Sumário
Capítulo 1 – Sistemas Lineares …............................................................................................................. 02
Teoria .......................................................................................................................................................... 02
I. Equação linear …...................................................................................................................................... 02
II. Sistema linear .….................................................................................................................................... 02
III. Classificação de um sistema linear …..................................................................................................... 02
IV. Métodos de resolução de sistemas lineares …...................................................................................... 03
Sessão Leitura ............................................................................................................................................ 04
Fixação ….................................................................................................................................................... 05
Pintou no ENEM .......................................................................................................................................... 06
Capítulo 2 – Polinômios …......................................................................................................................... 07
Teoria ............................................................................................................................................................ 07
I. Expansão polinomial de um número ….................................................................................................... 08
II. Identidade de polinômios …..................................................................................................................... 08
III. Operações com polinômios …................................................................................................................. 08
IV. Divisão de um polinômio por um binômio do 1° grau …......................................................................... 09
V. Equação Polinomial …............................................................................................................................. 10
1)Teorema Fundamental da Álgebra …................................................................................................... 10
2)Teorema da Decomposição ….............................................................................................................. 10
VI. Raízes: …................................................................................................................................................ 11
1) Número de Raízes de uma equação Polinomial ….............................................................................. 11
2) Raízes Racionais …............................................................................................................................. 11
VII. Relações de Girard em equações do 2º e 3º …..................................................................................... 11
Sessão Leitura .............................................................................................................................................. 12
Fixação …..................................................................................................................................................... 13
Puntou no ENEM …...................................................................................................................................... 14
Capítulo 3 – Análise Combinatória …...................................................................................................... 15
Teoria ............................................................................................................................................................ 15
I. Princípio fundamental da contagem …...................................................................................................... 15
II. Fatorial ….................................................................................................................................................. 16
III.Tipos de agrupamento …........................................................................................................................... 16
1) Arranjos simples ….............................................................................................................................. 16
2) Permutação simples …........................................................................................................................ 17
3) Permutação com elementos repetidos …............................................................................................ 17
4) Combinação simples …....................................................................................................................... 17
IV. Binômio de Newton …............................................................................................................................. 18
Sessão Leitura .............................................................................................................................................. 19
Fixação …..................................................................................................................................................... 20
Pintou no ENEM …........................................................................................................................................ 21
Capítulo 4 – Probabilidade ….................................................................................................................... 23
Teoria ............................................................................................................................................................ 23
I. Conceito e definição de probabilidade ….................................................................................................. 23
II. Adição de probabilidades …..................................................................................................................... 23
III. Probabilidade condicional …................................................................................................................... 24
IV. Multiplicação de probabilidades ….......................................................................................................... 24
Sessão Leitura ….......................................................................................................................................... 25
Fixação …..................................................................................................................................................... 26
Pintou no ENEM …........................................................................................................................................ 28
Referências....................................................................................................................................................30
2
Capítulo 1 – Sistemas Lineares
Teoria
I. Equação Linear
Conceito: chamamos equação linear toda equação do 1º grau com uma ou mais incógnitas.
Definição: equação linear é toda equação que pode ser apresentada sob a forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3+ … + anxn = b
Na qual:
•
X1, X2, X3,...,Xn, são as incógnitas;
•
a1, a2, a3,… an, são constantes reais chamadas coeficientes;
•
b é uma constante real chamada termo independente;
Exemplos:
a) 8x + 5y = 11
•
incógnitas: x e y
•
coeficientes: 8 e 5
•
termo independente: 11
b) 5x + 3y - 0z = - 4
•
incógnitas: x, y e z
•
coeficientes: 5, 3 e - 0
•
termo independente: - 4
Solução de uma equação linear: é toda sequência de números ( α1, α2, α3, …, αn ) que faz ser verdadeira
a equação a1α1 + a2α2 + a3α3+ … + anαn = b. As equações lineares podem não apresentar solução,
sendo chamadas de impossíveis, podem apresentar apenas uma solução ou infinitas soluções.
Exemplo: a solução para a equação linear 8x – y + 3z = -1 é o termo ordenado (0, 4, 1), pois a sentença
8·0 - 4 + 3·1 = -1 é verdadeira.
Observações:
1) 3x² + y = 5, não é equação linear, pois é do 2º grau;
, não é equação linear, pois o expoente de x é -1;
3) Quando b = 0, dizemos que a equação linear é homogênea;
II. Sistema Linear
Conceito: é um conjunto de equações lineares simultâneas.
Solução: é qualquer solução comum a todas as equações do sistema.
Exemplo:
2x + y + 3z = 11
y + 5z = 9
x – y + z = -1
2·2 + 4 + 3·1 = 11
0·2 + 4 + 5·1 = 9
2 – 4 + 1 = -1
O termo ordenado (2, 4, 1) é a solução deste sistema linear, pois tal sequência é a solução comum a todas
as equações do sistema.
III. Classificação de um Sistema Linear
1) Sistema possível e determinado (SPD): todo sistema linear que admite apenas uma solução.
2) Sistema possível e indeterminado (SPI): todo sistema linear que admite mais de uma solução.
3) Sistema impossível (SI): todo sistema linear que não admite solução alguma.
x+y=5
y=2
SPD
2x + y = 5
4x + 2y = 10
SPI
x+y=5
x+y=8
SI
3
IV. Métodos de resolução de um sistema linear
1) Escalonamento
Para um sistema linear ser considerado escalonado, é preciso que:
•
Todas as equações apresentem as incógnitas na mesma ordem;
•
Cada equação deve conter ao menos um coeficiente não nulo;
•
Deve existir uma ordem crescente de incógnitas com coeficiente nulo em cada equação;
Exemplos:
2x + 3y + 5z = 9
0x + 4y + z = 5
0x + 0y + 3z = 6
4x + 3y +z = 1
0x + 5y – z = 3
0x + 3y +2z = 5
6x + y + 3z = 6
0x + 4y – 3z = 1
0x + 0y + 0z = 5
Escalonado
Não escalonado
Não escalonado
a) Resolução de um sistema linear escalonado cujo número de equações é igual ao número de incógnitas,
conhecido como do primeiro tipo (método da substituição):
3x + 2y – z = 9 equação I
0x + 5y – 2z = 1 equação II
0x + 0y + 3z = 6 equação III
•
•
•
•
Para resolver este tipo de sistema, determinamos o valor de z na equação III: 3z = 6 → z = 2;
Substituindo z por 2 na equação II, temos: 5y – 2.2 = 1 → 5y = 1 + 4 → y = 1;
Substituindo y = 1 e z = 2 na equação I, temos: 3x + 2.1 – 2 = 9 → 3x = 9 → x = 3;
Logo, o conjunto solução para este sistema é: S = {(3, 1, 2)};
Propriedade: todo sistema linear escalonado do primeiro tipo é possível e determinado (SPD).
b) Resolução de um sistema linear escalonado cujo número de equações é menor do que o número de
incógnitas, conhecido como do segundo tipo:
x + 2y – 3z = 1
y + 5z = 3
•
No caso de sistemas do segundo tipo, admitimos a existência de pelo menos uma variável
arbitrária, ou livre, que será aquela que não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado
(no exemplo acima, a variável arbitrária é z). A variável arbitrária poderá assumir qualquer valor real.
•
Para cada valor assumido pela variável arbitrária, obtém-se uma solução diferente para o sistema.
•
Grau de indeterminação de um sistema do segundo tipo é seu número de variáveis livres.
•
Todo sistema escalonado do segundo tipo é possível e indeterminado (SPI).
2) Sistemas Lineares Equivalentes
•
Sistemas lineares equivalentes são aqueles que apresentam o mesmo conjunto solução.
•
Usamos sistemas lineares equivalentes para a resolução de sistemas lineares através dos métodos
da multiplicação, da divisão e da adição de equações.
Exemplo:
Multiplica-se a equação (I) por – 3, em seguida, somamos a equação equivalente ( I') com a equação (II).
Por último, faz se a substituição do valor encontrado para y na equação (I) ou ( I'), assim encontramos o
valor de x para formar o conjunto solução, S = {(x,y)}.
x + 2y = 5
(I) ×( - 3) →
3x + 7y = 16 (II)
-3x – 6y = -15 ( I')
3x + 7y = 16 ( II) → (I') +(II)→
- 3x – 6y = -15 ( I')
y = 1 ( II”)
4
Sessão Leitura
Existem várias aplicações práticas que justificam a necessidade de conhecer os métodos para cálculo de
sistemas lineares. Por exemplo, os proprietários de automóveis que usam a gasolina como combustível,
precisam saber se a quantidade de álcool anidro misturada na gasolina está dentro do valor permitido (o
álcool deve corresponder de 20% a 25% do combustível). Isso poderia ser feito da seguinte maneira:
Se 1 litro de álcool anidro custa R$ 1,20, 1 litro de gasolina custa R$ 2,00 e 1 litro da mistura custa R$ 1,80,
quanto de álcool anidro contém em 1 litro dessa mistura?
x+ y=1
(I)
1,20x + 2y = 1,80 (II)
•
•
•
Isolando o y na equação (I): y = 1 – x
Substituindo na equação (II), o valor encontrado para y na equação (I), teremos:
1,20x + 2(1- x) = 1,80
1,20x + 2 – 2x = 1,80
0,8x = 0,20
x = 0,25
Assim, concluímos que a mistura está na proporção correta de álcool anidro e gasolina.
5
Agora vamos resolver uma questão de raciocínio lógico:
Os cinco marinheiros
Você é o comandante de um navio. Cinco marinheiros colocam-se a sua frente para receber suas ordens.
Tente nomeá-los, da esquerda para a direita, de acordo com as informações:
- Anderson está entre Jorge e Cláudio;
- Humberto está à esquerda de Cláudio;
- Jorge não está ao lado de Humberto;
- Humberto não está ao lado de Rafael.
Dica: Observe que a sua esquerda não é a esquerda dos marinheiros.
Resposta: A sequência correta é Rafael, Jorge, Anderson, Cláudio e Humberto.
Fixação
1. (Vunesp) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo
cédulas de todos esses valores e o maior número possível de notas de 50 reais. Nessas condições, qual é o
número mínimo de cédulas que ela poderá receber?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
2. Qual das alternativas apresenta uma solução para o sistema:
x + y + 2z = 9
x + 2y + z = 8
2x + y + z = 7
a) ( 8, 1, 0)
b) (10, -1, 0)
c) ( 1, 2, 3)
d) ( 9, 0, 0)
e) ( 1, 1, 1)
3. Os 152 participantes de um congresso são professores de Matemática, Física ou Química. Sabendo que
cada um deles leciona apenas uma dessas matérias e que o número de professores de Física é o dobro do
número de professores de Química, qual é o menor número possível de professores de Matemática que
participam desse congresso?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da quantidade de
suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A
quantidade de suco de fruta que contém neste um litro de creme é:
a) 300ml
b) 250ml
c) 350ml
d) 400ml
e) 420m
5. Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro com 3g cada, de prata com 5g cada e de
bronze com 7g cada. O preço unitário era de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 05,00, respectivamente. Sabendo
que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87g, qual foi o número de medalhas de ouro
confeccionadas?
a) 1
Gabarito:
b) 2
1B
2C
3B
4A
c) 3
5B
d) 4
e) 5
6
Pintou no ENEM
1. O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a um outro município. Para isso
foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km
construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00
por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentavam o
mesmo padrão de qualidade, mas apenas uma delas poderá se contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria
indiferente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100 (n + 350) = 120 (n + 150)
d) 100 (n + 350.000,00) = 120 (n + 150.000,00)
e) 350 (n + 100.000,00) = 150 (n + 120.000,00)
2. Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por
exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez de 15 litros de
água utilizados pelas bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Agência Brasileira de Normas
Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida pela substituição de uma bacia sanitária não
ecológica, que gasta cerca de 60 litros de água por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litros
b) 36 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros
3. Nos shopping costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em
um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação
da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um brinquedo em um certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta
custa 9.200 tíquetes. Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor,
gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é de:
a) 153
b) 460
c) 1.218
d) 1.380
e) 3.066
4) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são
roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca x é o dobro do número de
carros roubados da marca y, e as marcas x e y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O
número esperado de carros roubados da marca y é:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
5) Uma empresa realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu
535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370 brinquedos entre bonecas e carrinhos, e o total da doação
entre bolas e carrinhos foi de 455 brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa
produziu:
a) 320 bolas
b) 145 carrinhos
c) 235 bonecas
d) 780 brinquedos
e) 1350 brinquedos
6) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a
gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem
competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de
extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km.
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750
g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar
mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo,
a) 617 kg.
Gabarito:
b) 668 kg.
1-
2-
3-
4-
5-
c) 680 kg.
6-
d) 689 kg.
e) 717 kg.
7
A
B
D
E
B
B
Capítulo 2 – Polinômios
Teoria
Nos exercícios de matemática, é muito comum que a leitura e a compreensão do enunciado levem a
formulação de expressões que permitirão a resolução do problema por meio de uma equação das
expressões obtidas. Veja por exemplo a seguinte figura:
•
•
•
•
Se trata de um cubo de lados S = x + 2.
Para calcularmos sua área total, temos: 6·S² = 6(x+2)² = 6(x² + 4x + 4) = 6x² +24x + 24.
Para calcularmos seu volume, temos: S³ = (x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
Todas essas expressões são chamadas polinomiais.
Neste capítulo vamos estudar métodos desenvolvidos para calcular os polinômios com muitos termos, pois
estes são mais difíceis de serem calculados por outros métodos matemáticos.
I. Expansão Polinomial de um Número
O número 4.532 pode ser representado por uma soma de milhares, centenas, dezenas e unidades, isto é:
4.532 = 4·10³ + 5·10² + 3·10¹ + 2·10º
De maneira análoga, qualquer número natural pode ser representado sub a forma:
•
Os coeficientes:
, são números naturais menores do que 10.
•
Cada uma das parcelas de um polinômio, como generalizado acima, é conhecida como termo ou
monômio do polinômio e ao é o termo independente da variável x.
•
Grau de um polinômio é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não nulos.
•
Raiz de um polinômio é todo número complexo α tal que P(α) = 0.
5
Exemplo: 8x + 3x4 + 5x² – 4x + 2
•
•
•
•
•
O polinômio é do 5º grau
Os coeficientes são 8, 3, 5, 4 e 7
A variável é x
Os termos, ou monômios, são 8x5, 3x4, 5x², 4x e 2
O termo independente é 7
8
II. Identidade de Polinômios
Dizemos que dois polinômios são idênticos somente se seus valores numéricos são iguais para todo α, ou
seja, P(x) = Q(x) se, e somente se, P(α) = Q(α). Polinômios de graus diferentes nunca são iguais.
3
Exemplo: Determinar os valores de a e b para que os polinômios P(x)=(a² – 4) x + 2x + 6 e
Q(x)= 5x³ + (a – 3)x² + (a – b)x + 6, na variável x, sejam idênticos
a=±3
a=3
a–b=2
a² – 4 = 5
a–3=0
a–b=2
a=3eb=1
III. Operações com Polinômios
1) Adição: P(x) + Q(x), é obtida ao se adicionar os coeficientes do polinômio P(x) aos coeficientes do
polinômio Q(x) que tem o mesmo expoente na variável. Caso exista algum termo sem um expoente
correspondente ao do outro polinômio, considera- se o seu coeficiente como sendo zero.
2) Subtração: P(x) – Q(x), é considerada como o oposto da soma, ou seja, P(x) + [ - Q(x)]. Assim, a
resolução será através do mesmo procedimento feito em uma adição.
3) Multiplicação: P(x) · Q(x), é dada pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os
monômios de Q.
4) Divisão: E(x) / D(x), significa encontrar dois polinômios R(x) e Q(x) que satisfaçam as condições:
•
E(x) = Q(x)·D(x) + R (x)
•
O grau de R(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de Q(x) ou então R(x) = 0
•
Obs.: A expressão E(x) = Q(x)·D(x) + R (x), quer dizer que o dividendo é igual ao divisor multiplicado
pelo quociente depois somado ao resto.
Exemplo:
1) Dados os polinômios P(x) = 3x4 + 2x³ + x – 1 e Q(x) = 5x4 + 3x + 7, calcule:
a) P(x) + Q(x) = 3x4 + 5x4 + 2x³ + 3x + x – 1 +7 = 8x4 + 2x³ + 4x + 6
b) P(x) – Q(x) = 3x4 - 5x4 + 2x³ - 3x + x – 1 – 7 = 2x4 + 2x³ – 2x – 8
c) 3P(x) = 3 ( 3x4 + 2x³ + x – 1) = 9x4 + 6x³ + 3x – 3
d) P(x)·Q(x) = (3x4 + 2x³ + x – 1)·(5x4 + 3x + 7)
= 15x8 + 9x5 + 21x4 + 10x7 + 6x4 + 14x³ + 5x5 + 3x² + 7x – 5x4 – 3x – 7
= 15x8 + 10x7 + 14x5 + 22x4 + 14x³ + 3x² + 4x – 7
2) Dividindo-se E(x) = 2x5 – x4 + x2 por D(x) = 2x+3, qual será o quociente e resto?
•
1º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x).
•
2º Passo: Subtraímos do dividendo o produto de D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo,
assim teremos o primeiro resto parcial.
•
3º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais
alto grau de D(x).
•
4º Passo: Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no
terceiro passo, obtendo o segundo resto parcial.
9
•
Segue sucessivamente com esse processo até obter o resto final R(x).
Aplicando o método:
x5 – 2x4 – 0 x³ + x2 - 3x -1
x5 + x4
| x+1
x4 – 3x3 + 3x2 – 2x -1
- 3x4 + 0x³+ x2 - 3x -1
- 3x4 - 3x3
3x3 + x2 – 3x -1
3x3 +3x2
- 2x2 – 3x -1
- 2x2 – 2x
- x -1
-x -1
0
Resposta:
Q(x) = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x -1
R(x) = 0
IV. Divisão de um Polinômio por um Binômio do 1º grau
Todo polinômio pode ser decomposto em fatores do primeiro grau, portanto, a divisão de polinômios pode
ser efetuada por meio de divisões sucessivas por fatores do primeiro grau. A partir desse pressuposto,
outros métodos foram desenvolvidos para facilitar o cálculo da divisão entre polinômios.
1) Teorema do resto:
Se a é constante qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x – a é igual a P(a), com R(x) = R;
P(x) = (x – a)·Q(x) + R(x)
P(a) = (a – a)·Q(x) + R
P(a) = 0 ·Q(x) + R
P(a) = R
Exemplo: O resto da divisão de um polinômio 4x³ + x² – 3 pelo binômio x – 2 é igual a P(2), isto é:
R = P(2) = 4·2³ + 2² – 3 = 33
2) Teorema de D'Alembert:
Se a é uma constante qualquer, um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de P(x).
Se a é raiz de P(x), então P(a) = 0.
Pelo teorema do resto, temos que P(a) = R, então a é raiz de P(x) se, e somente se, R = 0.
Exemplo: Determinar o polinômio do segundo grau que , dividido por x – 1, x – 2 e x – 3, apresenta restos
iguais a 4, 7 e 14, respectivamente:
Sendo P(x) = ax² + bx + c, temos:
P(1) = 4 → a + b + c = 4
P(2) = 7 → a·2² + b·2 + c = 7
P(3) = 14 → a·9 + b·3 + c = 14
a
9 + 3b + c = 14
a+b+c=4
4a + 2b + c = 7
a = 2, b = - 3 e c = 5
10
P(x) = 2x² – 3x + 5
3) Dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Este algoritmo permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira rápida e simples.
Termo constante do divisor,
com sinal trocado
Coeficientes de x do
dividendo p(x)
Coeficientes do quociente
Termo constante do
dividendo p(x)
Resto
Exemplo: Dividindo p(x) = 3x³ -5x² +x -2 por h(x) = x - 2, temos:
•
Repetimos o primeiro coeficiente do dividendo, no caso 3.
•
Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos esse produto com o próximo termo do
dividendo, que resulta em 1.
•
Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente, e assim por diante, sempre repetindo
o processo, até chegar no último coeficiente.
•
A partir desse algoritmo chegamos que q(x) = 3x² +x +3 e r(x)= 4, ou seja, temos que 3x³ -5x² +x -2
= (x-2)(3x²+x+3) +4 e que 2 é uma raiz do polinômio.
2
3
-5
3
6+(-5)
1
1
-2
2+1 6+(-2)
3
4
V. Equação Polinomial
Chamamos de equação polinomial, ou algébrica, toda equação que pode ser descrita sob a forma:
•
O conjunto solução de uma equação polinomial é o conjunto das raízes da equação, S={k,w}
Exemplo:
1) A equação x³ – 2x = 2 – x pode ser representada sob a forma x³ – 2x² + x – 2 = 0, portanto é uma
equação polinomial do terceiro grau na variável x. Para determinarmos suas raízes complexas, podemos
fatorar o primeiro membro, ou seja:
x²(x – 2) + (x – 2) = 0
(x – 2)(x² + 1) = 0, é o mesmo dizer que:
(x – 2) = 0 ou (x² + 1) = 0, dado pela propriedade do produto nulo.
Assim, temos que x = 2.
2) Uma das raízes da equação polinomial x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 é o número 1. Obter as outras raízes:
•
•
•
Se 1 é uma raiz deste polinômio, então P(1) = 0 e P(x) é divisível por x – 1.
Assim, podemos escrever P(x) = (x – 1)·Q(x).
Por Briot-Ruffini, temos:
•
•
•
Logo, Q(x) = x² – 5x + 6, portanto P(x) = (x – 1)(x² – 5x +6) é equivalente a x³ – 2x² + x – 2 = 0.
Pela propriedade do produto nulo, temos:
x – 1 = 0 ou (x² – 5x +6) = 0, então: x = 1 ou x = 3 ou x = 2.
11
•
Logo, além da raiz 1, temos as raízes 2 e 3.
1) Teorema Fundamental da Álgebra: toda equação polinomial admite pelo menos uma raiz complexa.
2) Teorema da Decomposição: todo polinômio de grau n pode ser fatorado sob a forma abaixo, sabendo
que r1, r2, r3,...,rn são todas as raízes de P(x).
P(x) = an( x - r1 )( x – r2 )( x – r3 )·...·(x – rn )
Exemplo: Uma das raízes de P(x) = 3x³ – 20x² + 23x + 10 é o número 5. Fatorar P(x) como produto de uma
constante por polinômios do 1º grau.
•
Pelo Teorema de D'Alamber, temos que P(x) é divisível por x – 5, ou seja, P(x) = (x –
5)·Q(x).
•
Obtém-se o polinômio Q(x), dividindo-se P(x) por x – 5.
•
Por Briot-Ruffini, temos:
•
•
•
•
•
Q(x) = 3x² – 5x – 2, portanto, P(x) = (x – 5)( 3x² – 5x – 2).
As raízes de P(x) são dadas por: (x – 5)( 3x² – 5x – 2) = 0.
(x – 5) = 0 ou ( 3x² – 5x – 2) = 0.
Resolvendo as equações, encontramos as raízes 5, 2 e – 1/3.
Pelo Teorema da Decomposição, temos: P(x) = 3(x – 5)(x – 2)(x + 1/3).
VI. Raízes:
1) Número de raízes de uma equação polinomial: uma equação polinomial de grau n admite exatamente
n raízes complexas, não necessariamente distintas entre si.
2) Raízes racionais: para descobrir se uma equação polinomial de coeficientes inteiros admite, ou não,
raízes racionais usamos o teorema:
•
Seja p ÷ q, com p e q inteiros e primos entre si e q ≠ 0;
•
Se p ÷ q é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros, então p é divisor de ao e
q é divisor de an.
•
Consequência: se a equação polinomial de coeficientes inteiros, P(x) = 0 tiver o polinômio
P(x) com an = 1 e admitir raízes racionais, então essas raízes são inteiras.
Exemplo: se p÷ q for raiz da equação x² – 5x + 6 = 0, então p é divisor de 6 e q é divisor de 1, logo, p ÷ q
pertence a {±1, ±2, ±3, ±6}.
VII. Relações de Girard
1) Relações de Girard para equações do 2º grau:
•
As raízes r1 e r 2 da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, são tais que:
r1 + r 2 = - b / a
r1 · r 2 = c / a
2) Relações de Girard para equações do 3º grau:
•
As raízes r1, r2 e r3 da equação do 3º grau ax³ + bx² + cx + d = 0, são tais que:
r1, r2 e r3 = - b / a
r1 · r 2 + r2 · r3 + r1 · r3 = c / a
r1 · r 2· r3 = - d / a
12
Sessão Leitura
O Surgimento da Moeda
Um ser humano pode produzir tudo o que necessita para sua sobrevivência? Suponhamos que ele seja
produtor de trigo: é possível ele calçar trigo, vestir trigo e só comer trigo? Claro que não.
Dessa impossibilidade estabeleceu-se uma relação entre os homens: a troca das mercadorias que
produzem.
Por meio da troca, o produtor de trigo podia obter calçados, roupas ou outras necessidades. Bastava para
isto dar a quantidade de trigo correspondente à quantidade da outra mercadoria.
Esse processo apresentava, contudo, um problema: imagine que o nosso produtor de trigo esteja
interessado em café, mas nenhum produtor de café esteja interessado em trigo. Dessa forma, a troca não
poderá ser realizada, uma vez que para isso deve haver interesse de ambas as partes.
Esse problema foi resolvido com a criação da moeda-mercadoria, geralmente a mais produzida e a mais
procurada, que passava a ser aceita, não necessariamente para o consumo, mas para ser trocada
novamente. Esta foi a primeira forma de moeda na nossa história.
A moeda serve, então, como um meio de troca e muitos mercados passaram a ter sua moeda específica.
Uns usaram o gado, que do latim pecus deu origem à palavra pecúlio, e outros o sal, daí o termo salário.
Essa diversificação de moedas-mercadorias em diferentes mercados dificultava as trocas entre os grupos
sociais.
Além disso, um animal vivo ou um balde de sal não eram as melhores formas de 'carregar' dinheiro.
Problemas como esses fizeram com que se criasse a moeda metálica. Pequena e de fácil transporte, seu
poder de compra era equivalente ao valor do material com que era fabricada. Inicialmente utilizou-se a prata
e o ouro.
Contudo, o manuseio dessas moedas fazia com que elas se desgastassem e perdessem seu valor. Então,
optou-se por metais como o cobre e o níquel, que até pouco tempo eram sinônimos de dinheiro.
Paralelamente, foram criadas pequenas firmas que se comprometiam a guardar as moedas. Como prova de
recolhimento emitiam um recibo registrando a quantia guardada. Nasciam, portanto, os primeiros 'bancos' e
os primeiros papéis-moeda.
Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não o consumiam imediatamente, os donos
dessas firmas resolveram diversificar suas funções emprestando dinheiro, o que mais tarde se constituiria
no sistema de crédito.
Na verdade, dinheiro nada mais é do que uma convenção social, uma relação entre os homens que se dá
na troca entre mercadorias.
A instituição do crédito foi o elemento propulsor do surgimento de um tratamento matemático na Economia.
O crescente desenvolvimento das transações comerciais exigia um cálculo específico e o desenvolvimento
de um aspecto particular da Matemática: a Matemática Financeira.
13
Agora vamos resolver uma questão de raciocínio lógico:
O fogo na corda
Temos duas cordas que não têm necessariamente o mesmo comprimento. Se colocarmos fogo na ponta de
qualquer uma das cordas, vai levar exatamente 1 hora para o fogo chegar à outra ponta da corda. Porém, o
fogo não vai se mover com velocidade constante, pode ser mais rápido em alguns pontos e mais lento em
outros. A velocidade do fogo não depende do sentido que ele anda na corda. Como poderíamos medir 45
minutos com essas cordas?
Resposta: Basta colocar fogo nas duas extremidades de uma das cordas e em apenas uma extremidade
da outra. Quando o fogo consumir completamente a primeira corda (em 30 minutos), coloque fogo na
segunda extremidade da outra corda. Em mais 15 minutos a segunda corda estará completamente
queimada. Então, o tempo total será de 45 minutos.
Fixação
1) Determine o valor de k, de modo que o polinômio P(x) = (k² – 25)x³ – x² – 2x² – 2x + 3 tenha grau 2.
2) Dado o polinômio P(x) = 4x² – 8x – 3k, determine o valor de k de forma que P(2) = 4.
3) Calcule os valores de m e n para que os polinômios P(x) = (3 – m)x² – 6x + 4 e Q(x) = 8x² + ( 5n – 4)x + 4
sejam idênticos.
4) Determine p e q sabendo que os polinômios P(x) = px² – 12x + q e Q(x) = (2x – 3)² são idênticos.
5) A equação 3x³ + 2x² - x – 3 = 0 admite raízes x1, x2, x3. Escreva as relações de Girard para essa
equação.
6) Os números -2 e 3 são duas raízes da equação 2x³ - x² + mx + n = 0, em que m e n pertencem aos
reais. Determine a terceira raiz da equação e os valores de m e n.
7) Determine as raízes da equação x³ - 3x – 2 = 0 sabendo que uma delas é dupla.
8) As raízes da equação polinomial x³ - 15x² + 71x – 105 = 0 estão em PA. Calcule essas raízes.
9) Resolva a equação algébrica x³ - 3x² - 6x + 8 = 0 sabendo que a soma de duas de suas raízes é
igual a 5.
10) Qual é o valor de k na equação algébrica x³ - 3x² - 6x + k = 0 para que as raízes da equação formem
uma PA?
Gabarito:
1k = 5 ou k = - 5
2k = - 4/3
3m = - 5 e n = -2 / 5
4p=4eq=9
x1 + x2 + x3 = -2/3 ;
5- x1x2 + x1x3 + x2x3 = -1/3 ;
x1x2x3 = 1
6- x3 = -1/2; m = -13; n = -6
7-1 e 2
83, 5 e 7
9{1, -2, 4}
108
14
Pintou no Enem
1) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou
em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte:
• a soma desses números é 7;
• o produto deles é 8;
• a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14.
Assim, os três números pensados por João são raízes da equação
a) x³ - 7x² +14x – 8 = 0
b) x³ - 7x² – 14x + 8 = 0
c) x³ - 7x² – 14x – 8 = 0
d) x³ - 7x² – 14x - 8 = 0
e) Nenhuma das alternativas anteriores
2) De cada vértice de um cubo de mármore de x cm de aresta, sendo x maior que 2, retirou-se um cubinho
de 1cm de aresta, obtendo a figura abaixo. Qual das alternativas a seguir apresenta o volume
remanescente do bloco, em cm³, após a retirada dos pequenos cubos?
a) (2 + x)( 4 – 2x + x²)
b) (2 – x)( 4 + 2x + x²)
c) (x – 2)( 4 + 2x + x²)
d) (x – 2)( 4 – 2x + x²)
e) (x + 2)( 4 – 2x + x²)
3) O perímetro e a área da figura abaixo são expressos, respectivamente por:
Gabarito:
1A
2C
3D
15
Capítulo 3 – Análise Combinatória
Teoria
I. Princípio Fundamental da Contagem
Contar não é uma tarefa tão fácil como parece. Contar unidades uma a uma não é um processo viável em
muitas situações, como, por exemplo, determinar o número de pessoas presentes em grandes eventos, o
número de grãos de areia de uma praia e o número de moléculas de determinada substância. Por isso,
foram desenvolvidos métodos de cálculo para serem aplicados em situações semelhantes às
exemplificadas anteriormente. O princípio fundamental da contagem é um desses métodos.
Observe a seguinte situação:
Júlia não gosta de repetir exatamente a mesma roupa para ir nas aulas de seu curso pré-vestibular, mas
não se importa em usar as mesmas peças em diferentes combinações. Sabendo que ela possui 2 sapatos,
2 calças e 4 blusas, quantos dias Júlia poderá ir nas aulas sem repetir a mesma combinação de peças, se
ela não comprar roupas novas neste período?
•
Primeiro, vamos listar todas as possibilidades através da chamada matriz de possibilidades:
chamaremos os dois sapatos de S1 e S2, as duas calças de C1 e C2 e as quatro blusas de B1, B2, B3 e
B4. Assim, temos:
(S1, C1, B1); (S1, C1, B2); (S1, C1, B3); (S1, C1, B4)
(S1, C2, B1); (S1, C2, B2); (S1, C2, B3); (S1, C2, B4)
(S2, C1, B1); (S2, C1, B2); (S2, C1, B3); (S2, C1, B4)
(S2, C2, B1); (S2, C2, B2); (S2, C2, B3); (S2, C2, B4)
Total = 16 possibilidades = 16 dias com roupas diferentes
•
Como percebemos, usando a matriz de possibilidades, se o número de cada peça de vestuário
fosse maior, demoraria e daria muito trabalho para descobrir o quantas diferentes possibilidades Júlia teria
para se vestir. O princípio fundamental da contagem nos ajuda a chegar ao resultado com uma operação
matemática simples e rápida, mesmo para eventos com grande quantidade de possibilidades.
Princípio Fundamental da Contagem: se os experimentos E1, E2, E3, …, Ek, apresentam n1, n2, n3, …,
nk resultados distintos, então o experimento composto por E1, E2, E3, …, Ek, apresenta um total de
resultados distintos, dado por:
n1·n2·n3·...·nk
•
No exemplo da vestimenta de Júlia, teríamos: 2·2·4 = 16 possibilidades distintas.
Exemplos:
1) Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, e 9?
5·5·5 = 125
2) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8,
e 9?
5·4·3 = 60
3) Qual é a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3.000 que podemos representar
utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8, de modo que não figurem algarismos repetidos?
(4·5·4) + (2·5·4·3) = 80 + 120 = 200 números
16
II. Fatorial
Durante o estudo de análise combinatória, nos deparamos com multiplicações de números naturais
consecutivos, como, por exemplo, 11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1. Esta é uma multiplicação possível de ser feita
mesmo sem o auxilio de calculadoras, porém demanda bastante tempo fazê-lo desta maneira.
Para facilitar operações desse tipo, podemos lançar mão da notação n! (lê-se: “fatorial de n”) para indicar o
produto dos números naturais consecutivos n, (n-1), (n-2),...,1.
Exemplos:
a) 5! = 5·4·3·2·1 = 120
b) 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040
Propriedade fundamental dos fatoriais: n! = n·(n-1)
Exemplo: 9! = 9·8·7·6!
Observações: 1! = 1 e 0! = 1
III. Tipos de Agrupamentos
•
Arranjos: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos fornecem um resultado
diferente, ou seja, a ordem dos elementos tem importância.
Por exemplo, com as letras da palavra LATA, podemos formar, também, a palavra TALA, para isso basta
alterar a ordem dos elementos.
•
Combinações: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos não mudam o
resultado, ou seja, a ordem dos elementos não tem importância.
Por exemplo, se um treinador de um time de futebol tem 22 jogadores e deseja dividi-los em dois times para
um treino, ele pode fazer duas combinações, na qual cada time teria 11 jogares. Se trataria de uma
combinação porque a ordem da escolha dos jogadores não faz diferença dentro de seu time.
•
Além da divisão dos agrupamentos em arranjos e combinações, podemos ainda classificá-los como
simples ou compostos. Os agrupamentos simples são aqueles que não possuem nenhum elemento repetido
e os compostos apresentam pelo menos um elemento repetido.
•
Diferenciando arranjo e combinação: Quando nos deparamos com um problema de análise
combinatória, é muito comum ficarmos na dúvida se é um caso de arranjo ou combinação.
Para identificar em qual das duas situações o problema se enquadra, devemos construir um dos
agrupamentos sugeridos pelo problema e, em seguida, mudamos a ordem de seus elementos. Se
obtivermos um agrupamento diferente do original, será um arranjo, mas se obtivermos um agrupamento
igual ao original, será uma combinação.
1) Arranjo Simples:
Usamos a notação “An,p”, lê-se arranjo simples de n elementos tomados p a p, quando temos um arranjo
de n possibilidades para cada elemento p do arranjo, sendo que p ≤ n.
1º elemento
n
2º elemento
n-1
3º elemento
n-2
... pº elemento
n– (p – 1)
An,p = n·(n – 1)·(n – 2)·(n – 3)·...·(n – p + 1)
Exemplo:
Quantas sequências de três letras distintas podem ser formadas usando as letras a, b, c, d, e, f, g e h?
•
•
•
Temos 8 possibilidades, a, b, c, d, e, f, g e h, então n = 8.
Para sequência de três letras, temos 3 elementos no arranjo, então p = 3.
Cálculo: A8,3 = 8·7·6 = 336
17
2) Permutação Simples:
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a
permutação à noção de misturar. Permutação simples de um conjunto de n elementos (Pn) é qualquer
sequência de elementos distintos formada por todos os elementos disponíveis.
Seu cálculo é dado por: Pn = n!
Exemplo:
Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ANEL?
•
Há quatro possibilidades para a primeira posição, três para a segunda, duas para a terceira e uma
para a quarta posição.
•
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 4·3·2·1 = 4! = 24
•
Podemos formar 24 anagramas com a palavra ANEL.
3) Permutação com elementos repetidos:
Quantos anagramas podemos formar com a palavra INFINITO?
Se as oito letras que compõem essa palavra fossem distintas entre si, bastaria fazer 8! que teríamos a
resposta. Porém, ao permutar letras iguais, a palavra não se altera; por isso, concluímos que o número de
anagramas é menor que 8!.
Para fazer o cálculo correto do número de anagramas, devemos desconsiderar as palavras repetidas que
se formarão devido à presença de letras repetidas. Para tanto, usamos a expressão:
Exemplo: I N F I N I T O
•
•
•
Temos oito letras no total;
A letra i aparece três vezes e a letra N aparece duas vezes;
A repetição das letras i e N não produzirão novos anagramas, então devemos excluí-las;
•
Para excluir os anagramas repetidos, devemos dividir n! pelo produto do fatorial do número de
repetições das letras que aparecem mais de uma vez, ou seja:
4) Combinação Simples:
Nos problemas de contagem, o conceito de combinação está associado à noção de escolher subconjuntos.
Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, vamos formar todos os subconjuntos de A com três elementos:
{a,b,c} {a,b,d} {a,c,b} {b,c,d}
Observe, baseado na definição de conjuntos, que:
•
{a,b,c} ≠ {a,b,d}, os conjuntos se diferenciam pela natureza dos elementos;
•
{a,c,b} = {a,b,c}, já que apenas a ordem dos elementos mudou e isso não altera o conjunto;
•
Obs.: se fossem arranjos, teríamos quatro agrupamentos diferentes, pois a mudança na ordem dos
elementos formaria arranjos diferentes.
•
Isto posto, percebemos que para determinar o número de combinações possíveis, devemos eliminar
os agrupamentos que não são considerados conjuntos, já que seus elementos diferem apenas pela ordem.
Se não for feita a exclusão desses agrupamentos, eles serão contados duas ou mais vezes, gerando um
número falso de combinações possíveis para aquele conjunto.
18
Cada combinação de n elementos tomados p a p correspondem a p! arranjos, que são obtidos permutando
os elementos da combinação, ou seja:
O número de combinações possíveis para um conjunto de n elementos tomados p a p é dado por:
Exemplo: De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua
disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição e sabendo que um time de basquete tem 5
jogadores?
IV. Binômio de Newton
Para desenvolver certos problemas de matemática, necessitamos de potências do tipo ( x + y)³, que para
serem resolvidas sem o auxílio da análise combinatória seriam calculadas da seguinte maneira:
(x+y)³ = (x+y)(x+y)(x+y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
•
Usando conceitos de análise combinatória, podemos deduzir uma expressão binomial,
relativamente mais simples, para desenvolver essas potências.
•
A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)ᶰ e ela é
encontrada fazendo o produto (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) … (x + y), n vezes.
•
O termo genérico do produto é obtido tomando em p dos fatores (p = 1, 2, 3,..., n) a segunda
parcela e tomando nos restantes n – p fatores a primeira parcela. Com isso, pode ser feito:
Cn,p =
Exemplo: Considere a potência
19
Sessão Leitura
O conhecimento sobre análise combinatória é muito utilizado em situações cotidianas. Frequentemente
assistirmos a reportagens de telejornais nas quais é dito o número de pessoas que se encontravam em um
grande evento, como, por exemplo, nas manifestações que aconteceram em todo o país no ano de 2013.
Esse tipo de contagem normalmente é uma estimativa do verdadeiro número de pessoas que ocupam
aquele espaço e essa contagem precisa ser feita para que os responsáveis pelo local do evento possam
estimar o número de policiais, ambulâncias e banheiros necessários para atender a demanda do evento.
Um exame feito em laboratórios clínicos é a contagem de glóbulos vermelhos no sangue. Um homem adulto
sadio tem de 4.500.000 a 6.000.000 dessas células em cada mm³ de sangue, e uma mulher tem de
4.000.000 a 5.400.000. Modernos aparelhos eletrônicos fazem a contagem, que também pode ser feita
utilizando-se um microscópio, conforme descrito a seguir.
O sangue é diluído em uma proporção conhecida, reduzindo-se muito o número de células por mm ³, e
colocado num pequeno recipiente de vidro em forma de paralelepípedo com fundo quadriculado. Em alguns
quadradinhos desse quadriculado, conta-se a quantidade de glóbulos vermelhos, calculando-se, a seguir, o
número médio por quadradinho. Levando-se em conta a diluição, obtém-se o número de glóbulos vermelhos
por mm³ no sangue.
Agora vamos resolver um exercício de raciocínio lógico:
Quantas pernas há no ônibus?
Há um ônibus com 7 garotas.
Cada garota tem 7 sacolas.
Dentro de cada sacola há sete gatos grandes.
Cada gato grande tem 7 gatos pequenos.
Todos os gatos têm 4 pernas cada um.
Pergunta: Quantas pernas há no ônibus?
Resposta: são 56 gatos por sacola, são 4 patas: 4×56= 224,
são 7 sacolas: 224x 7=1568, são 7 garotas: 1568×7= 10976
cada garota tem 2 pernas: 2×7=14, então: 10976+14=10990.
O resultado é: 10 990 pernas
20
Fixação
1) Quantos números de quatro algarismos distintos maiores que 2000 podemos formar com os algarismos
1, 2, 3, 4, 5, e 6 ?
2) As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas
podemos criar com as letras A e B e os algarismos pares, podendo repetir a letra, mas não podendo repetir
o algarismo?
3) A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presidente,
secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras podemos formar chapas que contenham presidente,
secretário e tesoureiro?
4) Sobre uma reta, marcam-se 4 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.
Quantos triângulos podemos formar unindo 3 quaisquer desses 9 pontos?
5) Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo é um número natural de cinco algarismos distintos
e não-nulos. Com o objetivo de acessar esse arquivo, ele programou o computador para testar, como
senha, todos os números naturais nessas condições. O computador vai testar esses números um a um,
demorando 5 segundos em cada tentativa. Qual será tempo máximo para que o arquivo seja aberto?
6) Um jornal terá 12 páginas. O diagramador deve distribuir 6 fotos diferentes em 6 páginas do jornal, de
modo que não apareçam duas dessas fotos em páginas consecutivas. De quantas maneiras diferentes o
diagramador pode distribuir essas fotos?
7) (UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões de múltipla escolha, tendo cada questão
5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todas as
questões, o número de maneiras diferentes que se pode preencher o cartão de respostas é:
a) 80
b) 165
c) 5³²
d) 16 ¹¹
e) 5¹5.5
8) Quantos números naturais pares ou múltiplos de 5 , com 4 algarismos distintos, podem ser formados com
os algarismos 0, 2, 3, 5 e 9?
Gabarito:
1234567-
300 números
960 placas
720 chapas
70 triângulos
21 horas
1440 maneiras diferentes
Alternativa E
21
8-
60 números
Pintou no Enem
1) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a
públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos
C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele
verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5
páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o
fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de
impressão igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
2) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do
Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles
jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo
de abertura podem ser calculadas através de
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
3) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de
R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no
cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação
imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18
parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o
dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A
opção que dá a João o menor gasto é:
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do
cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do
cheque especial.
4) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance
de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de
cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos
compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende
assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos
colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
22
e) 10 doses
5) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro
nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes
maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17,
entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente,
quantas cédulas a mais?
a) 1667
b) 2036
c) 3846
d) 4300
e) 5882
6) Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade
adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas
extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área
calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou
cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros.
De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar
ao final dessa fase com uma altura
a) mínima de 1,458 m.
b) mínima de 1,477 m.
c) máxima de 1,480 m.
d) máxima de 1,720 m.
e) máxima de 1,750 m.
7) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número
de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados
dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os
9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o
segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O
dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são
contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão
por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na
delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove
primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são,
respectivamente,
a) 0 e 9
b) 1 e 4
c) 1 e 7
d) 9 e 1
e) 0 e 1
Gabarito:
1188
2a
3e
4b
5b
6e
7a
23
Capítulo 4 – Probabilidade
Teoria
I. Conceito e Definição de Probabilidade
Conceito: Probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer ou não em evento.
Definição: Se E é um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio, e A é um evento de E, então a
probabilidade de ocorrer algum elemento de A é definida por:
P(A) = n(A)
n(E)
1) Experimento aleatório: é todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. Ex.:
lançamento de moedas e dados, sorteio de cupons, etc.
2) Espaço amostral de um experimento aleatório: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. Ex.: o espaço amostral do lançamento de uma moeda é E= {cara, coroa}.
3) Evento de um espaço amostral: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ex.: No lançamento de
um dado temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o subconjunto B = {1, 2} é um evento de E.
4) Evento amostral equiprovável: é o espaço amostral cujas frequências de seus elementos tendem a um
mesmo valor quando o número de experimentos aumenta indefinidamente.
- Propriedades das Probabilidades
•
P.1: a probabilidade de ocorrência de um evento impossível é dada por P(Ø) = 0
•
P.2: a probabilidade de ocorrer um evento certo é dada por P(E) = 1
•
P.3: a probabilidade de ocorrência de um dos eventos de A deve ser dada por 0 ≤ P(A) ≤ 1
•
P.4: a probabilidade de ocorrência do evento A somada a probabilidade de ocorrência dos
elementos de E que não pertencem a A, é igual a 1. P(A) + P(Ᾱ) = 1
Exemplos:
1) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter na face voltada para cima, um número de
pontos menor que três?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
n(A) = 2
P(A) = 2 / 6 = 1 / 3 = 33,33...%
2) Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna, a probabilidade de se obter uma
bola vermelha é de 0,64. Qual é a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha?
P(A) + P(Ᾱ) = 1
0,64 + P(Ᾱ) = 1
P(Ᾱ) = 1 – 0,64 = 0,36
II. Adição de Probabilidades
A probabilidade de ocorrência de um elemento A ou de um elemento B é dada por:
P(A U B) = n(A U B)
n(E)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
24
•
Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles nos quais P(A∩B) = 0; então P(A U B) = P(A) + P(B).
Exemplo: Um número será sorteado dentre os números naturais de 1 a 1.000. Qual é a probabilidade de
que saia um número par ou um número de dois algarismos?
E = {1, 2, 3, … ,1000} e n(E) = 1000
A = {2, 4, 6, …, 1000} e n(A) = 500
B = {10, 11, 12, …, 99} e n(B) = 90
P(A U B) = {10, 12, 14, … ,98} = n(A U B) = 45
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 500 + 90 – 45 = 545 = 54,5%
1000
1000
III. Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu o evento A, é
indicada por P (B/A) e seu cálculo se dá pela expressão:
•
Dois eventos são independentes se, e somente se, P(A/B) = P(A) ou P(A/B) = P(B).
Exemplo: Uma moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de obtermos cara no segundo
lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento?
Cara no 1º evento: B = {(C,C),(C,K)}
Cara no 2º evento: A = {(C,C),(K,C)}
P(A/B) = 1
2
Como P(A/B) = P(A) = 1 , dizemos que os eventos A e B são independentes.
2
IV. Multiplicação de Probabilidades
Como visto, P(B/A) = n(A U B) , daí concluímos que:
n(A)
•
Se A e B forem eventos independentes, então: P(A U B) = P(A) x P(B).
•
A probabilidade de retirar simultaneamente elementos de um dado conjunto A é igual á
probabilidade de retirá-los sucessivamente e sem reposição. Neste caso, a ordem de retirada dos
elementos de A deve ser levada em consideração.
Exemplo: Uma urna contém exatamente onze bolas, das quais 6 são azuis e 5 são vermelhas. Retirando-se
simultaneamente 4 bolas, qual é a probabilidade de saírem 3 bolas azuis e uma vermelha?
P = P1 + P2 + P3 + P4 = 22/66 = 10/33
25
P = 0,3030 ou 30,30%
Sessão Leitura
Origem das Probabilidades
O passo decisivo para fundamentação teórica da inferência estatística, associa-se ao desenvolvimento do
cálculo das probabilidades. A origem deste costuma atribuir-se a questões postas a Pascal (1623-1662) pelo
célebre cavaleiro Méré, para alguns autores um jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de
letras. Parece, no entanto, mais verosímil aceitar que as questões postas por Méré (1607-1684) eram de
natureza teórica e não fruto da prática de jogos de azar. Parece, também, aceitável que não foram essas
questões que deram origem ao cálculo das probabilidades. Do que não resta dúvida é de que a
correspondência trocada entre Pascal e Fermat (1601-1665) - em que ambos chegam a uma solução
correta do célebre problema da divisão das apostas - representou um significativo passo em frente no
domínio das probabilidades.
Também há autores que sustentam que o cálculo das probabilidades teve a sua origem na Itália com
Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileo (1564-1642) e outros. Se é certo
que nomeadamente Cardano no seu livro Liber de Ludo Aleae, não andou longe de obter as probabilidades
de alguns acontecimentos, a melhor forma de caracterizar o grupo é dizer que marca o fim da pré- história
da teoria das probabilidades. Três anos depois de Pascal ter previsto que aliança do rigor geométrico com a
incerteza do azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1625), entusiasmado pelo desejo de "
dar regras a coisas que parecem escapar á razão humana" publicou "De Ratiociniis in Ludo Aleae" que é
considerado como sendo o primeiro livro sobre cálculo das probabilidades e tem a particularidade notável
de introduzir o conceito de esperança matemática.
Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar das probabilidades.
Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a " arte combinatória" e outra sobre as aplicações do cálculo
das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido ao conselho de Leibniz que Jacques Bernoulli
se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. A sua obra "Ars Conjectandi", foi publicada
oito anos depois da sua morte e nela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente
provado. Pode dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades
adquiriu o estatuto de ciência. São fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das probabilidades as
contribuições dos astrónomos, Laplace, Gauss e Quetelet.
Agora vamos resolver uma questão de raciocínio lógico:
A lesma no poço
Uma lesma está no fundo de um poço que tem 15 metros de profundidade,
e quer sair dele. Como lesma é lesma, ela sobe 4 metros durante o dia, mas
desce três durante a noite. Pergunta: Em quantos dias ela conseguirá sair do poço?
Resposta: em 12 dias ela conseguirá sair do poço.
Subindo 4 metros por dia e descendo 3 à noite, no décimo primeiro dia já terá subido 11 metros.
Um dia depois, no décimo segundo dia, subindo mais 4 metros chegará à boca do poço (15 m) e não terá
porquê continuar descendo.
26
Fixação
1- Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser
retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja:
a) Par?
b) Primo?
c) Par ou primo?
d) Par e primo?
e) Nem par nem primo?
f) Par mas não primo?
g) Primo mas não par?
2- No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou números
iguais nas faces superiores?
3- Numa classe há 16 homens e 20 mulheres, dos quais metade dos homens e metade das mulheres
têm cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja homem
ou tenha cabelos castanhos?
4- Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter “cara”
ou um 6?
5- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas e, ao mesmo tempo, uma moeda é
lançada. Qual é a probabilidade de se obter:
a) Carta vermelha e cara?
b) Carta vermelha ou cara?
c) Carta de figura (dama, valete, rei) e coroa?
d) Carta de figura ou coroa?
6- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta
retirada ser:
a) Copas?
b) Dama?
c) Copas ou dama?
d) Copas e dama (dama de copas)?
e) Não copas?
f) Não dama?
g) Nem copas nem dama?
7) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:
a) Um número par?
b) Um número primo?
c) O número 3?
d) Um número menor do que 3?
8) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de, ao acaso, retirar:
a) Uma bola vermelha?
b) Uma bola branca?
9) Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. Dobre-os igualmente de modo que
qualquer um deles tenha a mesma chance de ser retirado de uma caixa. Qual a probabilidade de
que o número retirado seja:
a) Par?
b) Divisível por 3?
c) Um número primo?
27
d) Maior do que 8?
e) Menor do que 10?
f) Um número entre 5 e 10?
g) Múltiplo de 4?
10) Qual a probabilidade de, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:
a) Uma carta de copas?
b) Um ás?
c) Um ás de copas?
d) Uma carta com naipe vermelho?
e) Um “três” vermelho?
11) No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que:
a) Em ambas ocorra cara?
b) Em uma ocorra cara e na outra coroa?
c) Não ocorra nenhuma cara?
d) Ocorra exatamente uma coroa?
12) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos e distinguíveis, um branco e outro vermelho, qual
é a probabilidade de que:
a) A soma seja 7?
b) A soma seja par?
c) A soma seja um número primo?
d) A soma seja maior do que 1 e menor do que 8?
e) Ambos os números sejam pares?
f) Ambos os números sejam iguais?
g) O primeiro número seja múltiplo do segundo?
13) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Faça um diagrama de arvore para mostrar todos os
possíveis arranjos de meninos e meninas. Qual é a probabilidade de que:
a) Duas crianças sejam meninos e a outra, menina?
b) Todas as crianças sejam meninas?
c) Pelo menos uma criança seja menino?
d) Todas as crianças sejam do mesmo sexo?
e) Nenhuma criança seja menina?
Gabarito:
a) 8/17
b) 7/17
c) 14/17
1- d) 1/17
e) 3/17
f) 7/17
227,78%
372,2%
458,3%
a) 25%
5b) 75%
c) 11,5%
d) 61,5%
a) 25%
b) 7,7%
c) 30,8%
6d) 1/52
e) 75%
f) 92,3%
g) 69,2%
7-
a) 50%
b) 50%
c) 16,7%
d) 33,3%
8-
a) 40%
b) 60%
11-
12-
9-
10-
a) 46,2%
b) 30,8%
c) 46,2%
d) 38,5%
e) 69,2%
f) 30,8%
g) 23,1%
a) 25%
b) 7,7%
c) 1,9%
d) 50%
e) 3,8%
13-
a) 25%
b) 50%
c) 25%
d) 50%
a) 16,7%
b) 50%
c) 41,7%
d) 58,3%
e) 25%
f) 16,7%
g) 38,9%
a) 37,5%
b) 12,5%
c) 87,5%
d) 25%
e) 12,5%
28
Pintou no Enem
1) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das
regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica
foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais
temperaturas são apresentadas no gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma
região que seja adequada às recomendações médicas é
a) 1/5
d) 3/5
c) 2/5
b) 1/4
e) 3/4
Texto para as questões 2 e 3
A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida
aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização
das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo.
Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95
milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da
população total nos países desenvolvidos.
29
2) Suponha que o modelo exponencial y = 363 eº˒º³˟, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no
ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e º˒³ = 1,35, estima-se que a população
com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões
3) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na
população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de:
a) 1/2
b) 7/20
c) 8/25
d) 1/5
e) 3/25
4) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de
um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de
vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com
exatamente dois aparelhos defeituosos?
a) 2 · (0,2%)⁴
b) 4 · (0,2%)²
c) 6 · (0,2%)² · (99,8%)²
d) 4 · (0,2%)
e) 6 · (0,2%) · (99,8%)
5) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas
da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria,
especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis
dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar
apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em
comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no
segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:
a) 1 1/2 vez menor.
b) 2 1/2 vezes menor.
c) 4 vezes menor.
d) 9 vezes menor.
e) 14 vezes menor.
Gabarito:
12345-
e
e
c
c
c
30
Referências
BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula. Volume único. São Paulo: FTD, 2000.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2005.
PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005.
ENEM. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/web/enem/enem>. Acesso em: 24 mar. 2014.
Matemática. Disponível em: <www.matematiques.com.br>. Acesso em: 06 de mai. 2014.