Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
FORMULÁRIO
Desconto Racional Simples
DR 
N i  n
N
; DR  VR  i  n ; VR 
; VR  N  DR
1 i  n
1 i  n
Desconto Comercial Simples
DC  N  d  n ; VC  N 1  d  n  ; VC  N  DC
Desconto Bancário Simples
Db  N   d  n  s  ; Vb  N 1  d  n  s  ; Vb  N  Db
s

Db  N   d    n  N  d   n ; Vb  N  1  d   n 
n

Relações entre o Desconto Racional Simples e o Desconto Comercial Simples
DC  DR  1  i  n  ; DC  DR 
DC  i  n
; se d  i
1 i  n
Taxa de Juros Implícita Linear ou Efetiva Linear do desconto Comercial e Bancário Simples
N 
N

  1
  1
V
V
d
icl   c  ; icl 
; ibl   b  ; ibl 
n
1 d  n
n
s
d
n

s
1 d n

1  d   n
n

d
Taxa de Juros Implícita Exponencial ou Efetiva Exponencial
1
1
1
1
 N n
 N n
 1 n
iRe     1 ; iRe  1  i  n  n  1 ; ice     1 ; ice  
 1 ;
 1 d  n 
 VR 
 Vc 
1
1
1

n
 N n
1
1

n
ibe     1 ; ibe  

1


  1


1

d

s

n


 1 d  n  s 
 Vb 


Desconto Racional Composto ou Desconto Financeiro
Df  N Vf
 1  i n  1 
N
n


; D f  V f 1  i   1 ; D f  N 
 ; Vf 
n
n


 1  i  
1  i 
Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora
Dcc  N  Vcc
; Dcc  N 1  (1  d )n  ; N 
Vcc
1  d 
n
1  (1  d )n 
; Dcc  Vcc 
n 
 (1  d ) 
Taxa de Juros Implícita do Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora
i 
d
1 d
; d
i
1  i
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
5.5 — Exercícios Propostos
1) Considere um título de valor nominal N e termo de 3 anos, emitido no dia de hoje. Qual
deve ser a taxa de desconto mensal que devo pagar daqui a seis meses para que o valor de
resgate seja a metade do valor nominal, considerando os seguintes tipos de desconto:
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Racional Composto
d) Desconto Comercial Composto
Solução
a) Desconto Racional Simples
N

 N

 1
  1

V
N
  i   0,5 N   1  0, 03333 ou 3,3333%a.m.
VR 
i   R
1 i  n
n
30
30
b) Desconto Comercial Simples
 VC   0,5 N 
1  N  1 

N  0,5

VC  N 1  d  n   d  

 0, 016667 ou 1, 6667%a.m.
n
30
30
c) Desconto Racional Composto
Vf 
N
1  i 
n
N
i 
 Vf

1
n
1

 N  30
  1  i  
  1  0, 023374 ou 2,3374%a.m.
0,5
N



d) Desconto Comercial Composto
1
N
Vcc
1  d 
n
1
 V n
 0,5 N  30
 d  1   cc   d  1  
  0, 02284 ou 2, 284%a.m.
 N 
N 
2) Um título de valor nominal de R$ 50.000,00 foi descontado em um banco 100 dias antes
do vencimento. Qual o valor descontado e a taxa de juros efetiva diária, linear e
exponencial, para as seguintes condições:
a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples?
b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples?
c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título
de taxas bancárias, e desconto bancário simples?
d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto?
e) Taxa de juros compostos de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto?
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
Solução
a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples.
VR 
N
50000

 46875, 00
0,
1  i  n 1  24 100
360
No caso de desconto racional simples a taxa efetiva linear é igual à taxa corrente de
desconto simples, no caso, 24% a.a. Logo a taxa efetiva linear, diária, é:
iRl 
0, 24
 0, 000667 ou 0, 0667%a.d .
360
Por outro lado, a taxa efetiva exponencial é:
1
1
 N n
 50000 100
i    1  
  1  0, 00646 ou 0, 0646%a.d .
 46875 
 VR 
e
R
b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples
 0, 03

Vc  N 1  d  n   50000 1 
100   R$ 45.000, 00
30


0, 03
d
0, 001
30
icl 


 0, 00111 ou 0,111%a.d .
1  d  n 1  0, 03 100
0,9
30


1


1
 1 n
i 

1




 1 d  n 
 1  0, 03 100 
30


e
c
1
100
 1  0, 001054 ou 0,1054%a.d .
c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título
de taxas bancárias, e desconto bancário simples.
 0, 02

Vb  N 1  d  n  s   50000 1 
100  0, 02   R$ 45.666, 67
30


s
0, 02 0, 02

n
30
100
ibl 

 0, 0009489 ou 0, 09489%a.d .
s
0,
02
0,
02 



1  d   n 1 

 100
n
100 

 30
d
1

100
1
n


1
1


ibe  
  1  0, 0009070 ou 0, 09070%a.d .
  1   0, 02
 1 d  n  s 
 1
100  0, 02 
30


d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto.
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
Vf 
N
1  i 
n

50000
1, 02 
100
30
 R$ 46.806,11
A taxa de juros efetiva de desconto é 2%a.m., que é equivalente à taxa diária de:
1  dm   1  dd 
30
1
 d d  1  d m  30  1
1
d d  1, 02  30  1  0, 00066031a.d . ou 0, 066031%a.d .
No caso de desconto racional composto a taxa efetiva é igual à taxa corrente de
desconto composto, isto é 0,066031%a.d.
e) Taxa de juros composto de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto.
N
Vcc
1  d 
100
 Vcc  N 1  d   50000 1  0, 03 30  R$ 45.172, 67
n
n
*
A taxa efetiva mensal de juros, im
, é:
*
im

d
0, 03

 0, 030928 ou 3, 0928%a.m.
1  d 1  0, 03
Logo, a taxa efetiva diária de juros, id* , é:
1  i   1  i 
*
m
* 30
d
1
 id*  1  im*  30  1
1
id*  1, 030928  30  1  0, 001016a.d . ou 0,1016a.d .
3) João tem compromissos assumidos, em uma mesma data, com Pedro, através de duas
notas promissórias:
 A nota promissória A com valor de face de R$ 100.000,00 e termo de três meses, à
taxa de 36%a.a.c.m.
 A nota promissória B com valor de face de R$ 50.000,00 e termo de 6 meses, à taxa de
36%a.a.c.m.
Pergunta-se:
I.
Se, decorrido 1 mês da data dos empréstimos, o João propor a Pedro saldar seus
débitos por meio de um único pagamento, com vencimento no fim de 4 meses, qual o
valor que deverá pagar, se Pedro estipular:
a) desconto racional composto à taxa de 4% a.m.?
b) desconto comercial composto à taxa de 4%a.m.?
II.
No momento da negociação com João, Pedro notou que ganharia mais se especificasse
desconto comercial composto para a nota A, e desconto racional composto para a
nota B. Nesta nova condição, quanto que João deveria pagar a Pedro, mantidos a taxa
de desconto de 4% a.m. e um único pagamento com vencimento na época 5?
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
Solução
O primeiro passo é encontrar os valores nominais das notas promissórias A e B; levando
em conta a taxa efetiva de 36%/12= 3%a.m.
N a  100000 1  0, 03  109272, 70
3
Nb  50000 1  0, 03  59702, 61
6
O Esquema que representa a transação é dado por:
onde a data 0 denota a data dos empréstimos.
Item i
a) Dada a relação no desconto racional composto V f 
N
1  i 
n
, temos a seguinte
equação de valor, com data focal na época 5.
P  109272, 70 1  0, 04  
2
59702, 61
 R$175.595, 71
1  0, 04 
b) Dada a relação no desconto comercial composto N 
Vcc
1  d 
n
, temos a seguinte
equação de valor, com data focal na época 5.
P
109272, 70
1  0, 04 
2
 59702, 611  0, 04   R$175.882,97
1
Item ii
Considerando as condições ditadas pelo credor de desconto comercial composto, para
a nota A, e desconto racional composto para a nota B, temos a seguinte equação de
valor, com data focal na época 5 e taxa de desconto de 4%a.m.
P
109272, 70
1  0, 04 
2

59702, 61
 R$175.974,82
1  0, 04 
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Página 46
Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
4) Um empréstimo de R$ 200.000,00 deve ser amortizado em 4 prestações mensais
sucessivas e iguais, a primeira um mês após a concessão do mesmo. Considerando a taxa
corrente de juros de 6%a.m., determinar o valor da prestação mensal para:
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Financeiro
d) Desconto Comercial Composto
Solução
O esquema que representa a transação é dado por:
a) Considerando a relação no desconto racional simples VR 
N
, a seguinte
1 i  n
equação de valor deve ser satisfeita (tomando a época 0 como data focal):
200000 
P
P
P
P



1  0, 06 1 1  0, 06  2 1  0, 06  3 1  0, 06  4
200000  P  0,9434  0,8929  0,8475  0,8065 
P
200000
 R$ 57.301, 66
3, 4903
b) Considerando a relação no desconto comercial simples Vc  N 1  d  n  , a seguinte
equação de valor deve ser satisfeita:
200000  P 1  0, 06 1  P 1  0, 06  2   P 1  0, 06  3   P 1  0, 06  4 
200000  P  0,94  0,88  0,82  0, 76 
P
200000
 R$ 58.823,53
3, 4
c) Considerando a relação no desconto financeiro V f 
N
1  i 
n
, a seguinte equação de
valor deve ser satisfeita:
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
200000 
P
P

P

P

1  0, 06  1  0, 06  1  0, 06  1  0, 06 
200000  P  0,9434  0,8900  0,8396  0, 7921
P
1
2
3
4
200000
 R$ 57.718,39
3, 4651
d) Considerando a relação no desconto comercial composto N 
Vcc
1  d 
n
, a seguinte
equação de valor deve ser satisfeita:
200000  P 1  0, 06   P 1  0, 06   P 1  0, 06   P 1  0, 06 
1
2
3
4
200000  P  0,94  0,8836  0,8306  0, 7807 
P
200000
 R$ 58.225,86
3, 4349
5) Seja o caso de uma loja de departamentos que, para desconto de títulos, qualquer que
seja o prazo, deseja ganhar, em termos reais, a taxa de 5% a.m.
Tendo sido estimado pelo seu Departamento de Operações, que a taxa de inflação mensal,
para
cada
um
dos
3
meses
na
frente,
seja
respectivamente
I1  0,6%, I 2  0,5% e I3  0,8% , pede-se determinar, para operações de desconto
de 1, 2 e 3 meses, as respectivas taxas mensais de desconto
a)
b)
c)
d)
Considerando desconto Racional Simples
Considerando desconto Comercial Simples
Considerando desconto Financeiro
Considerando desconto Composto por Fora
Solução
As taxas aparentes ik* , para k períodos, são:
i1*  1  0, 05   1  0, 006    1  0, 0563 ou 5,63% a.m.
2
i2*  1  0, 05   1  0, 006   1  0, 005    1  0,11466 ou 11,466% a.b.


3
i3*  1  0, 05   1  0, 006   1  0, 005   1  0, 008    1  0,17976 ou 17,976% a.t.


a) Desconto Racional Simples
1  ik   1
N
N
N



i

1  i  n 1  ik  k 1  ik* 
k
*
VR 
k=1
i1
1  i  1  1  0, 0563 1  0, 0563 ou 5, 63%a.m.

*
1
1
1
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
k=2
i2
1  i  1  1  0,11466 1  0, 05733 ou 5, 733%a.m.

*
2
2
2
k=3
i3
1  i  1  1  0,17976 1  0, 05992 ou 5,992%a.m.

*
3
3
2
b) Desconto Comercial Simples
1
VC  N 1  d  n   N 1  d k  k  
N
1
 dk  k  1 
d 
*
1  ik 
1  i1*  k
1
1  ik* 
k
k=1
1
d1 
1
1  0, 0563
1
 0, 0533 ou 5,33%a.m.
k=2
1
d2 
1
1  0,11466 
2
 0, 05143 ou 5,143%a.m.
k=3
1
d3 
1
1  0,17976 
3
 0, 05079 ou 5, 079%a.m.
c) Desconto Financeiro
Vf 
N
1  i 
n

N
1  ik 
k
1
N
* k

i

1

i
 k  1
1  ik* 

k=1
1
i1  1  0,05631  1  0,0563 ou 5,63%a.m.
k=2
1
i2  1  0,11466  2  1  0,05577 ou 5,577%a.m.
k=3
1
i3  1  0,17976  3  1  0,05665 ou 5,665%a.m.
d) Desconto Composto Por Fora
1
N
Vcc
1  d 
n
 N 1  d k 
k
 1 k
N


 d  1 
1  ik*  k  1  ik*  
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
k=1


1
d1  1  
  0, 0533 ou 5,33%a.m.
 1  0, 0563 
k=2
1

2
1
d2  1  
  0, 05283 ou 5, 283%a.m.
 1  0,11466  
k=3
1

3
1
d3  1  
  0, 05361 ou 5,361%a.m.
 1  0,17976  
6) Um título de valor de face de R$ 50.000,00, termo de 30 meses e taxa de juros compostos
de 10%a.a., teve um desconto financeiro de R$ 9.977,54, no seu resgate, considerando a
taxa de juros compostos de 25%a.a.. Qual o prazo da operação em dias?
Solução
Primeiro devemos calcular o valor nominal do título, que é de:
N  C 1  i   50000 1  0,1
n
2,5
 R$ 63.452,94
A taxa de desconto equivalente ao dia é:
1  ia   1  id 
360
1
1
 id  1  ia  360  1  1, 25 360  1  0,00062 ou 0,062%a.d .
Portanto
 1  i n  1 
 1, 00062 n  1 
Df  N 
  9977,54  63452,94 

n
n
 1  i  
 1, 00062  
1
9977,54
1
1


 1  0,157243
n
n
1, 00062  63452,94 1, 00062 
1, 00062 
n
n
 1,18658  n  LN(1, 00062)  LN(1,18658)
0,171075
 276 dias
0, 0006198
7) A razão entre o valor nominal de um título e seu valor descontado é 1,07. Sabendo-se que
o título foi descontado 90 dias antes do seu vencimento, qual a taxa de juros efetiva, linear
e exponencial, mensal utilizada, considerando:
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Financeiro
d) Desconto Composto por Fora
Solução
a) Desconto Racional Simples
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
VR 
i
N
N

 1  i  n  1, 07  1  3i
1  i  n VR
0, 07
 0, 0233 ou 2,33%a.m.
3
No desconto racional simples a taxa de juros corrente é igual a efetiva racional linear.
A taxa efetiva racional exponencial é dada por:
1
1
 N n
iRe     1  1, 07  3  1  0, 0228 ou 2, 28%a.m.
 VR 
b) Desconto Comercial Simples
N
1
1
VC  N 1  d  n  

 1, 07 
VC 1  d  n
1  3d
1
 d  0, 02181a.m. ou 2,181% a.m.
1, 07
taxa efetiva linear
d
0, 02181
icl 

 0, 02334 ou 2,334%a.m.
1  d  n 1  0, 02181 3
taxa efetiva exponencial
 3d  1 
1
1
1

3
 1 n
i 
 1  
  1  0, 02281 ou 2, 281%a.m.
 1 d  n 
 1  0, 02181 3 
e
c
c) Desconto Financeiro
N
N
n
3
Vf 

 1  i   1, 07  1  i 
n
1  i  V f
1
i  1, 07  3  1  0, 0228091 ou 2, 28091%a.m.
d) Desconto Composto por Fora
Vcc
N
1
1
N


 1, 07 
n
n
3
1  d  Vcc 1  d 
1  d 
1
 1 3
d  1 
  0, 0223a.m.
 1, 07 
d
0, 0223
i* 

 0, 02280863 ou 2, 280863% a.m.
1  d 1  0, 0223
8) João é detentor de uma nota promissória com valor nominal de R$ 100.000,00, que vence
no fim de 2 meses e meio. Precisando de dinheiro, João procurou um banco que lhe
ofereceu desconto comercial simples à taxa de 4%a.m.
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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios
Seu amigo Luís, sabendo de sua necessidade, lhe faz uma proposta de desconto racional
simples, garantindo a João que o valor recebido por ele seria, no mínimo, igual ao
montante recebido na proposta do banco.
Qual a maior taxa de juros simples que Luís pode cobrar para honrar sua palavra?
Solução
No banco o valor recebido por João seria de:
VC  N 1  d  n   100000 1  0,04  2,5  R$ 90.000,00
No caso de Luís, o valor da taxa de juros simples máxima que ele poderá cobrar é de:
 100000 
 1

N
100000
90000

  0, 044444 ou 4, 4444%a.m.
VR 
 90000 
i 
1 i  n
1  2,5i
2,5
9) Sendo d a taxa mensal de desconto composto por fora, qual deve ser o seu valor para que
o valor descontado seja igual a 80% do valor nominal, no caso do prazo de 2 anos?
Solução
1
N
Vcc
1  d 
n
 1  d 
n
V
 V n
 cc  d  1   cc 
N
N 
Logo
1
1
 V n
 0,8 N  24
d  1   cc   1  
  0, 009255 ou 0,9255%a.m.
 N 
N 
10) Sendo da = 15%, a taxa anual de desconto composto por fora, determinar qual a taxa
mensal dm de desconto composto por fora, que lhe seja equivalente?
Solução
N
Vcc
1  d 
n
 Vcc  N 1  d 
n
Logo, para 1 ano ou 12 meses o valor de Vcc deve ser o mesmo, ou seja:
1
N 1  d a   N 1  d m   d m  1  d a 12  1
1
12
1
d m  1  0,15 12  1  0, 013457 ou 1,3452%a.m.
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