Matemática 2
01. Pedro tem 6 bolas de metal de mesmo peso p. Para calcular p,
Pedro colocou 5 bolas em um dos pratos de uma balança e a que
restou, juntamente com um cubo pesando 100g, no outro prato, e
observou que os pratos da balança ficaram equilibrados (veja
figura abaixo). Indique p, medido em gramas.
100
02. Uma circunferência de raio 12, tendo AB e CD como diâmetros,
está ilustrada na figura abaixo. Indique a área da região
hachurada.
A
o
135
C
D
B
03. Indique o comprimento do intervalo das soluções da desigualdade
0 ≤ 2x – 7 ≤ 70.
04. Uma elipse é obtida interceptando um cilindro reto com um plano
que forma um ângulo de 30o com o eixo do cilindro, como
ilustrado abaixo. Se o raio do cilindro mede 6, quanto mede o eixo
maior da elipse?
o
30
05. Um provedor de acesso à internet cobra R$ 0,20 por hora de
acesso durante o dia, e R$ 0,08 por hora de acesso durante a
noite.
Se
um
usuário
pagou
R$ 4,64 por 28 horas de uso, indique quantas horas de acesso
foram usadas durante a noite.
06. Os segmentos VA, VB e VC são dois a dois perpendiculares no
espaço, como ilustrado a seguir. Se VA = 5, VB = 6, VC = 7, qual
o volume da pirâmide triangular ABCV?
A
V
B
C
07. Uma companhia fabricava barras de chocolate de 200g que eram
vendidas a R$ 3,20 a unidade e passou a fabricar barras de 180g
que
são
vendidas
a
R$ 3,60 a unidade. Indique o aumento percentual no preço do
grama de chocolate.
08. Indique o inteiro mais próximo da área do trapézio PQRS de altura
4, ilustrado na figura abaixo, sabendo que ABCD é um quadrado
de lado 10, M é o ponto médio de AB e de PQ, e N é o ponto
médio de BC e de RS. (Dado: use aproximação
2 ≅ 1,41).
A
P
M
Q
B
R
N
S
D
C
09. Para qual valor de m, as retas de equações
3x + 4y = -1, 5x + 8y = 1 e mx + 7y = -1,
são concorrentes em um mesmo ponto?
10. Sejam A, B e G vértices de um cubo de aresta 10 6 , como
ilustrado abaixo. Qual a distância do vértice B a diagonal AG?
G
A
B
11. Uma escola comprou computadores das empresas X e Y.
Quarenta por cento dos computadores foram comprados da
empresa X e os demais da empresa Y. A probabilidade de um
computador fabricado por X apresentar defeito no primeiro ano de
uso é 0,10 e se fabricado por Y é de 0,15. Se um destes
computadores é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade
percentual de ele não apresentar defeito no primeiro ano de uso?
As informações e a figura abaixo referem-se às três questões a
seguir.
Na ilustração seguinte, ABCD é um paralelogramo e I é a interseção
de suas diagonais. Os pontos E, F, G, H e J são as respectivas
projeções ortogonais dos pontos A, B, C, D e I sobre o plano π (ou
seja, os segmentos AE, BF, CG, DH e IJ são perpendiculares ao plano
π).
D
C
I
A
B
π
H
G
J
E
F
12. Analise as afirmações a seguir, referentes à configuração acima.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
IJ é a base média do trapézio ACGE.
IJ é a base média do trapézio BDHF.
J é a interseção das diagonais do quadrilátero EFGH.
O quadrilátero EFGH é um paralelogramo.
AE + CG = BF + DH
13. Suponha que AE = CG = 6 e que BF = 5. Qual a medida de DH?
14. Usando os dados da questão anterior e sabendo que a área de
EFGH é 13, determine o volume do sólido ABCDEFGH.
15. Sejam a e b números reais tais que
a
b
14 x + 4
+
=
x +1 x −1
x2 − 1
para todo número real x, diferente de 1 e -1. Indique ab.
16. Os cientistas de um navio de pesquisa mediram o ângulo de
elevação do pico de uma ilha vulcânica obtendo 25,6o. Avançando
o navio mais 1.100m na direção do pico, efetuaram outra medida
do ângulo de elevação, obtendo 31,2o, como representado na
figura a seguir. Indique a soma dos dígitos da altura do pico da
ilha, em metros, em relação ao nível do mar. Despreze a
curvatura da terra. (Dados: use as aproximações cotg(31,2o) ≅
1,65 e cotg(25,6o) ≅ 2,09.)
o
25,6
o
31,2
1.100m
17. Trabalhando juntos, dois operários executam certa tarefa em 6
horas. Para
executarem a mesma tarefa, isoladamente, o
primeiro
deles
precisaria
de
5 horas a mais que o segundo. Em quantas horas o segundo
executaria, sozinho, a tarefa?
18. Na figura abaixo, uma esfera está inscrita em um cilindro reto. O
raio da base do cilindro tem a mesma medida do raio da esfera e
um diâmetro da esfera coincide com o eixo do cilindro (veja a
ilustração a seguir).
Analise as afirmações seguintes, acerca das áreas das superfícies
e dos volumes da esfera e do cilindro:
0-0) A área lateral do cilindro é metade da área da superfície da
esfera.
1-1) O volume do cilindro é três meios do volume da esfera.
2-2) A área da superfície da esfera é dois terços da área total do cilindro.
3-3) O volume do cilindro é o produto da área da superfície da esfera pela metade do raio.
4-4) O volume da região interna ao cilindro e exterior à esfera é um terço do volume do cilindro.
19. Qual o número mínimo de pessoas que devem fazer parte de um
grupo, para que se possa garantir que existam, pelo menos, 7
pessoas do grupo nascidas no mesmo mês?
20. A figura abaixo ilustra uma viga na forma de um arco de parábola
AB (com escalas horizontal e vertical diferentes). O eixo da
parábola contendo o arco AB é a reta passando por O e C, a qual
é perpendicular ao segmento AB. Se E é o ponto médio de OB,
ED = 6m e OE = 14m, calcule, em metros, a altura OC.
C
D
O
A
E
B
21. A figura abaixo ilustra uma circunferência dividida em regiões por
três arcos de 120o de circunferências de mesmo raio que a
anterior. A região hachurada pode ser dividida em partes que
podem ser acopladas de maneira a formar um retângulo. Se a
circunferência tem raio 30, qual o comprimento de um menor lado
do retângulo?
22. Um conjunto de números naturais consiste de treze múltiplos de
6, dezenove múltiplos de 10, sete múltiplos de 30 e três
números primos. Quantos são os números no conjunto?
23. Na figura abaixo, o ângulo BAC mede 60o e AB = AC. Se a
circunferência tem raio 6, qual o inteiro mais próximo da área da
região
hachurada?
(Dados:
use
as
aproximações:
π ≅ 3,14, 3 ≅ 1,73 .)
B
C
o
60
A
24. Para quantos valores inteiros de m o sistema x + 7y = m e 3x +
5y = 8 admite solução x, y em números reais positivos?
25. O trapézio isósceles ABCD da figura abaixo tem AB e CD
paralelos e os pontos E, F e G são tais que AE = EB = DF = FG =
GC = 60. Se AD = 191, calcule AC e indique a soma de seus
dígitos.
A
D
E
F
B
G
C
26. O número N = 63.104.15x, sendo x um inteiro positivo, admite 240
divisores inteiros e positivos. Indique x.
27. A figura abaixo ilustra um hexágono regular de lado 10 e a
circunferência inscrita ao hexágono. Qual o inteiro mais próximo
da área da região hachurada? (Dados: use as aproximações
1,73 e π ≅ 3,14.)
3≅
28. Para quantos valores de a o sistema
2
⎧⎪
x2 = y
⎨ 2
⎪⎩x + ( y − a)2 = 1
admite precisamente três soluções?
29. O poliedro convexo ilustrado abaixo tem 32 faces, sendo 20 faces
triangulares e 12 faces pentagonais. Quantos são os seus
vértices?
30. Analise as afirmações a seguir referentes aos números reais
positivos que são medidas associadas aos triângulos equiláteros.
0-0) Se o lado de um triângulo equilátero é racional, então, a
altura do triângulo é irracional.
1-1) Se a mediana de um triângulo equilátero é irracional, então,
o lado do triângulo é irracional.
2-2) Se o lado de um triângulo equilátero é racional, então, a área
do triângulo é irracional.
3-3) Se a altura de um triângulo equilátero é racional, então, o
perímetro do triângulo é racional.
4-4) Se o perímetro de um triângulo equilátero é racional, então,
a área do triângulo é irracional.
31. Ao interceptarmos uma esfera com três planos, qual o número
máximo de regiões em que a esfera fica dividida?
32. O paralelogramo ABCD ilustrado na figura abaixo tem área 210.
Os pontos M, N, P e Q são pontos médios respectivos dos lados
AB, BC, CD e DA. Indique a área do quadrilátero hachurado.
A
M
B
Q
N
D
P
C