ANÁLISE DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS PARA CONSTRUÇÃO DO
CONCEITO DE ÁREA COMO GRANDEZA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Jorge Henrique Duarte 1
(SE-PE, SEC-PCR, FACIG)
[email protected]
TEXTO. O conceito de área é considerado muito rico do ponto de vista da matemática,
pois, é um pólo que congrega os grandes eixos temáticos dos números, da geometria,
das grandezas e da álgebra. Várias pesquisas detectaram problemas no ensino
aprendizagem das grandezas geométricas. Baltar (1996), ao analisar avaliações do
desempenho de alunos franceses e de resultados de pesquisa em Educação Matemática
identificou alguns dos erros mais freqüentes, assim como, hipóteses explicativas das
dificuldades conceituais que os alunos podem enfrentar na construção do conceito de
área. Na pesquisa realizada por Baltar (ibid), entre os erros cometidos com maior
freqüência pelos alunos avaliados, destacam-se a confusão entre área e perímetro, a
utilização de fórmulas errôneas (tais como: área = perímetro x 2; ou, área = soma dos
lados) e o uso inadequado de unidades (a expressão da medida da área de uma
superfície cujo comprimento dos lados é dado em metros, por exemplo, é dada em
metros, em metros cúbicos ou mesmo em centímetros, ao invés de metros quadrados).
Baltar (ibid), observa ainda que essas avaliações, mesmo se localizando no contexto do
sistema educativo francês, apontam para aspectos da aprendizagem dos conceitos de
área e perímetro, identificados como complexos e problemáticos em outros contextos
institucionais, inclusive no contexto brasileiro. Pesquisas realizadas no Brasil mostram o
quanto é preocupante a situação do ensino das grandezas geométricas, especificamente
o conceito de área, nas redes de ensino. Podemos citar, por exemplo, a que foi realizada
pelo NAPE-UFPE–1997, em capitais do Nordeste, e o SAEPE-2000/2002, no estado de
Pernambuco, e, em âmbito nacional, o SAEB-95 a 01. As referidas avaliações revelaram
1
Mestre em Educação, turma 1999, CE – UFPE, Professor das redes de ensino do município de Recife e
do estado de Pernambuco. Professor da Faculdade de Ciências Humanas e Sociais de Igarassu – FACIG.
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baixos índices de proficiência em torno das grandezas geométricas e em especial o
conceito de área.
O presente estudo realizado no âmbito de um curso de mestrado em Educação – UFPE,
considerou a problemática anterior e teve como objetivo geral: Estudar procedimentos e
invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos–em-ação) mobilizados por
alunos de 5ª série, do 3º ciclo do ensino fundamental, na resolução de situações
significativas para a construção do conceito de área como grandeza. Os objetivos
específicos considerados foram: 1- Elaborar e testar situações de comparação, medida e
produção de superfícies para utilização em contextos de ensino, abordando o conceito
de área; 2 - Identificar teoremas-em-ação e conceitos-em-ação, implícitos ou explícitos,
mobilizados por alunos de 5ª série na resolução de situações-problema de comparação,
de medida e de produção de superfícies para a construção do conceito de área como
grandeza e 3 - Identificar procedimentos de resolução utilizados pelos sujeitos nas
situações pesquisadas.
A pesquisa também recebeu o suporte teórico da teoria dos campos conceituais de
Vergnaud (1990), que trata dos conceitos e teoremas em ação, e que fornece um apoio
eficientemente apropriado para o estudo das situações propostas por Baltar (ibid) como
significativas para a construção do conceito de área e adotadas no estudo. Destacamos
ainda que durante o desenvolvimento das atividades não foram utilizadas as unidades do
sistema métrico decimal do SI.
Com base em Vergnaud, (1993), passamos a considerar que um conceito é constituído
por uma tríade ( S, IO e Ę ) formada pelos seguintes conjuntos:
•
S: conjunto de situações que dão sentido ao conceito (a referência);
•
IO: conjunto de invariantes operatórios, mecanismos utilizados pelo sujeito na
resolução do problema, sobre os quais se apóia a operacionalidade dos esquemas
(variável psicológica, significado);
•
Ę: conjunto de representações simbólicas utilizadas e possíveis, tanto para a
apresentação quanto para a resolução do problema (possibilidade de representação
simbólica do conceito; o significante).
A partir da tríade concebida por Vergnaud associamos ao 1º componente, as situações
de comparação, medida e produção de superfícies. Vinculado ao 2º componente do
tripé concebido por Vergnaud, consideramos como invariantes operatórios alguns
conceitos em ação e teoremas em ação, já relacionados por Baltar (1996), como,
também, alguns procedimentos previstos para resolução das atividades pelos sujeitos
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pesquisados. Quanto às representações que seriam utilizadas pelos sujeitos na resolução
das atividades apresentadas no mini-curso, abordando o conceito de área como
grandeza, alguns termos como, por exemplo, “espaço”, “tamanho”, “região” e
“superfície” foram previstos. No tocante à representação gráfica, as figuras utilizadas e
os desenhos feitos pelos sujeitos pesquisados, como também os números naturais e
fracionários, seguidos de termos que indicam a unidade de medida de área não
padronizada, também são exemplos de significantes previstos. Nessa abordagem, o
conceito de área pode ser (re)construído significativamente através das
situações
apresentadas e, reciprocamente, uma situação vincula-se a muitos conceitos e sua
formação deve acontecer ao longo do tempo, por meio de muitas interações, de maneira
que os alunos pudessem refletir no sentido de que novas situações e novos conceitos
lhes foram significativos, aplicando e adaptando aos seus conhecimentos antigos.
Um importante construto teórico no presente estudo, é o trabalho de Lima (1995), que
apresenta uma estrutura matemática referente ao conceito de área de superfícies planas.
Inicialmente Lima (ibid), convenciona que o termo superfície significa um subconjunto
limitado do plano euclidiano. Considera uma função, dita função área, definida num
conjunto S de superfícies, com valores no conjunto dos números reais não negativos, e
que apresenta certas propriedades que caracterizam a grandeza área: positividade - se
uma figura que possua interior não vazio tem área positiva; aditividade – se duas
figuras A e B têm em comum no máximo pontos de suas fronteiras, então a área da
figura A∪B (união de A e B) é a soma da área de A com a área de B; invariância por
Isometrias - se uma figura plana A é transformada em outra B, de modo que a distância
entre dois pontos quaisquer de A fica inalterada em B, então A e B têm a mesma área.
A função área, acima definida, permite que se construam, no conjunto das figuras
geométricas, as classes de equivalência das figuras que possuem a mesma área,
segundo tal função. Esse conjunto de classes de equivalência é que se constitui em um
modelo abstrato para o conceito de área.
Na pesquisa em tela, outro importante construto teórico adotado foi uma modelização
didática do conceito de área concebida por Douady (1989), compatível com a
caracterização matemática de Lima (1995) acima apresentada. Nesse modelo, a autora
distingue três quadros2: o quadro geométrico, constituído por superfícies planas como
2
Para Douady (1989), um quadro é constituído por objetos da matemática, das relações entre esses
objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais que o sujeito associa a um
momento dado aos objetos e suas relações.
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o triângulo, o quadrado e o retângulo; o quadro numérico, consistindo nas medidas
das superfícies, que pertencem ao conjunto dos números reais não negativos e o
quadro das grandezas, contexto próprio da noção de área, que integra os dois
primeiros, sendo caracterizado, formalmente, como classes de equivalência de
superfícies de mesma área. Uma hipótese didática considerada no estudo é a de que, no
ensino-aprendizagem do conceito de área, deve-se distinguir e articular os quadros
mencionados.
Em trabalho posterior, Lima (2000), propôs adicionar aos três quadros acima um quarto
quadro, o algébrico-funcional, que considera uma álgebra das grandezas e às fórmulas
de área. O esquema abaixo mostra as relações entre os quadros mencionados.
Quadro
geométrico
Quadro das
grandezas
Quadro
numérico
Quadro
Algébrico-Funcional
Previmos que, dependendo da atividade proposta, alguns objetos e ferramentas
conceituais, pertencentes a dois ou mais quadros do esquema anterior, pudessem ser
mobilizados pelo aluno quando inserido em situação de aprendizagem. Exemplificando,
quando em uma situação que envolve a comparação entre a área de duas figuras, sem o
emprego de medidas, requeremos do aluno a articulação de conceitos do quadro
geométrico e do quadro das grandezas; em uma situação onde é necessária a intervenção
das medidas de área, é previsível a articulação entre conceitos do quadro geométrico, do
quadro numérico e do quadro das grandezas; enquanto que os conceitos do quadro
algébrico/funcional são utilizados, por exemplo, em situações onde é necessário o uso
das fórmulas de áreas de figuras conhecidas. A manipulação de objetos e ferramentas
bem como suas relações, formam um processo denominado de dialética ferramentaobjeto por Douady (1987).
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A análise realizada em livros didáticos, do ensino fundamental, de 1ª a 8ª séries,
permitiu constatar que é comum o uso pelos autores, do conceito de área numa
abordagem, que podemos chamar de implícita. Em várias atividades, por exemplo,
aquelas que envolvem frações e percentagens, procura-se representar tais conceitos por
meio de desenhos de figuras com regiões coloridas. Preocupados com o vislumbre de
um processo de aprendizagem voltado para a construção significativa do conceito de
área como grandeza, entendemos que as atividades selecionadas pelos autores não
vinculam os quadros entre si desperdiçando momentos importantes na escolarização do
aluno e extremamente pertinentes para fazer evoluir o referido processo. Vemos,
portanto, nas obras examinadas em nosso trabalho de pesquisa, que prevalece um
tratamento do conceito de área vinculando fortemente o quadro numérico com o quadro
geométrico na acepção de Douady (1987).
A metodologia utilizada na pesquisa foi baseada na Engenharia Didática e estruturada
em quatro etapas: pré-teste; análise a priori das atividades do experimento; aplicação do
experimento e análise dos resultados. No estudo realizado em duas escolas públicas e
numa
escola
particular,
decidimos
pesquisar
situações
que
contribuem,
significativamente no desenvolvimento do conceito de área, como grandeza, adotando,
como referencial teórico, o trabalho de Baltar (1996), que relaciona três tipos básicos: as
situações de comparação de superfícies, as situações de medida de superfícies e as
situações de produção de superfícies. Foram pesquisadas seis atividades, aplicadas a
oito sujeitos, alunos de 5ª série do ensino fundamental escolhidos dentre 73 alunos que
participaram de um pré-teste. As seis atividades foram aplicadas em duas sessões de
pesquisa, cada uma com três atividades.
Posteriormente à coleta de dados, passamos à análise desses dados adotando uma
categorização com base na classificação de Baltar (1996). Dentre os itens pesquisados,
identificamos um grupo de cinco itens inseridos na categoria de comparação sem
medida de área distribuídos nas atividades 1 e 4. A característica geral da Atividade 1,
consistiu em apresentar dois grupos de figuras poligonais: no primeiro grupo, dois
retângulos e um quadrado e, no segundo grupo, dois hexágonos não regulares. Era
solicitado ao sujeito que indicasse qual das figuras do primeiro grupo tem a maior área
(Item 1), qual tem a menor área (Item 2) e qual a seqüência das figuras em ordem
crescente de área (Item 3). Perguntamos, também, qual das figuras do segundo grupo
tem a maior área (Item 4). Na Atividade 4, que empregou o Tangram, no Item 5, era
perguntado se três figuras, obtidas por composição de duas outras (um retângulo e um
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triângulo retângulo isósceles), tinham áreas diferentes. De um modo geral, os
procedimentos de comparação utilizados nos itens em destaque foram: Visual (todos os
sujeitos); Via elementos da figura (quatro sujeitos) e Sobreposição (um sujeito).
Observando a transcrição dos protocolos dos sujeitos pesquisados, identificamos
teoremas em ação, observados nas explicações dadas nas situações de comparação de
áreas sem intervenção de medidas. Os teoremas identificados, foram: Aditividade de
áreas;
Transitividade
da
relação
de
ordem;
Invariância
por
isometrias
e
Eqüidecomposição.
Inseridas em situações que abordaram a medida de área, pesquisamos atividades
categorizadas em três tipos: comparação de áreas; cálculo da medida de área de figuras;
e produção de superfícies que satisfazem a condições que envolvem suas áreas. Os três
tipos de atividades mencionadas foram propostos em duas modalidades. A primeira
através de um grupo de itens elaborados em ambientes constituídos por malhas
quadradas ou triangulares. Na segunda, a atividade 4, envolveu o uso do tangram. Em
ambos os casos, as unidades a serem usadas eram, explicitamente, mencionadas no
enunciado da atividade. Um grupo de dez itens formou essa categoria, especificamente
os itens 3, 4, 5 e 6 da Atividade 2; o item 4 da Atividade 4; os itens 3,6 e 8 da
Atividade 5 e os itens 4 e 7 da Atividade 6. Quanto ao diagnóstico das noções e
procedimentos, nas atividades de comparação com recurso a medidas, identificamos nos
registros escritos dos sujeitos vários termos que sugerem noções possivelmente
invocadas pelos alunos: Figura; Área; Triângulo; Quadrado; Pequeno; Unidade;
Número; Diferente; Maior; Menor; Paralelogramo; Quadradinhos; Médio; Dobro;
Metade; ½; meio; Espaço; Quadrinhos; Tamanho; Iguais; Menos; Quantidade; Medida;
Grande; Triplicar. O procedimento adotado nas atividades em papel quadriculado ou
triangulado foi quase sempre o esperado, ou seja, a contagem de unidades. No caso das
atividades do Tangram, os sujeitos utilizaram, primeiro, a sobreposição de figuras
tomadas como unidade, para, depois, contá-las. Um teorema em ação, fundamental
nesse tipo de situação, é o que afirma que, escolhida uma unidade, para comparar as
áreas de duas figuras, basta comparar suas medidas de área naquela unidade. Um
exemplo típico do emprego desse teorema em ação foi encontrado na afirmação de um
sujeito: “Porque essa figura possui maior quantidade de quadradinhos. Então, possui
maior área” (E3A, Atividade 2, Item 4).
Nas atividades envolvendo o cálculo da medida de área, destacamos nessa categoria
aquelas que se referem à determinação da medida de área de figuras planas, tomando-se,
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como unidade não convencional, seja a célula quadrada ou triangular de uma malha seja
uma das peças do Tangram. Os resultados revelaram um panorama diversificado. Num
primeiro grupo de itens, praticamente, todos os sujeitos acertaram todas as questões.
Foram questões de medida de área de uma superfície, em que era indicada a unidade a
ser utilizada, a saber: os Itens 1 e 2, da Atividade 2; todos os itens da Atividade 3; os
Itens 1 e 2 da Atividade 4; os Itens 1, 2, 4, 5 e 7 da Atividade 5; e os Itens 1, 2 e 3 da
Atividade 6. Os sujeitos revelaram, assim, ter adquirido os conhecimentos necessários
para resolver problemas de cálculo da medida de área de figuras, em um contexto no
qual a unidade de medida é fornecida, explicitamente, em particular, quando as figuras
são fornecidas por meio de desenhos em papel, com malhas quadradas ou triangulares.
No outro grupo de itens, que são os itens 3 a 6, da Atividade 3, e os itens 7 a 12, da
Atividade 4, o índice de acertos foi bem mais baixo, com alguns casos extremos em que
só houve um ou dois acertos. A característica básica dos itens mencionados acima é que
nas questões neles contidas era promovida uma mudança de unidades e questionado
sobre o que ficava invariante e o que era alterado. Um exemplo típico de resposta
considerada errada aparece na pergunta: “Em relação à figura escolhida, mudando a
unidade de medida, o que muda?” (Item 3, Atividade 3). O sujeito E3B respondeu:
“Mudando a unidade de medida, muda-se a área da figura”. Outro exemplo ocorre no
Item 5, da Atividade 3, em que é perguntado: “Para medir a área de uma figura, se
escolhermos uma unidade de área maior que outra, o que acontece com a medida da
área dessa figura?”. O sujeito E3B responde: “A figura poderá ficar com a área maior”.
Observamos, no panorama acima, um problema didático importante: a dificuldade da
dissociação da grandeza área da medida dessa grandeza. Trata-se de dificuldade que
requer investigações didáticas adicionais, ainda mais necessárias por se constituir um
problema no qual intervêm múltiplos elementos, desde os de ordem epistemológica aos
da ordem do ensino. Não podemos esquecer que muitos manuais didáticos e muitos
professores de Matemática utilizam o termo ‘medida’ para designar a grandeza.
Em relação à manipulação errônea das grandezas geométricas, observamos, que um
sujeito invocou o perímetro, confundindo-o com a área da figura. Os procedimentos de
contagem da unidade, observados na resolução da atividade foram: contagem simples e
contagem com metades da unidade de medida. A contagem simples ocorreu nos itens
em que a figura a medir possuía área de medida inteira, relativamente à unidade
escolhida. Nas figuras cujas fronteiras incluíam as diagonais do quadriculado era
necessário contar meias unidades. Na atividade do Tangram, na qual não havia o
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suporte do papel com malha quadrada ou triangular, a contagem de quantas vezes a
unidade cabia na figura a medir é explicitada por alguns sujeitos, como lemos no
exemplo abaixo (Item 1, da Atividade 4):
“Eu utilizei a unidade de área do triângulo pequeno do Tangram, porque
cada figura do Tangram tem a sua quantidade de triângulos. Então, foi isso
que tinha escrito no papel: para usar a unidade de área do triângulo
pequeno do Tangram. Foi isso que eu fiz”.
Identificamos, nessa atividade, de início, o conceito em ação básico que estabelece que
a medida de área de uma figura é o número de vezes que a unidade cabe na figura a
medir. Como exemplo de ocorrência de teorema errôneo, exemplificamos o Item 3, da
Atividade 3. Nesse caso, um sujeito afirmou: “Mudando a unidade de medida muda-se a
área da figura”.
Os dois exemplos acima se constituem em questões centrais do ensino-aprendizagem do
conceito de grandezas em geral e da grandeza área em particular. Quanto aos Itens 5 e 6,
Atividade 6, que tinham a intenção de provocar a comparação das figuras por
decomposição, localizamos, nos protocolos dos sujeitos, explicações que demonstram
que o sujeito recorreu a esse procedimento. Por exemplo: “Porque se eu recortar F
poderá formar outra figura com a mesma área” (E3A).
As situações de produção de superfícies são aquelas em que o sujeito é solicitado a
construir uma superfície, cuja área satisfaça a determinadas condições. O exemplo
clássico, é o da construção, com régua e compasso, de um quadrado de área igual a um
círculo dado. Naturalmente, os problemas, desse tipo, que podem ser abordados são
muito mais simples. Em nosso experimento, as situações de produção de superfícies
aparecem nos itens 2; 5 e 7 da Atividade 5 e 5 e 6 da Atividade 6. Na Atividade 5, era
solicitado que o sujeito produzisse uma superfície, cuja área seja o dobro ou o triplo da
área de uma dada figura. Na Atividade 6, era solicitada a construção de uma superfície
de mesma área que outra, por decomposição e composição de recortes de papel.
Em geral, os dados revelaram que os sujeitos tiveram domínio dos conhecimentos
necessários para resolver a situação, considerando que apenas em um caso houve um
erro, recorreram ao conceito de unidade de área. Observamos, além disso, uma solução
interessante e pouco usual, na qual a figura construída é formada de quadradinhos
ligados por seus vértices.
O procedimento básico na atividade, dado o contexto de papel quadriculado, foi o da
contagem de células quadradas desse suporte.
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Os Itens 5 e 6, abordando a composição e decomposição de superfícies, representadas
por recortes de papel, foram resolvidos satisfatoriamente pelos sujeitos, que deram
respostas pessoais.
Os resultados obtidos pela análise dos protocolos, revelaram que os sujeitos
investigados, alunos de 5a série, mobilizaram relevantes noções, procedimentos,
conceitos em ação e teoremas em ação, na resolução das atividades propostas,
envolvendo o conceito de área. Outra conclusão extraída desse estudo é que a
construção do conceito de área como grandeza distinta de seu valor numérico obtido
num processo de medição revela-se, dessa forma, uma tarefa didática complexa e requer
investigações que aprofundem as pesquisas disponíveis. A análise dos protocolos dos
sujeitos da pesquisa, confirmou as hipóteses consideradas, enquanto que as situações
escolhidas contribuíram no sentido de construir e reelaborar os conhecimentos em jogo
possibilitando a discussão entre os pares sobre as soluções obtidas
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