RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de
Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de
Computadores (DEEC)
CONTROLO
1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação
Tempo-Frequência
A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode
consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas
transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora
não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.
Revisão: Março de 2007
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos
autores
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
Março.2007
1/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequência
•
O que é o estudo da Resposta em Frequência
de um SLIT?
– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal
Figura retirada de Análise de
Sistemas Lineares
Lineares, M
M. Isabel
Ribeiro, IST Press, 2001
Reprodução proibida
Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil
sinusoidal, com velocidades crescentes:
• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são
semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e viceversa,
• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à
observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da
ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai
assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate
com a cabeça no tejadilho
tejadilho,
• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase
imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante
agradável !
Março.2007
2/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do
condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequência
conceito (revisão)
r(t)=A sinw1t
y(t)
G(s)
entrada sinusoidal
‰ como é a componente forçada da resposta ?
‰
Aω1
s2 + ω12
Y( s ) =
Aω1
G(s)
2
2
s + ω1
G(s) =
N(s)
(s + p1 )(s + p 2 )L(s + pn )
Assumem-se
pólos simples sem
perda de
generalidade
n
c1
c2
Ri
Y( s ) =
+
+∑
s + jω1 s − jω1 i=1 s + si
c1 =
Aω1
A
G( s) s= − jω = − G( − jω1 )
1
s − jω1
2j
c2 =
Aω1
A
G( s) s= jω = G( jω1 ) = c1
1
s + jω1
2j
n
A
A
− jω1t
jω1t
y( t ) = − G( − jω1 )e
+ G( jω1 )e + ∑ Rie −sit
2j
2j
i =1
resposta forçada
y( t ) = y f ( t ) + y n ( t )
resposta natural
A resposta em frequência de um
SLIT analisa a evolução da
componente forçada da resposta a
uma entrada sinusoidal.
Março.2007
3/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
R(s) =
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequência
conceito (revisão)
y( t ) = −
A
A
G( − jω1 )e − jω1t + G( jω1 )e jω1t + y n ( t )
2j
2j
resposta
natural
resposta forçada
G(s) – função complexa
de variável
complexa
G( − jω1 ) = G( − jω1 ) e j arg G( − jω1 )
G(s) = G(s) e j arg G( s )
G( jω1 ) = G( jω1 ) e j arg G( jω1 )
G( jω)
função par
arg G( jω) função ímpar
G( − jω1 ) = G( jω1 ) e − j arg G( jω1 )
G( jω1 ) = G( jω1 ) e j argg G( jω1 )
⎛ e jω1t .e j arg G( jω1 ) − e − jω1t .e − j arg G( jω1 ) ⎞
⎟⎟
y f ( t ) = A G( jω1 ) ⎜⎜
2j
⎝
⎠
y f ( t ) = A G( jω1 ) sin((ω1t + arg
g G( jω1 ))
Março.2007
4/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
componente forçada da saída
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequência
conceito (revisão)
r(t)=A sinw1t
•
•
•
G(s)
yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))
SLIT contínuo
tí
Excitado por um sinal sinusoidal
A componente forçada da saída é ainda:
– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência
– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas
com a amplitude e fase do sinal de entrada
desfasagem
componente forçada do
sinal de saída
•
|G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1
•
arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1
Março.2007
5/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
sinal de entrada
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Função Resposta em Frequência
G( jω) = G(s) s= jω
•
F
Função
ã R
Resposta
t em F
Frequência
ê i G(j
G(jw))
– Função de transferência calculada ao longo do
eixo imaginário
•
Para sistemas causais e estáveis
• A Função Resposta em Frequência é a
Transformada de Fourier da Resposta Impulsional
G( jω) = TF[h( t )]
• Diagrama de Bode
• Diagrama de Nyquist
• Diagrama de Nichols
Estudo da
estabilidade de
SLITs em cadeia
fechada
Março.2007
6/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
Representação gráfica da Função Resposta em
Frequência
• Que funções é preciso representar ?
• |G(jw)|
• Arg G(jw)
• Que tipo de representação
Diagrama de Bode
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Aproximação assimptótica
Representação gráfica da Função Resposta em Frequência
•
•
20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)
Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)
exemplo
G(s) =
K(1 + sT1 )(1 + 2ξ1s / w n1 + (s / w n1 )2
s(1 + sτ1 )(1 + 2ξ 2s / w n2 + (s / w n2 )
G( jw ) =
2
função de transferência
K(1 + jwT1 )(1 + j2ξ1w / w n1 + ( jw / w n1 )2
jw (1 + sτ1 )(1 + j2ξ 2 w / w n2 + ( jw / w n2 )2
função resposta em
frequência
Característica de amplitude
G( jw ) =
K (1 + jwT1 ) (1 + j2ξ1w / w n1 + ( jw / w n1 )2 )
jw (1 + sτ1 ) (1 + j2ξ 2 w / w n2 + ( jw / w n2 )2 )
quociente de produtos
de termos
O diagrama
di
d
de B
Bode
d ((amplitude)
lit d ) representa
t
G( jw ) dB = 20 log G( jw )
dB
− jw dB − (1 + sτ1 ) dB − (1 + j2ξ 2 w / w n2 + ( jw / w n2 )2 )
dB
soma algébrica de
termos
Característica de fase
arg G( jw ) = arg K + arg(1 + jwT1 ) + arg(1 + j2ξ1w / w n1 + ( jw / w n1 )2 )
− arg( jw ) − arg(1 + sτ1 ) − arg(1 + j2ξ 2 w / w n2 + ( jw / w n2 )2 )
Março.2007
7/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
G( jw ) = K dB + (1 + jwT1 ) dB + (1 + j2ξ1w / w n1 + ( jw / w n1 )2 )
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos)
G(s) = K
função de transferência
G( jw ) = K
G( jw ) dB = K dB
⎧⎪ 0º se K > 0
arg G( jw ) = ⎨
⎪⎩180º se K < 0
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
função resposta em frequência
180º
Março.2007
8/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos)
G(s) =
10
s
G( jw ) =
10
jw
G( jw ) dB = (10 )dB − jw dB = 20dB − 20 log w
Recta com declive
–20dB/década
passando em 0dB para w=1
• Qual é o ganho estático deste sistema ?
• Qual é o ganho de baixa frequência ?
• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?
• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada
r(t)=2sin(100t) ?
Março.2007
9/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
arg G( jw ) = arg(10 ) − arg( jw ) = 0 − 90 º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos)
G(s) =
1
1 + sT
G( jw ) =
1
1 + jwT
característica de amplitude
G( jw ) dB = −20 log 1 + (wT )
2
Baixa frequência w << 1 T ⇒ wT << 1
G( jw ) dB ≅ −20 log1 = 0dB
Alta frequência
assímptota de baixa
frequência
w >> 1 T ⇒ wT >> 1
G( jw ) dB ≅ −20 log wT = −20 log w − 20 log T
assímptota de alta
frequência
Recta com declive
–20dB/década
passando em 0dB para w=1/T
característica de fase
arg G( jw ) = − arg(1 + jwT ) = −arctg( wT )
Alta frequência
arg G( jw ) ≅ 0º
w =1 T
arg G( jw ) = −
π
4
w >> 1 T ⇒ wT >> 1
arg G( jw ) ≅ −
π
2
Março.2007
10/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
Baixa frequência w << 1 T ⇒ wT << 1
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos)
G(s) =
1
1 + sT
G( jw ) =
1
1 + jwT
T=0.5
Pólo = - 2
assimptota de alta frequência
assimptota de baixa frequência
0 dB/dec
- 20dB/dec
0º
- 45º
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
- 90º
w=2rad/s – frequência de corte do pólo
Março.2007
11/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos)
T=0.5
T
0
Pólo = - 2
1
G( jw ) =
1 + jwT
1
G(s) =
1 + sT
3dB
0.2
20
2
5.71º
5.71º
0.2
w=
1
10T
w=
10
T
G( jw ) dB = −20 log 1 + ( wT )2 = −20 log 2 = −3dB
arg G( jw ) = − arg(1 + j) = −45 º
arg
g G( jjw ) = − arg
g⎛⎜1 + j ⎞⎟ = −5.71º
10 ⎠
⎝
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
1
w=
T
20
2
arg G( jw ) = − arg(1 + 10 j) = −90 º +5.71º
Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase
total com um ângulo que varia, de uma década
antes a uma década depois, de 0º a –90º
passando a –45º na frequência de corte.
Março.2007
12/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Largura de Banda – Relação Tempo-Frequência
Largura de Banda (a 3dB)
• Banda de frequência na qual o módulo da função
resposta em frequência não cai mais de 3dB em
relação ao ganho de baixa frequência.
Ko
Ko-3dB
wBW
w
• A Largura de Banda traduz a capacidade de um
sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os
sinais aplicados à sua entrada
Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,
LB=2rad/s
Março.2007
13/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
Largura de Banda =frequência de
corte do pólo
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Largura de Banda – Relação Tempo-Frequência
G1( s ) =
w1
s + w1
G 2 (s) =
w 2 > w1
w2
s + w2
ganho estático unitário
1/w2
w2
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
w1
1/w1
Largura de banda maior
Resposta mais rápida
Março.2007
14/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
G( s ) =
250
( s + 5 )2
PERGUNTAS
• Ganho estático ?
• Declive da
• Assimptota de baixa frequência
• Assimptota de alta frequência
• Fase para
• Baixas
B i
ffrequências
ê i
• Altas frequências
RESPOSTAS
• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB
• Declive da
• Assimptota de baixa frequência
• O sistema não tem pólos nem zeros na origem
• declive = 0db/dec
• Assimptota de alta frequência
• # pólos - # zeros = 2
• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)
• Fase para
• Baixas frequências
• Sistema é de fase mínima
• Sistema não tem pólos e zeros na origem
• Fase para w → 0 rad / s é igual a 0º
0
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
• Altas frequências
• Sistema é de fase mínima
• # pólos - # zeros = 2
• Fase para w → ∞ é igual a –180º
A contribuição para a amplitude e para a fase
de um pólo duplo é a soma das contribuições
de dois pólos reais simples.
Março.2007
15/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
250
( s + 5 )2
G( s ) =
forma das
constantes de
tempo
250
( s + 5 )2
G( s ) =
10
s⎞
⎛
⎜1 + ⎟
5⎠
⎝
2
Deste modo a assimptota de baixa frequência
correspondente ao pólo duplo passa em 0dB
6d
6dB
2*5.71º
-90º
-180º
2*5 71º
2*5.71º
Março.2007
16/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
G( s ) =
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Relação Tempo Frequência
Sistema 1
G1 ( s ) =
Sistema 2
50
(s + 5)
Sistema de 1ª ordem
Pól reall simples
Pólo
i l em –5
5
Ganho estático = 10
G 2 (s) =
250
( s + 5 )2
Sistema de 2ª ordem
Pólo real duplo em –5
5
Ganho estático = 10
• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?
• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?
LB1 = 5 rad / s
LB 2 ≅ 3.15 rad / s
Característica de amplitude junto da
frequência de corte
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o, António Pascoal
Resposta a uma entrada escalão
Março.2007
17/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e
pólos reais não nulos
G( s ) =
100
s( s + 10 )( s + 100 )
Assimptota de alta frequência com declive de
3*(-20)
3
(-20) = - 60dB/dec
3 pólos
0 zeros
G( s ) =
0.1
• Ganho estático ?
0 .1
s(1 + s / 10 )(1 + s / 100 )
1
10
100
1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
0º
- 90º
- 180º
- 270º
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Março.2007
18/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e
pólos reais não nulos
G( s ) =
100
s( s + 10 )( s + 100 )
Assimptota de alta frequência com declive de
3*(-20)
3
(-20) = - 60dB/dec
3 pólos
0 zeros
G( s ) =
0.1
• Ganho estático ?
0 .1
s(1 + s / 10 )(1 + s / 100 )
1
10
100
1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
0º
- 90º
- 180º
- 270º
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Março.2007
19/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos)
• Qual
Q l é a contribuição
t ib i ã d
de um ffactor
t d
do titipo (1+j
(1+jwT)
T) ?
¾
Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas
relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de
corte
20 log
g 1 + jjwT = 20 log
g 1 + ( wT )2
wT >> 1
20 log 1 + ( wT )2 ≅ 20 log( wT ) = 20 log w + 20 log T
T=0.1
+ 20dB/dec
20
3dB
90º
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
45º
frequência de corte do zero
Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase
total com um ângulo que varia, de uma década
antes a uma década depois, de 0º a 90º
passando a +45º na frequência de corte.
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Março.2007
20/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um
zero reais
G( s ) =
0 .1( s + 10 )
( s + 0 .1)
contribuição do zero
ganho estático
40dB
20dB
-20dB/dec
0.01
0.1
1
10
100
w (rad/s)
-20dB
Excesso pólos-zeros = 0
-40dB
Assimptota
p
de alta frequência
q
com declive nulo
90º
90
45º
0.01
0.1
1
10
100
w (rad/s)
- 45º
- 90º
Não há p
pólos nem zeros na origem
g
Excesso pólos-zeros
pólos zeros = 0
A fase para muito baixa freq. é nula
A fase para muito alta freq. é nula
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Março.2007
21/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
0º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Relação Tempo-Frequência
• Ganho de Baixa Frequência
lim G( jw ) = K 0
ganho estático do sistema
w →0
K 0 = lim G(s) = lim y(t)
Ganho da
Resposta em
Frequência à
frequência
q
w=0
s →0
G( s ) =
0.1
Para uma
entrada escalão
unitário
s
( s + 1) 2
0dB 1
t →∞
G( s ) =
1
( s + 1) 2
0.1
10
1
10
0dB
-20dB
-20dB
-40dB
-40dB
-20dB/dec
+20dB/dec
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
-40dB/dec
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Março.2007
22/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
0 ≤ ζ <1
w n2
G(s) = 2
s + 2ζw ns + w n2
G( jjw ) =
ganho estático
unitário
1
w ⎛ w ⎞
⎟
1 + j2ζ
−⎜
w n ⎜⎝ w n ⎟⎠
2
Característica de amplitude
2
G( jw ) dB
w ⎛ w ⎞
⎟
= −20 log 1 + j2ζ
−⎜
w n ⎜⎝ w n ⎟⎠
G( jw ) dB
⎛ w2 ⎞ ⎛
w ⎞
⎟⎟
= −20 log ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2ζ
⎝ wn ⎠ ⎝ wn ⎠
w << w n
G( jw ) dB ≅ 0dB
w >> w n
2
Assimptota de baixa frequência
2
G( jw ) dB
⎛ w2 ⎞ ⎛
w ⎞
⎟⎟
≅ −20 log ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2ζ
w
w
n ⎠
⎝ n⎠ ⎝
2
2
⎛ w ⎞
w
⎟⎟ = −40 log
≅ −20 log⎜⎜
wn
⎝ wn ⎠
Assimptota de
alta
frequência
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
2
Declive de –40dB/dec
passando em 0dB para w=wn
w=wn é a frequência de corte associada ao
par de pólos complexos conjugados
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
Março.2007
23/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
0 ≤ ζ <1
w n2
G(s) = 2
s + 2ζw ns + w n2
ζ = 0 .1
ζ = 0 .2
ζ = 0 .3
ζ = 0 .5
2
Para 0 < ζ < 0.707 a característica real apresenta um pico de
ressonânica
frequência de
w r = w n 1 − 2ζ 2
ressonância
wr < wn
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
ζ→0
⇒
Março.2007
wr → wn
24/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
ζ = 0.707 = 2
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
0 ≤ ζ <1
w n2
G(s) = 2
s + 2ζw ns + w n2
ζ = 0.1
ζ = 0 .2
ζ = 0.3
ζ = 0 .5
ζ =1
ζ = 0.707 = 2
2
6dB
Para 0 < ζ < 0.707 a característica real apresenta um pico de ressonânica
w r = w n 1 − 2ζ 2
1
2ζ 1 − ζ 2
1
G( jw n ) =
2ζ
em unidades lineares,
numa situação de ganho
estático unitário
Para ζ > 0.707 embora haja sobreelevação na resposta
no tempo não há ressonância na resposta em frequência
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
Março.2007
25/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
G( jw r ) =
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
0 ≤ ζ <1
w n2
G(s) = 2
s + 2ζw ns + w n2
G( jw ) =
w n2
G(s) =
(s + 2ζw n + jw d )(s + 2ζw n − jw d )
1
w ⎛ w ⎞
⎟
−⎜
1 + j2ζ
w n ⎜⎝ w n ⎟⎠
2
jw
Característica de fase
arg G( jw ) = −arctg
w
wn
⎛ w ⎞
⎟⎟
1 − ⎜⎜
⎝ wn ⎠
2
= −θ1 − θ2
w << w n
arg G( jw ) ≅ 0º
w = wn
arg G( jw ) = −90º
w >> w n
arg G( jw ) ≅ −180 º
jw n
θ1
jw 1
θ2
σ
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
2ζ
w=wn é a frequência de corte associada
ao par de pólos complexos conjugados
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26/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Aproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
0 ≤ ζ <1
w n2
G(s) = 2
s + 2ζw ns + w n2
G( jw ) =
w n2
G(s) =
(s + 2ζw n + jw d )(s + 2ζw n − jw d )
1
w ⎛ w ⎞
⎟
1 + j2ζ
−⎜
w n ⎜⎝ w n ⎟⎠
2
ζ = 0.1
ζ = 0 .2
ζ = 0.3
ζ = 0 .5
ζ =1
Como são os diagramas
g
de amplitude
p
e fase p
para ζ = 0
2
?
Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase)
para um par de zeros compexos conjugados?
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27/Cap.10
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o, António Pascoal
ζ = 0.707 = 2
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Sistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge
Tacoma Narrows
• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington
• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses
• O efeito
f
do vento induziu uma excitação na frequência
f
natural do sistema
• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um
sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/
http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.html
http://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html
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28/Cap.10
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela
actuavam,
t
em particular
ti l d
do vento
t
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Sistemas de Fase Não Mínima
G1(s) =
s + 10
s +1
G2 ( s) =
s − 10
s +1
sistema de fase mínima
sistema de fase não mínima
w
10
G1( jw ) = 10.
1 + jw
w
10
G2 ( jw
j ) = −10.
1 + jw
1+ j
1− j
⎛w⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
G1( jw ) = G2 ( jw ) = 10.
⎛w⎞
arg G1( jw ) = arctg⎜ ⎟ − arctg( w )
⎝ 10 ⎠
-10
-1
a mesma
característica de
amplitude
1 w2
1+
⎛ w⎞
arg G2 ( jw ) = 180 º +arctg⎜ − ⎟ − arctg( w )
⎝ 10 ⎠
θz
θp
θp
θz
2
-1
10
arg G1( jw ) = θ z − θp
arg G2 ( jw ) = θ z − θp
90º
0.1
1
10
100
90º
0º
0º
- 90º
- 90º
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0.1
Março.2007
1
10
100
29/Cap.10
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o, António Pascoal
180º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Sistemas de Fase Não Mínima
G1(s) =
s + 10
s +1
s − 10
s +1
sistema de fase não mínima
© M. Isabel Ribeiro
o, António Pascoal
sistema de fase mínima
G2 ( s) =
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30/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Identificação de Sistemas
•3S
SLITs
• Todos com a mesma característica de amplitude
• Características de fase distintas
Sistema 1
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o, António Pascoal
Sistema 2
Sistema 3
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31/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Identificação de Sistemas
• 3 SLITs
• Todos com a mesma característica de amplitude
• Características de fase distintas
G(s) = (± 10 )
s ±1
s ± 10
Sistema 1
Sistema 2
G1(s) = 10
s −1
s + 10
G2 (s) = −10
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s +1
s − 10
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G3 (s) = 10
s +1
s + 10
32/Cap.10
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o, António Pascoal
Sistema 3
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Pólos dominantes e não dominantes
G(s) =
25 * a
(s + a)(s2 + 4s + 25)
G(s) =
25
(s2 + 4s + 25)
a=8
a=3
a=1
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a=8
a=3
a=1
a
1
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33/Cap.10
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de Bode
Pólos dominantes e não dominantes
G(s) =
w n2p s 2 + 2ζ z w nz s + w n2z
w n2z s2 + 2ζ p w np s + w n2p
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
Sistema 4
1
1
1
1.2
0.2
0.7
0.5
0.5
1
1
1.2
1
0.5
0.5
0.5
0.5
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identifique os sistemas
w n z ζ z w np ζ p
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