MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. M.Sc. Dionisio Tadeu Ribeiro MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 1 [email protected] [email protected] PLANO DE ENSINO MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA OBJETIVO • • Introduzir o aluno nos cálculos financeiros que envolvem recursos monetários no tempo; Mostrar sua aplicação nas Calculadoras Financeiras. EMENTA • Juros Simples; Juros Compostos; Descontos; Taxas de Juros Efetivas e Equivalentes; Sequências Constantes e Gradientes; Sistemas de Amortizações: Price e SAC; Cálculo Financeiro em Contexto Inflacionário; Análise de Investimentos e Reposição de Ativos; Títulos de Renda Fixa. CANTEÚDO Unidade I – INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1. Dinheiro no Tempo; 1.2. Juros e Capital; 1.3. Conceitos Básicos; 1.4. Regime de Capitalização. Unidade II – JUROS SIMPLES 2.1. Juros Exatos; 2.2. Juros Comerciais; Unidade III – JUROS COMPOSTOS 3.1. Juros Exatos; 3.2. Juros Comerciais; 3.3. Funções Financeiras da HP 12 c; MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 2 [email protected] [email protected] 3.4. Equivalência de Fluxo de Caixa; 3.5. Juros Compostos em Prazos Fracionados; 3.6. Convenção Linear; Unidade IV– TAXAS DE JUROS 4.1. Taxa de Juros Nominal; 4.2. Taxa de Juros Proporcional; 4.3. Taxa de Juros Efetiva; 4.4. Equivalência entre Taxas de Juros; 4.5. Taxa de Juros Over; 4.6. Taxa de Juros Aparente; 4.7. Taxa de Juros Real. Unidade V - DESCONTOS 5.1. DESCSONTO SIMPLES 5.1.1. Desconto Racional Simples; 5.1.2. Desconto Comercial Simples; 5.1.3. Desconto Bancário Simples; 5.2. DESCONTO COMPOSTO 5.2.1. Desconto Racional Composto; 5.2.2. Desconto Comercial Composto. Unidade VI – SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS 6.1. Classificação; 6.2. Sequências de Pagamentos Uniformes; 6.2.1 Postecipada Finita; 6.2.2. Antecipada Finita; 6.2.3. Diferidas; MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 3 [email protected] [email protected] Unidade VII – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 7.1. Sistema de Amortização Francês – Tabela Price; 7.2. Sistema de Amortizações Constantes – SAC; 7.3. Sistemas de Amortização com Parcelas Intermediárias Unidade VIII – CÁCULO FINANCEIRO EM CONTEXTO INFLACIONÁRIO 8.1. Índices de Preços; 8.2. Taxas de Juros Aparente e Real; 8.3. Taxa Efetiva de Moeda Nacional para Operações em Moeda Estrangeira. Unidade IX – TÍTULO DE RENDA FIXA 9.1. CDB / RDB; 9.2. Debêntures; 9.3. Obrigações (Bônus). METODOLOGIA • • • • • • • Aulas expositivas; Aplicação de exercícios/estudos de casos; Resolução de exercícios individuais e em grupo; Elaboração de trabalhos escritos individuais e em grupo; Leitura de livros da bibliografia Utilização de multimídia. Quadro magnético branco SISTEMA DE AVALIAÇÃO • • • • • Avaliações escritas; Exercícios; Elaboração de trabalhos escritos; Pontualidade/assiduidade; Participação nas aulas. BIBLIOGRAFIA BÁSICA: MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 4 [email protected] [email protected] • • JUER, Milton. Matemática Financeira: Praticando e Aplicando. Ed. Qualitymark, Rio de Janeiro, 2003. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 7ª Edição. – São Paulo: Saraiva, 2004. COMPLEMENTAR: • FARO, Clovis. Fundamentos da Matemática Financeira. Ed. Saraiva, São Paulo, 2006. • Mathias, W.F. & GOMES, J.M., Matemática Financeira. 4ª Edição. Ed. Atlas, São Paulo, 2004. • SAMANEZ, Carlos Patrício, Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimento. 4ª Edição. Ed. Pearson, São Paulo, 2007. • RIBEIRO, Dionísio Tadeu. Matemática Financeira. Belém – 2008. • NETO, Alexandre Assaf, Matemática Financeira e suas Aplicações. 11ª Edição. Ed. Atlas, São Paulo, 2009. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 5 [email protected] [email protected] 1. INTRODUÇÃO A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunidade de verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. Você terá uma visão geral do que é feito no nível bancário e comercial, com isso você irá se familiarizar com as terminologias dessa maravilhosa Disciplina. Aproveite, e bom trabalho! MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 6 [email protected] [email protected] 1. JUROS SIMPLES Antes de começarmos o estudo de Juro Simples, precisamos conhecer alguns conceitos importantes: a) Capital ou Principal ou Valor Presente, representaremos pela letra C. Corresponde a um valor que será submetido a uma correção dentro de certo período. b) Taxa, será representado pela letra i. A taxa de juro é expresso em porcentagem numa determinada unidade de tempo, que servirá como um fator de correção. c) Montante ou Valor Futuro, representado pela letra M. Corresponde ao valor do Capital adicionado ao Juro calculado no período em questão. d) Juros é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. O Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. Ou seja, Juro Simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. Por definição, o Juro Simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. J = C.i.n ; obs: i e n (período) , devem estar na mesma unidade de tempo. NOTA: nos estudos de funções, essa relação representa uma Função de 1º grau, camada Linear, que é uma reta passando pela Origem J(n) = Cin Exemplo 1: Coloquei uma importância de R$ 12.000,00, aplicada pelo prazo de 2 anos, à uma taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago e o valor total do resgate, respectivamente? Como J = C.i.n J = 12000 . 0,3 . 2 J = 7.200 O valor resgatado é o Montante: M = C + J M = 12000 + 7200 M = 19200 Logo, temos: R$ 7.200,00 e R$ 19.200,00 Exemplo 2: Foi aplicada uma importância de R$ 30.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? Temos agora, o período e a taxa em unidade de tempo diferente, então devemos fazer: n = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses Agora sim, J = C.i.n J = 30000 . 0,012 . 24 J = 8.640,00 Resposta: R$ 8.640,00 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 7 [email protected] [email protected] EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 320.000,00 pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 2) Calcule o juro simples do capital de R$ 360.000,00 colocando à taxa de 30% ao ano, de 5 de março de 2010 a 28 de junho do mesmo ano. 3) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 150.000,00 a ser resgatado por R$ 210.000,00 no final de 2 anos? 4) A que taxa o capital de R$ 2.400.000,00 rende R$ 10.000,00 em 6 meses? 5) Um capital de R$ 300.000,00 aplicando durante 10 meses, rende juro de R$ 60.000,00. Determine a taxa correspondente. 6) Um capital emprestado a 24% ao ano rende, em 1 ano,2 meses e 15 dias, os juros de R$ 28.300,00. Qual foi esse capital. 7) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 8) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 86.400,00. Qual é o valor desse capital? 2. DESCONTO SIMPLES Quando se deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é comum que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Esse título tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, com isso terá direito a um abatimento denominado DESCONTO. Podemos listar alguns títulos de crédito mais comuns em operações financeiras: i. DUPLICATA: esse título é emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos posteriormente, segundo um contrato; ii. NOTA PROMISÓRIA: é emitida para comprovação da aplicação de um capital com vencimento futuro. Esse título é um dos mais populares, muito usando entre pessoas físicas ou pessoas físicas e instituições financeiras; iii. LETRA DE CÂMBIO: também é um título que comprova uma aplicação de um capital com vencimento predeterminado; esse título é usado exclusivamente por uma instituição financeira, é que chamamos de título ao portador. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 8 [email protected] [email protected] Antes de estudarmos, as operações matemáticas dos DESCONTOS, devemos conhecer alguns conceitos que aparecerão nas operações com descontos: • DIA DE VENCIMENTO: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação; • VALOR NOMIMAL: é o valor indicado no título (valor de face, valor futuro ou valor de resgate), que será pago no dia do vencimento; • VALOR ATUAL: é o líquido pago ou recebido ( valor descontado) antes do vencimento; • TEMPO ou PRAZO: é o período compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro. DESCONTO: é a quantia a ser abatida do valor Nominal, isto é, a diferença entre o valor Nominal e o valor Atual. I d=N-A NOTA: Quando o desconto considera como capital o VALOR NOMINAL, é denominado de DESCONTO COMERCIAL (POR FORA); Quando o desconto considera como capital o VALOR ATUAL, é denominado de DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO). 2.1 Desconto Comercial O desconto comercial, bancário ou por fora equivale ao juro simples, produzido pelo VALOR NOMINAL do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada. d = N. i. n Onde: II d valor do desconto comercial N valor nominal do título A valor atual comercial ou valor descontado comercial n tempo i taxa de desconto Com base nas relações I e II, temos: N. i. n = N – A A = N – N. i. n A = N (1 – i. n) VALOR ATUAL COMERCIAL: A = N (1 – i .n) MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 9 [email protected] [email protected] NOTA: Não se recomenda o desconto comercial para prazos muito longos, pois o desconto pode ultrapassar o valor nominal do título. Exemplo1: Uma empresa deve um título de valor nominal igual a $1.500,00. Esse título tem o vencimento marcado para 17/06/2003. Só que a empresa antecipará o pagamento com desconto comercial em 20/05/2003. Sabendo que a taxa de desconto é de 2% ao mês, determine: a) O valor do desconto; Temos que : d = N. i. n Onde : N = 1500; i = 2% a.m : 30 = 0,02/30 ao dia; n = 11(dias de maio) + 17(dias de junho) = 28 dias 0,02 . 28 Então: d = 1500. 30 Logo: d = $28,00 o valor atual do título na data de sua liquidação; b) Temos que: A = N – d Então: Logo: A = 1500 – 28 A = $1.472,00 Exemplo2: Uma duplicata de $6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por $6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Temos que: A = N(1 – i .n) Onde : N = 6.900 A = 6.072 i = 0,04 a.m Então: 6072 = 6900(1 – 0,04. n) 0,88 = 1 – 0,04.n 0,04n = 0,12 n = 0,12 0,04 n=3 Logo : A antecipação foi de 3 meses EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9) Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 10 [email protected] [email protected] a. O valor do desconto comercial; b. O valor atual comercial. 10) Uma duplicata, cujo valor nominal é de $2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 11) Um título, no valor nominal de $8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado? 12) Um título de $4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por $4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. 2.2 Taxa de Juro Efetiva A taxa de juro efetiva, num período n torna o capital A igual ao montante N, ou seja, é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Na linguagem matemática teríamos: C(1 + if . n) = M , onde if é a taxa efetiva e M o montante. Como C = A e M = N , temos: N N N−A 1 + if .n = if .n = -1 if .n = A(1 + if . n) = N A A A N−A d A if = Como N – A = d , temos: if = Logo: n A.n Exemplo1: Uma duplicata de if = d A.n de seu vencimento por $21.068,00. efetiva Temos: N = 23000 A = 21068 n = 112 dias = 3,733 meses d = N – A = 23000 – 21068 = 1932 d = N.i.n Então, a taxa de desconto foi: 1932 = 0,0225 = 2,5% a.m. 85859 $23.000,00 foi resgatada 112 dias antes Determine a taxa de desconto e a taxa Em seguida, calculamos a taxa efetiva: if = 1932 = 23000.i.3,733 i= d A.n 1932 1932 = = 0,02456 = 2,45 % a.m. 21068 x3,733 78646 ,844 Exemplo2: Um título de $6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $189,00, calcule a taxa de juro efetiva. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 11 [email protected] [email protected] Temos: N = 6000 n = 45 d = 1,5 mês d = 189 Então, d = N – A A = N – d A = 6000 – 189 A = 5811 Logo, a taxa efetiva é: 189 189 = = 0,0216867 = 2,17% a.m. 5811x1,5 8715 if = 2.3 Equivalência de Capitais Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Resolver problemas dessa natureza consiste em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. Vale ressaltar, que capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. Vejamos três exemplos para ilustrar melhor essa teoria: Exemplo1: Quero substituir um título de $5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? Temos que: N = ? n = 5 me i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. N’ = 5000 n’ = 3 me i’ = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. Se ocorre equivalência, temos então: A = A’ Então: A = N(1 – i. n) A = N(1 – 0,035 x 5) A = 0,825N A’ = N’(1 – i .n) A’ = 5000(1 – 0,035 x 3) A’ = 4475 Logo, temos: 0,825N = 4475 N = 5.424,24 O valor do novo título será de : $ 5.424,24 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 12 [email protected] [email protected] Exemplo2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de $3.000,00 e o outro de $3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentre de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título? Nesse caso, temos: N1 = 3000; n1 = 2 me N2 = 3600; n2 = 6 me i = i1 = i2 = 3% a.m. = 0,03 a.m. n = 4 me Para que exista equivalente, temos: A = A1 + A2 Então: A1 = 3000(1 – 0,03 x 2) A1 = 2820 A2 = 3600(1 – 0,03 x 6) A2 = 2952 Como: A = N(1 – i .n ) A = N(1 – 0,03 x 4) A = 0,88N Logo: 0,88N = 2820 + 2952 N = 5772/0,88 N = 6559,09 O valor do novo título será de : $ 6.559,09 Exemplo3: Desejamos substituir dois títulos, um de $5000,00 para 90 dias e outro de $12000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. Para que exista equivalência, temos: A1 + A2 + A3 = A’1 + A’2 Temos que: N’1 = 5000 ; n’1 = 90 d = 3 me N’2 = 12000; n’2 = 60 d = 2 me i = 3% a.m. = 0,03 a.m. n1 = 30 d = 1 me; n2 = 60 d = 2 me; n3 = 90 d = 3 me. Então: A1 = N(1 – 0,03 x 1) A1 = 0,97N A2 = N(1 – 0,03 x 2) A2 = 0,94N A3 = N(1 – 0,03 x 3) A3 = 0,91N A’1 = 5000 (1 – 0,03 x 3) A’1 = 4550 A’2 = 12000(1 – 0,03 x 2) A’2 = 11280 Logo: 0,97N + 0,94N + 0,91N = 4550 + 11280 2,82N = 15830 15830 N= N = 5613,47 2,82 O valor nominal de cada um dos novos títulos será de: $ 5.613,47 EXERCÍCIOS PROPOSTOS MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 13 [email protected] [email protected] 13) Um título de valor nominal igual a $6300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. 14) Um industrial deve pagar dois títulos: um de $14.400,00 para 2 meses e outro de $19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-lo por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês? 15) Substitua três títulos, um de $4.000,00 para 30 dias, outro de $10.000,00 para 60 dias e outro de $16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? 2.4 Desconto Racional Esse desconto é o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. O desconto Racional ou por dentro, na prática bancária não é utilizado, mas se faz necessário o seu estudo porque o desconto composto está relacionado a esse conceito. Por definição, temos: dr = Ar . i . n Onde: dr corresponde ao valor do desconto racional; A r corresponde ao valor atual ou valor descontado racional Lembremos que: Ar = N - dr I Temos então: dr = (N – dr). i .n dr = N.i.n – dr . i. n dr ( 1 + i.n) = N.i.n dr = N .i.n 1 + i.n dr + dr. i. n = N.i.n II N .i.n 1 + i.n N .(1 + i.n) − N .i.n Ar = 1 + i.n Usando as relações I e II, temos: Ar = N - Ar = N 1 + i.n MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 14 [email protected] [email protected] Ar = N + N .i.n − N .i.n 1 + i.n Exemplo1: Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: o valor do desconto racional; a) Temos: N = 6000 ; n = 45 d ; i = 2,1% a.m = 0,07% a.d. = 0,0007 a.d. N .i.n 6000 x0,0007 x 45 dr = dr = 183,22 Então: dr = 1 + i.n 1 + 0,0007 x 45 Logo, o desconto é igual a $183,22 o valor atual racional. b) Como: Ar = N - dr Então: Ar = 6000 – 183,22 Ar = 5816,78 Logo, o valor atual racional é igual a $5816,78 2.4 Desconto Bancário Simples É desconto simples comercial mais os tributos e as despesas operacionais bancários. Serão apresentados alguns dos principais impostos cobrados no sistema financeiro: IOF : é o juros simples do líquido no prazo de antecipação. É cobrado no ato do • desconto. É calculado como 0,0041% ao dia. • ISS : é calculado como X% do valor nominal do título. Exemplo1: Um credor de um título de valor nominal de $ 3000,00 fez o desconto do mesmo em um banco, nas seguintes condições: Taxa de desconto: 16% a.a. • • Despesas operacionais: 6% do valor nominal IOF: 0,0041% a.d. • ISS: 5% • Calcular o desconto bancário sofrido pelo título, se o mesmo foi feito 54 dias antes de seu vencimento. Chamemos de Db de desconto bancário, ou seja, a soma do desconto comercial simples com todos os tributos especificados no problema. Então: d = N.i.n d = 3000 . 0,16 . 54 d = 72,00 360 do = 0,06 . 3000 do = 180,00 ISS = 0,05 . 3000 ISS = 150,00 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 15 [email protected] [email protected] IOF = L.i.n IOF = L . 0,000041 . 54 IOF = 0,002214L Como o valor líquido é calculado L = N – Db, temos: L = 3000 – (d + do + ISS + IOF) L = 3000 – (72 + 180 + 150 + 0,002214L) L = 3000 – 402 – 0,002214L L = 2598 – 0,002214L L – 0,002214L = 2598 0,997786L = 2598 L = 2.603,76 Logo o desconto bancário (total) será: Db = 402 + 0,002214 x 2.603,73 Db = 407,76 Exemplo2: Um título de $ 6.500,00 foi descontado no Banco DTRR, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 5 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente de desconto comercial é de 20% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? Temos que: N = 6500; s = 2% ; n = 5; i = 20% a.a. = Então: 0,2 = 0,01666 a.m. 12 Db = N.i.n + N.s = N(in + s) Db = 6500.(0,01666.5 + 0,02) Db = 6500 . 0,1033 Db = 671,45 A = 6500 – 671,45 A = 5828,55 Logo, o desconto bancário é $ 671,45 e o valor atual é igual a $ 5.828,55 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 16) Uma pessoa pretende resgatar um título de $ 9.500,00, 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 18% a.a., qual o desconto racional e quanto esta pessoa irá receber? 17) Um título de $ 7.500,00 foi descontado no Banco Bomdegrana, que cobra 3% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 5 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente de desconto comercial é de 19% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? 18) Uma empresa necessita de R$12.000,00 para saldar hoje, uma duplicata com vencimento para 120 dias. Se a taxa corrente for de 22% a.a. e o banco cobrar 1,7% de taxa de serviço, qual o valor nominal da duplicata? 19) O Banco Bomdegrana anuncia que a taxa de juros é a menor do mercado, cobrando apenas 2% de taxa administrativa. No anúncio, dizia que para 5 meses, se o cliente pedir MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 16 [email protected] [email protected] $40.000,00 , sofrerá um desconto de apenas $5.000,00. Qual é a taxa de juros comercial considerada? 20) Por um empréstimo de $20.000,00 a 6 meses, João recebeu líquido $14.290,00. Tendo perguntado ao gerente qual fora a taxa de juros empregada, este lhe garantiu que era de 19,5%a.a.. Qual foi a taxa de serviço cobrada? 3. JURO COMPOSTO O regime de capitalização a juro composto difere do juro simples na atualização do Capital. Enquanto que no regime de juro simples a correção é sempre feita no Capital Inicial, no JURO COMPOSTO a correção é feita, a partir do segundo período, sobre o MONTANTE relativo ao período anterior. É o que o mercado conhece vulgarmente como “juro sobre juro”. Digamos que um capital de $1000,00, aplicado a 10% ao ano, a juro composto, veja como ficaria essa capitalização: ANO 0 1 2 3 JURO 1000x0,1x1 = 100,00 1100x0,1x1 = 110,00 1210x0,1x1 = 121,00 MOTANTE 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 Seguindo a lógica matemática da tabela anterior, e chamando de C o capital inicial, de i a taxa e J o juro de cada período, poderíamos generalizar esse processo: PERÍO DO 1º 2º JURO J1 = C . i J2 = M1.i 3º J3 = M2.i MONTANTE M1 = C + J1 M1 = C + C.i M1 = C(1 + i) M2 = M1 + J2 M2 = M1 + M1.i M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = M1(1 + i) M2 = C(1 + i)2 M3 = C + J3 … M3 = C(1 + i)3 Se continuarmos na construção da tabela, chegaríamos a seguinte relação: Mn = C(1 + i)n Que calcula o montante em regime de juro composto, onde acumulação de capital ou fator de capitalização (1 + i)n, é o fator de NOTA: Sugerimos nesse capítulo o uso de uma máquina calculadora científica, onde a função xy será de grande uso. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 17 [email protected] [email protected] Exemplo1: Calcule o montante produzido por $3000,00, aplicado em regime de juro composto a 4% ao mês, durante 2 meses. Temos que: M = C(1 + i)n C = 3000; n = 2 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. Então: M = 3000(1 + 0,04)2 3244,80 M = 3000(1,04)2 M = 3000 x 1,0816 M = Logo, o valor do montante é igual a: $3244,80 Exemplo2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 2 meses, a 5% ao mês, produziu um montante de $2205,00 no regime de juro composto. Temos que : M = 2205 ; n = 2 me ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. Então: 2205 = C(1 + 0,05)2 2205 = C(1,05)2 C= 2205 C = 2000 1,1025 Logo, o valor do capital inicial é igual a: $2.000,00. Exemplo3: Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de $3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Temos que: M = 4049; C = 3200; n = 6 me; i = ? 4049 = (1 + i ) 6 1,26531 = (1 + i)6 (usando a 3200 calculadora), teríamos: (1,26531)1/6 = 1 + i i = 1,040 – 1 i = 0,040 Então: 4049 = 3200(1 + i)6 Logo, a taxa é igual a: 0,04 a.m. ou 4% a.m. Exemplo4: Determine em que prazo um empréstimo de $11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. Temos que: M = 22125; Então: C = 11000; i = 15% a.s. = 0,15 a.s ; n = ? 22125 = 11000(1 + 0,15)n (1,15)n = logaritmo, temos) log(1,15)n = log2,01136 log 2,01136 n= n=5 log 1,15 22125 (1,15)n = 2,01136 (usando 11000 n.log1,15 = log2,01136 Logo, o prazo é igual a 5 semestres ou 2 anos e 6 meses. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 18 [email protected] [email protected] Exemplo5: Qual será o montante de $2000,00, a juro composto de 37% ao ano, em 4 anos e 3 meses? Temos que: C = 2000; i = 37% a.a. = 0,37 a.a.; n = 4 a e 3 me = 4 a + Então: 10283,20 3 51 17 a = a= a 12 12 4 M = 2000(1 + 0,37)17/4 M = 2000 x 1,374,25 M = 2000 x 5,14160 M = Logo, o montante é igual a $10.283,20. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21) Calcule o montante de uma aplicação de $8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 3 22) Calcule o montante do capital de $65.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % 4 ao mês, no fim de 6 meses. 23) Qual o montante produzido por $16.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês durante 40 meses? 24) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de $79.475,00, , calcule esse capital. 25) Se uma pessoa investir, hoje, uma quantia de $16.000,00 para receber $18.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? 26) O capital de $8.700,00, colocado a juros compostos a taxa de 2,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a $11.456,00. Calcule esse tempo. 27) Um capital de $25.000,00, empregado em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto receberá o investidor? 28) Determine o juro de uma aplicação de $20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses. 29) Calcule o montante de uma aplicação de $8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. 30) Qual o montante produzido pelo capital de $6.800,00, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 31) Calcule o montante de $8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 19 [email protected] [email protected] 32) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de $19.752,00. 33) Em que prazo uma aplicação de $100.000,00 produzirá um montante de $146.853,00, à taxa de 3% ao mês? 34) Um capital de $20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo $3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação. 35) O capital de $12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a $15.559,00. Calcule a taxa de juro. 4 TAXAS 4.1. Taxas Proporcionais Duas taxas são ditas proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Veja como ficariam as taxas proporcionais a uma taxa ao ano ia . is = ia i i i i ; it = a ; ib = a ; im = a ; id = a 2 4 6 12 360 Onde: is: ao semestre; it: ao trimestre; ib: ao bimestre; im: ao dia ; id: ao dia Então, para um período 1/k do ano, a taxa proporcional será ia / k , ou seja: ik = ia k 4.2. Taxas Equivalentes São taxas que se referindo a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Verifique se as taxas proporcionais são equivalentes, calculando o montante, ao aplicarmos um capital de $1.000,00, em regime de juro composto, empregado nas duas condições a seguir: a) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; b) durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês. Consideremos a situação anterior, chamemos de C o capital, ia a taxa anual, tempo de 1 ano, tem que produzir um montante igual ao mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia . MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 20 [email protected] [email protected] Temos que: M1 = C(1 + ia)1 M12 = C(1 + im)12 Como: M1 = M12 C(1 + ia)1 = C(1 + im)12 1 + ia = (1 + im)12 Logo: 1 + ia = (1 + im)12 De modo geral, temos: (1 + i\a) = (1 + im)12 = (1 + ib)6 = (1 + it)4 = (1 + iq)3 = (1 + is)2 = (1 + id)360 Exemplo1: Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Temos que: 1 + ia = (1 + im)12 Então: 1 + ia= (1 + 0,02)12 ia = 1,0212 – 1 ia = 0,26824 ia = 1,26824 – 1 Logo a taxa anual equivalente é igual a: 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a. Exemplo2: Qual a taxa trimestral equivalente a 20% ao ano? Temos que: 1 + ia = (1 + it)4 Então : 1 + 0,2 = (1 + it)4 1,2 = (1 + it)4 (1,2)1/4 = 1 + it it = 1,04663 – 1 ia = 0,04663 Logo, o valor da trimestral equivalente é igual a: 0,04663 a.t. ou 4,66% a.t. 4.3. Taxa Nominal Quando a taxa de capitalização não coincide com aquele a que se refere, denominamos essa taxa de NOMINAL. Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado mensalmente; ou juros de 36% ao ano capitalizado semestralmente. De um modo geral, a taxa nominal é uma taxa anual. Exemplo1: Qual o montante de um capital de $4.000,00, no fim de 3 anos, com juros de 26% ao ano capitalizados trimestralmente? Temos que: Como: C = 4000; n = 3 anos; i = 26% a.a. = 0,26 a.a. 0,26 = 0,065 a.t. e n = 3 x 4t = 12t i4 = 4 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 21 [email protected] [email protected] Então: M4 = C(1 + it)n M4 = 4000(1 + 0,065)12 M4 = 4000x2,12909 M4 = 8516,38 Logo o montante será igual a: $8.516,38 4.4. Taxa Efetiva Quando oferecemos 8% ao ano e capitalizamos semestralmente a 4%, a taxa de 8% é a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 4% semestrais. Logo, sendo if a taxa efetiva, temos: 1 + if = (1 + 0,04)2 if = 1,0816 – 1 if = 0,0816 Logo a taxa efetiva é igual a: 0,0816 a.a. ou 8,16% a.a. De um modo geral podemos escrever essa relação da seguinte forma: i 1 + if = 1 + k k Onde: i => taxa nominal if => taxa efetiva k => o número de capitalização para um período da taxa nominal ik => taxa por período de i capitalização k Exemplo1: Uma taxa nominal de 16% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. Temos que: i = 16% a.a. = 0,16 a.a. 1 ano = 2 sem => k = 2 0,16 = 0,08 2 1 + if = (1 + 0,08)2 if = 1,1664 – 1 if = 0,1664 ik= Então: Logo, a taxa efetiva é de: 0,1664 a.a. ou 16,64% a.a. Exemplo2: Um banco emprestou a importância de $35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral: a) qual a taxa efetiva anual; Temos que: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 1 ano = 4 trim k = 4 0,36 ik = = 0,09 4 Então: 1 + if = (1 + 0,09)4 if = 1,41158 – 1 if = 0,41159 Logo, a taxa efetiva será igual a: 0,4116 a.a. ou 41,16% a.a. b) qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? Temos que: C = 35000; n = 2 anos ; if = 0,4116 a.a. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 22 [email protected] [email protected] Então: M = C(1 + if)2 M = 35000x1,9926 M = 69741 M =35000(1 + 0,4116)2 Logo, o montante será igual a: $69.741,00 Exemplo3: Uma aplicação de 144 dias rendeu uma taxa efetiva de 50%. Qual a taxa mensal de juros compostos equivalente? Temos que: i144 = 50% a.a. = 0,50 a.a. if = 1,0881 – 1 if = 0,0881 Então: 1 + if = (1 + 0,5) 30 /144 Logo, a taxa efetiva é de: 0,0881 a.m. ou 8,81% a.m. 4.5. Taxa Real e Taxa Aparente: A taxa Aparente é aquela que ocorre nas operações correntes. Quando ocorre inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real. Quando não ocorre a inflação, a taxa aparente coincide com a taxa real. Vamos convencionar que: • C => capital inicial • r => taxa real • i => taxa aparente • I => taxa de inflação Veja os casos a seguir: 1. Sendo um período sem inflação, igual a zero, e uma taxa r, o capital inicial ficará igual a: C(1 + r) 2. Sendo uma taxa de inflação I, o capital inicial, ao final do período, será dado por: C(1 + I) Sendo um taxa de juros r e uma taxa de inflação I, ao mesmo tempo, o capital inicial 3. equivalerá a: C(1 + r).(1 + I) Sendo uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final do período, em: 4. C(1 + i) Agora é importante lembrar que nos item 3 e 4 as expressões são equivalentes, visto que ambas reportam o valor efetivamente recebido, então, temos: C(1 + i) = C(1 + r).(1 + I) Logo: :C 1 + i = (1 + r).(1 + I) Exemplo1: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,6% a.m. e a uma inflação de 0,5% no período? Temos que: r = 0,6%a.m. = 0,006 a.m e I = 0,5% = 0,005 1 + i = (1 + r).(1 + I) Então: 1 + i = (1 + 0,006).(1 + 0,005) MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 23 [email protected] [email protected] i = 1,01103 – 1 i = 0,01103 Logo a taxa aparente deve ser de: 0,01103 a.p. ou 1,1% a.p. Exemplo2: Se for adquirida uma letra de câmbio em uma época A e resgatada na época B. O juro aparente recebido foi de 28%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 20%. Temos que: i = 28% a.p = 0,28 a.p e I = 20¨% = 0,2 1 + i = (1 + r).(1 + I) 1,28 r = 0,0666 Então: 1 + 0,28 = (1 + r).(1 + 0,28) −1 = r 1,2 Logo, a taxa real foi de: 0,0666 ou 6,66% 4.6. Taxa Over No Brasil a expressão Open Market está relacionada a um conjunto de transações realizadas com Títulos de Renda Fixa, de emissão pública ou privada. A taxa over é adotada neste mercado. A taxa over é uma taxa nominal, geralmente mensal, capitalizada diariamente, apenas nos dias úteis. A correspondente taxa efetiva, relativa ao período de aplicação, é dada por: i efetiva taxa over = 1 + 30 dias uteis −1 Exemplo1: Uma operação com duração de 50 dias corridos foi contratada a uma taxa de over de 1,8% a.m. Se durante o período houve 35 dias úteis, calcular a taxa efetiva mensal e o montante de uma aplicação de R$12.000,00 no período. Temos que: tx.over = 1,8% a.m. = 0,018 a.m Dias úteis = 50 C = 12.000,00 Então: iefetiva 0,018 = 1 + 30 iefetiva = 1,0212 - 1 35 - 1 M = 12000.(1 + 0,0212) iefetiva = 0,0212 a.p. M = 12.254,59 Podemos ainda calcular a taxa mensal: im = (1 + 0,0212)30/50 im = 1,0123 – 1 im = 0,0123 a.m. ou 1,23 % a.m. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 24 [email protected] [email protected] Logo a taxa efetiva é 1,23 % a.m. e o Montante nesse período é R$ 12.364,80 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 36) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? 37) Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalente à taxa de: a) 30% a.a. b) 20% a.s. c) 8% a.t. d) 3% a.m. 38) A caderneta de poupança paga juros de 6% ao ano capitalizando trimestralmente. Qual a taxa efetiva de juro? 39) O capital de $18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o montante? 40) Um investidor aplica $25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B, a importância de $34.000,00. Calcule: a) a taxa aparente dessa aplicação; b) a taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a taxa real de juro dessa aplicação, nesse período, foi de 20%. 41) Uma operação com duração de 45 dias corridos foi contratada a uma taxa de over de 1,6% a.m. Se durante o período houve 30 dias úteis, calcular a taxa efetiva mensal e o montante de uma aplicação de R$11.000,00 no período. 5. DESCONTO COMPOSTO Na realidade o desconto ocorre quando saldamos, antecipadamente ao vencimento, um compromisso financeiro. É o que denominamos ABATIMENTO. O desconto composto é empregado para operações em longo prazo, podendo ser de dois tipos: RACIONAL E COMERCIAL. O comercial, na prática, não é muito utilizado, com isso daremos uma atenção maior ao DESCONTO COMPOSTO RACIONAL. Já conhecemos a relação: N = A.(1 + i)n Logo vem que o valor Atual será: A= N (1 + i ) n Lembrando que (1 + i)n é o fator de descapitalização. Exemplo1: Determine o valor atual de um título de $900,00, saldado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2% ao mês. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 25 [email protected] [email protected] Temos que: N = 900 ; n = 3 me ; i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 900 900 A= A = 848,09 Então: A = 3 1,061208 (1 + 0,02) Logo, o valor atual do título será de: $848,09 (houve um desconto de $51,90) Exemplo2: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de $1.400,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 30% ao ano, capitalizados semestralmente. Temos que: N = 1400; n = 2 a e 6 meses = 2x2sem + 1 sem = 5 sem 0,3 i = 30% a.a. = 0,3 a.a. = = 0,15a.s. 2 1400 1400 Então: A= A= A = 696,05 5 2,01135 (1 + 0,15) Logo, o valor atual do título será de: $696,05. Exemplo3: Qual o desconto composto que um título de $6000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? Temos que: N = 6000; n = 3 me ; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. 6000 6000 = = 5571,60 Então: A= 3 1,07689 (1 + 0,025) d = 6000 – 5571,60 d = 428,40 d=N–A Logo o valor do desconto é igual a: $428,40. Exemplo4: Um título de valor nominal de $1400,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? 0,36 Temos que: N = 1400; n = 3 meses; i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = = 0,03a.m. 12 1400 1400 = = 1281,20 Então: A= 3 1,092727 (1 + 0,03) d = 1400 – 1281,20 d = 118,80 d=N–A Logo o valor do desconto é igual a: $118,80 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 42) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu $36.954,00 como valor do resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de $3.046,00, qual a taxa de juro mensal adotada? MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 26 [email protected] [email protected] 43) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de $7.000,00, faltante ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3% ao mês. 44) Calcule o valor atual de um título de $40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano. 45) O valor nominal de um título é de $200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. 46) Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de $6.200,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês. 47) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de $3.800,00, regatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente. 48) A que taxa foi descontada uma dívida de $5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do vencimento, se reduziu a $3.736,00? 49) Por um título de $2.300,00 paguei $2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. De quanto tempo antecipei o pagamento? 5.1. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalente, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Assim como foi visto em juro simples. Agora, a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos. Exemplo1: Um título no valor nominal de $8.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 4% ao mês, qual o valor nominal do novo título? Temos que: N’ = 8000; n’ = 5 me ; i’ = 4% a.m. = 0,04 a.m. N =? ; n = 3 me ; i = 4% a.m = 0,04 a.m. Então, para que exista equivalência, temos: A = A’ N N' N 8000 = N = 7.396,74 = 3 5 (1 + 0,04) (1 + 0,04) 1,12486 1,2166 Logo, o valor nominal do novo título será de $7.795,04. Exemplo2: Um comerciante, devedor de um título de $50.000,00 para 3 anos, deseja restar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 27 [email protected] [email protected] Temos que: N’ = 50000; n’ = 3 anos ; i’ = 40% a.a. = 0,4 a.a. N1 = N ; n1 = 1 ano; i1 = i’ = 0,4 a.a. N2 = N ; n2 = 2 anos; i2 = i’ = 0,4 a.a. Então, para que exista equivalência, temos: A1 + A2 = A’ N N 50000 + = 1 2 (1 + 0,4) (1 + 0,4) (1 + 0,4) 3 50000x0,36443 1,22449N = 18221,57435 0,71429N + 0,51020N = N = 14880,95 Logo, o valor dos pagamentos é de: $14.880,95. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 50) Duas promissórias, uma de $4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de $9.000,00, vencível em 180 dias, deverá ser resgatada por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês? 51) Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de $6.000,00 disponível no fim de 4 meses. 52) Qual o valor atual de um título de $15.000,00 resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 6% ao bimestre? 53) Um título de valor nominal de $2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? 54) Um título de $75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por $67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate. 55) Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a $24.658,00. Calcule o valor da letra. 56) Um industrial toma um empréstimo de $5000.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passando algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3 pagamentos iguais, realizáveis no do 2º, 3º e 4º anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao ano com capitalização semestral. 6. SEQUÊNCIAS DE CAPITAIS Já vimos de que forma os conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros equivalentes para efeito de comparação. Na prática é comum que esses conjuntos tenham algumas características, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento ou decrescimento, de acordo com certas leis matemáticas. Tais conjuntos são chamados de MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 28 [email protected] [email protected] seqüências de capitais (os capitais tanto podem se referir a pagamentos como recebimentos). No que segue, vamos supor que o regime é de capitalização composta. 6.1 SEQUÊNCIA UNIFORME Consideremos a seqüência de capitais y1, y2, y3, ..., yn , respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano, etc.) Dizemos que esse conjunto constitui uma seqüência uniforme se: y1 = y2 = y3 = ... = yn = R isto é, se todos os capitais são iguais. Indicando esse capital por R, a representação gráfica da seqüência uniforme seria: R R R R 0 1 2 3 ... n Por definição, o valor atual, na data 0, da seqüência uniforme, a uma taxa de juros i na unidade de tempo considerada é dado por: V= R R R + + ... + 1 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n 1 1 1 V=R + + ... + 1 2 (1 + i ) n (1 + i ) (1 + i ) Observe que os termos entre colchetes, estão numa soma de uma progressão geométrica dos n a ( q n − 1) primeiros temos cuja fórmula é dada por: S = 1 , no caso que estamos analisando, q −1 1 temos: q = a1 = 1+ i 1 1 − 1 n (1 + i ) (1 + i ) , fazendo as simplificações matemáticas Então, teríamos: V = R 1 −1 (1 + i ) chegaremos ao seguinte resultado: (1 + i ) n − 1 V=R (1 + i ) n i (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n i MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 29 [email protected] [email protected] O fator é chamado fator valor atual e pode ser representado pelo símbolo: a n / i , a leitura é feita da seguinte forma: a, n, cantoneira i. V = R an / i Simplificando a fórmula anterior, ficaria: Exemplo1: Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de $550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual seu preço à vista? Temos que: n = 4 ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. ; R = 550 0 550 550 550 550 1 2 3 4 Então: V = R an / i a4 / 5 = (1,05) 4 − 1 = 3,545951 (1,05) 4 .0,05 V = 550 a 4 / 5 V = 550 x 3,545951 V = 1.950,27 Logo, o preço à vista será de $1.950,27 Exemplo2: Um automóvel usado é vendido à vista por $30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais (antes de serem corrigidas monetariamente), vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor de cada prestação antes de serem corrigidas. Temos que: V = 30.000; n = 12 ; i = 2% a.m.= 0,02 a.m. Então: (1,02) 12 − 1 = 10,575341 (1,02) 12 .0,02 30000 = R x 10,575341 R = 2.836,79 30000 = R a n / i a12 / 2 = Logo, o valor de cada prestação será de $2.836,79 Exemplo3: Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de $15.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de financiamento for 4% a.m., qual o preço à vista? Temos que: R = 15000; n = 3 ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 30 [email protected] [email protected] 15 15 15 15 0 1 2 3 (1,04) 3 − 1 = 2,775091 (1,04) 3 .0,04 V = 15000 + 15000 x 2,775091 V = 56626,37 Então: V = 15000 + 15000 x a3 / 4 a 3 / 4 = Logo, o preço à vista é $56.626,37 Exemplo3: Uma calculadora é vendida à vista por $160,00 ou a prazo em 4 prestações mensais iguais de $45,49 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa de juros do financiamento? Temos que: V = 160,00; R = 45,49 ; n = 4 Então: 160 = 45,49. a 4 / i a 4 / i = 5,35 (cálculo feito na HP-12 C) Logo, a taxa de financiamento é de: 5,35 % 6.2 MONTANTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME Chamamos de montante da seqüência, na dada n, a soma dos montantes de cada capital R, aplicado desde a data considerada até a data n. Então, temos: M = R(1 + i)n-1 + R(1 + i)n-2 + R(1 + i)n-3 +... + R Observe que o segundo membro dessa expressão é a soma dos termos de uma PG 1 e a1 = R(1 + i)n-1 finita, em que: q = 1+ i Temos: S = a1 ( q n − 1) q −1 Logo: M=R (1 + i ) n − 1 i Exemplo1: Um investidor aplica mensalmente $2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m.. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual o montante no instante do último depósito? 2 2 2 2 2MATEMÁTICA 2 2 MÓDULO: FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 0 1 2 3 [email protected] [email protected] 31 4 5 6 7 Temos que: R = 2000; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.; n = 7 Então: M = (2000) x (1,02) 7 − 1 = 2000 x7,434283 0,02 M = 14868,57 Logo, o montante será de $ 14.868,57 Exemplo2: No caso do exemplo anterior, qual será o montante se o investidor sacar somente dois meses após o último depósito? Temos que, o último depósito ocorreu no 7º mês, devemos descobrir o montante M’. Então: M’ = M(1 + i)2 M’= 14868,57(1,02)2 M’ = 15468,26 Logo, o montante no 9º mês será de $ 15.468,26 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 57) Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3% a.m., sendo o número de prestações igual a 10 e $1.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra. 58) Um produto é vendido à vista por $40.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% a.m. ? 59) Um aparelho eletrônico é vendido à vista por $6.000,00, mas pode ser financiado à taxa de 2,5% a.m. . Obter o valor de cada prestações nas seguintes condições de financiamento: a) 12 prestações mensais iguais sem entrada; b) 18 prestações mensais iguais sem entrada. 60) Um notebook é vendido por $6.000,00, ou então com 20% de entrada mais 4 prestações e iguais. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros for de 6% a.m. ? 61) Um terreno é vendido à vista por $80.000,00, ou então a prazo em 24 prestações mensais (antes da correção monetária) postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,5% a.m. , pede-se: a) o valor de cada prestação antes de serem corrigidas; b) o valor das 3 primeiras prestações atualizadas, supondo taxas de correção de 1,8%. 2% e 1,9% no 1º, 2º e 3º meses, respectivamente. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 32 [email protected] [email protected] 62) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, $3.500,00 num fundo que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% a.m. . Qual o montante no instante do último depósito? 63) No problema anterior, qual o montante, 3 meses após ser efetivado o último depósito? 64) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de investimentos que rende 1,8% a.m. , para que no instante do último depósito tenha um montante de $60.000,00? 65) Tadeu deposita nos meses 1, 2, 3, ..., 25 a quantia de 600 UR numa caderneta de poupança que rende 0,5% a.m. . Supondo que o indexador da UR seja o índice de atualização da poupança, obtenha: a) o montante no instante do último depósito em UR; b) o montante no instante do último depósito em $, supondo que nessa data a UR seja equivalente a $175,00; c) o valor do 5º depósito em $, sabendo que nessa data a UR é equivalente a $82,00. 7. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. Um conceito importante para esse processo é o saldo devedor (ou estado da dívida). Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3, ..., n, na unidade expressa pela taxa de juros (admitindo regime de capitalização composta). Seja P o valor principal (ou capital inicial emprestado). O saldo devedor no instante zero (0) indicado por S0 é o próprio principal P, e o saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t – 1), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. Considerando: St => saldo devedor no instante t; St-1 => saldo devedor no instante (t – 1); i => taxa de juros; Rt => pagamento efetivado no instante t; Jt => juros no período que vai de (t – 1) a t; Jt Rt St-1 St = St-1 + Jt – Rt Então: St Graficamente, teríamos: Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamamos de amortização no instante t (indicada por At) à diferença entre Rt e Jt , teremos: At = Rt – Jt At + Jt = Rt onde: Jt = i.St-1 Comparando as expressões, vem: St = St-1 + Jt – (At + Jt) Logo, St = St-1 - At MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 33 [email protected] [email protected] Usando essa última relação para: t = 1 S1 = S0 – A1 t = 2 S2 = S1 – A2 t = 3 S3 = S2 – A3 .... ....... t = n Sn = Sn-1 – An SOMANDO-SE MEMBRO A MEMBRO, OBTEREMOS: S1 + S2 + S3 + ... + Sn = S0 + S1 + S2 + ... + Sn-1 - (A1 + A2 + A3 + ... + An) Tendo em conta que Sn = 0 e S0 = P , temos: Sn = P – (A1 + A2 + A3 + ... + An) 0= P - (A1 + A2 + A3 + ... + An) P = A1 + A2 + A3 + ... + An A relação nos mostra que, quando os juros são pagos nos instantes 1, 2, 3, ..,.n, a soma das amortizações é igual ao Principal. Assim, existem várias seqüências de amortizações que têm por soma o principal. É importante observar que o nome prestação é utilizado para representar o pagamento, acrescido de impostos e outros encargos. Desconsiderando-se esses impostos e encargos, a prestação se reduz ao pagamento R, que é igual à soma da amortização com o juro em cada período. Finalmente, damos nome de planilha a um quadro demonstrativo no qual comparecem, em cada instante de tempo, o juro, a amortização, o saldo devedor, a prestação, os impostos e outros encargos. Exemplo1: Um empréstimo de $50.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000; A2 = 10.000 ; A3 = 15.000; A4 = 20.000 Temos que: P = S0 = 50.000 J1 = 50.000(0,05) = 2.500 A1 = 5000 R1 = 5000 + 2500 = 7500 S1 = 50000 – 5000 = 45.000 J2 = 45.000(0,05) = 2.250 A2 = 10000 R2 = 10000 + 2250 = 12250 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 34 [email protected] [email protected] S2 = 45000 – 10000 = 35.000 J3 = 35.000(0,05) = 1.750 A3 = 15000 R3 = 15000 + 1750 = 16.750 S3 = 35000 – 15000 = 20.000 J4 = 20.000(0,05) = 1000 A4 = 20.000 R4 = 20000 + 1000 = 21.000 S4 = 20000 – 20000 = 0 Semestre Saldo Devedor St 50.000 45.000 35.000 20.000 - Amortização At Juros Jt Prestações Rt 0 1 5.000 2.500 7.500 2 10.000 2.250 12.250 3 15.000 1.750 16.750 4 20.000 1.000 21.000 Total 50.000 7.500 57.500 Exemplo2: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais são iguais: 50.000 Temos que: A1 = A2 = A3 = A4 = = 12.500 4 Semestre 0 1 2 3 Saldo Amortização Juros Prestações Devedor At Jt Rt St 50.000 37.500 12.500 2.500 15.000 25.000 12.500 1.875 14.375 12.500 12.500 1.250 13.750 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 35 [email protected] [email protected] 4 Total - 12.500 50.000 625 6.250 13.125 56.250 Exemplo3: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais e à taxa de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0 e A4 = 50.000 Juros Prestações Semestre Saldo Devedor Amortização St At Jt Rt 0 50.000 1 50.000 2.500 2.500 2 50.000 2.500 2.500 3 50.000 2.500 2.500 4 50.000 2.500 52.000 Total 50.000 10.000 60.000 Exemplo4: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser pago ao final de 4 semestres, à taxa de 5% a.s.. Contudo, tanto os juros como as amortizações têm dois semestres de carência (isto é, só começam no 3º semestre). Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações do 3º e 4º semestres são iguais. Neste caso, como os juros não são pagos no 1º e 2º semestres, eles são incorporados ao saldo devedor. S0 = 50.000 S1 = 50.000 + 0,05(50.000) = 52.500 S2 = 52.500 + 0,05(52.500) = 55.125 A3 = A4 = Semestre 0 1 2 3 4 Total 55.1250 = 27.562,50 2 Saldo Amortização Juros Prestações At Jt Rt Devedor St 50.000 52.500 55.125 27.562,50 27.562,50 2.756,25 30.318,75 27.562,50 1.378,13 28.940,63 55.125 4.134,38 59.259,38 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66) Um empréstimo de 21.000 UR deve ser pago em 6 prestações semestrais à taxa de 8% a.s., pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 36 [email protected] [email protected] semestrais, de valores: A1 = 1.000 UR ; A2 = 2.000 UR; A3 = 3.000 UR; A4 = 4.000 UR; A5 = 5.000 UR; A6 = 6.000 UR. 67) Resolva o problema anterior, considerando iguais as amortizações. 68) Um empréstimo de 600 mil dólares deve ser pago em 4 prestações trimestrais, à taxa de juros de 4% a.t., pagos trimestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0. 69) Um empréstimo de 100 mil dólares deve ser pago ao final de 4 anos e à taxa de 10% a.a.. Tanto os juros como as amortizações têm 2 anos de carência. Sabendo-se que as amortizações do 3º e 4º anos são iguais, obtenha a planilha. 7.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) Na prática, um sistema bastante utilizado é o SAC. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas A1, A2, A3, ..., An e supondo pagamento dos juros em todos os períodos, teremos: A1 = A2 = A3 = ... = An = P = n (Valor da amortização constante) Exemplo1: Um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestralmente pelo SAC à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha. 800 = 160 Temos que: A = 5 Semestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestações At Jt Rt St 0 800 1 640 160 32,00 192,00 2 480 160 25,60 185,60 3 320 160 19,20 179,20 4 160 160 12,80 172,80 5 160 6,40 166,40 Total 800 96,00 896,00 Exemplo2: Um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, isto é, a primeira parcela só é devida no 3º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha. 800 = 160 Temos que: A = 5 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 37 [email protected] [email protected] Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 Total Saldo Devedor St 800 800 800 640 480 320 160 - Amortização At 160 160 160 160 160 800 Juros Jt 40,00 40,00 40,00 32,00 24,00 16,00 8,00 200,00 Prestações Rt 40,00 40,00 200,00 192,00 184,00 176,00 168,00 1.000,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 70) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha. 71) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carência somente para as amortizações. 72) Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de $50.000.000,00. Esse empréstimo dever ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, só que os valores têm de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de liberação do crédito seja $2.500,00. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR), considerando uma taxa de 1% a.m.. 73) Um empréstimo de 250.000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: a) b) c) d) e) (a1 + a k ).k 2 Soma dos k primeiros termos em PA o valor da primeira prestação; o valor da segunda prestação; o valor da 37ª prestação; a soma das 20 primeiras amortizações; a soma das 20 primeiras prestações. S= 74) Um empréstimo de 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, juros, prestação e saldo devedor correspondente ao 21º mês. 75) Um imóvel é vendido por 43.750 UR, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 100 meses com 1,5% a.m. de taxa de juros. Calcule: MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 38 [email protected] [email protected] a) b) c) d) o valor da primeira e última prestações; a soma das 30 primeiras prestações; a soma da 36ª até a 65ª prestações (inclusive); a soma dos juros pagos até a liquidação do débito. 71) (Concurso Controlador da Arrecadação Federal) Um empréstimo no valor de $2.000.000,00 é concedido à taxa de juros compostos de 10% a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortização contido na prestação paga ao final do 3º ano. a) $200.000 b) $300.000 c) $400.000 d) $600.000 7.2. SISTEMA FRANCÊS (OU SISTEMA PRICE) Apesar de o sistema ser dito francês, quem concebeu tal sistema foi o matemático inglês Richard Price, no século XVIII. No século XIX o sistema PRICE foi desenvolvido na França. Nesse sistema as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações). Assim, considerando P o principal a ser amortizado nos instantes 1, 2, 3, ..., n, a uma taxa de juros i (no período), as prestações, sendo constantes, constituem um seqüência uniforme ( na qual cada parcela é indicada por R). 0 R R R R 1 2 3 ... n Vimos anteriormente que P = R. a n / i , podemos ter então: R = P an / i Por outro lado, os juros J1, J2, ..., Jn formam uma sequência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) e as amortizações A1, A2, ..., An formam uma sequência crescente, pois em qualquer instante tem-se: Rt = Jt + At. É importe ressaltar que, quando se utiliza a denominação Tabela Price e o período de pagamentos dos juros não coincide com o período da taxa, é convenção a conversão desta para a taxa do período de capitalização, pelos critérios dos juros simples. Assim, uma taxa de 12% a.a. com pagamentos mensais dos juros, correspondem a uma taxa mensal de 1% a.m. 12% . isto é, 12 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 39 [email protected] [email protected] Exemplo1: Um empréstimo de 900.000 dólares deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha. (1,04) 5 − 1 900.000 900.000 , onde: a 5 / 4 = Temos que: R = = = 202.164,42 a5 / 4 4,451822 (1,04) 5 .0,04 1º Semestre: Prestação: Juros: Amortização: Saldo devedor: 202.164,42 900.000(0,04) = 36.000,00 202.164,42 – 36.000,00 = 166.164,42 900.000 – 166.164,42 = 733.835,58 2º Semestre: Prestação: Juros: Amortização: Saldo devedor: 202.164,42 733.835,42(0,04) = 29.353,42 202.164,42 – 29.353,42 = 172.811,00 733.835,58 – 172.811,00 = 561.024,58 3º Semestre: Prestação: Juros: Amortização: Saldo devedor: 202.164,42 561.024,58(0,04) = 22.441,00 202.164,42 – 22.441,00 = 179.723,42 561.024,58 – 179.723,42 = 381.301,16 4º Semestre: Prestação: Juros: Amortização: Saldo devedor: 202.164,42 381.301,16(0,04) = 15.252,05 202.164,42 – 15.252,05 = 186.912,37 381.301,16 – 186.912,37 = 194.388,79 5º Semestre: Prestação: 202.164,42 Juros: 194.388,79(0,04) = 7.775,55 Amortização: 202.164,42 – 7.775,55 = 194.388,87 Saldo devedor: 194.388,79 – 194.388,87 = -0,08 (observe que esse resultado é devido aos arredondamentos que foram feitos durante todo o processo de cálculo, na realidade o saldo devedor é igual a zero) Semestre 0 1 2 3 4 5 Total Amortização Juros Saldo At Jt Devedor St 900.000,00 733.835,58 166.164,42 36.000,00 561.024,58 172.811,00 29.353,42 381.301,16 179.723,42 22.441,00 194.388,79 186.912,37 15.252,05 194.388,87 7.775,55 900.000,00 110.822,02 Prestações Rt 202.164,42 202.164,42 202.164,42 202.164,42 202.164,42 1.010.822,10 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 40 [email protected] [email protected] 7.2.1. CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR NO SISTEMA FRANCÊS Para calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema francês, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso eliminamos o valor dos contidos nas prestações. Assim, esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. Exemplo1: Num empréstimo de $100.000.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 30 meses e à taxa de 2% a.m., qual o saldo devedor no 20º mês? (supondo que seja paga a prestação desse mês.) 100.000.000 100.000.000 Temos que: R = = = 4.464.992,34 a 30 / 2 22,396455 0 ... 19 20 21 ... 30 O saldo devedor no 20º mês é o valor atual da seqüência uniforme das prestações a vencer (10 prestações). S20 = 4.464.992,34 x a10 / 2 S20 = 4.464.992,34 x 8,982585 = 40.107.173,24 Logo o saldo devedor será de $40.107.173,24. 7.3. SISTEMA AMERICANO Neste tipo de Sistema de Amortização o Principal é pago com um único pagamento ao final do período. Durante todo o período apenas o juros são pagos. Portanto o Saldo Devedor permanece inalterado, e igual ao Principal, durante todo o período de financiamento. Exemplo1: Um empréstimo de 900.000 dólares deve ser devolvido pelo sistema americano em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha. Semestre 0 1 2 3 4 5 Saldo Devedor St 900.000,00 900.000,00 900.000,00 900.000,00 900.000,00 - Amortização At 900.000,00 Juros Jt 36.000,00 36.000,00 36.000,00 36.000,00 36.000,00 Prestações Rt 36.000,00 36.000,00 36.000,00 36.000,00 936.000,00 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 41 [email protected] [email protected] Total 7.4. 900.000,00 180.000,00 1.080.000,00 SISTEMA MISTO (S.A.M.) Esse Sistema foi adotado pelo Sistema Financeiro de Habitação - SFH. É uma mistura dos Sistemas S.A.C. e PRICE. Para o cálculo das prestações podem ser utilizadas duas metodologias: 1ª) Calculam-se as prestações do sistema SAC e PRICE e, faz-se a média aritmética simples entre essas prestações; 2ª) A prestação é uma média ponderada das prestações da Tabela SAC e PRICE para iguais taxas e períodos de amortização. Nesse caso é necessária a utilização das fórmulas: i × (1 + i ) n 1 + × q R1 = (1 − q ) × C × + i C n ( 1 ) 1 + − i n i×C r = q× n Rt +1 = Rt − r Onde: q é o percentual correspondente da prestação da tabela SAC; (1 – q) é o percentual correspondente da prestação da tabela PRICE; r é o fator de decremento que incidirá nas prestações Rt. é a primeira prestação do SAM; R1 Exemplo1: Um empréstimo de 100.000 dólares deve ser devolvido pelo sistema misto em 8 prestações semestrais à taxa de 10% a.p.. Obtenha a planilha. Usaremos a segunda metodologia com 50% para o PRICE e 50% para o SAC. i × (1 + i ) n 1 q R1 = (1 − q ) × C × + × + i C n n (1 + i ) − 1 0,1.(1,1) 8 1 R1 = (1 – 0,5). 100000. + 0,5. + 0,1.100000 8 8 (1,1) − 1 R1 = 20.622,20 r = q. 0,1.100000 i.C r = 0,5. r = 625,00 n 8 Período Saldo Devedor St Amortização At Juros Jt Prestações Rt MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 42 [email protected] [email protected] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 100.000,00 89.377,80 78.318,38 66.778,02 54.708,62 42.057,28 28.765,81 14.770,19 - 10.622,20 11.059,42 11.540,36 12.069,40 12.651,34 13.291,47 13.995,62 14.770,19 10.000,00 8.937,78 7.831,84 6.677,80 5.470,86 4.205,73 2.876,58 1.477,02 20.622,20 19.997,20 19.372,20 18.747,20 18.122,20 17.497,20 16.872,20 16.247,20 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 76) Um banco libera um crédito de 60.000 UR para uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t.. Obtenha a planilha até o 3º trimestre. 77) Um criador de gados adquiriu uma fazenda de $300.000,00 dando 30% de entrada e financiando o restante em 180 meses pelo sistema francês, à taxa de 1% a.m.. Na ocasião da compra, uma UR correspondia a $1.050,00. Obtenha a planilha em UR até o 4º mês. 78) Se no problema anterior, o criador quisesse quitar a dívida após ter pagado a 51º prestação, qual o valor adicional a ser desembolsado? 79) (Concurso Controlador da Arrecadação Federal) Um banco financia a importância de $400.000,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é de 10% a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros são capitalizados e incorporados ao capital, construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha, resolva a questão abaixo: Se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações, deveria pagar ainda o valor de (desprezar os centavos na resposta). a) $240.904,00 b) $250.908,00 c) $264.995,00 d) $270.843,00 75) Ribeiro comprou um carro, financiando $6.000,00 para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de 3% a.m.. Após pagar 12 prestações resolveu liquidar a dívida. Perguntase: a) Quanto Ribeiro pagou na 12ª prestação? b) Qual foi a parcela de juros pagos na 12ª prestação? c) Qual foi a parcela de amortização paga na 12ª prestação? d) Quanto Ribeiro pagou para liquidar a dívida? MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 43 [email protected] [email protected] 76) (Concurso Fiscal de Contribuições Previdenciárias) Um automóvel vendido à vista por $15.860,00, pode ser financiado em 24 parcelas iguais e mensais, a juros compostos de 4% a.m., vencendo a primeira prestação no ato da compra. Com base nessas informações, julgue se são verdadeiros ou falsos os itens a seguir: a) O sistema de amortização que está sendo utilizado para esse financiamento é o sistema de amortização constante (SAC). b) O saldo devedor, após ser paga a 12ª prestação, corresponde à metade do valor efetivamente financiado. c) Mais de 50% do valor da segunda prestação corresponde a juros do financiamento. d) Após pagar a penúltima prestação, o saldo devedor é inferior a $970,00. 7.5. ADAPTAÇÃO DOS MODELOS A TAXAS PÓS-FIXADAS Em nossa economia existem financiamentos pós-fixados. Nesse processo, tenta-se transferir do agente financeiro para o mutuário, o risco inflacionário. Aqui, a prestação é indexada a um índice de preços qualquer. Os procedimentos de cálculos consistem em inicialmente admitir somente a taxa real de juros e, em seguida atualizar a cada período a prestação e o saldo devedor do empréstimo, levando-se em conta a variação do índice contratado. Onde: Saldo Devedor Corrido = Saldo Devedor Anterior x (1 + valor do índice) Juros = Saldo Devedor Corrido x taxa de juros Prestação = Prestação Anterior x (1 + valor do índice) Amortização = Prestação – Juros Saldo Devedor = Saldo Devedor Corrido – Amortização Exemplo1: Um empréstimo de R$100.000,00, será devolvido pelo Sistema PRICE taxa e 10% a.p. mais a variação do IGP (Índice Geral de Preços) em 8 parcelas. Construa a planilha dados: 1 2 3 4 5 6 7 8 Períodos Índices 1,23 1,23 1,27 1,25 1,03 1,05 1,23 1,23 % Pe río do 0 1 2 3 4 5 6 7 Saldo Devedor St 100.000,00 92.378,04 84.162,86 74.302,60 63.059,06 50.181,12 35.671,57 19.366,79 Índi ces % 1,23 1,23 1,27 1,25 1,03 1,05 1,23 Saldo Devedor Corrigido 101.230,00 93.514,29 85.231,73 75.231,38 63.708,57 50.708,02 36.110,33 Amortização At Juros Jt Prestações Rt 8.851,95 9.351,43 10.929,13 12.172,31 13.527,45 15.036,45 16.743,54 10.123,00 9.856,92 8.523,17 7.523,14 6.370,86 5.070,80 3.611,03 18.974,96 19.208,35 19.452,30 19.695,45 19.898,31 20.107,25 20.354,57 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 44 [email protected] [email protected] 8 950,57 1,23 19.605,00 18.644,43 1.960,50 20.604,93 Note que o Saldo Devedor no oitavo período foi de R$950,57, isso ocorreu devido aos constantes arredondamentos feitos durante toda a construção da planilha. Visto que esse valor deveria ser muito próximo de zero. 7.6. Sistemas de Amortização com Parcelas Intermediárias Para se lidar com parcelas intermediárias devemos descontá-las para a data zero abatendose seus valores do valor a ser financiado a ser pago em prestações uniformes Exemplo1: Considere um empréstimo de R$100,00 a ser pago através de 8 prestações mensais e duas intermediárias ao final do 3 e 6 mês, cada uma de R$15,00. Fazer a planilha de cálculo discriminando os valores das prestações a serem pagas em cada mês, se a taxa de juros pactuada for de 10%a.m., considerando o sistema de tabela price. Valor para o Financiamento: 15 FV 3 n 10 i PV -11,27 15 FV 6 n 10 i PV -8,47 Valor para o Financiamento = 100 – 11,27 – 8,47 = 80,26 Valor das parcelas: 80,26 CHS PV 8 n 10 i PMT 15,04 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 45 [email protected] [email protected] 8. Seqüências de Pagamentos Não Uniformes As Seqüências de Pagamentos Não Uniformes são seqüências periódicas que apresentam prestações variáveis. Algumas delas apresentam relações matemáticas entre seus termos, podendo ter sua formulação simplificada em função do primeiro termo (A1), da taxa de juros, dos acréscimos periódicos em suas prestações em termos constantes, formando uma Progressão Aritmética (P.A.) ou da taxa de crescimento (g) existente entre as prestações formando uma Progressão Geométrica (P.G.). Em uma seqüência de prestações cujos termos variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferença entre dois elementos sucessivos. 8.1. Progressão Aritmética 8.1.2. P.A. Postecipada Definiremos como Seqüências Gradientes Postecipadas aquelas onde, nos instantes de tempo t=1,t=2, t=3..., t=n, os valores das prestações formam uma progressão aritmética de razão igual a G e primeiro termo (a1) igual a zero. 0 1 2 3 4 ... 8 9 10 ... n G 2G 3G 7G Taxa i % a.p. 8G 9G (n-1).G MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 46 [email protected] [email protected] Podemos ver esta série como a soma de (n-1) seqüências uniformes, diferidas, com valor G e números de parcelas distintas. Com isso teríamos: (1 + i ) n − 1 C = R × n i × (1 + i ) (1 + i ) n − 1 − 1 (1 + i ) n − 1 − 1 1 C1 = G × G × = × n −1 1 n i × (1 + i ) (1 + i ) i × (1 + i ) (1 + i ) n − 2 − 1 (1 + i ) n − 2 − 1 1 C2 = G × G × = × n−2 2 n i × (1 + i ) (1 + i ) i × (1 + i ) : (1 + i ) 1 − 1 (1 + i ) n − ( n − 1 ) − 1 1 G G × = × = × n −1 n − ( n −1) n −1 n i × (1 + i ) (1 + i ) i × (1 + i ) C G = C 1 + C 2 + C 3 + ... + C n − 1 C Com base no exposto anteriormente, poderíamos chegar as seguintes fórmulas: G (1 + i) n − 1 × − n CG = i(1 + i) n i G (1 + i )n − 1 SG = CG × (1 + i) = × − n × (1 + i )n n i (1 + i ) i n G (1 + i )n − 1 SG = × − n i i Onde: CG é o capital necessário para se aplicar num determinado período; SG é o saldo da aplicação no período estipulado. Exemplo1: Quanto se deve aplicar hoje, a uma taxa de juros efetiva de 6%a.m., de modo que sejam possibilitados 10 saques consecutivos, sendo o primeiro saque de R$8.000,00 daqui a 2 meses e os demais com variação de igual valor? C 1 0 2 3 ... 11 8000 16000 (1 + i ) n MATEMÁTICA G −1 FINANCEIRA MÓDULO: C = × − n Prof. 47 Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro i (1 + i ) n i 8000 (1 + 0 , 06 ) 11 − 1 × − 11 C = 11 [email protected] [email protected] 80000 Exemplo2: Considere uma aplicação financeira que rende 1%a.m. Quanto deve ser investido hoje, de modo que possam ser efetuadas 10 retiradas mensais consecutivas, a primeira com valor de R$5000,00, ao fim do primeiro mês, e as subseqüentes acrescidas de R$1000,00 a cada mês? C 0 1 2 3 ... 10 0 500 14000 C = C R + CG (1 + i ) n − 1 CR = R × n i × (1 + i ) (1 + 0,01)10 − 1 C R = 5000 × = 47356 ,52 10 0,01 × (1 + 0,01) G (1 + i ) n − 1 × − n n i (1 + i ) i 1000 ,00 (1 + 0,01)10 − 1 CG = × − 10 10 0,01(1 + 0,01) 0,01 CG = C G = 41843 , 49 C = 47356 ,52 + 41843 , 49 = 89200 ,01 8.1.3 P.A. Antecipada Definiremos como Seqüências Gradientes Antecipadas como aquelas onde, nos instantes de tempo t = 0, t = 1, t = 2,..., t = n-1, os valores das prestações formam uma progressão aritmética de razão igual a G e primeiro termo (a1) a zero. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 48 [email protected] [email protected] 0 1 2 3 ... 7 8 9 ... n–1 G 2G 3G 7G Taxa i % a.p. 8G 9G (n-1).G Podemos derivar as fórmulas a partir das anteriormente vistas, multiplicando os termos por (1+i). CGA = CGP × (1 + i ) G (1 + i ) n − 1 CGA = × − n × (1 + i ) i (1 + i ) n i G (1 + i ) n − 1 n × (1 + i ) − CGA = × n (1 + i ) n i i (1 + i ) SGA = CGA × (1 + i ) n = SGA = G (1 + i ) n − 1 n × − × (1 + i ) n +1 n n i i (1 + i ) (1 + i ) G (1 + i ) n − 1 × − n × (1 + i ) i i SGA = SGP × (1 + i ) Observação: No caso seja Decrescente, temos: C GP = em que Seqüência Gradiente em PA (1 + i ) n − 1 CR = R × n i × (1 + i ) (1 + i ) n − 1 G (1 + i ) n − 1 n − × − = nG × n n (1 + i ) n i × (1 + i ) i i (1 + i ) G (1 + i ) n − 1 n × − n (1 + i ) n i i (1 + i ) C D = C R − C GP a e (1 + i ) n − 1 G n ( 1 ) n i n × + − − − n n i (1 + i ) i n (1 + i ) − 1 G CD = × n (1 + i ) n − n i (1 + i ) i n S D = C D × (1 + i ) MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA CD = Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 49 [email protected] [email protected] Exemplo2: Considerando uma taxa de juros de 10% a.m. e uma seqüência de 6 recebimentos futuros, o primeiro de R$900,00 daqui a 30 dias, que decrescem mensalmente, na razão de R$ 150,00, calcular o valor presente destes recebimentos e o seu equivalente ao final do sexto mês. Temos: i = 10% a.m., n = 6 e G = 150. Trata-se de uma PA decrescente. Então: n CD = G (1 + i ) − 1 n ( 1 ) × + − n i i i (1 + i ) n 150 (1 + 0,1) 6 − 1 6 6 ( 1 0 , 1 ) × + − = 2467 ,11 0,1(1 + 0,1) 6 0,1 S D = C D × (1 + i ) n = 2467 ,11 × (1 + 0,1) 6 = 4370 ,63 CD = 8.2. Progressão Geométrica 8.2.1. P.G. Postecipada Definiremos as seqüências em progressão geométrica postecipadas como aquelas onde cada prestação é obtida multiplicando o valor da prestação anterior por um fator constante equivalente a (1 + g) = h. O valor de g, suposto positivo, corresponderá à taxa de crescimento das prestações. Com base no gráfico, podemos calcular o valor atual C, através do valor atual de cada parcela. Temos então: C 0 1 2 3 ... n – 1 n R Rh Rh2 Taxa i % a.p. Rhn-2 Rhn-1 R Rh Rh 2 Rh n −1 C = + + + ... + 2 3 FINANCEIRA 1 + i (1 +MÓDULO: (1MATEMÁTICA (1 + i )n i) + i) Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 50 R h h2 h n −1 C = + + ... + 1 + (1 + i ) (1 + i )2 1+ i (1 + i )n −1 [email protected] [email protected] C= n h n − (1 + i) n R h n − (1 + i ) R = × × (1 + i) (1 + i )n−1 × [h − (1 + i )] (1 + i) n h − (1 + i) S = C × (1 + i) n = R (1 + i) n h n − (1 + i) n n × × (1 + i) − + ( 1 ) h i h n − (1 + i) n S = R× h − (1 + i) Observação: Esta fórmula só vale para h ≠ 1 + i, já que, caso contrário, o denominador seria igual a zero e a fração não existiria. Exemplo1: (Certificação F.V.G. – 2007) Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago em dez parcelas mensais a vencer que experimentarão um crescimento geométrico de 3% em cada uma a juros efetivos de 2% a.m.. O valor da primeira parcela é: Temos que: C = 50.000,00; i = 2% a.m.; h = (1 + 3%) a.m.; n = 10. n Então: n R h − (1 + i ) × n (1 + i ) h − (1 + i ) 1,0310 − (1 + 0,02)10 R 50000 = × (1 + 0,02)10 1,03 − (1 + 0,02) C= 50000 x 1,21899 = R x 12,49219 R= 60949,72 R = 4.879,02 12,49219 Logo: O valor da primeira parcela será de R$ 4.879,02 Para h = 1+i, temos: R Rh Rh 2 Rh n −1 C= + 2 + 3 + ... + (1 + i )n 1 + i (1 + i ) (1 + i ) R h h2 h n −1 Rn C= 1+ = + 2 + ... + (1 + i )n −1 1 + i 1 + i (1 + i ) (1 + i ) S = C × (1 + i ) n = Rn × (1 + i ) n = Rn × (1 + i ) n −1 1+ i 8.3. Perpetuidade MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 51 [email protected] [email protected] 8.3.1. Perpetuidades Periódicas Postecipadas a) Perpetuidades com Pagamentos Uniformes: (1 + i ) n − 1 C = R× n i × (1 + i ) (1 + i ) n − 1 R Cu C = lim R × = = n n→∞ i i × (1 + i ) b) Perpetuidades com Pagamentos em Gradiente: G (1 + i ) n − 1 n C = × − i i × (1 + i ) n (1 + i ) n G G (1 + i ) n − 1 n C = lim × = Cg = 2 − n n n→∞ i (1 + i ) i i × (1 + i ) Como este tipo de seqüência pode ser considerado como a soma de uma seqüência uniforme de prestação R e uma seqüência gradiente de razão G, o valor presente desta seqüência pode ser obtida através da soma das equações anteriores. C = Cu + C g = R G + 2 i i O valor presente (P) de uma seqüência geométrica, com número infinito de pagamentos é dado pela equação abaixo. R R × (1 + g )1 R × (1 + g ) 2 C= + + + ... (1 + i )1 (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 1 (1 + g )1 (1 + g ) 2 C = R× ... + + + 1 (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i ) O valor entre colchetes é a soma dos termos de uma PG infinita de razão (1 + g ) (1 + i ) Logo o valor presente só será definido se g < i e terá valor de 1 C = R× i − g MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 52 [email protected] [email protected] Exemplo1: (Certificação F.V.G. – 2007) Quanto precisa ter no seu fundo de aposentadoria uma pessoa que deseja resgates perpétuos, o primeiro de R$ 1.000,00, daqui a 1 mês, com parcelas crescentes de 0,5% ao mês, sendo que o banco oferece aplicação de 0,9% ao mês? Temos que: R = 1000; i = 0,5% a.m. ; g = 0,9% a.m. Então: 1 C = Rx i − g 1 C = 1000 x 0,005 − 0,009 C = 250.000,00 Logo o valor que deve ter no fundo de aposentadoria é R$ 250.000,00 9. CÁCULOS FINACEIROS EM CONTEXTOS INFLACIONÁRIOS Em ambientes inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos. Isso significa que o dinheiro que você tem hoje, amanhã monetariamente não terá mesmo valor. A fim de se obter valores homogêneos monetariamente, são utilizados índices de preços para deflacionar ou inflacionar as seqüências de valores nominais. – Inflacionar – colocar todos os valores da seqüência em uma base comum de referência situada no fim da seqüência. – Deflacionar – colocar todos os valores da seqüência em uma base comum de referência situada no início da seqüência. 9.1. Índice de Preços Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preço de um período para o outro. – FGV – Conjuntura Econômica – FGV - DI – IBGE – Fipe – Dieese – Ipead-UFMG Período Compras Variação Deflator Compras Nominais Índice Base Deflac. (1) (2) Jan/2006 (3) (1/3) Cresc. Real (%) Cresc. Aparente (%) Jan/2006 $12.000 - 1,0000 $12.000 - Fev/2006 $13.000 2,0% 1,0200 $12745,10 6,21 8,33 Mar/2006 $14.000 1,5% 1,0353 $13522,65 6,10 7,69 FONTE: Certificação FGV – Seção 8 (2007). MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 53 [email protected] [email protected] 9.2. Taxas de Juros Aparente e Real Taxa aparente é aquela que vigora nas operações correntes. Taxa de juro real é o rendimento ou custo de uma operação, calculado depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. (1 + i) = (1 + ir ) × (1+ I ) • • • i = aparente ir = real I = Taxa de Inflação Exemplo1: Uma aplicação de $200 rendeu juros e atualizações monetárias. Considerando que ao final do período o investidor resgatou $250, e que a inflação no período foi de 5%, quais as taxas de juros aparente e real, e a atualização monetária no período. Temos que: (1 + i ) = (1 + i r ) × (1 + I ) rendimento aparente 50 = = 25% investimento 200 atualização = 200 × 0,05 = 10 i= rendimento real = resgate − investimento atualizado rendimento real = 250 − 210 = 40 rendimento real 40 = = 19,05% investimento atualizado 210 1,25 (1 + i ) o ⇒ I de 1 =prestações 5% 1 =pago em −três = $50.000 −será Exemplo2:Verificand Um equipamento mensais corrigidas i 1 , 1905 ( 1 ) + r real aplicado de 5% a.m., pede-se calcular: pelo IGPM-FGV. Considerando um juro ir = a) O valor corrente das prestações supondo uma variação constante de 2% a.m. para o IGPM b) O custo efetivo aparente do financiamento: Temos: (1 + i ) n × i R = C n (1 + i ) − 1 (1 + 0 , 05 ) 3 × 0 ,05 R = 50000 3 (1 + 0 ,05 ) − 1 R = 18360 , 43 a) Na última coluna estão as prestações a preços correntes: MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 54 [email protected] [email protected] Período Prestações Nominais (1) Variação Índice Inflator Base n=0 (2) Prestações Atualizadas (1*2) n=1 $18360,43 2,0% 1,0200 $18727,64 n=2 $18360,43 2,0% 1,0404 $19102,19 n=3 $18360,43 2,0% 1,06121 $19484,27 b) Para resolver esse item podemos utilizar a calculadora HP-12C: 50000 CHS g CF0 18727,64 g CFj 19102,19 g CFj 19484,27 g CFj f IRR 7,1 % a.m. 9.3. Taxa Efetiva em Moeda Nacional para Operações em Moeda Estrangeira A rentabilidade ou perda de uma aplicação em moeda estrangeira estará em função da taxa de juros contratada e da variação da cotação da moeda nacional com relação à moeda estrangeira ou uma cesta de moedas. (1 + imn ) = (1 + ime ) × (1 + itd ) • • • imn = taxa efetiva nacional ime = taxa efetiva em moeda estrangeira itd = taxa de valorização/desvalorização da moeda nacional Exemplo 1: Um investidor estrangeiro aplicou, no Brasil, o equivalente à US$1.500,00, no início de um dado ano, quando a taxa de câmbio era de R$2,75 por US$1,00. Tendo sido verificado que seu rendimento em reais foi à taxa de 18% a.a. ao fim de 1 ano, quando a taxa de câmbio passou a ser de R$1,80 por US$1,00, qual foi a rentabilidade, em termo de dólares, do investidor? Temos: Capital Investido = US$ 1500 x 2,75 = R$ 4125,00 Montante em reais S = C × (1 + i ) n = 4125 × (1 + 0,18)1 = 4867,50 Montante em dólares=R$ 4867,50 / 1,80 = US$ 2.704,17 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 55 [email protected] [email protected] Taxa efetiva em US$ ime = S − C Juros 2704,17 − 1500 = = = 80%a.a. C C 1500 10. TÍTULOS DE REDA FIXA Os títulos são denominados de renda fixa quando se conhece a forma de rendimentos oferecidos. São assim conhecidos por fixarem os rendimentos desde o momento inicial da operação. Esses títulos são emitidos geralmente por instituições financeiras, sociedades por ações e governos, e negociados com os poupadores em geral. Os títulos prefixados caracterizam-se pela revelação antecipada do valor total da remuneração oferecida ao investidor. Ou seja, no momento da aplicação, o poupador toma conhecimento da taxa total (nominal) de juros a ser aplicada sobre o capital investido. Títulos posfixados costumam definir previamente a taxa real de juros e o indexador de correção monetária a ser aplicado sobre o capital investido. O valor do resgate, no entanto, somente será conhecido no momento da liquidação da operação em função do comportamento verificado no índice de correção selecionado. 10.1. CDB e RDB Os certificados/recibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras, visando captar recursos para suas operações de empréstimos. A diferença básica entre os títulos é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante endosso, e o RDB é intrasferível. Para efeito de cálculo usaremos os seguintes parâmetros: PV valor da aplicação (capital); FV valor de resgate (montante); IR valor do imposto de rendas; T alíquota de IR; ib taxa nominal bruta (antes do IR); il taxa nominal líquida (depois da dedução do IR); rb taxa real bruta; rl taxa real líquida; 10.1.1. TAXA PREFIXADA COM RENDIMENTO FINAL Essa modalidade de operação indica que os encargos são acumulados (capitalizados) e resgatados somente ao final do prazo de aplicação. Graficamente, pode ser representada segundo a forma de tributação: FV Vr. Resgate IR antecipado MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 56 [email protected] [email protected] n Vr. Aplicação PV + IR • FV = PV x (1 + ib) • IR = T x (PV x ib) FV - IR Vr. Resgate IR final n Vr. Aplicação PV • IR = T x (PV x ib) O exemplo a seguir é desenvolvido de maneira a ilustrar detalhadamente o processo de cálculo dos resultados de uma operação com títulos de renda fixa. Exemplo1: Suponha uma aplicação de $27.000,00 efetuada em título de renda fixa pelo prazo de mês. A remuneração do papel é calculada à taxa bruta prefixada de 30% ao ano. Com base nessas informações, pede-se determinar: a) Rendimentos brutos de aplicação ( antes do IR); b) Rendimento nominal e real líquido para cada critério de tributação considerado acima. Admita uma alíquota de 9% a ser aplicada sobre o rendimento nominal antecipado e de 15% sobre o rendimento final. A correção monetária (inflação) do período atinge a 1,1%. Solução a) Rendimentos Brutos da Aplicação • Rentabilidade Nominal Bruta: ib = 30% a.a. ib = 12 1,30 − 1 = 2,21% a.m. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 57 [email protected] [email protected] • $ 27.000,00 x 1,0221 Valor da aplicação Valor Bruto do Resgate = $ 27.596,70 = ($ 27.000,00) Rendimento Bruto Nominal = $ 596,70 • Rentabilidade Real Bruta: rb = 1 + 0 , 0221 − 1 = 1 , 098 % a . m . 1 + 0 , 011 ou $ 27 . 596 , 70 = 1 , 098 % a . m . $ 27 . 000 , 00 x 1, 011 • Valor Bruto do Resgate = $ 27.596,70 Valor Corrido da aplicação: $ 27.000,00 x 1,011 = ($ 27.297,00) Rendimento Bruto Real = $ 299,70 b) Rendimentos Líquidos da Aplicação: • IR Antecipado Sendo de 9% a alíquota do IR retido na fonte incidente sobre o rendimento total da aplicação, tem-se: IR = T x (PV x ib) IR = 0,09 x ($ 27.000,00 x 0,0221) = $ 53,70 Como esse tributo é pago no momento da realização do negócio, o total aplicado no título se eleva de $ 27.000,00 para $ 27.053,70. Logo a taxa de rentabilidade líquida nominal totaliza: iL = $27 .596 ,70 PV −1 = − 1 = 2,01 % a.m. $27 .000 ,00 + $53,70 PV + IR Por outro lado, a rentabilidade real líquida atinge: rL = $ 27 .596 ,70 FV −1 = − 1 = 0 ,90 % a .m. $ 27 .000 ,00 x $ 53 ,70 ) x (1 + 0,011 ) ( PV + IR ) X (1 + CM ) ou 1 + iL 1 + 0 ,0201 −1 = − 1 = 0 ,90 % a.m. 1 + CM 1 + 0 ,011 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 58 [email protected] [email protected] • IR Final – Para uma alíquota de 15% de IR calculada sobre o rendimento total e paga no resgate, tem-se: Valor Bruto de Resgate = $27.596,70 Valor de Aplicação = ($27.000,00) Rendimento Bruto = $596,760 IR: 0,15 x 596,70 = ($89,50) Rendimento Líquido = $ 507,20 $ 27 .507 , 20 FV − IR −1 = − 1 = 1,88 % a.m. $ 27 .000 ,00 PVno min al $ 27 .507 , 20 FV − IR rL = −1 = − 1 = 0 ,77 % a.m. $ 27 .297 ,00 PVcorrigid o ou 1 + iL 1 + 0 ,0188 − 1 = 0,77 % a .m. −1 = iL = 1 + 0,011 1 + CM iL = Exercício Proposto 1) Admita que um banco esteja pagando 17,8% ao ano de juros efetivos na colocação de CDB de sua emissão. Apurar a taxa efetiva (equivalente composta) bruta e líquida (antes e após o IR) para: a) 1 mês; b) 5 meses; c) 39 dias; d) 103 dias. 11. OPERAÇÕES COM DEBÊNTURES Debêntures são títulos emitidos por sociedades anônimas para captar recursos de financiamentos de longo prazo. Existem as debêntures não conversíveis e as conversíveis em ações. As não conversíveis rendem juros reais, pagos periodicamente, sendo o valor de emissão pago no final, junto com a última parcela de juros. As debêntures conversíveis dão ao portador a opção do resgate final pelo valor da emissão ou por ações da empresa. Muitas vezes as debêntures são vendidas com deságio (desconto) sobre seu valor nominal, e esta é uma forma de aumentar a competitividade no mercado. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 59 [email protected] [email protected] Exemplo1: Uma pessoa comprou uma debênture no valor no valor de 100 UR com vencimento em 2 anos. Sabendo-se que os juros reais são pagos trimestralmente à taxa de 3%a.t., pede-se: a) Os valores dos juros brutos; b) A taxa interna de retorno do investimento na compra da debênture; c) A taxa interna de retorno se o preço pago tivesse um deságio de 5%; d) O preço pago pelo comprador, se sua taxa requerida de retorno fosse de 4% a.t. Resolução: a) valor da emissão: 100 UR Juros Brutos: 0,03x100 = 3 UR c) O fluxo de caixa do ponto de vista do comprador é: 100 3 7 103 f CHS g CF0 g CFj g Nj g CFj IRR 3% a.t. (em termos reais) d) Caso houvesse deságio na venda da debênture de 5%, o investimento inicial seria de 95 UR com isso teríamos: 95 CHS g CF0 3 g CFj 7 g Nj 103 g CFj f IRR 3,73% a.t. e) O preço pago seria o valor presente das entradas de caixa, a uma taxa de 4% a.t. 3 g CFj 7 g Nj 103 g CFj f NPV 93,27 UR EXERCÍCIOS PROPOSTOS MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 60 [email protected] [email protected] APÊNDICE – USO DA CALCULADORA HP-12C 1 – JUROS SIMPLES: para calcular juros simples utilizando as teclas financeiras da calculadora em questão, vamos trabalhar com as seguintes funções: PV n i f i Capital inicial Tempo (em dias) Taxa de juros, expressa em percentagem (ao ano) Valor dos juros simples Exemplo1: calcule os juros e o montante de um capital de $200.000,00 aplicado por 90 dias, a juros simples, a taxa de 30% ao ano. 200000 90 30 f i + CHS PV n i 15.000,00 215.000,00 Exemplo2: calcule os juros e o montante de um capital de $20.000,00 aplicado por 45 dias, a juros simples, a taxa de 4% ao mês. Nesse caso, devemos transformar a taxa ao ano: 4 x 12 = 48 % a.a. 20000 45 48 f i + CHS PV n i 1.200,00 21.200,00 2 – JUROS COMPOSTOS: para calcular juros compostos utilizando as teclas financeiras da calculadora em questão, vamos trabalhar com as seguintes funções: PV n i FV Capital inicial (Valor Presente) Tempo Taxa de juros Valor do Montante (Valor Futuro) Exemplo1: Calcule o valor do Montante de um capital de $500.000,00 durante 6 meses a taxa de 2,3% ao mês. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 61 [email protected] [email protected] 500000 6 2.3 FV CHS PV n i 573.091,28 Exemplo2: Calcule o valor do Montante de um capital de $23.000,00 durante 8 meses a taxa de 1,5% ao mês. 23000 8 1.5 FV CHS PV n i 25.909,32 Exemplo3: Calcule a taxa de rentabilidade de uma aplicação de $40.000,00 que gerou um Montante de $48.000,00 durante 4 meses. 40000 48000 4 i CHS PV FV n 4,6 %a.m. Observação1: não esqueça antes de armazenar os dados do problema nas teclas financeiras de verificar se a unidade de tempo é a mesma da taxa “i”. Se não for, compatibilize o período à taxa. Para trabalhar com períodos fracionários, devemos usar as teclas STO e EEX, aparecerá no visor à letra C, indicando que a máquina está pronta para períodos inteiros ou fracionários. Obeservação2: o resultado na HP-12C para o prazo é sempre um número inteiro. Exemplo: Calcule o período uma aplicação de $800.000,00 que gerou um Montante de $1.425.661,26 à taxa de 26% ao mês. 800000 1425661.26 26 N Na realidade se fosse usada a fórmula: n = CHS PV FV i 3,00 log FV − log PV , teríamos como resposta n = 2,5 log(1 + i ) meses. 3 – CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO: MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 62 [email protected] [email protected] Exemplo1: Calcule o valor $ 100.000,00, daqui a 3, 7 e 12 meses, para a taxa de 1,9% a.m. 100000 1,9 3 FV CHS PV i n 105.808,98 Para os demais prazos, basta mudar o período (não há necessidade de se digitar novamente o valor e a taxa), veja: 7 FV n 114.082,56 12 FV n 125.340,15 Exemplo2: Sabendo-se que em 12.11.1995 você tem $ 150.000,00, que aplicado em 17.03.1995,a taxa de 0,5% a.d., calcule: c) o valor da aplicação inicial (em 17.03.95) o montante em 15.02.96. d) Esse problema consiste em dois casos. O primeiro é descapitalizar 240 dias e o segundo é capitalizar 95 dias. Para tanto primeiramente vamos proceder da seguinte forma: 1º) o capital inicial PV será o valor atual $ 150.000,00; 2º) para a descapitalização, como se refere a uma data passada, o prazo n será negativo: -240 dias; 3º) para a capitalização, como se refere a uma data futura, o prazo n será positivo: 95 dias; 4º) a taxa i, na forma percentual, será: 0,5% ao dia; a) b) vamos descapitalizar: 150000 PV 0.5 i 240 CHS n FV -45.314,42 Encontrou o capital inicial ou montante em 17.03.95 c) agora vamos capitalizar: 95 FV n -240.916,82 4 – SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS E DE DESEMBOLSOS MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 63 [email protected] [email protected] Quando as entradas ou as saídas destinam-se ao pagamento de uma dívida, chamam-se séries de pagamentos. Quando se destinam a constituir um capital futuro, tomam o nome de séries de desembolso. É comum fazermos compras, utilizando o termo “com entrada” ou “sem entrada”. As séries sem entrada chamam-se postecipadas. Já as séries com entrada são conhecidas como antecipadas. Na calculadora HP-12C temos as teclas combinadas: g 8 : (END) postecipada g 7 : (BEGIN) antecipada Exemplo1: Compramos na loja Bom de Bico um carro em quatro prestações iguais de $ 6.240,00. Sabendo-se que os juros do mercado são aproximadamente 6% a.m., qual o preço do carro à vista? Como não foi especificado se era com ou sem entrada, vamos fazer das duas formas: 1º) Série antecipada – com entrada g 7 6240 6 4 PV BEGIN PMT i n -22.956,32 2º) Série postecipada – sem entrada g 8 6240 6 4 PV END PMT i n -21.656,91 Exemplo2: Calcule o montante que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de $ 4.000,00, mensalmente, à taxa de 2,2% a.m. Neste caso utilizaremos os registros n, i, PMT e FV. O registro PV deve estar limpo, caso contrário o valor que estiver armazenado irá interferir nos cálculos. 1º) Desembolso antecipado g 7 4000 2,2 4 FV BEGIN CHS PMT i n 16.899,57 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 64 [email protected] [email protected] 2º) Desembolso postecipado g 8 4000 2,2 4 FV END CHS PMT i n 16.535,79 Exemplo3: Quanto uma pessoa tem que depositar, a partir de hoje, mensalmente, durante 11 meses, para acumular $ 2.500,00, considerando-se uma taxa de 3,20% a.m.? g 7 2500 3,2 11 PMT BEGIN FV i n -187,20 5 - SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS COM PARCELA COMPLEMENTAR: É formada por uma série de pagamentos iguais e mais uma parcela complementar no final do último período. Os períodos são homogêneos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.). Exemplo1: Qual o preço à vista de uma máquina fotográfica que está sendo vendida em 4 parcelas de $120,00, mais um pagamento adicional de $162,71 no fim do último período, se a taxa de juros usada pela loja é de 2,5% a.m.? g 7 120 162,71 2.5 4 PV BEGIN PMT FV i n -610,13 2º) Série postecipada – sem entrada g 8 120 162,71 2.5 4 PV END PMT FV i n -598,84 MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 65 [email protected] [email protected] Observação: o pagamento balão (FV) é particularmente útil na repactuação de dívidas. Veja que muitos dos clientes possuem fluxos de receitas com sazonalidade – receitas maiores em determinados meses. Como por exemplo: as lojas de brinquedos nos meses de outubro e dezembro; hotéis nos meses de janeiro, fevereiro e julho; assalariados no mês de dezembro (13º salário); etc. 6 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Será apresentada uma planilha de amortização feita pelo Sistema Price. Exemplo1: O valor do financiamento é de $ 600.000,00, à taxa de 37% a.a., para ser pago em três parcelas. Para elaborar a planilha de pagamento, adotamos os seguintes procedimentos na calculadora HP-12C: g 8 600000 END CHS PV 37 3 PMT 1 n f x≤y I N 363.279,52 222.000,00 141.279,52 RCL PV 1 n f x≤y -458.720,48 169.726,58 193.552,94 RCL PV 1 n f x≤y -265.167,54 98.111,99 265.167,53 RCL PV -0,01 COMENTÁRIO Valor presente (valor financiado no período zero) Taxa de juros, na forma percentual Número de prestações Valor das prestações Valor dos juros do primeiro período Valor da amortização do capital do 1º per. Saldo devedor do primeiro período Valor dos juros do segundo período Valor da amortização do capital do 2º per. Saldo devedor do segundo período Valor dos juros do terceiro período Valor da amortização do capital do 3º per. Saldo devedor residual do terceiro período Observação: após o comando PMT, os comandos 1 n f, x ≤ y e RCL PV, entrarão num looping até que o valor de PV seja zero ou muito próximo de zero. MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Prof.MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 66 [email protected] [email protected]
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