PUCRS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE
EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE
Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,y) é definida por df =
fx(x,y)dx + fy(x,y)dy onde fx(x,y) e fy(x,y) denotas as derivadas parciais de f(x,y) em
relação a x e y, respectivamente. Por exemplo, a diferencial de f(x,y) = x2 + y2 é df = 2xdx
+ 2ydy . A diferencial pode ser interpretada como uma aproximação linear de f .
Geometricamente, a superfície descrita pelo gráfico de f(x,y) é aproximada localmente pelo
plano tangente a superfície no ponto (x,y). Nas aplicações, permite cálculos aproximados
de variações de uma função f(x,y) correspondentes à variação do ponto (x,y) até o ponto (x
+ dx, y+ dy ) .
Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe
uma função f(x,y) tal que fx(x,y)=M(x,y) e fy(x,y)=N(x,y) .
Exemplo 1. A expressão 2x dx + 2y dy é uma diferencial exata, pois é a diferencial de
f(x,y) = x2 + y2 . De fato, fx(x,y)=2x e fy(x,y) = 2y .
A equação diferencial de primeira ordem M(x,y) +
N(x,y) y’ = 0 pode ser escrita na
dy
forma equivalente M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 , usando a notação y’ =
. A equação
dx
diferencial M(x,y) + N(x,y)y’ = 0 ( ou sua forma equivalente ) é chamada de uma
equação diferencial exata se existe uma função f(x,y) cuja diferencial coincide com a forma
M(x,y) dx + N(x,y) dy . Neste caso, a equação f(x,y) = c , onde c é uma constante
arbitrária, é a solução geral da equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Por exemplo, a
equação 2xdx + 2ydy = 0 é uma equação diferencial exata em todo o conjunto R2, pois
f(x,y) = x2+y2 satisfaz fx(x,y) = 2x e fy(x,y) = 2y .
Teorema. Uma equação diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 é exata numa região R
do plano (x,y) se e somente se nos pontos da região R, valer a igualdade
My(x,y) = Nx(x,y)
(1)
em cada ponto (x,y) de R. Isto é, existe uma função f(x,y) tal que fx(x,y)= M(x,y) e fy(x,y) =
N(x,y) em todo ponto da região R se somente se a igualdade (1) for satisfeita. Por isto, a
igualdade (1) pode ser interpretada como um teste de exatidão.
Resolução de uma equação exata. Supondo que a equação M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
seja exata, existe uma função f(x,y) tal que fx(x,y) = M(x,y) e fy(x,y) = N(x,y). Logo,
integrando a primeira igualdade em relação a x, resulta:
1
f(x,y) =
∫
M(x,y)dx + k(y)
(2)
onde k(y) denota uma função que só depende de y. Derivando em relação a y, obtemos
∂
fy(x,y) = N(x,y) . Usando a notação
para denotar a derivada parcial em relação a y,
∂y
vem:
∂
∫
∂y
M(x,y) + k’(y) = N(x,y)
(3)
Da equação (3), podemos obter k(y) por integração em relação a y. Uma vez obtida esta
função, a solução da equação diferencial é f(x,y) = c.
Exemplo 2 . Verificar que a equação 2x + y2 + 2xyy’ = 0 é exata e resolvê-la.
Solução. M(x,y) = 2x + y2 e N(x,y) = 2xy ; temos My(x,y) = 2y e Nx(x,y) = 2y , logo
a equação diferencial 2x + y2 + 2xyy’ = 0 é exata para todo ponto (x,y) do R2 .
Existe uma função f(x,y) tal que fx(x,y) = 2x + y2 . De acordo com a equação (2), vem :
f(x,y) =
∫
(2x+y2)dx + k(y) = x2 + xy2 + k(y)
(4)
Derivando em relação a y e igualando a N(x,y) , resulta :
∂ 2
(x + xy 2 + k(y))
∂y
= 2xy
(5)
Logo: 2xy + k’(y) = 2xy , isto é , k’(y) = 0. Portanto, k(y) é uma função constante , já que
sua derivada é nula. Assim, substituindo na equação (4), vem
f(x,y) = x2 + xy2 + k
(6)
Conclusão: a solução da equação diferencial 2x + y2 + 2xyy’ = 0 é x2 +xy2 = c , como
pode ser verificado diretamente, pela aplicação das regras de derivação. Esta equação pode
ser interpretada como uma curva de nível da função f(x,y) = x2 +xy2 .
Exemplo 3. Mostrar que a equação diferencial x2y3 + x(1+y2)y’=0 não é exata.
Solução. De fato, temos M(x,y) = x2y3 e N(x,y) = x(1+y2) . Então: My(x,y) = 3x2y2 ≠
Nx(x,y) = 1 + y2 , logo, a equação não é exata.
2
FATOR INTEGRANTE
Vamos mostrar através de um exemplo o conceito de fator integrante.
Exemplo 4. Mostrar que a função
µ (x,y) =
1
xy3
é um fator integrante da equação
diferencial do exemplo 3.
x2y3 + x(1+y2)y’=0 que não é exata.
1
Multiplicando esta equação pela função µ (x,y) =
dada acima, vem :
xy3
Solução. A equação do exemplo 3
é
1
[ x2y3 + x(1+y2)y’ ] = 0
xy3
(7)
Isto é, a equação diferencial resultante após a multiplicação é
 1 1
x +  3 +  y’ = 0
y
y
(8)
e N(x,y) = y–3 + y–1, logo, a equação (8) é uma equação
1
diferencial é exata, pois My(x,y) = 0 e Nx(x,y) = 0. Por isto, a função µ (x,y) =
é
xy3
chamada de fator integrante da equação x2y3 + x(1+y2)y’=0, já que após a multiplicação da
equação por µ a equação resultante é exata. Isto é, uma função µ é um fator integrante de
uma equação diferencial se, após a multiplicação da equação por µ , resultar uma equação
diferencial exata. Quando for possível determinar o fator integrante, podemos aplicar a
técnica descrita anteriormente de resolução das equações exatas. Nos casos mais simples, o
fator integrante µ pode ser uma função somente de x ou somente de y. Vamos mostrar
como podemos verificar se tais fatores existem. Por simplicidade, vamos escrever
M=M(x,y) e N=N(x,y) e usar a notação Mdx +Ndy = 0 para representar a equação.
Temos, agora : M(x,y) = x
Fator integrante que depende somente de x Isto é, µ =
equação Mdx + Ndy = 0 não seja exata e que o fator
multiplicando por esta função , resulta µ Mdx + µ Ndy
equação exata, a igualdade ( µ M )y = ( µ N )x deve ser
regras de derivação, vem : µ My = µ xN + µ N x , pois
µ (x) . Suponhamos que uma
integrante seja µ = µ (x) ;
= 0 . Supondo ser esta uma
satisfeita. De acordo com as
µ é uma função que depende
somente de x. Resolvendo esta equação em µ x , usando a notação µ x =
dµ
dx
resulta :
3
dµ M y − N x
=
µ
dx
N
(9)
A equação (9) estabelece uma condição para que exista o fator integrante que dependa só
My − Nx
de x: o quociente
deve depender somente de x. Além disto, caso esta condição
N
seja satisfeita, devemos resolver a equação diferencial (9), que é uma equação diferencial
separável, para determinar o fator µ = µ (x) . Depois de calculado o fator integrante µ =
µ (x), nós devemos multiplicar a equação Mdx + Ndy = 0 por µ . A equação obtida
então é exata e pode ser resolvida pela técnica vista inicialmente.
Exemplo 5. Encontrar um fator integrante para a equação diferencial
(3xy + y2 ) + ( x2 + xy) y’ = 0
(10)
e resolver a equação .
Solução. M= M(x,y) = 3xy + y2
My = 3x + 2y
N= N(x,y) = x2 + xy
Nx = 2x + y
A equação não é exata, pois My ≠ Nx .
Teste para o fator integrante : µ = µ (x)
O quociente é :
My − Nx
N
=
3x + 2y − (2x + y)
x+y
1
=
=
2
x + xy
x(x + y) x
, que depende
somente de x. Logo, existe um fator µ = µ (x) . Devemos resolver a equação
dµ 1
= µ ,
dx x
dµ dx
=
. Integrando ambos os lados , resulta Ln | µ | = Ln | x | , desprezando a
µ
x
constante de integração. Um fator integrante é µ = x. Multiplicando ambos os lados da
equação diferencial por µ = x , resulta x [ (3xy + y2 ) + ( x2 + xy) y’ ] = 0 , ou seja,
ou seja,
(3x2y + x y2 ) + ( x3 + x2y) y’ = 0
(11)
Temos, agora : M(x,y) = 3x2y + xy2
N(x,y) = x3 + x2y . Logo, My = 3x2 + 2xy e Nx
2
= 3x + 2xy , a equação (11) é exata. Existe uma função f(x,y) tal que fx(x,y) = 3x2y +xy2 ,
1
portanto, integrando em relação a x, resulta f(x,y) = x3y + x2y2 + k(y) ; derivando em
2
relação a y , e igualando a N, obtemos fy = x3 + x2y + k’(y) = x3 + x2y , donde k’(y) = 0
1
,isto é, k(y) é uma função constante, digamos k. Assim, f(x,y)= x3y + x2y2 + k.
2
4
Conclusão: a solução da equação diferencial (3x2y + x y2 ) + ( x3 + x2y) y’ = 0 é dada pela
1
1
equação x3y + x2y2= c . Observemos que a função f(x,y) = x3y + x2y2 + k é uma
2
2
2
2
3
função tal que fx(x,y) = 3x y + xy = M(x,y)
e fy(x,y) = x + x2y definidos na
equação (11) . Se dividirmos por x , obtemos as funções definidas pela equação (10).
Assim, a solução é a mesma se x for diferente de zero.
Fator integrante que depende somente de y. Se o quociente
Nx - M y
= Q , onde Q é
M
uma função apenas de y , então a equação diferencial M(x,y)+ N(x,y)y’ = 0 tem um fator
integrante da forma µ (y) = exp ∫ Q( y ) dy
Exemplo. Consideremos a equação dx + (x/y – sen(y))dy = 0 . Temos M(x,y) =1 e
N(x,y) = x/y – sen(y) . Logo, My(x,y) = 0 e Nx(x,y) = 1/ y . Logo, o quociente fica :
Nx - M y
M
=
1/ y − 0
= 1 / y . Isto é , Q(y) = 1/ y . Assim, um fator integrante é
1
1
y
µ (y ) = exp ∫ dy = exp(Ln(y)) = y . Multiplicamos a equação por y , obtendo :
y dx + (x – y sen(y))dy = 0, ou seja, M(x,y) = y e N(x,y) = x – ysen(y) . A equação
agora é exata, pois My(x,y) = 1 = Nx(x,y) . Logo, existe f(x,y) tal que :
f(x,y) =
∂
(
∂y
∫
ydx + k(y) = yx + k(y) . Derivando em relação a y :
yx + k(y)) = x – ysen(y) , isto é, x + k’(y) = x – ysen(y) . Então :
k(y) = –
∫
ysen(y)dy = – ( sen(y) – ycos(y) ) = ycos(y) – sen(y)
A solução da equação diferencial é : yx + ycos(y) – sen(y) = c.
Conclusão: as equações exatas podem ser resolvidas por técnicas bastante simples,
bastando para isto, usar uma integral indefinida e uma derivada parcial. Deste modo, para
equações não lineares ( e também para equações lineares de coeficientes não-constantes) ,
esta é mais uma técnica alternativa de resolução de equações diferenciais ordinárias. O
5
fator integrante que depende de x e y não será estudado aqui. Nas referências bibliográficas,
o leitor poderá estudar este caso.
Referências :
Boyce & Di Prima. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.
Editora LTC, Rio de Janeiro, 2002.
Zill, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. Editora Thomson,
São Paulo , 2003.
Exercícios .
Determine se as equações nos problemas 1 até 4 são ou não exatas. Para as exatas, encontre
a solução.
1. ( 2x+ 3 ) + ( 2y – 2) y’ = 0
2. (2x + 4y ) + ( 2x – 2y ) y’ = 0
dy
ax + by
3.
=−
dx
bx + cy
x
4. (e sen(y) – 2ysen(x))dx + (excos(y) +2cos(x))dy = 0
Resolva o problema de valor inicial dado e determine em que intervalo a solução está
definida.
5. (2x – y ) dx + ( 2y – x ) dy = 0 , y(1) = 3 .
Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este
valor de b.
6. (xy2 + bx2y)dx + ( x + y )x2dy = 0
Verifique que a função dada é um fator integrante e resolva a equação dada nos
problema de 7 a 10.
7. ( 3x2y+ 2xy + y3)dx +( x2 +y2 ) dy = 0
,
µ (x) = e 3x
,
µ (x) = e –x
8. y’ = e2x + y – 1
9. [ 4(x3/y2) + (3/y) ] dx + [ 3(x/y2) + 4y ] dy = 0
,
µ (y) = y2
10. ex dx + ( ex cot(y) + 2ycosec(y) )dy = 0
, µ (y) = sen(y)
Respostas :
1. x2 + 3x + y2 – 2y = c
2. Não é exata
3. Não é exata
4. exsen(y) + 2ycos(x) = c ; também y = 0 .
5. y = [ x + 28 − 3x 2 ]/2 , | x | < 28 / 3
6. b = 3 ; x2y2 + 2x3y = c
7. ( 3x2 y + y3)e3x = c
8. y = cex + 1 + e2x
9. x4 + 3xy + y4 = c
10. exsen(y) + y2 = c
6