Guia de Laboratório
C olisõ es
Mecânica Aplicada 2
Índice
Índice ................................................................................................................................ 2
1 Introdução...................................................................................................................... 3
2 Fundamentos teóricos .................................................................................................... 4
2.1 Movimento do Centro de Massa............................................................................. 4
2.2 Colisões .................................................................................................................. 4
2.2.1 Transferência da Quantidade de Movimento................................................... 4
2.2.2 Energia Cinética .............................................................................................. 5
3 Descrição do Equipamento............................................................................................ 6
4 Procedimento Experimental .......................................................................................... 8
4.1 Preparação .............................................................................................................. 8
4.1.1 Preparação da mesa de ar................................................................................ 8
4.1.2 Preparação dos Corpos Cilíndricos ................................................................. 9
4.2 Descrição ................................................................................................................ 9
4.2.1 Colisão Elástica ............................................................................................... 9
4.2.2 Colisão Inelástica........................................................................................... 10
5 Tratamento dos Resultados.......................................................................................... 12
1 Introdução
A mesa de ar possibilita experiências sobre o movimento bidimensional em condições
em que o atrito é desprezável.
Numa superfície de vidro, fazem-se deslizar dois corpos cilíndricos, que possuem um
ventilador incorporado. Este ventilador produz uma almofada de ar que, à escala das
grandezas em jogo, se pode considerar que elimina completamente o atrito. Os corpos
cilíndricos são alimentados electricamente através de um cabo flexível ligado a um
suporte.
A trajectória do movimento dos corpos cilíndricos é registada num papel metalizado,
sobre o qual os corpos se movimentam, através de pequenas marcas criadas por
descargas eléctricas produzidas a uma frequência constante, por um eléctrodo que se
encontra posicionado na parte inferior do corpo.
Com o presente trabalho, ir-se-ão produzir, entre os corpos cilíndricos, dois tipos de
colisões, uma elástica e uma inelástica, com o objectivo de verificar que:
- a quantidade de movimento um sistema de partículas, composto por partículas
de diferentes massas e com diferentes velocidades de deslocação relativamente a
um referencial inercial, é igual à soma da quantidade de movimento de cada
partícula, ou seja, que o sistema se comporta como toda a massa estivesse
concentrada no CG do sistema;
- não havendo forças exteriores sobre o sistema, a velocidade do CG do sistema
é constante, verificando, assim, o princípio da conservação da quantidade de
movimento do sistema;
- quando duas partículas entram fisicamente em contacto, há uma alteração dos
seus movimentos com transferência da quantidade de movimento, e;
- numa colisão elástica há conservação da energia cinética, o que não se verifica
na colisão inelástica.
2 Fundamentos teóricos
2.1 Movimento do Centro de Massa
A quantidade de movimento de um sistema de partículas é dada por
r
r
P = M vCG
r
em que M é a massa total do sistema e vCG , a velocidade do centro de massa.
[1]
Por outro lado, a velocidade do centro de massa é dada por
r
mi vi
r
∑
vCG =
M
r
em que mi representa a massa de cada partícula e vi , a respectiva velocidade.
[2]
Mas, a quantidade de movimento de cada partícula é dada por
r
r
pi = mi vi
[3]
ou seja, combinando [1], [2] e [3],
r
v
P = ∑ pi
[4]
Se não actuarem forças exteriores sobre o sistema, sabemos pelo princípio da
r
conservação da quantidade de movimento, que P é constante. Portanto, o centro de
massa de um sistema isolado move-se com velocidade constante em qualquer
referencial. Em particular, podemos ligar um referencial inercial ao centro de massa de
um sistema isolado e, relativamente a esse referencial inercial, o centro de massa estará
em repouso.
2.2 Colisões
2.2.1 Transferência da Quantidade de Movimento
Quando duas partículas de aproximam e colidem, a interacção mutua altera os seus
movimentos, existindo uma transferência da quantidade de movimento. Como não
existe a acção de forças exteriores, a quantidade de movimento é conservada, ou seja,
r r r r
P1 + P2 = P1' + P2'
[5]
r
r
r
onde P1 e P2 são as quantidades de movimento das 2 partículas antes da colisão, e P1' e
r
P2' , são as quantidades de movimento das partículas, após a colisão.
r r r
r r r
Se definirmos Δ P2 = P2 − P2' e Δ P1 = P1 − P1' , então, de [5], é possível dizer que
r
r
ΔP2 = ΔP1
[6]
ou seja
r
r
Δv2 m2 = Δv1 m1
[7]
r
Δv2 m1
r =
Δv1 m2
[8]
ou, doutra maneira,
o que indica ser a razão entre a massa das partículas inversamente proporcional à razão
do módulo das variações da sua velocidade.
2.2.2 Energia Cinética
- Colisão Elástica
Uma colisão elástica caracteriza-se por haver conservação da energia cinética
durante a colisão, ou seja, a energia cinética do sistema mantém-se inalterada,
antes e depois da colisão
r' 2 1
r' 2
1
T ' 2 m1 v1 + 2 m2 v2
=
r2
r 2 =1
1
T
m v + 12 m2 v2
2 1 1
[9]
- Colisão Inelástica
Numa colisão totalmente inelástica, os corpos permanecem juntos após a colisão.
Se o corpo 2 estiver em repouso antes da colisão, do princípio da conservação da
quantidade de movimento, tem-se que
r
r
m1 v = (m1 + m2 )v '
[10]
r
r
onde v representa a velocidade do corpo 1, antes da colisão, e v ' , a velocidade
dos dois corpos juntos, após a colisão. A razão entre a energia cinética inicial e
final é, neste caso,
T ' 12 (m1 + m2 )v '
=
1
T
m v2
2 1
2
[11]
o que, combinado com [10] dará
T'
m1
=
T m1 + m2
[12]
3 Descrição do Equipamento
A figura 1 ilustra as partes que compõem o equipamento.
1. a 7. Mesa (dimensões exteriores 79 cm × 67 cm, peso aprox. 18 kg), com tampo de
vidro (60 cm × 55 cm) para experiências, extremos limitados por um elástico de
borracha.
1. Consola fixa do suporte de três pés
2. Parafusos de ajuste para pés adicionais
3. Parafusos de nivelamento
4. Reentrância para papel de registo metalizado
5. Fonte de alimentação (220 V/50 Hz) para ventilador e eléctrodo de registo
5.1 Selector de frequência ( 10 Hz/50 Hz) dos impulsos de registo
5.2 Interruptor de alimentação
5.3 Suporte de fusível T 0.315 B
5.4 Ligação do braço de alimentação eléctrica
Tensão de saída:
24 V d.c. para o ventilador
24 V/ 10 Hz ou 50 Hz para circuito de registo
6. Barra de fixação do papel metalizado, fornece o contacto eléctrico do circuito
de registo
7. Conector que estabelece ligação interna entre a barra de fixação e o circuito de
registo
8. Ficha com botão de campainha para comando ON/OFF dos impulsos de
registo
9. Rolo de papel metalizado para registo, comprimento de 20m, 45 cm de
largura.
10. Braço de alimentação eléctrica a ligar em (5.4); com duas ligações em
paralelo para ligar os fios de alimentação 11 aos dois corpos cilíndricos 12.
11. Fio de alimentação (2×), com 85 cm de comprimento, para ligação ao corpo
cilíndrico.
12. Corpo cilíndrico (2×) com ventilador para produzir a almofada de ar e
eléctrodo central em contacto leve com o papel de registo.
Diâmetro: aprox. 10cm
Altura: aprox. 10 cm
Peso: 950 g
12.1 Tomada para o fio de alimentação
12.2 Interruptor ON/OFF para comando do ventilador
12.3 Tomada para ligação do eléctrodo adicional, utiliza a tensão
de registo, independentemente da configuração do interruptor
(12.4)
12.4 Interruptor ON/OFF para a tensão de registo no eléctrodo
central
12.5 Eléctrodo central. O registo é efectuado com o interruptor
(12.4) na posição de fecho e o botão de campainha na ficha (8)
pressionada simultaneamente.
13. Massa adicional (2×) para o corpo cilíndrico 12.
Peso: 500 g
14. Anel elástico suportado por
molas (2×) a instalar no corpo
cilíndrico (12) servindo como
suporte
de
um
eléctrodo
periférico adicional.
Peso: 61g
15. Anel Inelástico (2×) a instalar
no corpo cilíndrico (12) servindo
como suporte de um eléctrodo
periférico adicional.
Peso 60g
4 Procedimento Experimental
4.1 Preparação
O aluno deve encontrar o equipamento preparado para a realização das experiências. No
entanto, descreve-se aqui o procedimento para preparação da mesa e dos corpos
cilíndricos.
4.1.1 Preparação da mesa de ar
- Colocar a mesa numa superfície de trabalho estável com a barra de fixação em
frente ao utilizador.
- Limpar a superfície de vidro e a base dos corpos cilíndricos (lenço de papel
humedecido em álcool) e deixar secar.
- Colocar o rolo de papel de registo (face metálica para cima) na reentrância,
desenrolar o papel através da mesa de vidro e fixá-lo através da barra de fixação
(6).
- Inserir o braço de alimentação (10) na tomada (5.4) e a ficha com o botão de
campainha (8) no conector (7).
Alinhamento horizontal:
- Levantar os pés adicionais com o parafuso (2) até a mesa estar apenas apoiada
na consola fixa (1) e nos dois pés ajustáveis pelos parafusos (3) (suportada em três pés).
- Colocar o corpo cilíndrico no centro da mesa e ligar o fio de alimentação (11).
- Pressionar o interruptor de alimentação (5.2) e ligar o ventilador através do
interruptor (12.3) para produzir a almofada de ar.
- Ajustar os parafusos de nivelamento (3) de modo a que o corpo cilíndrico não
se desloque.
- Rodar lentamente os parafusos (2) para os pés adicionais até encostarem à
superfície de trabalho sem desnivelar a mesa previamente (o corpo cilíndrico
deve permanecer em repouso). Usar as contraporcas para fixar os parafusos (2).
4.1.2 Preparação dos Corpos Cilíndricos
Atenção: A instalação de peças nos corpos cilíndricos não deve ser feita em cima da
mesa de ar.
- Colocar o corpo cilíndrico (12), sem o fio (11) instalado, numa zona limpa
(por ex. uma folha de papel)
-
Dependendo da experiência a realizar, encaixar a massa adicional (13)
e/ou o anel elástico (14), ou o anel inelástico, no corpo cilíndrico. Rodar o anel
até a came de batente do corpo cilíndrico encaixar no rasgo do anel.
- Quando necessária a massa adicional (13) deve ser instalada antes do anel
elástico (14) ou do anel inelástico (15).
Atenção: Segurar sempre o corpo cilíndrico (12) pelo corpo e não pelas peças
instaladas.
4.2 Descrição
4.2.1 Colisão Elástica
Equipamento a usar
• Mesa de ar
• Corpo cilíndrico (2×)
• Anel elástico
• Massa adicional (o professor indicará se irá ser usada, ou não)
• Papel de registo
Operação
Em cada corpo cilíndrico, devem estar instalados a massa adicional, (se for o caso), e o
anel elástico.
Através do selector (5.1) a frequência de registo deve estar seleccionada para 50 Hz
(intervalo de tempo de registo 0.02 s).
- Ligar a alimentação eléctrica aos corpos cilíndricos. Ligar o ventilador através
do interruptor (12.2). Para registar o movimento no eléctrodo central (12.5)
fechar o interruptor (12.4).
- Colocar os corpos cilíndricos em cantos opostos do topo inferior da mesa.
- Pressionar o botão de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar os corpos
de forma a colidirem no centro da mesa e dirigirem-se, nas direcções diagonais,
para os cantos opostos no topo superior, só libertando o botão quando os corpos
colidirem com os elásticos limitadores.
- Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores através do interruptor
(12.2).
A trajectória dos corpos deve ser semelhante à indicada na figura 2.
Figura 2 – Trajectória dos corpos, na colisão elástica
4.2.2 Colisão Inelástica
Atenção: O papel de registo é o mesmo da colisão elástica.
Equipamento a usar
• Mesa de ar
• Corpo cilíndrico (2×)
• Anel inelástico
• Massa adicional (o professor indicará se irá ser usada, ou não)
• Papel de registo
Operação
Em cada corpo cilíndrico, devem estar instalados a massa adicional, (se for o caso), e o
anel inelástico.
Através do selector (5.1) a frequência de registo deve estar seleccionada para 50 Hz
(intervalo de tempo de registo 0.02 s).
- Ligar a alimentação eléctrica aos corpos cilíndricos. Ligar o ventilador através
do interruptor (12.2). Para registar o movimento no eléctrodo central (12.5)
fechar o interruptor (12.4).
- Colocar os corpos cilíndricos, um num canto do topo inferior da mesa e o
outro, aproximadamente, a um terço do eixo vertical que passa pelo centro da
mesa, a partir do topo inferior.
- Pressionar o botão de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar o corpo
que se encontra no canto, de forma a colidir com o outro tangencialmente e
prosseguirem colados, só libertando o botão quando os corpos atingirem os
elásticos limitadores.
- Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores através do interruptor
(12.2).
- Retirar a porção da folha de papel metalizado (9) onde ficaram registadas as
trajectórias.
A trajectória dos corpos deve ser semelhante à indicada na figura 3.
Figura 3 – Trajectória dos corpos, na colisão inelástica
5 Tratamento dos Resultados
No papel metalizado, ficam registadas as trajectórias dos corpos cilíndricos, antes e após
a colisão.
Como a frequência dos impulsos, no papel metalizado, é de 50 Hz, isto significa que o
intervalo de tempo, entre cada ponto, é de 0,02s, ou seja, por exemplo, 10 impulsos
correspondem a 0,2s.
r
Portanto, a partir dos registos, é possível determinar as velocidades, v , de cada corpo,
antes e após a colisão.
r
A partir daqui, é possível calcular a quantidade de movimento, P , de cada corpo, antes
e após a colisão, assim como, a sua energia cinética, T.
E assim, será possível verificar se:
- quando duas partículas entram fisicamente em contacto, há uma alteração dos
seus movimentos com transferência da quantidade de movimento, (eq. [8]), e;
- numa colisão elástica há conservação da energia cinética, (Eq. [9]), e se, na
colisão perfeitamente inelástica, no caso de um corpo se encontrar em repouso, a
razão entre a energia cinética, antes e após a colisão, é inversamente
proporcional às massas, nesses instantes, (eq. [12]).
É igualmente possível verificar se a quantidade de movimento um sistema de partículas,
composto por partículas de diferentes massas e com diferentes velocidades de
deslocação relativamente a um referencial inercial, é igual à soma da quantidade de
movimento de cada partícula, ou seja, que o sistema se comporta como toda a massa
estivesse concentrada no CG do sistema, (eq. [5]) e se, como não há forças exteriores
sobre o sistema, a velocidade do CG do sistema é constante, verificando, assim, o
princípio da conservação da quantidade de movimento do sistema.
Para determinar a posição do centro de massa, devem-se unir, com intervalos regulares,
os pares pontos registados sincronizadamente, Ai Bi , como mostra a figura (4).
Figura 4 – Determinação gráfica da trajectória do CG, na colisão elástica.
Para calcular a distância do centro de massa Gi aos pontos Ai e Bi , temos:
Gi Bi m1
=
Gi Ai m2
[13]
AiGi + BiGi = Ai Bi
[14]
Ai Bi
m
1 + m12
[15]
e
Combinando [13] e [14], obtém-se
AiGi =
r
A partir das distâncias GiGi +1 , é possível determinar se a velocidade do CG, vCG , é
constante, ao longo da sua trajectória.
Determinação semelhante, é possível ser efectuada para a colisão inelástica.