Instituto Federal de Santa Catarina Curso superior de tecnologia em sistemas de telecomunicação Processamento de Sinais Digitais - PSD Solução Solução de de sistemas sistemas ee Resposta Resposta de de entrada entrada nula nula Prof. Diego da Silva de Medeiros Fonte: Lathi – Sinais e Sistemas Lineares São José, Agosto de 2013 Equação Equação diferença diferença ee Notação Notação Operacional Operacional ● Equação diferença genérica: y [n+ N ]+a1 y [ n+ N −1]+...+a N y [n]=b0 x [ n+ M ]+b1 x [n+ M −1]+...+b M x [n] ● Equação diferença em notação operacional: N N −1 N N −1 E + a E +...+a E +a y [n]= b E +b E +...+b N −1 E +b N ) x [n] ( (0 1 N −1 N) 1 ● Forma alternativa: Q [ E ] y [n]= P [ E ] x [n] onde N N −1 Q [ E ] = E +a1 E +...+ a N −1 E + a N P [ E ] = b0 E N +b1 E N −1 +...+b N −1 E +b N Solução Solução de de sistemas sistemas (1) (1) ● Sistema 1 – Bicicleta em via horizontal ● Entrada – Força da perna pedalando ● Saída – Movimento da bicicleta Solução Solução de de sistemas sistemas (2) (2) ● Sistema 2 – Bicicleta em via inclinada ● Entrada – Força da perna pedalando ● Saída – Movimento da bicicleta ● Condições iniciais – Movimento da bicicleta “na banguela” Solução Solução de de sistemas sistemas (3) (3) ● Solução total do sistema medida separadamente: ● ● Resposta do sistema devido às condições iniciais ● Entradas iguais a zero ● Resposta de entrada nula Resposta do sistema devido à entrada ● Condições iniciais iguais a zero ● Resposta de estado nulo Resposta Resposta de de entrada entrada nula nula (1) (1) ● Solução da equação diferença, assumindo que não há sinais de entrada ● Também conhecida como solução homogênea y [n+ N ]+a1 y [ n+ N −1]+...+a N y [n]=0 ou N N −1 E + a E +...+a N −1 E +a N ) y [n]=0 ( 1 ou Q [ E ] y [n]=0 onde N Q [ E ] = E +a 1 E ● N −1 +...+a N −1 E + a N Versões deslocadas do sinal de saída devem somar 0 Resposta Resposta de de entrada entrada nula nula (2) (2) ● O único sinal que respeita a solução homogênea é a exponencial E k (γn )=γk +n =γk γn ● Solução da resposta de entrada nula na forma: y 0 [n]=c γ n ● Substituindo c ( γN + a 1 γN −1 + ... + a N −1 γ + a N ) γn =0 Resposta Resposta de de entrada entrada nula nula (3) (3) ● Solução não trivial: γ N + a1 γ N −1 + ... + a N −1 γ + a N =0 ou Q [γ]=0 ● Solução não trivial é um polinônio de grau N (γ − γ1 )(γ − γ2 )⋯(γ − γN )=0 ● Problema pode ser de três formas: ● Raízes distintas ● Raízes repetidas ● Raízes complexas Soluções Soluções –– Raízes Raízes distintas distintas ● Raízes distintas: (γ − γ1 )(γ − γ2 )⋯(γ − γN )=0 com γ1 ≠ γ2 ≠ ⋯ ≠ γN ● Solução: y 0 [n]=c 1 γn1 +c 2 γn2 +⋯+c N γnN onde ci =constantes do problema, obtidas a partir das condições iniciais Soluções Soluções –– Raízes Raízes repetidas repetidas ● Raízes repetidas: (γ − γ1 )(γ − γ2 )⋯(γ − γN )=0 com γ1 = ⋯ = γN ● Solução: y 0 [n]=( c0 + c 1 n + c 2 n2 + ⋯ + c N −1 n N −1 ) γn1 onde ci =constantes do problema, obtidas a partir das condições iniciais Soluções Soluções –– Raízes Raízes complexas complexas ● Raízes complexas (forma polar): γ = α e jβ e ● γ* = α e− j β Solução: y 0 [n]=c 1 γ + c 2 ( γ ) n ● Para um sistema real c jθ c 1= e e 2 ● * n c − jθ c 2= e 2 E então: c y 0 [n]= α n cos(βn+θ) 2 Nomenclatura Nomenclatura Q [γ] Polinônio característico Q [γ]=0 Equação característica γ1, γ2, ⋯, γN Raízes ou valores característicos, autovalores γ1n , γn2 ,⋯, γnN Modos característicos, modos naturais y 0 [n] Resposta de entrada nula Exercícios Exercícios (Lathi) (Lathi) ● Exemplo 3.10, pg. 252 ● Exercícios E3.11, E3.12 e E3.13, pg. 255 ● Exemplo de computador C3.4 para os sistemas dos outros exercícios