Matemática
Parte I: Álgebra Linear
Luı́sa Morgado
Lic. em Enologia 2009/2010
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Na Fı́sica aparecem frequentemente grandezas, tais como a
temperatura e a pressão, que possuem apenas magnitude.
Estas podem ser representadas por números reais e são
chamadas grandezas escalares. Mas outro tipo de
grandezas, tais como a força e a velocidade, além da
magnitude têm também uma direcção a elas associada. Estas
podem ser representadas por vectores (tendo direcção e
comprimentos apropriados, partindo de um ponto de referência
O) e são as chamadas grandezas vectoriais.
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Álgebra Linear
Adição de vectores: A soma de
dois vectores u e v é obtida pela
lei do paralelogramo, i.e. u + v é a
diagonal do paralelogramo
formado por u e v
v
u
u
v
O
Multiplicação de um vector por
um escalar: O produto de um real
k por um vector u é obtido
multiplicando a magnitude de u por
k, mantendo o mesmo sentido se
k ≥ 0 ou o sentido oposto se k < 0
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2u
Álgebra Linear
O
u
3u
Se a origem dos eixos é escolhida no ponto de referência O,
então cada vector é univocamente determinado pelas
coordenadas da sua extremidade.
Assim, se (a, b) e (c, d) são as extremidades dos vectores u e
v , respectivamente, e k é um escalar, então
(a + c, b + d) será a extremidade de u + v ;
(ka, kb) será a extremidade do vector ku.
Matematicamente, identificamos um vector com a sua
extremidade, i.e, chamamos ao par ordenado de números reais
(a, b) um vector. Mais ainda, generalizamos esta noção e
chamaremos à n-upla de números reais (a1 , a2 , . . . , an ) um
vector de Rn .
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Álgebra Linear
Seja u = (u1 , u2 , . . . , un ) um ponto ou um vector de Rn .
Aos números reais ui , i = 1, . . . , n chamamos componentes
ou coordenadas do vector u.
Exemplo
Consideremos os seguintes vectores
(−1, 1),
√
(4, 2, 0)
1
(0, π, , 0, 5).
2
O número de componentes de cada um destes vectores é 2, 3
e 5, respectivamente, pelo que o primeiro é um elemento de
R2 , o segundo de R3 e o último de R5
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Álgebra Linear
Dois vectores são iguais se têm o mesmo número de
componentes e se as correspondentes componentes são
iguais.
Os vectores u = (0, 1, 2) e v = (0, 2, 1) não são iguais pois
u2 = 1 6= v2 = 2.
Exemplo
Sendo u = (x − y , x + y, z − 1) e v = (4, 2, 3) dois vectores de
R3 , determinemos x, y e z de modo a que u = v .
Por definição de igualdade de vectores,
x −y
= 4
x +y
= 2
z −1 = 3
Resolvendo o sistema acima, obtemos x = 3, y = −1 e z = 4.
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Álgebra Linear
Adição de vectores e multiplicação por um escalar em
Rn
Sejam u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) dois vectores
de Rn e k um número real.
A soma de u e v , u + v , é o vector de Rn obtido pela adição
das componentes respectivas:
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn )
A multiplicação de k por u , ku, é o vector de Rn obtido multiplicando cada componente de u por k:
ku = (ku1 , ku2 , . . . , kun )
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Álgebra Linear
Exemplo
Sejam u = (2, −1, 0), v = (3, 5, −2) dois vectores de R3 .
2u − 3v
= 2u + (−3)v = 2(2, −1, 0) + (−3)(3, 5, −2)
= (2 × 2, 2 × (−1), 2 × 0) + (−3 × 3, −3 × 5, −3 × (−2))
= (4, −2, 0) + (−9, −15, 6) = (−5, −17, 6)
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Álgebra Linear
Sejam u, v e w quaisquer três vectores de Rn e k1 , k2 dois
números reais. Então
(i) (u + v ) + w = u + (v + w)
(ii) u + 0 = u
(iii) u + (−u) = 0
(iv) u + v = v + u
(v) k1 (u + v ) = k1 u + k2 v
(vi) (k1 + k2 )u = k1 u + k2 u
(vii) (k1 k2 )u = k1 (k2 u)
(viii) 1u = u
onde 0 = (0, 0, . . . , 0) é o vector nulo (ou zero) e 1 =
| {z }
n×
(1, 1, . . . , 1).
| {z }
n×
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Álgebra Linear
Produto interno
Sejam u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) dois vectores
de Rn .
O produto interno (ou produto escalar) de u e v , u ·v , é o escalar obtido multiplicando as componentes correspondentes
e somando os resultados obtidos:
u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + un vn
ku = (ku1 , ku2 , . . . , kun )
Dois vectores u e v dizem-se ortogonais (ou
perpendiculares), u⊥v , se o seu produto interno é zero.
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Álgebra Linear
Exemplo
Sejam u = (1, 2), v = (−3, 0) e w = (−2, 1).
u · v = 1 × (−3) + 2 × 0 = −3
u · w = 1 × (−2) + 2 × 1 = 0
e assim os vectores u e w são ortogonais.
u
w
v
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Álgebra Linear
Para quaisquer vectores u, v , w ∈ Rn e qualquer escalar k ∈ R:
(i) (u + v ) · w = u · w + v · w;
(ii) (ku) · v = k (u · v );
(iii) u · v = v · u;
(iv) u · u ≥ 0 e u · u = 0 se e só se u = 0.
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Álgebra Linear
Norma e distância em Rn
Dados dois vectores de Rn , u = (u1 , u2 , . . . , un ) e
v = (v1 , v2 , . . . , vn ):
A distância entre os pontos u e v , representa-se por d(u, v ),
e é definida por
q
d(u, v ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + . . . (un − vn )2
A norma (ou o comprimento) do vector u denota-se por kuk,
e é definida por
q
√
kuk = u · u = u12 + u22 + . . . un2
Note que d(u, v ) = ku − v k.
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Álgebra Linear
2
2 ,
2
2 ,
,
Exemplo
Sejam u = (2, 3) e v = (1, 0).
p
√
d(u, v ) = (2 − 1)2 + (3 − 0)2 = 10;
√
√
kuk = 22 + 32 = 13;
√
kv k = 12 + 02 = 1. Sempre que tal acontece, i.e.,
sempre que um vector tem norma 1, chamamos a esse
vector, vector unitário.
u
Note que dado um vector não nulo de Rn , o vector kuk
é um
vector unitário com a mesma direcção e sentido de u.
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Álgebra Linear
(Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Para quaisquer vectores u, v ∈ Rn
|u · v | ≤ kukkv k.
(Desigualdade triangular)
Para quaisquer vectores u, v ∈ Rn
ku + v k ≤ kuk + kv k.
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Álgebra Linear
Ângulo entre dois vectores
Dados dois vectores não nulos u = (u1 , u2 , . . . , un ) e
v = (v1 , v2 , . . . , vn ), o ângulo θ entre u e v é definido pela
igualdade
u·v
cos θ =
.
kukkv k
Note que, se u · v = 0, então θ = π2 , o que está de acordo com
a definição prévia de ortogonalidade.
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Álgebra Linear
Em R a equação x 2 + 1 = 0 é impossı́vel.
a
√ Introduzindo
2
unidade imaginária i, que é tal que i = −1 ou i = −1,
aquela equação passa a ter solução pois
√
x 2 + 1 = 0 ⇔ x = ± −1 ⇔ x = ±i
Ao conjunto
C = {z : a + bi, a, b ∈ R ∧ i 2 = −1}
chama-se conjunto dos números complexos.
a a chama-se parte real do número complexo, a = Re(z);
a b chama-se parte imaginária do número complexo,
b = Im(z).
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Álgebra Linear
Imaginários puros: z = bi, onde b ∈ R \ {0}
Reais puros: z = a, a ∈ R.
Note que o conjunto dos reais puros é da forma
{z ∈ C : z = a, a ∈ R} = {z ∈ C : z = a + 0i} e portanto
identifica-se com R; por tal, dizemos que R ⊂ C.
Adição em C: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Multiplicação em C: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Igualdade em C: (a + bi) = (c + di) ⇔ a = c ∧ b = d
Conjugado de z = a + bi, z: z = a − bi
z
a
−b
Inverso de z = a + bi 6= 0, z −1 : z −1 = zz
= a2 +b
2 + a2 +b 2 i
Divisão em C: wz = wz −1 , z 6= 0
√
Valor absoluto de z = a + bi, |z|: |z| = a2 + b2
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Assim, como os números reais
podem ser representados por
pontos numa recta, os números
complexos podem ser
representados por pontos do
plano. Mais precisamente, o ponto
(a, b) do plano representa o
número complexo z = a + bi. O
valor absoluto de z é definido
como sendo a distância de z à
origem.
Note que |z| é igual à norma do vector (a, b).
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Álgebra Linear
Adição de vectores e multiplicação por um escalar em
Cn
Definimos o conjunto
Cn = {(z1 , z2 , . . . , zn ) : zi ∈ C, i = 1, 2, . . . , n}
Tal como no caso real, aos elementos de Cn chamamos pontos
(ou vectores) e aos elementos de C chamamos escalares.
A soma de z = (z1 , z2 , . . . , zn ) e w = (w1 , w2 , . . . , wn ), u + w,
é o vector de Cn obtido pela adição das componentes respectivas:
z + w = (z1 + w1 , z2 + w2 , . . . , zn + wn )
A multiplicação do escalar λ por z , λz, é o vector de Cn
obtido multiplicando cada componente de z por λ:
λz = (λz1 , λz2 , . . . , λzn )
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Álgebra Linear
Produto interno e norma em Cn
Sendo z = (z1 , z2 , . . . , zn ) e w = (w1 , w2 , . . . , wn ) dois vectores
de Cn .
O produto interno (ou produto escalar) de z e w, u · v , é
definido por:
z · w = z1 w1 + z2 w2 + . . . + zn wn .
A norma de z é definida por:
kzk =
√
zz =
q
p
z1 z1 + z2 z2 + . . . + zn zn = |z12 | + |z22 | . . . |zn2 |
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Álgebra Linear
Exemplo
Sejam z = (2 + 3i, 4 − i, 2i) e w = (3 − 2i, 5, 4 − 6i) dois
vectores de R3 .
z ·w
= (2 + 3i)(3 − 2i) + (4 − i)(5) + (2i)(4 − 6i)
= (2 + 3i)(3 + 2i) + (4 − i)(5) + (2i)(4 + 6i)
= 13i + 20 − 5i − 12 + 8i = 8 + 16i
z · z = (2 + 3i)(2 + 3i) + (4 − i)(4 − i) + (2i)(2i)
= (2 + 3i)(2 − 3i) + (4 − i)(4 + i) + (2i)(−2i)
= 13 + 17 + 4 = 34
√
√
kzk = zz = 34
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Álgebra Linear
Definição de corpo
Seja K um conjunto munido de duas operações: de adição (+)
e de multiplicação (×). O terno (K, +, ×) diz-se um corpo sse
∀x, y ∈ K ∃1 z ∈ K: z = x + y;
∀x, y, z ∈ K: (x + y ) + z = x + (y + z);
∀x, y ∈ K: x + y = y + x;
∃0 ∈ K ∀x ∈ K: x + 0 = 0 + x = x;
∀x ∈ K ∃x 0 ∈ K: x + x 0 = x 0 + x = 0;
∀x, y ∈ K ∃1 z ∈ K: z = x × y;
∀x, y, z ∈ K: (x × y ) × z = x × (y × z);
∀x, y ∈ K: x × y = y × x;
∃1 ∈ K\{0} ∀x ∈ K: 1 × x = x × 1 = x;
∀x ∈ K\{0} ∃x −1 ∈ K: x × x −1 = x −1 × x = 1;
∀x, y, z ∈ K: x × (y + z) = x × y + x × z.
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Álgebra Linear
Exemplo
(i) (R, +, ×) e (C, +, ×), onde + e × são as
operações de adição e multiplicação usuais em R
e C, respectivamente, são corpos.
(ii) (Z2 , +, ×) onde Z2 = {0, 1} e as operações de
adição e multiplicação são definidas por
0 + 1 = 1 + 0 = 1,
0 + 0 = 1 + 1 = 0,
0 × 0 = 0 × 1 = 1 × 0 = 0,
1 × 1 = 1.
é um corpo.
Daqui em diante, sempre que falarmos de um corpo K
estaremos a referir-nos a um dos corpos do exemplo (i).
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Álgebra Linear
Definição de espaço vectorial sobre um corpo
Seja E um conjunto não vazio e (K, +, ×) um corpo. Defina-se
em E uma operação binária (fechada), ⊕, e uma operação de
multiplicação de elementos do corpo K por elementos de E, ⊗,
e cujo resultado está em E.
Dizemos que (E, ⊕, ⊗) é um espaço vectorial (ou linear) sobre
o corpo K sse
∀x, y ∈ E ∃1 z ∈ E: z = x ⊕ y ;
∀x, y, z ∈ E: (x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);
∀x, y ∈ E: x ⊕ y = y ⊕ x;
∃0E ∈ E ∀x ∈ E: x ⊕ 0E = 0E ⊕ x = x;
∀x ∈ E ∃x 0 ∈ E: x ⊕ x 0 = x 0 ⊕ x = 0E ;
∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∃1 y ∈ E: y = λ ⊗ x;
∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E: λ ⊗ (x ⊕ y) = (λ ⊗ x) ⊕ (λ ⊗ y );
∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ E: (λ + µ) ⊗ x = (λ ⊗ x) ⊕ (µ ⊗ x);
∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ E: (λ × µ) ⊗ x = λ ⊗ (µ ⊗ x);
∀x ∈ E: 1K ⊗ x = x.
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Álgebra Linear
Quando K = R → espaço vectorial real
Quando K = C → espaço vectorial complexo
Exemplo
1
2
Rn com as operações de adição e multiplicação por um
real usuais (definidas atrás) é um espaço vectorial real
Cn com as operações de adição e multiplicação por um
real usuais (definidas atrás) é um espaço vectorial
complexo.
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Álgebra Linear
Subespaços vectoriais
Seja (E, ⊕, ⊗) um espaço vectorial sobre um corpo (K, +, ×).
Diz-se que (S, ⊕, ⊗) é um subespaço vectorial de (E, ⊕, ⊗)
sse S ⊆ E e (S, ⊕, ⊗) é um espaço vectorial sobre (K, +, ×).
Exemplo
O conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} munido das
operações de adição e multiplicação por um escalar
usuais, é um subespaço vectorial de R3 ;
Dado um espaço vectorial E sobre um corpo K, o conjunto
{0E } é um subespaço vectorial de E.
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Álgebra Linear
Um subconjunto S de um espaço vectorial E sobre um
corpo K é um subespaço vectorial de E sse
(i) S 6= ∅;
(ii) ∀x, y ∈ S: x + y ∈ S;
(iii) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ S: λx ∈ S.
As propriedades (ii) e (iii) poderiam agrupar-se em apenas
uma:
∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ S : λx + µy ∈ S
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Álgebra Linear
Exemplo
Mostremos que o conjunto A = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 0} munido
das operações de adição e multiplicação por um escalar
usuais, é um subespaço vectorial real de R3 .
(i) A 6= ∅ uma vez que (0, 0, 0) ∈ A;
(ii) Sejam x = (x1 , x2 , 0) e y = (y1 , y2 , 0) dois
quaisquer elementos de A. Então
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , 0)
e portanto x + y ∈ A;
(iii) Para qualquer λ ∈ R e qualquer
x = (x1 , x2 , 0) ∈ A,
λx = (λx1 , λx2 , 0)
donde λx ∈ A.
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Álgebra Linear
De acordo com o teorema anterior, podemos concluir que
S
é subespaço vectorial de E ⇒ 0E ∈ S
donde
0E ∈
/S⇒S
não é subespaço vectorial de E
Exemplo
O conjunto S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2} não é um subespaço
vectorial de R2 uma vez que 0R2 = (0, 0) ∈
/ S.
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Álgebra Linear
Combinações lineares
Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K e sejam
u1 , u2 , . . . , un ∈ E.
Qualquer vector u ∈ E da forma
u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un ,
onde αi ∈ K, i = 1, 2, . . . , n é chamado combinação linear de
u1 , u2 , . . . , un .
Exemplo
O vector (2, 4) ∈ R2 pode ser escrito como combinação linear
dos vectores (1, 0) e (0, 1), uma vez que
(2, 4) = 2(1, 0) + 4(0, 1)
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Álgebra Linear
Dependência e independência linear
Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K. Diz-se que os
vectores u1 , u2 , . . . , un ∈ E são linearmente dependentes se
existem escalares α1 , α2 , . . . , αn ∈ K não todos nulos tais que
α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0.
Caso contrário, dizem-se linearmente independentes.
Se
α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0,
os vectores u1 , u2 , . . . , un são linearmente independentes;
Se um dos vectores uj é zero, então os vectores ui ,
i = 1, . . . , n são linearmente dependentes, pois
0u1 + . . . + 1uj + . . . + 0un = 0
e αj = 1 6= 0;
Qualquer vector não nulo u é por si só linearmente
independente pois αu = 0 ⇒ α = 0.
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Álgebra Linear
Exemplo
1
(1, 2) e (0, 3) são linearmente independentes
α(1, 2) + β(0, 3) = (0, 0) ⇔ (α, 2α + 3β) = (0, 0)
α=0
α=0
⇒
⇔
2α + 3β = 0
β=0
2
u = (1, −1, 0) e v = (1, 3, −1) e w = (5, 3, −2) são
linearmente dependentes
α(1, −1, 0) + β(1, 3, −1) + γ(5, 3, −2) = (0, 0, 0)


 α + β + 5γ = 0
 α = −3γ
−α + 3β + 3γ = 0 ⇔
β = −2γ
⇒


−β − 2γ = 0
γ qualquer
Com, p.e., γ = 1, β = −3 e α = −2, temos
−3u − 2v + w = 0.
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Álgebra Linear
Sistemas de geradores de um espaço vectorial
Seja S = {v1 , v2 , . . . , vn } um conjunto de vectores de um
espaço vectorial E sobre um corpo K.
O conjunto de todas as combinações lineares de elementos de
S designa-se por subespaço gerado por S e representa-se
por hSi ou por hv1 , v2 , . . . , vn i.
hSi é um subespaço vectorial de E;
hSi é o menor subespaço que contém S;
Por convenção, se S = ∅ então hSi = {0}.
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Álgebra Linear
Exemplo
Sejam S1 = {(1, 1, 3), (0, 1, 1), (1, 2, 4)} e
S2 = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)}. Determinemos o subespaço gerado
por S1 e S2 .
O subespaço gerado por S1 é formado por vectores da forma
(x, y, z) = α(1, 1, 3) + β(0, 1, 1) + γ(1, 2, 4)
= (α + γ, α + β + 2γ, 3α + β + 4γ )
{z
}
|
2(α+γ)+(α+β+2γ)
e portanto hS1 i = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 2x + y}.
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Álgebra Linear
O subespaço gerado por S2 é constituı́do por vectores da
forma
(x, y, z) = α(1, 0, 2) + β(0, 1, 1) = (α, β, 2α + β)
e portanto hS2 i = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 2x + y} = hS1 i.
Tal como este exemplo mostra, geralmente um espaço tem
mais do que um sistema de geradores.
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Álgebra Linear
Base e dimensão de um espaço vectorial
Base de um espaço vectorial é qualquer sistema de geradores do espaço, cujos elementos sejam linearmente independentes.
Exemplo
{(1, 0), (1, −1)} é uma base de R2 ;
O conjunto
Bc = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)}
é uma base do espaço vectorial Rn e chama-se base
canónica.
Dimensão de um espaço vectorial E é o número de elementos de uma base de E e denota-se por dimE.
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Álgebra Linear
Seja E um espaço vectorial
Todas as bases de E têm o mesmo número de elementos;
Mais, se dimE = n, então
Qualquer conjunto de n vectores linearmente
independentes de E constitui uma base de E;
Qualquer conjunto de n vectores que gera E é uma base
de E;
Qualquer conjunto de n + 1 vectores é linearmente
dependente;
Sendo B = {b1 , b2 , . . . , bn } uma base, então qualquer
elemento de E se escreve de modo único como
combinação linear dos elementos de B.
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Álgebra Linear
Seja B = {b1 , b2 , . . . , bn } uma base de um espaço vectorial
E, v = α1 b1 + α2 b2 + . . . + αn bn um elemento de E. Aos αi ,
i = 1, 2, . . . , n, chamam-se coordenadas de v na base B e
escreve-se (α1 , α2 , . . . , αn )B .
Exemplo
Determinemos as coordenadas do ponto (8, 5) na base
canónica.
A base canónica de R2 é
Bc = {(1, 0), (0, 1)}.
Como
(8, 5) = 8(1, 0) + 5(0, 1),
podemos então escrever
(8, 5) = (8, 5)Bc
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Álgebra Linear
Definição de matriz
A uma entidade do tipo



A=

···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · ·
amn
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.





onde cada aij ∈ K, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, dá-se o nome
de matriz de m linhas e n colunas (ou matriz m × n) com
elementos em K.
É comum representar-se a matriz A por aij i=1,2,...,m;j=1,2,...,n ,
onde aij é o elemento do corpo K que na matriz A ocupa a
posição na linha i e na coluna j.
O conjunto de todas as matrizes de m linhas e n colunas com
elementos (ou entradas) em K denota-se por Mm,n (K).
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Álgebra Linear
Exemplo
A matriz
A=
1 0 2
−1 4 3
é uma matriz de M2,3 (R), onde
a11 = 1,
a12 = 0,
a13 = 2,
a21 = −1,
a22 = 4,
a23 = 3.
No caso em que K = R a matriz diz-se real (que é o caso da
matriz acima) e no caso K = C a matriz diz-se complexa.
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Álgebra Linear
Quando:
m = 1, à matriz dá-se o nome de matriz (ou vector) linha;
n = 1, à matriz dá-se o nome de matriz (ou vector) coluna;
m = n, a matriz diz-se quadrada. Representa-se por
Mn (K) o conjunto de todas as matrizes quadradas n × n
(ou de ordem n), com entradas no corpo K.
Exemplo
−1
2
3
1
0
1
2
−2 −1
=⇒
matriz linha
=⇒
matriz coluna
=⇒
matriz quadrada de ordem 2
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Álgebra Linear
Seja A ∈ Mn (K). A diz-se uma matriz:


2 −2
3
3
4 
triangular superior se aij = 0 para i > j; e.g.:  0
0
0
−2
2
0
triangular inferior se aij = 0 para i < j; e.g.:
−1 3


1 0
0

0 3
0 
diagonal se aij = 0 para i 6= j; e.g.:
0 0 −2
3 0
escalar se for diagonal e aii = α, α ∈ K; e.g.:
0 3


1 0 0

0 1 0 
identidade se aii = 1 e aij = 0 para i 6= j; e.g.:
0 0 1
0 0
nula se aij = 0, ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n}; e.g.:
0 0
É costume representar-se a matriz identidade de ordem n por
In ou simplesmente, I.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos aii
constituem a diagonal principal e os elementos
an1 , a(n−1) 1 , . . . , a1n constituem a diagonal secundária.
Exemplo

1
A= 4
6

1
A= 4
6
3
0
2
3
0
2

−1
0 
5

−1
0 
5
A vermelho está representada a diagonal principal
A amarelo está representada a diagonal secundária
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Igualdade em Mm,n (K)
Diz-se que duas matrizes A = aij e B = bij são iguais sse
forem da mesma ordem e aij = bij .
Exemplo
As matrizes A =
2 0
0 2
e B = bij : bij =
2, i = j
,
0, i =
6 j
são iguais;

1 0 0
1 0
As matrizes I2 =
e I3 =  0 1 0  não são
0 1
0 0 1
iguais pois não são o mesmo tipo, uma vez que I2 é uma
matriz 2 × 2 e I3 é uma matriz 3 × 3.
Luı́sa Morgado

Álgebra Linear
Adição em Mm,n (K)
Dadas duas matrizes de Mm,n (K): A = aij e B = bij a
sua soma é definida por
A + B = aij + bij = aij + bij .
Exemplo



2 1 3
3
A =  0 −2 2  , B =  6
0 10 4
−1

 
2+3 1+4 3+0
A + B =  0 + 6 −2 − 9 2 + 1  = 
0 − 1 10 + 3 4 + 0
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear

4 0
−9 1  ,
3 0

5
5
3
6 −11 3  .
−1 13 4
Multiplicação de um escalar por uma matriz
Seja A = aij ∈ Mm,n (K) uma matriz e λ ∈ K um escalar.
Define-se a multiplicação de λ por A por
λA = λ aij = λaij .
Exemplo

 
 

−1 0
2 × (−1) 2 × (0)
−2 0
6 
2  0 3  =  2 × (0) 2 × (3)  =  0
4 5
2 × (4) 2 × (5)
8 10
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Com as operações de soma, (+), de matrizes e de
multiplicação de uma matriz por um escalar, (·) assim
definidas, o terno (Mm,n (K), +, ·) é um espaço vectorial sobre K de dimensão m × n.
Exemplo
O conjunto
B=
1
0
0
,
0
0
0
1
0
0
,
1
0
0
0
,
0
0
1
constitui uma base de M2,2 (R), pois
α
1
0
0
0
+β
0
0
1
0 0
0 0
0 0
+γ
+δ
=
0
1 0
0 1
0 0
α β
0 0
⇔
=
⇔ α = β = γ = δ = 0,
γ δ
0 0
ou seja, os elementos de B são linearmente independentes;
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
a b
c d
combinação linear de elementos de B:
de M2,2 (R) pode ser escrita como
Por outro lado, qualquer matriz
a
c
b
d
=a
1
0
0
0
+b
0
0
1
0
+c
0
1
0
0
+d
0
0
0
1
,
i.e., B é um conjunto gerador de M2,2 (R).
Mostre que o conjunto das matrizes diagonais de ordem n é um subespaço vectorial
de
Mn (R)
de dimensão n.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Multiplicação de matrizes
Sejam A = aij ∈ Mm,n (K) e B = bij ∈ Mn,p (K). Definese o produto de A por B com sendo a matriz:
AB = cij ∈ Mm,p (K),
onde
cij = ai1 b1j +ai2 b2j +. . .+ain bnj ,
i = 1, . . . , m,
j = 1, . . . , p.
Exemplo
=
1 × 1 + 0 × 0 + 3 × (−1)
2 × 1 − 1 × 0 + 1 × (−1)
1
2
0
−1
1×0+0×1+3×2
2×0−1×1+1×2
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear

1
0 =
0
1×1+0×0+3×0
=
2×1−1×0+1×0
−2 6 1
=
1
1 2
3
1

1
· 0
−1
0
1
2
Note que nem sempre é possı́vel o produto de duas matrizes e
portanto podemos concluir que, geralmente, o produto de
matrizes não é comutativo.
Duas matrizes A e B dizem-se permutáveis sse AB = BA.
Sejam A, A0 ∈ Mm,n (K), B, B 0 ∈ Mn,p (K) e C, C 0 ∈ Mp,q (K).
Então:
(i) (AB)C = A(BC);
(ii) (A + A0 )B = AB + A0 B;
(iii) A(B + B 0 ) = AB + AB 0 ;
(iv) Im A = A = AIn ;
(v) ∀λ ∈ K, λ(AB) = (λA)B = A(λB).
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Transposta de uma matriz
Seja A ∈ Mm,n (K). A matriz transposta de A é a matriz
B ∈ Mn,m
(K) cuja coluna i é a linha j da matriz A, i.e., se
A = aij , então B = aji . Normalmente utiliza-se AT para
denotar a transposta de A.
Exemplo
Sendo A =


1 4
1 2 3
, AT =  2 5  .
4 5 6
3 6
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Matrizes simétricas e hemi-simétricas
T
Uma
matriz A
∈ Mn (K) diz-se simétrica sse A = A ⇔
aij = aji , i.e., os elementos colocados em posição
simétrica face à diagonal principalsão iguais.
No caso em que AT = −A ⇔ aij = − aji , a matriz diz-se
hemi-simétrica.
Exemplo


1 −1 4
A =  −1 2 5  é uma matriz simétrica.
4
5 3


0 −1 4
0 5  é uma matriz hemi-simétrica.
B= 1
−4 −5 0
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Sejam A e B duas matrizes para as quais estão definidas as
suas somas e produtos. Então
(A + B)T = AT + B T ;
(AB)T = B T AT ;
T
AT = A;
(λA)T = λAT , λ ∈ K.
Sejam A e B duas matrizes simétricas. Mostre que
AB é simétrica ⇔ AB = BA.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Matriz conjugada
Seja A ∈ Mm,n (C). Define-se matriz conjugada de A, e
denota-se por Ā, como sendo a matriz cujas entradas são os
conjugados
das entradas da matriz A, i.e., se A = aij , então
¯
Ā = aij .
Exemplo
1
−i 2 + i
Sendo A =
, então
4−i 2
0
1
−i 2 + i
1
i 2−i
Ā =
=
.
4+i 2
0
4−i 2
0
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Sejam A e B duas matrizes para as quais estão definidas as
suas operações de soma e produto. Então:
A + B = A + B;
AB = ĀB̄;
A = A;
λA = λ̄Ā, λ ∈ K.
Sendo A ∈ Mm,n (C), prove que A é uma matriz real sse
Ā = A.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Matriz transconjugada
Seja A ∈ Mm,n (C). Define-se matriz transconjugada de A,
e denota-se por A∗ , como sendo a matriz cuja entrada
(ij) é
o conjugado da
entrada
(ji)
de
A,
i.e.,
se
A
=
a
ij , então
∗
T
¯
A = Ā = aji .
Exemplo
1
−i 2 + i
Sendo A =
4−i 2
0
1
i 2−i
Ā =
e
4+i 2
0


1
4+i
2 .
A∗ = ĀT =  i
2−i
0
Luı́sa Morgado
, então
Álgebra Linear
Sejam A e B duas matrizes para as quais estão definidas as
suas operações de soma e produto.
(A∗ )∗ = A;
(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ;
(AB)∗ = B ∗ A∗ ;
(λA)∗ = λA∗ , λ ∈ K.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Matrizes hermı́ticas e semi-hermı́ticas
Uma matriz A ∈ Mn (K) diz-se hermı́tica sse A∗ = A.
No caso em que A∗ = −A, a matriz diz-se hemi-hermı́tica.
Exemplo


1
2−i i
0
0  é uma matriz hermı́tica pois
A= 2+i
−i
0
3

T 

1
2 + i −i
1
2−i i
T
0
0  = 2+i
0
0 =A
A∗ = A  2 − i
i
0
3
−i
0
3
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Seja B = {v1 , v2 , . . . , vn } um conjunto de vectores de um
espaço vectorial E, de dimensão finita, sobtre um corpo K.
Define-se a caracteristica de B e denota-se por r (B) como
sendo o número máximo de vectores linearmente
independentes.
Exemplo
Sendo B = {( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}, temos r (B) = 2 uma
vez que
(1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0),
e os dois primeiros vectores de B são linearmente
independentes (fazem parte da base canónica de R3 ).
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Seja A ∈ Mm,n (K).
Caracterı́stica-linha da matriz A, rL (A), é a
caracterı́stica do conjunto das suas linhas
{L1 , L2 , . . . , Lm } encaradas como vectores de Kn ;
Caracterı́stica-coluna da matriz A, rC (A), é a
caracterı́stica do conjunto das suas colunas
{C1 , C2 , . . . , Cn } encaradas como vectores de Km .
Exemplo
Seja In a matriz identidade de ordem n de Mn (K).
O conjunto das suas linhas é igual ao conjunto das suas
colunas, que por sua vez é igual à base canónica de Rn . Então
rL (In ) = rC (In ) = n.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Veremos adiante que:
Toda a matriz não nula de Mm,n (K) pode ser transformada
numa outra matriz da forma
Ir 0
0
A =
,
0 0
de tal modo que a caracterı́stica linha (ou coluna) da matriz
não se altera.
Assim rL (A) = rC (A) = r e podemos então definir
A caracterı́stica de uma matriz é a caracterı́stica do conjunto
das suas filas (linhas ou colunas).
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Operações elementares sobre as linhas (ou colunas)
de uma matriz
Há três tipos de operações que permitem transformar a matriz
numa da forma descrita no slide anterior (condensação da
matriz):
Troca de filas paralelas (fi ↔ fj );
Multiplicação de uma fila por um escalar não nulo
(fi ← λfj );
Adição a uma fila de uma outra paralela multiplicada por
um escalar (fi ← fi + λfj ).
Mostre que as operações elementares não alteram a
caracterı́stica da matriz.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo




1 1 0 2
−→
1
1
0
2
−→



1 0 1 1
L2 ← L2 − L1
0 −1 1 −1 
A=
L3 ← L3 − L2
2 1 1 3
L3 ← L3 − 2L1
0 −1 1 −1




1
1
0
2
1
0
1
1
−→
−→
 0 −1 1 −1 
 0 −1 1 −1 
L1 ← L1 + L2
L2 ← −L2
0
0
0
0
0
0
0
0




1 0
1
1
−→
1 0
0
0
 0 1 −1 1  C3 ← C3 − C1  0 1 −1 1 
0 0
0
0
C4 ← C4 − C1
0 0
0
0


1 0
−→
0 
C3 ← C3 + C2  0 1
= A0
C4 ← C4 − C2
0
0
Logo r (A) = 2.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Método de Gauss
Dada uma matriz A = aij ∈ Mm,n (K), cuja entrada a11 6= 0 (caso contrário as
operações elementares permitiriam fazer troca de filas de tal forma a que tal aconteça)
”Transformar”todas as entradas a21 , a31 , . . . , am1 em zero através das
operações elementares:





a11
a21
..
.
am1
a11
a22
..
.
am2
···
···
..
.
···
a1n
a2n
..
.
amn





−→
L2 ← L2 − aa21 L1
11
a
L3 ← L3 − a31 L1
11
..
.
Lm ← Lm − aam1 L1





a11
0
..
.
0
a11
0
a22
..
.
0
am2
···
···
..
.
···
a1n
0
a2n
..
.
0
amn
11
onde aij0 = aij −
a21
a ;
ai1 1j

0
0
0
a22
a23
···
a2n
0
0
0
 a32

a33
···
a3n


Repetir o processo na submatriz  .
 até obtermos
.
.
.
..
..
.. 
 ..
0
0
0
am2
am3
· · · amn
B
C
uma matriz da forma A0 =
, onde B é uma matriz triangular
D
E
superior cujos elementos da diagonal principal são diferentes de zero e D e E
(caso existam) são nulas.

Luı́sa Morgado
Álgebra Linear





Sabendo que
Toda a matriz triangular com todos os elementos da diagonal
principal diferentes de zero, tem caracterı́stica igual à sua
ordem
o método de Gauss permite-nos facilmente determinar a
caracterı́stica de uma matriz.
Exemplo

A
=
2
 2
2

2
 0
0
2
4
6
5
−2
−4
2
2
0
3
−7
5


2
0
−→
2  L2 ← L2 − L1  0
3
L3 ← L3 − L1
0

0
2 ,
0
2
2
4
donde r (A) = 3.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
3
−7
−9

0
−→
2 
L3 ← L3 − 2L2
3
Matrizes invertı́veis
Diz-se que A ∈ Mn (K) é invertı́vel sse existir B ∈ Mn (K) tal
que
AB = BA = In .
B diz-se então a inversa de A (e também que A é a inversa
de B) e denota-se a inversa de A por A−1 .
Sempre que A admita inversa, dizemos que A é regular, caso
contrário, dizemos que é singular.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Se A, B ∈ Mn (K) são regulares, então o seu produto é uma matriz regular e
(AB)−1 = B −1 A−1 .
De facto
(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In
(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 In B = B −1 B = In ,
ou seja, B −1 A−1 é a inversa de AB.
Sendo A ∈ Mn (K) uma matriz invertı́vel, então
−1 T
AT
= A−1 ,
pois sendo A uma matriz invertı́vel, existe A−1 tal que
AA−1 = In = A−1 A.
Transpondo:
T
T
T
T
AA−1
= (In )T = A−1 A
⇔ A−1 AT = In = AT A−1 ,
ou seja, AT
−1
é a inversa de A−1
Luı́sa Morgado
T
.
Álgebra Linear
Cálculo da inversa pelo método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan é o algoritmo que através de
operações elementares sobre linhas e/ou troca de colunas
permite transformar uma dada matriz numa outra do tipo:
Ir C
0 0
Seja A ∈ Mn (K) uma matriz invertı́vel. A matriz (In |B) obtida
a partir da matriz (A|In ) por aplicação do método de GaussJordan, usando apenas operações elementares sobre linhas, é tal que
AB = BA = In ,
Luı́sa Morgado
i.e.,
B = A−1 .
Álgebra Linear
Exemplo
Determinemos,
pelo m

étodo de Gauss-Jordan, a inversa da matriz
1
0
2
A =  2 −1 3 
4
1
8



0
−→
1
0
2
1
0 0


0
L2 ← L2 − 2L1
0 −1 −1 −2 1 0 
0
1
0
1
L3 ← L3 − 4L1
−4 0 1

1
0
2
1
0 0
−→
−→
 0 −1 −1 −2 1 0  L2 ← (−L2 )
L3 ← L3 + L2
0
0
−1 −6 1 1
L3 ← (−L3 )




1 0 0 −11
1 0 2 1
0
0
−→
2
2

 0 1 1 2 −1

L2 ← L2 − L3
0
0 1 0
−4
0
1 ,
0 0 1 6 −1 −1
L1 ← L1 − 2L3
0 0 1
6
−1 −1

1
 2
4
0
−1
1

logo
A−1
2
3
8
−11
=  −4
6
1
0
0

2
0
−1
0
1
0

2
1 .
−1
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Definição de determinante
Chama-se determinante de ordem n a uma função que a
cada n-upla de vectores (v1 , v2 , . . . , vn ) de Kn faz corresponder um escalar. Denota-se por det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 e satisfaz:
Multilinearidade:
(i) ∀1 ≤ k ≤ n, det(v1 , . . . , vk + wk , . . . , vn ) =
det(v1 , . . . , vk , . . . , vn ) +
det(v1 , . . . , wk , . . . , vn );
(ii) ∀1 ≤ k ≤ n, ∀α ∈
K, det(v1 , . . . , αvk , . . . , vn ) =
αdet(v1 , . . . , vk , . . . , vn );
Se vi = vj , i 6= j então det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0;
Se (e1 , e2 , . . . , en ) é a base canónica de Kn , então
det(e1 , e2 , . . . , en ) = 1.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
A determinante de (v1 , v2 , . . . , vn ) também se chama de
determinante da matriz A = Mn (K) cujas filas são os vectores
v1 , v2 , . . . , vn e escreve-se
detA = |A| = det(v1 , v2 , . . . , vn ).
Sejam v1 , v2 , . . . , vn n vectores de Kn . Então
det(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) =
−det(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn );
se vk = 0 para algum k ∈ {1, 2, . . . , n} então
det(v1 , . . . , vk , . . . , vn ) = 0;
det(v1 , . . . , vi + αvj , . . . , vj , . . . , vn ) =
det(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn );
se os vectores v1 , v2 , . . . , vn são linearmente
dependentes então det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Determinantes de ordem 1
Seja v1 = (a11 ), i.e., v1 = a11 e1 onde {e1 } é a base canónica
de K. Então
det(v1 ) = det(a11 e1 ) = a11 det(e1 ) = a11 ,
| {z }
1
portanto |a11 | = a11 .
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Determinantes de ordem 2
Sejam v1 = (a11 , a12 ) e v2 = (a21 , a22 ), i.e.,
v1 = a11 e1 + a12 e2
e v2 = a21 e1 + a22 e2 ,
onde {e1 , e2 } é a base canónica de Kn . Então
det (v1 , v2 ) = det (a11 e1 + a12 e2 , a21 e1 + a22 e2 )
=
det (a11 e1 , a21 e1 + a22 e2 ) + det (a12 e2 , a21 e1 + a22 e2 )
=
a11 det (e1 , a21 e1 + a22 e2 ) + a12 det (e2 , a21 e1 + a22 e2 )
=
a11 [det (e1 , a21 e1 ) + det (e1 , a22 e2 )] + a12 [det (e2 , a21 e1 ) + det (e2 , a22 e2 )]



=




a11 a21 det (e1 , e1 ) +a22 det (e1 , e2 ) + a12 a21 det (e2 , e1 ) +a22 det (e2 , e2 )
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
|
=
a11 a22 − a12 a21 .
0
−1
1
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
0

a
a12
Assim, det(v1 , v2 ) = 11
a21 a22
= a11 a22 − a12 a21 .
Exemplo
1 2 3 4 = 1 × 4 − 2 × 3 = −2.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Determinantes de ordem 3
Sejam v1 = (a11 , a12 , a13 ), v2 = (a21 , a22 , a23 ) e
v2 = (a31 , a32 , a33 ) três vectores de Kn . Procedendo como
anteriormente, obtemos a regra de Sarrus:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31
− a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a12 a21 a33 .
Exemplo
1
−1
0
2
−2
4
3
3
5
=
1 × (−2) × 5 + (−1) × 4 × 3 + 2 × 3 × 0
−
3 × (−2) × 0 − 3 × 4 × 1 − 2 × (−1) × 5 = −24.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Fórmula de Laplace
Seja A ∈ Mn (K). Representemos por Aij a matriz de ordem
n − 1 que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j.
Chama-se cofactor ij, e representa-se por cij a
cij = (−1)i+j Aij .
A fórmula de Laplace permite exprimir determinantes de
ordem n à custa de determinantes de ordem n − 1.
Seja A = (aij ) uma matriz de ordem n. Então
P
|A| = nj=1 aij cij ←− Expansão de |A| relativamente à
linha i;
P
|A| = ni=1 aij cij ←− Expansão de |A| relativamente à
coluna j
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo


1 2
3
4
 0 5 −1
0 
.
Seja A = 
 0 0 −3
1 
2 0
1
−1
Façamos a expansão de |A| relativamente (por exemplo)
à linha 3:
|A|
=
4
X
j=1
aij cij = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 + a34 c34
|{z}
|{z}
0
0
1
+ 1 × (−1)3+4 0
2
=
1
3+3 (−3) × (−1)
0
2
=
−3(−5 − 40) − (5 − 4 − 30) = 164.
2
5
0
4
0
−1
2
5
0
3
−1
1
3
−3
1
4
1
−1
à coluna 2:
|A|
=
0
2 × (−1)1+2 0
2
=
−2(−2) + 5(3 + 6 + 24 − 1) = 164.
−1
−3
1
Luı́sa Morgado
0
1
−1
1
+ 5 × (−1)2+2 0
2
Álgebra Linear
Suponhamos que A é uma matriz triangular superior de ordem
n:


a11 a12 · · · · · · a1n
 0 a22 · · · · · · a2n 



0 a33 · · · a3n 
A= 0

 ..
.. 
..
 .
.
. 
0
···
···
0
ann
Usando a fórmula de Laplace vem
|A| = a11 c11 + 0c21 + 0c31 + . . . + 0cn1
= a11 (a22 c22 + 0c32 + . . . + 0cn2 ) = a11 a22 c22
= a11 a22 (a33 c33 + 0c43 + . . . + 0cn3 ) = a11 a22 a22 c33
= ···
= a11 a22 a33 · · · ann
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Mostre que o mesmo acontece se, em vez de uma matriz
triangular superior, suposer que |A| é uma triangular inferior.
Podemos então concluir o seguinte resultado:
Se |A| é uma matriz triangular, então o seu determinante é
igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Mostre ainda que, sendo A, B ∈ M (K):
n
det(AB) = (detA)(detB);
det(AT ) = detA;
det(A) = detA.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo
1
1
2
1
1
−
0
0
3
1
1
1
0
0
0
0
1
1
4
0
3
0
1
3
1
0
1
1
5
1
2
1
2
2
−1
0
=
L4 ←− L4 − 43 L3
1
0
1
1
1
1
1
3
0
0
1
1
1 1 0
=
0
0 −1 0 0
=
L2 ←− L2 − L1 2
3 −1 0 3
L3 ←− L3 − 2L1 L2 ←→ L5
0 0 1 −1 0
L4 ←− L4 − L1 0 1
2
1
0
1 1
1
1 1 0
0 =
2
1
0 0 1
−1 L3 ←− L3 − 3L2 − 0 0 −4
0
−1 0 L4 ←− L4 − L2
0 0 0 −3 −1
−1
0
0
0
0
−1
1 0
1
1
1 0 1
2
1
0 0
−1 = −1 × 1 × (−4) × (−1) × (−1) = 4
− 0 0 −4
3 0 0
0
−1
4 0 0
0
0
−1 Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Cálculo da inversa de uma matriz
Dada uma matriz A = aij ∈ Mm,n
(K), podemos construir a
matriz dos cofactores, cofA = cij , onde cij é o cofactor-ij.
À transposta da matriz dos cofactores de A chamamos adjunta de A e representa-se por adjA:
adjA = (cofA)T .
Seja A ∈ Mm,n (K). Tem-se
A adjA = |A|In .
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
: Mostre que
Uma matriz A é invertı́vel sse
|A| =
6 0;
Se A é invertı́vel então
1
|A−1 | = |A|
;
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo


1 −2 4
5
2 .
Calculemos a inversa da matriz A =  0
3 −1 0
Comecemos por calcular o seu determinante (p.e., pela regra de Sarrus):
|A| = −12 − 60 + 2 = −70 6= 0,
logo A é invertı́vel.
Calculemos agora a matriz dos
cofactores:
5
2 1+2 0
c11 = (−1)1+1 =
2
c
=
(−1)
12
−1
0
3
−2
0
5 2+1
1+3
c21 = (−1)
c13 = (−1)
−1
3 −1 = −15
1
1
4
2+2
2+3
c22 = (−1)
c23 = (−1)
3
3 0 = −12
1
−2
4
= −24
c32 = (−1)3+2 c31 = (−1)3+1 2 0
5
1 −2 =5
c33 = (−1)3+3 0
5 Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
2 =6
0 4 = −4
0 −2 = −5
−1 4 = −2
2 
2
cofA =  −4
−24
6
−12
−2

−15
−5  ,
5

2
adjA = (cofA) =  6
−15
T
−4
−12
−5
logo
−1
A

2
1 
1
6
=
adjA = −
|A|
70
−15
Luı́sa Morgado
−4
−12
−5
Álgebra Linear

−24
−2  .
5

−24
−2  ,
5
Equação linear
Uma equação linear sobre o corpo R é uma expressão da
forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
onde ai , i = 1, . . . , n, e b são números reais e os xi ,
i = 1, . . . , n, são as chamadas incógnitas (ou variáveis).
Os escalares ai são chamados coeficientes de xi ,
respectivamente, e ao escalar b é dado o nome de termo
independente.
Dizemos que u = (k1 , k2 , . . . , kn ) é solução da equação linear
se a igualdade obtida substituindo xi por ki :
a1 k1 + a2 k2 + . . . + an kn = b
for verdadeira. Diz-se então que esse conjunto de valores
satisfaz a equação.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo
x + 2y − 4z + w = 3
é uma equação linear nas incógnitas x, y , z e w.
A 4-upla u = (3, 2, 1, 0) é solução da equação pois
3 + 2(2) − 4(1) + 0 = 3.
A 4-upla u = (1, 2, 1, 0) não é solução da equação pois
1 + 2(2) − 4(1) + 0 = 1 6= 3.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
As soluções de uma equação linear podem ser facilmente
descritas e obtidas. Há três casos:
Um dos coeficientes, digamos a1 é não nulo e então podemos reescrever a
equação na forma
b
a2
an
x1 =
−
x2 − . . . −
xn .
a1
a1
a1
Atribuindo valores às incógnitas x2 , x3 , . . . , xn , determinamos um valor para x1 ,
obtendo desta forma uma solução para a equação;
Todos os coeficientes são zero, mas o termo independente não, i.e., temos uma
equação da forma
0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b,
b 6= 0,
e neste caso a equação não tem solução;
Todos os coeficientes são zero, e o termo independente também. Neste caso a
equação escreve-se
0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 0,
e portanto toda a n-upla de escalares em R é solução da equação.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
A uma conjunção de um número finito de equações lineares
sobre um corpo K damos o nome de sistema de equações
lineares sobre K.
Um sistema linear de m equações a n incógnitas
representa-se, usualmente, na forma


 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1

 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..

.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Diz-se que o sistema é homogéneo se b1 = b2 = . . . = bn = 0.
Uma n-upla de escalares k1 , k2 , . . . , kn diz-se uma solução (ou
solução particular) se satisfaz cada uma das equações. O
conjunto de todas as soluções particulares é chamado de
conjunto solução ou solução geral.
Note que um sistema linear homogéneo tem sempre a
solução 0 = (0, 0, . . . , 0), a chamada solução nula ou trivial. Qualquer outra solução, se existir, é chamada de solução
não nula ou não trivial.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Solução de um sistema de equações lineares pelo
método de eliminação de Gauss
Um sistema de m equações lineares em n incógnitas pode ser
reduzido a um sistema mais simples, usando as seguintes
operações elementares, que o transformam num sistema
equivalente (i.e., um sistema com o mesmo conjunto solução):
Troca de duas equações Li ↔ Lj , i = 1, . . . , m, em
particular, para que a primeira equação tenha o primeiro
coeficiente não nulo;
Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo,
Li ← αLi , i = 1, . . . , m, α 6= 0;
Para cada i > 1, Li ← −ai1 L1 + a11 Li .
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Eliminamos assim a primeira incógnita nas equações
2, 3, . . . , m. Supondo que inicialmente a11 6= 0 obtemos o
sistema


 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1

 a0 x2 + . . . + a0 xn = b0
22
2n
2
..

.


 0
0 x = b0
am2 x2 + . . . + amn
n
m
Note que
1
Se ocorre uma equação 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b, b 6= 0,
então o sistema é impossı́vel, i.e., não tem solução;
2
Se surge uma equação 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 0, então
ela pode ser suprimida sem que isso afecte a solução do
sistema.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Repetimos o processo no sub-sistema a vermelho e assim
sucessivamente até chegarmos à conclusão que o sistema
ou é impossı́vel ou redutı́vel a um sistema da forma

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1


 0
0 x = b0

a22 x2 + . . . + a2n
n
2
..

.


 0
0 x = b0
arr xr + . . . + arn
n
r
0 , . . . a0 nao são
onde 2 < r e os coeficientes iniciais a22
rr
nulos. Diz-se que o sistema está na forma escalonada.
As incógnitas xi que não aparecem no inı́cio de nenhuma
equação são chamadas variáveis livres.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Solução de um sistema na forma escalonada
Quando um sistema possı́vel (i.e., que admite solução) está na
forma escalonada, duas situações podem ocorrer
1
r = n, i.e., há tantas equações quanto incógnitas. Neste
caso o sistema tem solução única e diz-se possı́vel e
determinado;
2
r < n, i.e., há menos equações do que incógnitas. Neste
caso, podemos atribuir valores arbitrários às incógnitas
livres e desta forma obter várias soluções do sistema.
Quando tal acontece (i.e., o sistema tem mais do que uma
solução), ele diz-se possı́vel e indeterminado.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Um sistema impossı́vel
Exemplo

 2x+y-2z+3w=1
3x+2y-z+2w=4

3x+3y+3z-3w=5

⇐⇒
 2x+y-2z+3w=1
y+4z-5w=5
L2 ← 2L2 − 3L1

3y+12z-15w=7
L3 ← 2L3 − 3L1

 2x+y-2z+3w=1
⇐⇒
y+4z-5w=5
L3 ← L3 − 3L2 
0=-8
A última equação mostra que o sistema é impossı́vel.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Um sistema possı́vel e determinado
Exemplo


x+2y-3z=4
⇐⇒
x+2y-3z=4






x+3y+z=11
L2 ← L2 − L1
y+4z=7
y+2z=5
 2x+5y-4z=13 L3 ← L3 − 2L1 




2x+6y+2z=22 L4 ← L4 − 2L1
2y+8z=14


x+2y-3z=4


⇐⇒

 x+2y-3z=4
y+4z=7
L3 ← −L3 + L2
y+4z=7
⇐⇒
2z=2



L4 ← L4 − 2L2 
2z=2
0=0
Note, em primeiro lugar, que o sistema é possı́vel pois não ocorre nenhuma equação
do tipo 0 = b, com b 6= 0. Além disso, como na forma escalonada há três equações a
três incógnitas, o sistema é determinado.
Pela terceira equação z = 1 que substituı́do na segunda equação resulta em y = 3.
Finalmente, substituindo estes valores de z e y na primeira equação obtemos x = 1.
Assim, x = z = 1 y = 3 ou, por outras palavras, a 3-upla (1, 3, 1) é a única solução
do sistema.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Um sistema possı́vel e indeterminado
Exemplo


⇐⇒
 x+2y-2z+3w=2
 x+2y-2z+3w=2
2x+4y-3z+4w=5
L2 ← L2 − 2L1
z-2w=1


5x+10y-8z+11w=12 L3 ← L3 − 5L1
2z-4w=2

 x+2y-2z+3w=2
⇐⇒
x+2y-2z+3w=2
z-2w=1 ⇐⇒
L3 ← L3 − 2L2 
z-2w=1
0=0
O sistema é possı́vel e como na forma escalonada há mais incógnitas do que
equações, o sistema tem uma infinidade de soluções.
De facto, há duas variáveis livres, y e w, e portanto uma solução do sistema pode ser
obtida atribuindo a estas variáveis quaisquer valores.
Substituindo y = a e w = b na segunda equação obtém-se z = 1 + 2b; Substituindo
estes valores de y , w e z na primeira equação, obtemos x = 4 − 2a + b. Assim, a
solução geral do sistema é
x = 4 − 2a + b,
y = a,
z = 1 + 2b
Luı́sa Morgado
e
w = b,
a, b
Álgebra Linear
são números arbitrários.
Representação na forma matricial
Vimos que ao trabalhar com um sistema de equações lineares, apenas os coeficientes
e as respectivas posições são importantes. Assim sendo, esses coeficientes podem
ser devidamente ”arrumados”numa matriz.
Um sistema de m equações a n incógnitas, na sua forma geral pode ser escrito





a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm


 
 
=
 
b1
b2
..
.
bm



,

ou seja





|
a11
a21
..
.
am1
···
···
..
.
···
a12
a22
..
.
am2
a1n
a2n
..
.
am2
{z




}|
A
O sistema escreve-se então Ax = b,

x1
x2
..
.
xn
{z
x


 
 
=
 
}
|
b1
b2
..
.
bm
{z
b



.

}
A → matriz dos coeficientes
x → matriz das incógnitas
.
b → matriz dos termos independentes
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Define-se a matriz ampliada do sistema Ax = b como sendo a matriz de n + 1 colunas, onde as primeiras n constituem a matriz dos coeficientes e a última é a matriz
dos termos independentes. A matriz ampliada do sistema Ax = b representa-se
por [A|b]:


a11
a12
· · · a1n
| b1
 a21
a22
· · · a2n
| b2 


[A|b] =  .
.
..
..
..
..
 ..

.
.
.
| .
am1 am2 · · · amn | bm
Exemplo

 2x − y + z = 0
x + y − 3z = 1 , escreve-se na forma matricial:
O sistema

y + 4z = −2

2
 1
0
−1
1
1

 

1
x
0
−3   y  =  1  .
4
z
−2

2
A sua matriz ampliada é: [A|b] =  1
0
−1
1
1
Luı́sa Morgado
1
−3
4
|
|
|

0
1 .
−2
Álgebra Linear
Recordemos que se num sistema de equações lineares, trocarmos duas equações,
multiplicarmos uma equação por um escalar não nulo, ou se uma equação for
substituı́da pela sua soma com uma outra multiplicada por um escalar, então obtemos
um sistema equivalente ao inicial.
Em termos matriciais, isto significa que se na matriz ampliada de um sistema
efectuarmos qualquer uma das três operações elementares sobre linhas, então
obteremos a matriz ampliada de um sistema equivalente ao inicial.
O método de eliminação de Gauss para a resolução de um sistema Ax = b consiste
na utilização das operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada [A|b]
de forma a tranformá-lo num outro
A0 =
B
0
C
0
,
onde B é uma matriz triangular com elementos diagonais não nulos.
Nota: Em certos casos, para se atingir este objectivo pode ser necessário efectuar
troca de colunas na matriz dos coeficientes. Se for esse o caso, não nos devemos
esquecer que isso equivale a trocar a ordem das incógnitas.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo

2x + z = 0



3x + y + 2z = 1
Consideremos o seguinte sistema
 x + 2y + z = 0


2z = 6
escreve





2 0 1
x
 3 1 2 


 y  = 
 1 2 1 

z
0 0 2
, que na forma matricial se

1
2 
.
0 
6
A sua matriz ampliada é

2
 3

 1
0
0
1
2
0
|
|
|
|
1
2
1
2

2
 0

 0
0


1
2 0 1
−→
 0 2 1

2 

L ← 2L2 − 3L1 
0  2
0 4 1
L3 ← 2L3 − L1
6
0 0 2

0 1
| 1
2 1
| 1 
−→

0 −1 | −3  L4 ← L4 + 2L3
0 2
| 6
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear

1
1 
−→

−1  L3 ← L3 − 2L1
6

2 0 1
| 1
 0 2 1
| 1 


 0 0 −1 | −3  ,
0 0 0
| 0
|
|
|
|

que é a matriz ampliada de um sistema equivalente ao inicial e que se escreve

 2x + z = 0
2y + z = 1

−z = −3

 x = −1
y = −1
⇔

z=3
Relembrando o que foi dito acerca da existência e unicidade de solução de um
sistema de equações lineares, podemos concluir que em termos das caracterı́sticas
da matriz dos coeficientes do sistema e da matriz ampliada:
Dado um sistema de m equações lineares a n incógnitas, Ax = b:
se r (A) < r ([A|B]) o sistema é impossı́vel;
se r (A) = r ([A|B]) = n o sistema é possı́vel e determinado;
se r (A) = r ([A|B]) < n o sistema é posssı́vel e indeterminado.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Exemplo

 x − ay + z = −b
x − y + (b + 1)z = 1 , determinemos os valores dos escalares a
Dado o sistema

x −y +z =3
e b de forma a que o sistema seja impossı́vel, possı́vel determinado e possı́vel
indeterminado.
Consideremos a matriz ampliada do sistema:

1
 1
1
−a
−1
−1
1
b+1
1
|
|
|


1 −a
1
−b
−→

1
L2 ← L2 − L1  1 −1 + a b
0 −1 + a 0
3
L3 ← L3 − L1

1 −a
1
−→
 1 −1 + a b
L3 ← L3 − L2
0 0
−b
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
|
|
|
|
|
|

−b
1+b 
3+b

−b
1+b 
2

1
Se b = 0, então a matriz ampliada reduz-se a  1
0
logo o sistema é impossı́vel;
−a
−1 + a
0
|
|
|
1
b
0

0
1 ,
2
Se b 6= 0 e a 6= 1, r (A) = r ([A|b]) = 3 e portanto o sistema é possı́vel e
determinado;
Se b 6= 0 e a = 1, a matriz ampliada reduz-se a

1
 1
0
−1
0
0
1
b
−b
|
|
|


−b
1
−→
 1
1+b 
L3 ← L3 + L2
2
0
−1
0
0
1
b
0
|
|
|

−b
1 + b ,
b+3
e portanto
(i) se b 6= −3, o sistema é impossı́vel;
(ii) se b = −3, r (A) = r ([A|b]) = 2 < 3 e portanto o sistema é
possı́vel e determinado.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Um sistema Ax = b diz-se de Cramer sse A é uma matriz
invertı́vel.
Todo o sistema de Cramer tem solução única.
Dem.:
Se Ax = b é um sistema de Cramer, então A é invertı́vel, logo a solução do
sistema pode ser dada por
A−1 Ax = A−1 b ⇔ Ix = A−1 b ⇔ x = A−1 b,
pelo que o sistema é sempre possı́vel.
Analisemos agora a questão da unicidade. Para tal, suponhamos que existem duas
soluções do sistema: x e y, i.e., Ax = b e Ay = b. Então
A(x − y) = 0 ⇔ x − y = A−1 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y.
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear
Regra de Cramer
Seja Ax = b um sistema de Cramer de n equações a n
incógnitas xi . Tem-se
AC ←b i
xi =
|A|
Dem.:
Sendo Ax = b um sistema de Cramer, então
1
1
x = A−1 b =
adj(A) b =
(adj(A)b) .
|A|
|A|
Para cada i = 1, . . . , n,
b1
 b2

(−1)1+i |A1i | (−1)2+i |A2i | · · · (−1)n+i |Ani |  .
 ..
bn
h
i
1+i
2+i
n+i
(−1)
|A1i | b1 + (−1)
|A2i | b2 + · · · + (−1)
|Ani | bn .
|
{z
}
AC ←b , (Fórmula de Laplace)
i

xi
=
1
|A|
=
1
|A|
Luı́sa Morgado
Álgebra Linear





Exemplo

 x +y +z =1
x + 4y + 4z = 1 , escreve-se na forma matricial:
O seguinte sistema

x + y + 2z = 1

1
 1
1
|
1
4
1
{z
A

 
1
x


4
y =
2
z
}
|

1
1 .
1
{z }
b
É um sistema de Cramer pois
|A| = 3 6= 0.
Pela regra de Cramer a sua solução é determinada por
x=
1
1
1
1
4
1
3
1
4
2
=
3
= 1;
3
y=
1
1
1
Luı́sa Morgado
1
1
1
3
1
4
2
=
0
= 0;
3
Álgebra Linear
z=
1
1
1
1
4
1
3
1
1
1
=
0
= 0.
3