Estabilidade
Uma característica importante para o sistema de controle é que ele seja estável. Sem ela
qualquer outra característica, como a de um bom desempenho, não faz sentido.
Para sistemas lineares, as características de estabilidade podem ser definidas em termos
de pólos e zeros da função de transferência de malha fechada.
DEFINIÇÃO E ESTABILIDADE
Um sistema pode ser dito estável, se entradas limitadas (finitas) geram saídas limitadas .
Por exemplo:
Um sistema é estável , quando sujeito a uma entrada em impulso a saída tende ao valor
inicial a medida que o tempo tende a infinito .
Um sistema é instável se a saída tende a infinito quando o tempo tende a infinito.
Um sistema é criticamente estável se a saída não tende ao valor inicial nem a infinito,
mas tende a um finito diferente do inicial.
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Como ponto de partida para análise de estabilidade, consideremos diagrama de blocos
em malha fechada.
Em malha fechada, temos:
Y  s 
Gc G f G p
1  Gc G f G p Gm
Ysp  s 
De forma simplificada, temos:
Gd
d  s
1  Gc G f G p Gm
Estabilidade
Y  s 
Gc G f G p
Ysp  s 
1  Gol
Gd
d  s
1  Gol
Onde: GOL é a função de transferência em malha aberta (Open Loop).
GOL ( s) 
Ym  s
 Gc G f G p G m
Ysp  s
Malha aberta - é o sistema onde a entrada não depende da saída.
Considerando o problema servo, temos
Gc G f G p
Y  s

 G  s
1  Gol
Ysp  s
O denominador é um polinômio onde as raízes são obtidas da equação chamada Equação
Característica .
1  Gol  0
PÓLOS E ZEROS
A função de Transferência em malha fechada G s de um sistema pode ser representada
por:
G  s 
K  s m  a m1 s m1  a m 2 s m 2  a1 s  a 0 
s
n
 bn 1 s n 1  bn  2 s n  2 b1 s  b0 
e se as raízes do denominador e do numerador são conhecidas:
G  s  K
 s  z  s  z s  z 
 s  p  s  p  s  p 
1
2
1
2
m
n
Onde:
Zeros - são as raízes do numerador
(  z1 , z2 , , zm )
Pólos - são as raízes do denominador   p1 , p2 , , pn 
Ganho - constante ou ganho do sistema (K)
Os zeros são os valores de “s” para os quais a função de transferência é zero.
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Os pólos são os valores de “s” para os quais a função de transferência é infinito, isto é, o
denominador é zero.
Em geral os pólos e zeros podem ser escritos como:
s    j
Onde:

j
- é a parte real
- é a parte complexa ou imaginária
DIAGRAMA DE PÓLOS E ZEROS
Os pólos e zeros de uma função de transferência podem ser representado em um
diagrama de pólos e zeros. A figura a seguir mostra os eixos deste tipo de diagrama.
Eixo x
Eixo y
- Parte real (Re) do pólo ou zero
- Parte imaginária (Im) do pólo ou zero
Pólo - Marcado com “x”
Zero - Marcado com “”
ESTABILIDADE E PÓLOS
Critério geral de estabilidade
O sistema de controle feedback é estável se e somente se, todas as raízes da equação
característica (1+Gol) tem parte real negativa.
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Comportamento do sistema em função das raízes (resposta ao Degrau)

Raiz real negativa - Estável

Raiz real positiva - Instável

Raízes complexas com parte real negativa - Estável
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
Raízes complexas com parte real positiva - Instável

Raiz real na origem - Criticamente Estável
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH - HURWITZ
A determinação da estabilidade requer o conhecimento das raízes da equação
característica. Atualmente as raízes do polinômio são obtidos facilmente por meios
computacionais, mas existe um método simples que permitem determinar o número de raízes
com parte real positiva, que é conhecido como Teste de Routh.
A maior utilidade é permitir um cálculo rápido de um determinado parâmetro (ex: k c , que
coloca a malha fechada no limite de estabilidade).
O teste não se aplica a sistemas com o tempo morto.
Procedimento
1.
Expandir a equação característica na forma polinomial.
1  GOL  a n s n  a n 1 s n 1  a1 s  a 0  0
Onde:
an  0
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2.
Se algum coeficiente for negativo ou zero, pelo menos uma raiz possui parte real positiva,
portanto o sistema é instável.
3.
Se todos os coeficientes forem positivos, existe a possibilidade de ter raizes com parte real
positiva, então monta-se a matriz de Routh.
s n  an

s n 1 a n 1
s n 2  b1

s n  3  c1
  

s 2  x1
s 1  y1

s 0  z1
a n2
a n3
b2
c2

a n4
a n 5
b3
c3

an6
an7
b4
c4

x2
y2
0
x2
0
0
0
0
0
 a2
 a3
 bn 1
 0




0
0
0
a0 
a1 

0

0


0
0

0 



 A  C 







 B  D 
 E

 A
E  C D
 B
Onde:
 an 
a
b1  a n  2  
 a n 1  n 3
 an 
a
b2  a n  4  
 a n 1  n  5
 an 
a
bi  a n  2i  
 a n  1  n  2 i i 1
 a n 1 
b
c1  a n  3  
 b1  2
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 a n 1 
b
c2  a n 5  
 b1  3

 a n 1 
b
ci  a n  2i 1  
 b1  i 1

 x1 
z1  x 2    y 2
 y1 
4. Se algum dos coeficientes da primeira coluna for negativo,então há raízes com parte real
positiva, portanto o sistema é instável
EXEMPLOS:
1) Determinar a estabilidade de um sistema com a equação característica.
s 4  5s 3  3s 2  1  0
Solução:
Representando a forma completa, temos:
s 4  5s 3  3s 2  0s  1  0
O sistema é instável, pois tem um coeficiente igual a zero
2) Determinar a faixa de valores que o parâmetro k c pode ter, enquanto mantém a estabilidade.
Solução:
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Equação Característica
1  kc
1
1
1


0
2 s  1 5s  1 s  1
10s 3  17 s 2  8s  1  k c  0
Todos os coeficientes são positivos, desde que 1+Kc >0
1  k c  0  k c  1
A matriz de Routh é:
8 
s 3 10

2 
s 17 1  K c 
0 
s1  b1

0 
0 
s  c1
 10 
b1  8    1  k c   0  101  k c   17  8  k c  12,6
 17 
 17 
c1  1  k c     0  0  1  k c  0  k c  1
 b1 
Para o sistema ser estável:
 1  k c  12,6
MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO DIRETA
No limite de estabilidade as raízes da equação característica está sobre o eixo imaginário.
Neste ponto o sistema estará oscilando permanentemente com freqüência.
u 

u
Esta freqüência u e o ganho último (Kcu) podem ser determinados reconhecendo que as
raízes, no limite são da forma s  j u .
Substituindo s  j u na equação característica e igualando a zero as partes real e
imaginária resultantes, obtém-se duas equações algébricas que permitem a determinação de
k cu e  u .
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Estabilidade
EXEMPLO
Use o método de substituição direta para determinar o Kc máximo do sistema com
equação característica.
10s 3  17 s 2  8s  1  k c  0
Solução:
Substituindo s  j u na equação característica temos:
10 j u   17 j u   8 j u   1  k cu  0
3
2
 10 j u 3  17 u 2  8 j u  1  k cu  0
Separando as partes real e imaginária, temos:
k  17   j 8  10   0
1 
 
2
cu
3
u
u
Re
u
Im
A equação acima é satisfeita, se:
1  k cu  17 u 2  0
(I)
8 u  10 u 3  0
(II)
Resolvendo ( II ), temos:
 u (8  10 u 2 )  0
8  10 u 2  0
 u 2  0,8
 u  0,894
  u  0,894
Substituindo em u (I), temos:
1  k cu  17  0,8  0
k cu  12,6
Concluímos que k c  12,6 para o sistema ser estável.
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Estabilidade
Em k cu  12,6 temos uma oscilação de freqüência u = 0,894 rad /min, se a unidade da
constante de tempo for em “min”. Correspondendo a um período.
Pu 
2
 7,03 min
0,894
ESTABILIDADE RELATIVA
O critério de estabilidade de Routh
absoluta.
fornece a resposta à questão de estabilidade
Em muitos casos não é suficiente, freqüentemente é necessário saber quão próximo um
sistema estável está de se tornar instável, isto é , de sua estabilidade relativa.
Um método útil de examinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano “s” e aplicar
o critério de estabilidade de Routh em relação ao novo eixo.
Ou seja, substituímos:
s  s  
onde   cons tan te
na equação característica, escrever o polinômio em termos de “s” e depois aplicamos o teste de
Routh para o novo polinômio.
O deslocamento do eixo para - significa que, no denominador da função de
transferência, todos os valores de “s” estão substituídos por  s   
Esquematicamente:
EXEMPLO:
O sistema, que tem uma função de transferência com denominador abaixo, tem alguma
raiz mais próxima do eixo 0 do que -1?
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Estabilidade
s 3  4 s 2  8s  4  0
Solução:
Verificando a estabilidade absoluta
s 3 1

s 2 4
s 1 7

s 0 4
8
4

0

0
O sistema é Estável
Verificando a estabilidade relativa
Deslocando o eixo para -1
 s  1 3  4 s  1 2  8 s  1  4  0
 s 3  3s 2  3s  1  4 s 2  2 s  1  8 s  1  4  0
s 3  s 2  3s  1  0
Aplicando o teste de Routh
3
s3  1

2 
s  1  1
0
s1  4

0 
s  1 0 
O sistema é Instável
Existe apenas uma raiz à direita do eixo -1.
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