Uma superfície de revolução é definida como uma superfície obtida pela rotação de
uma curva plana
em torno de uma reta
que pertence ao mesmo plano da
curva.
A
reta
é
chamada
de eixo
de
revolução.
Por exemplo, uma esfera é a superfície de revolução gerada pela rotação de um
círculo
em
torno
de
um
eixo
passando
pelo
seu
centro.
Observe que a interseção de qualquer plano perpendicular ao eixo
com a
superfície de rotação é uma circunferência ou um ponto. A figura acima mostra
uma parte de uma superfície obtida pela rotação da curva
do plano
em
torno
do
eixo .
Para achar a equação da superfície, considere um ponto genérico
superfície observando que
é obtido pela rotação de algum ponto
original
. Sendo
sua coordenada
, então
é zero, de modo que
de modo que
, sendo
. Concluímos que, se
de revolução, então
qualquer ponto
está no plano
. Assim,
pertencem a geratriz.
é um ponto dado na curva geratriz
tal que
,
pertence à superfície
ou
Reciprocamente, se
de raio
. Como
na
da curva
, então
pertence a um círculo horizontal
com centro em
.
Concluímos então que a equação da superfície gerada pela rotação da curva
no
plano
em torno do eixo é obtida substituindo a variável
na equação
de
pela expressão
.
Exemplo 1: A semi-circunferência
é girada em torno do eixo
formar a superfície hemisférica. Determine a equação desta superfície.
Resolução: Substituindo
na equação
por
para
, temos
Observação 1: Elevando ao quadrado a expressão acima, temos a equação da
superfície esférica de raio
, ou seja,
Exemplo 2: A parábola
no plano
é girada em torno do eixo
formar uma superfície de revolução. Ache a equação desta superfície.
Resolução: Substituindo
na equação
por
para
, temos
Esta superfície é chamada de parabolóide de revolução. Da mesma forma, uma
superfície de revolução obtida pela rotação de um hipérbole ou uma elipse em torno
de um de seus eixos de simetria é chamada de hiperbolóide de
revolução ou elipsóide de revolução.
Observação 2: É claro que as equações das superfícies de revolução gerada pela
rotação
de
uma
curva
em
torno
dos
eixos
e
são
obtidas
substituindo
em
por
substituindo
em
por
e
.
Referência Bibliográfica:
- Munem, Mustafa A. e Foulis, David J. Cálculo Vol. 1