VIII FESTIVAL GEIA DE LITERATURA
IV GINCANA GEIA DO CONHECIMENTO
III OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA
NÍVEL 3 – Ensino Médio
Data: 10 de agosto de 2012
Realização:
NOME: ________________________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE: ________________
A duração da prova é de 3 horas.
Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros ou ainda o
uso do telefone celular.
Você pode solicitar papel para rascunho.
Entregue a prova e as folhas de respostas.
1) Numa divisão de números naturais, o dividendo é 34, o quociente é o sucessor do divisor e
o resto é o maior possível. O quociente dessa divisão é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
2) Imagine que três cometas A, B e C passem próximos à Terra em intervalos regulares de 10
anos, 19 anos e 30 anos, respectivamente. Se os três passaram em 1912, em que ano
ocorrerá novamente a passagem dos três?
a) 2013
b) 2018
c) 2150
d) 2350
e) 2482
3) Na figura, determine ( x + y )3
a) 16(5 + 3 3 )
b) 8(3 + 2 )
c) 4(4 + 3 3 )
d) 4(4 + 2 )
e) 1
4) Cada time da primeira divisão do campeonato maranhense de futebol jogou 15 vezes,
tendo o time do São José, um aproveitamento de 60% dos pontos que disputou. Nesse
campeonato, a pontuação final de cada time foi obtida considerando-se 3 pontos por vitória
e 1 ponto por empate. Se o time do São José sofreu 2 derrotas, então o número de empates
desse time foi:
a) 5
b) 8
c) 7
Realização: Instituto Geia e Faculdade Pitágoras
d) 6
e) 9
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5) O maratonista Manoel, treinando para a maratona de São José de Ribamar, corre 10 km no
primeiro dia e aumenta o seu percurso de 500 m a cada dia. Depois de 65 dias consecutivos
de treinamento, Manoel terá percorrido:
a) 2 400 km
6) Sendo S =
a) 1
b) 1 420 km
c) 1 760 km
d) 1 690 km
e) 2 560 km
1
1
1
+
+L +
é um número inteiro igual a:
1+ 2
2+ 3
15 + 16
b) 3
c) 6
d) 9
e) 10
7) O produto P = 2. 2 . 4 2 . 8 2 K é um número inteiro igual a:
a) 8
8) Se
b) 6
c) 4
d) 7
e) 5
( x − 1) 2 A Bx + C
= + 2
, os valores de A , B e C são respectivamente:
x3 + x
x x +1
a) 1, 0, − 2
b) 2, 5, − 3
c) 2 , 0 , 1
d) 1, 2, 3
e) 1, − 2, 3
9) Corta-se um arame de comprimento L em duas partes, para se formar, com uma parte, um
quadrado, e, com outra parte, um triângulo equilátero. Qual deve ser a medida do lado do
quadrado, em função de L , para que a soma das áreas das duas figuras seja mínima?
10) Sendo
, com
n +1
( −1)
2n
( −1) − ( −1)2n +1
= {0,1,2,3,...}, determine a soma dos possíveis valores da expressão
11) Chama-se radical duplo uma expressão do tipo
a ± b . Alguns radicais duplos podem
 a+ b = m+ n

ser transformados numa soma ou diferença de radicais simples 
 a − b = m − n
Se S = 4 + 2 3 + 7 − 4 3 , transforme S em radicais simples e mostre que S é um
número inteiro.
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12) Em um trapézio isóscele, as bases medem 10m e 14m e cada diagonal 13m. Calcule a
área desse trapézio.
13) Um ponto entre duas retas concorrentes está a uma distância de 3 2 cm de uma reta; de
3 cm da outra; e de 6 cm do ponto de concorrência. Determine o menor ângulo formado
pelas retas.
14) Determine a soma das raízes racionais da equação
3
(1 + x ) 2 + 4 3 (1 − x ) 2 = 5 3 1 − x 2
15) Determine os valores de k para que o polinômio P( x) = (k 2 − 1) x 2 + 2(k − 1) x + 1 seja
positivo para todos os valores reais de x .
16) Seja
, onde
 f (4) = 5
é o conjunto dos números reais, tal que 
 f ( x + 4) = f ( x). f (4)
Calcule f ( −8) .
17) a1 , a2 , a3 ,K , a9 são números reais não nulos que formam uma progressão geométrica de
 a1 a2 a3 


razão q ≠ 1 . Calcule o determinante da matriz  a4 a5 a6 
 a7 a8 a9 
18) Marcelo, João e Carlos foram a uma festa e lá estavam Kátia, Lourdes, Manoela, Roseli e
Carolina. De quantas maneiras diferentes poderiam ser formados 3 pares para dançar?
19) José de Ribamar aplicou, a juros simples, 60 % da quantia que possuía a uma taxa de 0,8
% ao mês durante 4 meses e 20 dias, e o restante a 1 % ao mês durante um ano. Ganhou
um total de R$ 704,00. Qual foi o total da quantia aplicada por José de Ribamar?
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do
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comprimento BC . O triângulo CEF representa um jardim triangular e o triângulo BCE
é isóscele, sendo CF a mediana relativa ao lado EB. Determine a razão entre a área do
jardim e a área total do terreno
20) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura AB é
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