FÍSICA
Prof. Raphael Fracalossi
1. (Ueg 2010) Observe a figura.
Nessa figura, está representada uma máquina hipotética constituída de uma sequência infinita de
engrenagens circulares E1, E2, E3... que tangenciam as retas s e t. Cada engrenagem En tangencia a
próxima engrenagem En+1. Para todo número natural positivo n, Rn e ùn são, respectivamente, o raio e a
velocidade angular do circuito En.
Considerando estas informações e que R1 = 1,0u.
a) Determine Rn em função de n.
b) Mostre que ùn+1 = 3ùn para todo n.
2. (Ufg 2010) O funcionamento de um dispositivo seletor de velocidade consiste em soltar uma esfera de
uma altura h para passar por um dos orifícios superiores (O1, O2, O3, O4) e, sucessivamente, por um dos
orifícios inferiores (P1, P2, P3, P4) conforme ilustrado a seguir.
Os orifícios superiores e inferiores mantêm-se alinhados, e o sistema gira com velocidade angular constante
 . Desprezando a resistência do ar e considerando que a esfera é liberada do repouso, calcule a altura
máxima h para que a esfera atravesse o dispositivo.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O ano de 2010 começou sacudindo o planeta. Nos seus primeiros 19 dias houve terremotos no
Haiti, na Argentina, na Papua Nova Guiné, no Irã, na Guatemala, em El Salvador e no Chile. A fim de medir
a magnitude de um terremoto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a
escala Richter em 1935. Na escala Richter, a magnitude M é dada por M = log(A) − log(A0), em que A é a
amplitude máxima medida pelo sismógrafo e A0 é uma amplitude de referência padrão. Sabe-se também
1
-7
que a energia E, em ergs (1 erg = 10 Joules), liberada em um terremoto está relacionada à sua magnitude
M por meio da expressão log(E) = 11,8 + 1,5M. No caso do terremoto no Chile, a escala Richter registrou
8,8 graus, enquanto no terremoto no Haiti a mesma escala mediu 7,0 graus. Como foi amplamente
divulgado na mídia, suspeita-se que o eixo terrestre tenha sofrido uma variação angular de 2 milésimos de
segundo de arco provocada pelo tremor de 9,0 graus na escala Richter, o que causou o devastador
tsunami. Terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra, e ao contrário de um gás, a Terra pode
experimentar tanto ondas transversais (T) como longitudinais (L).
Tipicamente, a velocidade das ondas transversais é de cerca de 5,0 km/s e a das ondas longitudinais de
8,0 km/s (um sismógrafo registra ondas T e L de um terremoto). As primeiras ondas T chegam 3 minutos
antes das primeiras ondas L.
3. (Ueg 2010) Responda aos itens a seguir:
a) Com a suposta variação angular que o eixo terrestre tenha sofrido, determine qual foi o deslocamento
de um ponto no polo terrestre.
b) Discorra sobre as possíveis implicações da mudança do eixo da Terra em relação ao plano da sua
órbita ao redor do Sol em relação a alterações nas quatro estações climáticas do ano.
4. (Ufg 2009) Sabe-se que a razão entre o período da Terra (T T) e o mercúrio (TM), em torno do Sol, é da
ordem de 4. Considere que os planetas Terra e Mercúrio estão em órbitas circulares em torno do Sol,
em um mesmo plano. Nessas condições,
a) qual é, em meses, o tempo mínimo entre dois alinhamentos consecutivos desses dois planetas
com Sol?
b) Qual é, em graus, o ângulo que a Terra terá percorrido nesse intervalo de tempo?
5. (Ufscar 2008) Diante da maravilhosa visão, aquele cãozinho observava atentamente o balé galináceo.
Na máquina, um motor de rotação constante gira uma rosca sem fim (grande parafuso sem cabeça),
que por sua vez se conecta a engrenagens fixas nos espetos, resultando, assim, no giro coletivo de
todos os franguinhos.
a) Sabendo que cada frango dá uma volta completa a cada meio minuto, determine a frequência de
rotação de um espeto, em Hz.
b) A engrenagem fixa ao espeto e a rosca sem fim ligada ao motor têm diâmetros respectivamente iguais a
8 cm e 2 cm. Determine a relação entre a velocidade angular do motor e a velocidade angular do espeto
(ùmotor/ùespeto).
6. (Fuvest 2003) Um avião voa horizontalmente sobre o mar com velocidade V constante (a ser
determinada). Um passageiro, sentado próximo ao centro de massa do avião, observa que a superfície
do suco de laranja, que está em um copo sobre a bandeja fixa ao seu assento, permanece paralela ao
plano da bandeja. Estando junto à janela, e olhando numa direção perpendicular à da trajetória do
avião, o passageiro nota que a ponta da asa esquerda do avião tangencia a linha do horizonte, como
°
mostra a figura A. O piloto anuncia que, devido a um problema técnico, o avião fará uma curva de 180
para retornar ao ponto de partida. Durante a curva, o avião se inclina para a esquerda, de um ângulo
°
θ=30 , sem que haja alterações no módulo de sua velocidade e na sua altura. O passageiro, olhando
sempre na direção perpendicular à da velocidade do avião, observa que a ponta da asa esquerda
permanece durante toda a curva apontando para um pequeno rochedo que aflora do mar, como
representado na figura B. O passageiro também nota que a superfície do suco permaneceu paralela à
bandeja, e que o avião percorreu a trajetória semicircular de raio R (a ser determinado), em 90s.
2
Percebe, então, que com suas observações, e alguns conhecimentos de Física que adquiriu no Ensino
Médio, pode estimar a altura e a velocidade do avião.
NOTE/ADOTE.
°
°
°
 =3; sen30 =0,5; cos30 =0,86; tg30 =0,6=1/1,7
-2
Aceleração da gravidade: g = 10m.s
As distâncias envolvidas no problema são grandes em relação às dimensões do avião.
a) Encontre uma relação entre V, R, g e θ, para a situação descrita.
b) Estime o valor da velocidade V do avião, em km/h ou m/s.
c) Estime o valor da altura H, acima do nível do mar, em metros, em que o avião estava voando.
GABARITO:
Resposta da questão 1:
a) Analisemos a figura acima. Façamos relações trigonométricas para cada uma das engrenagens até
obtermos uma lei matemática de formação.
R
1 R
sen 30° = 1   1 
r
2
r
r  2R1
sen 30° =
R2 
R2
R2
1
 
 2R2  R1  R2  3R2  R1  R1 = 3R2 . Então:
r  R1  R2
2 2R1  R1  R2
1
R1
3
R3
R3
R3
1
1
 
 
 2R3 = R2 – R3  3R3 = R2 
r  R1  2R2  R3
2 2R1  R1  2R2  R3
2 3R2  2R2  R3
R2 = 3R3. Então:
sen 30° =
R3 =
1
R2
3
Continuando obteremos: R4 =
1
1
1
R3 ; R5 = R 4 ... Rn+1 = Rn .
3
3
3
3
2
3
1 1  1
1
 1
Como R1 = 1  R2 =  R3 =      R4 =   . Assim:
3 3 3
3
3
 1
Rn =  
3
n 1
.
b) Como o acoplamento é tangencial, todas as engrenagens têm mesma velocidade linear (v). Assim:
vn + 1 = vn. Lembrando que v = R, vem:
1
n + 1 (Rn + 1) = n (Rn)  n + 1 Rn = n Rn 
3
n + 1 = 3n.
Resposta da questão 2:
Seja v a velocidade da esfera ao atingir um orifício superior. Aplicando Torricelli:
v 2  v 02  2 g h .
Como a velocidade inicial é nula:
2
v = 2 g h = (I)
A altura máxima h é aquela que faz com que a esfera atravesse o dispositivo percorrendo a altura
H no menor intervalo de tempo, correspondente ao tempo para o cilindro dar ¼ de volta, ou seja, o tempo é
¼ do período de rotação do dispositivo. Assim:
T
t  .
4
2
Mas: T =
.

2

 t 
Então: t 
.
4
2
Aplicando a equação do espaço para o percurso H, temos:
2
   g  
 H  v
 
 
 2  2  2 
g 2
2
g 2 2 
  
v
 H
H
 v


2
2 4

2 4 2 
 2 
H  v t 
g
2
 t 
2
2
 
 2
v2  
H
g (II).

4
 

Igualando (I) e (II), vem:
2
 
 2
H
g 
2gh =
4 
 
h=
1  2
 
H
g
2 g  
4 
2
Resposta da questão 3:
a) I. Devemos primeiramente estimar o valor dessa variação angular em graus. Para tal, note que:
II. Cada grau possui 60 minutos de arco;
III. Cada minuto de arco, possui 60 segundos de arco;
IV. Portanto, um grau possui 60 x 60 = 3.600 segundos de arco.
V. Se o eixo terrestre girou cerca de 2 milésimos de segundo de arco ou seja, 2/1.000 de 1/3.600 de grau,
o que corresponde a 2/3.600.000 de grau, ou seja, 1/1.800.000 de grau.
Consideremos o seguinte esquema comparativo:
4
Como d<<R, podemos usar relações trigonométricas. Assim,
d
1


sen(α ) 
 d  Rsen(α )  d  6.400.000sen 
 d  6cm
RR
 1.800.000 
b) É a inclinação do eixo da Terra em relação ao plano da sua órbita ao redor do sol que determina a
quantidade de irradiação solar nos hemisférios norte e sul do planeta e, com isso, provoca as quatro
estações climáticas do ano.
Note que neste caso, o valor do deslocamento d calculado é muito pequeno comparado ao raio da Terra,
sendo, portanto, imperceptível. Se o eixo mudar bastante de posição, isso terá efeitos drásticos sobre o
clima do planeta, além de mudar aquilo que se pode ver no céu noturno em diferentes pontos do globo
terrestre.
Resposta da questão 4:
a) Dado: Sendo TM e TT os períodos de translação de Mercúrio e da Terra, respectivamente, temos
TM
= 4.
TT
Podemos resolver essa questão de duas maneiras, pelo menos: uma apelando para um raciocínio mais
dedutivo (“na raça”) e outra de uma forma mais técnica, usando as equações já definidas para o movimento
circular. Vejamos as duas maneiras:
360
 30 a cada
12
mês. Já, Mercúrio gira 4 vezes mais rápido, girando então 120° a cada mês. Assim Mercúrio a cada mês
gira 90° a mais que a Terra. Ora, ocorrido um alinhamento, o próximo ocorrerá quando Mercúrio estiver
180° à frente, ou seja:
180
t =
= 2 meses.
90
A figura ilustra dois alinhamentos consecutivos: o primeiro com os dois planetas posicionados do mesmo
lado em relação ao Sol, e o próximo, com o Sol entre eles. Os índices indicam as posições dos planetas a
cada mês, após o alinhamento inicial (t = 0) nas posições M0 e T0.
1ª) O período de translação da Terra é 12 meses. Ou seja, a Terra gira em sua órbita
2ª) Ocorrido um alinhamento, o próximo ocorrerá quando Mercúrio der meia volta ( rad) a mais que a
Terra, ou seja:
2
M – T = . Lembrando que  =  t e que  =
, vem:
T
2
2
t 
t   . Considerando que o período de translação da Terra é TT = 12 meses, o período de
TM
TT
Mercúrio é, então,
12
 3 meses. Cancelando  e substituindo esses valores, temos:
4
5
82
12
2 2 
 3  12  t  1  12 t  1  t  6 


t = 2 meses.
b) T = T t  T =
2
4 
(2) 
  60 .
12
12 3
Resposta da questão 5:
a) Frequência é o número de voltas na unidade de tempo
N
1 volta
1
f


Hz
t 30 segundos 30
b) Este acoplamento é o mesmo da figura abaixo.
O ponto de contato entre as engrenagens tem a mesma velocidade linear.
Vmotor  Vespeto  mRm  eRe  m  2  e  8 
Resposta da questão 6:
2
a) tgθ = | RC | / | P | = (mv /R)/mg
2
tgθ = v /Rg
2
2
 2π 
 .R/g =
 T 
b) tgθ = mω R/mg = 
=
4π 2
180 2
. R/10 = 0,6
R = 5400m
6
m
4
e
Como v = ωR =
2π
3
.R=2.
. 5400, então v=180m/s
T
180
c) tg 30 = H/R  H = R . tg 30 = 5400 . 0,6
H = 3240m ≈ 3200m
°
°
7