Aula 3
OS TRANSITÒRIOS DAS REDES ELÉTRICAS
Prof. José Roberto Marques (direitos reservados)
A ENERGIA DAS REDES ELÉTRICAS
A transformação da energia de um sistema de uma forma para outra,
dificilmente ocorre de forma abrupta, embora ocorram casos em que o tempo
de transformação é muito pequeno. A conversão da energia de uma forma
para outra, geralmente é precedida de distúrbio transitório decorrente da
redistribuição das energias no sistema sob a ação de transformação.
Nos sistemas elétricos os casos mais simples ocorrem no circuitos RL e RC e
RLC em série, onde as lei de conservação da energia permite escrever:
Para ocaso simples de um circuito RL sob ação de tensão CC podemos
escrever utilizando a lei das malhas de Kirchhoff e o produto de potência:
Esta expressão permite identificar claramente que durante o transitório a
parcela
corresponde a energia dissipada por efeito joule no circuito,
enquanto que a parcela
corresponde a energia que está
sendo armazenada no indutor. Após a acomodação do circuito, ou seja, após o
circuito entrar em regime permanente com o fim do distúrbio transitório o
indutor deixa de afetar o circuito (no caso de CC) e apenas o resistor tem
efeito no que consideramos operação em regime permanente.
A modelagem matemática do circuito permite a determinação dos efeitos do
distúrbio transitório e seus efeitos e devido ao comportamento dos vários
elementos do circuito elétrico, esta modelagem é feita utilizando equações
diferenciais, as quais tem solução na forma padrão para os casos mais
simples.
Na maior parte dos problemas práticos, tanto a modelagem dos circuitos como
sua solução são bastante complexas, o que nos leva a adotar modelos
simplificados, que mesmo assim tem somente tem solução numérica com o
auxílio de simulações computacionais. Em geral as soluções podem ser obtidas
por:
a) Utilização da matemática formal em casos suficientemente simples onde
os parâmetros R, L e C são considerados lineares.
b) Simplificação considerando certos termos desprezíveis.
c) Solução gráfica ou numérica utilizando cálculos ponto a ponto.
d) Simulação utilizando computadores.
Conceitos básicos sobre equações diferenciais
AS formas mais básicas de equações diferenciais com coeficientes constantes
são:
Equação diferencial de primeira ordem.
Onde a é uma constante e a solução obtida por integração é:
Onde a constante de integração k é obtida pelo conhecimento das condições
inicial do sistema. A solução geral do sistema pode ser realizada utilizando a
técnica do operador linear
, de forma que a equação original tenha a
forma
. Como D é o expoente da
expressão exponencial do resultado, a solução tem a forma
.
O caso mais geral de equação diferencial de primeira ordem tem a forma:
Onde B é uma função do tempo ou uma constante. Para esses casos, a
solução da equação diferencial tem duas partes, uma denominada solução da
parte homogênea, que corresponde a solução fazendo B=0, como no caso
inicial e outra denominada solução particular relacionada a função B. Em
circuitos elétricos, a solução da parte homogênea é denominada solução do
transitório natural ou simplesmente solução do transitório enquanto que a pparcela relacionada a função de excitação ou fonte que aciona o circuito
elétrico, é denominada solução de regime permanente.
Exemplo 1
Circuito RL em série
No caso do circuito elétrico da figura 1 a equação diferencial é:
Figura 1 – Circuito RL em série
Utilizando o operador D=d/ dt temos:
Obtemos a solução da parte transitória fazendo E=0, ou:
Assim temos
como solução da parte homogênea ou da parte
correspondente ao transitório. Por sua vez a solução particular é uma
constante, ou:
O que indica que i(t) tem sua parcela correspondente a solução particular
constante. Se é uma constante, sua derivada é zero portanto
. Somando as duas soluções, temos:
Como as condições iniciais indicam que i(t0)=0 temos:
Com isso temos a solução:
Para
.
Voltado a explanação inicial notamos que a expressão final da corrente indica
que temos um regime permanente caracterizado pela lei de Ohms onde
que permanece após o final da parte transitória, ou seja após a
ocorrência o distúrbio transitório o circuito acomoda a corrente no valor
.
Exemplo 2
Circuito RC em série
A solução de um circuito RC série é bastante similar. A figura 2 mostra este
circuito cuja equação, admitindo que o capacitor está inicialmente
descarregado é:
Esta é uma equação integral como a tensão no capacitor é dada pela
expressão:
Podemos determinar a tensão no capacitor substituindo a expressão da tenão
no capacitor e pela corrente obtida através dela na expressão inicial para o
circuito do capacitor, assim temos:
Figura 2 – Circuito do exemplo 2
A solução da parte homogênea da equação da tensão no capacitor é:
A solução da parte homogênea é
.
Como no caso anterior a solução da parte particular é constante, assim como a
derivada de uma constante é zero temos:
Assim temos:
Das condições iniciais temos que
expressão da solução completa indique que
Como
, que substituindo na
, portanto a solução final é:
obtemos a solução da corrente no circuito:
Assim a corrente no circuito é:
Equação diferencial de segunda ordem.
A forma geral de uma equação diferencial de segunda ordem é:
Utilizando o operador D, determinamos a solução da parte homogênea:
Cujas soluções são
e
que nos leva a solução da parte homogênea:
O comportamento da solução depende exclusivamente do parâmetros a e b da
equação diferencial, ou seja a solução dada por:
O que leva a três tipos de solução:
a) Solução superamortecida
b) Solução criticamente amortecida
c) Solução subamortecida
Analisando cada caso:
duas raízes reais distintas
duas raízes reais iguais
duas raízes complexas conjugadas
Solução superamortecida
duas raízes reais distintas
A solução deste caso é a já adiantada na expressão anterior, ou seja:
Solução criticamente amortecida
Neste caso
duas raízes reais iguais
e a solução é dada por:
Solução subamortecida
Neste último caso
duas raízes complexas conjugadas
e
e a solução é dada por:
Neste caso k1 e k2 são constantes complexas e conjugadas, ou seja
e
, que substituindo na solução genérica fornece:
Como
podemos escrever:
Assim para sistemas de segunda ordem a solução da parte homogênea, com
kg=2k é:
Onde kg e
são constantes dependentes das condições iniciais.
Exemplo 3
Circuito RLC em série
Figura 3 – Circuito RLC em série
A equação de malha do circuito é:
Derivando esta expressão obtemos:
Utilizando o operado
.
Assim temos a solução geral:
Para o caso de raízes superamortecidas é necessário que
Como a fonte de tensão do exemplo é CC, a corrente de regime do circuito é
zero, uma vez que capacitores não conduzem corrente contínua. Daí a
solução neste caso será:
Onde as constantes A e B devem ser determinadas a partir das condições
iniciais da corrente e sua derivada.
No caso em questão
, daí:
Por sua vez, quando a chave é fechada toda a tensão da fonte se concentra
sobre a indutância, assim, no instante t=0,
. Ou:
Assim obtemos:
Que permite escrever, na condição inicial com t=0:
Que juntamente com
permite a determinação das constantes k1 e k2.
Para o caso de raízes criticamente amortecidas é necessário que
Neste caso a solução do circuito para a corrente é:
Que é zero para t=0.
No instante t=0,
, portanto:
Logo
O valor de pico da corrente neste caso pode ser obtido derivando a expressão
da corrente e igualando o resultado a zero.
De onde obtemos a corrente de pico no circuito.
Como neste caso 1/
(ver solução da equação de 2º grau).
Para o caso de raízes subamortecidas é necessário que
Como nos casos anteriores, a corrente de regime permanente é zero e o
transitório de corrente tem a forma generalizada para este caso:
Como i(t=0)=0m temos:
Como a corrente não pode ser nula durante a ocorrência do transitório,
presumível que
Como a tensão no instante inicial se concentra na indutância, e a expressão na
indutância tem a forma:
Podemos escrever:
Como k não pode ser negativo devido ao fato que isso transformaria a carga de
receptora de energia em geradora de energia, então,
. Assim:
Assim a corrente na carga é:
O que confirma a situação de
.
Equação diferencial ordem superior a segunda.
Neste caso a solução é uma composição dos termos já estudados, ou seja a
solução geral para o caso de ordem é:
Para a condição de raízes diferentes que podem ser complexas conjugadas
(em pares) ou distintas gerando uma combinação das soluções já estudadas.