Professor
Disciplina
Lista nº
Bruno/Victor
Matemática
08
Assuntos
Exponencial
1. (Uerj 2014) Em um recipiente com a forma
de um paralelepípedo retângulo com 40cm de
comprimento, 25cm de largura e 20cm de
altura, foram depositadas, em etapas, pequenas
esferas, cada uma com volume igual a 0,5cm3 .
Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na
segunda, duas; na terceira, quatro; e assim
sucessivamente, dobrando-se o número de
esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o
espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210  1000, o menor número de
etapas necessárias para que o volume total de
esferas seja maior do que o volume do recipiente
é:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
2. (Uerj 2013) Um imóvel perde 36% do valor
de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse
imóvel em t anos pode ser obtido por meio da
fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu
valor atual.
t
V t   V0   0,64  2
Admitindo que o valor de venda atual do
imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor
de venda daqui a três anos.
3. (Enem PPL 2013) Um trabalhador possui um
cartão de crédito que, em determinado mês,
apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento
do cartão, mas não contém parcelamentos a
acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo
mês, o trabalhador é demitido. Durante o período
de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o
cartão de crédito e também não tem como pagar
as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo
sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros
e encargos por conta do não pagamento da
dívida. Ao conseguir um novo emprego, já
completados 6 meses de não pagamento das
faturas, o trabalhador procura renegociar sua
dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo
devedor.
Com base no gráfico, podemos constatar que o
saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e
a taxa de juros são
a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês.
b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês.
c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês.
d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao
mês.
e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.
4. (Enem PPL 2013) Em um experimento, uma
cultura de bactérias tem sua população reduzida
pela metade a cada hora, devido à ação de um
agente bactericida.
Neste experimento, o número de bactérias em
função do tempo pode ser modelado por uma
função do tipo
a) afim.
b) seno.
c) cosseno.
d) logarítmica crescente.
e) exponencial.
5. (Uerj 2013) Considere uma folha de papel
retangular que foi dobrada ao meio, resultando
em duas partes, cada uma com metade da área
inicial da folha, conforme as ilustrações.
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Esse procedimento de dobradura pode ser
repetido n vezes, até resultar em partes com
áreas inferiores a 0,0001% da área inicial da
folha.
Calcule o menor valor de n. Se necessário,
utilize em seus cálculos os dados da tabela.
x
9
10
11
12
2x
102,70
103,01
103,32
103,63
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A população mundial está ficando mais velha, os
índices de natalidade diminuíram e a expectativa
de vida aumentou. No gráfico seguinte, são
apresentados dados obtidos por pesquisa
realizada pela Organização das Nações Unidas
(ONU), a respeito da quantidade de pessoas com
60 anos ou mais em todo o mundo. Os números
da coluna da direita representam as faixas
percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95
milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos
países desenvolvidos, número entre 10% e 15%
da população total nos países desenvolvidos.
6. (Enem 2009) Suponha que o modelo
exponencial y = 363 e0,03x, em que x = 0
corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao
ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a
população em milhões de habitantes no ano x,
seja usado para estimar essa população com 60
anos ou mais de idade nos países em
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse
modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a
população com 60 anos ou mais estará, em 2030,
entre
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Para analisar o crescimento de uma bactéria,
foram inoculadas 1 × 103 células a um
determinado volume de meio de cultura
apropriado. Em seguida, durante 10 horas, em
intervalos de 1 hora, era medido o número total
de bactérias nessa cultura. Os resultados da
pesquisa estão mostrados no gráfico a seguir.
No gráfico da figura 1, o tempo 0 corresponde ao
momento do inóculo bacteriano.
Observe que a quantidade de bactérias presentes
no meio, medida a cada hora, segue uma
progressão geométrica até 5 horas, inclusive.
7. (Uerj 2008)
Após 10 horas de crescimento, 1 × 103 bactérias
vivas foram imediatamente transferidas para um
novo meio de cultura, de composição e volume
idênticos aos do experimento inicial.
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No gráfico da figura 2, uma das curvas
representa o crescimento bacteriano nesse novo
meio durante um período de 5 horas.
A curva compatível com o resultado do novo
experimento é a identificada por:
a) W
b) X
c) Y
d) Z
9. (Enem 2007) A duração do efeito de alguns
fármacos está relacionada à sua meia-vida,
tempo necessário para que a quantidade original
do fármaco no organismo se reduza à metade. A
cada intervalo de tempo correspondente a uma
meia-vida, a quantidade de fármaco existente no
organismo no final do intervalo é igual a 50% da
quantidade no início desse intervalo.
8. (Uerj 2007) Em 1772, o astrônomo Johann
Elert Bode, considerando os planetas então
conhecidos, tabelou as medidas das distâncias
desses planetas até o Sol.
A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu a
expressão a seguir, com a qual se poderia
calcular, em unidades astronômicas, o valor
aproximado dessas distâncias:
3 . 2
n 2
 4

10
Atualmente, Netuno é o planeta para o qual n =
9, e a medida de sua distância até o Sol é igual a
30 unidades astronômicas. A diferença entre este
valor e aquele calculado pela expressão de Bode
é igual a d.
O valor percentual de | d | , em relação a 30
unidades astronômicas, é aproximadamente igual
a:
a) 29%
b) 32%
c) 35%
d) 38%
O gráfico anterior representa, de forma
genérica, o que acontece com a quantidade de
fármaco no organismo humano ao longo do
tempo.
F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia
Clínica.
Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1
hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for
injetada às 12 h em um paciente, o percentual
dessa dose que restará em seu organismo às
13 h 30min será aproximadamente de
a) 10%.
b) 15%.
c) 25%.
d) 35%.
e) 50%.
10. (Uerj 2004) Segundo a lei do resfriamento
de Newton, a temperatura T de um corpo
colocado num ambiente cuja temperatura é T0
obedece à seguinte relação:
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Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o
tempo medido em horas, a partir do instante em
que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c
são constantes a serem determinadas. Considere
uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C,
colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte
minutos depois, a temperatura do café passa a ser
de 40°C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos
após a xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando ℓn 2 = 0,7 e ℓn 3 = 1,1,
estabeleça o tempo aproximado em que, depois
de a xícara ter sido colocada na sala, a
temperatura do café se reduziu à metade.
11. (Uerj 2003) A inflação anual de um país
decresceu no período de sete anos. Esse
fenômeno pode ser representado por uma função
exponencial do tipo f(x) = a.bx, conforme o
gráfico a seguir.
Considere as estimativas corretas e que t = 0
refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000.
12. (Uerj 2001) Calcule o número de eleitores
dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2000.
13. (Uerj 2001) Mostre que, em 1 de outubro de
2000, a razão entre os números de eleitores de A
e B era maior que 1.
14. (Uerj 2001) Determine em quantos meses os
candidatos terão o mesmo número de eleitores.
15. (Uerj 1999) Pelos programas de controle de
tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R
depende do tempo t, em anos, do seguinte modo
R=R0 e-yt em que R0 é o risco de infecção no
início da contagem do tempo t e y é o coeficiente
de declínio.
O risco de infecção atual em Salvador foi
estimado em 2%. Suponha que, com a
implantação de um programa nesta cidade, fosse
obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto
é, y=10%.
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
Determine a taxa de inflação desse país no
quarto ano de declínio.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 3
QUESTÕES:
Em um município, após uma pesquisa de
opinião, constatou-se que o número de eleitores
dos candidatos A e B variava em função do
tempo t, em anos, de acordo com as seguintes
funções:
A(t) = 2.105(1,6)
O tempo, em anos, para que o risco de infecção
se torne igual a 0,2%, é de:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
B(t) = 4.105(0,4)
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Resposta
da
questão
5:
A área A(n) de cada parte, após n dobraduras, é
dada por
GABARITO :
Resposta da questão 1:
[B]
A(n)  A0  2n,
Como o número de esferas acrescentadas a cada
etapa cresce segundo uma progressão geométrica
de razão 2, segue que, após n etapas, o volume
ocupado pelas esferas é igual a 0,5  1
n
2 1
. Daí,
2 1
o número de etapas necessárias para que o
volume total de esferas seja maior do que o
volume do recipiente é tal que
0,5  1
2n  1
 40  25  20  2n  40  1000  1
2 1
 2n  40  210  1.
Como 25  40  26 , segue que n  16.
Resposta
da
questão
2:
Sabendo que V0  50000, temos que o valor de
venda daqui a três anos é igual a
V(3) 
3
50000  [(0,8)2 ] 2
 50000 
512
 R$ 25.600,00.
1000
Resposta da questão 3:
[C]
Do gráfico, tem-se que o saldo devedor inicial é
R$ 500,00. Além disso, como a capitalização é
composta, podemos concluir que a parcela
mensal de juros é variável. Finalmente, supondo
uma taxa de juros constante e igual a 10% ao
mês, teríamos, ao final de 6 meses, um saldo
devedor igual a 500  (1,1)6  R$ 885,78. Portanto,
comparando esse resultado com o gráfico,
podemos afirmar que a taxa de juros mensal é
superior a 10%.
com A 0 sendo a área inicial da folha.
O
menor
valor de n
A(n)  0,0001%  A0 é tal que
para
o
qual
A 0  2n  0,0001%  A 0  2n  106
 2n  106.
Considerando as aproximações fornecidas na
tabela, obtemos
219  210  29  103,01  102,70  105,71  106
e
220  (210 )2  (103,01)2  106,02  106.
Portanto, o menor valor de n que satisfaz a
condição do enunciado é 20.
Resposta da questão 6:
[E]
y = 363.e0,03.30  y = 363.e0,9  y =
363. ( e 0,3 ) 3  y = 363.(1,35)3  893 (870 < 893
< 910)
Resposta da questão 7:
[B]
Resposta da questão 8:
[A]
Resposta da questão 9:
[D]
Resposta da questão 4:
[E]
De 12 h às 13 h 30min temos 1,5 meias-vidas.
Assim, do gráfico podemos concluir que às
13 h 30min o percentual da dose que restará no
organismo é aproximadamente 35%.
O número de bactérias N(t), em função do tempo
t, em horas, pode ser modelado por uma função
do tipo N(t)  N0  2t , com N0 sendo a população
inicial. A função N é exponencial.
Resposta da questão 10:
a) 22,5 °C
b) aproximadamente 15 min
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Resposta da questão 11:
taxa de inflação = 60%
Resposta da questão 12:
Candidato A = 200.000 eleitores
Candidato B = 400.000 eleitores
Resposta da questão 13:
Observe a demonstração a seguir:
Resposta da questão 14:
6 meses
Resposta da questão 15:
[C]
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