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4 – Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis
4.1 – Ponto de máximo de uma função
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é ponto de
máximo absoluto ou global de f se, para todo
(x, y) є D(f),
f(x,y) < f (x0, y0)
Dizemos que f (x0, y0) é o valor máximo de f.
Exemplo: A função f(x,y) = 4 – x2 - y2 tem o ponto (0,0) como um ponto de máximo
absoluto ou global de f, pois para todo
(x, y) є D(f)
4 – x2 - y2 < f (0,0)
4 – x2 - y2 < 4, para todo (x, y) є R2.
O valor máximo de f(x,y) = 4 – x2 - y2 é
f (0,0) = 4.
4.2 – Ponto de mínimo de uma função
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é
ponto de mínimo absoluto ou global de f se, para todo
(x, y) є D(f),
f(x,y) > f (x0, y0)
Dizemos que f (x0, y0) é o valor mínimo de f.
Exemplo: A função f(x,y) = 1 + x2 + y2 tem o
ponto (0,0) como um ponto de mínimo absoluto ou
global de f, pois para todo
(x, y) є D(f)
1 + x2 + y2 > f (0,0)
1 + x2 + y2 > 1, para todo (x, y) є R2.
O valor mínimo de f(x,y) = 1 + x2 + y2 é
f (0,0) = 1.
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É usual denominar os pontos de máximo e de mínimo de uma função de pontos
extremantes (locais ou globais).
4.3 – Ponto crítico de uma função de duas variáveis
Seja z = f(x,y) definida num conjunto aberto U є R2. Um ponto (x0, y0) є U é um ponto
∂f
∂f
crítico de f se as derivadas
( x0 , y0 ) e
( x0 , y0 ) são iguais a zero ou se f não é
∂x
∂y
diferenciável em (x0, y0) є U.
Geometricamente podemos pensar nos pontos críticos de uma função z = f(x,y) como
os pontos em que o seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal.
Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de z = f(x,y) estão entre seus pontos
críticos. No entanto um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante.
Um ponto crítico que não é um ponto extremante é um ponto de sela.
4.4 – Proposição
Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas
num conjunto aberto que contém (x0, y0) e suponhamos que (x0, y0) seja um ponto crítico de f.
Seja o determinante:
∂2 f
( x, y )
∂x 2
H ( x, y ) = 2
∂ f
( x, y )
∂x∂y
∂2 f
( x, y )
∂y∂x
.
∂2 f
( x, y )
∂y 2
Temos
a) Se H(x0, y0) > 0 e
∂2 f
( x0 , y0 ) > 0, então (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f.
∂x 2
b) Se H(x0, y0) > 0 e
∂2 f
( x0 , y0 ) < 0, então (x0, y0) é um ponto de máximo local de f.
∂x 2
c) Se H(x0, y0) < 0, então (x0, y0) não é um ponto extremante local. Nesse caso, (x0, y0) é
um ponto de sela.
d) a) Se H(x0, y0) = 0, nada se pode afirmar.
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Aplicações: A maximização e minimização de funções de várias variáveis é utilizada
em problemas geométricos, físicos, econômicos, e outros.
1.Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m3 e com menor área
de superfície possível?
2.Sejam (1, 1), (2, 3) e (3, -1) os vértices de um triângulo. Qual é o ponto (x, y) tal que a soma
dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível?
3.Encontrar, se existirem os pontos de máximo e mínimo global das funções:
a) z = 4 – x2 – y2
b) z = x2 + y2 – 5
c) z = x + y + 4
4. Uma lata de azeite deve ter a forma de um paralelepípedo e um volume de 700 cm3. Quais
devem ser as dimensões da base de modo a ser mínimo o material utilizado na confecção da
lata.
5. Determinar os ponto críticos, classificando-os quando possível:
a) z = 10 – x2 – y2
b) z = 2x2 + y2 – 5
c) z = 4 - 2x2 - 3y2
d) z = x2 + y2 – 6x – 2y + 7
6. Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.
7. Uma fábrica de embalagens precisa fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o
material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa epara o fundo da
caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo.
8. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de
combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas
as partes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as
dimensões do tanque.
Respostas: 1) 2, 2, 1
5) a) (0, 0) máx
2) (2, 1)
3) a) (0, 0) máx
b) (0, 0) min
6) 3 100 , 3 100 , 3 100
7)
c) (0, 0) máx
3
32 ,
3
32 ,
3
32
b) (0, 0) mín
c)não existem
d) (3, 1) mín
8) 33 10 , 33 10 , 33 10