ANÁLISE MATEMÁTICA II
2007/2008
(com Laboratórios)
Cursos de EACI e EB
Acetatos de Ana Matos
1ª Parte
Sucessões
Séries Numéricas
Fórmula de Taylor
Séries de Potências
Série de Taylor
DMAT
Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 1
Sucessões
Definição: Uma sucessão de números reais é uma qualquer
aplicação u do conjunto dos números inteiros positivos, ℕ, no
conjunto dos números reais, ℝ.
Representa-se por
u n  n∈ℕ , u n  n ,
ou, simplesmente, u n  ou u n .
u n → termo geral da sucessão
Nota: Os brasileiros usam o termo sequência em vez de
sucessão.
Exemplos:
1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a:
- os seus termos são a, a + r, a + 2r, …
- o seu termo geral é
u n = a + n − 1r.
2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a:
- os seus termos são a, ar, ar 2 , …
- o seu termo geral é
u n = ar n−1 .
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 2
Outro processo de definir uma sucessão é por recorrência.
Uma sucessão está definida por recorrência quando é indicado
o valor do primeiro termo (ou dos primeiros termos) e o valor
dos outros termos é definido a partir do valor de um, ou mais,
dos seus termos anteriores.
Exemplos:
1.
2.
u1 = 1
v1 = 1 , v2 = 2
u n+1 = n 2 u n , ∀ n∈ℕ ;
v n+2 = 2v n+1 − 3v n , ∀ n∈ℕ ;
3.
u1 = a
u n+1 = u n + r , ∀ n∈ℕ
define a progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;
4.
u1 = a
u n+1 = u n . r , ∀ n∈ℕ .
define a progressão geomética de razão r e primeiro termo a.
Método de Indução
O Método de Indução Finita, é fundamental para provar muitas
propriedades dos naturais ou em que intervêm naturais.
É especialmente indicado para provar propriedades de sucessões
definidas por recorrência.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 3
Teorema: (Princípio de Indução Finita)
Seja Pn uma condição na variável (natural) n tal que:
- P1 é verdadeira,
- para qualquer n ∈ ℕ, Pn ⇒ Pn + 1.
Então Pn é verdadeira, para qualquer n ∈ ℕ.
Método de Indução Finita:
•
prova-se que P1 é verdadeira;
•
Passo de Indução:
Para n ∈ ℕ (arbitrário), assume-se que Pn é verdadeira
(chama-se-lhe Hipótese de Indução)
e
prova-se que Pn + 1 é verdadeira
(chama-se-lhe Tese de Indução)
(uma propriedade Pn nestas condições diz-se hereditária);
•
conclui-se, pelo Princípio de Indução Finita, que Pn é
verdadeira para qualquer n ∈ ℕ.
Por indução, é fácil provar que:
•
•
a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética,
u n , de razão r e primeiro termo a, é dada por
n
S n = a+a
× n;
2
a soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica, u n , de razão r ≠ 1 e primeiro termo a, é dada
n
.
por S n = a × 1−r
1−r
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 4
Limite de uma Sucessão
Definição: O número real L é limite da sucessão u n  se,
para qualquer  > 0,
existe M > 0 tal que se n > M
então |u n − L| < ;
isto é,
∀ >0 ∃ M >0 : n > M ⇒ |u n − L| <  .
Diz-se também que u n  converge para L ou que u n  tende
para L.
Notações:
lim u n = L, lim u n = L ou u n → L.
n→+∞
Observação: Esta definição é equivalente a: u n → L sse
para qualquer  > 0 existe uma ordem a partir da qual todos os
termos da sucessão pertencem ao intervalo L − , L +  .
Definição: Uma sucessão u n  diz-se convergente se existir um
número real L tal que u n → L; diz-se divergente caso contrário.
Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único.
Definição: Uma sucessão diz-se um infinitésimo se converge
para zero.
Nota: Da definição de limite resulta imediatamente que
u n  converge para L sse u n − L é um infinitésimo.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 5
Teorema: Sejam L um número real e f uma função real de
variável real tal que lim x→+∞ fx = L.
Sendo a n  a sucessão cujo termo geral é a n = fn, então
lim a n = L.
n→+∞
Propriedades dos Limites
Da definição, é imediato que a convergência (e o valor do limite)
ou divergência de uma sucessão não é alterada se suprimirmos
ou modificarmos um número finito dos seus termos.
É também imediato que uma sucessão com todos os termos
iguais a uma certa constante converge para essa constante.
Proposição: Se u n  e v n  são sucessões convergentes, tais que
u n ≤ v n , então lim u n ≤ lim v n .
Proposição (propriedades das operações)
Sejam a n  e b n  sucessões tais que a n → L e b n →K, com
L, K ∈ ℝ. Tem-se que:
1. a n + b n → L + K;
2. ca n → cL, sendo c ∈ ℝ;
3. a n b n → LK;
4.
an
bn
→
L
K
,
se b n ≠ 0, ∀ n∈N e K ≠ 0;
5. se p ∈ ℕ, então a pn → L p ;
6. se p ∈ ℕ e a n ≥ 0, ∀ n∈ℕ , então p a n →
7. se p ∈ ℕ e p é ímpar, então p a n →
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p
p
L;
L.
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1ª Parte - 6
Observação: Outra propriedade útil (e que resulta
imediatamente da definição de limite) é a seguinte:
u n → 0 sse |u n | → 0.
Teorema do encaixe (ou das sucessões enquadradas):
Se a n , c n  e b n  são sucessões tais que lim a n = lim b n
e existe um inteiro N tal que a n ≤ c n ≤ b n ,
para todo n > N,
então c n → a.
Sucessões Monótonas
Definição: Sendo a n  uma sucessão, diz-se que
•
a n  é crescente (em sentido lato) se a n+1 ≥ a n , ∀ n∈ℕ ;
•
a n  é decrescente (em sentido lato) se a n+1 ≤ a n , ∀ n∈ℕ .
Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou decrescente.
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1ª Parte - 7
Sucessões Limitadas
Definição:
•
Uma sucessão a n  diz-se limitada superiormente (ou
majorada) se existe um número real M tal que a n ≤ M,
para todo o n ∈ ℕ.
•
Uma sucessão a n  diz-se limitada inferiormente (ou
minorada) se existe um número real N tal que N ≤ a n ,
para todo o n ∈ ℕ.
•
Uma sucessão a n  diz-se limitada se for majorada e
minorada, ou seja, se
∃ N,M∈ℝ ∀ n∈ℕ : N ≤ a n ≤ M .
Observação: Para provar que uma sucessão é limitada por vezes
é mais prático mostrar que
∃L > 0 ∀n ∈ ℕ : |a n | ≤ L,
condição que é equivalente à anterior.
Proposição: Toda a sucessão convergente é limitada.
Atenção: O recíproco desta proposição não se verifica.
Teorema: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Proposição: Se a n  é um infinitésimo e b n  é uma sucessão
limitada, então a n . b n  é um infinitésimo.
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1ª Parte - 8
Limites Infinitos
Definição: Diz-se que uma sucessão u n  tem limite mais
infinito (ou que tende para mais infinito), e escreve-se
lim u n = +∞,
lim u n = +∞ ou u n → +∞,
n→+∞
se, para qualquer L > 0, existe M > 0 tal que u n > L, para todo
n > M.
Isto é, se
∀ L>0 ∃ M>0 : n > M ⇒ u n > L.
A definição de uma sucessão u n  ter limite menos infinito (ou
tender para menos infinito) é análoga, bem como as notações
usadas.
Diz-se que u n  tem limite infinito (ou que tende para infinito)
se |u n | → +∞; escreve-se lim u n = ∞, lim u n = ∞ ou u n → ∞.
n→+∞
Classificação de uma sucessão
As sucessões podem ser:
convergentes (com limite finito)
propriamente
divergentes
→ com limite + ∞ ou − ∞
com limite infinito
divergentes→
oscilantes
→
(nos restantes casos)
sem sinal determinado
ou
sem limite
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 9
Propriedades dos Limites Infinitos
Proposição: Sendo u n  e v n  duas sucessões tem-se que:
1. se u n → +∞ e, a partir de certa ordem, u n ≤ v n , então
v n → +∞;
2. se u n → −∞ e, a partir de certa ordem, v n ≤ u n , então
v n → −∞.
Proposição (Propriedades operatórias):
Sendo u n  e v n  duas sucessões tem-se que:
1. se u n → +∞ e v n → +∞ então u n + v n → +∞;
2. se u n → −∞ e v n → −∞ então u n + v n → −∞;
3. se u n → +∞ e v n → a, com a ∈ ℝ, então u n + v n → +∞;
4. se u n → −∞ e v n → a, com a ∈ ℝ, então u n + v n → −∞;
5. se u n → +∞ e v n → b, com b ∈ ℝ + , então u n . v n → +∞ ;
6. se u n → −∞ e v n → b, com b ∈ ℝ + , então u n . v n → −∞;
7. se u n → +∞ e v n → c, com c ∈ ℝ − , então u n . v n → −∞;
8. se u n → −∞ e v n → c, com c ∈ ℝ − , então u n . v n → +∞;
9. se u n → ∞ e v n → ∞, então u n . v n → ∞
(caso u n e v n tendam para +∞ ou para −∞ podemos mesmo
dizer se u n . v n tende para +∞ ou para −∞.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 10
Notação abreviada (exemplos):
Estas propriedades são frequentemente escritas na forma
+∞ + +∞ = +∞
−∞ + −∞ = − ∞
+∞ + a = +∞
−∞. +∞ = + ∞
∞. ∞ = ∞
Esta é uma mera notação abreviada, que deve ser interpretada
exactamente no sentido das propriedades correspondentes da
proposição anterior e não como se estivessemos realmente a
"somar infinitos" ou a "multiplicar infinitos".
Símbolos de Indeterminação
Os símbolos
+∞ − +∞ +∞ + −∞ ∞ + ∞ ∞ − ∞
0. +∞
0. −∞
0. ∞
são designados por símbolos de indeterminação.
Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes,
o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende
das sucessões envolvidas; não resulta imediatamente de uma
propriedade das operações.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 11
Proposição: Seja u n  uma sucessão de termos diferentes de
zero:
1. se u n → ∞, então
2. se u n → 0, então
→ 0;
1
un
→∞
1
un
(se os termos de u n  forem positivos,
negativos, u1n → −∞.
1
un
→ +∞; se forem
Proposição: Sejam u n  e v n  sucessões, v n  com os termos
diferentes de zero.
1. Se v n → ∞ e u n  tem limite finito, então
un
vn
→ 0;
2. se v n → 0 e u n  tem limite infinito ou finito e diferente de
zero, então uv nn → ∞.
Notação abreviada:
a
∞
=0
∞
0
=∞
a
0
= ∞, se a ≠ 0
São também símbolos de indeterminação
0
0
∞
∞
±∞
±∞
pois o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor,
depende das sucessões envolvidas; não resulta imediatamente de
uma propriedade das operações.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 12
Séries Numéricas
Definições básicas
•
Chama-se série numérica a uma expressão do tipo
a 1 + a 2 + ⋯ + a n + ⋯,
representada em geral por
+∞
∑ a n , ∑ a n ou ∑ a n ,
n=1
n≥1
onde a n  é uma sucessão de reais.
a 1 , a 2 , ⋯ → termos da série
a n → termo geral da série.
•
Designam-se por somas parciais da série
S1 =
a1 ,
S2 =
a1 + a2 ,
S3 =
a1 + a2 + a3 ,
⋮
•
Chama-se soma parcial de ordem n a
Sn = a1 + a2 + ⋯ + an
•
A S n  chama-se a sucessão das somas parciais da série.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 13
+∞
Definição: Uma série ∑ n=1 a n diz-se convergente se a sucessão
das somas parciais, S n , converge para um número real S, que
se designa por soma da série, e escreve-se
+∞
∑ a n = S.
n=1
Uma série que não é convergente diz-se divergente.
Diz-se que duas séries têm a mesma natureza se forem ambas
convergentes ou ambas divergentes.
Observação:
+∞
A uma série ∑ n=1 a n temos associadas duas sucessões:
•
a n , a partir da qual definimos a série;
•
S n , a sucessão das suas somas parciais.
A natureza da série é determinada pela convergência ou não da
sucessão das suas somas parciais.
+∞
O facto de a n  ser convergente não garante que ∑ n=1 a n seja
convergente.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 14
Exemplos:
+∞
1. Para a série ∑ n=1 n ,
S n = 1 + 2 + ⋯ + n = n. 1 + n .
2
Como lim S n = +∞, a série é divergente.
+∞
2. Para a série ∑ n=1 −1 n ,
Sn =
−1 se n é ímpar
0 se n é par
.
Como S n  não tem limite, a série é divergente.
3. Para a série
+∞
∑
n=1
1 − 12
Sn =
1 − 12
2
1 ,
n−1
n
= 2 1−
1
2
n
pelo que a série é convergente e a sua soma é 2.
Nota: Podemos também considerar séries indexadas em ℕ 0 ou
ℕ p , com p ∈ ℕ.
As definições e propriedades são análogas às das séries
indexadas em ℕ.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 15
Séries Importantes
Séries Geométricas
Chama-se série geométrica de razão r e primeiro termo a à
série
+∞
∑ ar n−1 = a + ar + ar 2 + ⋯ + ar n−1 + ⋯ ,
n=1
em que r e a são números reais não nulos.
Tem-se que
a.
1−r n
1−r
,
se r ≠ 1
Sn =
,
a. n,
se r = 1
pelo que
•
•
se |r| < 1, a série geométrica é convergente e a sua soma é
a
S = 1−r
;
se |r| ≥ 1, a série geométrica é divergente.
Então,
a série geométrica é convergente sse |r| < 1
e, neste caso, a sua soma é S =
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(versão de 1 Mar 08)
a
1−r
.
1ª Parte - 16
Séries Redutíveis ou de Mengoli
Chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou séries
telescópicas às séries que se podem escrever na forma
+∞
∑u n − u n+k ,
n=1
em que k é um número natural fixo.
Exemplos:
1.
+∞
∑
n=1
1
nn + 1
é uma série de Mengoli, com k = 1;
2.
+∞
∑
n − n+2
n=1
é uma série de Mengoli, com k = 2.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 17
Convergência duma série de Mengoli:
•
Quando k = 1,
a série é da forma
+∞
∑u n − u n+1 
n=1
e
S n = u 1 − u 2  + u 2 − u 3  + ⋯ + u n − u n+1  = u 1 − u n+1
pelo que
★
+∞
se u n é convergente, a série ∑ n=1 u n − u n+1  é convergente
e a sua soma é
S = u 1 − lim u n ;
★
•
+∞
se u n é divergente, a série ∑ n=1 u n − u n+1  é divergente.
Quando k > 1,
S n = u 1 + u 2 + ⋯ + u k − u n+1 − u n+2 − ⋯ − u n+k
pelo que
★
+∞
se u n é convergente, a série ∑ n=1 u n − u n+k  é convergente
e a sua soma é
S = u 1 + u 2 + ⋯ + u k − k lim u n
(pois lim u n+1 = ⋯ = lim u n+k = lim u n ;
★
se u n é divergente, nada se pode concluir sem estudar
directamente a sucessão S n .
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 18
Propriedades gerais das Séries
Comecemos por observar que a natureza de uma série não é
alterada se suprimirmos ou modificarmos um número finito dos
seus termos (no entanto a sua soma é, em geral, alterada).
Proposição:
Se ∑ a n e ∑ b n são duas séries convergentes e c ∈ ℝ, então:
1. ∑ca n  é convergente e ∑ ca n = c ∑ a n ;
2. ∑a n + b n  é convergente e ∑a n + b n  = ∑ a n + ∑ b n ;
3. ∑a n − b n  é convergente e ∑a n − b n  = ∑ a n − ∑ b n .
Observação: Da alínea 1 resulta que não se altera a natureza de
uma série multiplicando o seu termo geral por uma constante
diferente de zero.
Proposição (condição necessária de convergência):
Se ∑ a n é uma série convergente então a n → 0.
Na forma contra-recíproca,
se a n  não tende para zero, então ∑ a n é divergente.
Nota: A afirmação recíproca é falsa:
a n → 0 não implica que
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∑ a n é convergente.
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 19
Testes (ou critérios) de convergência
Para o primeiro critério necessitamos da definição que se segue.
Definição (integral impróprio de 1ª espécie):
Seja f uma função contínua no intervalo a, +∞.
Chama-se integral impróprio da função f em a, +∞ a
+∞
∫a
fxdx = lim
β→+∞
β
∫ a fxdx.
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral
+∞
impróprio ∫ fxdx é convergente, sendo esse o seu valor.
a
Caso contrário (isto é, se o limite não existir ou não for finito)
diz-se que o integral impróprio é divergente.
Proposição: (teste do integral)
Seja f : 1, +∞ → ℝ uma função positiva, contínua e
decrescente.
Sendo a n = fn, então
+∞
a série ∑ n=1 a n é convergente
sse
o integral impróprio
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+∞
∫ 1 fxdx é convergente.
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 20
Séries de Dirichlet
Chama-se série de Dirichlet ou p-série a qualquer série da
forma
+∞
∑
1
np
n=1
com p um número real positivo fixo.
Chama-se série harmónica à série de Dirichlet para p = 1:
+∞
∑
1.
n
n=1
Convergência da série de Dirichlet:
•
se p > 1,
•
se 0 < p ≤ 1,
+∞
∑ n=1
1
np
é convergente;
+∞
∑ n=1
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1
np
é divergente.
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 21
Testes de convergência para séries de
termos não negativos
+∞
Definição: Uma série ∑ n=1 a n diz-se de termos não negativos
se a n  0, para qualquer n ∈ ℕ.
Nota: Neste caso a sucessão S n  é crescente.
Proposição: (cond. necessária e suficiente de convergência)
Uma série de termos não negativos é convergente se e só se a
sucessão das suas somas parciais é majorada.
Proposição: (teste da comparação directa ou 1º critério de
comparação)
Sejam 0 ≤ a n ≤ b n , para todo n ∈ ℕ.
•
Se ∑ n=1 b n é convergente, ∑ n=1 a n é convergente;
•
se ∑ n=1 a n é divergente, ∑ n=1 b n é divergente.
+∞
+∞
+∞
+∞
Observação: No primeiro caso, da demonstração resulta ainda
+∞
+∞
que ∑ n=1 a n ≤ ∑ n=1 b n .
Proposição: (teste da comparação no limite ou 2º critério de
comparação)
Sejam a n ≥ 0 e b n > 0, para todo n ∈ ℕ, tais que
an
bn
→ L, com L ≠ 0, +∞ (finito e positivo).
+∞
+∞
Então as séries ∑ n=1 a n e ∑ n=1 b n têm a mesma natureza.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 22
Resto de uma série
+∞
Definição: Seja ∑ n=1 a n uma série convergente com soma S.
+∞
Sendo N ∈ ℕ, chama-se resto de ordem N da série ∑ n=1 a n ,
e representa-se por R N , à soma da série
a N+1 + a N+2 + ⋯ + a n + ⋯ =
∑ an ,
n>N
que resulta da anterior suprimindo os termos de ordem menor ou
igual a N.
Observação: Assim,
RN = S − SN ,
ou seja, este valor é precisamente o erro que se comete quando
+∞
se toma como soma da série ∑ n=1 a n o valor da sua soma parcial
SN.
Séries alternadas
Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui
infinitos termos positivos e infinitos termos negativos.
Em particular, sendo a n > 0, ∀n ∈ ℕ, a série
+∞
∑−1 n+1 a n = a 1 − a 2 + a 3 −. . . +−1 n+1 a n +. . . .
n=1
diz-se uma série alternada
Exemplo:
+∞
−1 n+1 1n
∑ n=1
→
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série harmónica alternada.
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 23
Proposição: (teste da série alternada ou critério de Leibniz)
Se a n  é uma sucessão decrescente e com limite nulo (portanto
+∞
+∞
a n > 0), então as séries ∑ n=1 −1 n a n e ∑ n=1 −1 n+1 a n são
convergentes.
+∞
Exemplo: A série harmónica alternada, ∑ n=1 −1 n+1 1n , é
convergente.
+∞
Proposição: Se ∑ n=1 −1 n+1 a n é uma série alternada nas
condições do critério de Leibniz, então o valor absoluto do resto
de ordem N é menor ou igual ao valor absoluto do primeiro
termo desprezado, isto é,
|R N | = |S − S N | ≤ a N+1 .
Séries Absolutamente Convergentes
+∞
Proposição: Se a série ∑ n=1 |a n | é convergente, então a série
+∞
a n também é convergente.
∑ n=1
+∞
Definição: Uma série ∑ n=1 a n diz-se:
•
•
+∞
absolutamente convergente, se a série ∑ n=1 |a n | é
convergente;
simplesmente convergente (ou condicionalmente
convergente), se é convergente mas não é absolutamente
convergente.
Exemplo:
+∞
1. A série ∑ n=1 −1 n+1
+∞
2.A série ∑ n=1 −1 n+1
1
n2
1
n
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é absolutamente convergente
é simplesmente convergente.
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 24
Reordenação dos termos de uma série
Uma série absolutamente convergente verifica propriedades que
não são válidas para séries simplesmente convergentes. É o caso
da reordenação dos seus termos.
Qualquer soma finita pode ser reordenada sem que o seu valor
seja alterado.
Esta propriedade não é válida para somas infinitas (séries).
Reordenando os termos de uma séries simplesmente convergente
podemos alterar a sua soma.
Exemplo: Veremos à frente que
+∞
∑−1 n+1 1n
n=1
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯ = ln 2.
5
7
1
2
3
4
6
Consideremos a seguinte reordenação desta série:
1 − 1 −
1
2
= 1 − 1
1
2
= 1 − 1 +
2
4
1 + 1 − 1 − 1
4
3
6
8
− 1 + 1 − 1
4
3
6
1⋯ = 1 1 −
6
2 1
+ 1 − 1 − 1 +⋯ =
5
10
12
− 1 + 1 − 1 − 1 +⋯ =
5
8
10
12
1 + 1 − 1 + ⋯ = 1 ln 2.
2
3
4
2
Obtivemos uma série cuja soma é metade da soma da série
original.
Pode mesmo provar-se que, dada uma série simplesmente
convergente e um valor real qualquer, esta pode ser reordenada
de modo a ter como soma esse valor!
No entanto:
Proposição: A soma de uma série absolutamente convergente
não é alterada por reordenações dos seus termos.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 25
Testes da razão e da raíz
Proposição: (teste da razão ou critério de D’Alembert)
+∞
Seja ∑ n=1 a n uma série de termos não nulos tal que
lim
n→+∞
a n+1
an
= L (com L finito ou infinito).
Então:
•
se L < 1, ∑ n=1 a n é convergente;
•
se L > 1, ∑ n=1 a n é divergente;
•
se L = 1, nada se pode concluir.
+∞
+∞
Proposição: (teste da raiz ou critério de Cauchy)
+∞
Seja ∑ n=1 a n uma série tal que
lim
n
|a n | = L (com L finito ou infinito).
n→+∞
Então:
•
se L < 1, ∑ n=1 a n é convergente;
•
se L > 1, ∑ n=1 a n é divergente;
•
se L = 1, nada se pode concluir.
+∞
+∞
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 26
Estratégias para testar séries
Façamos um apanhado dos testes apresentados.
Procedimentos para testar a natureza de uma série:
•
O termo geral da série converge para zero?
Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir.
•
A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de
Mengoli?
Se sim, aplicar o teste de convergência específico.
•
•
•
A série é de termos não negativos e pode ser comparada com
alguma série de tipo especial?
A série é de termos positivos e pode ser aplicado o teste do
integral?
Pode ser aplicado o teste da razão ou o teste da raiz?
Se L = 1, nada se pode concluir.
•
Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamente
convergente?
Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir.
•
A série é alternada e está nas condições do teste para séries
alternadas?
Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir.
Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 27
Polinómio de Taylor e Fórmula de Taylor
O objectivo é proximar uma função, à volta dum ponto, por
funções polinomiais.
Definição: Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto c.
Ao polinómio
f ′′ c
f n c
2
P n x = fc + f cx − c +
x − c + ⋯ +
x − c n
2!
n!
′
chama-se polinómio de Taylor de grau n de f em c.
Se c = 0, ao polinómio
f ′′ 0 2
f n 0 n
x +⋯+
x
P n x = f0 + f 0x +
2!
n!
′
chama-se também polinómio de Mac-Laurin de grau n de f.
Proposição: Sendo f uma função nas condições da definição, o
polinómio de Taylor de grau n de f em c é o único polinómio, de
grau não superior a n, que satisfaz as seguintes condições:
Pc = fc, P ′ c = f ′ c, P ′′ c = f ′′ c, ⋯, P n c = f n c.
Exemplos:
1. O polinómio de Mac-Laurin da função e x é
2
n
P n x = 1 + x + x + ⋯ + x .
2!
n!
2. O polinómio de Mac-Laurin da função sen x é
3
5
7
2n+1
P n x = x − x + x − x ⋯ + −1 n x
.
3!
5!
7!
2n + 1!
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 28
Definição: Nas condições da definição anterior, chama-se resto
de ordem n à função
R n x = fx − P n x.
Chama-se erro associado à aproximação de fx por P n x a
 = |R n x| = |fx − P n x|.
Teorema (fórmula de Taylor com resto de Lagrange):
Seja f uma função n + 1 vezes diferenciável num intervalo aberto
I contendo o ponto c.
Então, para qualquer x ∈ I, existe z entre x e c tal que
fx = fc + f ′ cx − c +
f ′′ c
2!
x − c 2 + ⋯ +
f n c
n!
x − c n + R n x
com
f n+1 z
R n x =
x − c n+1 .
n + 1!
A esta expressão chama-se resto de Lagrange de ordem n do
polinómio de Taylor.
Observação: Há várias expressões para o resto do polinómio de
Taylor de grau n.
Exemplo: A fórmula de Mac-Laurin de ordem n de e x , com
resto de Lagrange, é
2
n
e z x n+1 ,
ex = 1 + x + x + ⋯ + x +
2!
n!
n + 1!
para algum z entre 0 e x.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 29
Séries de Potências
As séries de potências de x − c são uma generalização da noção
de polinómio.
Definição: Sendo x uma variável, chama-se série de potências
de x a qualquer série da forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯
ou seja
+∞
∑ anxn.
n=0
Mais geralmente, sendo c uma constante real, chama-se série de
potências centrada em c a qualquer série da forma
+∞
∑ a n x − c n .
n=0
ou seja
a 0 + a 1 x − c + ⋯ + a n x − c n + ⋯
Observação: Uma série de potências é uma função de x, cujo
domínio é o conjunto dos valores reais que, substituídos em x,
originam uma série numérica convergente.
Exemplo Importante (série de potências geométrica):
O domínio de convergência de
+∞
∑ xn = 1 + x + x2 + ⋯ + xn + ⋯
n=0
é −1, 1.
Mais, para qualquer x ∈ −1, 1,
+∞ n
x =
∑ n=0
+∞
A série ∑ n=0 x n define a função
1
1−x
1
1−x
.
apenas em −1, 1,
apesar da função estar definida em ℝ\0.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 30
Raio de convergência e intervalo de convergência
O domínio de uma série de potências centrada em c nunca é
vazio, pois
+∞
∑ a n c − c n = a 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + ⋯ = a 0
n=0
pelo que c pertence ao domínio e fc = a 0 .
O domínio desta função é sempre um intervalo centrado em c.
Teorema: Para uma série de potências centrada em c, é satisfeita
exactamente uma das seguintes alternativas:
1. A série de potências é convergente apenas em c.
2. Existe um número real R > 0 tal que a série de potências é
absolutamente convergente nos valores de x tais que |x − c| < R
e diverge para |x − c| > R.
3. A série converge absolutamente para todo o x.
O número R é o raio de convergência da série de potências. Se
a série convergir apenas em c, o raio de convergência é R = 0;
se convergir para todo o x, é R = +∞.
Ao conjunto dos valores nos quais a série de potências é
convergente chama-se intervalo de convergência da série de
potências.
Nota 1: A proposição nada afirma sobre a convergência da
série nos extremos do intervalo de convergência.
Nota 2: Atenção, frequentemente o conjunto acima é designado
por domínio de convergência e o intervalo de convergência é,
por definição, o intervalo c − R, c + R (sem os extremos). Não
é esta a convenção que fazemos.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 31
Exemplo (série exponencial):
A série de potências
+∞
∑
n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + ⋯ + xn + ⋯
n!
2!
3!
n!
é absolutamente convergente em ℝ.
(Veremos que a soma desta série é e x , para qualquer x ∈ ℝ. 
Derivação e integração de séries de potências
Proposição: Se a função definida por
+∞
fx =
∑ a n x − c n
n=0
tem raio de convergência R > 0, então f é diferenciável no
intervalo c − R, c + R e tem-se que:
+∞
1. f ′ x = ∑ n=1 a n nx − c n−1 ,
+∞
2. ∫ fxdx = C + ∑ n=0 a n
x−c n+1
n+1
, com C constante real,
sendo o raio de convergência destas duas séries igual ao da série
inicial, ou seja, R.
Nota: Os intervalos de convergência das duas séries podem ser
diferentes, em virtude do comportamento nos extremos.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 32
Exemplo: No intervalo −1, 1,
+∞
lnx + 1 =
∑−1 n nx + 1 .
n+1
n=0
Repare-se que, para x = 1, a série é simplesmente convergente.
Tem-se mesmo que a sua soma é
+∞
ln 2 =
∑−1 n+1 1n
n=1
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯,
5
7
1
2
3
4
6
como se referiu no exemplo sobre reordenação de séries.
Operações com séries de potência
+∞
+∞
Proposição: Sejam fx = ∑ n=0 a n x n e gx = ∑ 0 b n x n duas
séries de potência de x, com raios de convergência não nulos, e
R o raio de convergência da primeira série.
Sendo k é um número real e N um natural, então:
+∞
1. fkx = ∑ n=0 a n k n x n ,
+∞
2. fx N  = ∑ n=0 a n x nN ,
para |kx| < R;
para |x N | < R;
+∞
3. fx + gx = ∑ n=0 a n + b n x n , na intersecção dos intervalos
de convergência;
+∞
4. fx − gx = ∑ n=0 a n − b n x n , na intersecção dos intervalos
de convergência.
Observação 1: Saliente-se que as operações acima podem
mudar o intervalo de convergência e que nos extremos a
convergência terá que ser estudada directamente.
Observação 2: Resultados análogos aos anteriores são válidos
para séries de potências de x − c.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 33
Série de Taylor e série de Mac-Laurin
Definição: Seja f uma função com derivadas de qualquer ordem
em c. Chama-se série de Taylor de f no ponto c à série de
potências
∞
∑
n=0
f n c
f ′′ c
n
′
x − c = fc + f cx − c +
x − c 2 + ⋯
n!
2!
f n c
+
x − c n + ⋯
n!
Se c = 0 também se lhe chama série de Mac-Laurin de f.
Exemplos:
1. A série de Mac-Laurin de e x é
+∞
∑
n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + ⋯ + xn + ⋯
n!
2!
3!
n!
2. A série de Mac-Laurin de sen x é
3
5
2n+1
x − x + x + ⋯ + −1 n x
+⋯
3!
5!
2n + 1!
3. A série de Mac-Laurin de cos x é
2
4
n x 2n
x
x
+
+ ⋯ + −1
+⋯
1−
2!
4!
2n!
Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências): Se
+∞
f x = ∑ n=0 a n x − c n , para todo o x num intervalo aberto I
centrado em c, então
f n c
an =
, para todo n ∈ ℕ 0 ,
n!
e, portanto,
f n c
fx = fc + f cx − c + ⋯ +
x − c n + ⋯.
n!
′
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 34
Observação 1: O Teorema anterior garante que, caso uma
função seja soma de uma série de potências (num intevalo),
então essa série coincide com a sua série de Taylor.
Observação 2: O facto de podermos escrever a série de Taylor
de uma função num ponto não garante que a função seja soma
dessa série, mesmo no intervalo de convergência desta.
A função
fx =
e
0
−
1
x2
se x ≠ 0
se x = 0
.
é indefinidamente diferenciável em ℝ\0.
Pode-se provar que as suas derivadas, de qualquer ordem, em
x = 0, existem e são 0.
A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma da
sua série de Mac-Laurin nalgum intervalo centrado em 0.
Definição: Diz-se que f é desenvolvível em série de Taylor
num ponto c se f é a soma da sua série de Taylor nalgum
intervalo centrado em c.
Proposição: Seja f uma função com derivadas de qualquer
ordem num intervalo aberto I, centrado em c, e R N x o resto de
ordem n do seu polinómio de Taylor em c.
Se lim R N x = 0, para todo o x em I, então a série de Taylor
n→+∞
converge em I e
+∞
fx =
∑
n=0
Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB
f n c
x − c n , ∀x ∈ I.
n!
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 35
Exemplos: Para qualquer x ∈ ℝ,
3
5
2n+1
sen x = x − x + x + ⋯ + −1 n x
+⋯
3!
5!
2n + 1!
2
4
2n
cos x = 1 − x + x + ⋯ + −1 n x
+⋯
2!
4!
2n!
+∞
2
3
n
ex = 1 + x + x + x + ⋯ + x + ⋯ =
2!
3!
n!
∑
n=0
xn .
n!
Para cada uma das funções anteriores, determinou-se a série de
Taylor da função e provou-se que, pela proposição anterior, que
a função é igual à soma da série; este processo, em geral, é
trabalhoso.
O Teorema da unicidade do desenvolvimento em série de
potências permite muitas vezes garantir que uma certa série é a
série de Taylor duma função num ponto, e que a função é soma
dessa série, recorrendo a desenvolvimentos conhecidos e/ou aos
resultados sobre derivação e integração de séries de potências.
Exemplos:
1. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de
1
1−x
é
∞
1 + x + x2 + ⋯ + xn + ⋯ =
∑ x n , ∀x ∈ −1, 1.
n=0
2. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de logx + 1 é
+∞
n x n+1
, ∀x ∈ −1, 1.
−1
∑
n+1
n=0
Note-se, ainda, que em x = 1 a série é simplesmente
convergente.
Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB
(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 36
Séries de potências para algumas funções elementares
•
•
1
1−x
+∞
= ∑ n=1 x n−1 = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯,
+∞
x−1 n
n
ln x = ∑ n=1 −1 n−1
= x − 1 −
x−1 2
2
+
•
e x = ∑ n=0
•
sen x = ∑ n=0 −1 n
•
cos x = ∑ n=0 −1 n
•
arctg x = ∑ n=0 −1 n
+∞
xn
n!
=
x−1 3
3
+∞
x 2n+1
2n+1!
+∞
x 2n
2n!
x 2n+1
2n+1
−
x2
2!
= 1+x+
+∞
para |x| < 1;
x−1 4
4
+
x3
3!
x3
3!
x2
2!
= x−
para 0 < x ≤ 2;
+ ⋯, em ℝ;
= x−
= 1−
⋯,
x4
4!
+
x3
3
x5
5!
+
−
x5
5
+
x7
7!
−
x6
6!
−
+ ⋯, em ℝ;
+ ⋯, em ℝ;
x7
7
+ ⋯,
para |x| ≤ 1;
•
+∞
arcsen x = ∑ n=0
2n!x 2n+1
2 n n!2n+1
= x+
x3
2.3
+
1.3x 5
2.4.5
+
1.3.5x 7
2.4.6.7
+ ⋯,
para |x| ≤ 1;
•
+∞
1 + x k = 1 + ∑ n=1
= 1 + kx +
kk−1
2!
kk−1…k−n+1
n!
x 2 + ⋯… +
xn =
kk−1…k−n+1
n!
x n + ⋯,
para |x| < 1 ∗ , k ∈ ℝ (desenvolvimento binomial).
*A convergência em x = ±1 depende do valor de k. Quando k é um natural esta
série tem só um número finito de termos não nulos e reduz-se portanto a um
polinómio, precisamente o que se obtém pela fórmula do binómio de Newton.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 37
Aplicação das séries de potências à primitivação
Muitas funções são primitiváveis mas não podem ser
primitivadas recorrendo só ao que se deu em AMII, isto é:
primitivas imediatas, primitivação por partes e primitivação por
substituição.
Diz-se que f é uma função elementar se pode ser obtida por um
número finito de operações de adição, multiplicação, divisão e
composição, a partir de funções polinomiais, exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas, directas ou inversas.
A função
e −x
2
é uma função elementar.
Pode-se provar que a sua primitiva não é elementar, pelo que não
pode ser obtida, pelos métodos referidos, a partir de funções
elementares.
Recorrendo à primitivação de séries de potências e a
∞
ex =
∑
n=0
xn ,
n!
conclui-se que
∞
Pe
−x 2
=
∑
n=0
−1 n x 2n+1
+ C,
n!2n + 1
sendo C uma constante real.
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(versão de 1 Mar 08)
1ª Parte - 38