas com uma seta para baixo, conforme
demonstrado na abaixo:
R$ 1.000
1
2
3
4
5
6
0
R$ 100 R$ 100 R$ 200 R$ 200 R$ 150 R$ 100
FIGURA 2. Representação Gráfica de um Fluxo de Caixa.
Considerando-se as movimentações financeiras constantes no fluxo de caixa da
FIGURA 2, podemos descrever essas movimentações como:
Período 0 à Entrada de R$ 1.000;
Período 1 à Saída de R$ 100;
Período 2 à Saída de R$ 100;
Período 3 à Saída de R$ 200;
Período 4 à Saída de R$ 200;
Período 5 à Saída de R$ 150;
Período 6 à Saída de R$ 100.
Com a utilização de um fluxo de caixa, uma empresa pode “prever” todas as suas
movimentações financeiras (entradas e saídas) bem como pode “estimar” o saldo final em
um determinado período de tempo futuro. Essa prática é conhecida como Planejamento
Financeiro ou Orçamento Empresarial.
Com base no fluxo de caixa da Figura 2, podemos afirmar que o saldo final
(previsto) no período 6 será de R$ 150,00 resultantes da diferença entre valores a receber
e a pagar. Podemos projetar o saldo utilizando a fórmula abaixo:
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Saldo Final = Valor das Entradas – Valor das Saídas
Saldo Final = R$ 1.000 – R$ 850
Saldo Final = R$ 150,00
Caso o saldo final seja negativo, a empresa necessitará de recursos financeiros
para saldar e honrar seus compromissos em dia. Nesse caso, poderá utilizar limites ou
linhas de crédito disponíveis no mercado financeiro (mediante pagamento de juros). Uma
outra alternativa é tentar negociar a prorrogação de algum pagamento junto aos seus
fornecedores para evitar que o caixa fique com o saldo negativo evitando assim, o
pagamento de juros financeiros para bancos ou instituições financeiras. O pagamento de
juros (sobre recursos tomados para cobrir o caixa) é considerado uma “despesa ruim” e
afeta diretamente o Lucro Líquido Final da Empresa, reduzindo assim, a sua rentabilidade
(retorno sobre o Capital).
2.2 JURO
A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao
longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários
fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.
Receber uma quantia hoje ou no futuro não é, evidentemente, a mesma coisa. Em
princípio, uma unidade monetária hoje não é preferível à mesma unidade monetária
disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo
envolve um sacrifício, que deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros.
Dessa forma, são os juros que, efetivamente, induzem o adiamento do consumo,
permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia.
As taxas de juros devem ser diferentes de maneira a remunerar:
§
O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado
genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
§
A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflação é um
fenômeno que corrói o capital e o valor do dinheiro, determinando um volume cada
vez menor de compra com o mesmo montante com o passar do tempo;
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§
12
Os juros devem gerar um lucro para o capital emprestado ou aplicado ao
proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado
período de tempo. Esse ganho é estabelecido basicamente em função das
diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de
oportunidade.
2.3 TAXAS
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de
alguma operação financeira.
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de
taxas:
§
Taxa Nominal: é quando o período de formação e incorporação dos juros ao
Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida;
Exemplos:
1. 1200% ao ano com capitalização mensal.
2. 450% ao semestre com capitalização mensal.
3. 300% ao ano com capitalização trimestral.
§
Taxa Efetiva: é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital
coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
1. 120% ao mês com capitalização mensal.
2. 450% ao semestre com capitalização semestral.
3. 1300% ao ano com capitalização anual.
§
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês
produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual
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a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste
mês, será definida por:
Taxa real = 1,326 / 1,30 = 1,02, o que significa que a taxa real no período foi de 2%.
2.4 TAXA DE JURO
A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração
do fator capital utilizado durante certo período de tempo.
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e
podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa
unitária.
A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, ao valor dos juros para
cada centésima parte do capital.
Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final
deste período:
R$ 1.000,00
X 20
Juro =
100
Juro = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00
O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a
remuneração total da aplicação no período é, portanto, R$ 200,00.
A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de
capital em certo período de tempo.
No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20
(20% / 100) por unidade de capital aplicada, ou seja:
20
Juro =
R$ 1.000,00 x
100
Juro = R$ 1.000 x 0,20 = R$ 200,00
MTE – CETAM - SETRAB
14
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela
divisão da notação em percentual por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar
a taxa unitária por 100. Conforme exemplos abaixo:
Taxa Percentual
Taxa Unitária
1,5%
0,015
8%
0,08
17%
0,17
86%
0,86
120%
1,20
1.500%
15,0
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizandose a taxa unitária de juros. Podemos usar as seguintes fórmulas para encontrar a taxa
unitária e a taxa percentual:
Taxa Unitária (i) = r / 100, onde: r = taxa percentual
Taxa Percentual (r) = i x 100, onde i = taxa unitária
Nos enunciados dos exercícios deste módulo todas as taxas de juros serão
apresentadas em taxa percentual. Porém, como citado acima, utilizaremos nas fórmulas
de matemática financeira a taxa unitária. Os resultados finais deverão ser convertidos
para taxas percentuais.
2.5 REGRAS BÁSICAS
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de
juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Por
exemplo, admita que um fundo de poupança esteja oferecendo juros de 2% ao mês e os
rendimentos creditados mensalmente. Nesse caso, o prazo a que se refere à taxa (mês) e
o período de capitalização do fundo (mensal) são coincidentes, atendendo à regra básica.
15
MTE – CETAM - SETRAB
Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros definidos em taxa
anual, não há coincidência nos prazos e deve ocorrer necessariamente um “rateio”. É
indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juro anual para o
intervalo de tempo definido pelo prazo da operação, ou vice-versa, o que for considerado
mais apropriado para os cálculos. Somente após a definição do prazo e da taxa de juro na
mesma unidade de tempo é que as formulações da matemática financeira podem ser
operadas.
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo
podem ser efetuados através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros
compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização definido para a
operação.
2.6 CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS (SIMPLES E COMPOSTO)
Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e
sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nessa conceituação
podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e
composto (ou exponencial).
O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão
aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Nesse critério, os
juros incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se
registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.
Por exemplo, admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos,
pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano. O quadro abaixo ilustra a evolução
dessa operação no período, indicando os vários resultados.
Ano
Saldo no início
Juros apurados para cada
Saldo devedor ao
Crescimento
de
ano (R$)
final de cada ano
anual do saldo
(R$)
devedor (R$)
cada
ano
(R$)
Início do 1º Ano
-
-
1.000,00
-
Fim do 1º Ano
1.000,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.100,00
100,00
Fim do 2º Ano
1.100,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.200,00
100,00
Fim do 3º Ano
1.200,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.300,00
100,00
Fim do 4º Ano
1.300,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.400,00
100,00
Fim do 5º Ano
1.400,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.500,00
100,00
16
MTE – CETAM - SETRAB
Algumas observações podem ser apresentadas:
§
Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$ 1.000,00,
apresentam valores idênticos ao final de cada ano (0,10 x R$ 1.000,00 = R$
100,00);
§
Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear (no exemplo, cresce
R$ 100,00 por ano), revelando um comportamento idêntico a uma progressão
aritmética. Os juros totais da operação atingem, em 5 anos, R$ 500,00;
§
Se os juros simples ainda não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do
capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial (R$ 1.000,00), não
ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º
ano, a remuneração calculada de R$ 500,00 é obtida com base no capital
emprestado há 5 anos, ignorando-se os R$ 400,00 de juros que foram se
acumulando ao longo do tempo;
§
Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida
no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de
anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos.
O regime de capitalização composta incorpora ao capital não somente os juros
referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o
momento anterior. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG)
em que os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período
correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial).
Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de R$ 1.000,00 deva ser paga em
juros compostos à taxa de 10% ao ano, tem-se os resultados ilustrados no quadro a
seguir.
Ano
Saldo no início
Juros apurados para cada
Saldo devedor ao
Crescimento
de
ano (R$)
final de cada ano
anual do saldo
(R$)
devedor (R$)
cada
ano
(R$)
Início do 1º Ano
-
-
1.000,00
-
Fim do 1º Ano
1.000,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.100,00
100,00
Fim do 2º Ano
1.100,00
0,10 x 1.100,00 = 110,00
1.210,00
110,00
Fim do 3º Ano
1.210,00
0,10 x 1.210,00 = 121,00
1.331,00
121,00
Fim do 4º Ano
1.331,00
0,10 x 1.331,00 = 133,10
1.464,10
133,10
Fim do 5º Ano
1.464,10
0,10 x 1.464,10 = 146,41
1.610,51
146,41
17
MTE – CETAM - SETRAB
As seguintes observações são válidas:
§
No primeiro período do prazo total, os juros simples e compostos igualam-se (R$
100,00), tornando também idêntico o saldo devedor de cada regime de
capitalização. Assim, para operações que envolvam um só período de incidência
de juros (também denominado de período de capitalização), é indiferente o uso do
regime de capitalização simples ou composto, pois ambos produzem os mesmos
resultados;
§
A diferença entre os critérios estabelece-se em operações com mais de um período
de capitalização. Enquanto os juros simples crescem linearmente, configurando
uma
PA,
os
juros
compostos
evoluem
exponencialmente,
segundo
o
comportamento de uma PG. No regime composto, há uma capitalização dos juros,
também entendida por juros sobre juros; os juros são periodicamente incorporados
ao saldo devedor anterior e passam, assim, a gerar juros. Quanto maior for o
número de períodos de incidência dos juros, maior será a diferença em relação à
capitalização simples.
Os juros passam a crescer linearmente a partir do 2º período de capitalização.
Quanto maior o período de capitalização, maior será a incidência de juros sobre
juros.
3 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
3.1 APLICAÇÕES PRÁTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
Os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas, têm aplicações
práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que formam
temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O uso
de juros simples restringe-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto
prazo.
No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem
geralmente prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou
MTE – CETAM - SETRAB
18
rentabilidade) por esse regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores
monetários da operação (encargos a pagar, para empréstimos, e rendimentos financeiros,
para aplicações), e não para a apuração do efetivo resultado percentual.
É importante ressaltar, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado financeiro
(nacional e internacional) estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos
montantes das operações processa-se exponencialmente (juros compostos). Por
exemplo, a Caderneta de Poupança paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6% ao
ano para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento proporcional de 0,5%. A
taxa referenciada para essa operação é linear, porém os rendimentos são capitalizados
segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros.
Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou rentabilidade expressos em
percentual, mesmo para aquelas operações que referenciam suas taxas em juros simples,
é sugerida a utilização do critério de juros compostos. Tecnicamente mais correto por
envolver a capitalização exponencial dos juros, o regime composto é reconhecidamente
adotado por todo o mercado financeiro e de capitais.
Uma observação mais detalhada ainda, revela que outros segmentos além do
mercado financeiro também seguem as leis dos juros compostos, tais como o estudo do
crescimento demográfico, do comportamento dos índices de preços da economia, da
evolução do faturamento e de outros indicadores empresariais de desempenho, dos
agregados macroeconômicos, da apropriação contábil de receitas e despesas financeiras
etc.
De um modo geral, o consumidor deve ficar atento aos juros praticados pelo
mercado. Embora representem uma taxa pequena se capitalizada mensalmente, podem
transformar-se em uma taxa bastante elevada com o prolongamento dos períodos.
3.2 FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:
J=Cxixn
Onde:
J = valor dos juros expresso em unidades monetárias;
C = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento;
19
MTE – CETAM - SETRAB
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo.
Essa fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como para outros valores
financeiros mediante simples redução algébrica:
J
J
C=
J
i=
ixn
n=
Cxn
Cxi
Exemplos:
Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados nesse período.
Solução:
C = R$ 80.000,00
i = 2,5% a.m. (0,025)
n = 3 meses
J =?
J=Cxixn
J = 80.000,00 x 0,025 x 3
J = R$ 6.000,00
Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6%
ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total
dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
Solução:
C=?
i = 6% a.m. (0,06)
n = 9 meses
J = R$ 270.000,00
J
C=
ixn
MTE – CETAM - SETRAB
270.000,00
C=
20
270.000,00
C=
0,06 x 9
0,54
C = R$ 500.000,00
Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses,
produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se calcular a taxa de juros
oferecida por essa operação.
Solução:
C = R$ 40.000,00
i=?
n = 11 meses
J = R$ 9.680,00
J
i=
Cxn
9.680,00
9.680,00
i=
i=
40.000,00 x 11
440.000,00
i = 0,022 ou 2,2% ao mês.
Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês
produz, ao final de determinado período, juros de R$ 27.000,00. Calcular o prazo da
aplicação.
Solução:
C = R$ 250.000,00
i = 1,8% a.m. (0,018)
n=?
J = R$ 27.000,00
J
n=
Cxi
21
MTE – CETAM - SETRAB
27.000,00
27.000,00
n=
n=
250.000,00 x 0,018
4.500,00
n = 6 meses
3.3 MONTANTE E CAPITAL (JUROS SIMPLES)
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por
determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado
em juros simples por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o
valor acumulado dos juros, isto é:
M=C+J
No entanto, sabe-se que:
J=Cxixn
Substituindo essa expressão na fórmula do montante supra, e colocando-se C em
evidência:
M=C+Cxixn
è
M = C (1 + i x n)
Evidentemente, o valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples
transformação algébrica:
M
C=
(1 + i x n)
MTE – CETAM - SETRAB
22
A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de valor futuro –
FVF) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por esse fator, corrige-se o seu valor
para uma data futura, determinando o montante. O inverso, ou seja, 1/(1 + i x n) é
denominado de fator de atualização (ou valor presente – FVP). Ao se aplicar o fator sobre
um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual.
Graficamente, tem-se:
Exemplos:
Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.
Determinar o valor acumulado ao final deste período.
Solução:
C = R$ 18.000,00
i = 1,5% a.m. (0,015)
n = 8 meses
M =?
M = C (1 + i x n)
M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8)
M = 18.000,00 x 1,12 = R$ 20.160,00
Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo
um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje.
Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
Solução:
C=?
i = 7% a.m. (0,07)
n = 4 meses
M = R$ 900.000,00
M
C=
(1 + i x n)
MTE – CETAM - SETRAB
900.000,00
C=
23
900.000,00
C=
( 1 + 0,07 x 4)
1,28
C = R$ 703.125,00
3.4 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE (JUROS SIMPLES)
Para se compreender mais claramente o significado dessas taxas deve-se
reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere à taxa de
juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.
Como exemplo, admita um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de
24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente à taxa de juros é anual. A seguir,
deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer que os
encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos
considerados são coincidentes.
O crédito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de
operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é definida ao mês e os
juros capitalizados também mensalmente. Outro exemplo é o financiamento de uma
compra em uma determinada loja de eletrodomésticos. A taxa cobrada é definida ao mês
e os juros são capitalizados ao mês.
Mas, em inúmeras outras operações esses prazos não são coincidentes. O juro
pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido
como o prazo da taxa que será rateado ao período de capitalização.
Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma
taxa de juros de 6% ao ano, a qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês
através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos: prazo
da taxa (ano) e o prazo de capitalização (mês).
É necessário para o uso das fórmulas de Matemática Financeira, conforme foi
abordado anteriormente, expressar esses prazos diferentes na mesma base de tempo.
MTE – CETAM - SETRAB
24
Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira
inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de
juros.
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, essa
transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também
denominada de taxa linear ou nominal. Essa taxa proporcional é obtida da divisão entre a
taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros
(quantidade de períodos de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida
mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que
incidirá sobre o capital a cada mês será:
18%
Taxa Proporcional =
= 1,5% ao mês.
12
A aplicação de taxas proporcionais ou equivalentes é muito difundida,
principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de
mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre
saldo devedor de conta corrente bancária etc.
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.
Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês
ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
Isto é:
J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00
J (15% a.s.) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas de juros são iguais, logo são definidas como
taxas equivalentes.
MTE – CETAM - SETRAB
25
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas
equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas
taxas de juros como proporcionais ou equivalentes.
No exemplo ilustrativo acima, observe que 2,5% a.m. é equivante a 15% a.s.,
verificando-se ainda uma proporção entre as taxas. A taxa de 2,5% está relacionada ao
período de um mês, e a de 15% a seis meses, Logo:
1
2,5
=
6
15
Exemplos:
Calcular a taxa anual equivalente a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre.
Solução:
a) i = 6% x 12 = 72% a.a.
b) i = 10% x 6 = 60% a.a.
Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao
trimestre.
Solução: conforme foi demonstrado, deve haver uma igualdade entre a proporção das
taxas e entre os períodos a que se referem.
60%
a)
X 6 = 30% a.s.
i=
12
12
60
=
Pois =
6
i
12
60
=
6
30
MTE – CETAM - SETRAB
26
9%
b)
X 6 = 18% a.s.
i=
3
ou: i = 9% x 2 = 18% a.s.
Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao
mês pelo prazo de um ano e cinco meses.
Solução: M = ?
C = R$ 600.000,00
n = 1 ano e 5 meses (17) meses
i = 2,3% a.m. (0,023)
M = C (1 + i x n)
M = 600.000,00 (1 + 0,023 x 17) = R$ 834.600,00
Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes.
Para a sua avaliação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar
o valor da dívida a ser pago antecipadamente,
Solução: M = R$ 30.000,00
C=?
i = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao mês)
n = 3 meses
C = 30.000,00 / (1 + 0,0125 x 3) = R$ 28.915,66
3.5 JURO EXATO E JURO COMERCIAL
É comum nas operações de curo prazo, em que predominam as aplicações com
taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nesses
casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras.
Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O
juro apurado dessa maneira determina-se juro exato;
27
MTE – CETAM - SETRAB
Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e ao ano com 360 das. Temse, por esse critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário.
Como exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, a uma taxa diária
de:
18%
a)
Juro Exato
= 0,032877% a.d.
=
.
365
b)
18%
= 0,0333333% a.d. .
Juro Comercial =
360
Na ilustração acima, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato pelo
menor número de dias considerado no intervalo de tempo.
3.6 EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA
O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da
matemática financeira. Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma
certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados
iguais numa data comum.
Como exemplo, R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, são
equivalentes a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, uma vez que os R$ 100,00,
capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um ano, ou os R$ 120,00, do final do
primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os
capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a taxa de 20% ao ano,
resultados idênticos. Graficamente:
28
MTE – CETAM - SETRAB
M = 100,00 x (1 + 0,20 x 1)
R$ 100,00
R$ 120,00
Exemplo:
C = 120,00 / (1 + 0,20 x 1)
Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se
receber hoje R$ 296.000,00, admitindo-se uma taxa de juros simples de 6% ao mês.
Solução: M = C (1 + i x n) à M = 296.000,00 x (1 + 0,06 x 8) à M = R$ 438.080,00
C = M (1 + i x n) à C = 438.080,00 / (1 + 0,06 x 8) à C = R$ 296.000,00
Logo, os capitais são equivalentes à taxa de 6% ao mês. Portanto, a essa taxa de
juros é indiferente receber R$ 296.000,00 hoje ou R$ 438.080,00 daqui a 8 meses.
3.7 FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período
são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Esse
montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo
montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros
formados nos períodos anteriores), e assim por diante.
Esse processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros
simples, em que unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os
juros formados em períodos anteriores.
Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples,
principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi comentando
anteriormente. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em
qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear (juros
simples).
MTE – CETAM - SETRAB
29
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre
juros periodicamente.
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo, admita
ilustrativamente uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa composta de 10% ao mês.
Identificando-se por VP o valor presente (capital) e VF o valor futuro (montante), têm-se
os seguintes resultados ao final de cada período:
- Final do 1º mês: o capital de R$ 1.000,00 produz juros de R$ 100,00 (10% x R$
1.000,00) e um montante de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + R$ 100,00), ou seja:
VF = VP x (1 + i)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1.100,00
- Final do 2º mês: o montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês,
servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
VF = VP x (1 + i)
VF = VP x (1 + i) x (1 + i)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1.210,00
Logo, podemos deduzir que a fórmula para obtenção do montante (Valor Futuro):
VF = VP x (1 + i)n
- Final do 3º mês: dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:
VF = VP x (1 + i)n
VF = 1.000,00 (1 + 0,10)3
VF = R$ 1.331,00
- Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada
um dos meses, o valor futuro é obtido através da aplicação da VF = VP x (1 + i)n.
Generalizando-se:
MTE – CETAM - SETRAB
30
VF
VF = PV x (1 + i)n
VP =
(1 + i)n
Onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou fator de valor futuro), FVF (i, n) a juros
compostos, e 1 / (1 + i) n o fator de atualização (ou fator de valor presente), FVP (i, n) a
juros compostos.
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros
compostos se processa mediante a aplicação desses fatores.
Alternativamente ao uso de calculadoras financeiras ou científicas, existem tabelas
desenvolvidas em muitos livros de finanças que apresentam os resultados desses fatores
para diferentes valores de i e n.
Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela
diferença entre montante (VF) e o capital (VP), podendo-se obter o seu resultado também
pela seguinte expressão:
J = VF - VP
Como:
VF = PV x (1 + i)n
Colocando-se VP em evidência:
J = VP x [(1 + i)n – 1]
Exemplos:
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar
hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
Solução: VF = R$ 27.500,00
MTE – CETAM - SETRAB
31
n = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% a.m. (0,017)
VP = ?
VF
VP =
(1 + i)n
27.500,00
VP =
(1 + 0,017)12
27.500,00
VP =
(1,017)12
27.500,00
VP =
à VP = R$ 22.463,70
1,224197
De fato, uma aplicação de R$ 22.463,70 hoje, a 1,7% ao mês de juros compostos,
produz ao final de um ano o montante de R$ 27.500,00 ou seja:
VF = 22.463,70 x (1 + 0,017)12 = R$ 27.500,00
Considerando-se ainda a taxa composta de 1,7% ao mês, pelo conceito de valor
presente (VP) é indiferente a essa pessoa receber R$ 22.463,70 (valor presente) hoje ou
esse valor capitalizado ao final de 12 meses. Efetivamente, esses valores, mesmo
distribuídos em diferentes datas, são equivalentes para uma mesma taxa de juros de
1,7% ao mês.
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8
meses à taxa de juros compostas de 3,5% ao mês?
Solução: VF = ?
n = 8 meses
i = 3,5% a.m. (0,035)
VP = R$ 12.000,00
VF = VP x (1 + i)n
VF = 12.000,00 x (1 + 0,035)8
VF = 12.000,00 x 1,316809 = R$ 15.801,71
32
MTE – CETAM - SETRAB
Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta
de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o
prazo da operação.
Solução: VF = 26.596,40
n=?
i = 2,4% a.m. (0,024)
VP = R$ 22.000,00
VF = VP x (1 + i)n
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024)n
26.596,40
= (1.024)n
22.000,00
1,208927 = (1,024)n
Aplicando-se logaritmos, tem-se:
Log 1,208927 = n x log 1.024
log 1,208927
n=
0,082400
=
log 1,024
= 8 meses
0,010300
Uma pessoa possui 3 prestações no valor de R$ 280,00 que irão vencer
respectivamente em março, abril e maio. Considerando-se que a taxa do financiamento é
de 2,4% ao mês, até que valor compensa antecipar o pagamento das prestações para
fevereiro?
Solução: VF1 = R$ 280,00
VF2 = R$ 280,00
VF3 = R$ 280,00
n=3
i = 2,4% a.m. (0,024)
VP = ?
VF
VP =
(1 + i)n
33
MTE – CETAM - SETRAB
280,00
280,00
VP =
+
(1 + 0,024)1
(1 + 0,024)2
280,00
VP =
280,00
+
(1 + 0,024)3
280,00
+
280,00
+
(1,024)1
(1,024)2
(1,024)3
VP = 273,44 + 267,03 + 260,77
VP = R$ 801,24
Neste caso, compensa antecipar o pagamento das prestações pagando-se, em
valores de fevereiro, R$ 801,24. Acima desse valor, não se compensa fazer a
antecipação.
3.8 TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)
Em se tratando de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria
taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são
dias proporcionais, pois mantêm a seguinte relação:
1
3
=
3
Prazos
9
Taxas
São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um
mesmo capital ao final de certo período de tempo.
Por exemplo, em juros simples um capital de R$ 80.000,00 produz o mesmo montante em
qualquer data se capitalizado a 3% ao mês e 9% ao trimestre.
FVF (i = 3% a.m., n = 3 meses) = 80.000,00 x (1 + 0,03 x 3) = R$ 87.200,00
FVF (i = 9% a.m., n = 1 trimestre) = 80.000 x (1 + 0,09 x 1) = R$ 87.200,00
MTE – CETAM - SETRAB
34
O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros
compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros. Por se
tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa equivalente composta é a média
geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é:
q
iq =
1+i
-1
Onde: q = número de períodos de capitalização.
Por exemplo, a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de
1,66%, ou seja:
6
i6 =
1 + 0,103826 - 1
6
i6 =
1,103826
-1
i6 = 1,0166 – 1 = 0,0166 ou 1,66% ao mês
Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente (equivalente) o
rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Ilustrativamente, um capital de
R$ 100.000,00 aplicado por dois anos produz:
Para i = 1,66% ao mês e n = 24 meses:
VF = VP x (1 + i)n = VF = 100.000,00 x (1 + 0,0166)24 = R$ 148.457,63
Para i = 10,3826% ao semestre e n = 4 semestres:
VF = VP x (1 + i)n = VF = 100.000,00 x (1 + 0,103826)4 = R$ 148.457,62
Outro exemplo visa facilitar o melhor entendimento do conceito e cálculo de taxa
equivalente de juros no regime exponencial (composto).
MTE – CETAM - SETRAB
35
Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira
é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Dessa maneira, uma aplicação de R$ 10.000,00
produz, ao final de 6 meses, o montante de R$ 11.200,00 (10.000,00 x 1,12).
Efetivamente, os 12% constitui-se na taxa de rentabilidade da operação para o período
inteiro de um semestre, e, em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em
termos de taxa composta.
Assim, os 12% de rendimentos do semestre determinam uma rentabilidade efetiva
mensal de 1,91% e não de 2% conforme enunciado acima.
De outra maneira:
6
i6 =
1 + 0,12
-1
6
i6 =
1,12
-1
i6 = 1,019068 – 1 = 0,019068 à i6 = 1,91% ao mês.
Naturalmente, ao se aplicar R$ 10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de
1,91% ao mês, chega-se ao montante de R$ 11.200,00:
VF = VP x (1 + i)n à VF = 10.000,00 (1 + 0,0191)6 = R$ 11.202,13
Verifica-se, então, que o processo de descapitalização da taxa de juro no regime
composto processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou seja, da taxa
equivalente. Nesse caso, o percentual de juro considerado representa a taxa efetiva de
juro da operação.
Exemplos:
Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestralmente equivalentes a 25%
ao ano?
Solução:
a) Taxa de juros equivalente mensal
MTE – CETAM - SETRAB
i = 25% ao ano (0.25)
36
q
q = 1 ano (12 meses)
iq =
1+i
-1
12
i12 =
1 + 0,25
-1
1,25
-1
12
i12 =
i12 = 1,018769 – 1 à i12 = 0,018769 à i12 = 1,877% a. m.
b) Taxa de juros equivalente trimestral
q = 1 ano (4 trimestres)
4
i4 =
1 + 0,25
-1
1,25
-1
4
i4 =
i4 = 1,057371 – 1 à i4 = 0,057371 à i4 = 5,737% a. t.
Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros
compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.
Solução: para a identificação da melhor opção apura-se o montante para as duas taxas e
para um mesmo período. Por exemplo: n = 1 ano.
MTE – CETAM - SETRAB
VF (9,9% a.s.)
37
= 60.000,00 x (1 + 0,099)2 = R$ 72,468,00
VF (20,78% a.a.) = 60.000,00 x (1 + 0,2078)1 = R$ 72.468,00
Produzindo resultados iguais para um mesmo período, diz-se que as taxas são
equivalentes. É indiferente para um mesmo prazo, e para o regime de juros compostos
aplicar 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.
Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de
20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalente mensal composta dessas
taxas.
Solução: uma maneira simples de identificar equivalência de taxas de juros é apurar o
MMC de seus prazos e capitalizá-las para este momento. Se os resultados forem iguais
na data definida pelo MMC, diz-se que as taxas são equivalentes, pois produzem, para
um mesmo capital, montantes idênticos.
Sabendo-se que o MMC dos prazos das taxas é de 5 meses (3 meses e 5 meses),
têm-se:
a) (1 + 0,118387)5 – 1 = 74,9688% para 15 meses
b) (1 + 0,204999)3 – 1 = 74,9688% para 15 meses
As taxas de 11,8387% ao trimestre e 20,4999% para 5 meses são equivalentes
compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo momento produzem resultados
iguais.
Taxa equivalente Mensal (descapitalização):
3
a)
i3 =
1+ 0,118387 - 1
3
i3 =
1,118387
-1
MTE – CETAM - SETRAB
38
i3 = 1,038000 – 1 à i3 = 0,038000 à i3 = 3,8% a. m.
5
i5 =
b)
1+0,204999
-1
1,204999
-1
5
i5 =
i5 = 1,038000 – 1 à i5 = 0,038000 à i5 = 3,8% a. m.
Por serem equivalentes, a taxa mensal é igual.
3.9 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA (JUROS COMPOSTOS)
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante o prazo n, sendo
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é
o processo de formação de juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos
de capitalização. É obtida pela seguinte expressão:
Taxa Efetiva (if) = (1 + i)q - 1
Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de
56,45% ao ano, ou seja:
if = (1 + 0,038)12 – 1 = 56,45% a.a.
Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, geralmente é
admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e
incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada
mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o
prazo a que se refere à taxa de juros igual a um ano (12 meses).
MTE – CETAM - SETRAB
39
Assim, 36% ao ano representam uma taxa nominal de juros, expressa para um
período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização (nesse caso, a
capitalização é mensal).
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre
por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é
de 36% / 12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear).
Ao se capitalizar essa taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior
àquela declarada para a operação. Baseando-se nos dados do exemplo ilustrativo acima,
tem-se:
- Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano
- Taxa proporcional simples
(taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês
- Taxa efetiva de juros: if = (1 + 0,36 / 12)12 – 1 = 42,6% ao ano
Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação.
Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mais capitalizados mensalmente, apura-se que
a efetiva taxa de juros atinge 42,6% ao ano.
Para que 36% ao ano fossem considerados a taxa efetiva, a formação mensal dos
juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:
q
iq =
1+i
-1
1 + 0,36
-1
1,36
-1
12
i12 =
12
i12 =
i12 = 1,025955 – 1 à i12 = 0,025955 à i12 = 2,6% a. m.
Ao se capitalizar exponencialmente essa taxa de juros equivalente mensal, chegase, evidentemente, aos 36% ao ano.
if = (1 + 0,026)12 – 1 = 36% a.a.
MTE – CETAM - SETRAB
40
Convenciona-se, nesta apostila, quando houver mais de um período de
capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma taxa efetiva, que
a atribuição dos juros a esses períodos deve ser processada através da taxa proporcional.
Por outro lado, quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e o de formação dos
juros) a representação da taxa de juros é abreviada. Por exemplo, a expressão única
“10% a.a.” indica que os juros são também capitalizados em termos anuais.
Exemplos:
Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa
nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se
determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo.
Solução: admitindo-se, de acordo com a convenção adotada, que a taxa de juros pelo
período de capitalização seja proporcional simples, tem-se:
Taxa nominal (linear)
i = 32% a.a.
Descapitalização proporcional
i = 32% / 4 = 8% a.t.
Montante do empréstimo
VF = VP x (1 + i)n à VF = 11.000,00 x (1 + 0,08)4
VF = R$ 14.965,38
Taxa Efetiva
if = (1 + i)n -1 à if = (1 + 0,08)4 – 1 à if = 36,05% a.a.
Sendo 24% ao ano a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o
custo efetivo anual, admitindo-se que o período de capitalização dos juros seja:
§
Mensal;
§
Trimestral;
§
Semestral.
Solução:
a) Custo efetivo (if) = (1 + 0,24 / 12)12 – 1 = 26,82% a.a.
MTE – CETAM - SETRAB
41
b) Custo efetivo (if) = (1 + 0,24 / 4)4 – 1 = 26,25% a.a.
c) Custo efetivo (if) = (1 + 0,24 / 2)2 – 1 = 25,44% a.a.
Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um mês o
prazo de aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando-se os
juros de 42% ao ano, como:
§
Taxa Efetiva;
§
Taxa Nominal.
Solução:
a) Taxa Efetiva – a rentabilidade mensal é a taxa equivalente composta de 42% ao
ano.
12
i12 =
1 + 0,42
-1
1,42
-1
12
i12 =
I12 = 1,029653 – 1 à i12 = 0,029653 à i12 = 2,97% a.m.
Capitalizando-se exponencialmente os juros de 2,97% ao mês, chega-se,
evidentemente, à taxa efetiva anual de 42%, isto é:
(1 + 0,0297)12 – 1 = 42% a.a.
Taxa Nominal – a rentabilidade mensal de 42% ao ano é definida pela taxa
proporcional simples, isto é:
i = 42% / 12 à i = 3,5% a.m.
Ao se capitalizar exponencialmente essa taxa para o prazo de um ano, chega-se a
um resultado efetivo superior à taxa nominal dada de 42% ao ano:
if = (1 + 0,035)12 – 1 à if = 51,10% a.a.
MTE – CETAM - SETRAB
42
Logo, 51,10% ao ano é a taxa efetiva anual da operação, sendo de 42% a taxa
declarada (nominal).
Muitas vezes, o mercado financeiro define, para uma mesma operação, expressões
diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização. Por exemplo, uma linha de
crédito de cheque especial costuma ser definida, na prática, tanto por taxa efetiva como
por taxa nominal. Nessas condições, para a comparabilidade dos custos é essencial que
se referenciem as taxas segundo um mesmo critério de apuração dos juros. É importante
que a pessoa que irá realizar e/ou calcular as transações esteja atenta a essas taxas.
4
DESCONTOS
Entende-se por valor nominal o valor do resgate, ou seja, o valor definido para um
título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da
operação.
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente
uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Dessa maneira, desconto
pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e seu valor
atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.
Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do
desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros
simples como no de juros compostos. Tanto no regime linear como no composto, ainda
são identificados dois tipos de desconto: a) desconto “por dentro” ou racional e; b)
desconto “por fora” ou bancário ou comercial.
MTE – CETAM - SETRAB
43
4.1 DESCONTO SIMPLES
4.1.1 Desconto Racional (ou “por dentro”)
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os
conceitos e relações básicas de juros simples, conforme desenvolvido no início desta
apostila.
Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa
periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado
antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples:
Dr = C x i x n
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor
descontado no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:
Dr = N x Vr
Sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e Vr o valor
descontado racional (ou valor atual) na data da operação.
Como:
N
Vr = C =
1+ixn
Tem-se:
Nxixn
Dr =
1+ixn
A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de
determinado valor nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a um determinado
prazo de antecipação (n).
44
MTE – CETAM - SETRAB
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte
expressão de cálculo:
N
Vr =
1+ixn
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as
relações de juros simples descritas no início desta apostila. É importante registrar que o
juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da
operação. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo
de todo o período do desconto.
Exemplo:
Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de
juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado dessa operação.
Solução: representada graficamente.
0
Vr
N = R$ 4.000,00
9
12 meses
i = 42% a.a.
= 3,5% a.m.
Desconto:
Nxixn
Dr =
1+ixn
4.000,00 x 0,035 x 3
Dr =
1 + 0,035 x 3
420,00
Dr =
1,105
MTE – CETAM - SETRAB
45
Dr = R$ 380,10
Valor descontado: Valor descontado = Valor Nominal – Desconto
Vr = N - Dr
Vr = 4.000,00 – 380,10 = R$ 3.619,90
Ou
N
Vr =
1+ixn
4.000,00
Vr =
1 + 0,035 x 3
Vr = R$ 3.619,90
Utilizando-se a segunda expressão (Vr), consegue-se chegar ao valor descontado
de forma mais rápida.
4.1.2 Desconto Bancário (ou Comercial, ou “por fora”)
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de
resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas
operações. Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos
sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o
critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador
de recursos.
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado,
notadamente em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo.
O valor desse desconto, genericamente denominado de desconto “por fora” (DF),
no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da
taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de
antecipação para o desconto (n). Isto é:
DF = N x d x n
46
MTE – CETAM - SETRAB
O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, é obtido:
VF = N – DF
VF = N – N x d x n
VF = N (1 - d x n)
Exemplo: Para melhor avaliar as diferenças dos tipos de descontos, são desenvolvidos os
mesmos exemplos utilizados anteriormente no desconto racional (ou “por dentro”).
Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de
desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
Solução: analogamente.
0
VF
N = R$ 4.000,00
9
12 meses
d = 42% a.a.
= 3,5% a.m.
Desconto: DF = N x d x n
DF = 4.000,00 x 0,035 x 3 à DF = R$ 420,00
Observe que o maior valor dos juros cobrados pelo título deve-se ao fato, conforme
ressaltado anteriormente, de o desconto “por fora” ser aplicado diretamente sobre o valor
nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual como é característico das operações
de desconto racional.
Em verdade, o valor do desconto “for fora” equivale, num mesmo momento do
tempo, ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as mesmas condições de
prazo e taxa. Isto é:
MTE – CETAM - SETRAB
47
Dr = R$ 380,10
DF = R$ 420,00
Para uma taxa de 3,5% a.m. e um período de desconto de 3 meses, conforme
estabelecido na ilustração, têm-se:
DF = Dr (1 + i x n)
DF = 380,10 x (1 + 0,035 x 3)
DF = 380,10 x (1,105)
DF = R$ 420,00
O cálculo do valor descontado (VF) é desenvolvido:
VF = N (1 – d x n)
VF = 4.000,00 x (1 – 0,035 x 3)
VF = 4.000,00 x (0,895)
VF = R$ 3.580,00
Torna-se evidente que o devedor desse título, descontado pelo desconto bancário
(ou comercial, ou “por fora”), assume encargos maiores do que aqueles declarados para a
operação.
A taxa de juros efetiva dessa operação não equivale à taxa de desconto utilizada.
Note que, se são pagos R$ 420,00 de juros sobre um valor atual de R$ 3.580,00, a taxa
de juros assume o seguinte percentual efetivo:
i = R$ 420,00 / R$ 3.580,00 à i = 11,73% a.t.
Logo, no desconto “por fora” é fundamental separar a taxa de desconto (d) e a taxa
efetiva de juros (i) da operação. Em toda operação de desconto “por fora” há uma taxa
implícita (efetiva) de juros superiores à taxa declarada.
4.2 DESCONTO COMPOSTO
MTE – CETAM - SETRAB
48
O desconto composto, utilizado basicamente em operações em um longo prazo,
pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto “por
dentro” (racional) e o desconto “por fora”.
4.2.1 Desconto composto “por fora”
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de
desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos
descontos obtidos em períodos anteriores.
Nesta conceituação, o desconto composto “por fora” apresenta os seguintes
resultados numa sucessão de períodos:
1º Período: VF1 = N – D
Como: DF = N x d
Tem-se:
VF1 = N – N x d
VF1 = N (1 – d)
O valor N (1 – d) é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto no
período seguinte:
2º Período: DF2 = N (1 –d) x d
Logo: VF2 = VF1 – DF2
VF2 = N (1 – d) – N (1 – d) x d
VF2 = N –Nd – (N + Nd) x d
VF2 = N – Nd – Nd + Nd2
VF2 = N – 2Nd - Nd2
Colocando N em evidência:
VF2 = N (1 – 2d + d2)
VF2 = N (1 – d)2
3º Período: DF3 = N (1 –d)2 x d
Logo: VF3 = VF2 – DF3
VF3 = N (1 – d)2 – N (1 – d)2 x d
VF3 = N (1 – 2d + d2) – N (1 – 2d + d2) x d
VF3 = N – 2dN + Nd2 – Nd + 2d2N – Nd3
MTE – CETAM - SETRAB
49
VF3 = N (1 – 2d + d2 – d + 2d2 – d3)
VF3 = N (1 – 3d + 3d2 – d3)
VF3 = N (1 – d)3
E assim sucessivamente até o enésimo período.
Enésimo período: generalizando o desenvolvimento do desconto composto “por
fora”, obtém-se a seguinte expressão de cálculo:
VF = N (1 –d)n
Como: DF = N – VF
Tem-se: DF = N – N (1 – d)n
DF = N [1 – (1 –d)n]
Por apresentar raríssimas aplicações práticas, os exercícios desse tipo de
desconto composto ficam restritos ao exemplo abaixo desenvolvido.
Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado através de uma operação
de desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto
adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a taxa
de juros efetiva da operação.
Solução: N = R$ 35.000,00
VF = ?
n = 3 meses
DF = ?
d = 5% a.m.
i=?
Desconto:
DF = N [1 – (1 –d)n]
DF = 35.000,00 [1 – (1 – 0,05)3]
50
MTE – CETAM - SETRAB
DF = 35.000,00 x 0,142625
DF = R$ 4.991,88
Valor Descontado: VF = N (1 –d)n
VF = 35.000,00 (1 – 0,05)3
VF = R$ 30.008,12
Ou
:
VF = N - DF
VF = 35.000,00 - 4.991,88 = R$ 30.008,12
Taxa efetiva de juros:
VF = R$ 30.008,12
0
N = R$ 35.000,00
3 (meses)
35.000,00 = 30.008,12 (1 + i)3
3
3
35.000,00
=
(1 + i)3
30.008,12
3
1,166351 = (1 + i)
1,0526 = 1 + i à i = 0,0526 ou: 5,26% a.m.
4.2.2 Desconto Composto “por dentro”
MTE – CETAM - SETRAB
51
Conforme comentado, o desconto composto “por dentro” ou (racional) é aquele
estabelecido segundo conhecidas relações do regime de juros compostos.
Assim sendo, o valor descontado racional (Vr) equivale ao valor presente de juros
compostos, conforme apresentado anteriormente nesta apostila, ou seja:
N
Vr =
(1 + i)n
Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o valor
nominal (resgate) e o valor descontado (valor presente). Logo, o desconto racional (Dr)
tem a seguinte expressão de cálculo:
Dr = N – Vr
N
Dr = N –
(1 + i)n
Colocando-se N em evidência:
(
Dr = N
1
1(1 + i)n
)
Por exemplo, suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3
meses antes de seu vencimento. O valor nominal desse título é de R$ 50.000,00. Sendo
4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor líquido recebido (valor descontado) pela
pessoa na operação atinge:
N
Vr =
(1 + i)n
50.000,00
Vr =
(1 + 0,045)3
Vr = R$ 43.814,83
O valor do desconto racional, por seu lado, soma a:
52
MTE – CETAM - SETRAB
Dr = N – Vr
Dr = 50.000,00 – 43.814,83 = R$ 6.185,17
Por se tratar de desconto racional (“por dentro”), a taxa efetiva de juros é a própria
taxa de desconto considerada, isto é:
50.000,00 = 43.814,83 (1 + i)3
3
50.000,00
=
3
(1 + i)3
43.814,83
3
1,141166 = 1 + i
1,045 = 1 + i
i = 4,5% a.m.
Exemplos:
Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses
antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a taxa de
desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nessa operação sabendo-se
que foi utilizado o desconto composto “por dentro”.
Solução:
0
i = 3,5% a.m.
N
Vr =
(1 + i)n
Vr
N = R$ 42.000,00
7
12 meses
MTE – CETAM - SETRAB
53
42.000,00
Vr =
(1 + 0,035)5
Vr = R$ 35.362,87
O valor do desconto racional:
Dr = N – Vr
Dr = 42.000,00 – 35.362,87 = R$ 6.637,13
Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$
12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.
Solução: Dr = ?
N = R$ 12.000,00
n = 4 meses
i = 2,5% a.m.
Dr = N
(
Dr = 12.000,00
1
1(1 + i)n
(
)
1
1(1 + 0,025)4
)
MTE – CETAM - SETRAB
54
Dr = 12.000,00 x 0,094049 à R$ 1.128,59
Um banco libera a um cliente R$ 6.800,00 provenientes do desconto de um título
de valor nominal de R$ 9.000,00 descontado à taxa de 4% a.m. Calcular o prazo de
antecipação em que foi descontado esse título.
Solução: Vr = R$ 6.800,00
N = R$ 9.000,00
n=?
i = 4% a.m.
N
Vr =
(1 + i)n
9.000,00
6.800,00 =
(1 + 0,04)n
9.000,00
(1,04)n =
6.800,00
log (1,04)n = log 1,323529
n x log 1,04 = log 1,323529
log 1,323529
n=
log 1,04
n = 0,121733 / 0,017033 à n = 7,146891 à n = 7,15 meses
MTE – CETAM - SETRAB
5
55
PRESTAÇÕES
É cada vez mais demandado o uso do cálculo financeiro na definição de
estratégias comerciais de compra e venda, analisando a atratividade dos vários planos
financeiros que comumente são divulgados pelo comércio em geral. Para as várias
decisões econômicas a serem tomadas por uma empresa ou por uma pessoa física, é
indispensável o conhecimento da taxa efetiva de juros embutidos nas operações a prazo,
e o seu confronto com o desconto concedido em operações à vista.
A aplicação da matemática financeira nas operações comerciais objetiva
determinar:
§
A efetiva redução do preço da mercadoria/produto, causada pelas condições de
pagamento concedidas para determinada taxa de inflação ou custo de
oportunidade;
§
O percentual de desconto nas operações à vista que seria equivalente à concessão
do prazo respectivo;
§
Para determinado nível de inflação, quais os planos de venda a prazo
considerados economicamente mais interessantes.
O objetivo da avaliação dessas estratégias é comparar as várias alternativas de
venda expressas em moeda constante, ou seja, com poder de compra de mesma data.
Evidentemente, o fluxo de valores das vendas poderia também ser descontado por um
custo de oportunidade de mercado, como a taxa de desconto bancário de duplicatas, sem
que isso alterasse a essência do raciocínio apresentado.
Por outro lado, o enfoque das estratégias de vendas a ser adotado neste item é
preferencialmente voltado para o lado do vendedor, apurando-se assim a perda da venda.
De forma oposta, essa perda transforma-se em benefício para quem compra.
A fórmula de matemática financeira para se calcular uma prestação é a seguinte:
1 – (1 + i)-n
VP = PMT x
i
Onde, PMT é a prestação.
MTE – CETAM - SETRAB
56
Exemplos:
Uma pessoa deseja comprar uma geladeira que custa (à vista) R$ 1.200,00 em 5
prestações mensais e sem entrada (primeira prestação para 30 dias). A loja X
Eletrodomésticos Ltda oferece uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Calcule o valor da
prestação.
Solução: VP = R$ 1.200,00
i = 2,5% a.m. (0,025)
n=5
PMT = ?
1 – (1 + i)-n
VP = PMT x
i
1 – (1 + 0,025)-5
1.200,00 = PMT x
0,025
0,116146
1.200,00 = PMT x
0,025
1.200,00 = PMT x 4,645828
4,645828 PMT = 1.200,00
PMT = 1.200,00 / 4,645828
PMT = R$ 258,29
O valor dos juros nessa operação de financiamento é: J = VF – VP à J = 1.291,45
– 1.200,00 à J = R$ 91,45.
MTE – CETAM - SETRAB
57
Esse tipo de operação é muito comum no comércio em geral como também em
operações bancárias.
Uma TV em cores de 29” é vendida à vista por R$ 900,00. A loja também oferece a
possibilidade de o consumidor comprar a TV em 12 prestações mensais com juros de
3,5% a.m. Determinar o valor da prestação para esse financiamento.
Solução: VP = R$ 900,00
i = 3,5% a.m. (0,035)
n = 12
PMT = ?
1 – (1 + i)-n
VP = PMT x
i
1 – (1 + 0,035)-12
900,00 = PMT x
0,035
0,338217
900,00 = PMT x
0,035
900,00 = PMT x 9,663334
9,663334 PMT = 900,00
PMT = 900,00 / 9,663334
PMT = R$ 93,13
MTE – CETAM - SETRAB
58
O valor dos juros nessa operação de financiamento é: J = VF – VP à J = 1.117,56
– 900,00 à J = R$ 217,56.
6 PROJETOS DE INVESTIMENTOS EM MARKETING
A maximização do lucro é um objetivo de curto prazo e é menos importante que a
maximização da riqueza da empresa. Lucros altos podem ser obtidos num curto prazo,
bastando para isso “aparar as arestas”, ou seja, os gestores da empresa (principalmente
os gestores financeiros) podem deixar de fora certas despesas, diferir os elevados custos
efetivos de um equipamento e, também, despedir seus empregados mais produtivos e
com salários elevados. Essas decisões sem visão podem, temporariamente, reduzir as
despesas e aumentar o lucro. Além disso, lucros elevados podem ser obtidos por meio de
investimentos em projetos incertos e de alto risco. Mas com o tempo, esses projetos
arriscados podem enfraquecer a posição competitiva de uma empresa e baixar o valor de
suas ações. Portanto, a tentativa de maximizar os lucros pode se mostrar inconsistente
com o objetivo de maximizar a riqueza, o que requer que se atenha ao maior retorno
esperado possível com o menor nível de risco.
Em finanças, os riscos mais elevados geralmente estão associados aos ganhos mais
altos possíveis. O mesmo princípio aplica-se à tia Joana ou ao José Coelho. Ambos
gostariam de ficar ricos, mas sabem que para isso devem estar dispostos a enfrentar a
ameaça de grandes perdas. Mas tia Joana e José Coelho são cautelosos e sabem que é
mais seguro comprar letras do Tesouro dos Estados Unidos do que comprar títulos de
empresas desconhecidas. As chances de incorrer em perdas pela posse de letras do
Tesouro, de fato, são mínimas, enquanto com títulos de empresas desconhecidas
poderão ocorrer altos ganhos ou grandes perdas.
Os administradores enfrentam um dilema similar. Alguns projetos podem ser mais
lucrativos que outros, mas o risco associado a eles também pode ser elevado e
comprometer a solvência da empresa. Essa situação é análoga à de jogadores que
insistem em apostar em cavalos com remotas chances de sucesso (azarões). Embora a
recompensa seja elevada se o azarão vencer a corrida, as chances limitadas fazem
desses apostadores constantes perdedores. Os apostadores que jogam para se
“mostrarem” ou que apostam suas moedas no cavalo favorito têm uma chance maior de
ganhar, porém seus ganhos serão menores. O mesmo aplica-se às políticas adotadas
MTE – CETAM - SETRAB
59
pelos administradores. Existe um conflito constante entre comprometer-se em uma
empreitada altamente lucrativa e manter-se em uma situação financeira saudável. Essas
decisões gerenciais envolvem um meio-termo entre assumir riscos excessivos para
maximizar lucros e aceitar investimentos que, provavelmente, resultarão em menor risco e
menor lucratividade – mas que conduzirão a empresa a uma posição financeira sólida.
Vamos desenvolver mais esses pontos. As decisões de investimentos envolvem
uma comparação dos futuros retornos projetados, gerados pelos investimentos, com os
riscos enfrentados por esses empreendimentos. Essa decisão fundamental repousa sobre
o bem conhecido princípio de balanceamento entre risco e retorno, mostrado na Figura 3.
Basicamente, a relação na Figura 3 diz: a decisão de investir em um projeto de baixo risco
(A) renderá um baixo retorno (A’), e um projeto de alto risco (B) deve produzir um maior
retorno (B’) para justificar sua implementação.
O único meio para avaliar a contribuição de vários investimentos para a riqueza da
empresa é ajustar os retornos futuros de cada investimento ao risco. Por exemplo,
suponha que você tenha dois projetos, A e B. Ambos geram a mesma série de retornos
futuros, mas o projeto A é menos arriscado que o projeto B. Qual o melhor projeto e qual
aumentará mais a riqueza? Com certeza, é o projeto A.
Entretanto, a meta de um administrador é maximizar o valor da empresa ou de suas
ações. Para isso, deve-se investir nos projetos que tenham o melhor balanceamento entre
risco e retorno.
FIGURA 3. Relação entre risco e retorno esperados.
Um projeto de investimento em marketing segue o mesmo princípio. Porém,
diferentemente do foco em redução de custos ou despesas, um projeto de investimento
em marketing tem como principal objetivo aumentar a receita da empresa.
MTE – CETAM - SETRAB
60
Seja o lançamento de um novo produto ou a criação de uma campanha publicitária
para aumentar a participação da empresa no mercado, um projeto de investimento na
área de marketing deve ser elaborado seguindo uma metodologia de Avaliação de
Projetos de Investimentos que, tem como objetivo principal, avaliar se o projeto que está
sendo avaliado será viável ou não de implementação. Em outras palavras, avaliar um
Projeto de Investimento em Marketing deve responder a seguinte questão:
retirando-se o investimento que será realizado, quanto será o retorno para a empresa?
Para responder essa questão, teremos que utilizar uma série de indicadores de
avaliação de projetos tais como:
§
Fluxo de Caixa;
§
Fluxo de Caixa Líquido;
§
Fluxo de Caixa Líquido Cumulativo;
§
Payback sem desconto (retorno do investimento sem desconto);
§
Valor Presente Líquido – VPL;
§
Payback com desconto (retorno do investimento com desconto);
§
Valor Presente Líquido Anualizado – VPLa;
§
Índice de Custo e Benefício – IBC;
§
Retorno Adicional sobre o Investimento – ROIA;
§
Taxa Interna de Retorno – TIR;
§
Ponto de Fischer.
Além desses indicadores, uma série de outras técnicas abordadas em Finanças ou
Administração Financeira é também aplicada na avaliação de Projetos de Investimento
em Merketing.
Como esse módulo é de Noções Básicas em Finanças, abordaremos somente
Fluxo de Caixa (Total, Líquido, Cumulativo, Payback, com e sem desconto, e Valor
Presente Líquido).
6.1 AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO EM MARKETING
Conforme abordado no início desta apostila, um Fluxo de Caixa é a representação
gráfica de um fluxo de saídas e entradas de uma empresa. O Fluxo de Caixa também é
muito utilizado na avaliação de projetos de investimentos. Sua função é representar, de
61
MTE – CETAM - SETRAB
forma gráfica, o investimento realizado no projeto no período “zero” e o respectivo fluxo de
benefícios que esse investimento trará para a empresa.
100,00
120,00 120,00 130,00 135,00
0
1
2
3
4
5
- 380,00
No fluxo de caixa acima, o valor do investimento inicial é de R$ 380,00 (data zero)
e o fluxo de benefícios resultantes do valor investido é, respectivamente, R$ 100,00 para
o ano 1, R$ 120,00 para os anos 2 e 3, R$ 130,00 para o ano 4 e, R$ 135,00 para o ano
5.
A questão é avaliar se esse projeto de investimento é viável ou não quando se
aplica uma determinada taxa de desconto chamada de Taxa Mínima de Retorno.
A taxa mínima de retorno é a taxa de desvalorização imposta a qualquer ganho
futuro por não estar disponível imediatamente. Sua importância não pode ser exagerada,
pois é evidente que a mesma oportunidade de investimento avaliada sob certo horizonte
de planejamento, pode mostrar-se viável ou inviável dependendo da taxa mínima de
retorno à qual são descontados os ganhos futuros líquidos.
Isso deixa claro que é preciso muito cuidado na escolha da taxa mínima de retorno.
Nesse caso, também entram em consideração vários fatores que são analisados a seguir.
A primeira idéia é de que a taxa mínima de retorno utilizada na avaliação de certo
projeto deve ser tanto maior quanto maior for o risco envolvido. Isso, ainda que
intuitivamente correto, é metodologicamente indesejável, pois o que deveria ser cotejado
com os níveis de risco envolvidos são os valores presentes obtidos com base em certa
taxa mínima de retorno ou a taxa (interna) de retorno.
Outra idéia que pode surgir é de que a taxa mínima de retorno deveria ser
inversamente relacionada com o tempo de maturação do investimento. Essa idéia
também é inadequada, porque a utilização dos ganhos no tempo é levada em conta
através do expoente do denominador, no cálculo do valor presente.
Então, como é estabelecida a taxa mínima de retorno? Na verdade, a resposta é
simples. A taxa mínima de retorno deve representar o custo de oportunidade do capital
para a empresa ou para o investidor. Diante disso, percebemos que o horizonte de
MTE – CETAM - SETRAB
62
planejamento influencia indiretamente a taxa mínima de retorno, à medida que as
empresas ou os investidores possuem estratégias de médio e longo prazos a serem
observadas, estarão menos suscetíveis às flutuações de curto prazo do mercado
financeiro. Ou seja, o custo de oportunidade do capital tende a ser estável para empresas
com planejamento em um longo prazo; enquanto tende a flutuar, de acordo com o
mercado financeiro, na ausência de planejamento em um longo prazo.
Pode-se concluir que a taxa mínima de retorno é a taxa de juros que deixa de ser
obtida na melhor aplicação alternativa quando há emprego de capital próprio, ou é a
menor taxa de juros que tem de ser paga quando recursos de terceiros são aplicados.
Pequenas empresas, com pequeno aporte de capital, não conseguem tornar
efetivo um largo horizonte de planejamento; dependem mais estreitamente do mercado
financeiro e, portanto, têm taxa mínima de retorno estabelecida preponderantemente por
fatores externos, entre os quais se destaca a conjuntura do mercado financeiro. Por outro
lado, grandes empresas, financeiramente sólidas e com grande capacidade de
autofinanciamento, podem estabelecer metas de longo prazo de ganhos sobre o capital
investido, constituindo o que se denomina taxa mínima de juros própria. Nesse caso, são,
principalmente, fatores internos à própria empresa que determinam a taxa mínima de
retorno.
Assim sendo, um projeto de investimento para uma empresa é um desembolso
feito visando gerar um fluxo de benefícios futuros, usualmente superior a um ano. A lógica
subjacente é de que somente se justificam sacrifícios presentes se houver perspectiva de
recebimentos de benefícios futuros. Hoje, em função da própria dinâmica dos negócios,
as técnicas de análise de investimentos estão sendo usadas para avaliação de empresas,
de unidades de negócios e para investimentos de porte. Encontram uso também nas
operações de curto prazo, como, por exemplo, nas decisões rotineiras sobre compras à
vista versus compras a prazo.
O grande campo de aplicação das técnicas de análise de investimentos, sem
dúvida, ainda está associado ao processo de geração de indicadores utilizados na
seleção de alternativas de investimentos e, mais recentemente, na avaliação de impacto
desses investimentos na Valor Econômico Agregado de unidades de negócio.
A decisão de se fazer investimento de capital é parte de um processo que envolve
a geração e a avaliação de diversas alternativas que atendam às especificações técnicas
dos investimentos. Após relacionadas as alternativas, tecnicamente é que se analisam
quais delas são atrativas financeiramente. É nessa última parte que os indicadores
gerados auxiliarão o processo decisório.
63
MTE – CETAM - SETRAB
Considerando o exemplo de fluxo de caixa anterior, iremos desenvolver a criação
desses indicadores.
100,00
120,00 120,00 130,00 135,00
0
1
2
3
4
5
- 380,00
O primeiro passo é a elaboração do Fluxo de Caixa Líquido do Projeto de
Investimento. Para se elaborar esse fluxo, basta apenas criar uma seqüência associando
os períodos envolvidos no projeto e os respectivos valores (investimento e fluxo de
benefícios).
Fluxo
de
0
1
2
3
4
5
- 380,00
100,00
120,00
120,00
130,00
135,00
Caixa
Líquido
O Fluxo de Caixa Cumulativo representa o saldo acumulado (sem a taxa mínima de
retorno ou taxa de desconto) do fluxo de caixa conforme demonstrado abaixo.
Fluxo
de
0
1
2
3
4
5
- 380,00
100,00
120,00
120,00
130,00
135,00
- 380,00
- 280,00
- 160,00
- 40,00
90,00
225,00
Caixa
Líquido
Fluxo
de
Caixa
Líquido
Cumulativo
Como pode ser observado, o valor do investimento é recuperado entre o 3º e o 4º
ano. Essa recuperação pode ser evidenciada na passagem do Fluxo de Caixa Líquido
Cumulativo negativo para positivo. Esse momento, ou seja, da recuperação do
investimento é denominado payback.
MTE – CETAM - SETRAB
64
O payback é um indicador de risco de projetos de investimentos que representa o
período de recuperação do investimento. Em contextos dinâmicos, como o de economias
globalizadas, esse indicador assume importância no processo de decisões de
investimentos. Como a tendência é a de mudanças contínuas e acentuadas na economia,
não se pode esperar muito para recuperar o capital investido sob pena de se alijar das
próximas oportunidades de investimentos.
O payback nada mais é do que o número de períodos necessários para que o fluxo
de benefícios supere o capital investido. No exemplo acima, o payback acontece entre o
3º e o 4º período. A fórmula para se calcular o payback é demonstrada a seguir.
Valor não coberto no início
Ano antes da
do ano da recuperação plena
Payback = Recuperação
Plena
Fluxo de Caixa do Período
Verifica-se então que o investimento inicial de R$ 380,00 é recuperado em 3,31
anos conforme demonstrado abaixo:
Payback = 3 + 40 / 130 à Payback = 3,31 anos.
O prazo verificado acima não contempla a taxa mínima de retorno. Logo, o payback
calculado é denominado payback sem desconto.
O período de recuperação do investimento (3,31 anos) acontece, praticamente, no
meio do horizonte de planejamento do projeto. Podemos afirmar que esse prazo
apresenta um risco moderado. Quanto mais o prazo de recuperação do investimento se
aproxima do final do horizonte do projeto (neste caso, o horizonte do planejamento desse
exemplo é de 5 anos) aumenta o risco do projeto. Se o retorno do investimento ocorrer
após o término do horizonte de planejamento do projeto, o projeto é inviável e de alto
risco.
Outro indicador importante na avaliação de projetos de investimentos é o Valor
Presente Líquido – VPL. O Método do Valor Presente Líquido, com certeza, é a técnica
65
MTE – CETAM - SETRAB
robusta de análise de investimento mais conhecida e mais utilizada. O valor Presente
Líquido, como o próprio nome indica, nada mais é do que a concentração de todos os
valores esperados de um fluxo de caixa na data zero. Para tal, usa-se como taxa de
desconto a Taxa Mínima de Atratividade da empresa ou do investidor (TMA). Ora, o VLP
é a operacionalização mais simples do conceito de atratividade de projetos. Assim, para o
fluxo de caixa do exemplo que estamos desenvolvendo, o VPL é calculado da seguinte
forma:
Nota: para efeitos didáticos, estaremos considerando a Taxa Mínima de Atratividade de
10% ao ano para avaliação do VPL.
VPL = Valor do Investimento + Valor Presente
VPL = -380,00 +
100,00 +
120,00 +
120,00 + 130,00 +
135,00
(1 + 0,10)1 (1 + 0,10)2 (1 + 0,10)3 (1 + 0,10)4 (1 + 0,10)5
VPL = -380,00 + 90,91 + 99,17 + 90,16 + 88,79 + 83,82
VPL = -380,00 + 452,85
VPL = R$ 72,85
Calculado o VPL e obtido o valor de R$ 72,85, resta interpretar o que esse número
significa. Pela definição do VPL, significa que o projeto consegue recuperar o
investimento inicial (R$ 380,00), remunera também aquilo que teria sido ganho se o
capital para esse investimento (R$ 380,00) tivesse sido aplicado na TMA (10% a.a.) e
ainda sobram, em valores monetários de hoje, R$ 72,85 (excesso de caixa). Agora, resta
saber se esse número (R$ 72,85) é bom ou é ruim. Em princípio, nenhum número é bom
ou ruim, a menos que possa ser comparado com alguma referência. Para o VPL a regra
primária de referência é a seguinte:
VPL > 0 à indica que o projeto merece continuar sendo analisado.
Com o Valor Presente do Fluxo de benefícios calculado, podemos agora calcular o
payback do projeto com desconto. Para tanto, utilizamos o mesmo método do Fluxo de
66
MTE – CETAM - SETRAB
Caixa Líquido e do Fluxo de Caixa Líquido Cumulativo. Porém, para se calcular o payback
com desconto, deveremos utilizar os valores presentes obtidos.
Fluxo
de
0
1
2
3
4
5
- 380,00
90,91
99,17
90,16
88,79
83,82
- 380,00
- 289,09
- 189,92
-99,76
- 10,97
72,85
Caixa
Líquido
Fluxo
de
Caixa
Líquido
Cumulativo
Como podemos observar, pelo conceito do payback, o retorno desse projeto de
investimento (com desconto) acontece entre o 4º e o 5º ano. Mais precisamente, o
payback com desconto é de 4,13 anos.
Com um retorno de investimento em 4,13 anos (descontado), o payback do projeto
está muito próximo do final do horizonte de planejamento. Dessa forma, para esse projeto
em questão, podemos afirmar que o risco é muito alto.
A utilização de outros indicadores de Análise de Projetos de Investimentos auxilia
de forma substancial o processo de tomada de decisão. Como esse é um curso apenas
de noções básicas de finanças, não abordaremos os demais indicadores conforme citado
anteriormente.
A utilização dessas ferramentas de avaliação de projetos é muito utilizada no
ambiente de marketing. Quando do lançamento de uma campanha publicitária, de um
novo produto etc., essas técnicas são bastante úteis no processo de avaliação de retorno
do investimento, ganho do projeto, rentabilidade etc.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Considerando-se as movimentações abaixo:
a) Saldo Final em 31/12/07: R$ 1.000,00
b) Recebimento de NF 1030 em 02/01/08: R$ 1.500,00
c) Pagamento de Título em 03/01/08: R$ 2.000,00
d) Pagamento de Título em 05/01/08: R$ 1.500,00
e) Recebimento de Título em 10/01/08: R$ 2.000,00
f) Pagamento de Título em 15/01/08: R$ 500,00
67
MTE – CETAM - SETRAB
f) Recebimento de Título em 30/01/08: R$ 300,00
Calcule:
a) Represente o Fluxo de Caixa;
b) Calcule o total de entradas e o total de saídas no mês de janeiro/08;
Calcule o saldo final do mês de janeiro/08;
d) Faça uma análise sobre a gestão financeira dessa empresa.
2. Faça a conversão das taxas percentuais para taxas unitárias (numéricas):
a) 14% a.a.
h) 2,56% a.m.
b) 20% a.a.
i) 55,55% a.a.
c) 2% a. d.
j) 100,56% a.a.
d) 100% a. m.
e) 1.000% a.a.
f) 15,36% a.s.
g) 10,59% a.s.
3. Faça a conversão das taxas unitárias (numéricas) para taxas percentuais:
a) 0,03 (a.m.)
h) 1,25 (a.a.)
b) 1,00 (a.a.)
i) 0,099 (a.b.)
c) 0,0235 (a.m.)
j) 0,000015 (a.d.)
d) 5,50 (a.a.)
e) 10,0 (a.a)
c)
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f) 0,00015 (a.d.)
g) 0,0002 (a.d)
4. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de (regime de juros simples):
a) 14,4% ao ano;
b) 6,8% ao quadrimestre;
c) 11,4% ao semestre;
d) 110,40% ao ano;
e) 54,72% ao biênio.
5. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de (regime de juros simples):
a) 120% a.a.
b) 3,2% ao quadrimestre;
c) 1,5% ao mês;
d) 2,5% a quinzena;
e) 0,02% ao dia.
6. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas:
a) 2,5% ao mês;
b) 56% ao quadrimestre;
c) 1,5% ao bimestre;
d) 10% ao semestre
e) 5% ao bimestre;
f) 1,23% ao mês;
g) 2% ao mês;
h) 0,02% ao dia.
7. Calcular o montante de R$ 85.000,00 aplicado por:
a) 7 meses à taxa de juros simples de 2,5% ao mês;
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b) 9 meses à taxa de juros simples de 11,6% ao semestre;
c) 1 ano e 5 meses à taxa de juros simples de 21% ao ano.
8. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00 , por 19 meses,
à taxa de juros simples de 42% ao ano.
9. Calcular o valor do juro referente a uma aplicação financeira de R$ 7.500,00 que rende
15% de taxa nominal ao ano, pelo período de 2 anos e 3 meses.
10. Qual o capital que produz R$ 18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo
prazo de:
a) 60 dias;
b) 80 dias;
c) 3 meses e 20 dias;
d) 2 anos, 4 meses e 14 dias.
11. Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7
meses, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o
aplicador recebeu?
12. Uma nota promissória de valor nominal de R$ 140.000,00 é resgatada dois meses
antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo que a taxa de juros
simples é de R$ 1,9% ao mês?
13. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado
adicionando-se R$ 1.090,32 de juros. Calcular a taxa linear mensal utilizada.
14. Um empréstimo de R$ 3.480, 0 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de R$
3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em bases mensais e anuais da operação.
15. Em quanto tempo se duplica um capital aplicado à taxa simples de 8% ao ano?
16. Em quanto tempo se triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao semestre?
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17. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de (regime de juros compostos):
a) 14,4% ao ano;
b) 6,8% ao quadrimestre;
c) 11,4% ao semestre;
d) 110,40% ao ano;
e) 54,72% ao biênio.
18. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de (regime de juros compostos):
a) 120% a.a.
b) 3,2% ao quadrimestre;
c) 1,5% ao mês;
d) 2,5% a quinzena;
e) 0,02% ao dia.
19. Determinar a taxa de juros compostos ao ano, proporcional às seguintes taxas:
a) 2,5% ao mês;
b) 56% ao quadrimestre;
c) 1,5% ao bimestre;
d) 10% ao semestre
e) 5% ao bimestre;
f) 1,23% ao mês;
g) 2% ao mês;
h) 0,02% ao dia.
20. Capitalizar as seguintes taxas:
a) 2,3% ao mês para um ano;
b) 0,14% ao dia para 23 dias;
c) 7,45% ao trimestre para um ano;
d) 6,75% ao semestre para um ano;
e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano.
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21. Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa
de juro (compostos) que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for
igual a:
a) 1 mês;
b) 1 trimestre;
c) 7 meses.
22. Determinar o montante de uma aplicação de R$ 22.000,00 admitindo-se os seguintes
prazos e taxas (Juros compostos):
a) i = 2,2% a. m.; n = 7 meses;
b) i = 5% a. m.; n = 2 anos;
c) i = 12% a.t.; n = 1 ano e meio;
d) i = 20% a.s.; n = 4 anos;
e) i = 0,15% ao dia; n = 47 dias;
f) i = 9% a.a.; n = 216 meses.
23. Calcular o juro de uma aplicação de R$ 300.000,00 nas seguintes condições de prazo
e taxa:
a) i = 2,5% a.m.; n = 1 semestre;
b) i = 3,3% a.m.; n = 1 ano e 3 meses;
c) i = 6% a.s.; n = 72 meses;
d) i = 10% a.a.; n = 120 meses;
e) i = 25% a.q.; n = 4 anos.
24. Calcular os juros de uma aplicação de R$ 20.000,00 nas seguintes condições de
prazo e taxa:
a) 1% a.m.; n = 12 meses;
b) 0,02% a.d.; n = 1 ano;
c) 2,45% a.b.; n = 1 semestre;
d) 10,99% a.a.; n = 3 anos;
e) 5,55% a.s.; n = 4 anos;
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f) 1,22% a.m.; n = 6 meses
g) 0,0015% a.d.; n = 30 dias;
h) 2,50% a.m.; n = 2 meses.
25. Calcule as taxas equivalentes abaixo (Juros Compostos):
a) 35% a.a. à qual a taxa equivalente ao bimestre?
b) 0,044% a.d.
à qual a taxa equivalente ao mês?
c) 3,34% a.m.
à qual a taxa equivalente ao semestre?
d) 10,00% a.b.
à qual a taxa equivalente ao semestre?
e) 8,50% a.semestre
f) 22,50% a.a.
à qual a taxa equivalente ao mês?
à qual a taxa equivalente ao mês?
26. Um investidor possui R$ 5.000,00 e deseja aplicar esse valor por 2 anos. Consultou
dois bancos e obteve as seguintes propostas de aplicação.
Banco A: Taxa: 0,06% a.d.
Banco B: Taxa de 1,20% a.m.
Considerando o regime de juros compostos, calcule:
Quanto o investidor terá ao final de 2 anos em cada banco?
Qual o valor dos juros obtidos ao final de 2 anos em cada banco?
Qual banco deverá ser escolhido pelo investidor?
27. Uma pessoa possui 7 prestações no valor de R$ 250,00 que irão vencer,
respectivamente, nos meses de fevereiro, março, abril, maio, junho, julho e agosto de
2008. Considerando-se uma taxa de juros de 2,99% a.m. (juros compostos), até que valor
compensa pagar à vista essas prestações?
28. Calcule o valor presente dos valores futuros abaixo nas seguintes condições de prazo
e taxa:
a) R$ 22.000,00; i = 2% a.m; n = 5 meses;
b) R$ 100.000,00; i = 2,56% a.m.; n = 3 meses;
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c) R$ 19.980,00; i = 0,58% a.m.; n = 12 meses;
d) R$ 120.000,00; i = 0,015% a.d.; n = 2 meses;
e) R$ 95.000,00; i = 6% a.s.; n = 1 ano;
f) R$ 9.900,00; i = 120% a.a.; n = 2 meses;
g) R$ 10.000,00; i = 30% a.a.; n = 1 mês.
29. A loja Compra Fácil está anunciando a venda de uma geladeira por R$ 859,00 (a
vista) ou com uma entrada de R$ 250,00 e 8 prestações mensais a uma taxa de juros de
3,89% a.m. Calcule o valor das prestações, o valor final do financiamento e os juros que
serão pagos.
30. A Empresta Tudo Financeira oferece as seguintes opções de pagamento de
empréstimos a funcionários públicos e ao público em geral.
Opção A – 6 prestações mensais com juros de 1,99% ao mês;
Opção B – 12 prestações mensais com juros de 2,59% ao mês;
Opção C – 18 prestações mensais com juros de 3,18% ao mês;
Opção D – 24 prestações mensais com juros de 4,45% ao mês.
Calcule o valor de cada prestação e os respectivos juros para cada opção considerando
que uma pessoa deseja fazer um empréstimo de R$ 2.000,00.
31. A loja Barato Mais Impossível e Compra Tudo estão oferecendo uma TV de 29” da
marca TVtex, Modelo NCX-10, tela plana, conforme condições abaixo:
Loja Barato Mais Impossível – Valor à vista: R$ 699,00 ou entrada de 20% e mais 6
prestações mensais com taxa de 3,00% a.m.
Loja Compra Tudo – Valor à vista: R$ 699,00 ou entrada de R$ 200,00 e mais 6
prestações mensais com taxa de 1,99% a.m.
32. Calcule o valor presente de 6 prestações iguais e sucessivas no valor de R$ 300,00
considerando uma taxa de desconto de 2,5% ao mês.
32. Considerando os projetos de investimentos abaixo:
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Período
Projeto A
Projeto B
Projeto C
0
- 42.000
- 50.000
- 20.000
1
8.000
20.000
8.000
2
9.500
10.000
6.000
3
10.500
10.000
6.000
4
14.500
15.000
4.000
5
16.500
15.000
4.000
Calcule:
Represente o Fluxo de Caixa;
Represente o Fluxo de Caixa Líquido;
Calcule o Fluxo de Caixa Líquido Cumulativo;
Calcule o Payback (sem desconto);
Calcule o Valor Presente;
Calcule o VPL;
Calcule o Payback (com desconto);
Qual dos projetos você escolheria para investir o seu dinheiro?
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REFERÊNCIAS
BRIGHAM, Eugene F., WESTON, J. Fred. Fundamentos de Administração Financeira.
São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. São Paulo: Pearson
Addison Wesley, 2004.
LEITE, Hélio de Paula. Introdução à Administração Financeira. São Paulo: Atlas, 1996.
SANVICENTE, Antônio Zoratto. Administração Financeira. São Paulo: Atlas, 1996.
SOUZA, Alceu. CLEMENTE, Ademir. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos.
São Paulo: Atlas, 2001.
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