5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 12
Estática dos Fluidos (continuação)
Aplicações
Consideremos a equação (42) da aula 11 para um líquido
incompressível
p ( z 2 ) = p ( z1 ) + ρgh ,
(1)
onde z2 está a uma profundidade maior que z1 e a densidade ρ do
líquido é tomada como constante. Como ρ e g são constantes, esta
equação implica que a diferença de pressão entre dois pontos do
líquido depende apenas da diferença de altura entre esses dois
pontos e não da forma do recipiente (veja a figura abaixo). Esta é lei
de Stevin, enunciada na aula 11.
1
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Aula 12
Imagine agora que o valor da pressão na superfície do líquido do
desenho acima seja aumentado por um valor ∆p, por exemplo, pela
ação de um pistão acoplado de maneira justa à boca do recipiente. A
equação (1) nos diz então que o novo valor da pressão no ponto 1 é
p1novo = ( p0 + ∆p ) + ρgh1 = ( p0 + ρgh1 ) + ∆p = p1velho + ∆p ,
(2)
ou seja, quando a pressão na superfície do líquido aumenta por um
valor ∆p a pressão em qualquer ponto no interior do líquido também
aumenta por ∆p.
A equação (1) também pode ser usada para calcular o aumento da
pressão no ponto 2 provocado pelo aumento de ∆p na pressão no
ponto 1:
p2novo = ( p1 + ∆p) + ρgh2 = ( p1 + ρgh2 ) + ∆p = p2velho + ∆p .
(3)
Quando um ponto do líquido sofre uma variação de pressão ∆p,
todos os pontos do líquido sofrem a mesma variação de pressão.
Este fenômeno foi observado experimentalmente por Pascal em
1653 e é chamado de princípio de Pascal. O princípio de Pascal
pode ser enunciado como: Se produzirmos uma variação de pressão
em um ponto qualquer de um líquido em equilíbrio, essa variação se
transmite integralmente a todo o líquido e às paredes do recipiente.
2
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Uma aplicação importante do princípio de Pascal é o elevador
hidráulico, mostrado na figura abaixo.
As duas aberturas do dispositivo estão equipadas com pistões que
podem se mover verticalmente e o seu interior está cheio com um
fluido, por exemplo, um óleo. Aplica-se uma força F1 sobre o pistão
da abertura pequena, que tem área A1. A pressão gerada neste ponto
é P = F1/A1. Essa pressão é transmitida integralmente a todos os
pontos no interior do fluido, chegando ao pistão da abertura grande
que tem área A2. A pressão sobre este pistão é igual à pressão sobre
o outro, de maneira que:
3
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F1 F2
=
⇒
A1 A2
F2 =
A2
F1
A1 .
(4)
Como A1 < A2, a força exercida sobre o pistão grande é maior do que
a força aplicada sobre o pistão pequeno. O elevador hidráulico é um
equipamento que multiplica o valor de uma força, assim como a
alavanca. O fator de multiplicação, no caso do elevador hidráulico, é
a razão entre as áreas A2/A1.
Outra consequência do princípio de Pascal é o chamado princípio
dos vasos comunicantes. Seja um recipiente como o da figura
abaixo, formado por tubos com várias formas que se comunicam
entre si. As extremidades superiores dos tubos estão abertas e em
contato com o ar a pressão atmosférica p0.
Segundo a equação (1), a altura do líquido em cada tubo é
4
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h=
p − p0
ρg ,
(5)
onde p é a pressão no fundo do recipiente. Considerando que todos
os pontos no fundo do recipiente estão à mesma pressão, a equação
acima implica que a altura do líquido é a mesma em todos os tubos.
A equação (1) também implica que a pressão tem o mesmo valor
para todos os pontos do recipiente que estão à mesma altura z,
pz = p − ρgh .
(6)
O princípio de Pascal encontra muitas aplicações em instrumentação
física e engenharia mecânica. Dois importantes instrumentos usados
para medir pressão baseados neste princípio são o barômetro de
mercúrio e o manômetro.
O barômetro de mercúrio está ilustrado na figura abaixo.
5
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Ele consiste de um tubo longo de vidro fechado em uma
extremidade e contendo mercúrio. A extremidade aberta do tubo é
tampada com o dedo e ele é invertido dentro de um recipiente que
contém mercúrio. Quando o dedo é retirado, mercúrio escoa do tubo
para o recipiente até que o peso da coluna de mercúrio dentro do
tubo seja equilibrado pela pressão atmosférica p0. A coluna de
mercúrio baixa até uma altura h, deixando um bom vácuo na parte
superior do tubo (p ≅ 0). A aplicação da equação (1) ao problema
nos dá
p0 − p = ρgh ,
onde ρ é a densidade do mercúrio. Fazendo p = 0 temos.
p0 = ρgh .
(7)
Portanto, o barômetro de mercúrio mede a pressão atmosférica
diretamente a partir da altura da coluna de mercúrio.
O tipo de manômetro mais simples é o chamado manômetro de tubo
aberto. Ele está ilustrado na figura abaixo. O tubo em forma de U
contém um líquido de densidade conhecida ρ (por exemplo, água ou
mercúrio). Uma das extremidades do tubo está aberta para a
atmosfera (pressão p0) e a outra está em contato com um recipiente
cuja pressão p queremos medir.
6
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A pressão na base do tubo é a mesma em todos os seus pontos.
Portanto, a equação (1) nos dá
p0 + ρgy2 = p + ρgy1 ⇒
⇒ p − p0 = ρg ( y2 − y1 ) = ρgh .
(8)
O manômetro não mede a pressão p diretamente, mas sim a
diferença entre p e a pressão atmosférica. Essa diferença é chamada
de pressão manométrica:
p − p0 = pressão manométrica.
Note que a pressão manométrica pode ser negativa. Basta que a
pressão p no recipiente seja menor que a pressão atmosférica, como
no caso em que nela haja um vácuo parcial.
7
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Empuxo
Outro fenômeno que ocorre em fluidos e é bem conhecido de vocês
é o empuxo. O princípio de Arquimedes, descoberto pelo
matemático e físico grego Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.),
estabelece que quando um corpo está parcial ou totalmente imerso
em um fluido, o fluido exerce sobre o corpo uma força de baixo para
cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo (veja a
figura a seguir).
O que determina se um corpo flutua ou afunda num fluido é a
relação entre a sua densidade e a do fluido.
Se a densidade do corpo for maior que a do fluido, o corpo afunda
até o fundo do recipiente que contém o fluido. Se a densidade do
corpo for menor que a do fluido, o corpo flutua parcialmente
submerso como o da figura acima. Se a densidade do corpo for igual
à do fluido, ele flutua totalmente submerso no interior do fluido.
8
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Para provar o princípio de Arquimedes, vamos usar a forma integral
da condição de equilíbrio hidrostático (equação 29) da aula passada.
Consideremos um corpo de volume V e área superficial S com
qualquer forma e densidade ρc. Vamos supor, para simplificar, que:
1. O corpo é incompressível, isto é, a sua forma e o seu volume
não são alterados quando ele está imerso em um fluido. Isto é
válido para a maioria dos corpos sólidos, como a coroa de ouro
da história da descoberta do princípio de Arquimedes1, mas
não para corpos feitos de borracha ou certos plásticos, por
exemplo.
2. O corpo não absorve parte do fluido no qual está imerso.
Portanto, não consideraremos uma situação como, por
exemplo, a de um pedaço de pão flutuando num prato de sopa.
Essas simplificações não precisam ser feitas para que se possa
demonstrar o princípio de Arquimedes, mas o tratamento físico
ficaria mais complicado e esse não é o nosso objetivo aqui.
Vamos supor que o corpo é colocado em um fluido de densidade ρf e
que atinge o equilíbrio quando está totalmente submerso no fluido.
A condição de equilíbrio hidrostático é então
1
Leia a história no livro do Nussenzveig, por exemplo.
9
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r
r
r
Ftotal = ∫ fdV − ∫ pdS = 0 ,
V
(9)
S
r
f
onde
é a densidade da força gravitacional sobre o corpo e p é a
pressão exercida pelo fluido sobre a superfície do corpo. Podemos
escrever a equação acima como
r
r r
Ftotal = Pc + E = 0 ,
(10)
r
onde Pc é a força da gravidade atuando sobre o corpo, isto é, seu
peso
r
r
Pc = ∫ ρc gdV ,
(11)
V
r
e E é a força feita pelo fluido sobre o corpo, isto é, o empuxo
r
r
E = −∫ pdS .
(12)
S
r
r
r
r
Note que se Pc > E o corpo afunda e se Pc < E o corpo sobe.
Como o corpo está em equilíbrio dentro do fluido, do ponto de vista
das moléculas do fluido não importa qual o material que constitui o
volume submerso. A pressão feita pelas moléculas que colidem
contra a superfície do volume é a mesma, independentemente do
material do qual é feito o corpo, desde que haja equilíbrio.
10
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Em particular, se todo o espaço ocupado pelo corpo fosse
substituído por fluido idêntico ao fluido onde ele está imerso, o
sistema continuaria em equilíbrio (veja a figura abaixo).
Neste caso, a condição de equilíbrio (equação 9) nos dá
r
r
r
Ftotal = ∫ ρ f gdV − ∫ pdS = 0 ,
V
(13)
S
onde a integral de volume é o peso do fluido que ocupa o mesmo
volume do corpo
r
r
Pf = ∫ ρ f gdV ,
(14)
V
e a integral de superfície é igual à da equação (9). Então,
r
r
r
r
− ∫ pdS = −∫ ρ f gdV ⇒ E = −Pf .
S
(15)
V
O empuxo aponta para cima e seu valor é igual ao peso do fluido
deslocado pelo corpo. Este é o princípio de Arquimedes.
Substituindo (15) em (9), a condição de equilíbrio fica
11
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r
r
r
r
Ftotal = ∫ ρc gdV − ∫ ρ f gdV = ∫ (ρc − ρ f )gdV = 0 .
V
V
(16)
V
Para que o corpo fique em equilíbrio totalmente imerso no fluido é
necessário que a sua densidade ρc seja igual à densidade do fluido ρf.
Supondo que o campo gravitacional é constante, o que é uma
aproximação muito boa para as vizinhanças da superfície da terra, a
condição de equilíbrio acima torna-se
 r
r
g ∫ ρc dV − ∫ ρ f dV  = g (M c − M f ) = 0 ,
V
V

(17)
ou seja, o corpo só consegue ficar em equilíbrio totalmente imerso
no fluido se a sua massa for igual à massa do fluido deslocado por
ele.
Animais marinhos, como peixes e moluscos, possuem ossos porosos
ou bexigas nadadeiras cuja quantidade de ar em seu interior pode ser
controlada para que a massa do animal seja variável e permita que
ele mantenha a condição acima sempre válida. Submarinos, por
outro lado, ajustam sua massa para se manter em equilíbrio quando
submersos bombeando água para dentro ou para fora de tanques de
lastro (ou de balastro).
12
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Para provar o princípio de Arquimedes não é preciso supor que o
corpo está totalmente submerso no fluido como fizemos acima.
Podemos supor que ele está flutuando apenas com parte do seu
volume submersa no fluido e que a outra parte está em contato com
outro fluido, como o ar, por exemplo (veja a figura abaixo).
Nesse caso, a condição de equilíbrio (equação 9) continua igual, só
que agora a integral que dá a força superficial tem dois termos,
r
r
r
r
Ftotal = ∫ fdV − ∫ pa dS − ∫ p f dS = 0 ,
V
S1
(18)
S2
13
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onde S1 é a área superficial do corpo em contato com o ar, S2 é a área
superficial do corpo em contato com o fluido, pa é a pressão do ar e
pf é a pressão do fluido.
Assim como antes, a integral pela superfície do corpo imersa no
fluido é o empuxo do fluido,
r
r
E = − ∫ p f dS ,
(19)
S2
de maneira que a equação (18) implica que
r
r
r
r
r
E = −∫ fdV + ∫ pa dS = −Pc + ∫ pa dS .
V
S1
(20)
S1
Quando um corpo flutua em equilíbrio parcialmente submerso em
um fluido, o empuxo feito pelo fluido é igual ao peso do corpo mais
o “peso extra” resultante da pressão que o ar faz sobre a parte do
corpo que está fora do fluido.
Note que a pressão feita pelo ar sobre o corpo (o “peso extra”
mencionado acima) é necessária para que haja equilíbrio. Como este
caso em que o corpo flutua parcialmente submerso no fluido só
ocorre quando a densidade do corpo é menor que a do fluído, se não
houvesse a pressão do ar (como no vácuo, por exemplo) o empuxo
feito pelo fluido empurraria o corpo totalmente para fora do fluido.
14
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O mesmo raciocínio feito anteriormente, em que se imagina que o
volume do corpo dentro do fluido é substituído por fluido, pode ser
repetido agora para mostrar que, no equilíbrio,
r
r
∫ ρ f gdV − ∫ p f dS = 0 ,
V2
(19)
S2
onde V2 é o volume do corpo encerrado por S2, isto é, o volume do
corpo dentro do fluido. Esta equação corresponde novamente ao
princípio de Arquimedes: o empuxo feito pelo fluido é igual ao peso
do fluido deslocado pelo corpo.
Na prova do princípio de Arquimedes feita acima foi implicitamente
assumido que a massa do corpo não é grande o suficiente para que o
seu campo gravitacional altere a distribuição de massa do fluido. Em
geral, para todas as aplicações de interesse prático na terra, o efeito
da força gravitacional do corpo sobre as moléculas do fluido é
desprezível. Porém, se quisermos estudar o que acontece quando um
corpo com a massa da Terra cai sobre a atmosfera de Júpiter temos
que considerar este efeito. Podemos imaginar o que acontece: o
fluido nas vizinhanças do corpo é “puxado” em direção a ele e isso
resulta num aumento da força de empuxo feita pelo fluido sobre o
corpo.
15
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Tensão superficial
Outro fenômeno típico de fluidos é a tensão superficial. Embora a
interface
entre
dois
macroscopicamente,
materiais
como
uma
possa
ser
considerada,
superfície
matemática
bidimensional, ela é feita por moléculas com propriedades físicas. O
número de moléculas numa camada, por mais fina que ela seja, é
muito grande. Por causa disso, as propriedades físicas dessas
moléculas
geram
propriedades
físicas
detectáveis
macroscopicamente, como energia e força superficial. Daí a
necessidade de considerar efeitos devidos às moléculas da superfície
de um fluido mesmo quando se adota um tratamento macroscópico
contínuo como estamos fazendo.
O tratamento adequado dos fenômenos de superfície requer o uso de
modelos microscópicos para a matéria e este não é o nosso propósito
neste curso. O que vamos fazer aqui, procurando entender a origem
da tensão superficial, é usar um modelo tri-dimensional bastante
elementar de um fluido em que as moléculas estão colocadas nos
vértices de uma rede cúbica de lado L (veja a figura a seguir).
Para simplificar ainda mais o modelo, vamos supor que a superfície
do fluido faz interface com o vácuo.
16
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Cada molécula no interior do fluido possui seis ligações com suas
moléculas vizinhas (a figura mostra um exemplo em vermelho), mas
as moléculas da superfície possuem apenas cinco ligações (a figura
mostra um exemplo em laranja).
Vamos supor que a energia de ligação total de uma molécula no
interior do fluido, devido às suas seis ligações, é –ε. Para saber por
que o valor é negativo, olhe para o gráfico da energia potencial da
interação intermolecular da página 2 da aula 11. Como uma
molécula na superfície tem uma ligação a menos do que as seis de
uma molécula no interior, a sua energia de ligação total é –(5/6)ε.
17
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Este valor pode ser escrito como –ε + ε/6, ou seja, a falta de uma
ligação em uma molécula da superfície é equivalente à adição de
uma energia positiva igual a ε/6 à energia de ligação total de uma
molécula no interior. Em outras palavras, para cada molécula da
superfície deve-se acrescentar uma quantia ε/6 à energia total da
superfície em relação à energia de uma camada interna de
moléculas.
Como a densidade de moléculas na superfície bi-dimensional do
nosso modelo simples é n = 4/L2, a superfície possui uma densidade
de energia extra em relação à densidade de energia de uma camada
interna dada por
α=
4ε
6 L2 ,
(18)
que é chamada de densidade de energia superficial. A unidade de α
é J/m2 ou N/m, isto é, unidade de força por comprimento.
Para se aumentar a área da superfície por uma quantidade
infinitesimal dA é necessário realizar um trabalho igual à quantidade
de energia contida nessa área extra,
dW = αdA .
(19)
18
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Como este trabalho é positivo, a superfície opõe uma resistência à
sua extensão. É como se a superfície tivesse uma tensão interna.
Esta é a tensão superficial.
Formalmente, a tensão superficial γ é definida como a força por
unidade de comprimento que atua ortogonalmente sobre qualquer
linha imaginária da superfície. Dada uma linha imaginária de
comprimento L da superfície de um fluido (veja a figura abaixo), a
existência da tensão superficial γ faz com que as moléculas dessa
linha estejam submetidas a uma força total dada por
F = γL .
(20)
Imagine que uma força F atuando ortogonalmente sobre uma linha
de comprimento L da superfície estica a superfície por uma quantia
dS uniforme por todo o comprimento L. O resultado disso é que a
área da superfície aumenta por dA = LdS (veja a figura a seguir).
19
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Segundo a equação (19), o trabalho necessário para provocar esse
aumento de área é
dW = αdA = αLdS .
(20)
Também podemos expressar o trabalho acima como o produto da
força F pelo deslocamento da linha,
dW = FdS = γLdS .
(21)
Igualando as duas expressões,
γ =α .
(22)
A tensão superficial é idêntica à densidade de energia superficial.
Isso também se reflete no fato de que as unidades das duas são
iguais a N/m.
O fato de que a densidade de energia superficial α é positiva implica
que as áreas das interfaces entre fluidos tendem a assumir os
menores valores possíveis (para minimizar a energia superficial)
consistentes com as demais forças atuando sobre os fluidos, como
pressões e a força da gravidade.
20
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É por isso que gotículas de orvalho e bolhas de sabão são
aproximadamente esféricas.
A pressão no interior de uma gota de água ou de uma bolha de sabão
é maior que a pressão fora, caso contrário ela murcharia e
desapareceria. Podemos calcular a diferença entre a pressão no
interior de uma gota e a pressão exterior da seguinte maneira:
Imaginemos um corte passando pelo centro da gota (veja a figura
abaixo).
A fronteira circular da uma das metades da gota tem comprimento
2πr, onde r é o raio da gota. Portanto, a força total devida à tensão
superficial na gota é
21
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F = 2πrγ .
(23)
Por outro lado, existe uma força exercida de dentro para fora da gota
devida à diferença entre a pressão no interior e a pressão no exterior.
Em cada ponto da superfície da gota, a força devida a essa diferença
de pressão é perpendicular à superfície e dirigida para fora (veja a
figura anterior). Quando essas forças são somadas vetorialmente, as
componentes verticais se cancelam e só resta a soma das
componentes horizontais, que aponta para a direita na figura
anterior.
O valor dessa força é igual ao produto da diferença de pressão pela
área da seção reta da esfera, πr2:
F = ∆PA = πr 2 ∆P,
(24)
onde ∆P é a pressão dentro da gota menos a pressão fora dela. Como
a gota está em equilíbrio, a força devida à diferença de pressão deve
ser igual à força devida à tensão superficial. Então:
πr 2 ∆P = 2πrγ ⇒
⇒ ∆P =
2γ
.
r
(25)
Este resultado mostra que a diferença de pressão é inversamente
proporcional ao raio da gota esférica.
22
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Notem que o resultado acima vale tanto para uma gota de água no ar
(uma gotícula de chuva, por exemplo) como para uma bolha de ar na
água (uma bolha de ar em uma garrafa de água com gás, por
exemplo).
No caso de uma bolha de sabão a situação é um pouco mais
complicada, pois existem duas interfaces: (i) entre o ar no interior da
bolha e a superfície interna feita de água misturada a sabão; e (ii)
entre a superfície externa, também feita de água e sabão, e o ar
externo à bolha.
Como essas duas interfaces são esféricas, de mesmo raio e entre os
mesmos materiais (ar e água ensaboada), podemos considerar que
cada uma gera uma diferença de pressão igual a (25), de maneira
que a diferença de pressão total entre o interior da bolha de sabão e o
exterior é
∆P =
4γ
.
r
(26)
O valor experimental de γ para a interface entre o ar e a água é de
0,072 N/m (a 25oC e com o ar a 1 atm). Logo, para uma gota de
água de 1 mm de diâmetro no ar a diferença de pressão entre o
interior da gota e o ar no exterior é:
23
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∆P =
2 × (0,072 N/m )
= 288 Pa .
0,5 × 10−3 m
Este é um excesso de pressão muito pequeno em comparação com a
pressão atmosférica (~ 105 Pa).
Quando um líquido está contido em um recipiente, as moléculas da
sua superfície próximas à parede do recipiente são atraídas para a
parede. Esta força atrativa é chamada de adesão. Ao mesmo tempo,
essas moléculas também estão sujeitas à força atrativa de coesão
exercida pelas demais moléculas do líquido, que as puxam na
direção oposta (para o interior do líquido).
Se a força adesiva for maior que a força coesiva, a superfície do
líquido se curva para cima em contato com a parede do recipiente
(veja a figura (a) abaixo). No caso contrário, a superfície do líquido
se curva para baixo (veja a figura (b) abaixo).
24
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O ângulo de contato θ na figura acima é o ângulo entre a parede e a
tangente à interface entre o ar e o líquido no ponto de contato da
interface com a parede. Por convenção, ele é medido a partir do
interior do líquido.
Note que se θ < 90o (ângulo agudo) teremos um caso em que a
adesão é maior que a coesão, como o da figura (a) acima, e a
superfície do líquido se curva para cima; já se θ > 90o (ângulo
obtuso) teremos um caso em que a coesão é maior que a adesão,
como o da figura (b) acima, e a superfície do líquido se curva para
baixo.
O ângulo de contato θ é uma constante que depende das
propriedades dos três materiais envolvidos: o fluido no interior do
recipiente (indicado por líquido na figura), o fluido onde o recipiente
e o líquido estão (indicado por ar na figura) e o material do qual é
feito o recipiente.
Por exemplo, o ângulo de contato entre a interface água-ar e o vidro
é de aproximadamente 10o (este é um ângulo muito difícil de ser
medido e vocês vão encontrar diferentes valores em diferentes
livros, indo desde 0o até ~80o) e o ângulo de contato entre a interface
mercúrio-ar e o vidro é de aproximadamente 140o.
25
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Se a adesão for maior que a coesão, um líquido em um tubo estreito
mergulhado em um recipiente com o mesmo líquido irá se levantar
até uma altura h em relação ao nível do líquido no recipiente (veja a
figura (a) abaixo). Caso contrário, o liquido irá se abaixar (veja a
figura (b) abaixo).
A altura h pode ser calculada da seguinte maneira. O peso P da
coluna de líquido de altura h é:
P = πr 2 hρg ,
(27)
onde r é o raio do tubo cilíndrico e ρ é a densidade do líquido. A
força devida à tensão superficial que atua ao longo da periferia do
líquido (circulo de comprimento L = 2πr) é:
F = 2πrγ .
(28)
Essa força forma um ângulo com a parede igual a θ. No equilíbrio, a
componente vertical da força F é igual ao peso da coluna de líquido:
26
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F cosθ = P ⇒ 2πrγ cosθ = πr 2 hρg.
Isolando h nesta expressão:
h=
2γ cosθ
.
rρg
(29)
Quando θ < 90o (adesão maior que coesão), a equação acima dá uma
altura h positiva. Este é o caso mostrado na figura (a) acima. Quando
θ > 90o (coesão maior que adesão), a equação acima dá uma altura h
negativa. Este é o caso mostrado na figura (b) acima. Esses efeitos
são chamados de capilaridade.
27