I-7
Digitalização e
Reconstrução
Comunicações
(29 Novembro 2010)
ISEL - DEETC Comunicações
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Sumário
1.
Teorema da Amostragem
1.
2.
Ritmo de Nyquist
Amostragem Ideal e Natural (análise no tempo e na
frequência)
1.
2.
3.
Sinais Passa Baixo
Sinais Passa Banda
Reconstrução
3.
Sobreposição Espectral - Aliasing
4.
Quantificação (uniforme)
1.
Relação sinal/ruído de quantificação
5.
Exercícios
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1. Teorema da Amostragem

Um sinal de banda limitada (“passa baixo”) que não tenha
componentes espectrais com frequências superiores a fm
(Hz) pode ser amostrado e perfeitamente reconstruído,
usando um filtro passa baixo, a partir de amostras obtidas
em intervalos regulares com frequência fs > 2 × fm
(amostras por segundo ou Hz)

Ritmo de Nyquist (limite inferior para o valor da frequência
de amostragem fs): fN = 2 × fm
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1. Teorema da Amostragem




Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa
O eixo dos tempos é discreto
x[n]: Z 0 
Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo
Fs (frequency of sampling), ou seja, a cada Ts (time of sampling) é
obtida nova amostra
Amostra x[1] corresponde a x(Ts); amostra x[2] corresponde a
x(2Ts)...
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2. Amostragem Ideal (Tempo)
Sinal Amostrador
Ideal
Sinal Amostrado
(Discreto)
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2. Amostragem Ideal (Frequência)
Sinal Amostrador
Ideal
Espectro do Sinal
Amostrado
Réplicas Espectrais
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2. Amostragem Natural (Frequência)
Espectro do Sinal
Amostrador
Real
Onda quadrada com duty
cycle a tender para zero
A envolvente do espectro é
uma função sinc
Atenuação nas
réplicas espectrais
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2. Amostragem Natural (Tempo)
Sinal Amostrador
Real
Onda quadrada
com duty cycle a
tender para zero
Sinal Amostrado
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2. Amostragem Ideal de Sinal PassaBanda (Frequência)
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2. Amostragem da sinusóide
Espectro da
sinusóide
Sinal Amostrado
Réplicas Espectrais
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2. Filtro Reconstructor Real
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2. Amostragem ao ritmo de Nyquist
Filtro Reconstructor
deve ser ideal !
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3. Sobreposição Espectral - Aliasing
• Quando não se cumpre o ritmo de Nyquist, as réplicas espectrais
sobrepõem-se
• O espectro fica distorcido devido ao “aparecimento de novas
frequências” , designadas de alias
• Assim, é impossível reconstruir o sinal original
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3. Sobreposição Espectral - Aliasing
• Sinusóide de 4 kHz
amostrada à
frequência de 6 kHz
• Frequência alias de
2 kHz = 6 – 4 k Hz
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3. Sobreposição Espectral - Aliasing
A componente alias é inferior
à frequência original
Esta componente aparece na
banda do filtro reconstructor
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3. Sobreposição Espectral - Aliasing
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3. Sobreposição Espectral - Aliasing
Filtro anti-aliasing – idealmente, é um filtro passa-baixo com
frequência de corte Fs /2
Remove as componentes acima do Ritmo de Nyquist
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4. Quantificação (uniforme)
• Representação das amplitudes do sinal amostrado através de palavras binárias
com n bit ( usando 2n intervalos de igual dimensão – uniforme )
• Após a amostragem, realiza-se a quantificação (discretização das amplitudes)
Com n bit por amostra
temos 2n intervalos
Erro de quantificação
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4. Quantificação
Erro de Quantificação na conversão Analógico/Digital
e (t )  x (t )  x (t )
q
a
q
No máximo, o valor absoluto do erro de quantificação é metade da largura do intervalo
Considerando que o erro de quantificação tem distribuição
uniforme no intervalo de quantificação, temos
1
Pq 
2

 eq (t )dt 
2

eq (t )  ( / 2 )t
1


2
e
 q (t )dt
0
  t  
4. Quantificação
• SNR – Signal to Noise Ratio de Quantificação
• Mede o erro de quantificação
• Menor erro conduz a SNR mais elevada
SNR  3  2
2n
Px
 2
V
Px 

2n
SNRdB  10 log10  3  2  2 
V 

Px 

2n
 10 log10 2
 10 log10  3  2 
V 

Px 

 6,02n  10 log10  3  2 
V 



com n o número de bits por amostra
Px a potência do sinal quantificado
V a amplitude máxima quantificável
(valores possíveis do sinal entre +V e –V)
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4. Quantificação
Por cada bit que se acrescenta ao conversor incrementa-se 6 dB na
SNR.
Cada bit a mais por amostra conduz à duplicação do número de
intervalos
A duplicação do número de intervalos reduz para metade o erro de
quantificação
No formato CD Áudio: 16 bits => SNR  6 *16  96 dB
(gama dinâmica do ouvido humano é aproximadamente 100 dB)
Exemplos
CD Áudio:
Digitalização de Fala:
Fs=44100 Hz e n=16 bit/amostra
Fs=8000 Hz e n=8 bit/amostra
(Nota: Digitalização de Fala usa Quantificação não Uniforme)
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5. Exercícios
Seja x(t) = 2 cos(24000t) o sinal analógico presente na entrada de
um conversor A/D.
a) Indique as seguintes características do A/D: gama dinâmica (variação
máxima de amplitude); frequência de amostragem Fs; número de bits
por amostra n, sabendo que o máximo erro de quantização deverá ser,
em valor absoluto |e|=125 mV.
b) Nas condições da alínea anterior, indique o ritmo de transmissão binário
necessário para transmitir, em tempo real, o sinal produzido pelo
conversor A/D.
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5. Exercícios
Determinado sinal analógico passa-baixo x(t), com largura de banda 30
kHz, foi amostrado com determinada frequência Fs obtendo-se uma
sequência de amostras, tal que as primeiras quatro são:
{0.6; −0.9; 0.3; −0.1}.
a) Qual a gama de valores de Fs que possibilita recuperar x(t) a partir destas
amostras?
b) Suponha que estas amostras dão entrada num quantizador uniforme,
com 4 intervalos, com gama dinâmica entre -1 e +1 Volt e codificação de
intervalos em binário natural.
i) Qual a sequência binária produzida na saída do quantizador ?
ii) Apresente o erro de quantização de cada uma das quatro amostras.
c) Qual a relação sinal-ruído de quantização?
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5. Exercícios
Suponha a existência dos conversores A/D apresentados na tabela,
para os quais se indica a frequência de amostragem e o número de
bits por amostra
Conversor
Fs [kHz]
n bit/amostra
A/D1
44,1
16
A/D2
8
8
A/D3
14
12
A/D4
18
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a) Sejam x(t) = 10 cos(22500t) + 5 cos(26000t) e y(t) tal que Y(f)=rect(f/16000).
Indique o(s) conversor(es) adequado(s) para digitalizar x(t) e y(t).
b) Suponha que se utiliza o conversor A/D2 para digitalizar um sinal com duração
de 30 segundos. Quantos bits são produzidos nessa digitalização?
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5. Exercícios

Na associação de sistemas apresentada na figura, os sistemas de
amostragem e reconstrução operam com Fs=10 kHz, incluindo os
filtros anti-aliasing e de reconstrução designados por HAA(f) e HR(f),
respectivamente. Seja x(t) = 1+2 cos(2600t+ /4) + 5cos(26000t).
a)
Esboce os espectros (amplitude e fase) de x(t) e determine a expressão de
z(t).
Calcule as primeiras 4 amostras de zs(t) e esboce o espectro de amplitude
deste sinal.
Apresente a expressão do sinal y(t) presente na saída do sistema de
reconstrução.
b)
c)
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