Disciplina de BIOMECÂNICA DO MOVIMENTO
Mestrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA
4º Ano, 1º Semestre 2007/08
ANÁLISE CINEMÁTICA DA MARCHA
Ana Calhau*, Angela Pisco**, Liliana Valente*** e Nuno Santos****
* Nº54605
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Instituto Superior Técnico – Departamento de Física
e-mail:[email protected]
** Nº55748
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Instituto Superior Técnico – Departamento de Física
e-mail:[email protected]
*** Nº56141
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Instituto Superior Técnico – Departamento de Física
e-mail:[email protected]
**** Nº55746
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Instituto Superior Técnico – Departamento de Física
e-mail: [email protected]
Palavras-chave: Marcha, Análise cinemática, Método de Newton-Raphson, Sistemas de
corpos múltiplos, Constrangimentos, Biomecânica.
Resumo Neste trabalho pretendeu-se analisar e descrever, do ponto de vista cinemático, um
movimento humano. O movimento eleito foi a marcha. Neste estudo foram considerados doze
segmentos anatómicos, os quais foram descritos utilizando a terminologia do movimento
articular e a de comparação e inter-relação. Determinou-se que o plano cardinal de
referência no qual este movimento se desenvolve prioritariamente é o plano sagital. Como
modelo simplificativo aproximaram-se as articulações dos cotovelos e joelhos por juntas de
revolução e as restantes por juntas esféricas tendo sido impostos constrangimentos do tipo
produto interno, produto externo e constrangimento simples. Como método numérico de
resolução das equações do movimento utilizou-se o método de Newton-Raphson. Para
implementação da modelação a 2-D recorreu-se ao programa MATLAB, software largamente
utilizado na resolução de problemas biomecânicos. Reportaram-se graficamente os
resultados obtidos para a posição global do corpo bem como para as posições, velocidades e
acelerações em pontos considerados importantes.
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
1. INTRODUÇÃO
Embora sejam variadíssimas as suas definições, pode dizer-se que a biomecânica é o
estudo do comportamento de sistemas biológicos tendo por base os conceitos e as leis da
Mecânica. Torna-se assim possível analisar e descrever qualquer tipo de movimento realizado
pelo corpo humano, embora de forma aproximada, dada a enorme complexidade deste sistema
biológico.
Com este trabalho pretende descrever-se um dos movimentos mais realizados pelo
Homem, a marcha. Para a sua descrição, há que ter em conta a posição anatómica de
referência (PAR), considerada a postura de referência quando se pretende descrever a posição
e movimento relativo entre os segmentos anatómicos do corpo humano, os planos anatómicos
de referência e um conjunto de terminologias, das quais se destaca a terminologia articular,
utilizada para descrever os movimentos dos segmentos anatómicos que se verificam nas
articulações. Estes conceitos são extremamente importantes pois permitem interpretar, de um
modo preciso e da forma mais inequívoca possível, um dado movimento, fornecendo os
conhecimentos necessários para se proceder à posterior análise cinemática desse movimento.
Com a análise cinemática pretende-se estudar o movimento, ficando de fora as forças
envolvidas. Através desta análise torna-se possível descrever aspectos temporais do
movimento, tais como posições, velocidades e acelerações, estabelecendo-se modelos
matemáticos capazes de simular o movimento que pretendemos. Estes modelos revestem-se
de grande importância na área da saúde, nomeadamente na prevenção e reabilitação,
permitindo resolver muitos problemas relacionados com o movimento humano. No caso da
marcha, é um valioso método de pesquisa e avaliação, tanto na marcha normal como
patológica.
Neste trabalho, descrever-se-á a marcha através de terminologia específica. A sua
descrição, bem como a sua modelação serão feitas no plano sagital, pois considera-se que é
neste que o movimento se desenvolve prioritariamente. A implementação cinemática deste
movimento é feita recorrendo ao MATLAB, tendo-se para tal considerado o corpo humano
como um sistema de corpos múltiplos, formado por juntas, no qual são introduzidos alguns
constrangimentos.
2. POSIÇÃO E PLANOS ANATÓMICOS DE REFERÊNCIA
2.1. Posição Anatómica de Referência
A posição anatómica de referência é considerada a postura base quando se pretende
descrever a posição e movimento relativo entre os vários segmentos anatómicos do corpo
humano. Esta, juntamente com a terminologia específica de comparação e inter-relação, e
com a terminologia do movimento articular, permite descrever um segmento do corpo
relativamente a outro, independentemente da posição em que se encontra o corpo humano.
Considera-se que, nesta posição, os ângulos formados por cada um dos segmentos anatómicos
são de 0º.
Nesta postura, o corpo encontra-se numa posição erecta, com o olhar para o horizonte, os
2
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
pés encontram-se ligeiramente afastados (voltados para a frente) e os braços suspensos
lateralmente, com as palmas das mão viradas para a frente (posição supina).
Figura 1 Representação da posição anatómica de referência1
2.2. Planos Anatómicos de Referência
Os planos anatómicos de referência (ou planos cardinais) consistem num conjunto de três
planos que formam ângulos rectos entre si. Estes planos correspondem a delimitações do
corpo humano, permitindo a descrição de posições estruturais. Cada um deles permite a
divisão do corpo humano em duas metades de igual massa, intersectando-se todos num único
ponto comum, o centro de massa do corpo. Embora muito úteis na descrição de movimentos
de grande amplitude, apresentam limitações, pois existem movimentos que não são orientados
segundo eles. Quando tal acontece, utilizam-se planos oblíquos.
Os três planos anatómicos de referência são:
plano sagital: divide o corpo verticalmente nas metades direita e esquerda;
plano frontal: divide, de igual forma, o corpo verticalmente em duas metades, mas agora,
metade anterior e posterior;
plano transverso: divide horizontalmente o corpo em superior e inferior.
1
Figura extraída de [1]
3
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Figura 2 Representação esquemática dos planos anatómicos de referência2
3.
TERMINOLOGIAS
De acordo com [1] é possível definir duas terminologias que se consideram de particular
importância na análise do movimento em estudo.
3.1 Terminologia de Comparação e Inter-relação
Esta terminologia, utilizada para caracterizar a posição relativa entre segmentos
anatómicos e entre estes e outros objectos externos, funciona também como uma
complementação quando se pretende descrever movimentos. Embora pretenda ser uma forma
precisa de descrição do movimento, as suas definições não podem ser seguidas de forma
taxativa, surgindo por vezes ambiguidades. Dado que se trata de uma terminologia vasta, vaise apenas destacar algumas delas, que se consideram particularmente relevantes para a
descrição do movimento a seguir apresentado (marcha). Desta forma, destacam-se:
superior: segmento que se encontra mais perto da cabeça;
inferior: segmento que se encontra mais afastado da cabeça;
anterior: segmento que está mais à frente;
posterior: segmento que está mais atrás.
3.2 Terminologia do Movimento Articular
A terminologia do movimento articular permite descrever o movimento dos segmentos
anatómicos que ocorre ao nível das articulações. Também aqui a terminologia é vastíssima,
2
Figura extraída de [1]
4
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
tendo-se optado por descrever apenas os movimentos que ocorrem no plano sagital e que são
relevantes para o movimento em estudo. Assim, os principais movimentos são:
flexão: movimento que consiste numa rotação no plano sagital, na direcção anterior dos
segmentos anatómicos da cabeça, tronco, braço, antebraço, anca e mão. Relativamente à
perna, esta rotação dá-se numa direcção posterior;
extensão: movimento que faz regressar um segmento anatómico que se encontra flectido
à sua posição anatómica de referência;
hiperextensão: extensão para além da posição anatómica, oposta à direcção de flexão,
sendo por isso posterior para cabeça, tronco, braço, antebraço, mão e anca, e anterior para
a perna;
Figura 3 Representação esquemática dos movimentos de flexão, extensão e hiperextensão3
dorsiflexão: movimento que puxa o dorso do pé em direcção à perna;
flexão plantar: movimento que leva a planta do pé em direcção inferior.
Figura 4 Representação esquemática dos movimentos de dorsiflexão e flexão plantar4
4. DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO
A marcha é uma sucessão de movimentos rítmicos e alternados dos membros e do tronco,
que provocam um deslocamento anterior do centro de gravidade do corpo. Mais do que um
3
4
Figura extraída de [1]
Figura extraída de [1]
5
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
reflexo inato, parece ser um processo de aprendizagem. Embora seja um dos movimentos
mais difíceis de se aprender, quando tal acontece, torna-se praticamente inconsciente. A
marcha envolve a actuação de muitas articulações, bem como de muitos músculos, sendo
muitas as combinações de forças musculares que podem resultar num mesmo modelo de
movimento.
Para o estudo da marcha, têm de se ter presentes alguns conceitos e conhecer a
nomenclatura utilizada. Desta forma, define-se:
velocidade da marcha: distância percorrida pelo corpo por unidade de tempo;
cadência da marcha: número de passos por unidade de tempo;
comprimento do ciclo: distância entre dois apoios, sucessivos, do calcanhar do mesmo pé;
comprimento do passo: distância a que se encontram os pés, quando contactam com o solo;
ciclo de marcha: intervalo entre dois apoios, sucessivos, do calcanhar do mesmo pé;
período de apoio: período do ciclo em que o pé contacta com o solo;
período oscilante: período do ciclo em que o pé não contacta com o solo;
duplo apoio: período do ciclo em que ambos os pés contactam com o solo.
Para se conseguir uma propulsão eficiente e segura do corpo humano, existem cinco
funções, sumariadas por Saunders, Inman e Eberhart [2], que têm de ser asseguradas quer se
trate de andar ou correr, e cuja realização tem lugar dentro dos limites anatómicos do corpo
humano. São elas:
prevenção do colapso dos membros inferiores pela manutenção do suporte do tronco;
manutenção da postura superior e balanço total do corpo;
controlo da trajectória do pé para alcançar um ground clearence e um suave movimento de
contacto do calcanhar e dedos com o solo;
fornecimento de energia para manter a velocidade presente, ou para a aumentar;
absorção de energia mecânica, para a estabilidade e absorção de choques, ou para a
diminuição da velocidade do corpo.
Quando um indivíduo realiza o movimento de marcha há todo um conjunto sequencial de
movimentos, que se repetem ao longo do tempo (ciclo da marcha). Considera-se que o
primeiro toque do calcanhar corresponde ao início do ciclo (0%) e o segundo toque, o toque
que finaliza o ciclo (100%). Considerando que o ciclo se inicia com o indivíduo na posição
anatómica de referência, podemos encontrar os seguintes tempos de marcha:
6
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Figura 5 Representação esquemática do ciclo da marcha (à esquerda) e dos
períodos oscilantes (à direita)5
Observa-se, para o 1º tempo, o movimento do corpo desde a
posição anatómica de referência até ao contacto de ambos os pés no
solo (primeiro duplo apoio). Este duplo apoio é também chamado de duplo apoio anterior ou
de travagem, dado que o pé direito (tomado como referência) está em situação anterior. Para o
2º tempo, verifica-se o primeiro apoio unilateral. Segue-se o segundo duplo apoio, também
conhecido como duplo apoio posterior ou de travagem, pois neste caso o pé direito encontrase numa situação posterior. Verifica-se ainda um segundo apoio unilateral (não descrito pela
imagem) e, por último, o regresso à posição anatómica de referência e recomeço do ciclo.
Na imagem, é ainda possível ver a fase de balanço (quando um dos pés não está em
contacto com o solo). Esta pode ser dividida em balanço inicial, médio e terminal [4]. Esta
fase de balanço (que se encontra sempre a seguir e imediatamente antes de um duplo apoio) é
caracterizada por oscilações do pé que não está assente no solo, como pode ser evidenciado
pela imagem à direita, na figura 5.
De salientar que estes movimentos realizados durante o tempo de marcha não se verificam
em iguais proporções. Em termos relativos a fase de apoio é a que se verifica num maior
espaço de tempo, seguida da fase oscilante e por fim da fase de duplo apoio.
Conclui-se assim que existem quatro tempos essenciais no ciclo da marcha. Desta forma,
tendo por base a terminologia articular, e considerando que se parte da posição anatómica de
referência, à excepção das mãos que se encontram pronadas, é possível caracterizar cada um
destes tempos.
No 1º tempo, ocorre uma flexão da coxa e perna direitas, seguida de uma extensão da
perna direita, e uma ligeira dorsiflexão do pé direito, seguida de flexão plantar. Quanto à coxa
esquerda, esta encontra-se hiperextendida, enquanto a perna esquerda está ligeiramente
flectida. No final deste tempo, o pé esquerdo está em flexão plantar. Relativamente aos
membros superiores, o braço e antebraço esquerdos encontram-se flectidos, o braço direito
hiperextendido e o antebraço direito ligeiramente flectido, ficando assim evidente o
movimento assíncrono dos membros inferiores relativamente aos membros superiores.
5
Figura extraída de [3]
7
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Para o 2º tempo, temos uma flexão da coxa esquerda e extensão da perna esquerda e
observa-se para o pé esquerdo uma dorsiflexão. Quanto à coxa direita, ocorre uma extensão
desta, seguida de hiperextensão, enquanto que a perna direita flecte e o pé direito sofre uma
flexão plantar. No que se refere aos membros superiores, o braço direito encontra-se flectido,
bem como o antebraço, embora a flexão não seja tão evidente neste último. Quanto ao braço e
antebraço esquerdo, encontram-se estendidos (com uma ligeira flexão do antebraço esquerdo)
encontrando-se inclusivamente, na parte final deste tempo, o braço esquerdo hiperextendido.
Assumindo que a marcha é simétrica, ocorrem os mesmos movimentos no 1º tempo e no
3º, mas para os membros opostos, acontecendo o mesmo para o 4º tempo relativamente ao 2º.
Embora tal não seja totalmente verdade como constataram Arsenault et. al (1986b) [5] e
Ounpuu e Winter (1989) [6] ao detectarem assimetrias em vários músculos, para efeitos de
simplificação, considera-se a marcha como sendo simétrica.
Para a análise da marcha, para além dos segmentos anatómicos, há ainda a considerar as
principais articulações envolvidas, cujo movimento é acompanhado pela acção de músculos
[7].
Relativamente à articulação tíbio-társica, aquando do contacto do calcanhar com o solo,
esta encontra-se em posição neutra, havendo uma contracção dos flexores dorsais.
Imediatamente após o contacto do calcanhar temos um movimento para a flexão plantar (15º)
e a contracção excêntrica dos flexores dorsais. Quando se dá o contacto total do pé, temos um
movimento para a flexão dorsal e a contracção dos flexores plantares. Quando se dá a
elevação do calcanhar temos uma flexão dorsal de 15º e aquando da elevação do 1º dedo uma
flexão plantar de 20º. Estes dois últimos movimentos são acompanhados de um aumento
gradual da intensidade da contracção dos flexores plantares. No período oscilante, a
articulação passa de flexão plantar (15º) para a posição neutra e verifica-se a acção dos
flexores dorsais.
Relativamente à articulação do joelho, quando o calcanhar contacta no solo a articulação
encontra-se em extensão completa. Imediatamente após o contacto deste, realiza-se um
movimento para a flexão (até aos 20º). Nestes movimentos verifica-se uma contracção
excêntrica do quadrícipete. Quando se dá o contacto total do pé, temos um movimento para a
extensão e uma contracção concêntrica do quadrícipete. Aquando da elevação do calcanhar
temos uma flexão de 4º e quando se faz a elevação do primeiro dedo temos uma flexão até aos
40º. Nestes últimos movimentos de elevação observa-se uma contracção gradual do
quadrícipete. Quanto ao período oscilante, entre a elevação do primeiro dedo e a oscilação,
temos um movimento de flexão (dos 40º aos 65º) acompanhado pela acção do quadrícipete
para acelerar a perna. Entre a oscilação e o contacto do calcanhar ocorre um movimento até à
extensão completa, acompanhado pela acção dos hamstrings.
No que se refere à articulação da anca, no contacto do calcanhar ao solo ocorre uma
articulação em 30º de flexão, imediatamente após o contacto do calcanhar temos um
movimento para a extensão e quando se dá o contacto total do pé temos uma flexão que
diminui para 20º. Quando ocorrem estes movimentos, verifica-se igualmente uma contracção
do grande glúteo e hamstrings. Na elevação do calcanhar, observa-se uma extensão de 10 a
15º, encontrando-se a articulação em posição neutra quando se dá a elevação do 1º dedo.
Simultaneamente, ocorre a contracção dos psoas ilíaco e médio glúteo. Quanto ao período
8
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
oscilante, entre a elevação do primeiro dedo e a oscilação temos um movimento de flexão (até
40º), com a acção dos flexores da anca. Entre oscilação e contacto do calcanhar há a
manutenção de 30º de flexão e a acção dos hamstrings.
Para melhor se evidenciar os tempos de apoio plantar anteriormente utilizados para
descrever a marcha ao nível das articulações, mostra-se de seguida uma imagem, que
corresponde aos tempos de apoio plantar segundo Lelièvre, desde uma dorsiflexão a uma
flexão plantar completas.
Figura 6 Tempos de apoio plantar segundo Lelièvre6
Desta forma, observa-se que a 1ª imagem corresponde ao contacto do calcanhar com o
solo, a 5ª imagem corresponde ao contacto total do pé, da 6ª para a 7ª dá-se a elevação do
calcanhar e na 12ª observa-se o último momento em que o pé contacta com o solo.
Todos os movimentos do corpo durante a marcha estão integrados, de forma a permitir um
dispêndio mínimo de energia. Considera-se, em termos genéricos, que a velocidade de marcha
à qual corresponde o mínimo de energia é de 4 a 5Km/h.
Durante a marcha, ocorrem alguns movimentos que provocam deslocamento do centro de
gravidade e que por isso têm de ser de alguma forma compensados: deslocamento vertical do
centro de gravidade 4 a 5cm e deslocamento lateral do centro de gravidade 5cm. Para que o
deslocamento vertical seja suave, há um esforço conjunto de vários segmentos dos quais se
destacam a anca e o joelho. Na anca, observa-se um movimento de inclinação lateral
(inclinação para o lado do membro oscilante) e um movimento de rotação (deslocamento
anterior para o lado do membro oscilante). No joelho, observa-se a flexão durante a fase
oscilante. O deslocamento lateral é traduzido pela base da marcha. Durante a marcha há ainda
um movimento assíncrono da cintura escapular em relação à cintura pélvica, que proporciona
uma maior suavidade desta.
6
Figura extraída de [7]
9
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Ao analisar-se a marcha, pretende-se avaliar e descrever, do ponto de vista biomecânico,
como se locomove o indivíduo. Para o seu estudo há todo um conjunto de métodos
cinemáticos e cinéticos.
Como métodos cinemáticos pode referir-se a inspecção, fotografia, cinematografia, vídeo,
cinerradiologia, acelerómetros, goniómetros e electrogoniómetros e captadores fixos.
Relativamente a métodos cinéticos pode referir-se plataforma de forças, captadores fixos
no pé e baropodómetros. A cinética trabalha com variáveis, que são a causa do modelo de
marcha ou corrida, observadas e medidas com as câmaras. Como tal, o que interessa são as
forças musculares individuais, os momentos gerados pelos músculos em torno de uma
articulação e os modelos de potência mecânica. Para se interpretar o que acontece em cada
fase do ciclo da marcha há que ter em conta as leis de Newton e as leis da conservação de
energia.
5. COORDENADAS E CONSTRAGIMENTOS
5.1.Coordenadas naturais
As coordenadas naturais podem ser consideradas uma evolução das coordenadas
cartesianas nos casos de sistemas multicorpos planos.
Nestas coordenadas os pontos encontram-se nas juntas, nas extremidades ou noutros
pontos importantes do elemento. Desta forma, cada elemento será definido no mínimo por
dois pontos.
Isto implica que a posição e orientação angular são determinadas pelas coordenadas desses
pontos, deixando as variáveis angulares de ser necessárias. Isto irá simplificar a formulação
das equações de constrangimento. Para além disso, os pontos podem ser partilhados numa
junta, caso seja necessário.
As características mais importantes das coordenadas naturais são a fácil formulação e
implementação computacional. Quando se utiliza este sistema de coordenadas, a passagem de
2-D a 3-D fica bastante simplificada, como se os pressupostos se mantivessem e fosse apenas
somar mais uma dimensão.
10
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
3
Lado
direito
2
q4 q2
q3
q12
4
q5
6
q10
y
9 ª 17
10
5
1 ª 20 ª 21
q6
q9
7
Lado
esquerdo
q1
q7
12 ª 18
8 ª 16
q11
13 ª 19
11
q8
15
14
x
Figura 7 Representação esquemática dos 21 pontos considerados para o problema proposto. O sistema
encontra-se representado no plano e o vector q tem a ordem numérica dos pontos.
Relativamente ao problema em análise, consideraram-se 21 pontos (nc = 21)
constituem os 12 segmentos diferentes do sistema multicorpo. Estes, foram descritos
coordenadas naturais através do vector coordenadas q, com dimensões 42x1, uma vez
estando o sistema num plano, cada ponto é definido apenas pelos eixos xx e yy.
que
por
que
(1)
5.2. Constrangimentos Cinemáticos
Quando se usa coordenadas naturais, as equações de constrangimento são de dois tipos,
corpo rígido e juntas cinemáticas.
Os constrangimentos de corpo rígido garantem que os comprimentos dos elementos se
mantêm constantes. De entre eles destacam-se os produtos interno e externo, que serão
utilizados neste trabalho em concreto.
Os constrangimentos cinemáticos de junta garantem que o movimento relativo dos corpos
decorre de acordo com os graus de liberdade das juntas que os interligam.
Todos estes constrangimentos estão representados matematicamente através do vector Ф,
em que cada entrada do vector corresponde a uma equação dos constrangimentos.
Se se estiver a constrangir ângulos, é necessário ter em atenção que quando o ângulo se
aproxima de 0 ou 180º (excepto para a definição de comprimento) o produto interno deixa de
11
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
ser válido para impor que o ângulo se mantenha constante; nesta situação deverá ser usado o
produto externo. Por outro lado, no caso de se ter um ângulo perto de +/-90º é o produto
externo que deixa de ter validade, devendo ser substituído pelo produto interno.
Em termos de constrangimentos têm-se, ainda, os constrangimentos de guiamento. Em
número, estes devem ser tantos quantos os graus de liberdade do sistema multicorpo.
5.2.1.Constrangimentos de corpo rígido
5.2.1.1. Produto Interno
Quando se quer constrangir a distância entre dois pontos a um valor constante, ou seja, ao
comprimento do elemento, utiliza-se o produto interno.
No caso mais simples, em que se tem um corpo definido apenas por dois pontos, o
elemento comporta-se como se tivesse três graus de liberdade (no plano).
Figura 8 Corpo definido por dois pontos7
Na ausência de constrangimento, o corpo tem seis graus de liberdade (três para cada
ponto). A existência do corpo como um todo é garantida pela equação de constrangimento de
corpo rígido, a qual traduz a condição de distância fixa entre i e j. Esta imposição consegue-se
fazendo o produto interno do vector da posição relativa entre os dois pontos (rij) por ele
próprio:
(2)
(3)
onde é o comprimento do elemento e o ângulo que o segmento faz com ele próprio.
Como =0, vem que (1) pode ser escrita na forma
Explicitamente (2) pode ser reformulada por:
5.2.1.2. Produto Externo
(4)
O produto externo utiliza-se maioritariamente para manter ângulos num valor fixo próximo
de k×p, com kœZ.
Figura 9 Vectores que formam um ângulo perto de 0
7
Figura extraída de [10]
12
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
De forma similar ao produto interno, o produto externo pode exprimir-se de acordo com a
seguinte equação:
!" ! " # $ %& (5)
5.3.Constrangimentos de junta cinemática
5.3.1.Junta esférica
No plano, este tipo de junta restringe 2 graus de liberdade.
Os constrangimentos cinemáticos correspondentes à junta esférica são automaticamente
introduzidos quando dois elementos adjacentes partilham um ponto, já que a única
possibilidade de movimento relativo entre eles é a rotação em torno deste mesmo ponto. No
plano, esta junta só possui rotação segundo o eixo perpendicular ao plano considerado,
comportando-se portanto como uma junta de revolução, descrita a seguir.
No entanto esta junta pode ser definida explicitamente, isto é, quando não há pontos
partilhados pelos elementos. Nesta situação acrescenta-se uma equação aos constrangimentos,
a qual garante a existência da junta ao garantir que os dois pontos i e j têm as mesmas
coordenadas.
(6)
Deve recorrer-se à definição explícita quando se tiver como alvo de estudo particular a
junta em questão. No presente caso consideraram-se juntas esféricas a enartrose da anca
(junção fémur e ossos do quadril) e as articulações do tornozelo, definidas explicitamente, e a
enartrose da cavidade glenóide (junção braço e omoplata) e as articulações da cabeça (apesar
de a rotação da cabeça ser feita separadamente por uma artrodia das vértebras atlas e áxis e
uma condilartrose, para simplificação do problema, considera-se um único ponto de rotação,
correspondente à rotação livre da cabeça), definidas implicitamente.
5.3.2.Junta de revolução
Como foi dito anteriormente, também a junta de revolução fica implicitamente definida
quando dois elementos adjacentes partilham um mesmo ponto.
As vantagens deste tipo de definição são a utilização de um menor número de coordenadas
e equações de constrangimento. Por este motivo o modelo fica mais pequeno, o que reduz o
peso computacional. No entanto não permite um posterior cálculo das reacções internas na
junta.
Outra possibilidade de introduzir automaticamente a junta de revolução é defini-la
explicitamente, considerando que os dois elementos distintos são constituídos por quatro
pontos, também distintos. A equação de constrangimento é, novamente, dada por (6).
Neste trabalho consideraram-se como juntas de revolução as trocleartroses dos cotovelos e
joelhos.
13
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
5.4.Constrangimento de Guiamento
5.4.1.Guiamento de translação
Figura 10 Modelo de junta prismática8
A distância s entre dois pontos pertencentes a elementos diferentes, torna-se na nova
coordenada a ser introduzida.
A equação adicional de constrangimento fica da forma:
' ( ' ) (7)
Apesar de não ser considerado guiamento de translação, foram considerados a translação
do corpo ao longo dos eixos xx e yy. As equações que definiram este guiamento foram as de
constrangimento simples, dadas também pela equação (6).
5.4.2. Guiamento de revolução
Esta equação de constrangimento é um pouco mais complexa que a anterior. Consiste em
guiar um ângulo q ao longo do tempo. Esse ângulo é normalmente o ângulo formado entre
dois elementos do corpo, podendo, no entanto, ser também entre um elemento e um dos
versores X ou Y. Assim, fica-se com a equação de constrangimento da seguinte forma:
********* +** ( , - (8)
No presente caso, as juntas dos tornozelos, joelhos, ancas, braço e antebraço estão
definidas por um guiamento de revolução. Apesar de considerados com ângulos constantes, as
juntas do tronco e da cabeça ficaram também definidas por guiamentos de revolução.
Relativamente ao nosso problema em estudo, a marcha, o vector dos constrangimentos, F,
é um vector de 42 entradas, visto que existem nc coordenadas, dadas pelas equações de
constrangimento de corpo rígido e de guiamento. Das equações referidas, existem 28 (nh) que
são respectivos a constrangimentos de corpo rígido e as restantes 14 (ngdl) são de guiamento
(nc – nh = ngdl ; 42 – 28 = 14).
Dos 2 tipos de constrangimentos de corpo rígido, utilizou-se apenas o produto interno, para
constrangir os comprimentos dos 16 segmentos constituintes do corpo: cabeça, tronco,
membros superiores (x4), coxas e pernas (x4), e pés (x2x3). Desta forma, como cada um
8
Figura extraída de [10]
14
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
destes constrangimentos origina uma equação, têm-se 16 equações.
Este trabalho, entre outras coisas, pretende simular e estudar a marcha. Desse modo, tornase relevante observar os pontos abaixo da cintura com mais cuidado. Foi nesse ponto de vista
que se definiram explicitamente (através de constrangimento de junta) os pontos
representativos das ancas, joelhos e tornozelos. Surgem, assim, mais 12 equações (cada
igualdade vectorial equivale a 2 equações segundo xx e yy):
. ./ ***
. . ***
.0 .1 ***
.2 .3 ***
. .0 *
.4 .2 *
(9)
As restantes 14 equações, definidas pelos constrangimentos de guiamento, estão divididas
nas 11 equações referentes aos constrangimentos derivados dos ângulos entre os vários
membros do corpo: cabeça – tronco, tronco – braço (direito e esquerdo) (x2), braço –
antebraço (x2), tronco – coxa (x2), coxa – perna (x2) e perna – pé (x2). Todos estes
constrangimentos são definidos pelos produtos interno e externo. As restantes 3 equações
correspondem à rotação e translação do corpo como um todo. A rotação é definida por
guiamento de revolução, em que o ângulo considerado é definido entre o tronco e o versor X,
e a translação é guiada como definição explícita de uma junta.
6. ANÁLISE CINEMÁTICA
6.1. Análise de posição
O problema de posição inicial consiste, basicamente, em saber as posições de todos os
corpos do sistema, dadas as posições dos corpos fixos e as definições dos guiamentos.
Em termos matemáticos, o problema de posição inicial é determinar, a partir das
coordenadas conhecidas, correspondentes aos elementos do vector de coordenadas q, o que
satisfaz o sistema não-linear das equações de constrangimento.
Tem-se que o problema de posição inicial é sempre baseado na resolução das equações de
constrangimento, ou seja, passa pela resolução do seguinte sistema:
56 7 (10)
O método utilizado para resolver o sistema (9) é o método de Newton-Raphson.
O Método de Newton-Raphson é um método iterativo que converge quadraticamente na
vizinhança da solução. Este método costuma ter a convergência assegurada, desde que se
comece com uma boa aproximação inicial.
Este método baseia-se na linearização do sistema por expansão de (9) em série de Taylor,
em torno do ponto qi (que é a aproximação inicial escolhida). Como modelo, considera-se que
os dois primeiros termos da série fornecem uma muito boa aproximação ao sistema. Fica-se
então com um sistema da forma:
15
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
86 7 9 8: ; < 8: ( 8 8: 6 ****< => ?
A
@
@= <B<>
(11)
A matriz Фq é a jacobiana das equações de constrangimento, ou seja, é a matriz das
derivadas parciais em ordem às coordenadas. Desta forma,
@FG
E @<G
D @FH
< D @<G
D D@FJL
C @<G
@FG
@<H
@FH
@<H
@FJL
@<H
I
@FG
P
O
I @< O
JK
M
O
@F O
I @<JLN
JK
@<JK
@FH
(12)
O número de linhas representa o número de equações de constrangimento (nh) e o número
de colunas representa o número de coordenadas (nc). Desta forma, se as linhas da matriz
forem linearmente independentes, é possível concluir que:
Q QR QSTU
(13)
onde ngdl é o número de graus de liberdade do sistema multicorpo.
Deste modo tem-se um sistema (10) que aproxima linearmente o sistema (9) não-linear. O
vector que se obtém a partir da solução do sistema linear vai ser também uma solução
aproximada do sistema não-linear. Chamando qi+1 à solução aproximada obtém-se uma
fórmula recursiva
5 ; 8 5 5V 5 (14)
Esta fórmula será aplicada as vezes necessárias até ao erro se tornar passível de ser
desprezado. Neste problema o erro considerado é de 10-6.
Figura 11 Processo iterativo de Newton-Raphson. Graficamente, o método baseia-se em considerar em cada
iterada, o ponto qi+1 como a intersecção da tangente ao gráfico no ponto qi com o eixo dos xx.9
9
Figura extraída de [10]
16
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6.2. Análise de velocidades
As equações de velocidades são obtidas derivando em ordem ao tempo as equações de
constrangimento. O sistema apresenta-se na forma:
W ; < =6 =X Y6****W Z
Z[
(15)
onde 8 é a matriz Jacobiana, 8X é o vector das velocidades que resulta da derivação em
ordem ao tempo do vector das coordenadas, e ν o vector do lado direito das equações dos
constrangimentos de velocidade que provém da derivada parcial, em ordem ao tempo, das
equações de constrangimento.
Sabendo a posição do sistema multicorpo, a equação (15) permite-nos saber a velocidade
do sistema a partir das velocidades dos elementos.
A diferença entre a análise de posição e a de velocidade é que se as equações da primeira
forem não-lineares quadráticas, a segunda terá equações lineares, já que é a sua derivada. Isto
significa que não se tem que usar um método iterativo, ao contrário do caso anterior.
O vector das acelerações, 8\ , obtém-se derivando em ordem ao tempo, a equação das
velocidades (14), apresentando-se na forma:
6.3. Análise de acelerações
] ^_ < =X =X 6 ] < =\ ***`****^_ <
@^
@_
(16)
em que g é o vector do lado direito das equações dos constrangimentos de aceleração,
definido como o produto da matriz Jacobiana e o vector das acelerações.
Sabendo o vector das coordenadas = e o vector das velocidades =X , chega-se ao vector das
acelerações 8\ 6 apenas por resolução de um sistema linear de equações.
A matriz dos sistemas lineares de equações (15) e (16) são a mesma, e não existindo
constrangimentos dependentes do tempo, a resolução do problema de velocidades é
homogéneo, e o das acelerações é não-homogéneo, desde que as velocidades não sejam iguais
a zero.
7. IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO
Na implementação do método utilizou-se o software comercial MATLAB.
O projecto inicia-se com um menu interactivo, que guia o utilizador.
Para abrir o menu interactivo basta fazer duplo clique sobre o ficheiro menu.fig na current
directory.
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Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Figura 12 Menu inicial
Optou-se por dar liberdade ao utilizador de escolher qual a posição inicial com que
pretende começar o estudo. Desta forma, ao iniciar a aplicação, ser-lhe-á pedido um conjunto
de variáveis, inputs, entre eles os comprimentos dos segmentos anatómicos, os ângulos
relativos entre estes e ainda as velocidades com que as diferentes partes do corpo e o corpo no
geral se movem.
No entanto, não é possível ao utilizador definir mais pontos que os 21 considerados, nem
alterar o tipo de constrangimentos impostos. Inclusive, os constrangimentos de guiamento,
que são 14, estão à partida determinados, com base em combinações lineares de senos e cosenos, implementação esta que pretende mimetizar os movimentos dos membros durante a
marcha.
Os dados recolhidos são guardados em variáveis que em seguida são utilizadas para
construir o vector q (vector das coordenadas naturais, dimensão 42×1), a matriz teta (onde
estão os dados dos constrangimentos de guiamento, 14×2), a matriz tetap (representa as
derivadas dos constrangimentos de guiamento em ordem ao tempo, 14×2) e a matriz tetapp
(contém a informação relativa à segunda derivada dos constrangimentos de guiamento em
ordem ao tempo, 14×2).
Em seguida define-se a matriz dados_const (dimensão 35×10). Esta matriz contém em
cada linha informação sobre o tipo de constrangimento a utilizar entre os dois segmentos em
questão, quais são esses segmentos (tem informação que aponta tanto para a informação
contida em q sobre os pontos que definem os segmentos, como também quais os
comprimentos dos segmentos), qual o ângulo que os segmentos fazem entre si, qual o número
daquele constrangimento (respeita a ordem pela qual é definido na matriz) e ainda se é
constrangimento de guiamento ou não (nesta coluna aparece apenas 0 e 1, respectivamente).
Nos casos em que o constrangimento é de guiamento, a coluna onde está o ângulo que os
segmentos fazem entre si é substituída por apontadores que indicam qual a posição na matriz
18
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
teta onde está definido o constrangimento de guiamento para o ângulo em causa.
De cada vez que se itera o tempo iniciam-se os vectores qp (vector das velocidades), qpp
(vector das acelerações), Phi (vector dos constrangimentos), niu (vector do lado direito das
equações dos constrangimentos de velocidade) e gama (vector do lado direito das equações
dos constrangimentos de aceleração) com todas as entradas a zero.
As matrizes que se alteram a cada iterada no tempo são teta, tetap e tetapp. O método de
Newton-Raphson inicia-se em seguida, começando por se colocar a zeros a matriz JPhi. Esta
matriz é a jacobiana do sistema, que contém as derivadas dos constrangimentos em ordem às
coordenadas. Em seguida é chamada a função avalia_funcao.
Esta função, que recebe entre outros argumentos, a matriz dados_const, vai a cada linha
desta matriz e vê qual o número que está na primeira coluna. Se for 1, chama a função
avaliaprodutointerno, se for 2 chama a função avalia produtoexterno e se for 3 chama a
função avaliaconstrangimentosimples.
Cada um dos três procedimentos, chamados por avalia_funcao, tem como objectivo, em
termos genéricos, actualizar os valores de dq, Phi, Jphi, gama e niu. dq é calculado fazendo
o produto da pseudo-inversa de JPhi por Phi. Esta variável é a que controla o erro, já que
este corresponde à norma de dq. Como Jphi é uma matriz esparsa, a sua inversa fica mal
definida, motivo pelo qual se utiliza a pseudo-inversa e não a divisão à direita.
A convergência do método é controlada por um limiar de erro, tipicamente da ordem de 106
. O ciclo termina quando esta condição for respeitada. Nesta altura são reportados os
resultados graficamente, pela disposição espacial do corpo. São também calculados os valores
de qp e de qpp para cada instante e reportada graficamente a sua evolução em função do
tempo, apenas para o ponto representativo da anca direita. Essa evolução é representada por
gráficos tridimensionais da velocidade e aceleração segundo xx e yy, em relação ao tempo
(eixo dos zz).
A função que auxilia a interface gráfica é a função obter_graficos. Recebe os vectores
qtotal, qptotal e qpptotal. No fim do tempo imposto para o movimento são apresentados
todos os gráficos referentes aos pontos das ancas, joelhos e tornozelos. Nesses gráficos
incluem-se os tridimensionais, que nos eixos dos xx e yy têm as componentes da velocidade e
aceleração segundo esses mesmos eixos, e no eixo dos zz a componente temporal; e ainda os
bidimensionais, que no eixo dos xx apresentam o tempo e no dos yy, a componente segundo
xx ou segundo yy, das posições, velocidades ou acelerações. Para as velocidades e
acelerações foi ainda feita uma representação gráfica da componente de y de cada em função
da respectiva componente x.
É ainda dada ao utilizador a possibilidade de guardar os dados referentes a uma aplicação.
De cada vez que é iniciada a aplicação, é pedido ao utilizador que introduza o nome da pessoa
a quem pertence o conjunto de dados. Todas as variáveis geradas durante o programa são
guardadas num ficheiro .mat, com o título coincidente com o nome introduzido. Se da
próxima vez que o utilizador quiser analisar esse movimento não quiser alterar nenhum dos
dados, não necessita de os voltar a introduzir, podendo apenas pedir para abrir esse ficheiro,
atráves da opção “Utilizar dados guardados” no segundo menu.
19
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Figura 13 Segundo menu
8.
DISCUSSÃO DE RESULTADOS
O movimento considerado é um movimento bastante complexo, pelo que foi necessário
recorrer a simplificações que tornassem possível implementá-lo num modelo a 2-D. O plano
de eleição foi o plano sagital.
Os parâmetros dados inicialmente ao programa foram escolhidos de forma arbitrária,
tendo-se tentado manter alguma coerência entre eles.
Impuseram-se dois tipos de constrangimentos de guiamento, simples e composto. Para a
translação segundo o eixo xx admitiu-se que a variação de posição se faz linearmente no
tempo, com uma velocidade vx, definida pelo utilizador. Já para o eixo dos yy foram
consideradas pequenas variações, descritas por um seno (atenuado por um factor
multiplicativo de 1/10); a frequência de oscilação pode também ser definida pelo utilizador e
caso este não queira que a posição em y varie basta dar o valor zero à velocidade do corpo
segundo y. Relativamente ao conjunto braço+antebraço, tanto esquerdo como direito, e ao
conjunto coxa+perna, tanto esquerdo como direito, foi atribuído um constrangimento simples
da forma A+Bsen(ωt), com o intuito de se aproximar a trajectória descrita por cada um dos
membros. Os parâmetros A e B são calculados de forma independente, para cada um dos
membros, com base nos ângulos que o utilizador fornece. Os restantes constrangimentos
considerados foram constrangimentos compostos, com combinações lineares de senos e
cosenos, com adaptações da expressão genérica A+Bcos(ωt)+Csen(ωt), de forma a tentar
evitar hiperextensões tanto dos cotovelos, como dos joelhos, como também dos tornozelos. O
resultado obtido não foi exactamente o pretendido, já que em determinados instantes os dois
cotovelos se cruzam, ao passarem pela linha do tronco, flectidos, acontecendo o mesmo para
os joelhos. Do ponto de vista qualitativo, os resultados mais próximos da realidade parecem
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Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
ser os obtidos para os pés.
A opção por funções sinusoidais teve dois fundamentos principais. Por um lado, como
estas funções são periódicas, definindo as posições onde se pretende que o elemento esteja,
com base no período da função, garante-se que o movimento seja repetido continuamente,
sem depender explicitamente do tempo, já que o contradomínio da função é limitado. Por
outro lado, uma tentativa de modelar o sistema com funções polinomiais falhou, pois estas
dependem explicitamente do tempo, pelo que quando este aumenta o constrangimento deixa
de modelar o pretendido. Com as sinusóides garante-se um movimento do tipo oscilatório, em
torno do ângulo inicial do segmento, sem qualquer outro tipo de preocupação.
Tal como proposto, foi possível apresentar os resultados da análise cinemática
bidimensional da marcha humana graficamente, tendo sido escolhidos três pontos, que se
consideram mais representativos da marcha. São eles a anca, o joelho e o tornozelo.
Combinando a análise dos constrangimentos com a qualitativa, é possível concluir que os
resultados se encontram de acordo com o esperado, apresentando o modelo criado o ciclo de
marcha que se verifica para a marcha humana normal.
Em termos de deslocamentos, os resultados obtidos para os pontos de eleição encontram-se
na figura seguinte.
Figura 14 Resultados gráficos obtidos para os deslocamentos nos três pontos escolhidos
Na anca, segundo x, a velocidade é constante, o que coincide com o esperado, pois a
posição é linear com o tempo; já a aceleração oscila com uma amplitude da ordem dos 10-16
em torno de zero. Atribuem-se estas pequenas oscilações aos cálculos numéricos e
consideram-se desprezáveis, assumindo-se assim que se obtém o valor zero esperado. A
componente segundo y na anca tem o comportamento sinusóide esperado, pelo que se
21
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
considera que o constrangimento está bem implementado.
Figura 15 Resultados gráficos obtidos para as velocidades e as acelerações na anca
Relativamente aos outros dois pontos analisados, os constrangimentos impostos ao
deslocamento têm por base sinusóides, pelo que se espera o mesmo comportamento das
velocidades e das acelerações.
22
Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
Figura 16 Resultados gráficos obtidos para as velocidades e as acelerações no joelho e no tornozelo,
respectivamente
Verifica-se o comportamento previsto em todos os gráficos. De referir que os gráficos das
velocidades e das acelerações de y em função de x descrevem curvas fechadas. Estes grafos
têm uma trajectória que aproximadamente faz um oito, marcada por quatro segmentos
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Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
fundamentais, que corresponde a intervalos bem definidos no período do movimento. São eles
um aumento de vy para um aumento de vx; uma diminuição de vy para um aumento de vx e
vice-versa. O facto de as curvas serem fechadas prova a ciclicidade imposta ao movimento
pelos guiamentos utilizados.
9.
CONCLUSÃO
Numa tentativa de sistematizar o aprendido ao longo do estudo, pode começar por se
afirmar a relevância da utilização de uma terminologia, a mais adequada possível, à descrição
do movimento. Esta linguagem permite definir, de forma clara e precisa (tanto quanto
possível), as diferentes posições de cada parte do corpo durante o tempo da análise, o que é
muito importante no estudo cinemático.
O software utilizado é uma ferramenta muito importante e com um grande potencial. A sua
interface gráfica permite, com bastante facilidade, incluir não só menus interactivos, que
orientam o utilizador durante a introdução dos inputs e no estudo posterior dos resultados,
como ainda representar graficamente os resultados de forma bastante simples.
Com este trabalho, foi possível tomar consciência, através de toda a análise cinemática
realizada, do quão complexo e perfeito é um movimento humano. São estes pontos que o
tornam difícil de simular computacionalmente.
Ao dar-se liberdade ao utilizador de escolher os parâmetros, o objectivo foi generalizar o
programa, de forma a este poder estudar vários casos. Apesar dos resultados obtidos estarem
concordantes com o esperado, deve uma vez mais ser realçada a impossibilidade de uma
modelação perfeita utilizando estes constrangimentos. Numa análise futura irão ser
construídos constrangimentos de guiamento mais representativos da realidade.
Através da análise do tempo total decorrido na execução do programa, conclui-se que o
método iterativo utilizado é bastante funcional computacionalmente uma vez que converge
muito rapidamente, sendo bastante curto o intervalo temporal entre cada iterada do ciclo que
controla o tempo virtual da análise.
O Modelo dos Corpos Múltiplos é um modelo com grande potencial na simulação de
movimentos. A utilização do método numérico de Newton-Raphson é uma boa escolha na
determinação da posição por análise cinemática, já que os resultados podem ser melhorados,
tanto quanto se quiser, desde que não se aumente o peso computacional exageradamente.
Deve ser ainda ser tido em conta que estudos neste âmbito, com modelos mais complexos e
próximos da realidade, são uma área de estudo importante em Engenharia Biomédica e
revestem-se de toda a utilidade, especialmente ao nível da análise de marchas patológicas e de
reabilitação de doentes.
REFERÊNCIAS
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[2] Saunders, J.B.D.M., Inman, V.T., Eberhart, H.D. The major determinants in normal and
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Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos
pathological gait. J. Bone It. Surg. 35-A:543-558, 1953
[3] Rose J, Gamble JG. Marcha humana. 2.ed. SãoPaulo: Premier; 1993.
[4] Perry J. Gait analysis: normal and pathological function. Thorofare [NJ, USA]: Slack,
1992
[5] Arsenault, A.B., Winter, D.A., Marteniuk, R.G. Is there a “normal” profile of EMG
activity in gait? Med. Biol. Engng. And Comput. 24:337-343, 1986a.
[6] Okamoto, T., Kumamoto, M. Electromyographie study of the learning process of walking
in infants. Electromyogr. Clin. Neurophysiol. 12:149-157, 1972.
[7] Apresentação Power Point, Temas de Fronteira entre Medicina e Engenharia
[8] S. Hall, Basic Biomechanics, 2nd Edition, Mosby, 1995.
[9] K.-U.Schmitt, P.Niederer e F. Walz, Trauma Biomechanics, Springer-Verlag, NY, 2004.
[10] J. Jalón e E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems – The
Real-Time Challenge, Springer-Verlag, NY, 1993.
ANEXOS
Figura 17 Ilustração da representação gráfica num determinado instante de tempo
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