A
MECANICA DOS FLUIDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao estudar este capítulo, você aprenderá:
• O que é a densidade de um material e a densidade média
de um corpo.
• O que é a pressão em um fluido e como é medida.
• Como calcular a força do empuxo exercida por um fluido
sobre um corpo nele imerso.
•
A
diferença entre fluido laminar e fluido turbulento, e como
a velocidade do escoamento em um tubo depende do
tamanho do tubo.
Este tubarão precisa nadar constantemente para não afundar no oéeano, enquanto o peixinho tropical alaranjado
consegue permanecer no mesmo nível na água com
pouco esforço. Por que essa diferença?
aspectos de nossa vida cotidiana. Nós bebemos,
fluidos desempenham
vitalElesemcirculam
muitos
respiramos
e nadamos empapel
fluidos.
em nosso corpo e são responsáveis pelo clima. Os aviões voam através deles; os navios flutuam sobre eles.
Denomina-se fluido qualquer substância que pode fluir;
o termo pode ser usado para um gás ou para um líquido.
Geralmente, consideramos gás o fluido que pode ser
facilmente comprimido e um líquido, o fluido que é
quase incompressível,
embora existam alguns casos
excepcionais.
Vamos começar com a estática dos fluidos, o estudo
de fluidos em repouso, em situação de equilíbrio.
Analogamente a outras situações de equilíbrio, ela se pauta
na primeira e na terceira leis de Newton. Vamos analisar os
conceitos básicos de densidade, pressão e empuxo. A dinâmica dos fluidos, o estudo de fluidos em movimento, é
muito mais complexa; trata-se, na verdade, de um dos
ramos mais complexos da mecânica. Felizmente, podemos
analisar muitas situações importantes utilizando modelos
idealizados simples e princípios familiares, tais como as
OS
72
Como usar a equação de Bernoulli em certos tipos de escoamento para relacionar a pressão à velocidade do escoamento em diferentes pontos.
leis de Newton e a lei da conservação da energia. Mesmo
assim, trataremos apenas superficialmente desse vasto e
interessante tópico.
14.1
Densidade
Uma propriedade importante de qualquer material é
sua densidade, definida como a massa por unidade de
volume. Em português, um sinônimo de densidade é
massa especifica. Um material homogêneo, tal como o
gelo ou o ferro, possui a mesma densidade em todas as
suas partes. Usaremos a letra grega p (pronuncia-se "rô") para
simbolizar a densidade. Quando a massa m de um material
homogêneo possui volume V, sua densidade p é
m
p
= -V (definição de densidade)
(14.1)
Dois objetos feitos com o mesmo material possuem a
mesma densidade, mesmo que tenham massas e volumes
diferentes. Isso acontece porque a razão entre a massa e o
volume é a mesma para ambos os objetos (Figura 14.1).
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
Massas diferentes, mesma densidade:
Tabela
14.1
Tanto a chave inglesa quanto
o prego, por serem feitos de aço,
Material
Glicerina
Concreto
possuem
a mesma densidade
Alumínio
Álcool
Gelo
etílico
Benzeno
Água
Sangue
do
mar
Ar
(I atm,
20° C) 1,20
(massa por unidade de volume).
de aço
,pre\o
~C\.
o,
,
Figura 14.1 Dois objetos de massas diferentes
com a mesma densidade.
Densidades
de algumas substâncias
73
comuns
Densidade
Densidade
1010
2,00
I,06
27,8
8,9
19,3xIQ3
11,3
1de
,4
xxx nêutrons
x103
I03
103
103 Ferro,
Chumbo
Platina
Ouro
Cobre
0,90
0,92
2,70
I,26
8,6
13,6
10,5
anã
branca
Mercúrio
Material
Latão
Prata
Estrela
(kg/m3)*
1,00
(kg/m3)*
1018 aço
0,81
1,03
103
.
e volumes diferentes,
mas
* Para obter a densidade em gramas por centímetro cúbico, simplesmente
divida os valores por 103.
Figura 14.2 O preço do ouro é cotado por massa (digamos, em reais por
grama). Como o ouro é um dos metais mais densos, uma fortuna pode ser
armazenada em um volume pequeno desse metal.
A unidade SI de densidade é o quilograma por metro
cúbico (1 kg/m\ A unidade cgs, grama por centímetro cúbico (1 g/cm3), também é muito empregada.
fator de conversão entre ambas é
°
1 g/cm3 = 1000 kg/m3
Na Tabela 14.11istamos as densidades de algumas substâncias comuns em temperaturas normais. Observe a grande
material
variedade das ordens de grandeza (Figura 14.2).
mais denso encontrado na superfície terrestre é o ósmio (p =
22500 kglm\ porém, essa densidade é muito pequena se
comparada à densidade de corpos astronômicos exóticos, tais
como a estrela de nêutrons e a anã branca.
°
A densidade relativa de um material ou massa específica relativa é a razão entre a densidade do material e a
densidade da água a 4,0 °C, 1000 kg/m3; trata-se de um
número puro, sem unidades. Por exemplo, a densidade
relativa do alumínio é 2,7.
A densidade de alguns materiais varia de um ponto ao
outro no interior do material. Um exemplo disso é o corpo
humano, que inclui gordura, de baixa densidade (cerca de
940 kglm\ e ossos, de alta densidade (de 1700 a 2500 kg/m\
Dois outros exemplos são a atmosfera terrestre (que é
menos densa em altitudes elevadas) e os oceanos (que são
mais densos em profundidades elevadas). Para esses materiais, a Equação (14.1) descreve apenas a densidade
média. Em geral, a densidade de um material depende de
fatores ambientais, tais como a temperatura e a pressão.
A medição da densidade é uma importante técnica
analítica. Por exemplo, podemos verificar se uma bateria
está carregada medindo a densidade do seu eletrólito, uma
solução de ácido sulfúrico. À medida que a bateria descarrega, o ácido sulfúrico (H2S04) combina-se com o chumbo nas
placas da bateria, formando o sulfato de chumbo (PbS04),
que é insolúvel, fazendo diminuir a concentração da solução. A densidade varia de 1,30 x 103 kg/m3 para uma bateria completamente carregada até 1,15 x 103 kg/m3, quando
a bateria está descarregada.
Outro exemplo também encontrado em automóveis é
o anticongelante permanente, que, geralmente, é uma solução de água com glicol de etileno (p = 1,12 x 103 kg/m3).
ponto de congelamento da solução depende da concentração do glicol, que pode ser determinada medindo-se a
densidade. As medidas de densidade são feitas, muitas
vezes, em postos de serviços com um dispositivo chamado
densímetro, que será discutido na Seção 14.3.
°
Exemplo 14.1
PESO DO AR NO INTERIOR
DE UMA SALA Ache a massa e
o peso do ar no interior de uma sala de estar com uma altura de
3,0 m e um piso com uma área de 4,0 m x 5,0 m. Quais seriam a
massa e o peso de um volume igual de água?
lmI!ImI
IDENTIFICAR:
vamos supor que o ar seja homogêneo, de modo
que a densidade seja a mesma em toda a sala. (É verdade que o
ar é menos denso em regiões elevadas do que perto do nível do
mar. A variação da densidade na sala de 3,0 m de altura, todavia,
é desprezível; veja a Seção 14.2.)
PREPARAR:
usaremos a Equação (14.1) para relacionar a massa
(a variável procurada) com o volume (que iremos calcular a partir
das dimensões da sala) e a densidade (conforme a Tabela 14.1).
74
FíSICA II
o volume da sala é V = (3,0 m)(4,0 m) x (5,0 m) =
A massa do ar mar pode ser obtida pela Equação (14.1):
EXECUTAR:
60
m3.
o peso
Par
do ar é
=
mar g
= (72 kg)(9,8 m/s2) = 700 N = 160 libras
A massa de um volume igual de água é
o peso
Págua
é
= mágua
= 5,9
g
X
= (6,0 x
esteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em
movimento; as forças exercidas pelo fluido são oriundas
das colisões moleculares com as superfícies vizinhas.
Se pensarmos em uma superfície imaginária no interior do fluido, o fluido exerce forças iguais e contrárias
sobre os dois lados da superfície. (Caso contrário, a superfície seria acelerada, e o fluido não estaria em repouso.)
Considere uma pequena superfície de área dA centralizada
em um ponto do fluido; a força normal exercida pelo fluido
sobre cada lado da superfície é dF 1. (Figura 14.3). Definimos
a pressão P nesse ponto como a força normal por unidade
de área, ou seja, pela razão entre dF 1- e dA (Figura 14.4):
dF
104 kg)(9,8 m/s2)
105 N = 1,3
x
P
105 libras de água = 66 tons
AVALIAR:
uma sala cheia de ar pesa o mesmo que um adulto de
tamanho médio! A água é quase mil vezes mais densa do que o ar, e
sua massa e peso são maiores nesse mesmo fator. O peso de uma sala
cheia de água faria com que o piso de uma casa comum afundasse.
Teste sua compreensão
da Seção 14.1 Coloque os
seguintes objetos em ordem da maior à menor densidade média:
(i) massa igual a 4,0 kg, volume igual a 1,60 x 10-3 m3; (ii) massa
igual a 8,0 kg, volume igual a 1,60 X 10-3 m3; (iii) massa igual a
8,0 kg, volume igual a 3,20 X 10-3 m3; (iv) massa igual a 2560 kg,
volume igual a 0,640 m3; (v) massa igual a 2560 kg, volume igual
a 1,28 m3. I
14.2 Pressão em um fluido
Quando um fluido (um gás ou um líquido) está em
repouso, ele exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, tal como a
parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido. Essa é
a força que pressiona suas pernas quando você as movimenta em uma piscina. Embora o fluido como um todo
F1-
P
I
Já havíamos trabalhado com o pascal no Capítulo 11.
Duas unidades relacionadas, usadas principalmente em meteorologia, são o bar, igual a 105 Pa, e o milibar, igual a 100 Pa.
A pressão atmosférica P a é a pressão exercida pela
atmosfera terrestre, a pressão no fundo desse oceano de ar
em que vivemos. Essa pressão varia com as condições do
tempo e com a altitude. A pressão atmosférica normal ao
nível do mar (um valor médio) é 1 atm (atmosfera), equivalente a 10 1325 Pa. Com quatro algarismos significativos,
(Pa)m
=1 atm = 1,013 X 105 Pa
= 1,013 bar = 1013 millibar = 14,70 librasjpolegadas2
I
I
dF1.
I dF
dF1.
t
1. I.....
\...
...
i
--J j
Forças atuando sobre uma pequena
fluido em repouso.
superfície
dA I
"
.
\.
..
...
1.
r-;---.....
.....
2dF"
,
Embora essas duas superfícies difiram em
área e orientação, a pressão sobre elas
(a força dividida pela área) é a mesma.
A superfície nã~ acelera, então o fluido
circundante exerce forças normais iguais
em ambos os lados da superfície. (O fluido
não pode exercer qualquer força paralela
à superfície, já que isso faria com que a
suoerfície acelerasse.)
Figura 14.3
2dA
···
1
_ dA I
-I~' -----2dF1.i- ......
:--~
···
.....j
(14.3)
1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2
d~
J
J
= -A
onde F 1- é a força normal resultante sobre um dos lados da
superfície. A unidade SI de pressão é o pascal, onde
1---_
\
(14.2)
Quando a pressão for a mesma em todos os pontos de
uma superfície plana de área A, então
Uma pequena superfície de área dA
no interior de um fluido em repouso.
~
= __
1- (definição de pressão)
dA
Note que a pressão é uma grandeza escalar
- não possui direção.
dentro de um
Figura 14.4 A pressão de cada lado de uma superfície é a força dividida pela
área. A pressão é uma grandeza escalar com unidades de newtons por metro
quadrado. Já a força é uma grandeza vetorial, e sua unidade é o newton.
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
Na linguagem
cotidiana, 'pressão' e 'força' significam praticamente o
mesmo. Contudo, na mecânica dos fluidos, essas palavras
descrevem grandezas distintas com características físicas
diferentes. A pressão do fluido atua sempre ortogonalmente
sobre qualquer superfície orientada em qualquer direção
(Figura 14.4). Portanto, a pressão não tem nenhuma direção
própria; trata-se de uma grandeza escalar. Em contraste, a
força é uma grandeza vetorial, que possui módulo, direção
e sentido. Lembre também que a pressão é força por unidade de área. Como mostra a Figura 14.4, uma superfície
com o dobro da área é submetida ao dobro da força pelo
fluido, de modo que a pressão é a mesma.
ATENÇÃO Não confunda
--
pressão e força
-------
A FORÇA DO AR Na sala descrita no Exemplo 14.1, ache a força
total de cima para baixo exercida pela pressão do ar de 1,0 atm
sobre a superfície do piso.
lmmB
este exemplo usa a relação entre a pressão de
fluido (neste caso, o ar), a força normal exercida pelo fluido
área sobre a qual essa força age. Nessa situação, a superfície
piso é horizontal, portanto a força exercida pelo ar é vertical
cima para baixo).
IDENTIFICAR:
um
e a
do
(de
(a)
/---.4"-
dy
I-
Um elemento de fluido em
repouso com áreatLe--ª1tJlrJLd"
o
75
PREPARAR: a pressão é uniforme, então usamos a Equação (14.3)
para calcular a força F 1- a partir da pressão e da área.
EXECUTAR: a área do piso é A = (4,0 m)(5,0 m) = 20m2• A pressão é uniforme, logo a Equação (14.3) fornece a força total de
cima para baixo, ou seja
F1-
= PA = (1,013 X 105 N/m2)(20 m2)
= 2,0 X 106 N = 4,6 X 105 libras = 230 tons
AVALIAR: como no Exemplo 14.1, isso seria mais do que o suficiente para fazer o piso afundar. No entanto, ele não afunda, porque
há uma força de igual módulo exercida de baixo para cima sobre o
piso. Se a casa tiver um porão, essa força é fornecida pelo ar existente embaixo do piso. Nesse caso, desprezando-se a espessura do
piso, a força resultante exercida pela pressão do ar é igual a zero.
Pressão, profundidade e lei de Pascal
Quando desprezamos o peso do fluido, a pressão no
interior do fluido é a mesma em todos os pontos do seu
volume. Na Seção 11.4, usamos essa aproximação na discussão da tensão e da deformação volumétrica. Porém,
geralmente o peso de um fluido não é desprezível. A pressão atmosférica em altitudes elevadas é menor do que a
pressão atmosférica ao nível do mar; por essa razão, a
cabine de um avião deve ser pressurizada quando ele voa a
uma altitude de 11 km. Quando você mergulha em águas
profundas, seus ouvidos informam a você que a pressão
está crescendo com o aumento da profundidade.
Podemos deduzir uma expressão geral entre a pressão
P em um dado ponto no interior de um fluido e a altura
desse ponto. Vamos supor que a densidade p e a aceleração
da gravidade g permaneçam constantes em todos os pontos
do fluido. Quando o fluido está em equilíbrio, cada elemento de volume está em equilíbrio. Considere um pequeno elemento de fluido com altura dy (Figura 14.5a). A
superfície inferior e a superfície superior possuem a
mesma área A, e suas alturas respectivas acima de um nível
de referência y = O são dadas por y e y + dy. O volume do
(b)
Força devido à pressão P + dp
As forças sobre
sobre a superfície superior:
os quatro lados
+"'--dP)A~•·
(P
dv
~
..,.
....•..•
..'
A uma profundidade 11,
a pressão P é igual à
pressão de superfície
Po mais a pressão pgll
devido ao fluido sobreposto:
~i:"
r
.;r----I'}1:
/
.....
---~dose anulam.
:
elemento
PA
'dp
-Peso
do
elemento de fluido.
P
Força devido à pressão p
/.
sobre a superfície inferior.
Como o fluido está em equilíbrio, o vetor soma
das forças verticais sobre o elemento de fluido
deve ser igual a zero: PA - (P + dp)A - dp = O.
Figura 14.5 As forças que atuam sobre um elemento de fluido em equilíbrio.
=
Po
+
pgll .
A diferença de pressão entre os níveis I e 2:
P2
-
P1
=
-pgCV2
-
y,)
A pressão é maior no nível mais baixo.
Figura 14.6 Como a pressão varia com a profundidade em um fluido
com densidade uniforme.
76
FíSICA
II
elemento de fluido é dV = A dy, sua massa é dm = p dV =
P A dye seu peso é dp = dm g = pgA dy.
Quais são as forças que atuam sobre esse elemento de
fluido (Figura 14.5b)? Chame de P a pressão na superfície
inferior; o componente y da força resultante que atua sobre
essa superfície é PA. A pressão na superfície superior é P +
dP, e o componente y da força resultante que atua (de cima
para baixo) sobre a superfície superior é - (P + dP)A. O
elemento de fluido está em equilíbrio, logo o componente
y da força total resultante, incluindo o peso e as outras
forças mencionadas, deve ser igual a zero:
'2.Fy
=
O,
logo
PA - (P
+ dP)
A - pgA dy =
O
Dividindo pela área A e reagrupando os termos, obtemos
dP
dy
-pg
(14.4)
Essa equação mostra que, quando y aumenta, P diminui; ou seja, à medida que subimos através do fluido, a
pressão diminui, como era de se esperar. Se PI e P2 forem,
respectivamente, as pressões nas alturas YI e Y2, e se P e g
permanecerem constantes, então
P2 - PI = -pg(y2 -Yl)
(pressão em um fluido com densidade constante)
(14.5)
Costuma ser mais conveniente expressar a Equação
(14.5) em termos da profundidade
abaixo da superfície do
fluido (Figura 14.6). Considere o ponto 1 em qualquer
nível do fluido e seja P a pressão nesse nível. Considere o
ponto 2 na supelflâe do fluido onde a pressão é Po (índice
inferior O na profundidade zero). A profundidade do ponto
I abaixo da superfície do fluido é h = Y2 - YI, e a Equação
(14.5) pode ser escrita na forma
Po- P = -pg (Y2 - YI) = -pgh
P = Po
A pressão no topo de cada coluna de
líquido é a pressão atmosférica: ..P o.
A pressão na base de cada coluna de
líquido possui o mesmo valor P.
A diferença entre P e Po é pgh, onde h é a
distância do topo à base da coluna de líquido.
Logo, todas as colunas apresentam a mesma altura.
Figura 14.7 Todas as colunas de fluido apresentam a mesma altura,
independentemente de sua forma.
Lei de Pascal: A pressão aplicada a um fluido no interior de
um recipiente é transmitida
sem nenhuma diminuição a
todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente.
A Figura] 4.8 ilustra esquematicamente o princípio de
funcionamento de um elevador hidráulico, uma aplicação
da lei de Pascal. Um pistão, cuja seção reta possui área
pequena AI, exerce uma força FI sobre a superfície de um
líquido tal como um óleo. A pressão aplicada P = F/A I é
transmitida integralmente através dos tubos até um pistão
maior com área A2• A pressão aplicada nos dois cilindros é
a mesma, logo
e
(14.7)
ou
+ pgh
(pressão em um fluido com densidade constante)
(14.6)
A pressão P em uma profundidade h é maior do que a
pressão Po na superfície, e a diferença entre essas pressões
é pgh. Observe que a pressão em qualquer dos dois pontos
do fluido é sempre igual em todos os pontos que possuem
a mesma altura. Aforma do recipiente não altera essa pressão (Figura 14.7).
A Equação (14.6) mostra que, se aumentarmos o valor
da pressão Po no topo da superfície, possivelmente usando
um pistão que se adapta firmemente ao interior do recipiente e empurra a superfície do fluido, a pressão P em
qualquer profundidade do fluido aumenta de um valor exatamente igual ao valor do aumento da pressão. Esse fato foi
verificado em 1653 pelo cientista francês Blaise Pascal
(1623-1662), e é chamado de lei de Pascal:
O elevador hidráulico é um dispositivo que multiplica
o valor de uma força, e o fator de multiplicação é dado pela
razão entre as áreas dos dois pistões. Cadeiras de dentista,
elevadores de carro, macacos hidráulicos, diversos elevadores e freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse
princípio.
Em se tratando de gases, a hipótese de que p permanece constante é realista apenas para pequenas diferenças de
altura. Em uma sala com 3,0 m de altura cheia de ar com
densidade uniforme igual a 1,2 kg/m3, a diferença de pressão
entre o piso e o teto, de acordo com a Equação (14.6), é
pgh = (1,2 kg/m3)(9,8 m/s2)(3,0 m) = 35 Pa
ou cerca de 0,00035 atm, uma diferença muito pequena.
Contudo, entre o nível do mar e o topo do Monte Everest
(8882 m) a densidade do ar varia de um fator aproximadamente igual a três, e, nesse caso, não podemos usar a
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
(a) O manômetro de tubo aberto.
=
Po
(b) O barômetro de mercúrio.
Patm
Há um quase-
® Atuando
sobre um pistão de
área ampla, a pressão cria uma
força capaz de sustentar um carro.
CD Uma pequena
força é aplicada a
um pistão F
area
:om uma
.
vácuo na parte
(IA
superior do tubo.
~
~
t
'>
I!IF'
. h
Y2
t
77
= Y2
I
y,
'(....
A altura
a que o
mercúrio
sobe
depende
da pressão
atmosférica
exercida
sobre o
mercúrio
no prato.
P
PA,
=
P atm
®
A pressão P tem o· mesmo valor em
todos os pontos à mesma altura no
interior do fluido (lei de Pascal).
P+ y. ...
pgYI
do recipiente
+
pgY2
A pressão': é a mesma na
base dos dois tubos.
Figura 14.8 O elevador hidráulico é uma aplicação da lei de
Pascal. Para maior clareza, o tamanho
,.. Patm
•••...•.
que con-
tém o fluido está exagerado.
Figura 14.9 Dois tipos de manômetros.
Equação (14.6). Em contraste, um líquido é aproximadamente incompressível, portanto, geralmente é uma boa
aproximação considerar sua densidade independente da
pressão. Um aumento de pressão de algumas centenas de
atmosferas produz um aumento percentual de apenas um
dígito na grande maioria dos líquidos.
PREPARAR: o nível da parte superior do tanque corresponde ao
ponto 2 na Figura 14.6, e o nível do fundo do tanque corresponde
ao ponto I. Logo, a variável que queremos encontrar é P na Equação
(14.6). O problema nos disse que h = 12,0 m; como o topo do tanque
é aberto para a atmosfera, Po é igual a 1 atm = 1,0I X 10'5 Pa.
Pressão absoluta e pressão manométrica
Se a pressão no interior do pneu de um automóvel fosse
igual à pressão atmosférica, o pneu ficaria arriado. A pressão
deve ser maior do que a pressão atmosférica para que ele
possa sustentar o peso do carro, logo a grandeza física
importante nesse caso é a diferença entre a pressão interna e
a pressão externa. Quando dizemos que a pressão de um
pneu é de '2 atm' queremos dizer que o ar no interior do
pneu apresenta uma pressão total de 3 atm. O excesso da
pressão acima da pressão atmosférica denomina-se pressão
manométrica, e a pressão total denomina-se pressão absoluta. Quando a pressão absoluta for menor do que a pressão
atmosférica, como no caso de um recipiente onde existe um
vácuo parcial, a pressão manométrica é negativa.
------------------CÁLCULO DA PRESSÃO MANOMÉTRICA E DA PRESSÃO ABSOLUTA
Um tanque de armazenamento de 12,0 m de profundidade está
cheio de água. O topo do tanque é aberto ao ar. Qual é a pressão
absoluta no fundo do tanque? Qual é a pressão manométrica?
lm!1Im:II
IDENTIFICAR:
água é quase sempre incompressível. (Imagine
tentar usar um pistão para comprimir um cilindro cheio de água
- é impossível!) Assim, podemos tratar a água como um fluido
de densidade uniforme.
EXECUTAR:
de acordo com a Equação (14.6), a pressão absoluta é
P=Po+pgh
= (1,01
= 2,19
X
X
105Pa) + (1000 kg/m3 )(9,80 rn/s2)(I2,0 m)
105Pa = 2,16 atm = 31,8 libras/polegadas2
A pressão manométrica é
P-Po=(2,19-1,01)x
= 1,18
X
J05Pa
105 Pa = 1,16 atm = 17,1 libras/ polegadas2
quando um tanque possui um manômetro, ele normalmente é calibrado para medir a pressão manométrica e não a
pressão absoluta. Como já comentamos, a variação da pressão na
atmosfera em uma altura de poucos metros é desprezível.
AVALIAR:
Pressão manométrica
O manômetro mais simples é o manômetro de tubo
aberto que vemos na Figura 14.9a. O tubo em forma de U
contém um líquido de densidade p, geralmente mercúrio ou
água. Uma das extremidades do tubo está conectada ao recipiente onde desejamos medir a pressão P, e a outra extremidade está aberta para a atmosfera a uma pressão Po = Patm'
A pressão na base do tubo devida ao fluido da coluna da
esquerda é P + pgYI, e a pressão na base do tubo devida ao
fluido da coluna da direita é Patm + pgY2' Como essas pressões referem-se ao mesmo ponto, elas são iguais:
78
FíSICA
II
(a)
(14.9)
Ponteiro
Tubo metálico espiral
Portanto, o barômetro de mercúrio mede a pressão
atmosférica Patm diretamente a partir da altura da coluna de
mercúrio.
Em muitas aplicações, as pressões são descritas pela
correspondente altura da coluna de mercúrio como um
certo valor de 'milímetros de mercúrio' (ou, de forma abreviada, mmHg). A pressão equivalente a I mmHg denomina-se I torr, em homenagem a Evangelista Torricelli, o
inventor do barômetro de mercúrio. Entretanto, como essa
unidade depende da densidade do mercúrio, que pode
variar com a temperatura, e de g, que varia com o local, o
pascal é a unidade de pressão preferida.
Um tipo comum de manômetro usado para medir a
pressão arterial, denominado esjignomanômetro, é composto por um manômetro cheio de mercúrio. Leituras da pressão do sangue, tais como 130/80, referem-se aos valores
máximos e mínimos das pressões manométricas existentes
nas artérias, medidas em mmHg ou em torroA pressão arterial varia com a altura do corpo; o ponto-padrão de referência é a parte superior do braço, ao nível do coração.
Muitos tipos de manômetros usam um recipiente flexível selado (Figura 14.1 O). Uma variação de pressão fora
ou dentro do recipiente produz uma variação de suas
dimensões. Essa variação pode ser medida elétrica, óptica
ou mecanicamente.
Pressão P
sendo medida
(b)
Exemplo
14.4
A HISTÓRIA
Figura 14.10 Um manômetro Bourdon.Quando a pressão no interiordo
recipienteaumenta, o tubo inflaligeiramente,produzindo uma deflexãodo
ponteirosobre a escala. (b) Um manômetro Bourdon usado em um tanque
de gás comprimido.
P
+ pgYI
P-
= Patm
+ pgY2
Patm=
pg (Y2 - YI) = pgh
(14.8)
Na Equação (14.8), p é a pressão absoluta, e a diferença P - Patm entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é a pressão manométrica. Logo, a pressão manométrica é proporcional à diferença de altura (h = Y2 - Yl) entre
as duas colunas do líquido.
Outro tipo comum de manômetro é o barômetro de
mercúrio. Ele consiste em um longo tubo de vidro, fechado
em uma extremidade, que foi previamente preenchido com
mercúrio e posteriormente invertido em um recipiente que
contém mercúrio (Figura 14.9b). O espaço acima da coluna
de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio; a sua pressão
extremamente pequena pode ser desprezada, de modo que a
pressão Po no topo da coluna de mercúrio é praticamente
igual a zero. De acordo com a Equação (14.6),
DE DOIS
FLUIDOS
O tubo de um manômetro é
parcialmente preenchido com água. Despeja-se óleo (que não se
mistura com a água e possui uma densidade menor do que ela) no
braço esquerdo do tubo até que a linha de separação entre o óleo
e a água esteja na metade do tubo. Ambos os braços do tubo são
abertos para o ar. Encontre a relação entre as alturas hó1eo e hágua'
EmIf;.D
IDENTIFICAR:
a relação entre a pressão e a profundidade em um
fluido aplica-se apenas aos fluidos de densidade uniforme. Assim,
não existe uma equação única para o óleo e a água. O que podemos
fazer é escrever uma relação entre a pressão e a profundidade para
cada fluido separadamente. Note que a pressão é a mesma na base
das duas colunas de fluido (onde os fluidos estão em contato e em
equilíbrio, as pressões são iguais) e no topo (onde os dois fluidos
estão em contato com o ar e em equilíbrio com ele).
PREPARAR: a Figura 14.11 mostra nosso esboço. Vamos considerar Po a pressão atmosférica e P a pressão ao fundo do tubo. As
densidades dos dois fluidos são Págua e PÓleo (que é menor do que
Págua)' Usamos a Equação (14.6) para cada um dos fluidos.
aplicando
fluidos, obtemos
EXECUTAR:
a Equação (14.6) a cada um dos dois
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
79
(a) Uma porção qualquer de fluido em equilíbrio.
~- --l...\_-==-- __
Figura 14.11
5
b~\~:~~
i..•..
••••..(
cg
,PtluidoBf
idF.l1
Nosso esboço para esse problema.
dF.lf
!
As forças da pressão
sobre a porção de
fluido somam-se,
constituindo uma
" IdF.l
-- - ----\"dF
dF.l
'\.l
Como a pressão P no fundo do tubo é a mesma nos dois fluidos,
igualamos as duas expressões e resolvemos para hó1eo em termos
de hágua. O resultado é
força de empuxo
que é igual em
módulo ao peso
da porção.
(b) Porção de fluido substituída por um corpo
sólido de mesmo tamanho e forma.
P água
hó1eo= --hágua
PÓleo
AVALIAR: como o óleo é menos denso do que a água, a razão
é maior do que I, e hó1eo é maior do que hágua (como
mostra a Figura 14.11). Ou seja, a altura do óleo, que tem menor
densidade, precisa ser maior para produzir a mesma pressão P ao
fundo do tubo.
As forças devidas à
pressão são iguais,
então o corpo é
submetido à mesma
PágualPóleo
da Seção 14.2 O mercúrio é
menos denso em temperaturas elevadas do que em temperaturas
baixas. Suponha que você leve um barômetro de mercúrio do
interior gelado de um refrigerador bem fechado para o ar livre em
um dia quente de verão e descubra que a coluna de mercúrio
continua na mesma altura no tubo. Comparada à pressão do ar
dentro do refrigerador, a pressão ao ar livre é (i) maior, (ii) menor,
ou (iii) igual? (Despreze as pequenas variações nas dimensões do
tubo de vidro devido à variação da temperatura.)
força de empuxo que
a porção de fluido,
independentemente
do peso do corpo.
Teste sua compreensão
I
14.3 Empuxo
o empuxo é um fenômeno familiar: um corpo imerso
na água parece possuir um peso menor do que no ar.
Quando o corpo possui densidade menor do que a do fluido, ele flutua. O corpo humano normalmente flutua na
água, e um balão cheio de hélio flutua no ar.
o princípio de Arquimedes
parcial ou completamente
afirma: quando um corpo está
imerso em um fluido, o fluido
exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual
ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.
Para demonstrar esse princípio, consideramos uma
porção qualquer de fluido em repouso. Na Figura 14.12a a
linha irregular externa indica a superfície que delimita essa
porção do fluido. As setas representam as forças exercidas
pelo fluido vizinho sobre a superfície de contorno.
O fluido todo está em equilíbrio, logo o componente y
da força resultante deve ser igual a zero. Portanto, a soma
dos componentes y das forças que atuam sobre a supeifície
deve ser uma força de baixo para cima com módulo igual ao
peso mg do fluido no interior da superfície. Além disso, a
soma dos torques sobre a porção do fluido deve ser igual a
Figura 14.12
Princípio de Arquimedes.
zero, de forma que a linha de ação da força resultante deve
passar pelo centro de gravidade dessa porção do fluido.
Agora, substituímos o elemento de fluido por um
corpo sólido com uma forma exatamente igual à forma do
elemento considerado (Figura 14.12b). A pressão em cada
ponto é exatamente a mesma que a anterior. Assim, a força
de baixo para cima exercida pelo fluido é também a
mesma, novamente igual ao peso mg do fluido deslocado
que abriu o espaço para o corpo. Essa força de baixo para
cima denomina-se força de empuxo sobre o corpo sólido.
A linha de ação da força de empuxo novamente passa pelo
centro de gravidade do fluido deslocado (que não coincide
necessariamente com o centro de gravidade do corpo).
Quando um balão flutua em equilíbrio no ar, seu peso
(incluindo o gás do seu interior) deve ser igual ao peso do
ar deslocado pelo balão. O corpo de um peixe é mais denso
do que a água, e mesmo assim o peixe flutua quando colocado dentro da água, porque"possui uma cavidade cheia de
gás dentro do corpo. Isso torna a densidade média do peixe
igual à da água, de forma que seu peso total é o mesmo que
o peso da água que ele desloca. Um corpo cuja densidade
média é menor do que a do líquido pode flutuar parcialmente submerso na· superfície livre do líquido. Quanto
maior for a densidade do líquido, menor é a parte do corpo
submersa. Quando você nada na água do mar (densidade
igual a 1030 kg/m3), seu corpo flutua mais facilmente do
que quando você nada na água doce (1000 kg/m3).
Outro exemplo familiar é o densímetro, um dispositivo usado para determinar a densidade de líquidos (Figura
80
F í S I C A II
(b) Usando um densímetro para
medir a densidade do ácido
(b) Diagrama do corpo livre
para a estátua submersa.
(a) A estátua de ouro submersa
em equilíbrio.
y
da bateria, ou anticongelante.
I
t
(a) Um densímetro simples.
A profundidade em que a escala
(cujo peso se conhece) mergulha
informa a densidade do fluido.
•
mg
x
=
147 N
Figura 14.14 Qual é a tensão no cabo que sustenta a estátua?
o peso
no fundo faz com que a
escala flutue em pé.
Figura 14.13 Medindo
a densidade
de um fluido.
tensão T. O problema forneceu o peso mg, e podemos calcular o
empuxo B por meio do princípio de Arquimedes. Fazemos isso
para os dois casos: (a) quando a estátua está imersa na água e (b)
quando a estátua está fora da água e imersa no ar.
a) para encontrar o empuxo, calcule primeiro o volume da estátua, verificando a densidade do ouro na Tabela 14.1:
EXECUTAR:
14.13a). Um flutuador calibrado afunda no líquido até que
seu peso se torne exatamente igual ao peso do fluido deslocado. O flutuador do densímetro em um líquido mais
denso flutua em uma altura mais elevada do que a altura
em um líquido menos denso. Ele é mais pesado em sua
extremidade inferior de modo que sua posição direita se
mantém estável e uma escala marcada na haste superior
permite uma leitura direta da densidade. A Figura 14.l3b
mostra um tipo de densímetro geralmente usado para
medir a densidade do ácido de uma bateria ou a densidade
-
de um anticongelante. A extremidade inferior do tubo
maior é imersa no líquido, o bulbo é comprimido para
expelir o ar e a seguir libertado, funcionando como um
conta-gotas gigante. O líquido ascende no tubo e o flutuador atinge o equilíbrio na amostra do líquido.
~------
Uma estátua de ouro de 15,0 kg está sendo içada de um
navio submerso (Figura 14.14a). Qual é a tensão no cabo de sustentação quando a estátua está em repouso a) completamente
submersa; b) fora da água?
EMPUXO
lm!!tfDI
IDENTIFICAR:
quando a estátua está submersa, ela sofre a ação
de uma força de empuxo com módulo igual ao peso da água deslocada. Para achar essa força, observamos que a estátua está em
equilíbrio (ou seja, está em repouso) e consideramos as três forças que agem sobre ela: peso, empuxo e a tensão no cabo.
PREPARAR:
a Figura 14.14b mostra o diagrama de forças da
estátua em equilíbrio. A variável que queremos encontrar é a
V=~=
19,3
Pouro
15,Okg
103 kg/m3 = 7,77
X
X
10-4 m3
Usando a Tabela 14.1 mais uma vez, encontramos
volume de água do mar:
P água do mar
=
m água
do mar
g
=
o peso desse
P água do mar V g
= (1,03 X 103 kg/m3)(7,77
= 7,84 N
X 10-4 m3)(9,80
m/s2)
Esse valor é igual ao módulo da força de empuxo B.
Como a estátua está em repouso, a força resultante que atua sobre
ela é igual a zero. Pela Figura 14.14b,
2:F;. = B + T + (-mg)
T
=
mg -
B
=
=
O
(15,0 kg )(9,80 m/s2) - 7,84 N
= 147 N - 7,84 N = 139 N
Se um dinamômetro for preso à extremidade superior do cabo, ele
indicará 7,84 N a menos do que se a estátua não estivesse imersa
na água do mar. Portanto, a estátua submersa parece pesar 139 N,
cerca de 5% a menos do que seu peso de 147 N.
b) A densidade do ar é aproximadamente igual a 1,2 kg/m3,
de modo que a força de empuxo do ar sobre a estátua é
B
=
Par V g
= 9,1
X
= (1,2 kg/m3) (7,77
X
10-4 m3) (9,80 m/s2)
10-3 N
Essa força equivale a 62 partes por milhão do peso real da estátua. Esse valor está muito aquém da precisão requerida neste
problema, de modo que podemos desprezá-Io. Portanto, a tensão
no cabo com a estátua no ar é igual ao peso da estátua, 147 N.
Capítulo 14 Mecânica
dos fluidos
81
Moléculas de um líquido são
atraídas pelas moléculas vizinhas.
Figura 14.15
permitindo
A
superfície
da água age como uma membrana
que essa aranha-d'água
literalmente
l
sob tensão,
'ande sobre as águas'.
note que o empuxo é proporcional à densidade do
fluido, não à densidade da estátua. Quanto mais denso é o fluido,
maior o empuxo e menor a tensão no cabo. Se o fluido tivesse a
mesma densidade que a estátua, o empuxo seria igual ao peso da
estátua e a tensão seria zero (o cabo ficaria frouxo). Se o fluido
fosse mais denso do que a estátua, a tensão seria negativa: o
empuxo seria maior do que o peso da estátua e uma força de cima
para baixo seria necessária para impedir a estátua de emergir.
Moléculas do interior
AVALIAR:
são igualmente
atraídas em
".
todas as direções.
Figura 14.16 Uma molécula na superfície de um líquido é atraída para dentro
do seio do líquido, o que tende a reduzir a área superficial do líquido.
•••
Tensão superficial
Um objeto menos denso do que a água, como uma bola
de praia cheia de ar, flutua com parte de seu volume abaixo
da superfície. Um clipe de papel, por outro lado, flutua sobre
a superfície da água embora sua densidade seja diversas
vezes maior do que a da água. Essas situações exemplificam
o fenômeno da tensão superficial: a superfície do líquido se
comporta como uma membrana submetida à tensão (Figura
14.15). As moléculas de um líquido exercem forças de atração mútuas; a força resultante sobre qualquer molécula
situada no interior do volume do líquido é igual a zero,
porém, uma molécula na superfície é puxada para dentro do
volume (Figura 14.16). Ou seja, o líquido tende a minimizar
a área da superfície, da mesma forma que uma membrana.
A tensão superficial explica por que gotas de chuva
caindo livremente são esféricas (e não em forma de lágrimas): a esfera é a forma que possui a menor área superficial para um dado volume. Explica também por que água
com sabão serve para a limpeza. Para lavar bem as roupas,
a água precisa ser forçada a entrar nos minúsculos espaços
entre as fibras (Figura 14.17). Isso exige um aumento na
área superficial da água, que é difícil de obter devido à
tensão superficial. A tarefa se torna mais simples aumentando a temperatura da água e adicionando sabão, pois
ambos os procedimentos diminuem a tensão superficial.
A tensão superficial é importante para uma gota de
água de tamanho milimétrico, que possui uma área superficial relativamente grande para seu volume. (Uma esfera
de raio r tem área superficial igual a 41Tr2 e volume igual
a (41T/3)r3• A razão entre a área superficial e o volume é
de 3/r, que aumenta à medida que o raio diminui.) Para
grandes quantidades de líquido, contudo, a razão entre a
área superficial e o volume é relativamente pequena, e a
tensão superficial é desprezível se comparada às forças de
Pressão da água P
····\T/·
Fibras
Pressão do ar P o
Figura 14.17
A
tensão superficial dificulta a penetração da água entre fendas
pequenas. A pressão da água P necessária pode ser reduzida usando-se água
quente com sabão, que possui tensão superficial menor.
pressão. Durante o restante deste capítulo, consideraremos
apenas fluidos em grandes quantidades e, portanto, desprezaremos os efeitos da tensão superficial.
Teste sua compreensão da Seção 14.3 Você coloca um
recipiente de água do mar em uma balança e verifica o seu peso.
A seguir, você mergulha a estátua do Exemplo 14.5 dentro da
água suspendendo-a por um fio (Figura 14.18). Como varia a
leitura do peso na balança? (i) Aumenta em 7,84 N; (ii) diminui
em 7,84 N; (iii) permanece igual; (iv) nenhuma das anteriores.
Figura 14.18 Como varia a leitura na balança quando a estátua é imersa
na água? I
82
FíSICA
11
Tubo de escoamento
Figura 14.19 Um tubo de escoamento
mento. Em um escoamento estacionário
des de um tubo de escoamento.
delimitado por linhas de escoao fluido não pode cruzar as pare-
14.4 Escoamento de um fluido
Estamos agora preparados para estudar o movimento
de um fluido. O escoamento de um fluido pode ser extremamente complexo, como no caso das correntezas de um
rio ou das chamas revoltas de uma fogueira em um acampamento. Entretanto, algumas situações podem ser descritas mediante um modelo idealizado simples. Um fluido
ideal é um fluido incompressível (ou seja, aquele cuja densidade não varia) e sem nenhum atrito interno (chamado de
viscosidade). Os líquidos são aproximadamente incompressíveis em muitas situações, e podemos também considerar um gás incompressível quando as diferenças de
pressão de uma região para outra não forem muito elevadas. O atrito interno em um fluido produz tensões de cisalhamento quando existe um movimento relativo entre duas
camadas vizinhas do fluido, como no caso do escoamento
de um fluido no interior de um tubo ou em torno de um
obstáculo. Em alguns casos, essas tensões de cisalhamento
podem ser desprezadas em comparação às diferenças de
pressão e forças oriundas da ação da gravidade.
A trajetória de uma partícula individual durante o
escoamento de um fluido denomina-se linha de escoamento ou linha de fluxo. Quando a configuração global do
escoamento de um fluido não varia com o tempo, ele se
chama de escoamento estacionário ou escoamento permanente. No escoamento estacionário, todo elemento que
passa por um dado ponto segue sempre a mesma linha
de escoamento. Nesse caso, o 'mapa' das velocidades do
fluido em diversos pontos do espaço permanece constante,
embora a velocidade da partícula possa variar em módulo,
direção e sentido em pontos diferentes. Uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido da velocidade no respectivo ponto. Quando
a configuração do escoamento de um fluido varia com o
tempo, as linhas de corrente não coincidem com as linhas
de escoamento. Consideraremos apenas situações com
escoamento estacionário, nas quais as linhas de corrente e
as linhas de escoamento são idênticas.
As linhas de escoamento que passam através de um
elemento de área imaginário, tal como a área A na Figura
14.19, formam um tubo chamado de tubo de escoamento
ou tubo de fluxo. Pela definição de linha de escoamento,
em um escoamento estacionário nenhuma parte do fluido
pode atravessar as paredes laterais de um tudo de escoamento; os fluidos de diferentes tubos de escoamento não
podem se misturar.
Na Figura 14.20, da esquerda para a direita, vemos o
escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes
de obstáculos. Essas fotografias foram feitas injetando-se
um corante na água que escoava entre duas placas de vidro.
Todas as configurações indicadas são típicas do escoamento laminar, no qual camadas adjacentes do fluido deslizam
umas sobre as outras e o escoamento é estacionário. (Uma
lâmina é uma folha fina.) Para taxas de escoamento suficientemente elevadas, ou quando um obstáculo produz
variações abruptas de velocidade, o escoamento pode tornar-se irregular e caótico. Nesse caso, ele recebe o nome de
escoamento turbulento (Figura 14.21). Em um escoamento turbulento não pode existir nenhuma configuração
com escoamento estacionário; a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo.
Equação da continuidade
A massa de um fluido não varia durante seu escoamento. Isso leva a uma relação importante chamada de equação
da continuidade. Considere um tubo de escoamento deli-
Figura
Figura 14.20 Escoamento
Iaminar em torno de obstáculos
com formas diferentes.
14.21 O
escoamento
da
fumaça
erguendo-se dessas varetas de incenso é laminar até certo ponto, depois, torna-se turbulento.
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
mitado por duas seções retas estacionárias de áreas A I e A2
(Figura 14.22). Nessas seções retas as velocidades do fluido
são v I e Vb respectivamente. Nenhum fluido pode escoar
pelas paredes laterais do tubo, porque a velocidade do fluido
é tangente à parede em cada um dos seus pontos. Durante
um pequeno intervalo de tempo dt, o fluido que estava em
A se desloca uma distância v dt, de modo que um cilindro
de fluido com altura v dt e volume dVI = A V dt escoa para
o interior do tubo através de A I' Durante esse mesmo intervalo de tempo, um cilindro com volume dV2 = A2 V2 dt escoa
para fora do tubo através de A2•
Vamos considerar inicialmente o caso de um fluido
1
I
I
1
I
incompressível, de tal forma que a densidade p possua o
mesmo valor em todos os pontos do fluido. A massa dml
que flui para o interior do tubo através da área A I no tempo
dt é dada por dml = pAI VI dto Analogamente, a massa dm2
que flui para fora do tubo através da área A2 no mesmo
tempo é dada por dm2 = pA2V2 dto No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante, logo
dm I = dm2 e
Alvl
=A2V2
(equação da continuidade, fluido incompressível)
(14.10)
o produto Av é a vazão volumétrica dV/dt, ou seja, a taxa
com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo:
-
dt
um escoamento diminui, a velocidade aumenta e viceversa. A parte mais profunda de um rio possui uma seção
reta maior e correntes mais lentas do que as partes rasas,
mas a vazão volumétrica é a mesma nos dois casos. Essa é
a essência da máxima 'Águas profundas ainda correm'. A
corrente de água que jorra de uma torneira torna-se mais
estreita na medida em que a água ganha velocidade durante sua queda livre, porém, dV/dt possui sempre o mesmo
valor ao longo da corrente. Quando um tubo com diâmetro
de 2 cm é ligado a um tubo com diâmetro de I cm, a velocidade do escoamento no tubo de I cm é quatro vezes maior
do que a velocidade do escoamento no tubo de 2 cm.
Podemos generalizar a Equação (14.10) para o caso do
escoamento de um fluido que não é incompressível. Se PI e
P2 forem as densidades nas seções 1 e 2, então
PIAlvl = P2A2V2
(equação da continuidade, fluido compressível)
=
Av
(vazão volumétrica)
(14.11)
A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo. Ela é dada pelo
produto da densidade p pela vazão volumétrica dV/dt.
A Equação (14.10) mostra que a vazão volumétrica
possui sempre o mesmo valor em todos os pontos ao longo
de qualquer tubo de escoamento. Quando a seção reta de
(14.12)
Se o fluido for mais denso no ponto 2 do que no ponto
I (P2 > PI), a vazão volumétrica no ponto 2 será menor do
que no ponto 1 (A2V2 < Alvl)' Deixamos os detalhes desta
demonstração como um exercício (veja o Exercício 14.38).
No caso do fluido incompressível, como PI e P2 são sempre
iguais, a Equação (14.12) se reduz à Equação (14.10).
-------------.---ESCOAMENTO
dV
83
DE
UM
FLUIDO
INCOMPRESsíVEL
Como
parte de um sistema de lubrificação para máquinas pesadas, um
óleo de densidade igual a 850 kg/m3 é bombeado através de um
tubo cilíndrico de 8,0 cm de diâmetro a uma taxa de 9,5 litros por
segundo. (a) Qual é a velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) Se o diâmetro do tubo for reduzido a 4,0 cm, quais serão
os novos valores para a velocidade e vazão volumétrica?
Considere o óleo incompressível.
lIm!tt!DI
IDENTIFICAR:
o dado fundamental é que o fluido é incompressível, então podemos usar a idéia da equação da continuidade
para relacionar a vazão mássica, a vazão volumétrica, a área do
tubo de escoamento e a velocidade do escoamento.
usamos a definição da vazão volumétrica, Equação
(14.11), para encontrar a velocidade V I na seção de 8,0 cm de
diâmetro. A vazão mássica é o produto da densidade e da vazão
volumétrica. A equação da continuidade para escoamento incompressível, Equação (14.10), permite-nos encontrar a velocidade
V2 na seção de 4,0 cm de diâmetro.
PREPARAR:
o produto Av
é constante em
um fluido
incompressível.
EXECUTAR:
(a) a vazão volumétrica dV/dt é igual ao produto
A IV I, onde A I é a área da seção reta do tubo de diâmetro de
8,0 cm e raio 4,0 cm. Assim,
(9,5 L/s) (10-3 m3/L)
dV/dt
v ---I Figura 14.22 Um tubo de escoamento com seção reta de área variável.
o fluido é incompressível, o produto Av permanece constante em
Quando
todos os pontos ao longo do tubo de escoamento.
AI
-
1T(
4,0
X
10-2
1,9 m/s
m)2
A vazão mássica é P dV/dt = (850 kg/m3)(9,5 x 10-3 m3/s) =
8,1 kg/s.
84
F í S I C A II
(b) Como o óleo é incompressível, a vazão volumétrica apresenta
o mesmo valor em ambas as seções do tubo. Pela Equação (14.10),
a segunda seção do tubo tem a metade do diâmetro e
um quarto da área de seção reta da primeira. Logo, a velocidade
deve ser quatro vezes maior na segunda seção, o que é exatamente o que o nosso resultado mostra (uz = 4u]).
AVALIAR:
Teste sua compreensão da Seção 14.4 Uma equipe de
manutenção está trabalhando em um trecho de uma estrada de três
pistas, deixando apenas uma pista aberta ao tráfego. O resultado
é um tráfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na
estrada se comportam como (i) moléculas de um fluido incompressível ou (ii) moléculas de um fluido compressível? I
14.5 Equação de Bernoulli
Figura 14.23 Deduzindo
De acordo com a equação da continuidade, a velocidade do escoamento de um fluido pode variar com as trajetórias do fluido. A pressão também pode variar; ela depende da
altura, como na situação estática (Seção 14.2), e também da
velocidade do escoamento. Podemos deduzir uma relação
importante entre a pressão, a velocidade e a altura no escoamento de um fluido ideal, chamada de equação de Bernoulli.
A equação de Bernoulli é uma ferramenta essencial para
analisar escoamentos em sistemas de encanamentos, em
usinas hidrelétricas e nos vôos de aeronaves.
A dependência da pressão em relação à velocidade
decorre da equação da continuidade, Equação (14.10).
Quando um fluido incompressível escoa ao longo de um
tubo de escoamento com seção reta variável, sua velocidade
deve variar e, portanto, um elemento do fluido deve possuir
uma aceleração. Quando o tubo é horizontal, a força que
produz essa aceleração é proveniente do fluido das vizinhanças. Isso significa que a pressão deve variar em diferentes
seções retas do tubo; caso ela fosse a mesma em todos os
pontos, a força resultante sobre cada elemento do fluido
deveria ser igual a zero. Quando um tubo horizontal afunila
e o elemento do fluido acelera, ele deve se deslocar para uma
região de pressão menor para ter uma força resultante capaz
de acelerá-Io. Quando existe uma diferença de altura, ocorre
uma diferença de pressão adicional.
Deduzindo a equação de Bernoulli
Para deduzir a equação de Bernoulli, aplicamos o
teorema do trabalho-energia ao fluido em uma seção do
tubo de escoamento. Na Figura 14.23, consideramos um
elemento do fluido que estava inicialmente entre duas
seções retas a e c. A velocidade na extremidade inferior é
V I e na extremidade
superior é V2' Durante um pequeno
intervalo de tempo dt, o fluido que estava inicialmente em
a equação de Bernoulli.
O trabalho total realiza-
do sobre um elemento do fluido pela pressão do fluido circundante é igual
à variação da energia cinética acrescida da variação da energia potencial
gravitacional.
a desloca-se para b, percorrendo uma distância ds) = u]dt,
e o fluido que estava em c desloca-se para d, percorrendo
uma distância dS2 = U2dt. As áreas das seções retas nas duas
extremidades são AI e Ab conforme indicado. O fluido é
incompressível; portanto, pela equação da continuidade,
Equação (14.10), o volume de fluido dV que passa em
qualquer seção reta durante um intervalo de tempo dt é
sempre o mesmo. Ou seja, dV = Alds) = A2ds2.
Vamos calcular o trabalho realizado sobre esse elemento de fluido durante dto Estamos supondo que o atrito
interno no fluido é desprezível (ou seja, não há viscosidade), de modo que as únicas forças não gravitacionais que
realizam trabalho sobre o elemento do fluido são as da
pressão do fluido circundante. As pressões nas duas extremidades são PI e P2; a força sobre a seção reta a é PIA) e a
força sobre a seção reta c é P2Az. O trabalho total dW realizado pelo fluido das vizinhanças sobre o elemento de
fluido durante esse deslocamento é
(14.13)
O segundo termo possui sinal negativo porque a força
sobre c se opõe ao deslocamento do fluido.
O trabalho dW é realizado por outras forças, além da
força conservativa da gravidade, portanto ele é igual à
variação da energia mecânica do sistema (energia cinética
mais energia potencial gravitacional) associada ao elemento de fluido. A energia mecânica no fluido entre as seções
b e c não varia. No início de dt, o fluido entre as seções a
e b possui volume A1ds), massa pA1ds) e energia cinética
!p(AI
dSI )u? No final de dt, o fluido entre as seções c e d
Capítulo 14 Mecânica
possui energia cinética ~p (A2 ds2) u}. A variação total da
energia cinética dK durante o intervalo de tempo dt é
.E.st ..r.a.tégi~
EQUAÇÃO
1
= -p
2
dK
dv(ul
-
(14.14)
u?)
E quanto à variação da energia potencial gravitacional?
No início de dt, a energia potencial da massa entre a e b é
dm gYI = P dV gy\. No final de dt, a energia potencial da
massa entre c e d é dm gY2 = P dV gY2. A variação total da
energia potencial dU durante o intervalo de tempo dt é
= pdV
dU
g
(Y2 -
(14.15)
Y \)
Substituindo as equações (14.13), (14.14) e (14.15) na
equação da energia dW = dK + dU, obtemos
= !p
2
(PI - P2) dV
dv(ul
- u?)
+
P
dV g(Y2 - YI)
(14.16)
1
p\ - P2
=
2p(ul
- u?)
+
pg(Y2 - YI)
Essa é a equação de Bernoulli. Ela afirma que o trabalho realizado pelo fluido das vizinhanças sobre uma
unidade de volume de fluido é igual à soma das variações
da energia cinética e da energia potencial ocorridas na
unidade de volume durante o escoamento. Podemos também interpretar a Equação ( 14.16) em termos das pressões.
O primeiro termo do membro direito é a diferença de pressão associada à variação da velocidade do fluido. O segundo termo do membro direito é a diferença de pressão adicional associada ao peso e produzida pela diferença de
altura entre as duas extremidades.
Podemos também expressar a Equação (14.16) de
modo mais conveniente usando a forma
p\
1
+ pgy) + -pu)
2
2_
- P2
1
+ pgY2 + -PU2
2
2
(equação de Bemoulli)
1
+
pgy
+ -2 pu2 = constante
(14.18)
Note que, quando o fluido não está em movimento
(quando u) = U2 = O), a Equação (14.17) se reduz à Equação
(14.5), que dá a pressão de um fluido em repouso.
ATENÇÃO
O princípio
de Bernoulli
se aplica
apenas
situações Acentuamos mais uma vez que a
equação de Bernoulli vale somente para o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade. Por
ser uma equação simples e fácil de usar, surge a tentação de
usá-Ia em situações para as quais ela não é válida, mas você
deve resistir a essa tentação!
em certas
luc.'ã o
de.
85
p.r. o.uble_m_a.s .. 14 ..1
DE BERNOULlI
A equação de Bernoulli foi deduzi da a partir do teorema do trabalho-energia, portanto não é surpresa que possamos aplicar aqui
muitas recomendações de estratégia para a solução de problemas
mencionadas na Seção 7.1.
IDENTIFICAR
os conceitos relevantes: comece certificando-se
de que o escoamento do fluido seja estacionário e que o fluido
seja compressível e livre de atrito interno. Este caso é uma idealização, mas é surpreendentemente aplicável a fluidos que escoem
por tubos suficientemente grandes e a escoamentos dentro de
fluidos com grande volume (por exemplo, o ar que cerca um
avião ou a água ao redor de um peixe).
seguindo os passos:
I. Sempre comece identificando claramente os pontos I e 2 mencionados na equação de Bernoulli.
2. Defina o seu sistema de coordenadas e, em especial, o nível em
que y = O.
3. Faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas na
Equação (14.17). As variáveis são PI, Pô vI> Vô y, e Y2; as constantes são p e g. O que foi dado? O que você precisa calcular?
PREPARAR
EXECUTAR o problema da seguinte forma: escreva a equação de
Bernoulli e encontre as grandezas desconhecidas. Em alguns
problemas você terá de usar a equação da continuidade [Equação
(14.10)] para obter uma relação entre as duas velocidades em
termos das áreas das seções retas dos tubos ou dos recipientes. Ou
talvez você conheça as velocidades, mas precise encontrar uma
das áreas. Você também pode precisar da Equação (14.11) para
achar a vazão volumétrica.
sua resposta: Como sempre, confirme se os resultados
fazem sentido. Verifique se as unidades são consistentes umas com
as outras. Em unidades SI, a pressão é dada em pascal, a densidade
em quilograma por metro cúbico e a velocidade em metro por
segundo. Note também que todas as pressões devem ser expressas
como pressões absolutas ou como pressões manométricas.
AVALIAR
(14.17)
Os índices 1 e 2 referem-se a qualquer par de pontos ao longo do tubo de escoamento, então podemos
também escrever
P
pa ...r_.a
.. a .s.o.
dos fluidos
Exemplo
14.7
DA ÁGUA EM UMA CASA A água entra em uma
casa através de um tubo com diâmetro interno de 2,0 cm, com
PRESSÃO
uma pressão absoluta igual a 4,0 x 105 Pa (cerca de 4 atm). Um
tubo com diâmetro interno de 1,0 cm conduz ao banheiro do
segundo andar a 5,0 m de altura (Figura 14.24). Sabendo que no
tubo de entrada a velocidade é igual a 1,5 m/s, ache a velocidade
do escoamento, a pressão e a vazão volumétrica no banheiro.
lIiD!IB
IDENTIFICAR:
estamos supondo que a água escoe a uma taxa
constante. O tubo tem um diâmetro relativamente grande, então é
razoável desprezar o atrito interno. A água é bastante incompressível, portanto a equação de Bernoulli pode ser aplicada com uma
boa aproximação.
os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo de
entrada e no banheiro, respectivamente. O problema fornece a
PREPARAR:
86
FíSICA
I1
velocidade U I e a pressão PIno tubo de entrada, e os diâmetros
do tubo nos pontos I e 2 (por meio dos quais calculamos as áreas
AI e Az). Fazemos YI = O (na entrada) e Yz= 5,0 m (no banheiro).
As duas primeiras variáveis que precisamos encontrar são a velocidade Uz e a pressão Pz. Como temos mais de uma incógnita,
usamos tanto a equação de Bernoulli quanto a equação da continuidade para um fluido incompressível. Assim que encontrarmos
Uz, podemos calcular a vazão volumétrica
uzAz no ponto 2.
encontramos a velocidade Uzno banheiro usando a
equação da continuidade, Equação (14.10):
EXECUTAR:
7T(I,Ocm)Z
AI
Vz = -VI
Az = 7T( 0,50 cm \?( 1,5 m/s)
= 6,0 m/s
Conhecemos PI e VI e podemos achar Pz pela equação de Bemoulli:
I
Pz = PI - 2p(vl-
v?)
- pg(yz
- YI)
= 4,0
X 105 Pa
I
--C
2
1,0
-(1,0
= 4,0
=
X
X
103 kg/m3)
(36 mZ/sz - 2,25 mZ/sZ)
103kg/m3)(9,Sm/sZ)(5,Om)
X 105 Pa - 0,17 X 105 Pa - 0,49 X 105 Pa
=
3,3 X 105 Pa
--
'-------------
A Figura 14.25 mostra um tanque
de armazenamento de gasolina com uma seção reta de área AI'
cheio até uma altura h. O espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente está a uma pressão Po, e a gasolina flui para fora
através de um pequeno tubo de área Az. Deduza expressões para
a velocidade de escoamento no tubo e para a vazão volumétrica.
VELOCIDADE
lm!!IB
IDENTIFICAR:
podemos considerar o volume inteiro do líquido
que flui como um único tubo de escoamento com atrito interno desprezível. Podemos, portanto, aplicar o princípio de Bemoulli.
PREPARAR: os pontos I e 2 na Figura 14.25 estão na superfície
da gasolina e no tubo de saída, respectivamente. No ponto I, a
pressão é Po, e no ponto 2 é a pressão atmosférica, Patm' Fazemos
Y = O no tubo de saída, de modo que YI = h e Yz = O. Como AI é
muito maior do que Az, a superfície superior da gasolina escoará
muito lentamente, e podemos encarar v I praticamente igual a
zero. Encontramos a variável procurada, Vz, com a Equação
(14.17) e a vazão volumétrica com a Equação (14.11).
EXECUTAR:
Po
dV
Azvz
= 4,7
=
aplicamos a equação de Bemoulli aos pontos I e 2:
3,3 atm
A vazão volumétrica é
-dt =
DE EFLUXO
7T(0,50
X 10-4 m3/s
X
IO-z m)Z(6,0 m/s)
= 0,47 L/s
esta é uma vazão volumétrica razoável para uma torneira de banheiro ou chuveiro. Note que, quando a torneira está
fechada, tanto v I quanto Vz são zero, o termo 4 p (vl - V?) se
anula e a pressão Pz sobe para 3,5 x 105 Pa.
+
-pv)
I
z
vl
=
2
+
pgh _-
v (z
+
Patm
+
I
-pvz
2
2 (Ro - p Patm )
+
+
z
pg
() O
2gh
Usando v I = O, obtemos
AVALIAR:
Vz z -_
2 (Po - p Patm)
+
2gh
Conforme a Equação (14.11), a vazão volumétrica dV/dt = vzAz.
AVALIAR: a velocidade uz, algumas vezes chamada de velocidade de efiuxo, depende da altura do nível h do líquido no tanque e
da diferença de pressão (Po - Patm). Se o tanque estivesse aberto
para a atmosfera em sua parte superior, não existiria excesso de
pressão: Po= Patm e Po- Patm= O. Nesse caso,
Vz
=
v2ih
Ou seja, a velocidade de efluxo de uma abertura situada a uma
distância h abaixo da superfície superior do líquido é a mesma
Tanque de
água quente
Fornecimento
de água
(tubo de 2 em)
Figura 14.24 Qual é a pressão da água no banheiro do segundo andar
Figura 14.25 Esquema para calcular a velocidade
desta casa?
que escoa pela parte inferior do tanque de armazenamento.
de efluxo da gasolina
Capítulo 14 Mecânica
velocidade que teria um corpo caindo livremente de uma altura h.
Esse resultado é conhecido como teorema de Torricelli. Ele vale
também para uma abertura lateral na parede do recipiente situada
uma distância h abaixo da superfície superior do líquido. Nesse
caso, a vazão volumétrica é
dV =
dt
A2
Viih
-------- ----
---
.•.
-
o MEDIDOR DE VENTURI A Figura 14.26 mostra um medidor
de Ventllri, usado para medir a velocidade de escoamento em um
tubo. A parte estreita do tubo denomina-se garganta. Deduza uma
expressão para a velocidade de escoamento VI em termos das
áreas das seções retas A I e A2 e da diferença de altura h entre os
níveis dos líquidos nos dois tubos verticais.
lmI!IfDI
IDENTIFICAR:
o escoamento é estacionário, e supomos que o
fluido seja incompressível e que seu atrito interno seja desprezível. Podemos, portanto, aplicar a equação de Bernoulli.
PREPARAR:
aplicamos a equação de Bernoulli à parte larga do
tubo (ponto I) e à parte estreita (ponto 2). A diferença de altura
entre os dois tubos verticais nos dá a diferença de pressão entre
os pontos I e 2.
EXECUTAR:
os dois pontos estão na mesma coordenada vertical
0'1 = )'2), então aplicamos a Equação (14.17):
I
PI
+
2PVI
2 _
-
1
P2
+
2
2PV2
Pela equação da continuidade, V2 = (A I IA2)
valor na equação e reagrupando, obtemos
V
I, Substituindo esse
Conforme o que vimos na Seção 14.2, a diferença de pressão
Pt - P2 é também igual a pglI, onde II é a diferença de altura entre
os níveis dos líquidos nos dois tubos. Combinando esse resultado
com a equação anterior e explicitando V I' obtemos
conceitual
A diferença entre as alturas é resultado de
uma pressão
'c~.:ta
h ~..,
na gacganta (ponto 2).
14.10
SOBRE
A ASA
DE UM AVIÃO
A Figura
14.27a mostra as linhas de escoamento em torno da seção reta da
asa de um avião. As linhas de escoamento se concentram acima
da asa, indicando um aumento da velocidade de escoamento e
correspondendo a uma pressão mais baixa nessa região, tal como
no caso da garganta do medidor de Venturi. A força de baixo para
cima na asa do avião é maior do que a força de cima para baixo;
a força resultante de baixo para cima é chamada de força de SllStentaçelo. A sustentação não é simplesmente devida ao impulso do
ar que incide sobre a parte de baixo da asa; na realidade, verificase que a redução da pressão sobre a superfície superior da asa dá
a maior contribuição para a sustentação. (Essa discussão altamente simplificada despreza a formação de redemoinhos; uma discussão mais completa deveria levar isso em consideração.)
Podemos também entender a força de sustentação com base
nas variações do momento linear. A Figura 14.27a mostra que
existe uma variação do momento linear vertical resultante de
cima para baixo produzida pelo escoamento do ar que passa em
torno da asa, correspondendo à força de cima para baixo que a asa
exerce sobre o ar. A força de reação sobre a asa é orientada de
baixo para cima, conforme concluímos anteriormente.
Um padrão de escoamento e uma força de sustentação
semelhantes são encontrados nas vizinhanças de qualquer objeto
curvo ao vento. Com um vento suficientemente forte, a força de
sustentação na parte superior de um guarda-chuva pode virá-Io
para cima. Uma força de sustentação também age sobre um carro
em alta velocidade, devido ao ar que se move sobre a superfície
curva do topo do carro. Tal força de sustentação pode reduzir a
tração dos pneus do carro, razão pela qual muitos carros são
equipados com um spoiler aerodinâmico na traseira. O spoiler
tem a forma de uma asa virada para baixo e aplica uma força para
baixo sobre as rodas traseiras.
SUSTENTAÇÃO
Um equívoco a respeito das asas Explicações simplificadas muitas vezes afirmam que o ar se desloca
mais rápido sobre a parte de cima de uma asa porque "tem
mais espaço a percorrer". Essa explicação supõe que duas
moléculas de ar adjacentes que se separam no bordo de ataque (parte da frente) da asa, uma se dirigindo à superfície
superior e a outra à superfície inferior, devem encontrar-se
novamente no bordo de fuga (parte de trás) da asa. Isso não
é correto! A Figura 14.27b mostra uma simulação de computador do escoamento de parcelas de ar em torno de uma asa
de avião. As faixas adjacentes no bordo de ataque da asa nelO
se encontram no bordo de fuga porque o escoamento sobre a
parte de cima da asa é, na verdade, mais rápido do que na
parte de baixo. Conforme a equação de Bernoulli, essa velocidade maior implica uma pressão menor sobre a asa (e, portanto, uma maior força de sustentação).
ATENÇÃO
Figura 14.26 O medidor de Venturi.
87
AVALIAR:
como AI é maior do que A2, V2 é maior do que VI e a
pressão P2 na garganta é menor do que PI' Uma força resultante
orientada da esquerda para a direita acelera o fluido quando ele
entra na garganta, e uma força resultante orientada da direita para
a esquerda freia o fluido depois que ele sai.
Exemplo
--
dos fluidos
88
FíSICA
II
(a) Linhas de escoamento em torno da asa de um avião.
As linhas de escoamento do ar que se movem sobre a parte
de cima da asa se aglomeram, portanto a velocidade do
escoamento é maior e a p~essão, em conseqüência, é menor.
p.
;..
--+
~:::::-:---
~~~
p.1
stJ ó,p (ar)
/.'f
Pf
Uma explicação equivalente: a forma da asa cria um
momento linear total de cima para baixo sobre o ar,
então a força de reação sobre o avião é para cima.
(b) Simulação do computador do escoamento do ar
ao redor da asa de um avião.
Imagem de parcelas de ar escoando ao redor de
uma asa. o que mostra que o ar se move muito
mais depressa na parte superior do que na parte
inferior (e que as parcelas de ar que estão juntas
no bordo de ataque da asa não se encontram no
bordo de fuga!).
Figura 14.27 (a) Linhas de escoamento em torno da asa de um avião. O
linear de uma parcela de ar (em relação à asa) é Pi , antes de
encontrar a asa; e PI, depois de sair da asa. (b) Simulação de computador de
momento
faixas de ar escoando ao redor de uma asa.
da Seção 14.5 Qual é a afirmação mais correta a respeito do princípio de Bernoulli? (i) O ar que
se move mais depressa provoca uma pressão mais baixa; (ii) a
pressão mais baixa faz com que o ar se mova mais rápido; (iii) as
afirmativas (i) e (ii) são igualmente corretas. I
Teste sua compreensão
*14.6
Viscosidade e turbulência
Ao estudarmos o escoamento de fluidos, supusemos
que o fluido não apresentasse atrito interno e que o escoamento fosse laminar. Embora essas suposições sejam válidas
em muitas situações, em várias situações físicas importantes
os efeitos da viscosidade (atrito interno) e turbulência (escoamento não laminar) são fundamentais. Vamos estudar brevemente algumas dessas situações.
Viscosidade
A viscosidade
é o atrito interno em um fluido. As
forças da viscosidade se opõem ao movimento de uma
parte do fluido em relação à outra. A viscosidade é a razão
pela qual você realiza um esforço para remar em uma
canoa se deslocando em águas calmas, mas é também a
razão pela qual você consegue remar. Os efeitos da viscosidade são importantes para o escoamento através de tubos,
para o fluxo do sangue, para a lubrificação de diversas
partes das máquinas e muitas outras situações.
Fluidos que escoam facilmente, como a água ou a
gasolina, possuem menos viscosidade do que líquidos
'espessos' como o mel ou o óleo de motor. As viscosidades
de todos os fluidos dependem muito da temperatura; à
medida que a temperatura aumenta, a viscosidade aumenta
nos gases e diminui nos líquidos (Figura 14.28). Um objetivo fundamental no projeto de óleos para a lubrificação de
máquinas é reduzir a variação de temperatura da viscosidade tanto quanto possível.
Um fluido viscoso tende a aderir a uma superfície sólida em contato com ele. Existe uma camada fina chamada de
camada limite do fluido nas proximidades da superfície, ao
longo da qual o fluido está praticamente em repouso em
relação à superfície sólida. É por essa razão que partículas
de poeira aderem às lâminas de um ventilador, mesmo quando ele gira rapidamente, e é também por isso que você não
consegue eliminar toda a sujeira do carro simplesmente
jogando água sobre ele com uma mangueira.
A viscosidade tem efeitos importantes sobre o escoamento de líquidos através de tubos, inclusive para o fluxo
do sangue no sistema circulatório. Pense em um fluido com
viscosidade zero de modo a poder aplicar a equação de
Bernoulli, a Equação (14.17). Se as duas extremidades de
um longo tubo cilíndrico estão à mesma altura (YI = Y2) e a
velocidade do escoamento é a mesma em ambas as extremidades (VI = V2), então a equação de Bernoulli nos diz que
a pressão é a mesma em ambas as extremidades. Entretanto,
esse resultado simplesmente não é verdadeiro se levarmos
em conta a viscosidade. Para ver por que, considere a
Figura 14.29, que mostra o perfil das velocidades no escoamento laminar de um fluido viscoso em um longo tubo
cilíndrico. Devido à viscosidade, a velocidade é zero nas
paredes do tubo (às quais o fluido adere) e máxima no
centro do tubo. O escoamento é como uma série de tubos
concêntricos escorregando em relação um ao outro, com o
tubo central movendo-se mais rapidamente e o tubo mais
externo em repouso. As forças de viscosidade entre os
tubos se opõem a esse escorregamento; para manter o
fluxo, devemos aplicar uma pressão mais forte na parte de
trás do que na parte da frente. É por isso que você aperta
um tubo de pasta de dentes ou uma embalagem de ketchup
(ambos fluidos viscosos) para fazer o fluido sair de seu
recipiente. Seus dedos imprimem uma pressão à parte de
trás que é bem maior do que a pressão atmosférica na parte
da frente do escoamento.
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
89
Seção reta de um
tubo cilíndrico ....
~
I
v verSllS r
o perfil
da velocidade de um
fluido com viscosidade escoando
no tubo apresenta uma forma parabólica.
Figura 14.29 Perfil de velocidades
em um tubo cilíndrico.
Figura 14.28 A lava é um exemplo
viscosidade.
mais quente
A viscosidade
diminui
a lava, mais facilmente
de escoamento
de um fluido com
com o aumento da temperatura: quanto
ela escoa.
A diferença de pressão necessária para manter uma dada
vazão volumétrica em um tubo cilíndrico de comprimento L
e raio R é proporcional a uIt. Se reduzirmos R à metade, a
pressão necessária aumenta em 24 = 16; se diminuirmos R de
um fator de 0,90 (uma redução de 10%), aumentamos a diferença de pressão de um fator de (1/0,90)4 = 1,52 (um aumento de 52%). Essa relação simples explica a relação entre uma
dieta com elevado teor de colesterol (que tende a estreitar as
artérias) e a alta pressão sanguínea. Devido à dependência de
mesmo um pequeno estreitamento nas artérias pode levar
a uma elevação substancial na pressão sanguínea e aumentar a tensão sobre o músculo cardíaco.
It,
no escoamento
de um fluido viscoso
escoar em lâminas, e mais provável é que o escoamento
seja laminar. (Quando discutimos a equação de Bernoulli
na Seção 14.5, supusemos que o escoamento fosse laminar
e que o fluido tivesse viscosidade zero. Na verdade, um
pouco de viscosidade é necessário para assegurar que o
escoamento seja laminar.)
Em um fluido de uma dada viscosidade, a velocidade
do escoamento é um fator determinante no estabelecimento
da turbulência. Uma configuração de escoamento que é
estável em velocidades baixas pode tomar-se, subitamente,
instável quando a velocidade supera certo valor crítico. As
irregularidades no escoamento podem ser produzidas por
rugosidades no interior da parede do tubo, variações na densidade do fluido e muitos outros fatores. Em velocidades
pequenas, essas perturbações são amortecidas; a configuração do escoamento é estável e tende a manter sua natureza
laminar (Figura 14.30a). Porém, quando a velocidade crítica
é atingida, a configuração do escoamento toma-se instável.
As perturbações não são mais amortecidas e crescem até que
toda a configuração laminar seja destruída (Figura 14.30b).
(a)
(b)
Turbulência
Quando a velocidade do escoamento de um fluido
supera um certo valor crítico, o escoamento deixa de ser
laminar. A configuração do escoamento torna-se extremamente irregular e complexa, variando continuamente com
o tempo; não existe nenhuma configuração com escoamento estacionário. Esse escoamento irregular e caótico denomina-se turbulência. A Figura 14.21 mostra o contraste
entre um escoamento laminar e um escoamento turbulento
quando a fumaça sobe no ar. A equação de Bernoulli não
pode ser aplicada em regiões onde existe turbulência, porque o escoamento não é estacionário.
O fato de um escoamento ser laminar ou turbulento
depende em parte da viscosidade do fluido. Quanto maior
a viscosidade, maior a tendência que o fluido possui para
Figura 14.30 O escoamento de água de uma torneira é (a) laminar em
velocidades baixas, mas (b) turbulento em velocidades suficientemente altas.
90
FíSICA
II
o
escoamento do sangue na aorta humana é laminar,
porém pequenas perturbações patológicas podem fazer o
escoamento se tomar turbulento. A turbulência produz ruído,
e é por isso que escutar o escoamento do sangue com um
estetoscópio é uma técnica de diagnóstico bastante útil.
--
--------
A trajetória de uma bola curva é realmente
curva? A resposta é sim, e a curva é produzida pela turbulência.
A Figura 14.31a mostra uma bola que se move através do ar da
esquerda para a direita. Para um observador que se move junto
com o centro da bola, a corrente de ar parece se mover da direita
para a esquerda, como mostrado pelas linhas de escoamento na
figura. Em virtude das elevadas velocidades normalmente envolvidas (cerca de 160 krnJh), existe uma região de escoamento
turbulento atrás da bola.
A BOLA
CURVA
A Figura 14.31b mostra uma bola girando com 'spin para
cima'. Camadas de ar nas proximidades da superfície da bola são
puxadas no sentido do spin devido ao atrito entre o ar e a bola e por
causa do atrito interno do ar (viscosidade). A velocidade do ar em
relação à superfície da bola toma-se menor no topo da bola do que
na base, e ocorre mais turbulência na parte superior da bola do que
na parte inferior. A força resultante faz a bola se desviar para baixo,
conforme indicado na Figura 14.31 c. Essa é a razão pela qual o top
spin, ou 'spin para cima', é usado no tênis em saques velozes para
manter a bola dentro do campo (Figura 14.31d). No lançamento de
uma bola curva no beisebol, a bola gira em tomo de um eixo aproximadamente vertical e a curva real obtida é lateral. Nesse caso, a
Figura 14.31c mostra uma vista de topo da situação. Uma bola
curva lançada por um arremessador que usa a mão esquerda sofre
um desvio na direção de um rebatedor que usa a mão direita, dificultando a rebatida (Figura 14.3Ie).
(a) Movimento do ar
em relação a uma bola
que não gira.
(b) Movimento de uma
bola que gira.
Teste sua compreensão da Seção 14.6 Que pressão adicional uma enfermeira deve aplicar com o polegar para dar uma
injeção com uma agulha hipodérmica de diâmetro interno igual a
0,30 mm em comparação com a pressão necessária para aplicar
uma injeção com uma agulha de diâmetro interno igual a 0,60 mm?
Suponha que as duas agulhas tenham o mesmo comprimento e que
a vazão volumétrica seja a mesma em ambos os casos. (i) O dobro;
(ii) 4 vezes; (iii) 8 vezes; (iv) 16 vezes; (v) 32 vezes. I
Resumo
Densidade e pressão: a densidade é a massa por unidade de volume.
Se a massa m de um corpo homogêneo possui volume V, sua densidade p é a razão m/V. A densidade relativa é a razão entre a densidade de
um material e a densidade da água. (Veja o Exemplo 14.1.)
(c) Força gerada quando uma bola que gira se move no ar.
Este lado da bola se move no sentido
contrário ao escoamento do ar.
Uma bola em movimento arrasta o ar adjacente consigo.
Assim, quando o ar passa por uma bola que gira:
_---_
······0
t',
......~~'v, ..
Este iado se move no mesmo
sentido do escoamento de ar.
(d) Spin puxando uma bola de tênis para baixo.
Um efeito semelhante ocorre com uma bola de golfe, que
sempre possui 'spin para trás' devido ao impacto da face inclinada do taco de golfe. A diferença de pressão resultante entre
a parte superior e a parte inferior da bola produz uma força de
sustentação que permite mantê-Ia suspensa no ar durante um
tempo maior do que se não houvesse o spin. Quando uma
tacada é bem dada, a bola de golfe parece 'flutuar' acima do
local de onde partiu ou, até mesmo, desviar-se para cima
durante a porção inicial da trajetória. Trata-se de um efeito
real e não de uma ilusão. As pequenas reentrâncias da bola
desempenham um papel essencial; para uma mesma velocidade inicial e uma mesma rotação, a viscosidade do ar produziria
uma trajetória mais curta em uma bola sem reentrâncias do
que no caso de uma bola com reentrâncias. A Figura 14.31 f
mostra o 'spin para trás' adquirido pela bola de golfe logo
após o impacto com o taco.
~
•.................. De um lado, a bola retarda
o ar, criando
C:.•.............. ..'Do
outro lado, a bola acelera
uma região de baixa pressão.
(e) Spin fazendo uma bola se
desviar lateralmente.
o ar, criando
uma região de alta pressão.
A força resultante aponta no sentido do
lado de baixa pressão.
(f) Spin
para trás em uma bola de golfe.
Figura 14.3 1 (a)-( e) Analisando o movimento de uma bola que gira no ar. (f) Fotografia estroboscópica de uma bola de golfe sendo arremessada por
um taco. A fotografia foi feita com 1000 flashes por segundo. A bola faz uma volta completa depois de oito fotografias, correspondendo
a uma velocidade angular de 125 rev/s ou 7.500 rpm.
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
Pressão é a força normal por unidade de área. A lei de Pascal
afirma que a pressão aplicada sobre a superfície de um fluido
fechado é transmitida sem diminuição a todos os pontos do fluido.
A pressão absoluta é a pressão total em um fluido; a pressão manométrica é a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica. A unidade SI de pressão é o pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m2•
(Veja o Exemplo 14.2.)
m
p
=
(14.1 )
V
dF1-
P=d:4
(14.2)
Pequena área dA no interior do fluido em repouso
~
dF1-
\
I
dA
laminar, as camadas do fluido deslizam suavemente umas sobre
as outras. No escoamento turbulento existe uma grande desordem
e a configuração do escoamento muda constantemente.
A conservação da massa de um fluido incompressível é
expressa pela equação da continuidade, que relaciona as velocidades de escoamento u I e U2 para duas seções retas A I e A2 ao
longo de um tubo de escoamento. O produto Au é a vazão vo/umétrica, dV/dt, a taxa com a qual o volume atravessa uma seção
reta do tubo. (Ver Exemplo 14.6.)
A equação de Bernoulli relaciona a pressão P com a velocidade U e a altura Y para quaisquer dois pontos, supondo o escoamento
estacionário de um fluido ideal. (Veja os exemplos 14.7-14.10.)
AlUI = A2u2
(equação da continuidade, fluido incompressível)
---
( 14.10)
dV
dF1-
t
-dt =
/
PI
Forças normais iguais exercidas sobre
ambos os lados pelo fluido circundante
+
pgYI
Au (vazão volumétrica)
+
I
-PUI
2 _
- P2
(14.5)
P = Po + pgh
(pressão em um fluido de densidade uniforme)
(14.6)
Principais termos
Empuxo: O princípio de Arquimedes afirma que, quando um
corpo está imerso em um fluido, ele exerce sobre o corpo uma
força de empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. (Veja o Exemplo 14.5.)
Escoamento de fluidos: Um fluido ideal é incompressível e não
possui viscosidade (atrito interno). Uma linha de escoamento é a
trajetória de uma partícula do fluido; uma linha de corrente é uma
curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido do
vetor velocidade. Um tubo de escoamento é delimitado em sua
superfície externa por linhas de escoamento. No escoamento
+
pgY2
2
(equação de Bernoulli)
Pressões em um fluido em repouso: a diferença de pressão entre
os pontos 1 e 2 em um fluido em repouso de densidade p uniforme (um
fluido incompressível) é proporcional à diferença entre as alturas YI e
)'2· Se a pressão na supelfície de um fluido incompressível em repouso
é Pu, a pressão em uma profundidade h é dada pela soma entre a pressão de superfície mais pgh. (Veja os exemplos 14.3 e 14.4.)
P2 - PI = -pg (Y2 - YI)
(pressão em um fluido de densidade uniforme)
91
barômetro de mercúrio, 78
densidade, 72
densidade média, 73
densidade relativa, 73
dinâmica dos fluidos, 72
empuxo, 79
escoamento estacionário, 82
escoamento laminar, 82
escoamento turbulento, 82
estática dos fluidos, 72
equação da continuidade, 82
equação de Bernoulli, 85
fluido ideal, 82
força de empuxo, 79
lei de Pascal, 76
linha de corrente, 82
linha de escoamento, 82
pascal, 74
pressão, 74
pressão absoluta, 77
pressão atmosférica, 74
pressão manométrica, 77
(14.11)
I
+ -PU2
2
2
(14.17)
92
FíSICA
II
princípio de Arquimedes, 79
tensão superficial, 81
tubo de escoamento, 82
turbulência, 89
viscosidade, 82
Resposta à Pergunta
Inicial
do Capítulo
Tanto o corpo do tubarão quanto o do peixe tropical são mais
densos do que a água do mar; portanto, se dependessem apenas
desse fator, ambos afundariam. Entretanto, o peixe tropical possui uma cavidade cheia de gás no corpo chamada bexiga natatória, de forma que a densidade média do corpo do peixe é a mesma
que a da água do mar e o peixe nem afunda nem emerge. Os tubarões não possuem bexiga natatória. Assim, eles precisam nadar
constantemente para não afundar, usando suas barbatanas peitorais para obter a força de sustentação, de modo bastante semelhante ao funcionamento das asas de um avião (veja a Seção ]4.5).
ria a 'vazão volumétrica' (número de carros por segundo passando
por um ponto na estrada) constante. Na vida real, os carros se comportam como moléculas de um fluido compressíve/: acabam se
aglomerando (a 'densidade' aumenta), e menos carros por segundo
passam por um ponto na estrada (a 'vazão vo]umétrica' diminui).
14.5 Resposta: (ii). A segunda lei de Newton afirma que um corpo
acelera (sua velocidade varia) em reação a uma força resultante. No
escoamento de fluidos, a diferença de pressão entre dois pontos
significa que as partículas do fluido que se movem entre esses dois
pontos são submetidas a uma força que faz com que as partículas
do fluido acelerem e tenham velocidade variável.
14.6 Resposta: (iv). A pressão necessária é proporcional a I/R4,
onde R é o raio interno da agulha (metade do diâmetro interno).
Com a agulha de diâmetro menor, a pressão aumenta de um fator
[(0,60 mm) / (0,30 mm)t = 24 = 16.
Questões para discussão
Q14.1 Um cubo de carvalho de faces lisas normalmente
Respostas às Perguntas
dos Testes de
Compreensão
14.1 Resposta: (ü), (iv), (i) e (iü) (empate), (v). Em todos os casos a
densidade média é igual à massa dividida pelo volume. Logo, temos
(i) p = (4,0 kg) / (1,60 X 10-3 m3) = 2,50 x 103 kg/m3;
(ii) p = (8,0 kg) / (] ,60 x 10-3 m3) = 5,0 x ] 03 kg/m3;
(iii) p = (8,0 kg) / (3,20 x 10-3 m3) = 2,50 x ] 03 kg/m3;
(iv) p = (2560 kg) / (0,640 m3) = 2,50 x 103 kg/m3;
(v) p = (2560 kg) / (1,28 m3) = 2,0 x 103 kg/m3. Note que, em
comparação com o objeto (i), o objeto (ii) possui o dobro da massa,
porém o mesmo volume e, assim, tem o dobro da densidade média.
O objeto (iii) possui o dobro da massa e o dobro do volume do
objeto (i), logo, (i) e (iii) apresentam a mesma densidade média.
Finalmente, o objeto (v) tem a mesma massa que o objeto (i v),
porém, o dobro do volume, então (v) possui a metade da densidade
média de (iv).
14.2 Resposta: (ii). Pela Equação (14.9), a pressão fora do barômetro é igual ao produto pgh. Quando o barômetro é retirado do
refrigerador, a densidade p diminui, enquanto a altura h da coluna
de mercúrio permanece igual. Assim, a pressão do ar deve ser mais
baixa fora do que dentro do refrigerador.
14.3 Resposta: (i). Considere a água, a estátua e o recipiente um
sistema; o peso total do sistema não depende do fato de a estátua
estar submersa ou não. A força de reação total, inclusive a tensão T
e a força F de baixo para cima que a balança exerce sobre o recipiente (igual à leitura da balança), é a mesma em ambos os casos.
Entretanto, como vimos no Exemplo 14.5, T diminui em 7,84 N
quando a estátua é submersa, então a leitura da balança F precisa
aumentar em 7,84 N. Um ponto de vista alternativo é o de que a
água exerce uma força de em puxo de baixo para cima igual a 7,84
N sobre a estátua; logo, a estátua precisa exercer uma força igual
de cima para baixo sobre a água, tomando a leitura da balança 7,84
N maior do que o peso da água e do recipiente.
14.4 Resposta: (ii). Uma estrada que se estreita de três pistas para
uma é como um tubo cuja área da seção reta diminui para um terço
de seu valor. Se os carros se comportassem como as molécu]as de um
fluido incompressível, à medida que os carros atingissem o trecho de
uma pista, o espaçamento entre os carros (a 'densidade') permaneceria o mesmo, porém, a velocidade dos carros trip]icaria. Isso mante-
flutua na
água. Suponha que você o submergisse completamente e pressionasse uma das faces contra o fundo do tanque de modo que não
houvesse água sob essa face. O bloco subiria à superfície e flutuaria? Há uma força de empuxo atuando sobre ele? Explique.
Q14.2 Uma mangueira de borracha é ligada a um funil, e a extremidade livre é encurvada para apontar para cima. Derramando-se
água no funil, ela sobe na mangueira até um nível igual ao nível
da água no funil, embora o volume da água do funil seja maior do
que o volume da água na mangueira. Por quê? O que sustenta o
peso adicional da água no funil?
Q14.3 Comparando os exemplos 14.1 (Seção] 4.1) e 14.2 (Seção
14.2), parece que um peso de 700 N de ar exerce uma força para
baixo igual a 2,0 x 106 N sobre o piso. Como isso é possível?
Q14.4 A Equação (14.7) mostra que uma razão de 100 para] pode
fornecer uma força na saída ]00 vezes maior do que a força na
entrada. Isso viola a conservação da energia? Explique.
Q14.5 Você deve ter notado que, quanto menor for a pressão de um
pneu, maior será a área de contato entre o pneu e o pavimento.
Por quê?
Q14.6 No ba]onismo, enche-se um balão grande com ar aquecido
por um combustor de gás situado na parte inferior do balão. Por
que o ar deve ser aquecido? Como o balonista controla a ascensão
e a descida do balão?
Q14.7 Para descrever o tamanho de um grande navio é costume usarse expressões do tipo "ele desloca 20000 toneladas". O que isso
significa? O peso do navio pode ser calculado por essa informação?
Q14.8 Você coloca uma esfera maciça de alumínio dentro de um
balde com água em repouso sobre o solo. A força de empuxo é
igual ao peso da água deslocada; este é menor do que o peso da
esfera, logo a esfera afunda até a base do balde. Se você transporta
o balde até um elevador que sobe verticalmente com aceleração
constante, o peso aparente da água aumenta e a força de empuxo
aumenta também. Caso a aceleração do elevador seja suficientemente elevada, a esfera pode saltar para fora da água? Explique.
Q14.9 Um dirigível resistente, mais leve do que o ar e cheio de
hélio não pode continuar subindo indefinidamente. Por quê? Qual
é o fator que determina a altura máxima que ele pode atingir?
Q14.10 A pressão do ar diminui com o aumento da altura. Então
por que o ar da superfície terrestre não é continuamente empurrado pela diferença de pressão para as camadas mais elevadas, de
baixa pressão?
Capítulo 14 Mecânica
dos fluidos
93
QI4.11 A pureza do ouro pode ser testada medindo-se seu peso no
Q14.25 Se a velocidade em cada ponto do espaço de um escoamen-
ar e na água. Como? Você acha que conseguiria enganar as pessoas
fabricando uma falsa barra de ouro recobrindo de ouro um material
mais barato?
Q14.26 Na vitrine de uma loja, uma bola de tênis de mesa flutua no
Q14.12 Durante a grande inundação do Mississipi em 1993, os diques
em St. Louis tendiam a se romper primeiro na base. Por quê?
Q14.13 Um navio cargueiro está viajando no Oceano Atlântico (água
salgada) e entra pelo Rio St. Lawrence no Lago Ontário (água doce).
No Lago Ontário, o navio flutua a um nível diversos centímetros
mais baixo do que o nível da flutuação no oceano. Por quê?
Q14.14 Você empurra um pedaço de madeira para dentro de uma
piscina. Depois que ele submergiu completamente, você continua
empurrando-o mais para o fundo. Enquanto faz isso, o que acontecerá com a força do em puxo sobre o objeto? Ela continuará aumentando, ficará igualou diminuirá? Por quê?
Q14.15 Uma velha pergunta é: "O que pesa mais, um quilo de pena
ou um quilo de chumbo?". Como o peso resulta da força gravitacional, suponha que você coloque um quilograma de penas em um
prato de uma balança de braços iguais e coloque no outro prato um
quilograma de chumbo. A balança ficará equilibrada? Explique,
levando em conta a força de empuxo.
Q14.16 Suponha que a porta de uma sala esteja ajustada ao marco
sem atrito, impedindo a passagem do ar. Se a pressão de um lado
da porta for igual a uma atmosfera-padrão e a pressão do outro lado
for I% maior do que a atmosfera-padrão, ela se abrirá? Explique.
Q14.17 A uma certa profundidade em um líquido incompressível, a
pressão absoluta é P. A uma profundidade duas vezes maior, a
pressão absoluta será igual a 2P, maior ou menor do que 2P?
Justifique sua resposta.
Q14.18 Um pedaço de ferro está colado sobre um bloco de madeira.
Quando esse bloco, juntamente com o ferro em seu topo, é colocado
em um balde cheio de água, o bloco flutua. A seguir o bloco é invertido de modo que o ferro fique submerso, embaixo da madeira. O
bloco flutuará ou afundará? O nível da água do balde permanecerá o
mesmo, aumentará ou diminuirá? Explique suas respostas.
Q14.19 Em um tanque de água, você mergulha um pote de vidro
vazio com o bocal voltado para baixo, de modo que o ar fique preso
e não possa escapar. Se você empurrar o pote para o fundo do tanque,
a força de empuxo sobre o pote permanecerá constante? Caso não
permaneça, aumentará ou diminuirá? Explique suas respostas.
Q14.20 Você está flutuando em uma canoa no meio de uma piscina.
Seu amigo está à beira da piscina, verificando o nível de água no lado
da piscina. Você tem uma bola de boliche dentro da canoa. Se você
soltar suavemente a bola de boliche ao lado da canoa e ela afundar até
o chão da piscina, o nível da água na piscina aumenta ou diminui?
Q14.21 Você está flutuando em uma canoa no meio de uma piscina.
Um grande pássaro alça vôo e pousa no seu ombro. O nível da água
na piscina aumenta ou diminui?
Q14.22 A uma certa profundidade no oceano incompressível, a
pressão manométrica é fIg. A uma profundidade três vezes maior,
a pressão manométrica será maior do que 3Pg, igualou inferior a
3Pg? Justifique sua resposta.
Q14.23 Um cubo de gelo flutua em um copo com água. Quando o
gelo se liquefaz, o nível da água no copo permanece o mesmo,
aumenta ou diminui? Explique suas respostas.
Q14.24 Disseram a você que "A equação de Bemoulli afirma que
quando a velocidade do fluido é elevada, a pressão é baixa e viceversa". Essa afirmação é sempre verdadeira? Explique.
to estacionário é constante, como uma partícula pode acelerar?
ar empurrada por um jato de ar proveniente da saída do cano de um
aspirador de pó. A bola oscila um pouco, porém sempre permanece
próxima do centro do jato, mesmo quando o jato está ligeiramente
inclinado. Como esse comportamento
ilustra a equação de
Bemoulli?
Q14.27 Um tomado é um redemoinho de ar muito veloz. Por que a
pressão no centro é sempre muito menor do que a pressão na periferia? Como essa condição é responsável pelo poder de destruição
de um tomado?
Q14.28 O comprimento
das pistas de pouso e decolagem de aeroportos situados em altitudes elevadas é maior do que o comprimento das pistas de aeroportos situados ao nível do mar. Uma razão
para isso é que o motor do avião desenvolve menor potência no ar
rarefeito em altitudes elevadas. Qual é a outra razão?
Q14.29 Quando uma corrente de água sai suavemente de uma torneira, a sua largura diminui à medida que a corrente cai. Explique
por que isso acontece.
Q14.30 Cubos de chumbo e alumínio de tamanho idêntico são
suspensos em diferentes profundidades por dois fios em um grande
tanque de água (Figura 14.32). (a) Qual dos cubos é submetido a
uma maior força de empuxo? (b) Em qual dos cubos a tensão do
fio é maior? (c) Qual dos cubos é submetido a uma força maior em
sua face inferior? (d) Em qual dos cubos a diferença de pressão
entre as faces superior e inferior é maior?
Alumínio
Chumbo
Figura 14.32 Questão Q 14.30.
Exercícios
Seção
14.1 Densidade
14.1 Fazendo um extra, você foi solicitado a transportar uma barra
de ferro de 85,80 em de comprimento e 2,85 em de diâmetro de um
depósito até um mecânico. Você precisará usar um carrinho de
mão? (Para responder, calcule o peso da barra.)
14.2 Milhas por quilograma. A densidade da gasolina é 737 kmlm3.
Se o seu novo carro híbrido faz 45,0 milhas por galão de gasolina,
quantas milhas ele percorrerá por quilograma de gasolina? (Veja o
Apêndice E.)
14.3 Você compra uma peça retangular de metal com massa igual a
0,0158 kg e dimensões de 5,0 x 15,0 x 30,0 mm. O vendedor diz que
o metal é ouro. Para verificar se é verdade. você deve calcular a
densidade média da peça. Qual o valor obtido? Você foi enganado?
14.4 Barra de ouro. Você ganha na loteria e decide impressionar
seus amigos exibindo um cubo de ouro de um milhão de dólares.
O ouro está sendo vendido a $ 426,60 por onça troy, e uma onça
94
F í S I C A II
troy equivale a 31,1035 g. Qual seria a altura do seu cubo de um
milhão de dólares?
14.5 Duas esferas uniformes, uma de chumbo e outra de alumínio,
possuem a mesma massa. Qual é a razão entre o raio da esfera de
alumínio e o raio da esfera de chumbo?
14.6 (a) Qual é a densidade média do Sol? (b) Qual é a densidade
média de uma estrela de nêutron que possui a mesma massa que o
Sol, mas um raio de apenas 20,0 km?
14.7 Um tubo cilíndrico de cobre vazio mede 1,50 m de comprimento e tem um diâmetro externo de 3,50 cm e um diâmetro interno de 2,50 cm. Quanto pesa esse tubo?
Seção 14.2 Pressão em um fluido
14.8 Chaminés
negras. Chaminés negras são jatos vulcânicos
quentes que emitem fumaça no fundo do oceano. Muitas dessas
chaminés negras estão repletas de animais exóticos, e alguns biólogos acreditam que a vida na Terra tenha começado ao redor delas.
Os jatos variam em profundidade de cerca de 1500 m a 3200 m
abaixo da superfície. Qual é a pressão manométrica em um jato a
3200 m de profundidade, supondo que a densidade da água não
varie? Dê a sua resposta em pascals e atmosferas.
14.9 Oceanos em Marte. Os cientistas encontraram indícios de que
Marte pode ter tido outrora um oceano com 0,500 km de profundidade. A aceleração da gravidade em Marte é 3,71 m/s2. (a) Qual seria a
pressão manométrica no fundo desse oceano, supondo que ele fosse de
água doce? (b) A que profundidade você precisaria descer nos oceanos
da Terra para ser submetido à mesma pressão manométrica?
14.10 (a) Calcule a diferença na pressão sanguínea entre os pés e o
topo da cabeça de uma pessoa de 1,65 m de altura. (b) Considere
um segmento cilíndrico de um vaso sanguíneo de 2,0 cm de comprimento e 1,50 mm de diâmetro. Que força externa adicional esse
vaso precisaria suportar nos pés em comparação a um vaso semelhante na cabeça dessa pessoa?
14.11 Na alimentação intravenosa, uma agulha é inserida em uma
veia no braço do paciente, e um tubo vai da agulha até um reservatório de fluido (densidade igual a 1050 kg/m3) localizado em uma
altura h acima do braço. A parte superior do reservatório é aberta
para o ar. Se a pressão manométrica dentro da veia é 5980 Pa, qual
é o valor mínimo de h para que o fluido possa entrar na veia?
Suponha que o diâmetro da agulha é grande o bastante para que se
possa desprezar a viscosidade (veja a Seção 14.6) do fluido.
14.12 Um barril contém uma camada de óleo de 0,120 m flutuando
ções de densidade da água com a profundidade.) b) Sabendo que
nessa profundidade a pressão dentro do sino é igual à pressão fora
do sino, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino
e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de vidro circular com
diâmetro de 30,0 cm? (Despreze a pequena variação de pressão
sobre a superfície da janela.)
14.15 Qual deve ser a pressão manométrica desenvolvida por uma
bomba para mandar água do fundo do Grand Canyon (a uma altura
de 730 m) até o lndian Gardens (a 1370 m)? Expresse a resposta
em pascals e em atmosferas.
14.16 O líquido no manômetro de tubo aberto indicado na Figura
14.9a é o mercúrio, Yl = 3,0 cm e Y2 = 7,0 cm. A pressão atmosférica é igual a 980 milibares. a) Qual é a pressão absoluta no fundo
do tubo em forma de U? b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a uma profundidade de 4,0 cm abaixo da superfície livre? c)
Qual é a pressão absoluta do gás no tanque? d) Qual é a pressão
manométrica do gás em pascals?
14.17 Existe uma profundidade máxima na qual uma mergulhadora
(Figura 14.33) pode respirar através de um tubo snorkel (respirador),
porque, à medida que a profundidade aumenta, a diferença de pressão também aumenta, tendendo a forçar os pulmões da mergulhadora. Como o snorkelliga o ar dos pulmões à atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no interior dos pulmões é igual a uma atm. Qual
é a diferença de pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da
mergulhadora a uma profundidade igual a 6,1 m? Suponha que a
mergulhadora esteja mergulhada em água doce. (Um mergulhador
usando uma scuba [tanque com ar comprimido] e respirando o ar
comprimido desse dispositivo pode atingir profundidades muito
maiores do que um mergulhador usando o sl1orkel, uma vez que a
pressão do ar comprimido no interior da scuba compensa o aumento
da pressão da água no exterior dos pulmões.)
Pa
6,1 m
sobre água com uma profundidade igual a 0,250 m. A densidade do
óleo é igual a 600 kg/m3. a) Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a pressão manométrica no
fundo do barril?
14.13 Um carro de 975 kg tem os seus pneus cheios a '32,0 libras'.
(a) Quais são a pressão absoluta e a pressão manométrica nesses
pneus em libras/polegadas2,
Pa e atm? (b) Se os pneus fossem
perfeitamente redondos, a pressão dos pneus poderia exercer alguma força sobre o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus
sejam flexíveis para que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do ar existente no interior do pneu.) (c)
Se você examinar os pneus de um carro, verá que é óbvio que há
um certo achatamento na base. Qual é a área de contato total da
parte achatada de todos os quatro pneus com o pavimento?
14.14 Você está projetando um sino de mergulho para agüentar a
pressão da água do mar até uma profundidade de 250 m. a) Qual
é a pressão manométrica nessa profundidade? (Despreze as varia-
Figura 14.33 Exercício 14.17.
14.18 Um cilindro alto com uma área da seção reta igual a 12,0 cm2
está parcialmente cheio de mercúrio; a superfície do mercúrio está
5,0 cm acima do fundo do cilindro. Despeja-se água lentamente
sobre o mercúrio, e os dois fluidos não se misturam. Que volume
de água deve ser acrescentado para dobrar a pressão manométrica
no fundo do cilindro?
Capítulo 14 Mecânica
14.19 Um lago no extremo norte do Yukon está coberto por uma
camada de gelo de 1,75 m de espessura. Calcule a pressão absoluta
e a pressão manométrica a uma profundidade de 2,50 m no lago.
14.20 Um recipiente fechado é parcialmente preenchido com água.
Inicialmente, o ar acima da água é a pressão atmosférica (1,01 x
105 Pa), e a pressão manométrica no fundo da água é 2500 Pa. A
seguir, bombeia-se mais ar para dentro, aumentando a pressão de
ar acima da água em 1500 Pa. (a) Qual é a pressão mano métrica no
fundo da água? (b) Caso se retire água por uma válvula no fundo
do recipiente, quanto mais o nível da água precisa ser reduzido para
que a pressão manométrica no fundo da água volte a ser a original,
de 2500 Pa? A pressão do ar acima da água é mantida em 1500 Pa
acima da pressão atmosférica.
14.21 Um curto-circuito elétrico impede o fornecimento da potência
necessária para um submarino que está situado a 30 m abaixo da
superfície do oceano. A tripulação deve empurrar uma escotilha com
área de 0,75 m2 e peso igual a 300 N para poder escapar pelo fundo
do submarino. Se a pressão interna for igual a um atm, qual é a força
para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha?
14.22 Explorando Vênus. A pressão na superfície de Vênus é 92 atm,
e a aceleração da gravidade é 0,894g. Em uma futura missão de exploração, um tanque cilíndrico na vertical, contendo benzeno, é selado na
parte de cima e pressurizado 92 atm acima do benzeno. O tanque tem
um diâmetro de 1,72 m e a coluna de benzeno tem 11,50 m de altura.
Despreze os efeitos da alta temperatura em Vênus. (a) Qual a força
resultante exercida sobre a superfície interna do fundo do tanque? (b)
Que força a atmosfera venusiana exerce sobre a superfície externa do
fundo do tanque? (c) Que força total de fora para dentro exerce a
atmosfera sobre as paredes verticais do tanque?
14.23 Um disco cilíndrico de madeira, pesando 45,0 N e com um
diâmetro de 30,0 cm, flutua sobre um cilindro de óleo de densidade
0,850 g/cm3 (Figura 14.34). O cilindro de óleo está a 75,0 cm de
profundidade e tem o mesmo diâmetro que o disco de madeira. (a)
Qual é a pressão manométrica no topo da coluna de óleo? (b)
Suponha agora que alguém coloque um peso de 83,0 N sobre a
madeira, e que nenhum óleo passe pela beirada do disco de madeira. Qual é a variação de pressão (i) no fundo do cilindro de óleo e
(ii) na metade do cilindro de óleo?
k-30,Ocm~
~~
Disco de
madeira
Óleo
dos fluidos
95
14.25 Elevador hidráulico lI. O pistão de um elevador hidráulico
de carros possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a pressão manométrica, em pascals, necessária para elevar um carro com massa
igual a 1200 kg? Expresse essa pressão também em atmosferas.
Seção
14.3 Empuxo
14.26 Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce. Qual
deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de
45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem molhar os pés?
14.27 Uma amostra de minério pesa 17,50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a
tensão na corda é igual a I 1,20 N. Calcule o volume total e a densidade da amostra.
14.28 Você está preparando um aparelho para uma visita a um
planeta recém-descoberto chamado Caasi, onde há oceanos de
glicerina e cuja aceleração gravitacional na superfície é igual a
4, I5 m/s2. Se o seu aparelho flutua nos oceanos da Terra com
25,0% de seu volume submerso, que percentagem de seu volume
estará submersa nos oceanos de glicerina de Caasi?
14.29 Um objeto com densidade média P flutua na superfície livre
de um fluido com densidade Pfluido' a) Qual é a relação entre essas
duas densidades? b) Levando em conta a resposta do item (a),
como um navio de aço flutua na água? c) Em termos de P e de
P fluido' qual é a fração do objeto que fica submersa e qual é a
fração do objeto que fica acima da superfície do fluido? Verifique
se suas respostas fornecem os limites corretos quando P ---7 Pfluido
e P ---7 O. d) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo
Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular (dimensões
de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça possui massa igual
a 42 g. Quando ela flutua no oceano, que percentagem de seu
volume fica acima da superfície?
14.30 Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago
de água doce amarrada a uma corda presa no fundo do lago. O
volume da esfera é igual a 0,650 m3, e a tensão na corda é igual a
900 N. a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a
esfera. b) Qual é a massa da esfera? c) A corda se rompe e a esfera
sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração
do volume da esfera que fica submersa?
14.31 Um bloco de madeira cúbico com aresta de 10,0 cm flutua
sobre uma interface entre uma camada de água e uma camada de
óleo, com sua base situada 1,50 cm abaixo da superfície livre
do óleo (Figura 14.34). A densidade do óleo é igual a 790 kg/m3. a)
Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco? b) Qual
a pressão manométrica na face inferior do bloco? c) Quais são a
massa e a densidade do bloco?
75,0
em
1
Água
Figura 14.34 Exercício 14.23.
14.24 Elevador hidráulico I. No elevador hidráulico mostrado na
Figura 14.8, qual deve ser a razão entre o diâmetro do braço do
recipiente sob o carro e o diâmetro do braço do recipiente onde a
força é aplicada para que um carro de 1520 kg possa ser erguido
com uma força de apenas 125 N?
Figura 14.35 Exercício 14.31.
14.32 Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N no ar. a) Qual é o
seu volume? b) O lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imerso na água. Qual é a tensão na corda (o peso aparente
do lingote na água)?
96
FíSICA
II
14.33 Uma rocha é suspensa por uma corda leve. Quando a rocha
está no ar, a tensão na corda é 39,2 N. Quando a rocha está totalmente imersa na água, a tensão é 28,4 N. Quando a rocha está
totalmente imersa em um líquido desconhecido, a tensão é 18,6 N.
Qual é a densidade do líquido desconhecido?
Seção 14.4 Escoamento de um fluido
14.34 A água corre para dentro de uma fonte, enchendo todos os tubos,
a uma taxa constante de 0,750 m/S3.(a) Com que velocidade a água
jorraria de um buraco de 4,50 cm de diâmetro? (b) Com que velocidade ela jorraria se o diâmetro do buraco fosse três vezes maior?
14.35 Uma cabeça de chuveiro possui 20 aberturas circulares, cada
uma com um raio de 1,0 mm. A cabeça de chuveiro é conectada a um
cano de raio igual a 0,80 cm. Se a velocidade da água no cano é
3,0 m/s, qual é a sua velocidade ao sair pelas aberturas da cabeça?
14.36 A água escoa em um tubo cuja seção reta possui área variável
e enche completamente o tubo em todos os pontos. No ponto I, a
seção reta possui área igual a 0,070 m2 e o módulo da velocidade
do fluido é igual a 3,50 m/s. a) Qual é a velocidade do fluido nos
pontos em que a seção reta possui área igual a (i) = O,105 m2?
(ii) = 0,047 m2? b) Calcule o volume da água descarregada pela
extremidade aberta do tubo em I hora.
14.37 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui
área variável. A água enche completamente o tubo em todos os
pontos. a) Em um ponto o raio do tubo é igual a 0,150 m. Qual é a
velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é
igual a 1,20 m3/s? b) Em um segundo ponto a velocidade da água
é igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto?
14.38 a) Deduza a Equação (14.12). b) Quando a densidade cresce
1,50% de um ponto I até um ponto 2, o que ocorre com a vazão
volumétrica?
Seção 14.5 Equação de Bernoulli
14.39 Um tanque selado que contém água do mar até uma altura igual
a 11,0 m também contém ar acima da água a uma pressão manométrica igual a 3,0 atm. A água escoa para fora através de um pequeno
orifício na base do tanque. Calcule a velocidade de efluxo da água.
14.40 Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 6,0 mm é
cortado na superfície lateral de um grande tanque de água, a uma
profundidade de 14,0 m abaixo da superfície da água. O topo do
tanque está aberto para a atmosfera. Ache a) a velocidade de efluxo; b) o volume de água descarregado por segundo.
14.41 Qual é a pressão manométrica necessária no tubo principal
da rua para que uma mangueira de incêndio ligada a ele seja
capaz de lançar água até uma altura de 15,0 m? (Suponha que o
diâmetro do tubo principal seja muito maior do que o diâmetro da
mangueira de incêndio.)
14.42 Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é
3,0 m/s e a pressão manométrica é igual a 5,0 x 104 Pa. Calcule a
pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento,
11,0 m abaixo do primeiro, sabendo que o diâmetro do cano no
segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.
14.43 Sustentação de um avião. As linhas de corrente horizontais
em torno das asas de um pequeno avião são tais que a velocidade
sobre a superfície superior é igual a 70,0 m/s e sobre a superfície
inferior é igual a 60,0 m/s. Se a área da asa é igual a 16,2 m2, qual
é a força vertical resultante (incluindo o efeito da gravidade) sobre
o avião? A densidade do ar é igual a 1,20 kg/m3.
14.44 Uma bebida leve (essencialmente água) escoa em um tubo de
uma fábrica de cerveja com uma vazão volumétrica tal que deve
encher 220 latas de 0,355 L por minuto. Em um ponto 2 do tubo, a
pressão manométrica é igual a 152 kPa, e a área da seção reta é
igual a 8,0 cm2. Em um ponto I, situado 1,35 m acima do ponto 2,
a área da seção reta é igual a 2,0 cm2. Obtenha a) a vazão mássica;
b) a vazão volumétrica; c) as velocidades do escoamento nos pontos I e 2; d) a pressão manométrica no ponto I.
14.45 Em um dado ponto de um encanamento cilíndrico horizontal,
a velocidade da água é igual a 2,50 m/s e a pressão manométrica é
igual a 1,80 x 104 Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo que o diâmetro do cano no
segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.
14.46 Um sistema de irrigação de um campo de golfe descarrega
a água de um cano horizontal à taxa de 7200 cm3/s. Em um ponto
do cano em que o raio é 4,0 cm, a pressão absoluta da água é
2,40 x 105 Pa. Em um segundo ponto do cano, a água passa por
uma constrição, onde o raio é 2,0 cm. Qual é a pressão absoluta
da água ao passar por essa constrição?
Problemas
14.47 Em uma demonstração, uma professora separa facilmente
dois hemisférios ocos de aço (diâmetro D) por meio de uma alça
presa a cada um deles. A seguir, ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir uma pressão absoluta P e
entrega-os ao aluno musculoso da última fileira para que ele tente
separá-los. a) Designando por Po a pressão atmosférica, qual é a
força que o aluno musculoso deve exercer sobre cada hemisfério?
b) Avalie sua resposta para o caso P = 0,025 atm e D = 10,0 cm.
14.48 O ponto com a maior profundidade de todos os oceanos da
Terra é a fossa Marianas, com uma profundidade igual a 10,92 km.
a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a pressão
nessa profundidade? Use a densidade da água do mar. b) A pressão real nesse ponto é igual a 1,16 x 108 Pa; o valor que você
calculou deve ser menor do que esse porque, na realidade, a densidade da água varia com a profundidade. Usando o valor da
compressibilidade da água e o valor real da pressão, ache a densidade da água no fundo da fossa Marianas. Qual é a variação
percentual da densidade da água?
14.49 Uma piscina mede 5,0 m de comprimento, 4,0 m de largura
e 3,0 m de profundidade. Determine a força exercida pela água
sobre a) o fundo da piscina; b) ambas as extremidades da piscina.
(Sugestão: Calcule a força que atua sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a extremidade
da piscina.) Despreze a força produzida pela pressão do ar.
14.50 A aresta superior da comporta de uma represa está em contato
com a superfície da água. A comporta tem 2,0 m de altura, 4,0 m de
largura e uma articulação ao longo de uma linha horizontal passando pelo seu centro (Figura 14.36). Calcule o torque produzido pela
força da água em relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use um
procedimento análogo ao adotado no Problema 14.49; calcule o
torque sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta.)
Figura 14.36
Problema
14.50.
Capítulo 14 Mecânica
dos fluidos
97
14.51 Força e torque sobre uma represa. Uma represa possui
não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrário,
forma de um sólido retangular. A face de frente para o lago
atinge um valor máximo igual a 47TGA 219B = 10,0 m1s2 no ponto
r = 2A/3B = 5640 km.
possui área A e altura H. A superfície da água doce do lago
atrás da represa está no mesmo nível do topo da represa. a)
14.56 No Exemplo 12.10 (Seção 12.6) vimos que, no interior de um
Mostre que a força resultante horizontal exerci da pela água
planeta com densidade constante (uma hipótese irreal para a Terra),
sobre a represa é igual a ~pgHA, ou seja, o produto da pressão
a aceleração da gravidade cresce uniformemente com a distância
manométrica na face da represa pela área da represa. (Veja o
ao centro do planeta. Ou seja, g(r) = gsrlR, onde gs é a aceleração
Problema 14.49). b) Mostre que o torque produzido pela força
da gravidade na superfície, r é a distância ao centro do planeta e R
da água em relação ao eixo passando no fundo da represa é
é o raio do planeta. O interior do planeta pode ser considerado
dado por pgH2A/6. c) Como a força e o torque dependem do
aproximadamente um fluido incompressível com densidade p. a)
tamanho da represa?
Substitua a altura y na Equação (14.4) pela coordenada radial r e
14.52 Submarinos em Europa. Alguns cientistas desejam enviar
integre para achar a pressão no interior de um planeta com densium submarino por controle remoto à lua de Júpiter, Europa, para
dade constante em função de r. Considere a pressão na superfície
procurar vida em seus oceanos sob a crosta de gelo. A massa de
igual a zero. (Isso significa desprezar a pressão da atmosfera do
Europa é 4,78 x 1022 kg, seu diâmetro é 3130 km e sua atmosfera
planeta.) b) Usando esse modelo, calcule a pressão no centro da
Terra. (Use o valor da densidade média da Terra, calculando-a
é desprezível. Suponha que a camada de gelo na superfície não seja
suficientemente espessa para exercer uma força significativa sobre
mediante os valores da massa e do raio indicados no Apêndice E)
a água. Se as janelas do submarino que você está projetando
c) Os geólogos estimam um valor aproximadamente igual a 4 x
medem 25,0 cm2 e suportam uma força de fora para dentro de no
1011 Pa para a pressão no centro da Terra. Esse valor condiz com o
máximo 9750 N por janela, qual é a maior profundidade a que esse
que você calculou para r = O? O que poderia contribuir para uma
submarino pode descer com segurança?
eventual diferença?
14.53 Um astronauta está em pé no pólo norte de um planeta
14.57 Um tubo em forma de U está aberto em ambas as extremidarecém-descoberto com simetria esférica de raio R. Ele segura em
des e contém uma porção de mercúrio. Uma quantidade de água é
suas mãos um recipiente que contém um líquido de massa m e
cuidadosamente derramada na extremidade esquerda do tubo em
volume V. Na superfície do líquido a pressão é Pu; a uma profunforma de U até que a altura da coluna de água seja igual a 15,0 cm
didade d abaixo da superfície, a pressão possui um valor maior P.
(Figura 14.37). a) Qual é a pressão manométrica na interface águaA partir dessas informações, determine a massa do planeta.
mercúrio? b) Calcule a distância vertical h entre o topo da superfí14.54 Balões em Marte. Há quem diga que poderíamos explorar
cie do mercúrio do lado direito e o topo da superfície da água do
Marte usando balões de gás para sobrevoar a superfície de perto. A
lado esquerdo.
força de empuxo da atmosfera manteria os balões no alto. A densidade da atmosfera marciana é 0,0154 kg/m3 (embora esse valor
varie com a temperatura). Suponha que esses balões sejam construídos com plástico fino, mas resistente, com uma densidade tal que
T------------cada metro quadrado possua uma massa de 5,0 g. O gás que usaríÁgua
15,Ocm
amos para inflar esses balões é tão leve que sua massa poderia ser
desprezada. (a) Quais devem ser o raio e a massa desses balões
para que eles pairem logo acima da superfície de Marte? (b) Se
soltarmos um desses balões mencionados no item (a) na Terra,
onde a densidade atmosférica é 1,20 kg/m3, qual seria a sua aceleração inicial, supondo que o balão tenha o mesmo tamanho que em
Marte? Ele subiria ou cairia? (c) Se em Marte esses balões tivessem
Figura 14.37 Problema 14.57.
cinco vezes o raio calculado no item (a), qual seria o peso máximo
dos instrumentos que eles poderiam carregar?
14.58 A grande inundação de melaço. Na tarde do dia 15 de
14.55 A Terra não possui uma densidade uniforme; ela é mais densa
janeiro
de 1919, em um dia atipicamente quente em Boston, ocorem seu centro e menos densa na superfície. Uma expressão aproxireu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de
mada para sua densidade é p (r) = A - Br, onde A = 12700 kg/m3 e
27,4 m e altura de 27,4 m que continha melaço. O melaço inundou
B = 1,50 x 10-3 kg/m4. Considere a Terra uma esfera de raio R =
uma rua formando uma corrente com profundidade igual a 9 m,
6,37 x 106 m. (a) Evidências geológicas indicam que as densidades
matando pedestres e cavalos e destruindo edifícios. A densidade do
são de 13100 kg/m3 no centro e de 2400 kg/m3 na superfície. Quais
melaço era igual a 1600 kg/m3• Se o tanque estivesse completasão os valores obtidos para a densidade nesses dois pontos com o
mente cheio antes do acidente, qual seria a força total que o melaço
nosso modelo de aproximação? (b) Imagine a Terra dividida em
exerceria de dentro para fora sobre a superfície lateral do tanque?
camadas esféricas concêntricas. Cada camada possui raio r, espes(Sugestão: Considere a força de dentro para fora exercida sobre um
sura dr, volume dV = 47T?dr e massa dm = p (r) dV. Integrando
anel circular da parede do tanque com largura dy situado a uma
desde r = O até r = R, mostre que a massa da Terra com esse modeprofundidade
y abaixo da superfície superior. Integre para achar a
lo é dada por M = ~1TR3(A - ~BR). c) Mostre que os valores
força total de dentro para fora. Suponha que antes de o tanque se
dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de 0,4%.
d) Vimos na Seção 12.6 que uma casca esférica uniforme não conromper, a pressão sobre a superfície do melaço fosse igual à pressão atmosférica fora do tanque.)
tribui para g em seu interior. Mostre que, neste modelo,
14.59 Uma barca aberta possui as dimensões indicadas na Figura
g(r)
= ~7TGr(A - ~Br) no interior da Terra. e) Mostre que a
14.38. Sabendo-se que todas as partes da barca são feitas com
expressão obtida no item (d) fornece g = O no centro da Terra e g =
placas de aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de carvão
9,85 m1s2 na superfície da Terra. t) Mostre que, nesse modelo, g
I
I
1
98
FíSICA
II
que a barca pode suportar em água doce sem afundar? Existe espaço suficiente na parte interna da barca para manter essa quantidade
de carvão? (A densidade do carvão é aproximadamente igual a
1500 kg/m3.)
Figura 14.38 Problema
14.59.
14.60 Um balão com ar quente possui volume igual a 2200 m3. O
tecido (envoltório) do balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e o tanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o peso máximo que o balão pode suportar é 3200 N, incluindo passageiros,
comida e champanhe, e sabendo-se que a densidade do ar externo
é 1,23 kg/ m3, qual é a densidade média dos gases quentes no interior do balão?
14.61 A propaganda de um certo carro afirma que ele flutua na
água. a) Sabendo-se que a massa do carro é igual a 900 kg e seu
volume interno é de 3,0 m3, qual é a fração do carro que fica submersa quando ele flutua? Despreze o volume do aço e de outros
materiais. b) A água penetra gradualmente por uma brecha deslocando o ar do interior do carro. Que fração do volume interno do
carro ficará cheia quando ele afundar?
14.62 Um cubo de gelo de massa igual a 9,70 g flutua em um copo
de 420 cm3 completamente cheio de água. A tensão superficial da
água e a variação da densidade com a temperatura são desprezíveis
(quando ela permanece líquida). a) Qual é o volume de água deslocado pelo cubo de gelo? b) Depois que o gelo se fundiu completamente, a água transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da
água que transbordou. Em caso negativo, explique por que isso ocorre. c) Suponha que a água do copo seja água salgada com densidade
igual a 1050 kgl m3. Qual seria o volume da água salgada deslocado
pelo cubo de gelo de 9,70 g? d) Refaça o item (b) para o caso de um
cubo de gelo de água doce flutuando em água salgada.
14.63 Um bloco de madeira mede 0,600 m de comprimento, 0,250 m
de largura e 0,080 m de espessura. A densidade desse bloco é 600
kg/m3. Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado
debaixo do bloco de madeira para que ele possa flutuar em águas
calmas com seu topo alinhado à superfície? Qual é a massa desse
volume de chumbo?
14.64 Um densímetro é constituído por um bulbo esférico e uma
haste cilíndrica cuja seção reta possui área igual a 0,400 cm2
(Figura 14.13a). O volume total do bulbo, incluindo a haste, é igual
a 13,2 cm3• Quando imerso em água, o densímetro flutua mantendo
a haste a uma altura de 8,0 cm acima da superfície da água. Quando
imerso em um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de 3,20 cm
acima da superfície. Ache a densidade do fluido orgânico.
(Observação: Este problema ilustra a precisão desse tipo de densímetro. Uma diferença de densidade relativamente pequena produz
uma diferença grande na leitura da escala do densímetro.)
14.65 As densidades do ar, do hélio e do hidrogênio (para p = 1,0 atm
e T= 293 K) são 1,20 kg/m3, 0,166 kg/m3 e 0,0899 kg/m3, respectivamente. a) Qual é o volume em metros cúbicos deslocado por
um aeróstato cheio de hidrogênio sobre o qual atua uma força de
'sustentação' total igual a 120 kN? (A 'sustentação' é a diferença
entre a força de empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato.) b)
Qual seria a 'sustentação' se o hélio fosse usado no lugar do hidrogênio? Tendo em vista sua resposta, explique por que o hélio é
usado nos modernos dirigíveis de propagandas.
14.66 MHS de um objeto flutuando.
Um objeto com altura h,
massa M e área da seção reta A flutua verticalmente em um líquido
com densidade p. a) Calcule a distância vertical entre a superfície
do líquido e a parte inferior do objeto na posição de equilíbrio. b)
Uma força de módulo F é aplicada de cima para baixo sobre o topo
do objeto. Nessa nova posição de equilíbrio, a distância vertical
entre a superfície do líquido e a parte inferior do objeto difere em
que valor da distância calculada no item (a)? (Suponha que uma
pequena parte do objeto permaneça sobre a superfície do líquido.)
c) Sua resposta da parte (b) mostra que, se a força for repentinamente removida, o objeto deverá oscilar para cima e para baixo
executando um MHS. Obtenha o período desse movimento em
função da densidade p do líquido, da massa M e da área da seção
reta A do objeto. Despreze o amortecimento provocado pelo atrito
do líquido (Seção 13.7).
14.67 Uma baliza cilíndrica de 950 kg flutua verticalmente na água
do mar. O diâmetro da baliza é igual a 0,900 m. a) Calcule a distância
vertical adicional que a baliza deverá afundar quando um homem de
70,0 kg ficar em pé sobre ela. (Use a expressão deduzida na parte (b)
do Problema 14.66.) b) Calcule o período do MHS resultante quando
o homem pular para fora da baliza. (Use a expressão deduzida na
parte (c) do Problema 14.66 e, como naquele problema, despreze o
amortecimento provocado pelo atrito do líquido.)
14.68 Uma mangueira de incêndio deve poder lançar água no topo
de um prédio de 35,0 m de altura quando apontada para cima. A
água entra na mangueira a uma taxa constante de 0,500 m3/s e sai
por um esguicho redondo. (a) Qual é o diâmetro máximo que esse
esguicho pode ter? (b) Se o único esguicho disponível possuir o
dobro do diâmetro, qual é o ponto mais alto que a água atingirá?
14.69 Você usa a broca para fazer um pequeno furo na lateral de um
tanque cilíndrico vertical de água assentado sobre o solo com seu
topo aberto para o ar. (a) Se o nível da água tiver uma altura H, em
que altura acima da base você precisa fazer o furo para que a água
atinja a maior distância da base do cilindro quando chega ao solo?
(b) Qual é a maior distância que a água atingirá?
14.70 Um tanque cilíndrico vertical de área de seção reta AI está
aberto para o ar em seu topo e contém água até a profundidade ho.
Um empregado abre acidentalmente um furo de área A2 no fundo
do tanque. (a) Deduza uma equação para a profundidade h da água
em função do tempo t depois que o furo é aberto. (b) Quanto tempo
leva para o tanque esvaziar depois que o furo é aberto?
14.71 Um bloco de madeira leve está sobre um dos pratos de uma
balança de braços iguais, onde mantém-se perfeitamente equilibrado pela massa de 0,0950 kg de um bloco de latão colocado no outro
prato da balança. Calcule a massa do bloco de madeira leve se a sua
densidade for igual a 150 kg/m3. Explique por que podemos desprezar o empuxo sobre o bloco de latão, mas não o empuxo do ar
sobre o bloco de madeira leve.
14.72 O bloco A da Figura 14.39 está suspenso por uma corda,
preso a uma balança de mola D e submerso em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B. A massa do recipiente é 1,0 kg;
a massa do líquido é 1,80 kg. A leitura da balança D indica 3,50 kg
e a balança E indica 7,50 kg. O volume do bloco A é igual a 3,80 x
10-3 m3• a) Qual é a densidade do líquido? b) Qual será a leitura de
cada balança quando o bloco A for retirado do líquido?
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos
99
é a profundidade da camada de óleo? b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco?
14.79 Lançando
uma âncora. Uma âncora de ferro com massa
igual a 35,0 kg e densidade igual a 7860 kg/m3 está sobre o convés
de uma barca pequena que possui lados verticais e está flutuando
sobre um rio de água doce. A área da parte inferior da barca é igual
a 8,0 m2. A âncora é lançada da parte lateral da barca, mas fica
suspensa por uma corda de massa e volume desprezíveis. Depois
que a âncora foi lançada e a barca parou de oscilar, a barca afundou
ou subiu na água? Qual é o valor da distância vertical que ela afundou ou subiu?
Figura 14.39 Problema
14.72.
14.73 Uma barra de alumínio é completamente recoberta por uma
camada de ouro formando um lingote com peso igual a 45,0 N.
Quando você suspende o lingote em uma balança de mola e a
seguir o mergulha na água, a leitura da balança indica 39,0 N. Qual
é o peso do ouro na camada?
14.74 Uma bola de plástico de raio igual a 12,0 cm flutua na água
com 16,0% de seu volume submerso. (a) Que força você precisa
aplicar à bola para mantê-Ia em repouso completamente abaixo da
superfície da água? (b) Se você soltar a bola, qual será a aceleração
dela no instante em que a soltar?
14.75 O peso da coroa de um rei é p. Quando suspensa por uma
corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda (o peso
aparente da coroa) é igual aipo a) Mostre que a densidade relativa
da coroa é dada por 1/( I - 1). Discuta o significado dos limites
quando = O e = I. b) Se a coroa for de ouro sólido e pesar 12,9 N
no ar, qual será o seu peso aparente quando estiver totalmente
imersa na água? c) Repita a parte (b) se a coroa for de chumbo
sólido com uma camada muito fina de ouro, porém com peso ainda
igual a 12,9 N no ar.
14.76 Uma peça de aço possui peso p, um peso aparente (ver o
Problema 14.75) Páguaquando está totalmente imersa na água e um
peso aparente Pnuido quando está totalmente imersa em um fluido
desconhecido. a) Mostre que a densidade relativa do fluido é dada
por (p - Pnuido)/ (p - Págua)'b) Esse resultado é razoável para os três
casos (Pnuido maior, menor ou igual a Págua)?c) O peso aparente da
peça de aço em água com densidade 1000 kglm3 é 87,2% do seu
peso. Que porcentagem do seu peso será o seu peso aparente se o
corpo for mergulhado em ácido fórmico (densidade 1220 kgl m3)?
14.77 Você funde uma certa quantidade de metal com densidade Prn
e o despeja em uma fôrma. Você está preocupado com a possibilidade de haver cavidades dentro do material fundido. Você mede o
I I
peso P do material fundido e a força de empuxo B quando o material está completamente cercado de água. a) Mostre que Vo = BI
(Págua!J) - pl(Prng)
é o volume total das eventuais cavidades formadas no interior do material fundido. b) Se o metal for o cobre, o
peso P do material fundido for igual a 156 N e a força de empuxo
for igual a 20 N, qual é o volume total das cavidades formadas no
interior do material fundido? A que fração do volume total do
material esse volume corresponde?
14.78 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0,100 m e densidade igual a 550 kg/m3 flutua em um recipiente com água. Óleo
com densidade igual a 750 kg/m3 é derramado sobre a água até que
a camada de óleo fique 0,035 m abaixo do topo do bloco. a) Qual
14.80 Suponha que o petróleo de um superpetroleiro tenha densidade igual a 750 kg/m3. O navio fica encalhado em um banco de
areia. Para fazer o navio flutuar novamente, sua carga é bombeada
para fora e armazenada em barris, cada um deles com massa igual
a 15,0 kg quando vazio e com capacidade para armazenar 0,120 m3
de petróleo. Despreze o volume ocupado pelo aço do barril. a) Se
um trabalhador que está transportando os barris acidentalmente
deixa um barril cheio e selado cair pelo lado do navio, o barril
flutuará ou afundará na água do mar? b) Se o barril flutua, qual é a
fração de seu volume que fica acima da superfície da água? Se ele
afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda necessária para
rebocá-Io desde o fundo do mar para cima? c) Repita as partes (a)
e (b) supondo que o petróleo tenha densidade igual a 910 kg/m3 e
que a massa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg.
14.81 Um bloco cúbico com densidade PBe aresta de comprimento
L flutua sobre um líquido de densidade maior PL' a) Que fração do
volume do bloco fica acima da superfície do líquido? b) O líquido
é mais denso do que a água (densidade igual a PA) e não se mistura com ela. Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual
deve ser a camada da água para que a superfície livre da água
coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a resposta
em termos de L, PB, PLe PA' c) Calcule a profundidade da camada
de água da parte (b) se o líquido for mercúrio e o bloco for de aço
com aresta de 10,0 cm.
14.82 Uma barca está em uma eclusa retangular de um rio de água
doce. O comprimento da eclusa é 60,0 m e a largura é 20,0 m. As
comportas de aço das duas extremidades estão fechadas. Quando a
barca está flutuando na eclusa, uma carga de 2,50 x 106 N de sucata
de metal é colocada na barca. A densidade do metal é 9000 kglm3'
a) Depois que a carga de sucata de metal, que estava inicialmente
nas margens da eclusa, é colocada na barca, em quanto se eleva
verticalmente o nível da água da eclusa? b) A sucata de metal é
agora despejada na água da eclusa pela parte lateral da barca. O
nível da água da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado? Caso
ele suba ou desça, quanto varia verticalmente o nível da água da
eclusa?
14.83 Um tubo em forma de U contendo um líquido possui uma
seção horizontal de comprimento igual a I (Figura 14.40). Calcule
a diferença de altura entre as duas colunas de líquido nos ramos
verticais quando a) o tubo se desloca com uma aceleração a para a
direita; b) o tubo gira em tomo de um dos ramos verticais com uma
velocidade angular W. c) Explique por que a diferença de altura não
depende da densidade do líquido nem da área da seção reta do tubo.
A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem áreas das
seções retas diferentes? A resposta seria a mesma se a parte horizontal do tubo fosse afunilada, diminuindo sua seção reta de uma
extremidade até a outra? Explique.
100
F í S I C A II
Figura 14.40 Problema
14.83.
14.84 Um recipiente cilíndrico contendo um líquido incompressível de densidade p gira com velocidade angular w constante em
torno de seu eixo de simetria, o qual tomaremos como o eixo Oy
(Figura 14.41). a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de
rotação) de acordo com ap/ar = pw2r. b) Integre essa equação
diferencial parcial para achar a pressão em função da distância ao
eixo de rotação ao longo de uma linha horizontal para y = O. c)
Combine a resposta da parte (b) com a Equação (14.5) para mostrar
que a superfície do líquido que gira possui uma forma parabólica,
ou seja, a altura do líquido é dada por h(r) = w2? /2g. (Essa técnica é usada para fabricar espelhos parabólicos para telescópios; o
vidro líquido gira e depois é solidificado enquanto está girando.)
ao longo deste tubo. A pressão em sua parte frontal é P e a pressão
em sua parte traseira é P + dp. Suponha que a densidade do ar seja
a constante p. a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de
volume e mostre que dp = pa dx. b) Integre o resultado da parte (a)
para achar a pressão na superfície frontal em termos de a e de x. c)
Para mostrar que é razoável considerar p constante, calcule a diferença de pressão em atm para uma distância tão longa quanto 2,5 m
e para uma aceleração tão grande quanto 5,0 m1s2• d) Mostre que a
força horizontal resultante sobre um balão de volume V é igual a
pVa. e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre que a aceleração
do balão (densidade média Pbal) é dada por (p/ Pbal)a, de modo que
a aceleração relativa é dada por areI = [(P/Pbal) - l]a. f) Use a
expressão da areI obtida na parte (e) para explicar o sentido do
movimento dos balões.
14.87 A água de um grande tanque aberto com paredes verticais
possui uma profundidade H (Figura 14.42). Um orifício é aberto na
parede vertical a uma profundidade h abaixo da superfície da água.
a) Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a
corrente atinge o solo? b) A qual distância acima da base do tanque
devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge
dele tenha um alcance igual ao do primeiro furo?
y
T
H
w
Figura 14.42 Problema
Figura 14.41 Problema
14.87.
14.84.
14.85 Um fluido incompressível com densidade p está em um tubo
de teste horizontal com área da seção reta interna A. O tubo de teste
gira com velocidade angular w em uma ultracentrifugadora. As
forças gravitacionais são desprezíveis. Considere um elemento de
volume do fluido de área A e espessura dr' situado a uma distância
r' do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é P e a pressão
na superfície externa é P + dp. a) Aplique a segunda lei de Newton
ao elemento de volume para mostrar que dp = pw2r' dr'. b) Se a
superfície do fluido está em um raio ro onde a pressão é Po, mostre
que a pressão p a uma distância r 2: ro é dada por P = Po + pw2
(? - ro2 )/2. c) Um objeto de volume Ve densidade Pob possui o
centro de massa a uma distância Remob do eixo. Mostre que a força
resultante horizontal sobre o objeto é dada por pVw2Rem, onde Rem
é a distância entre o eixo e o centro de massa do fluido deslocado.
14.88 Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro
de 10,0 cm e altura igual a 25,0 cm. Um orifício circular com área da
seção reta igual a 1,50 cm2 é feito no centro da base do balde. A água
flui para dentro do balde por um tubo acima dele com uma taxa igual
a 2,40 x 10-4 m3/s. Até que altura a água subirá no balde?
14.89 A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na Figura 14.43. A altura do ponto 1 é 10,0 m e os pontos 2 e
3 estão a uma altura de 2,0 m. A área da seção reta no ponto 2 é
igual a 0,0480 m2; no ponto 3 ela é igual a 0,0160 m2. A área do
tanque é muito maior do que a área da seção reta do tubo. Supondo
que a equação de Bernoulli seja aplicável, calcule a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo; b) a pressão manométrica
no ponto 2.
d) Explique por que o objeto se move para o centro quando
pRem > Po~emob' e para fora do centro quando pRem
<
Po~emob'
e) Em pequenos objetos com densidade uniforme, Rem = Remob' O que
ocorre com uma mistura de pequenos objetos desse tipo com densidades diferentes em uma ultracentrifugadora?
14.86 Balões cheios de hélio, flutuando soltos no interior de um
carro com janelas e ventoinhas fechadas, movem-se no sentido da
aceleração do carro; porém, balões soltos cheios de ar movem-se
em sentido contrário ao da aceleração do carro. Para explicar por
que isso acontece, considere somente as forças horizontais que
atuam sobre os balões. Seja a o módulo da aceleração do carro.
Considere um tubo de ar horizontal cuja seção reta possui área A,
que tenha origem no pára-brisa, onde x = O e P = Po, e se oriente
para trás. Agora considere um elemento de volume de espessura dx
Figura 14.43 Problema
14.89.
14.90 O furacão Emily, ocorrido em 1993, apresentava um raio de
aproximadamente 350 km. A velocidade do vento ao redor do
centro (o "olho") do furacão, de raio 30 km, atingiu 200 kmlh. À
Capítulo
medida que o ar formava redemoinhos no sentido do olho, o
momento angular permanecia praticamente constante. a) Estime a
velocidade do vento na periferia do furacão. b) Estime a diferença
de pressão na superfície terrestre entre o olho e a periferia do furacão. (Sugestão: Consulte a Tabela ]4.1.) Onde a pressão é maior?
c) Se a energia cinética do ar em redemoinho no olho pudesse ser
convertida totalmente em energia potencial gravitacional, até que
altura o ar se elevaria? d) Na realidade, o ar no olho se eleva até
altitudes de diversos quilômetros. Como você concilia esse fato
com sua resposta do item (c)?
14.91 Dois grandes tanques abertos A e F (Figura ]4.44) contêm o
mesmo líquido. Um tubo horizontal BCD, que tem uma constrição
C e é aberto ao ar no ponto D, sai da base do tanque A, e um tubo
vertical E parte da constrição C e mergulha no líquido do tanque F.
Suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a área da seção reta da constrição C é a
metade da área em D e que D está a uma distância h] abaixo do
nível do líquido no tanque A, até que altura h2 o líquido subirá no
tubo E? Expresse sua resposta em termos de h].
A
Problemas
14 Mecânica dos fluidos
101
desafiadores
14.94 Uma pedra com massa m = 3,0 kg é pendurada no teto de um
elevador com uma corda leve. A pedra está totalmente imersa na
água de um balde apoiado no piso do elevador, porém a pedra não
toca nem o fundo nem as paredes do balde. a) Quando o elevador
está em repouso, a tensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o
volume da pedra. b) Deduza uma expressão para a tensão na corda
quando o elevador está subindo com uma aceleração constante a.
Calcule a tensão na corda quando a = 2,50 m/S2de baixo para cima.
c) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador
está descendo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na
corda quando a = 2,50 m/s2 de cima para baixo. d) Qual é a tensão
na corda quando o elevador está em queda livre com uma aceleração de cima para baixo igual a g?
14.95 Suponha que um bloco de isopor, p = ]80 kg/m3, seja mantido totalmente submerso na água (Figura 14.46). a) Qual é a tensão na corda? Faça o cálculo usando o princípio de Arquimedes. b)
Use a fórmula P = Po + pgh para calcular diretamente a força exercida pela água sobre as duas faces inclinadas e sobre a base do
isopor; a seguir mostre que a soma vetorial dessas forças é a força
de empuxo.
E
F
Figura 14.44 Problema
Corda
14.91.
O tubo horizontal mostrado na Figura 14.45 apresenta seção
reta com área igual a 40,0 cm2 em sua parte mais larga e ]0,0 cm2
em sua constrição. A água flui no tubo, e a vazão volumétrica é
igual a 6,0 x 10-3 m3/s (6,0 L/s). Calcule a) a velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição; b) a diferença de pressão
entre essas duas partes; c) a diferença de altura entre os dois níveis
do mercúrio existente no tubo em U.
Figura 14.46 Problema desafiador
14.95.
14.92
40,0 cm2
Figura 14.45 Problema
10,0 cm2
14.92.
14.93 Um líquido escoando por um tubo vertical apresenta uma
forma definida durante o escoamento. Para obter a equação para
essa forma, suponha que o líquido esteja em queda livre quando sai
do tubo. No exato momento em que ele sai, o líquido possui velocidade Vo e o raio da corrente é ro. a) Encontre uma expressão para
a velocidade do líquido em função da distância y de sua queda.
Combinando essa relação com a da continuidade, ache uma expressão para o raio da corrente em função de y. b) Se a água escoa de
um tubo vertical com velocidade de 1,20 m/s, a que distância da
saída do tubo o raio será igual à metade do seu valor na corrente
original?
14.96 Um grande tanque de diâmetro D está aberto para a atmosfera e contém água até uma altura H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d« D) é feito na base do tanque. Desprezando qualquer
efeito da viscosidade, calcule o tempo necessário para drenar completamente o tanque.
14.97 Um sifão, mostrado na Figura 14.47, é um dispositivo conveniente para remover o líquido de um recipiente. Para efetuar o
escoamento, devemos encher completamente o tubo com líquido.
Suponha que o líquido possua densidade p e que a pressão atmosférica seja Palm' Suponha que a seção reta do tubo seja a mesma em
todas as suas partes. a) Se a extremidade inferior do sifão está a
uma distância h abaixo da superfície do líquido no recipiente, qual
é a velocidade do líquido quando ele sai pela extremidade inferior
do sifão? (Suponha que o recipiente tenha um diâmetro muito
grande, e despreze qualquer efeito da viscosidade.) b) Uma característica curiosa de um sifão é que o líquido inicialmente sobe no
tubo. Qual é a altura máxima H que o ponto mais alto do tubo pode
ter para que o escoamento ainda ocorra?
---T
H
t
h
1
Figura 14.47 Problema desafiador
14.97.
102
FíSICA
II
14.98 O trecho seguinte foi copiado de uma carta. Para nivelar as
fundações de edifícios relativamente grandes, os carpinteiros da
região costumam usar uma mangueira de jardim cheia de água
mantendo em suas extremidades dois tubos de vidro com comprimentos da ordem de 25 a 30 cm. A teoria é que a água, procurando
manter o mesmo nível, atinge a mesma altura nos dois tubos, servindo de referência para o nivelamento. Há, no entanto, uma
dúvida sobre o que ocorre quando existe uma bolha no interior da
mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que o ar não afeta
a leitura da altura de uma extremidade para a outra. Outros alegam que a bolha pode causar importantes imprecisões. Você é
capaz de dar uma resposta relativamente simples para essa pergunta, com uma explicação? A Figura 14.48 mostra um esquema para
ilustrar a situação que causou a controvérsia.
If/J:,
LW'\
IBolha de ar pr~a na mangueira
Figura 14.48 Problema desafiador
14.98.