MVO-30/AB-103 Estabilidade e Controle de
Aeronaves 2013
(carga horária: 64 horas)
Flávio Silvestre
Departamento de Mecânica do Voo
Divisão de Engenharia Aeronáutica
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
2013
Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
PARTE VII
Projeto de Sistemas de Controle
Flávio Silvestre
MVO-30/AB-103
Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
Já estudamos:
◮
◮
◮
◮
a dinâmica da aeronave: longitudinal e completa
simulação numérica, não-linear, para perturbações do estado bem
como para atuação nas variáveis de controle
linearização em torno de uma condição de operação
estabilidade estática e dinâmica, dos modos dos movimentos
longitudinal e látero-direcional
Flávio Silvestre
MVO-30/AB-103
Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
Desafios:
◮
◮
◮
◮
melhorar as qualidades de voo da aeronave para determinados
pontos do envelope: mudar a geometria? alterar caracterı́sticas
aerodinâmicas? Talvez o projeto já esteja em fases avançadas para
tal
expansão do envelope de voo
auxiliar o piloto na realização de manobras
realizar missões de forma autônoma
CONTROLE AUTOMÁTICO
Flávio Silvestre
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
Classificação usual dos sistemas de controle:
◮
SAS (Stability Augmentation System): melhorar as caracterı́sticas
da resposta autônoma
◮
CAS (Control Augmentation System): auxı́lio ao piloto na
realização de manobras (ex: rastreio de fator de carga)
◮
Piloto automático: substituição do piloto na realização de missões
(ex: manutenção de velocidade e altitude de cruzeiro;
arredondamento automático durante a aterrissagem; realização de
trajetória através de pontos especificados)
Flávio Silvestre
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
De que forma?
entrada:
p.ex. que define
a manobra a ser
executada
comparação
ação de
controle
comandos
u
X=AX+Bu
saída:
parâmetro a ser observado /
medido, que permite, p. ex.,
verificar a realização
da manobra
Y=CX+Du
Flávio Silvestre
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
Yaw-damper do XB-47 (1950): controle do leme pela realimentação da
taxa de guinada
Roland J. White, “Investigation of Lateral Dynamic Stability in the
retirado de http://en.wikipedia.org/wiki/Boeing B-47 Stratojet
XB-47 Airplane”, Journal of the Aeronautical Sciences (Institute of
the Aeronautical Sciences), Vol. 17, No. 3 (1950), pp. 133-148.
Flávio Silvestre
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
William H. Cook (1991) reports a similar reaction from an MIT professor,
unhappy that an “artificial” solution had been used on the B-47 to solve
an aerodynamic stability problem. Of course, there is a perfectly sound
aerodynamic reason why yaw stability augmentation is needed on jet airplanes and is not an evidence of poor design. Approximately, Dutch roll
damping ratio is directly proportional to atmospheric density. An airplane
with a satisfactory damping ratio of 0.3 atsea level will have a damping
ratio of only 0.06 at an altitude of 45,000feet.
retirado de Abzug, M. J., Larrabee, E. E., “Airplane Stability and Control”, 2nd Ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2002. (pg.
306)
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Introdução
Roteiro para o projeto:
◮
conhecimento da planta (aeronave, atuadores): sistema linearizado
◮
definição do objetivo do sistema
escolha da arquitetura:
◮
◮
◮
◮
◮
◮
parâmetros que serão medidos (ângulo de ataque, taxa de arfagem,
etc), equação de saı́da
comandos utilizados (profundor, manete, etc)
escolha de compensador (proporcional, PI, PD, avanço/atraso de
fase, etc)
cálculo dos ganhos e parâmetros do compensador (técnicas de
controle clássico / moderno)
validação do projeto: simulação não-linear
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
◮
usa sensores para a medição das velocidades angulares da aeronave
◮
transformadas e realimentadas através da atuação das superfı́cies de
controle
◮
cria um momento aerodinâmico proporcial às velocidades angulares
produz efeito de amortecimento
em caso de instabilidade / necessidade de modificar amortecimento
e frequência independentemente, realimentações adicionais são
necessárias
◮
◮
◮
SAS’s para dinâmicas longitudinal e látero-direcional projetados
normalmente em separado: fraco acoplamento
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Exemplo: estabilidade relaxada
MD-11
Aeronaves com margem estática reduzida podem apresentar vantagens:
◮
◮
◮
menor arrasto de
compensação: economia
de combustı́vel
maiores coeficientes de
sustentação
menores deflexões das
superfı́cies de comando
para manobras
B747
Economia de combustível reduzindo arrasto de
compensação: redução da margem estática em voo,
bombando combustível para a empenagem horizontal.
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Aproximação de perı́odo curto: xpc =
[ q α ]T
ẋpc = Apc xpc + Bpc δp
Caracterı́sticas de resposta do sistema (QdV): autovalores de Apc .
Pergunta: caracterı́sticas aceitáveis?
Em caso negativo, serão modificadas
através de realimentação para o comando do profundor.
Desejado: ωn ≈ 3rad /s (0.48Hz ) e
ξ ≈ 0.7
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Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Airbus A300 operando em 10km a
200m/s: (DEG)
ẋpc =
−0.5959
0.9922
+
−1.4541
−0.5160
−1.0371
−0.0160
xpc
δp
damp(Apc) fornece:
ωn = 1.32rad/s
ξ = 0.42
Desejado: ωn ≈ 3rad /s (0.48Hz ) e
ξ ≈ 0.7
Flávio Silvestre
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
piloto
u
+-
atuador
dp
Xpc= Apc Xpc + Bpc dp
Y
Xpc
C
K
Controle clássico: ajuste de ganhos através do Lugar das Raı́zes.
◮
método gráfico para determinar a localização dos pólos de malha
fechada a partir da localização dos pólos e zeros de malha aberta,
como função de K
◮
determinação de assı́ntotas, ramificações, ganhos para raı́zes no eixo
imaginário (Routh-Hurwitz), etc...
facilmente determinado em MATLAB com o comando rlocus
◮
Flávio Silvestre
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Efeitos da realimentação de α e q:
% q feedback
C=[1 0];
D=0;
sysq=ss(Apc,Bpc,C,D);
k=-logspace(-2,1,2000);
figure;rlocus(sysq,k);
Flávio Silvestre
% alpha feedback
C=[0 1];
D=0;
sysa=ss(Ac,Bc,C,D);
k=-logspace(-2,1,2000);
figure;rlocus(sysa,k);
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Root Locus
0.64
0.48
0.32
Imaginary Axis
System: sysq
0.94
Gain: 1.24
Pole: −1.2 + 0.975i
Damping: 0.776
0.5
Overshoot (%): 2.11
0.985
Frequency (rad/sec): 1.54
0
2
1.75
1.5
Root Locus
0.16
3.5
0.58
System: sysq
Gain: 0.01
Pole: −0.561 + 1.2i
Damping: 0.424
Overshoot (%): 23
Frequency (rad/sec): 1.32
1
1.25
1
0.75
0.5
2
0.25
0.985
System: sysa
Gain: 5.51
Pole: −0.6 + 2.67i
Damping: 0.22
Overshoot (%): 49.3
Frequency (rad/sec): 2.73
0.76
1 0.92
0
−1 0.92
0.15
0.07
3
α feedback
2
1.5
1
System: sysa
Gain: 0.01 0.5
Pole: −0.556 + 1.2i
Damping: 0.419
Overshoot (%): 23.5
Frequency (rad/sec): 1.33
0.5
1
1.5
−2
−1
◮
0.24
q feedback
0.94
−2
0.34
2.5
−0.5
0.86
0.46
3
Imaginary Axis
0.76
0.86
2
0.76
2.5
0.76
−1.5
0.64
0.48
−1
Real Axis
0.32
−0.5
0.16
−3
0
0.58
0.5
−2.5
melhora amortecimento, porém
pouca alteração na frequência
Flávio Silvestre
◮
0.46
−2
0.34
−1.5
−1
Real Axis
0.24
0.15
−0.5
0.07
3
3.5
0
grande alteração na frequência
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Parece interessante a realimentação de ambos para conseguir os polos
desejados. Problemas associados:
◮
realimentação de α:
◮
◮
◮
◮
pode ser obtido por um sistema Pitot-estático ou por uma wind vane
sinal contaminado por ruı́do
necessidade de cálculo em tempo real do α real a partir do α indicado
realimentação de q:
◮
◮
◮
posicionamento do girômetro deve ser cuidadosamente analisado
ruı́do e presença de modos estruturais
uso de filtros
Flávio Silvestre
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Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Alocação de polos:
◮
realimentação de estado, e cálculo dos ganhos para polos desejados
p
ωn = 3rad /s ⇒
p
=
−ξω
±
i
ω
1 − ξ 2 = −2.1 ± 2.14i
d
n
n
ξ = 0.7
Comando place do MATLAB determina os ganhos para a alocação:
% q and alpha feedback (pole placement)
wn_d=3; % desired wn
xi_d=0.7; % desired xi
p_d=[-xi_d*wn_d+i*wn_d*sqrt(1-xi_d^2);
-xi_d*wn_d-i*wn_d*sqrt(1-xi_d^2)];
k=place(Ac,Bc,p_d)
kq = −2.8919rad /(rad /s) e kα = −5.5557rad /(rad )
Flávio Silvestre
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Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Pitch SAS: response to initial 1DEG α
1
q only
α only
state feedback
0.5
q [DEG/s]
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
2
4
6
Time [s]
Flávio Silvestre
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8
10
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
% initial response:
% q feedback
ka=0;kq=-1.24;
k=[kq ka];
sys1=ss(Apc-Bpc*k,Bpc,[1 0],0);
X0=[0;10*pi/180];
[Y1,T1]=initial(sys1,X0,10);
% alpha feedback
ka=-5.51;kq=0;
k=[kq ka];
sys2=ss(Apc-Bpc*k,Bc,[1 0],0);
X0=[0;10*pi/180];
[Y2,T2]=initial(sys2,X0,10);
Flávio Silvestre
% state feedback
ka=-5.55;kq=-2.89;
k=[kq ka];
sys3=ss(Apc-Bpc*k,Bpc,[1 0],0);
X0=[0;10*pi/180];
[Y3,T3]=initial(sys3,X0,10);
% plotting results
figure
plot(T1,Y1*180/pi,‘k.’,T2,Y2*180/pi,‘r’,T3,Y3*180/pi,‘b-’)
xlabel(‘Time [s]’);ylabel(‘q
[DEG/s]’)
legend(‘q only’,‘alpha only’,‘state
feedback’)
title(‘Pitch SAS: response to
initial 10DEG alpha’)
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Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Atuador:
up
u
−
atuador
δp
Ẋpc = Apc Xpc + Bpc δp
Y = CXpc
Y
uc
K
O atuador pode ser modelado como um filtro de atraso, cuja função de
1
.
transferência é: Ga (s) = τa s+1
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Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Step response
1.4
τ=1/5s
τ=1/10s
τ=1/20s
1.2
δp [DEG]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
Flávio Silvestre
1
Time [s]
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1.5
2
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Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
% comparing different filters
tau=[1/5;1/10;1/20];
figure;hold on
for j=1:3
num=[0 1];
den=[tau(j) 1];
sys=tf(num,den);
[Y,T]=step(sys,2);
plot(T,Y);
end
xlabel(’Time [s]’);
ylabel(’\delta_p [DEG]’);
title(’Step response’);
legend(’\tau=1/5s’,’\tau=1/10s’,’\tau=1/20s’)
grid on
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Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Para Ga (s) =
1
τa s+1 :
δ̇p (t) = −
1
1
δp + u
τa
τa
Incluindo o modelo do atuador na planta do perı́odo curto:
d
Apc Bpc
02×1
Xpc
Xpc
=
+
u
1
01×2 − τ1a
δp
δp
dt
τa
A equação de saı́da também se altera:
Y =
C
Flávio Silvestre
0
Xpc
δp
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Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
Pitch SAS: response to initial 1DEG α
0.5
q [DEG/s]
0
−0.5
Ga(s)=1
−1
Ga(s)=1/(τa s + 1)
−1.5
0
2
4
6
8
10
Time [s]
6
G (s)=1
a
G (s)=1/(τ s + 1)
a
a
2
p
δ [DEG]
4
0
−2
0
2
4
6
Time [s]
Flávio Silvestre
MVO-30/AB-103
8
10
Introdução
Sistemas de Aumento de Estabilidade
Definição
Exemplo: estabilidade relaxada
SAS em arfagem
Sistemas de Aumento de Estabilidade
SAS em arfagem
ka=-5.55;kq=-2.89;
k=[kq ka];
sys3=ss(Ac-Bc*k,Bc,[1 0;0 1],[0;0]);
X0=[0;1*pi/180];
[Y3,T3]=initial(sys3,X0,10);
tau_a=1/10;
At=[Ac Bc; zeros(1,2) -1/tau_a];
Bt=[zeros(2,1);1/tau_a];
Ct=[eye(2) zeros(2,1)];
sys4=ss(At-Bt*k*Ct,Bt,[1 0 0;0 0 1],[0;0]);
X0=[0;1*pi/180;0];
[Y4,T4]=initial(sys4,X0,10);
figure
subplot(2,1,1); plot(T3,Y3(:,1)*180/pi,’b-’,T4,Y4(:,1)*180/pi,’b--’)
title(’Pitch SAS: response to initial 1DEG \alpha’)
xlabel(’Time [s]’);ylabel(’q [DEG/s]’)
legend(’G_a(s)=1’,’G_a(s)=1/(\tau_a s + 1)’)
subplot(2,1,2); plot(T3,(-kq*Y3(:,1)-ka*Y3(:,2))*180/pi,’b-’,T4,Y4(:,2)*180/pi,’b--’)
xlabel(’Time [s]’);ylabel(’\delta_p [DEG]’)
legend(’G_a(s)=1’,’G_a(s)=1/(\tau_a s + 1)’)
grid on
Flávio Silvestre
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