UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
PRO-REITORIA DE EXTENSÃO E CULTURA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS
V OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMATICA
Preparação para a 3ª Fase: Lista de Exercícios
NÍVEL II
1. Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo que possui um dos lados com
medida igual a
5 3
?
2
2. Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero satisfazendo as relações
a
b
c
. Qual é o número de possíveis valores que k pode assumir?
k=
=
=
b+c c+a a+b
3. Doze pontos estão sobre um círculo. Quantos polígonos convexos podemos formar com
vértices nesses 12 pontos?
4. Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo
menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam
Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português.
Quantos funcionários falam as duas línguas?
5. Seja P(n) a soma dos algarismos pares do número n . Por exemplo,
P (1234) = 2 + 4 = 6. Qual o valor de P (1) + P(2) + P(3) + ... + P(100) ?
6. Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é
cortado em 3×3×3 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo
menos, uma face vermelha e outra azul?
7. Veja a figura abaixo e responda qual é a área da figura sombreada em cinza.
5 cm
8. No mesmo momento em que um carro deixa a cidade A para ir a cidade B, um
carro deixa a cidade B para ir a cidade A, eles utilizarão o mesmo caminho,
porém o carro que sai de A tem velocidade de 120 km/h, o outro tem velocidade
de 90 km/h. Em que momento (tempo após deixarem as respectivas cidades ) se
encontrarão, se a distância entre A e B é 610 km.
9. Dois terrenos tem juntos 119m². Suas áreas são retangulares. O menor tem x de
largura e comprimento x+4,5 e o maior te m x+4,5 de largura e comprimento
x+6. Qual o valor de x?
10. Veja a figura abaixo e responda, qual é a área da parte sombreada, se o raio do
circulo maior é 2,5metros.
10 metros
5 metros
Respostas:
1) A soma dos outros lados tem que ser maior que
5 3
. Logo, o perímetro deve ser
2
maior que 5 3 =8,66..., o que mostra que o menor perímetro inteiro possível é 9.
2) Tem-se a = k(b + c), b = k(c + a) e c = k(a + b). Logo, (a + b + c) = 2k(a + b + c). Há
dois casos: (i) a + b + c 0; neste caso, k = ½ (e a igualdade ocorre se e só se a = b = c ≠
0); (ii) a + b + c = 0. Neste caso, tem-se a/(b + c) = b/(c + a) = c/(a + b). = –1. Portanto,
k pode assumir os valores ½ ou –1.
3) Um polígono convexo inscrito no círculo fica determinado quando seus vértices são
escolhidos. Cada um dos 12 pontos pode ou não ser escolhido como vértice, dando um
total de 212 = 4096 escolhas. Mas para determinar um polígono precisamos escolher 3
ou mais vértices. Logo, do número acima devemos excluir os casos em que são
escolhidos 0 pontos (1 caso), 1 ponto (12 casos) ou 2 pontos (12 × 11/2 = 66 casos).
Portanto, o número de polígonos é 4096 – 1 – 12 – 66 = 4017.
4) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que
falam Inglês. É fácil ver que,
20
20
.P +
.I = I ⇒ P = 4 I .
100
100
20
.I = 84 ⇒ I = 20. Com isso, o número de funcionários que
Além disso, 4 I + I −
100
20
falam as duas línguas é
.4 I = 16.
100
5) Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e
dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8.
Portanto, a soma pedida é 20 ⋅ (2 + 4 + 6 + 8) = 400.
6) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces
conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos
descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso,
exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.
Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice,
teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces
vermelhas. Neste caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há
5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2
cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces
vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste
caso há 26 − 5 − 5 = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor. Portanto depende
de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis
7) AQuadrado = 5*5 = 25cm²
Acírculo = π 5² = 25π cm² ,
Logo ¼ do circulo é: A1 = 25π / 4cm² , e a área cinza é a área do quadrado
menos A1.
AQuadrado − A1 ⇒ 25cm² − 25π / 4cm² , tomando π =3,14, temos: 25 − 25*3,14 / 4 = 5,375 ,
portanto a área da região cinza é 5,375 cm².
8) A soma das velocidades é 210, A velocidade do carro A é 4/7 de 210, e a velocidade do carro B
é 3/7. Logo No momento em que se cruzarem o carro a deverá ter percorrido 4/7 do percurso.
4/7 de 600 são 342,85km. Se a velocidade deste carro é de 120km/h,
342,85
t
342,85
t=
120
120 =
t = 2,85 horas
9)
x( x + 4,5) + ( x + 4,5)( x + 6) = 119
x ² + 4,5 x + x ² + 6 x + 4,5 x + 27 = 119
2 x ² + 15 x + 27 = 119
2 x ² + 15 x − 92 = 0
−15 ± 15² − 4* 2*(−92)
2* 2
−15 ± 961
x=
4
−15 + 31
x=
4
x=4
x=
10) O retângulo todo tem 50 m². A are do circulo é A=6,25π m², as áreas claras
somam 12,50 π m², a diferença entre a área total e a área clara será a área
sombreada,
50 − 12,50π = As
50 − 12,50*3,14 = 10,75