UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
FRANCISCA VANDILMA COSTA
UM ESTUDO SOBRE A APRECIAÇÃO DO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO NA
FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES
NATAL
2013
FRANCISCA VANDILMA COSTA
UM ESTUDO SOBRE A APRECIAÇÃO DO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO NA
FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Educação do Centro de Educação da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
como requisito parcial para obtenção do grau de
Doutora em Educação.
Orientador: Prof. Dr. John Andrew Fossa
NATAL
2013
FRANCISCA VANDILMA COSTA
UM ESTUDO SOBRE A APRECIAÇÃO DO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO NA
FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES
Tese examinada e aprovada como requisito para a
obtenção do grau de Doutor em Educação pelo
Programa de Pós-Graduação em Educação do Centro
de Educação da Universidade Federal do Rio Grande
do Norte pela comissão examinadora formada pelos
professores:
BANCA EXAMINADORA
Natal (RN), 08 de Março de 2013
Aos meus pais, Cícero Jerônimo Costa, homem de muita dignidade,
e Maria Lídia Leite Costa, mulher de forte integridade. Estes que, com fé
e coragem, vieram conosco de Juazeiro do Norte-CE para Mossoró-RN,
a fim de nos proporcionar uma vida e uma educação melhor;
À minha irmã Cicinha, Cícera Vânia Costa (in memoriam), que, na
sua breve existência, sempre se dedicou aos estudos, seja no serviço
religioso ou no ato de professorar;
Ao meu cunhado Maninho, Manoel José dos Santos (in memoriam),
pela forte lembrança do seu apoio no dia da minha defesa de mestrado;
Ao meu tio Zequinha, José Paulino Filho (in memoriam), um
sapateiro de profissão que, entre um intervalo e outro do seu ofício, viao lendo, desenhando, fazendo matemática, ouvindo rádio e discutindo,
em uma linguagem culta, religião, esporte, política e cultura, mesmo
com sua parca escolarização;
Às minhas duas primeiras professoras particulares: Azenete, com
quem pintei meus primeiros desenhos e aperfeiçoei a caligrafia, e Dona
Mundinha, Raimunda Queiroz (in memoriam), que me ensinou a armar
as minhas primeiras contas de somar e subtrair e tirar a prova “nove
fora”, como também a decorar a tabuada de multiplicar de 1 a 5, para
serem ditas, oralmente, uma vez por mês;
Aos meus professores e colegas das escolas públicas municipais e
estaduais onde estudei em Mossoró, pelas brincadeiras e pirraças
compartilhadas, mesmo sem muita qualidade de ensino, mas que muito
me orgulho de ter conseguido superar inúmeros obstáculos,
principalmente a vencer as estatísticas do ensino da época por ser
mulher, nordestina e negra. Devo essa coragem aos incentivos advindos
de meus professores pelos quais, por querer imitá-los, fiz-me
professorar;
Aos meus alunos de todos os tempos, em Mossoró e Natal, com
quem sempre procurei fazer o melhor, seja como professora de
Matemática ou áreas afins da educação;
Aos colegas professores pelas oportunidades de crescimento na
profissão docente, de entender política e lutas, quer sejam sindicais, quer
sejam partidárias, por um ensino de qualidade para todos: livre de
repressão, de discriminação de cor, de religião e de classe social;
A todos vocês, com muito apreço e carinho, dedico esta tese!
AGRADECIMENTOS
É chegado o momento de agradecer a quem, nesses três anos, colaborou para a
conclusão dessa etapa tão importante da minha vida acadêmica. Fico com receio de deixar
falhar, na minha memória, a lembrança de inúmeras pessoas (professores, colegas,
funcionários, alunos...) que recorri nos espaços da própria universidade ou em outras
instituições. Com um gesto de cumprimento ou um sorriso, elas souberam dar atenção às
minhas inquietações e solicitações, além de escutá-las. Por essa razão, agradeço:
A Deus, por estar sempre ao meu lado na labuta e obstáculos, mas também nas
alegrias. Ele me fez acreditar, com fé e esperança, na concretização de meus sonhos,
concedendo-me força, saúde e coragem nessa caminhada;
Aos meus queridos pais, Cícero Jerônimo e Maria Lídia, a quem devo a pessoa que
hoje sou. Como ninguém, vocês souberam ensinar-me a valorizar as coisas mais simples, o
respeito, a integridade e a igualdade entre homens e mulheres;
Aos meus irmãos Vera, Vanda, Socorro (Dizinha), Vanderli, Vládia e Wagner e
sobrinhos Ítalo, Pedro Lukas, Guilherme, Patrícia, Liziane, Hanna, Raniane e Cristina que
muito me fizeram acreditar no melhor, a quem agradeço pelo amor que têm por mim;
Aos meus tios Paulo e Ágda e aos cunhados Edinaldo, Madomin e Miranda, pela
amizade e apoio sempre;
Aos amigos Sousa, Erineide, Helena, Cassimiro, Rosimar, Rosineide, Leomar, Bino,
Maíla, Pedro, Célia, Georgete, Paulo, Bernadete, Betinha, Anilda, Ilza, Davan, Antonino,
Tácio, Robson e Gorete, por serem minha âncora sempre, não só no campo acadêmico, mas
também no apoio moral e espiritual;
Ao meu orientador, Prof. John Fossa, a quem devo a minha ascensão acadêmica na
especialização, mestrado e doutorado e a paixão que sinto pelo ato de pesquisar. Com sua
sabedoria e paciência ele conseguiu transformar-me de uma pedra bruta para uma pedra em
lapidação. É assim que me sinto ao longo desses anos em que recebi sua orientação. Embora
tenha a convicção de que os seus ensinamentos, na minha trajetória acadêmica, formalmente
estejam encerrando aqui, levarei a eterna gratidão por suas sábias lições e o desejo de buscar
novos aprendizados;
Aos professores do PPGED e demais funcionários das bibliotecas e secretarias da
UFRN, aos mestres Mônica, Pedro, João de Deus, Juarez, Eliano, Aldan e Angélica, ao
arquiteto Rogério, pelos ensinamentos e por ter, com seus esclarecimentos, colaborado na
realização deste estudo;
Ao professor Iran Mendes e Carlos Aldemir pela amizade e força prestadas;
Às minhas colegas do programa – PPGED: Georgiane, Rita, Maria José e aos demais
com quem convivi em seminários, congressos ou em sala de aula cursando disciplina.
Aos professores de língua portuguesa (Suely, Edeleuda, Lúbia, Maíla, Sousa, Davi
Tintino, Aparecida e Artur) e estrangeira (Edeleuza, Adriana, Sousa e Renato), pela leitura
atenta a este trabalho e traduções.
À diretora Fátima Carrilho, coordenadores, funcionários e professores do IFESP, em
especial a Anilda, Ilsa, Lorena, Elizabete, Paulino, Maria José, Suely, Liana, Aparecida,
Marlene, Aldagiza, Edileuza, Claudete, Antônia Zélia, Ana Zélia, Márcio, Edson, Duarte,
William e Valckey, pelo apoio, contribuição e colaboração ao longo do estudo;
Aos professores do IFESP que cederam suas aulas à pesquisa: Anilda, Rosalba,
Gilmar, Luciana, Liliane e Maria José; carinhosamente, aos alunos investigados dos cursos de
Pedagogia e Licenciatura em Matemática, que muito confiaram no meu trabalho, razão maior
deste estudo;
Aos meus colegas do grupo de estudo em Educação Matemática em Mossoró,
especialmente a Assis que, por ser apaixonado pela Educação Matemática, coordenava as
ideias práticas e emprestava suas revistas da SBEM para desenvolvermos, em sala de aula, um
trabalho de qualidade. Foi nesse grupo (Assis, Valéria, Dorinha e Malu) que tive a
oportunidade de discutir sobre seção áurea e número de ouro;
À Diretora Eudes Maria, da Escola Municipal Sindicalista Antônio Inácio – Zona
Rural de Mossoró-RN – a quem agradeço, bem como a todos meus ex-diretores dessa cidade,
em especial Lourdes Firmino, Socorro Araújo e Alderi Nogueira, pela confiança que muito
souberam em mim depositar, como professora em instituições escolares, e sempre apostaram
no meu desenvolvimento profissional e intelectual;
Um agradecimento todo especial a duas ex-professoras do IFESP e grandes colegas:
Regina e Maria José Medeiros, pelo companheirismo e constantes incentivos na busca
incessante do conhecimento. A Maria José fica a minha gratidão, pois sua experiência,
conhecimentos e humildade fizeram, nesses meus momentos finais de escrita da tese, um
enorme diferencial na disposição para que eu vencesse os obstáculos e atingisse a meta final,
sem vangloria, com simplicidade.
ASTROLOGIA
Minha estrela não é de Belém:
A que, parada, aguarda o peregrino.
Sem importar-se com qualquer destino
A minha estrela vai seguindo além...
– Meu Deus, o que é que esse menino tem? –
Já suspeitavam desde eu pequenino.
O que eu tenho? É uma estrela em desatino...
E nos desentedemos muito bem!
E quando tudo parecia a esmo
E nesses descaminhos me perdia
Encontrei muitas vezes a mim mesmo...
Eu temo é uma traição do instinto
Que me liberte, por acaso, um dia
Deste velho e encantado labirinto
(Mario Quintana, 2012)
RESUMO
O presente trabalho teve como foco desenvolver atividades de ensino, que proporcionassem,
ao aluno na formação inicial de professores, uma melhoria à capacidade de raciocínio
matemático e, consequentemente, uma maior apreciação dos conceitos relacionados à seção
áurea, aos números irracionais, à incomensurabilidade e à demonstração da redução ao
absurdo. A pesquisa classifica-se como de campo, cujos dados de coleta foram inseridos
dentro de uma abordagem quanti-qualitativa. Atuaram, na investigação, duas turmas em
formação inicial de professores. Esses eram docentes e funcionários da rede pública estadual e
municipal, residentes na capital, na Região Metropolitana de Natal – Grande Natal – e no
interior do estado. A parte empírica da pesquisa realizou-se nos cursos de Pedagogia e na
licenciatura de Matemática do IFESP, em Natal – RN. A construção do caminho teórico e
metodológico teve como propósito apresentar uma situação de ensino baseada na história,
envolvendo a matemática e a arquitetura, oriunda de um contexto concreto – a Villa Emo de
Andrea Palladio. Centraram-se as discussões nos estudos atuais de Rachel Fletcher ao afirmar
que o arquiteto usou seção áurea na construção da referida vila. Como resultado, observou-se
que a proposta de realizar um estudo sobre a apreciação do raciocínio matemático
proporcionou, no decorrer das sequências de ensino e atividade, diversas reflexões teóricas e
práticas. Essas aplicações, aliadas a quatro sessões de estudo, em sala de aula, voltaram-se
para uma organização do pensamento matemático capaz de desenvolver, nos acadêmicos, o
raciocínio lógico e investigativo e demonstração matemática. Ao trazer aspectos da
matemática da Grécia Antiga e de Andrea Palladio, em atividades de ensino para professores
e futuros professores da educação básica, promoveu-se, neles, uma melhoria na capacidade de
raciocínio matemático. Portanto, esse trabalho partiu de inquietações em oportunizar aos
alunos pesquisados, o pensar matematicamente. De fato, um dos mais famosos irracionais, a
seção áurea, foi definido através de certa construção geométrica, o que é refletido pela frase
grega (o nome “seção áurea” é bastante posterior) usada para descrever o mesmo: divisão – de
um segmento – em média e extrema razão. Posteriormente, a seção áurea chegou a ser
considerada um padrão de beleza nas artes. Isso se reflete em como aproveitar a afirmação do
questionamento feito por atuais estudiosos de Palladio, quanto ao uso da seção áurea nos seus
projetos arquitetônicos, no nosso caso, na Villa Emo.
Palavras-chave: Demonstração ao Absurdo. Formação Inicial de Professores. História da
Matemática. Seção Áurea. Andrea Palladio.
ABSTRACT
The present work focused on developing teaching activities that would provide to the student
in initial teacher training, improving the ability of mathematical reasoning and hence a greater
appreciation of the concepts related to the golden section, the irrational numbers, and the
incommensurability the demonstration from the reduction to the nonsensical. This survey is
classified itself as a field one which data collection were inserted within a quantitative and
qualitative approach. Acted in this research, two classes in initial teacher training. These were
teachers and employees of public schools and local governments, living in the capital, in
Natal Metropolitan Region - and within the country. The empirical part of the research took
place in Pedagogy and Mathematics courses, IFESP in Natal - RN. The theoretical and
methodological way construction aimed to present a teaching situation, based on history,
involving mathematics and architecture, derived from a concrete context - Andrea Palladio’s
Villa Emo. Focused discussions on current studies of Rachel Fletcher stating that the architect
used the golden section in this village construction. As a result, it was observed that the
proposal to conduct a study on the mathematical reasoning assessment provided, in teaching
and activity sequences, several theoretical and practical reflections. These applications,
together with four sessions of study in the classroom, turned on to a mathematical thinking
organization capable to develop in academic students, the investigative and logical reasoning
and mathematical proof. By bringing ancient Greece and Andrea Palladio’s aspects of the
mathematics, in teaching activities for teachers and future teachers of basic education, it was
promoted on them, an improvement in mathematical reasoning ability. Therefore, this work
came from concerns as opportunity to the surveyed students, thinking mathematically. In fact,
one of the most famous irrational, the golden section, was defined by a certain geometric
construction, which is reflected by the Greek phrase (the name "golden section" becomes
quite later) used to describe the same: division – of a segment - on average and extreme right.
Later, the golden section was once considered a standard of beauty in the arts. This is
reflected in how to treat the statement questioning by current Palladio’s scholars, regarding
the use of the golden section in their architectural designs, in our case, in Villa Emo.
Key-words: Statement to the Nonsensical. Initial Teachers Formation. History of
Mathematics. Golden Section. Andrea Palladio.
RÉSUMÉ
Cette étude a eu comme but développer des activités d’enseignement qui pouvait offrir à
l’élève, dans la formation initiale de professeurs, une amélioration à la capacité de
raisonnement mathématique et, par conséquence, beaucoup plus d’appréciation des concepts
rapportés au nombre d’or, aux nombres irrationnels, à l’incommensurabilité et à la
démonstration de la réduction à l’absurde. Cette recherche se classifie comme celle de champ,
dont les données de prélèvement ont été insérées dans une approche quantitative et
qualitative. Deux groupes en formation initiale de professeurs ont participé de cette recherche.
Ceux-ci étaient des professeurs titulaires et fonctionnaires du réseau public de l’état et du
municipe habitant dans la capitale, dans la Région Métropolitaine de Natal – Grande Natal –
et dans la campagne de l’état. Le côté empirique de la recherche a été réalisé dans les cours de
Pédagogie et dans le cours de licence en Mathématique de l’IFESP, à Natal – RN. La
construction du chemin théorique et méthodologique a eu comme but présenter une situation
d’enseignement, basée dans l’histoire, impliquant la mathématique et l’architecture résultant
d’un contexte concret – la Villa Emo d’Andrea Palladio. Les discussions ont porté sur les
études actuelles de Rachel Fletcher affirmant que l’architecte a utilisé le nombre d’or pour la
construction de cette villa. Comme résultat on a remarqué que la proposition de réaliser une
étude sur l’appréciation du raisonnement mathématique a offert, au cours des séquences
d’enseignement et d’activité, des diverses réflexions théoriques et pratiques. Ces applications,
liées à quatre séances d’étude en salle de classe, ont conduit à une organisation de la pensée
mathématique capable de développer aux académiques le raisonnement logique et chercheur
et la démonstration mathématique. En portant des aspects de mathématique de la Grèce
antique et d’Andrea Palladio, dans des activités d’enseignement pour des professeurs et futurs
professeurs de l’éducation de base, on leur a donné une amélioration à la capacité de
raisonnement mathématique. Cependant, cette recherche est venue de la promématique de
faire penser mathématiquement aux élèves recherchés. En effet, l’un des plus réputés
irrationnels, le nombre d’or, a été définie par le moyen d’une construction géométique, ce qui
est reflété par la phrase grecque (le nom « nombre d’or » étant assez postérieur) utilisée pour
le décrire : division – d’un segment – en moyenne et extrême raison. Postérieurement, le
nombre d’or est venu d’être considéré un modèle de beauté aux arts. Cela se reflète en
comment profiter l’affirmation du questionnement fait par des chercheurs contemporains de
Palladio, quant à l’usage du nombre d’or dans ses projets architecturaux, dans nos cas, dans la
Villa Emo.
Mots-clés: Démonstration à l’absurde . Formation initiale de professeurs. Histoire des
mathématiques. Nombre d’or. Andrea Palladio.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Andrea Palladio .................................................................................................... 27
Figura 2 – Mapa da Itália, onde está situada a cidade-estado de Pádua, terra natal de
Palladio......................................................................................................................................28
Figura 3 – Vitrúvio (à direita) mostrando o "De Architectura" a Augusto ........................... 32
Figura 4 – Regina Virtus: rainha das artes ............................................................................. 34
Figura 5 – Mapa biográfico do arquiteto Andrea Palladio ..................................................... 42
Figura 6 – Villa Emo: vista exterior ...................................................................................... 44
Figura 7 – Villa Emo: vista interior ........................................................................................ 45
Figura 8 – Grécia Antiga ....................................................................................................... 51
Figura 9 – Pitágoras de Samos .............................................................................................. 55
Figura 10 – Representação dos números para Pitágoras ....................................................... 58
Figura 11 – Tetractys de La década ...................................................................................... 59
Figura 12 – Pentagrama ......................................................................................................... 60
Figura 13 – Criação de um novo pentagrama ........................................................................ 62
Figura 14 – Pentágono estrelado ........................................................................................... 63
Figura 15 – Pentágono regular .............................................................................................. 64
Figura 16 – Quadrados de lados 1 ......................................................................................... 66
Figura 17 – Retângulos e suas diagonais ............................................................................... 66
Figura 18 – Euclides de Alexandria ...................................................................................... 70
Figura 19 – Os elementos (Stoichia) de Euclides ................................................................. 71
Figura 20 – Representação do retângulo áureo ..................................................................... 74
Figura 21 – Construção de retângulo áureo ........................................................................... 75
Figura 22 – Os Quatro Livros da Arquitetura ....................................................................... 76
Figura 23 – Ordens gregas (dórica - jônica e coríntia) .......................................................... 78
Figura 24 – Plantas e fachadas das construções dos Srs. Valério Chiericati e Giovanni
Francesco Valmara....................................................................................................................80
Figura 25 – Planta e fachada da construção do Senhor Giulio Capra ................................... 81
Figura 26 – Planta e fachada da Villa Emo ........................................................................... 82
Figura 27 – Detalhe do bloco central da Villa Emo de Palladio ............................................ 84
Figura 28 – Representação geométrica da Figura 4 de Fletcher ............................................ 86
Figura 29 – Representação geométrica da Figura 5 de Fletcher ............................................ 91
Figura 30 – Desenho explicativo final da Figura 5 (FLETCHER, 2000) .............................. 92
Figura 31 – Alunas medindo a altura ....................................................................................125
Figura 32 – Aluno medindo a massa ....................................................................................125
Figura 33 – Alunos de Pedagogia realizando os cálculos das atividades .............................126
Figura 34 - Aluno de Matemática executando tarefa prática do π ........................................128
Figura 35 - Ambiente escolar para o encontro sobre seção áurea .........................................133
Figura 36 – Cálculo da seção áurea ......................................................................................134
Figura 37 – Geometrizando seção áurea ................................................................................135
Figura 38 – Provando com régua e compasso retângulos áureos ..........................................136
Figura 39 - Alunos de Matemática discutindo seção áurea em Os elementos ......................137
Figura 40 - Alunos de Pedagogia em atividades de seção áurea ..........................................137
Figura 41 – Descobrindo objetos retangulares áureos ...........................................................139
Figura 42 - Alunos de Pedagogia organizando a sala ...........................................................143
Figura 43 - Exposição dos livros estudados .........................................................................146
Figura 44 – Desenho da capa do Tratado de Palladio ..........................................................146
Figura 45 – Aluna pesquisando em revista sobre Palladio ..................................................148
Figura 46 – Alunos analisando se há seção áurea na planta do bloco central da Villa Emo..150
Figura 47 - Sessão sobre redução ao absurdo .......................................................................151
Figura 48 – Aluna em atividades de pesquisa .......................................................................152
Figura 49 – Alunos fazendo tarefas das demonstrações .......................................................152
Figura 50 – Demonstração feita pela aluna de Pedagogia .....................................................156
Figura 51 – Demonstração feita pelas alunas de Matemática ................................................157
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Principais Villas Paladianas ................................................................................ 38
Quadro 2 - Principais Palácios de Palladio ........................................................................... 40
Quadro 3 - Principais igrejas e Mosteiros de Palladio .......................................................... 40
Quadro 4 - Outros tipos de edificações de Andrea Palladio .................................................. 40
Quadro 5 - Alunos matriculados segundo o curso, ano de ingresso, turno, período e Turma.
.................................................................................................................................................102
Quadro 6 - Grupo de alunos-colaboradores de Pedagogia ....................................................104
Quadro 7 - Grupo de alunos-colaboradores de Matemática .................................................106
Quadro 8 - Pensamento dos alunos para melhor retratar a Matemática ................................119
Quadro 9 - Justificativas dos alunos ao retratarem a Matemática .........................................121
Quadro 10 - Respostas dos pesquisados sobre a questão 3 ...................................................126
Quadro 11 - Observações dos alunos sobre atividade do Pi e o comprimento da
Circunferência ........................................................................................................................129
Quadro 12 - Conclusões dos investigados sobre a solução da questão 6 ..............................130
Quadro 13 - Respostas dos alunos relativas ao estudo sobre seção áurea ............................141
Quadro 14 - Síntese das respostas obtidas sobre a questão 3 ................................................153
Quadro 15 - “Retrato” da Matemática ..................................................................................158
Quadro 16 - “Retrato” da Matemática dos alunos de pedagogia ..........................................159
Quadro 17 - “Retrato” da Matemática por alunos de Matemática ........................................160
Quadro
18
-
Justificativas
dos
alunos
ao
retratarem
a
Matemática
após
a
Intervenção..............................................................................................................................161
SUMÁRIO
1 ALICERCES INTRODUTÓRIOS: A ARTE INICIAL DO ESTUDO..............
17
1.1 OS MARCOS SIGNIFICATIVOS E METODOLÓGICOS ................................
19
2 CONSTRUÇÃO DE DESENHOS E PROJETOS NA VIDA DE PALLADIO:
DO HOMEM SIMPLES PADOVANO AO CÉLEBRE ARQUITETO.................
23
2.1 BREVES TRAÇOS E RABISCOS NO CONTEXTO SÓCIO-HISTÓRICO E
CULTURAL DE PALLADIO.......................................................................................
23
2.2 O DESENHO DO HOMEM SIMPLES PADOVANO PALLADIO.....................
27
2.3 ESBOÇOS E PROJETOS DE PALLADIO: DA EXPERIÊNCIA PRÁTICA A
UMA EDUCAÇÃO TEÓRICA.....................................................................................
29
2.3.1 Vitrúvio: a grande influência artística de Palladio..........................................
31
2.3.2 O legado de Palladio: esboços de obras, edificações e o tratado de
arquitetura....................................................................................................................
35
2.4 A INFLUÊNCIA DE PLATÃO NOS TRATADOS DE VITRUVIO E
PALLADIO....................................................................................................................
44
2.4.1 A tradição humanista oriunda de Platão: como ela está embutida no
método de Palladio.......................................................................................................
46
2.5 A IMPORTÂNCIA E O SIGNIFICADO DOS DESENHOS PARA PALLADIO.
49
3 ASPECTOS TEÓRICOS DA MATEMÁTICA DA GRÉCIA ANTIGA À
ITÁLIA
DO SÉCULO XVI: AS COLUNAS DO ESTUDO.................................
51
3.1 SEÇÃO ÁUREA: UMA HISTÓRIA ANTIGA DOS GREGOS A PALLADIO....
51
3.2 A SEÇÃO ÁUREA NO PENSAMENTO DE PITÁGORAS E DOS
PITAGÓRICOS.............................................................................................................
54
3.2.1 Números irracionais e incomensurabilidade....................................................
60
3.2.2 Redução ao absurdo e a raiz quadrada de 2.....................................................
65
3.3 A SEÇÃO ÁUREA NO PENSAMENTO DE EUCLIDES.....................................
69
3.4 A MATEMÁTICA NA OBRA OS QUATRO LIVROS DE ARQUITETURA.........
75
3.5 SEÇÃO ÁUREA NA VILLA EMO: TESE DE RACHEL FLETCHER.................
82
3.5.1 Esquema Geométrico de Fletcher na Villa Emo ...................................................
86
3.6 RÉGUA E COMPASSO NA VILLA EMO ..................................................................
93
4 ARQUITETURA DA PESQUISA ....... ........................................................................
98
4.1 O CAMPO DA PESQUISA .........................................................................................
99
4.2 OS ALUNOS-COLABORADORES DA PESQUISA .............................................
103
4.2.1 Os alunos de pedagogia ........................................................................................
104
4.2.2 Os alunos de matemática .....................................................................................
105
4.3 O ITINERÁRIO METODOLÓGICO DA PESQUISA ............................................
107
4.3.1 Etapas necessárias à construção da pesquisa interventiva ...............................
108
4.4 AS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NAS SESSÕES DE ESTUDO .................
112
4.5 ORGANIZAÇÃO, TRATAMENTO E ANÁLISE DOS DADOS ...........................
114
5 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ....................................................
116
5.1 AS ATIVIDADES DE SONDAGEM NAS TURMAS INVESTIGADAS ..............
116
5.2 O ESTUDO INTERVENTIVO: DA TEORIA À PRÁTICA ...................................
123
5.2.1 Sessão de estudo 1: os números e a matemática ................................................
124
5.2.2 Sessão de estudo 2: seção áurea ...........................................................................
130
5.2.3 Sessão de estudo 3: a matemática na arquitetura de Palladio ..........................
142
5.2.4 Sessão de estudo 4: demonstração da redução ao absurdo ...............................
151
5.3 A ATIVIDADE AVALIATIVA ...............................................................................
158
6 ARTE FINAL: ARREMATES, (IN)CONCLUSÕES, RECOMENDAÇÕES E
PERSPECTIVAS DO ESTUDO.................................................................................
166
REFERÊNCIAS...........................................................................................................
171
APÊNDICES.................................................................................................................
177
APÊNDICE A – Atividade diagnóstica - pesquisa de campo .........................................
178
APÊNDICE B – Os números e a matemática .................................................................
181
APÊNDICE C – Seção Áurea .........................................................................................
187
APÊNDICE
D
–
A
matemática
e
a
arquitetura
na
Villa
Emo
de
Andrea Palladio ...............................................................................................................
192
APÊNDICE E – Técnica de demonstração por absurdo .................................................
195
17
1 ALICERCES INTRODUTÓRIOS: A ARTE INICIAL DO ESTUDO
As primeiras manifestações de conhecimento que a humanidade teve sobre a
matemática têm suas raízes nos primórdios da civilização e estavam diretamente relacionadas
à resolução de situações práticas emergentes do contexto social. Posteriormente, considerada
como uma ciência nobre, o seu ensino iniciou-se de forma intencional no período das antigas
civilizações orientais, apresentando um caráter prático e utilitário, estando, desde o seu
surgimento, associada às classes mais favorecidas, como os escribas e os altos funcionários.
Fossa (2004, 2010) a identifica como atividades proto-matemáticas, isso por entender que são
práticas que antecederam o surgimento da Matemática. Ou seja, o conceito de protomatemática, para Fossa, “é aquela matriz de atividades centrada em números e operações com
números, mas também incluem-se aspectos da geometria, da qual a matemática propriamente
emergiu, sendo caracterizada exatamente pela ausência de demonstrações” (FOSSA, 2010, p.
14).
O nascimento do formalismo da matemática na Grécia, em decorrência dos estudos
dos pitagóricos e platônicos, trouxe como consequência para o ensino da matemática a
priorização dos estudos teóricos em detrimento das aplicações práticas. Platão, além de
evidenciar o caráter nobre da matemática, reforçava também o seu valor formativo,
principalmente por creditar a esta o desenvolvimento do pensamento humano, isto é, do seu
raciocínio (MIORIM, 1998).
Neste trabalho, centramos nossas discussões em alguns aspectos da história da
matemática1 relacionados ao pensamento da Antiguidade grega de Pitágoras e dos pitagóricos,
passando por Euclides até chegarmos ao Renascimento, com o arquiteto do século XVI,
Andrea Palladio (1508-1580). O intuito foi estudar a irracionalidade e a sua
incomensurabilidade a partir da seção áurea, tendo-a como um exemplo a mais entre os
números irracionais. Este assunto foi tratado por Euclides, na sua obra Os elementos,
abordado como dado geométrico, em proposições nos Livro X e VII. Consequentemente,
incluindo as demonstrações por absurdo, com base numa fundamentação teórica e
concretizada em uma pesquisa empírica.
1
O termo história da matemática está sendo usado conforme preconiza Fossa (2006, p.13) ao situar que, em se
tratando da investigação da história da matemática, ela será sempre uma “atividade que envolve a compreensão
relacional e, portanto, auxilia o desenvolvimento das habilidades matemáticas que queremos que sejam
alcançadas por todos os nossos alunos, sejam eles futuros matemáticos ou não”. Na compreensão relacional há o
desenvolvimento de habilidades críticas e metacognitivas que estimulam o aluno a aprender pensar sobre seu
próprio pensar, além de incluir conhecimentos sobre quando e como devemos usar determinada estratégia para
aprender ou para resolver problemas.
18
Para tanto, apresentaremos uma situação de ensino, baseada na história, envolvendo
a matemática e a arquitetura, a partir de um contexto concreto – a Villa Emo de Andrea
Palladio. Centramos nossas reflexões nas discussões atuais sobre o uso da seção áurea por
Palladio na construção da Villa Emo como argumento de defesa principal da teórica
americana Rachel Fletcher (2000, 2001), em publicação de artigos.
Com foco nessas ideias, traçamos metas e estratégias para o desenvolvimento da
pesquisa. Configuramos um plano de ação voltado para uma proposta interventiva que
valorizasse o pensamento matemático, o uso de demonstrações matemáticas (ênfase à redução
ao absurdo) e os saberes lógicos dos alunos – ideal contrário à proposta do ensino tradicional.
Direcionamos nossa investigação para uma ação pedagógica que contemplou quatro
sessões de estudo, concomitantemente com aplicações de sequências de atividades para
alunos dos cursos de licenciatura em Pedagogia e Matemática, no Instituto de Educação
Superior Presidente Kennedy (IFESP) em Natal, capital do Rio Grande do Norte.
Laville e Dionne (1999) dizem que uma pesquisa sempre emerge de uma intenção,
da necessidade de o pesquisador desvendar um problema, ou seja, buscar respostas para suas
indagações sobre um determinado objeto de estudo. Pensando assim, este estudo foi norteado
pelas seguintes problematizações: 1) por que trabalhar, nos cursos de licenciaturas em
Matemática e Pedagogia, com a matemática da Grécia antiga de Pitágoras e os pitagóricos, de
Euclides e outros matemáticos a.C., perpassando pela era renascentista de Andrea Palladio, no
século XVI?; 2) como explorar, na sala de aula, conceitos matemáticos sobre os irracionais e
sua incomensurabilidade, seção áurea e as demonstrações da redução por absurdo?
Esses questionamentos nos conduziram ao estudo dos clássicos tratados: Os quatro
livros de arquitetura Andrea Palladio (1508-1580), referente ao uso de sua matemática e Os
elementos de Euclides, referindo-se à seção áurea no pensar dos gregos antigos. Nosso
propósito é constatar se os ensinamentos da matemática da Grécia antiga à Renascença, na
época de Andrea Palladio, contribuem para a formação inicial de professores que ensinam
Matemática.
O uso da história, como recurso pedagógico, no ensino da matemática tem como
finalidade principal promover um ensino-aprendizagem que permita uma ressignificação do
conhecimento matemático produzido ao longo dos anos (MENDES, 2006).
Com essa compreensão, defendemos a tese de que trazer aspectos da matemática da
Grécia antiga e de Andrea Palladio, em atividades de ensino para professores ou futuros
professores da educação básica, promoverá melhoria na capacidade de raciocínio matemático
e na aprendizagem de conceitos relacionados à seção áurea, aos números irracionais,
19
incomensurabilidade e à técnica de redução ao absurdo, por envolver a relação cultura,
história e conhecimento matemático.
Para isso, definimos como objetivo geral analisar se o uso de uma questão sobre a
matemática de Andrea Palladio e a seção áurea, quando aliado a alguns aspectos da
matemática da Grécia Antiga, contribui para o desenvolvimento do raciocínio matemático de
alunos em formação inicial nos cursos de Pedagogia e Matemática do IFESP.
Para concretizar o objetivo geral, lançamos mão dos seguintes objetivos específicos:
1) elaborar sequências de ensino e atividades que possibilitem uma organização do
pensamento matemático, a fim de desenvolver, no acadêmico, o raciocínio lógico e
investigativo e demonstração matemática; 2) promover sessões de estudo interventivas com
conhecimentos
e
conceitos
matemáticos
de
seção
áurea,
incomensurabilidade
e
irracionalidade, usando alguns aspectos da história da Matemática; 3) avaliar o
desenvolvimento de habilidades de explicação matemática por estudantes de graduação em
Pedagogia e Matemática a partir do uso das atividades elaboradas; 4) verificar os resultados e
argumentos apresentados para serem analisados, de forma crítica e reflexiva, por meio de uma
avaliação inicial e final.
Para alcançar esses objetivos, recorremos a um referencial teórico-metodológico que
nos trouxe contribuições necessárias à fundamentação teórica desta pesquisa.
1.1 OS MARCOS SIGNIFICATIVOS E METODOLÓGICOS
Esta parte da pesquisa trata dos aspectos metodológicos privilegiados na
investigação. Optamos pela pesquisa qualitativa, com destaque para o método empíricoanalítico. Ela parte de uma abordagem empírico-dialética da realidade na sala de aula e
argumenta sobre o significado de abordar temas históricos da matemática antiga, como
fundamento ao ensino desse componente curricular, objetivando estudar o pensamento
matemático de professores em cursos da formação inicial de Pedagogia e de Matemática.
Nesse caso, o objeto que deu origem a esta tese são as categorias extraídas nas sessões de
estudos, em que se procurou estabelecer relações entre os discursos contidos nas falas, nos
debates e nas atividades de grupo, no decorrer da pesquisa de campo.
O percurso da investigação, considerando o seu caráter teórico e empírico, assumiu
uma abordagem de elaboração pautada na visão quanti-qualitativa. Informamos, também, que
a pesquisa teve seu discurso sustentado na abordagem qualitativa, no momento em que os
conteúdos das mensagens teóricas e empíricas foram analisados a partir de um olhar que deu
20
conta dos significados objetivos e subjetivos das categorias do estudo.
Como já foi dito, a pesquisa de campo realizou-se no Instituto de Educação Superior
Presidente Kennedy – IFESP, situado no bairro Lagoa Nova, em Natal- RN, no período entre
junho e agosto de 2012, no qual foram escolhidas duas turmas – a turma do 6º período de
Pedagogia e a do 3º período de Matemática: da 2ª licenciatura.
O Instituto Kennedy tem uma história de 18 anos na formação de professores, no
estado do Rio Grande do Norte. Esclarecemos que, ao optar pelo espaço de formação de
professores como campo de investigação, no nosso caso o IFESP, quisemos, com isso, trilhar
um estudo que vai de encontro a outras pesquisas com professores. Queríamos que esse
professor, em preparação à sua docência, fosse o ator principal e não coadjuvante, atuasse na
essência do nosso objeto de estudo e mergulhasse em um cenário contextualizado da
Matemática, independente desse discente está ou não em formação de Matemática. A ideia
não era apenas levar os discentes a transformarem-se em professores pesquisadores, mas
também fazer com que os mesmos, em formação docente, fossem oportunizados a pensar
matematicamente.
A amostra é formada por cerca de 40 (quarenta) alunos – professores ou não
professores – cujo critério de inclusão foi ser aluno (a) matriculado (a) no curso da
licenciatura em Pedagogia do 6º período, matutino, e no curso da 2ª licenciatura em
Matemática, no local da pesquisa. Esclarecemos que não houve participante que tenha se
recusado a assinar o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE, cujos
documentos, devidamente assinados e arquivados, encontram-se sob nossa guarda e posse. A
escolha dos integrantes da pesquisa recaiu sobre aqueles que se interessaram em participar das
sessões de estudo, responder atividades e questionários ou prestar esclarecimentos de
respostas abertas em momentos individuais ou coletivos.
Para propiciar ao leitor uma visão geral do estudo, apresentamos, de forma sintética,
a arquitetura do trabalho. Ela é constituída de seis seções. Na primeira, intitulada Alicerces
introdutórios: a arte inicial do estudo, a discussão se dá na direção dos objetivos, da
relevância e do porquê de querermos percorrer caminhos em busca de realizar sessões de
estudos com alunos em processo formativo de professores, seguindo alguns aspectos
históricos da antiga matemática grega, como demonstração ao absurdo. Nessa ação
pedagógica, atuamos nos papéis de pesquisadora e de interventora do processo educativo,
enquanto os alunos atuaram como agente participativo principal desse processo.
Em relação à segunda seção – Construção de Desenhos e Projetos na Vida de
Palladio – Do Homem Simples Padovano ao Célebre Arquiteto –, nosso propósito é
21
caracterizar fragmentos da trajetória de vida de Andrea Palladio (1508-1580), um dos maiores
arquitetos do século XVI, sua obra e contribuições para a formação de um estilo próprio por
reinventar traços antigos da arquitetura greco-romana. Para tanto, levaremos em conta alguns
aspectos sócio-históricos, culturais, científicos e filosóficos ocorridos nessa época como
forma de compreender em que eles foram relevantes à formação pessoal, à intelectual e,
consequentemente, à sua construção profissional. Tais aspectos também poderão contribuir
para o entendimento das suas obras e, em consequência, para a percepção de como a
matemática foi utilizada nos seus projetos e, portanto, como isto pode ser aproveitado nas
aulas de matemática. Incluímos, ainda, outros dados os quais consideramos importantes para a
compreensão da história profissional de Palladio, tal como a influência que sua obra teve do
arquiteto romano Vitrúvio Polião, que viveu no século I a.C., e como as diversas experiências
por ele vivenciadas o ajudaram a tornar-se um exímio arquiteto.
Na terceira seção – Aspectos teóricos da Matemática na Grécia Antiga à Itália do
Século XVI: as colunas do estudo –, sintetizamos uma discussão teórica, em três itens. Nos
dois primeiros, apresentamos as concepções pitagórica e euclidiana sobre a definição da seção
áurea, duas teorias as quais nos serviram de suporte teórico para o entendimento dos números
irracionais, incomensurabilidade e da técnica de redução ao absurdo. Primeiramente, fazemos
uma abordagem histórica, contextualizando e apresentando os pensamentos atuais da
matemática na obra “Os quatros livros de arquitetura de Andrea Palladio” e a apresentação
das plantas baixas. Depois, fazemos referência à Matemática de Palladio sobre a Villa Emo,
destacando a explicação da tese da geômetra americana, Rachel Fletcher, que trata de
argumentar, por meio de representações geométricas, a presença da seção áurea no projeto
arquitetônicos de Andrea Palladio na vila citada, não como está erguida hoje, mas nas plantas
baixas, redesenhadas pelos arquitetos Soltan e Zocconi, em 1967.
Na seção seguinte Arquitetura da Pesquisa, apresentamos um panorama histórico,
geográfico e estatístico do contexto da investigação, o perfil dos participantes no trabalho,
faixa etária e um pouco da formação profissional de todos os envolvidos na pesquisa.
Caracterizaremos os grupos participantes, suas experiências de vida e suas trajetórias
profissionais. Também descrevemos a metodologia escolhida, a organização e a análise dos
dados, os procedimentos efetivados no decorrer da investigação interventiva, o contexto e o
ambiente em que esta foi desenvolvida, bem como os instrumentos da pesquisa.
Na quinta seção – Análise e discussão dos resultados –, discorremos sobre as etapas
percorridas durante a preparação e o desenvolvimento da intervenção, ou seja, o que foi
observado, fotografado, testemunhado, debatido e questionado, entre críticas, fatos,
22
comentários e episódios ocorridos desde a etapa de preparação da equipe, o desenvolvimento
dos estudos e as aplicações das avaliações inicial e final.
Na última parte deste texto – Arte final: arremates, (in) conclusões, recomendações
e perspectivas do estudo –, refletimos sobre os desafios enfrentados ao desejarmos abrir
novos horizontes, no caminhar de uma ação educativa, para tornar a sala de aula de
matemática mais interessante, na qual os alunos tornem-se mais motivados para o ensino
dessa disciplina e para uma aprendizagem mais significativa e globalizante, com
aproveitamento dos conhecimentos antigos da Matemática clássica. Incluímos sugestões e
recomendações ao estudo, como também alguns problemas de execução.
Por fim, oportunizamos aos alunos, futuros professores do IFESP, a alternativa de
um ensino de matemática superior diferenciado do ensino tradicional de matemática nos IES,
partindo de uma parte teórica histórica da matemática antiga para uma prática sequencial de
ensino de atividade.
Entendemos que a importância do estudo é justificada por tratar de questões do
ensino da matemática e da reflexão sobre novas posturas que, historicamente, têm ocupado os
espaços das pesquisas em história da matemática. Nossa pretensão é contribuir para a
formação inicial do professor no sentido de que ele explore, em sala de aula, diferentes formas
de pensamento presentes nas ideias matemáticas e possa desenvolver, nos seus alunos,
habilidades de raciocínio, como investigação, inferência, demonstração e criatividade
matemática.
É na busca de situarmos a vida pessoal e profissional, bem como a Matemática do
arquiteto Andrea Palladio, que será confirmado o significado do seu principal tratado, Os
quatro livros de arquitetura. Nele, na apresentação da Villa Emo, há uma tese que ele usou
seção áurea em seu projeto. Dessa forma, um dos pontos de estudo deste trabalho diz respeito
a alguns traços e desenhos da trajetória pessoal e profissional desse arquiteto do século XVI,
os quais serão tratados na próxima seção.
23
2 CONSTRUÇÃO DE DESENHOS E PROJETOS NA VIDA DE PALLADIO: DO
HOMEM SIMPLES PADOVANO AO CÉLEBRE ARQUITETO
Esta seção aborda a matemática envolvida nos trabalhos de Andrea Palladio e os
principais acontecimentos sócio-históricos e culturais relacionados aos fatos e aos dados
registrados em sua trajetória de vida (1508-1580) como arquiteto. Esses episódios, certamente
foram relevantes à formação pessoal e intelectual e, consequentemente, à sua construção
profissional. Mostrar-se-ão as diversas experiências vivenciadas por Andrea Palladio que o
ajudaram a tornar-se um exímio arquiteto. Algumas dessas experiências com as quais ele
adquiriu conhecimento no campo da arquitetura foram suas viagens a Roma, a fim de estudar
as ruínas antigas. Nesses estudos, ele fez medidas com a precisão da época, e o resultado delas
o consagrou, mais tarde, como um dos maiores arquitetos italiano do século XVI. Assim,
pretende-se apresentar as colaborações de Andrea Palladio para a formação de um estilo
próprio com a reinvenção de traços antigos da arquitetura greco-romana.
2.1 BREVES TRAÇOS E RABISCOS NO CONTEXTO SÓCIO-HISTÓRICO E
CULTURAL DE PALLADIO
Compreende-se que a arquitetura é a ciência capaz de registrar estilos e modelos
próprios de determinado contexto sócio-histórico e cultural. Assim, uma perfeita história da
arquitetura é a “história dos múltiplos coeficientes que informam a atividade edificatória
através dos séculos e englobam quase a gama dos interesses humanos” (ZEVI, 1997, p. 45).
Na história da arquitetura há sempre uma criação e, portanto, um criador ou inventor
– aquele que cria, (re) cria, inventa e (re) inventa teorias e ideias. Na gênese de sua invenção,
o inventor faz traços, rabiscos, desenhos, esboços e projetos. Desse modo, o criador ou
inventor é capaz de agregar talentos à sua própria expressão artística e de tomar emprestados
dotes a outras áreas de trabalho – como aquele que lida com a geografia de um lugar à
filosofia e à cultura de um povo – e, com maestria, incorporá-los num tempo específico,
totalmente seu. Na Itália, no século XVI, tempo em que viveu o arquiteto Andrea Palladio,
este reelaborou métodos greco-romanos na arquitetura.
No século XVI, a Itália concluía o ciclo renascentista que, segundo Claude-Gilbert
Dubois (1995, p. 10), era caracterizado por valores “[...] às vezes antitéticos – subjetividade,
pessimismo, novo formalismo, tendências recessivas favorecendo a interioridade”. Nessa
época, o mundo estava tomado por mudanças sociais e econômicas.
24
As transformações vivenciadas na Europa tornaram-se acontecimentos universais,
históricos e de suma importância para o desenvolvimento comercial e social dos séculos XV e
XVI. O primeiro marco registrado na época das navegações foi o descobrimento das
Américas pelo navegador italiano genovês Cristóvão Colombo (1451-1506), ou Cristoforo
Colombo (seu nome italiano), em 12 de outubro de 1492. Outro marco foi a chegada do
navegador português Vasco da Gama às Índias, em 1497.
Acontecimentos como a descoberta de dois continentes facilitaram novas aberturas
de portos, o que muito contribuiu para o surgimento de mudanças no mundo de Andrea
Palladio. Segundo Fossa (2008), a meta principal da Espanha e de Portugal era acabar com o
poder comercial de Veneza, o que foi alcançado quando eles contornaram a África para
chegar ao Oriente, em busca de especiarias e sedas.
Sobre essa nova abertura comercial, decorrente da expansão marítima, Hollanda
(1999, p. 32-33) lembra:
Abriram-se [...] novas e extraordinárias perspectivas para a nação portuguesa. O
negócio das especiarias do Oriente, trazidas à Arábia e ao Egito pelos maometanos e
dali transportadas aos países europeus, por intermédio de Veneza [...], vai
encaminhar-se agora para novas rotas. O eixo do comércio mundial prepara-se,
assim, para deixar as margens do Mediterrâneo em favor do Atlântico.
É inegável que, após a chegada dos europeus às Índias, ocorreram mais negócios
entre os países europeus. Nesse sentido, era cada vez maior a disputa entre Espanha e
Portugual por novos territórios, objetivando a ambos o domínio comercial, mas também
conquistar cada vez mais terras. Para Ronan (2001, p. 9), “[...] as viagens de exploração
empreendidas por portugueses e espanhóis não consistiam em simples aventuras; elas
visavam elevar o prestígio nacional e, acima de tudo, vantagens comerciais”.
Nos anos de 1500, o mundo ocidental, a exemplo de Portugal e Espanha, expande-se,
cada dia mais, em suas explorações marítimas. Na busca de especiaria, conquista novos
continentes. Ronan (2001, p. 9) ressalta:
A descoberta de rotas marítimas e novas áreas do mundo, em especial o totalmente
inesperado “Novo mundo” no Ocidente, teve as mais profundas repercussões no
panorama contemporâneo. Ela sublinhava o fato de que os povos antigos, apesar do
brilho de sua civilização, não haviam chegado a conhecer tudo o que se deveria
conhecer sobre o mundo.
Para Fossa (2008, p. 13), o século XVI “[...] ao mesmo tempo, havia embarcado num
empreendimento – a conquista dos mares e a implantação de colônias ultramarinas – que ia
25
mudar a estrutura econômica e a organização social de uma grande parte do continente”.
Sabe-se que, economicamente, as mudanças, com as novas rotas marítimas, iriam prejudicar a
antes tão prestigiada balança comercial da Itália do século XVI, mais precisamente os portos
da cidade de Veneza.
No período renascentista, o grande desenvolvimento cultural não ocorreu apenas na
Europa, mas também em outros continentes. Berlingoff e Gouvêa (2008) explicam que,
quando os marinheiros europeus começaram a viajar para outros continentes, as resoluções de
problemas técnicos passaram a ser muito importantes, de modo que a navegação se tornou
dependente da astronomia e da geometria da esfera, trazendo, consequentemente, a
trigonometria para o centro das atenções. Além disso, “a astrologia era também parte
importante da cultura desse período, e fazer mapas dos astros também depende de se ter um
bom conhecimento em trigonometria” (BERLINGOFF; GOUVÊA, 2008, p. 35).
Historiadores da matemática garantem que a ascensão da classe mercantil e o gosto
de diversas pessoas pelo cálculo, no século XVI, possibilitaram aos estudiosos da época um
forte interesse pela trigonometria, pela astronomia e pela navegação.
O mundo das ciências, no século em destaque, foi de muitas revoluções nos campos
da navegação, da biologia, da física, da matemática, das artes – pintura, arquitetura, desenho
com perspectiva e música. Era, dessa maneira, um mundo de transformação, como reforçam
Grout e Palisca (1997, p. 183), ao afirmarem que “a experiência de redescoberta da antiga
cultura greco-latina avassalou a tal ponto a Europa dos séculos XV e XVI que não podia ter
deixado de afectar o modo como as pessoas concebiam a música”.
Grout e Palisca (1997) dizem ser a Itália, já no século XV, uma península dividida
numa grande quantidade de cidades-estados e pequenos principados, que viviam
constantemente em guerra uns com os outros. Os autores asseguram que os governantes eram
homens acostumados a conquistar o poder pela força, de modo que, para engrandecer-se e
engrandecer o prestígio de suas cidades, edificavam palácios e casas de campo decoradas com
novas obras de artes e artefactos antigos recém-exumados.
Alguns historiadores, ressaltam que:
As descobertas mais importantes eram feitas por cientistas ou pensadores que
trabalhavam isoladamente. Muitas vezes, eles chegavam a desenvolver, sem saber, a
mesma ideia, pois não tinham como trocar informações. O intercâmbio ficava
apenas por conta dos mercadores, os comerciantes que viajavam de uma cidade para
outra a fim de negociar suas mercadorias. No fim da Idade Média, por volta de 1400,
surgiram na Itália, várias cidades-estados, governadas por poderosas famílias de
comerciantes, como os Gonzagas e os Médici. Mais tarde, muitas dessas cidades se
converteram nos Estados italianos da época moderna (1453-1789). A passagem
26
entre a Idade Média e o Renascimento baseou-se principalmente na valorização do
homem e da vida na Terra, em oposição à espiritualidade característica da época
medieval anterior. (O RENASCIMENTO..., 2012, [s.p.]).
Como se pode notar, era o mundo italiano valorizando, com suas ideias, em todos os
campos, a figura humana. Isso era evidenciado pelos artistas e pelos pensadores. Essa
efervescência fazia todos respirarem a mudança e o desenvolvimento das ciências.
A Matemática, que já vinha tendo destaque desde o século XV, continuou avançando
no século seguinte. Para Eves (2002), isso aconteceu devido ao calapso do império bizantino,
que culminou com a queda de Constantinopla, dominada pelos turcos, em 1453, ocorrendo,
então, um afluxo de refugiados para a Itália. O autor citado afirma ter sido essa a forma de
entrada, no Ocidente, de
grandes clássicos da civilização grega, acessíveis em fontes
originais. Acrescenta que, com a invenção da imprensa de tipos móveis na metade do século,
a comercialização de livros passou por uma revolução, propiciando a disseminação do
conhecimento de maneira mais rápida.
Há destaques, em alguns trabalhos, de grandes nomes de matemáticos, em toda a
Europa, no século XVI, principalmente com referência ao campo da astronomia, da aritmética
e da álgebra. Para a sociedade e o homem dessa época, o matemático era considerado um
astrônomo.
Saito e Dias (2011) ressaltam que, nos
séculos XV e XVI, foram concebidos
inúmeros instrumentos, que iam desde os mais simples, como o astrolábio, a esfera armilar e
quadrantes fabricados por marinheiros, até os mais sofisticados, como réguas de cálculo e
outros utilizados por filosófos naturais.
Por volta do ano 1500, Milão era considerada a cidade de refúgio dos artistas. Na
Itália, mas também na Alemanha, Inglaterra, França e Polônia, houve muitas contribuições em
prol do desenvolvimento científico, cultural, histórico e social. Foram muitas as obras
publicadas nesse século.
Merecem destaques, como principais contemporâneos de Palladio, famosos
matemáticos como Nicolau Copérnico (1473-1543), Niccolo Tartaglia (cerca de 1500-1557),
Scipione Del Ferro (1465-1526), Gerônimo Cardano (1522-1565) e o principal representante
religioso do protestantismo, Martinho Lutero (1483-1546).
27
2.2 O DESENHO DO HOMEM SIMPLES PADOVANO PALLADIO
Andrea della Gandola, ou di Pietro (Figura 1), mais tarde conhecido artisticamente
pela alcunha de Andrea Palladio, nasceu no dia 08 de novembro de 1508, em Pádua, na Itália,
e faleceu no dia 19 de agosto de 1580, na cidade de Vicenza, após uma longa carreira artística
de realizações profissionais no campo da arquitetura.
Seus pais eram Pietro dela Gondola e Marta la Zota, que significa Marta “a aleijada”.
Seu pai foi um simples moleiro: “was a mason who prepared and installed millstones”
(TAVERNOR, in PALLADIO, 1997, viii).
Sobre a vida familiar do arquiteto Palladio, segundo Marton; Wundram e Pape
(1990) sabe-se pouco, para esses autores há registro documentado sobre a questão de dote da
filha de um carpinteiro, Allegronna. Desse matrimônio nasceram quatro filhos – Leonida,
Marcantonio, Orazio e Sila e uma filha, Zenobia. No entanto, comenta-se que “La muerte casi
simultânea de Leonida y Orazio, a comienzos de 1572, parece que afectó profundamente a su
padre” (MARTON; WUNDRAM; PAPE 1990, p. 9).
Figura 1– Andrea Palladio
Fonte: Wundram; Pape, 2004
28
Pádua, geograficamente, limita-se ao norte com a província de Treviso; ao leste com
Veneza, ao sul com a Rovigo; e ao oeste com Verona e Vicenza (Figura 2). Assim como as
outras cidades citadas, Pádua estava vivendo a plena Renascença.
Figura 2 – Mapa da Itália, onde está situada a cidade-estado de Pádua, terra natal de
Palladio
Fonte: Imagem coletada no provedor google
Em 1500, a cidade de Pádua estava sob o governo de Veneza. Comenta-se, desde a
Antiguidade, por volta do ano 59 a.C, que aquela fora uma grande protagonista da história de
Vêneto e um importante centro do cristianismo. Mais adiante, do século XIV ao século XVI,
29
Pádua despertou para um grande período de desenvolvimento cultural e artístico, devido à
constante presença de artistas e intelectuais junto a afortunados cavaleiros nobres da região de
Vêneto.
2.3 ESBOÇOS E PROJETOS DE PALLADIO: DA EXPERIÊNCIA PRÁTICA A UMA
EDUCAÇÃO TEÓRICA
A formação de Palladio como arquiteto deu-se muito cedo, por circunstâncias
práticas vividas no ofício diário da profissão de pedreiro, na oficina do arquiteto Bartolomeo
Cavazza di Sossano. Nessa oficina, aos dez anos, Palladio trabalhou em um canteiro de obra
padovano, confeccionando elementos arquitetônicos de decoração.
Depois, aos treze anos, seu pai conseguiu um contrato para ele ser ajudante de
pedreiro. Neste trabalho, ao lado de Sossano, dizem alguns que ele permaneceu por
aproximadamente três anos, outros que foi apenas de um ano e meio. Mas o que se sabe
decerto é que Palladio rompeu o seu contrato e fugiu para Vicenza, onde procurou
estabelecer-se. Sobre essa passagem, Wundram e Pape (2004, p. 7) esclarecem:
“desconhecem-se, até hoje, mais pormenores sobre a sua formação. Em abril de 1523,
Palladio foge da oficina de Cavazza e vai para Vicenza, mas é obrigado a regressar, por falta
de cumprimento do contrato”.
Assim, ao chegar a Vicenza, em 1524, depois de concluir compromissos com
Cavazza, Palladio consegue entrar para a corporação de pedreiros e é admitido para começar a
trabalhar na conceituada oficina de Giovanni di Giacomo da Porlezza, em Pedemuro. Para
Wundram e Pape (2004), de início nada indicava que Palladio viesse a ser algo mais que um
artífice. Nessa oficina, existe registro de seu trabalho até 1534, mas há quem diga que ele teria
trabalhado por 14 anos. Fossa (2008) afirma que Palladio é associado a importantes
escultores, tais como Giovanni di Giacomo da Porlezza e Girolano Pittone da Lumignano.
Nesse percurso de formar-se e tornar-se arquiteto, nos anos de 1530 Palladio tenta
trabalhar por conta própria, montando uma oficina, que não obtém sucesso. Ou seja, essa sua
tentativa de firmar-se trabalhador autônomo fracassa. Porém, em 1538, aos 30 anos, ele
encontra o conde Giangiorgio Trissino (1478-1550), humanista e literata conceituado em
Vicenza. Esse encontro foi o início de uma relação amigável que mudaria para sempre o
percurso da história de vida do futuro arquiteto.
Sobre essa relação pessoal entre Palladio e o conde Giangiorgio Trissino, sabe-se que
este lhe concedeu, em 1540, o título profissional de arquiteto, como também o apelido de
30
Palladio. Quanto ao apelido, há outras informações. Uma é a afirmação de que Trissino teria
apelidado o arquiteto de “Palladio” associando à deusa grega de sabedoria e das artes; outra é
apresentada pelo Tavernor (1997), na introdução do tratado Os Quatro Livros de Arquitetura
de Andrea Palladio:
The name Palladio suggests what was in store for Andrea. It may have been derived
from Pallas Athena, or the talisman in her image, known as the Palladium: the
Romans believed Aeneas had brought it to Italy, and, as a symbol of wisdom and
vision, it later safeguarded Rome. Alternatively, he may have been named after
Palladius, the fourth-century writer on agrarian economy; certainly it was the rich
farm land of the Veneto, especially that around Vicenza, which provided Andrea’s
numerous patrons with their wealth and him with the opportunities to design farm
estates and the villas at their heart (TAVERNOR, 1997, ix).
Giangiorgio Trissino “deve não só ter facultado a Andrea di Piero o acesso aos círculos
aristocráticos dos comitentes de Vicenza, como também lhe proporcionou um amplo estudo da
arquitetura contemporânea e da romana” (WUNDRAM; PAPE, 2004, p. 7). Além de custear os
estudos de Palladio, Trisssino possibilitou-lhe muitas viagens à cidade de Roma. Fato que é registrado
por Wundram e Pape (2004, p. 7-8), segundo os quais Palladio,
[...] no verão de 1541, efectua uma primeira viagem a Roma, supõe-se que
juntamente com seu protetor, à qual se segue uma segunda, mais demorada,
realizada por ambos, desde o final do outono de 1545 até aos primeiros meses de
1546[...]. Durante uma outra estada em Roma, de 1546 a 1547, Palladio dedica-se
também a estudos em Tivoli, Palestrina e Albano. Em 1549, com a morte do Papa
Paulo III vê malograr-se o seu desejo de entrar para a sociedade maçônica de S.
Pedro, em Roma. O livro L’Anchitàdi Roma, datado de 1554, é fruto das viagens
que efectuou a Roma.
O certo é que, em 1547, ao retornar de Roma, provavelmente por recomendação de
Trissino, Palladio consegue tornar-se o principal arquiteto da nobreza de Veneza. Outrossim,
Trissino consegue formar Palladio nos conhecimentos clássicos greco-romanos próprios da
arquitetura de Vitrúvio, educando-o em sua própria academia, onde preparava jovens
vicentinos. Tavernor (TAVERNOR, 1997, viii) ressalta:
[…] it was at Cricoli that Trissino founded his Academy, as a place to educate
young Vicentine nobles along the lines of the famous humanist academies in
Florence and that promoted classical literature and wisdom. According to Palladio’s
biographer, Paolo Gualdo, Andrea also benefited fromTrissino’s Academy, since,
“finding Palladio to be a young man of very spirited character and with a great
aptitude for science and mathematics, Trissino encouraged his natural abilities by
training him in the precepts of Vitruvius.
31
Foi, portanto, Trissino quem apresentou Vitrúvio como sendo a referência ideal para
a formação de arquitetura de Palladio. A Academia de Vitrúvio divulgava o estudo, as artes e
a virtude, palavras que estavam inscritas acima das portas da academia.
Wassel (2008) afirma que durante anos de formação Palladio buscou desenvolver,
em seus trabalhos, as origens da arquitetura clássica em diferentes formas, pertencentes de
elementos decorrentes de muitos arquitetos especializados, de acadêmicos e de profissionais
da região onde ele vivia. Incluíam, no círculo profissional de Palladio, arquitetos como o
mestre Pedemuro Giovanni di Giacomo da Porlezza, o proeminente patrão Paduan Alvise
Cornaro e os arquitetos mais nomeados como Giovanni Maria Falconetto, Michele
Sanmicheli, Jacopo Sansovino, Giulio Romano, e Sebastiano Serlio.
O autor, referindo-se aos trabalhos de Palladio, comunica que: “drawings of classical
elements such as capitals and entablatures from this time period show his desire to exercise
his growing vocabulary, and it is telling that he later modified a number of these drawings
after seeing the original buildings with his own eyes” (WASSEL, 2008, p. 214).
O florescimento do dom artístico de Palladio e sua carreira como arquiteto surgem
primeiramente com a prática e depois com o embasamento teórico. É o que será exposto na
próxima subseção, em que se tratará das influências e das obras desse arquiteto.
2.3.1 Vitrúvio: a grande influência artística de Palladio
Ao se discutir sobre a influência artística de Palladio, é preciso compreender o que
seja Renascimento. De acordo com Dubois (1995, p. 10), trata-se dos “movimentos que se
propagam na Europa por ondas concêntricas, a partir da Itália e em função das infraestruturas
econômicas, que colocam esta região em privilégio”. O Renascimento é um movimento
dinâmico que se deu, de forma muito expressiva no século em que viveu Palladio, nas
ciências, na religião e nas artes, dentre elas a arquitetura.
Por seu dinamismo e sua criatividade, Palladio foi um dos tantos artistas do período
renascentista que se contagiou com a leveza, a sutileza e as quebras de paradigmas do
Renascimento.
Dubois (1995) diz que a Renascença, suas manifestações culturais, não se separa do
terreno concreto e limitado sobre o qual se afirma:
O progresso da tecnologia, transformações econômicas, mudanças sociais e políticas
que se encadeiam sejam por casualidade, seja por ressonância. O esforço no sentido
de favorecer a ideia da natureza, considerada “renascentista”, mediante um
32
objetivismo otimista que propõe o princípio da harmonia e a noção de liberdade –
aceitando a pluralidade, a relatividade e certas tentativas sincréticas que nos parece
bastante temerárias – constitui a dimensão intelectual de uma evolução que se
exprime economicamente pela expansão, a conquista de novas riquezas e uma
aceleração dos mecanismos de troca fundamentada na operação do capital em
função do lucro (DUBOIS, 1995, p. 10).
O autor acrescenta que o imaginário renascentista manifesta-se tanto na criatividade
extrapolada como nas tentativas realistas para apreender um objeto impossível.
Uma influência de suma importância para a vida profissional de Palladio foi a de
Vitrúvio (Figura 3). Em seu tratado, editado em 1570, Os Quatro Livros de Arquitetura,
Palladio constantemente o evoca, tomando seus conselhos.
Figura 3 – Vitrúvio (à direita) mostrando o "De Architectura" a Augusto.
Fonte: Imagem coletada no provedor google
Entre os anos 35 a.C e 20 a. C., Vitrúvio escreveu De Architecture, obra que reúne
todos os seus ensinamentos para arquitetos e interessados. Nessa obra, há reflexões sobre a
arquitetura dos gregos e dos romanos. O livro trata também das ideias de matemáticos e
filósofos gregos sobre a ligação da proporcionalidade com o corpo humano, as quais ele
incorpora nos templos greco-romanos. Na introdução do tratado de Palladio (1997), observase um detalhe importante ligado ao corpo humano: “Vitruvius admired, in particular, the
design of Hellenistic temples, which represented for him the union of geometric, measure, and
proportion-qualities and characteristics which mirrored, or so he reasoned, the beauty found in
nature and in the human body” (TAVERNOR, vii, 1997).
O tratado de Vitrúvio, que teve sua primeira publicação em 1486 por Daniele
Barbaro, mentor de Palladio, posto assumido após a morte de Trissino, foi dedicado ao
imperador Otávio César Augusto, como se vê logo no início: “como, pois, eu estivesse
33
obrigado por esse benefício sem receio da pobreza no fim da vida, comecei a escrever estas
coisas para ti [...]” (VITRÚVIO, 2007, p. 60). Essa obra foi uma entre muitas publicações que
se dariam nos séculos posteriores.
De Architecture é uma composição de dez livros, em cada um dos quais Vitrúvio
trata de assuntos e temas de suma importância para a arquitetura. Há teorias, definições,
práticas e aconselhamentos. São vários os temas de interesse da arquitetura no tratado de
Vitrúvio: origem da arquitetura; materiais de construção; ordens arquitetônicas; construções
públicas; edificações privadas; acabamentos de pintura e decoração; hidráulica; máquinas de
guerra; e até estudo do zodíaco, para a construção de mediadores de tempo, fundamentado na
astronomia.
Ao tratar, em seu primeiro livro, de aconselhamentos para o arquiteto, Vitrúvio
(2002, p. 49) frisa que a “[...] ciência do arquiteto é ornada por muitos conhecimentos e
saberes variados, pelos critérios da qual são julgadas todas as obras das demais artes”. Sugere
que o arquiteto saiba ler e escrever, com o objetivo de tornar mais eficiente sua memória e ter
a ciência do desenho, o que ajudará nos esboços das obras. Em resumo, Vitrúvio quer afirmar
que o mais importante de tudo é o arquiteto saber geometria.
Vitrúvio (2002) chama a atenção em relação à importância do conhecimento
filosófico para o arquiteto. Comprova-se isso quando ele afirma que a filosofia forma o
arquiteto na grandeza de caráter, para que não se torne presunçoso, mas sociável, imparcial,
sem avareza e sincero. Para o autor, isso acontece porque nenhuma obra pode ser executada
sem boa-fé e honradez.
Ainda com respeito aos saberes do arquiteto, revela Vitrúvio (2002, p. 51): “é
igualmente necessário que saiba música para que tenha ciência dos sons musicais e suas
relações matemáticas, e possa combinar corretamente a tensão nos cabos das balistas,
catapultas e escorpiões”.
Um dado ainda a ser considerado na formação arquitetônica de Palladio, relacionado
à academia de Trissino, em Cricoli, é que, no século XVI, na Itália, a virtude era considerada
um grau particular para a aspiração dos arquitetos. Tavernor (TAVERNOR, 1997, ix)
esclarece que é Palladio o último a assumir fortemente isso como frontispício em cada um de
seus quatro livros, ao retratar a regina virtus (Figura 4), – a rainha das virtudes – a mãe das
artes, sentada ao alto.
É válido salientar que desde a primeira versão dos quatro livros, a deusa das artes
aparece, tendo na mão direita um compasso e, na esquerda, um rolo de papel contendo plantas
34
baixas de edificações. A seus pés, há materiais de uso dos arquitetos: esquadros, réguas e um
livro.
Figura 4 – Regina Virtus: rainha das artes
Fonte: Palladio, 1997
Virtude, segundo Tavernor (TAVERNOR, 1997) significa excelência e boas ações,
que deveriam estar presentes no aprimoramento da vida cívica individual do pretendente a
arquiteto. Essa qualidade seria imprescindível ao estudo e ao conhecimento das artes.
Presumivelmente, Andrea foi renomeado de Palladio por Trissino, por ter absorvido as lições
postas na academia deste e ser considerado um homem de virtude, desse modo pronto para
servir à sociedade.
Ao longo das explicações apresentadas por vias teóricas e práticas, foi essa a
fundamentação herdada de Vitrúvio por Palladio. Isso fica claro em seu tratado. No primeiro
livro, ele diz que dedicou seus primeiros anos ao estudo da arquitetura e que os antigos
romanos, no construir, superam a todos os outros povos que ele conheceu, assumindo que tem
Vitrúvio como seu mestre e guia (PALLADIO, 1997).
Estudos apontam ser a Antiguidade a ocupação permanente do pensamento
arquitetônico de Palladio. Desse modo, Svensson (2001) ressalta que a obra de Marcus
Vitrúvio Pollio, arquiteto e engenheiro romano do século I a.C, no século XVI, mereceu 26
edições e, no século XVII, outras 10, além de, no seguinte, a quantidade novamente aumentar.
35
A próxima subseção trará os esboços de obras, edificações e o tratado de arquitetura
do arquiteto para que possamos entender como se constitui o legado de Palladio.
2.3.2 O legado de Palladio: esboços de obras, edificações e o tratado de arquitetura
O pensamento do arquiteto Palladio estava formado por ideias canônicas de
arquitetos de renome como Vitrúvio e Alberti, mas também de tratadistas contemporâneos
seus como Sebastian Serlio (1475-1554). Com todo esse embasamento, estava na hora de
colocar em exercício todo o seu aprendizado na arquitetura; ou seja, era hora de transformar
conhecimentos em prática. Para Vitrúvio (2002, p. 50-51), a arquitetura nasce da prática e da
teoria:
Prática é o exercício constante e frequente da experimentação, realizada com as
mãos a partir de materiais de qualquer gênero, necessária à consecução de um plano.
Teoria, por outro lado, é o que permite explicar e demonstrar por meio da relação
entre as partes, as coisas realizadas pelo engenho. Desse modo, os arquitetos
formados sem instrução, exercidos apenas com as mãos, não o puderam fazer
completamente, de forma que assumissem a responsabilidade pelas obras; por sua
vez, aqueles que confiaram unicamente na teoria e nas letras, parecem perseguir uma
sombra, não a coisa. Contudo, os que se aprofundaram numa coisa e noutra, como
que munidos de todas as armas, atingiram com autoridade mais rapidamente o que
era seu propósito.
Provavelmente, foi assim que Palladio adquiriu a engenhosidade para projetar e
edificar, em sua arte de arquiteto. Entre as inúmeras orientações de seu tratado, está a de que o
arquiteto deve ser educado para saber aritmética, geometria e que o corpo humano é um
paradigma para as regras necessárias de proporção (FRINGS, 2009, p. 9).
A engenhosidade de Palladio é certificada através dos projetos de arquitetura
presentes em seu tratado. Ele apenas concretiza os ensinamentos de Vitrúvio (2002, p. 50) e
adiciona tais ensinamentos no primeiro livro de seu tratado, ao mencionar que aquele que vier
a professar o ofício de arquiteto deve ser engenhoso e sujeito à disciplina, pois “nem o
engenho sem a disciplina, nem a disciplina sem o engenho pode produzir o artífice perfeito”.
Engenho e disciplina, no raciocínio de Vitrúvio, estão impregnados no espírito e na
alma de Palladio, como mostram suas obras e os legados deixados por ele para sempre: para
toda a humanidade. Palladio projetou muitas obras: desde construções arquitetônicas a
clássicos literários, como seu notável tratado Os Quatro livros de Arquitetura.
Em 1540, Palladio é designado pela primeira vez como arquiteto. Influenciado por
Vitrúvio e custeado por Trissino, passa a estudar, na arquitetura clássica, as antigas ruínas
36
romanas e as origens da arquitetura renascentista. Desse modo, constrói, nesse ano, seus
primeiros projetos: a Villa Godi, em Loneto, e o Palazzo Civena, em Vicenza.
Começam, então, a surgir encomendas de edificações para Palladio em Veneza,
feitas por grandes nobres vicentinos: estradas, mosteiros, igrejas, pontes, palácios e vilas.
Palladio coloca em prática sua teoria em cada uma de suas edificações. “[...] a descoberta da
perspectiva, artifício projectual que imita a visão espacial humana, e a crescente valorização
da figura do autor são dois fatos marcantes na produção arquitetônica renascentista” (COLIN,
2004, p. 83). Com seu neoclassicismo, ele fica famoso por suas vilas e seus palácios, criando
um estilo próprio, denominado de Palladianismo.
Algumas das obras mais significativas de Palladio foram: a Villa Rotonda, o Palazzo
Valmarana e o Teatro Olímpico, em Vicenza, e as igrejas de San Giorgio Maggiore e Il
Redentore, em Veneza.
No ano de 1570, Palladio publica, em Veneza, o que viria a ser um dos maiores
clássicos literários de arquitetura, os Quattro libri dell’architettura, na verdade um tratado de
arquitetura. Nesse livro, ele apresenta suas normas, técnicas e a matemática relacionada com a
arquitetura. Também nessa obra ele celebra sua forma de retraduzir as antigas ruínas clássicas
romanas em seu novo jeito de desenhar e construir. Esse é um dos mais importantes tratados
da arquitetura dos últimos séculos, servindo para os arquitetos e as pessoas interessadas na
área no período do Renascimento, mas também é uma referência teórica para os arquitetos e
pesquisadores da atualidade.
Alguns autores, entre os quais Lotz (1998), reconhecem que, na história da
arquitetura, Palladio ocupa uma posição-chave, pois combina a tradição literária humanista
das edições e dos comentários de Vitrúvio com os livros de modelos ilustrados, escritos por
arquitetos para uso prático.
Na organização dos quatro livros, Palladio segue o modelo usado por Vitrúvio,
trazendo também diferentes matérias na composição de seu tratado. No primeiro livro, com
29 breves capítulos, o autor aconselha sobre o que precisa ser preparado antes de se iniciar
uma construção, fala sobre os materiais a serem utilizados, os solos adequados para as
construções, os vários tipos de paredes, o uso das cinco ordens antigas (iônica, dórica,
toscana, coríntia e composta) e também fala sobre os telhados e as técnicas de colocação.
No segundo livro, o autor trata de como podem ser mantidas as residências privadas,
mostra os cômodos da casa e as colunas e menciona comprimentos e larguras das salas. Nesse
livro, ele apresenta a forma de construção e os projetos das casas de alguns nobres
venezianos, as famosas villas palladianas.
37
No terceiro livro, Palladio se detém sobre como podem ser feitas as estradas. A fim
de torná-las curtas e práticas, sugere a construção de pontes feitas de madeira. Fala das praças,
que podem ser localizadas ao lado das pontes, e das basílicas antigas, em estilo grego.
No quarto livro, ele fala desde os lugares a serem selecionados para construção dos
templos, até sobre suas arquitraves, frisos, ornamentos e cornijas das portas e janelas,
mostrando técnicas e formas de colocação.
Nos ensinamentos e nos conselhos de seu tratado, Palladio (1997, p. 119) faz várias
referências aos gregos e a Vitrúvio, o mestre romano. No capítulo XI do livro II, apresentando
modelo das residências particulares diz: “The greeks built in a diferente way from the Latins,
since (as Vitruvius says) they omitted the loggias and the atria and made the entrance to the
house narrow and constricted; on one side they placed the stables and on the other the porters’
lodges […]”.
É evidente que a obra Os quatro livros de arquitetura tornou-se um dos maiores
legados deixados por Andrea Palladio para a teoria da arquitetura. A comprovação disso é que
inspirou o movimento, denominado palladianismo, que Tavernor (PALLADIO, 1997) define
como um dos maiores movimentos culturais ocorridos fora da Itália, o qual cresceu
consideravelmente no mundo ocidental, depois da morte de Palladio.
Tavernor (TAVERNOR, 1997, vii) considera o palladianismo uma interpretação
rigorosa da arquitetura clássica filtrada por completo nos escritos de Vitrúvio. O autor
esclarece: “for this treatise inspired a major architectural movement outside of Italy, named
Palladianism after him, which developed from his rigorous interpretation of classical
architecture filtered through the writings of Vitruvius”.
Após o comentário sobre o clássico tratado de Andrea Palladio, torna-se
imprescindível destacar, como legado desse notável arquiteto, um conjunto de magníficas
edificações por ele desenhadas. Em seus projetos de construções, Palladio usa as cinco ordens
(jônica, dórica, coríntia, compósita e a toscana) com uma peculiaridade própria, uma
proporcionalidade e uma razão diferenciada daquelas dos ornamentos feitos até então pelos
arquitetos.
No primeiro livro, capítulo XX, ele alerta o leitor de seu tratado sobre o abuso, na
ornamentação feita na prática antiga, quanto ao uso das ordens. Ele adverte quanto à
importância de a arte imitar a natureza. Diz Palladio (1997, p. 55): “I assert therefore that,
since architecture imitates nature (as do all the other arts), it cannot endure anything that
alienates and distances it from what nature herself permits […]”. Ele alerta para a
conveniência de as construções não andarem metricamente contrárias à natureza, já que o
38
propósito da construção é proteger os que nela habitam das intempéries. Sobre esse prérequisito, acrescenta: “[…] though variety and novelty must please everybody, one should
not, however, do anything that is contrary to the laws of this art and contrary to what reason
makes obvious [...]” (PALLADIO, 1997, p. 56).
Seu zelo e seu cuidado com a arquitetura é explicitado nas edificações de suas villas.
Estas têm ultrapassado séculos e mais séculos erguidas na região do Vêneto, na Itália. O
Quadro 1 resume as principais edificações projetadas por Palladio nas cidades de Vicenza e
Veneza.
Quadro 1 - Principais Villas Paladianas
NOME
Villa Godi
Villa Piovene
Villa Forni-Cerrato
Villa Thiene Quito
Villa Saraceno
VIlla Poiana
Villa Pisani Montagnana
Villa Cornaro
Villa Barbaro
Villa Angaro
Villa Zeno
Villa Valmara
Villa Badoer
Villa Ragona
Villa Thiene Cigogna
Villa Foscari
Villa Repeta
Villa Emo
Villa Mocenigo
Villa Sarego Colguese
Villa Sarego em Santa Sofia
Villa La Rotonda
Villa Trissino
ANO DA CONSTRUÇÃO, LOCAL E PROPRIETÁRIO
1537 – Em Lonedo, região de Vicenza
Girolomo de Godia
1539/1540 – Lonedo di Lugo (Vicenza)
Battista Piovione
1541/1542–Montecchio PrecalcinoVicenza
Girolamo Forni
1542– Marcantonio Thiene
Por volta de 1545 ou 1548 – Finale di Agugliano –
Vicenza
Biagio Saraceno
1546?1548/1549?–Poiana Magiore – Vicenza.
Bonifacio Poiana
1552 – 1539 (aparece em documentos).
1555(concluída), em Montagnana
Francesco Pisani
1553 (corpo central); 1554 – (interrompida);
1569(continuação) Piombino Dese–Treviso. Giorgio
Cornaro/Marco e Girolamo Cornaro
1554–1557–1558?–Maser, próxima a Treviso
Irmãos Marcantonio e Daniele Barbaro
1554
1554
1554
1554–1555– 1556 Frata Polesine(Rovigo)
Francisco Badoer
1555
1556
1556
1557
1555 (início)1557?1565(conclusão)
Fanzolo. Leonardo di Giovanni Emo
1562
1562
1564–15691560 e 1570?
Santa Sofia di Pedemonte – Verona
Marcantonio Sarego
1550? 1553?1560?1566 – Sudoeste de Vicenza.
Cónego Paolo Almerico de Vicenza.
1570
Fonte: Palladio (1997); Wundram e Pape (2004)
39
O capítulo XII do segundo livro de Palladio foi reservado para seus ensinamentos
sobre a construção das villas. Estas, segundo o autor, eram apropriadas para os cavalheiros
morarem e nelas administrarem seus próprios bens. Tinham, como peculiaridade, muito
esplendor, grandiosidade e comodidade. Para Palladio (1997, p. 122), “the city is nothing
more or less than some great house and contrariwise, the house is small city”. Essa visão
combina com o conselho dado para a escolha do local apropriado às edificações,
principalmente no tocante à escolha dos lugares para as cidades.
Com esse pensamento, Palladio projetou as villas. Ele considerava desagradável, e
até inconveniente, que em uma construção muito grande houvesse salas e quartos pequenos,
também o contrário, que em uma construção pequena houvesse dois ou três quartos que
ocupassem o todo.
Dentre tantos conselhos deixados por Palladio no segundo livro de seu Tratado, estão
suas recomendações para a construção dos edifícios públicos e das casas privadas. Diz ele que
tais cuidados resultam em obra bela, graciosa e perpétua. É exatamente isso que Palladio
transporta para os projetos nas suas villas.
Outro grande legado de Palladio são os palácios, os mosteiros, as igrejas e outros
tipos de edificações, como pontes, praças, estradas e teatro. Ele tratou de todos estes em seus
dois últimos livros – o terceiro e o quarto.
No terceiro livro, Palladio (1997, p. 161) dirige-se ao príncipe Emanuel Felisberto,
para apresentar seu trabalho de arquitetura, assim:
Most serene Prince, since I must now send into the light a part of my work on
architecture in which I have committed to drawing many of those superb and
marvelous ancient buildings of which the remains are to be found in various parts of
the Word, but in Rome more than in any other place.
Nesse discurso, Palladio garante ter sido Roma o lugar que ele pretendeu consagrar
para a imortalidade.
Muitos dos projetos de Palladio ficaram inacabados, alguns por problemas
financeiros do setor privado ou do público. Mesmo assim, todos mantiveram seu estilo, já que
ele deixou seu registro em desenhos e arcabouços - a maioria deles em seu tratado de 1570.
No Livro II, Palladio (1997, p. 78) assegura: “despite the fact that some of the buildings
designed here are not the long journeys that I made”. Os Quadros 2, 3 e 4 sintetizam os
principais palácios, mosteiros, igrejas e outras edificações do arquiteto.
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Quadro 2 - Principais Palácios de Palladio
NOME
ANO DA CONSTRUÇÃO, LOCAL E PROPRIETÁRIO
1495
Em Vicenza
1549 inconclusa
Piazza dei Signori (Vicenza)
1549–1950
Contrada Porti 21(Vicenza)
1550–1551
Girolamo Chiericati
Piazza Matteotti (Vicenza)
1556
Via Palladio (Udine)
Floriano Antonini
1566
Stefano Valmara
Corso Fogazzao (Vicenza)
1565
Contrata San Marco (Vicenza)
Bernardo Schio
Palazzo Thiene
Palazzo dela Ragione
Palazzo Iseppo Porto
Palazzo Chiericati
Palazzo Antonini
Palazzo Valmara
Palazzo Schio
Palazzo Barbarana
Provavelmente do último ano da vida de Palladio
Piazza Catello (Vicenza)
Fonte: Palladio (1997); Wundram e Pape (2004)
Palazzo Porto-Breganze
Quadro 3 - Principais Igrejas e Mosteiros de Palladio
NOME
ANO – PROPRIETÁRIO – LOCALIDADE
1561
Cónegos de Latrão
Accademia di Belli Arti (Veneza)
1565
Isola di san Giorgio (Veneza)
1576
Rio dela Crose (Veneza)
Entre 1562 e 1565
Campo di San Francesco dela Vigna (Veneza)
1570
Em Maser (Treviso)
Fonte: Palladio (1997); Wundram e Pape (2004)
Santa Maria dela Carità
San Giorgio Maggiore
II Redentore
San Francesco della Vigna
Tempietto Barbaro
Quadro 4 - Outros tipos de edificações de Andrea Palladio
NOME
Loggia del Capitaniato
Le Zitelle
Teatro Olimpico
ANO–PROPRIETÁRIO – LOCALIDADE
1571
Participou pelo menos da fachada
Giudeca (Vicenza)
1580-último trabalho
Piazza Matteotti (Vicenza.
Fonte: Palladio (1997); Wundram e Pape (2004)
41
Para percebermos a evolução que ocorreu na vida pessoal e profissional de Andrea
Palladio (1508 a 1580), a seguir mostraremos, em ordem cronológica, o esquema Mapa
Biográfico (figura 5) que relaciona diversos fatos e dados significativos da sua trajetória.
42
Figura 5 – Mapa biográfico do arquiteto Andrea Palladio
43
Observando-se a cronologia da vida pessoal e profissional de Andrea Palladio,
verifica-se que houve uma ascendência significativa para o brilhantismo de Palladio. O ápice
de sua carreira deu-se entre 1537 e 1570, período sobre o qual há informações de que ele
conseguiu projetar e construir cerca de quarenta vilas, em toda a região de Vêneto. O projeto
do teatro Olímpico foi elaborado em 1580, ano de sua morte.
São vários os destaques de Andrea Palladio como arquiteto. Eles revelam uma
competência ímpar do arquiteto para além de seu tempo. Tal consagração relaciona-se, entre
outros motivos, com a capacidade que ele teve para escrever o tratado Quattro libri
dell’architettura (1570) e nele representar seus sonhos em seus designs, o que muito
diferenciou essa sua obra dos demais tratados já existentes, como o de Leon Battista Albert
(1404-1472), o de Fra Giocondo (1511-1523), o do próprio Sebastiano Serlio (1537-1575) e
de outros.
Com a morte de Palladio, em 1570, muitas obras ficaram inacabadas e,
consequentemente, surgiram inúmeros questionamentos acerca dos projetos e desenhos nas
edificações erguidas e nos desenhos das plantas baixas presentes nesse seu tratado,
principalmente, em relação à matemática utilizada pelo arquiteto.
Por fim, estudiosos na atualidade de Palladio como Wassel (2008, p. 221), ao
descrever a sua biografia e nela falar de sua ascensão profissional e sabedoria, diz acreditar
que ele:
[…] certainly benefited from the renaissance of intellectual thought that surrounded
him in cinquecento Italy. The studies occurring in the various circles to which
Palladio belonged over the years, such as those associated with Alvise Cornaro,
Giangiorno Trissino, and Daniele Barbaro, were widely ranging. Through
meticulous research in Rome and elsewhere, he was able to develop an authentic
classical vocabulary from ancient and contemporary sources, which he incorporated
with seemingly boundless care and ingenuity in order to design an impressively
large number of exceptionally beautiful and sturdy buildings. In the final analysis,
however, the exceptional beauty of his architecture depends on an inborn artistic
ability that cannot be quantified or otherwise explained by the influences of those
around him. There is a huge difference between classically true and truly beautiful,
and it is Palladio’s innate mastery of aesthetics that is his greatest legacy.
Para o autor, tudo isso se confirma pelo fato de o próprio Palladio ter sido, por vezes,
de pedreiro, arquiteto, engenheiro arqueólogo a historiador da arquitetura.
A seguir, trataremos da influência de Platão nos tratados de Vitrúvio e de Palladio.
44
2.4 A INFLUÊNCIA DE PLATÃO NOS TRATADOS DE VITRUVIO E PALLADIO
Em seu tratado, Palladio faz criações renovadas nos esboços de seus projetos, no uso
de certas razões proporcionais para determinar as dimensões das salas que compõem as
plantas baixas de suas encomendas para os nobres vicentinos – as villas palladianas. Essas
obras de arte causam enormes discussões entre estudiosos. São todas marcadas por uma
matemática e uma arquitetura própria de Palladio. Algumas são mais conhecidas que outras,
mas estão erguidas, em sua grande maioria, na região agrícola de Vêneto, na Itália, cidade de
Vicenza.
Ao projetar suas vilas, Palladio foi buscar os aconselhamentos de Vitrúvio (2002).
Este lembra que, quando a obra apresenta um aspecto perfeitamente magnífico, o
“proprietário regozija-se das despesas que teve; quando mostrarem que foram habilmente
executadas, os elogios serão destinados ao talento do artesão; entretanto, quando a elegância
da obra haurir sua autoridade das proporções e das simetrias, a glória então caberá ao
arquiteto” (VITRÚVIO, 2002, p.157).
O certo é que Palladio conseguiu pôr em prática esse ensinamento e dar provas do
aprendizado que adquiriu na Academia de Trissino, em seus projetos da Villas, como o da
Villa Emo (Figuras 6 e 7), em Fanzolo.
Figura 6 – Villa Emo: vista exterior
Fonte: Wundram; Pape, 2004
45
Figura 7 – Villa Emo: vista interior
Fonte: Wundram; Pape, 2004
No Livro II – Quatro Livros de Arquitetura –, encontra-se o registro histórico das
belas edificações das Villas Palladianas, apresentado por Andrea Palladio. Nesse livro, está
perpetuado seu estado de espírito aberto para a influência da teoria clássica musical de Platão,
oriunda da teoria clássica pitagórica.
Em sua obra Timeu, Platão (2001), ao dialogar sobre a criação do universo realizada
pela divindade, fala da verdade de uma unicidade e de uma proporção entre as coisas do
universo e as do mundo. Diz ele:
Ora se o corpo do universo apresentasse apenas uma superfície plana, sem
profundidade, bastaria um meio para ligar seus dois termos com ele mesmo; mas,
como o mundo tinha de ser sólido, e como os sólidos são ligados sempre por duas
mediedades, não por uma, a divindade pôs a água e o ar entre o fogo e a terra,
deixando-os, tanto quanto possível, reciprocamente proporcionais, de tal maneira o
que o fogo é para o ar, o ar fosse para a água, e o que o ar é para a água, a água fosse
para a terra, com o que ligou e compôs a estrutura do céu visível e tangível
(PLATÃO, 2001, p. 68, 32 a).
É essa a visão de Platão sobre o modo como os quatro elementos – água, fogo, ar e
terra – formam o corpo do mundo e como são harmonizados pela proporção. Essa doutrina
abordada por Palladio pode ter sido concretizada nos projetos, como as das villas desse
arquiteto.
46
Veremos, a seguir, como a tradição humanista de Platão encontra-se embutida no
método de Palladio.
2.4.1 A tradição humanista oriunda de Platão: como ela está embutida no método de
Palladio
A história da música ocidental no período renascentista, na Itália de Andrea Palladio,
evidencia um crescente interesse por música instrumental e, consequentemente, pelo
surgimento de notáveis músicos, compositores e teóricos desse campo, tais como: Franchino
Gaffurio (1451-1522), Lodovico Fogliano (1445-1522), Adrian Williart (1490-1562),
Bernardino Cirillo (1530-?) e Gioseffo Zarlino (1517-1590), entre outros que foram
contemporâneos de Andrea Palladio.
Segundo Grout e Palisca (1997), dos inúmeros e brilhantes teóricos da música, no
período renascentista, foi Franchino Gaffurio que teve ao seu dispor algumas traduções em
latim de obras clássicas da cultura grega e conseguiu incorporar conhecimentos adquiridos em
suas obras como Theorica musice (Teoria da música), de 1492, Practica musice (Prática da
música), de 1496, e De harmonia musicorum instrumentorum opus (Obra sobre os
instrumentos musicais e a harmonia), de 1518. Tais produções, de grande relevância, tratavam
de assuntos teóricos exclusivos da música e da harmonia. Grout e Palisca (1997, p.186)
acrescentam:
Os escritos de Gaffurio foram os que maior influência tiveram na música de finais
do século XV e início do século XVI e, a par das traduções e comentários
publicados acerca de algumas das obras acima indicadas, estimularam um novo
florescer do pensamento sobre temas como os modos, a consonância e a dissonância,
o propósito e parâmetro do sistema tonal, a afinação, as relações entre música e
palavra e a harmonia da música, do homem, do espírito e do cosmos.
Sobre essa discussão, Grout e Palisca (1997, p. 183) advertem que “[...] a experiência
de redescoberta da antiga cultura greco-latina avassalou a tal ponto a Europa dos séculos XV
e XVI, que não podia ter deixado de afetar o modo como as pessoas concebiam música”. Eles
prosseguem dizendo que, apesar de não ser possível um contato direto com a própria música
da antiguidade, ao contrário do que acontece com os monumentos da arquitetura, com a
escultura e com a poesia, um repensar do papel da música à luz daquilo que poderá ler-se nas
47
obras dos antigos filósofos, poetas, ensaístas e teóricos musicais não é apenas possível, mas
também, para muitos, seria urgentemente necessário.
O humanismo incorpora-se à teoria musica ocidental ressurgida em manuscritos de
antigos tratados gregos, entre os quais estão:
Os tratados de Bacchius Senior, Aristides Quintiliano, Claúdio Ptolomeu, Cleónides,
Euclídes, e um ou outro atribuído a Plutarco. Também conhecidos na época eram o
capítulo sobre a música dos Problemas do Pseudo-Aristóteles, os Deipnosofistas de
Ateneu, obra que contém uma longa passagem sobre a música, os oito livros da
Política de Aristóteles e passagens relativas à música dos diálogos de Platão, em
particular da República e das leis. (GROUT; PALISCA, 1997, p. 185).
Desse modo, questionam-se como foram incorporados esses pensamentos da teoria
musical nos ideais da pessoa e do profissional da arquitetura Andrea Palladio, ideais que, de
um modo ou de outro, foram, mais tarde, embutidos no palladianismo.
Platão também colabora para os ideais na formação de arquiteto de Andrea Palladio.
Em sua grande obra A República, no livro II, ao falar sobre o saber e a educação para os
homens, no diálogo entre Socrátes, Adimanto, e o irmão de Glaucon, Platão (2008, p. 85)
aconselha: “[...] admitamos confiadamente que também o homem, se quiser ser brando para
os familiares e conhecidos, tem de ser por natureza filósofo e amigo do saber”.
Concomitantemente, em A República, Platão (2008, p. 86) apresenta esse diálogo:
– É, pois, assim, que ele terá de ser. Mas de que maneira é que se hão-de criar e
educar estes homens? E, porventura, avançaremos, se examinarmos a questão, na
descoberta do motivo de todas as indagações – a maneira como a justiça e a injustiça
se originaram na cidade? Pois não queremos omitir o necessário ou deixar por dizer
o bastante.
O irmão de Gláucon interveio: – Eu, por mim, sou inteiramente de opinião que este
exame nos fará avançar na investigação.
– Por Zeus, meu caro Adimanto! – exclamei – . Não devemos abondoná-lo, ainda
que se dê o caso de ser um pouco demorado.
– Pois não.
– Ora vamos lá! Eduquemos estes homens em imaginação, como se estivéssemos a
inventar uma história e como se nos encontrássemos desocupados.
– É o que nós devemos fazer.
– Então que educação há de ser? Será difícil achar uma que seja melhor do que a
encontrada ao longo dos anos – a ginástica para o corpo e Música para a alma?
– Será, efectivamente.
– Ora, começaremos por ensinar primeiro a música do que a ginástica?
– Pois não!
Em ensinamentos como os que estão postos por Platão na passagem em destaque, em
seu conhecido diálogo em A República, o autor faz eloquentes referências a uma educação
perfeita para os homens. Nelas, seu ensino prevalece sobre a música. Pode-se, então, entender
48
que tais pontos foram mais do que ensinamentos necessários para a formação de Andrea
Palladio, na busca por um estilo próprio, dentro da tradição humanista oriunda de Platão.
No clássico livro Timeu, Platão apresenta um diálogo envolvendo personagens como
Sócrates, Timeu, Crítias e Hermócrates, no qual se discute: criação do universo, divindade,
corpo, alma, inteligência, formas, elementos e números. Diz Platão (2001, XXXI, 69 b):
“conforme ficou dito desde o princípio, tudo estava em desordem quando a divindade
introduziu proporção nas coisas, tanto nelas como em suas relações recíprocas, na medida e
da maneira que elas admitiram proporções e simetria”. Segundo Platão, no começo, nenhuma
coisa tinha proporção, a não ser por acaso, não havendo nenhuma que merecesse ser
designada pelos nomes com que são conhecidas hoje: fogo, água, terra e ar.
Os fundamentos existentes em A República ultrapassam gerações, com os diversos
conhecimentos que formaram arquitetos do passado do porte de Vitrúvio Polião e do período
renascentista, como Andrea Palladio. Com sua específica potencialidade para as artes, ele
consegue transformar saberes da antiguidade e uni-los em seus saberes do presente,
incorporando-os em suas práticas de edificar e criar o novo.
Para Tavernor (PALLADIO, 1997), Palladio conseguiu criar um método próprio
porque suas idas e vindas a Roma provocaram um grande efeito sobre o desenvolvimento de
sua arquitetura, principalmente no que se tratava da escolha do tipo das villas. Nos projetos da
Villa Valmarana, em Vigardolo, e Villa Pisani, em Bagnolo, de 1541 e 1542, respectivamente,
Palladio “adapt details of modern and ancient buildings he had seen there. Villa Valmarana
has a particular kind of entrance motif composed of three openings, the central one with an
arch resting on columns, those on either side lower with square heads”(TAVERNOR, 1997,
xiii). Ainda explicando dados próprios da arquitetura palladiana nos projetos feitos nas villas,
o autor ressalta:
This symmetrical arrangement of openings derives from a window design by
Bramante and Raphael which, having been described by Serlio in his treatise
became known as a Serliana; through its extensive use by Palladio and subsequent
Palladians, it became known in England and America as a Palladian or Venetian
window. In an early, unpublished design for the Villa Pisani, the grand entrance is a
half-circle in plan, probably inspired by similar layouts Palladio had seen at the
Roman baths, Trajan’s Market, and Bramante’s Belvedere Court in the Vatican, or
perhaps the built portion of Raphael’s Villa Madam (TAVERNOR, 1997, xxxiii).
Segundo o autor, esse modo de edificação reaparece, mais tarde, na Villa Trissino e
na Villa Pisani, entre outras referidas em sua obra Quatro Livro de Arquitetura, nas quais ele
coloca salas amplas arqueadas ou abóbadas.
49
Enfim, certamente Palladio soube criar o novo sobre as doutrinas dos antigos tratados
seguindo os aconselhamentos de Vitrúvio e de Platão, pois é no Timeu que Platão explica que
é próprio do homem justo fazer aos inimigos e assim passa a ser capaz de criar seu próprio
método.
A subseção seguinte tratará a importância e o significado dos desenhos para Palladio.
2.5 A IMPORTÂNCIA E O SIGNIFICADO DOS DESENHOS PARA PALLADIO
É indiscutível que, na arquitetura, o desenho é a representação mais importante para
comunicar o que o artista quer repassar sobre seus ideais; isso é ímpar na época de Palladio.
Sabe-se que, na ciência da arquitetura, a representação do desenho é a planta baixa de
determinada edificação. No tratado Os quatro livros de arquitetura, percebe-se o valor dado
por Palladio ao desenho artístico do arquiteto, quando se observa a quantidade significativa
dos traços de seus projetos, em plantas baixas.
Bruno Zevi (1997, p. 17) explica que a planta de um edifício não é efetivamente mais
do que uma “projeção abstracta em plano horizontal de todas as suas paredes, uma realidade
que ninguém vê a não ser no papel, cuja única justificação depende de medir, para os
operários que devem executar materialmente o trabalho, as distâncias entre os vários
elementos da construção”.
Tratando-se, ainda, da discussão sobre os desenhos na arquitetura, Silva (1991)
adverte que Alberti, em seu tratado De re aedificatoria, do século XV, teoriza que toda a arte
de construir consiste no desenho e na estrutura. Mostra também que é propriedade e tarefa do
desenho apontar para o edifício e todas as suas partes, seus lugares próprios, seu número
determinado, sua justa proporção e bela ordem. Sobre esse aspecto, Carvalho (1970, p. 11)
acrescenta: “[...] o desenho é a expressão gráfica da forma, e deste modo não é possível
desenhar sem o conhecimento das formas a serem representadas”.
No Livro I de Vitrúvio, encontram-se definições dadas pelo mestre que se constituem
em esclarecimento importante referente a desenhos arquitetônicos. Falando em ordenamento,
Vitrúvio explica que ordenamento nada mais é que uma definição de proporções justas e
equilibradas para cada uma das partes da obra, gerando proporção próxima da simetria. Ao
tratar de disposição, define que “planta é o uso metricamente definido da régua e do
compasso, pelo qual se descrevem as formas das áreas do solo” (VITRÚVIO, 2002, p. 54).
50
O desenho foi uma das formas mais utilizadas por Andrea Palladio na expressão de
seu forte talento para projetar construções baseadas na reinvenção da antiguidade clássica
greco-romana e na modernidade do período renascentista, que estava vivendo. Ou seja, foi
através do desenho que ele conseguiu conceber seu estilo próprio, identificado na literatura de
arquitetura, mais tarde, após sua morte, como Palladianismo.
Por meio das proporções existentes nos desenhos presentes em Os Quatro Livros de
Arquitetura, será possível investigar proporções de Palladio utilizadas em seus projetos. O
Tratado de arquitetura de Palladio é uma rica obra, repleta de desenhos de plantas baixas dos
projetos criados por ele, as quais podem ser analisadas em suas proporcionalidades, nelas
encontrando-se preferências de escalas.
Essa, então, é a tarefa que se propõe aqui. Acontece que, para tal fim, faz-se
necessário olhar também o que Vitrúvio, grande referência para Palladio, fala, em seu tratado
Dez Livros de Arquitetura, em relação à proporção. Pode-se, portanto, interrogar como os
dois arquitetos citados concebem edificações relacionando-as ao corpo humano?
Na tentativa de responder a essas indagações será apresentada a compreensão da
proporção encontrada nos tratados de arquitetura de Vitrúvio e Palladio. Aqui, interessa,
principalmente, entender-se o significado de proporção idealizado por Andrea Palladio, no
tocante ao embasamento matemático, teórico e filosófico da regra proporcional de suas
escalas.
Sobre a escala utilizada por Palladio, Tavernor (1997) assegura que o contato
daquele arquiteto com Roma teve um efeito imediato no desenvolvimento de sua arquitetura.
Ao explicar sobre a escala nos desenhos de Palladio, traz detalhes importantes, referindo:
His designs for Villa Valmarana at Vigardolo and Villa Pisani at Bangalo, of 1541
and 1542, adapt. details of modern and ancient buildings he had seen there. Villa
Valmarana has a particular kind of entrance motif composed of three openings, the
central one with an arch resting on columns, those on either side lower with square
heads (TAVERNOR, 1997, xiii).
Ainda tratando-se dos desenhos feitos por Palladio nos Quatro Livros de Arquitetura,
estes parecem ser as representações mais coerentes para investigar sua matemática e, nela,
conceitos como o número irracional e o de seção áurea, de que se tratará na terceira seção.
51
3 ASPECTOS TEÓRICOS DA MATEMÁTICA DA GRÉCIA ANTIGA À ITÁLIA DO
SÉCULO XVI: AS COLUNAS DO ESTUDO
Nesta parte do trabalho discutiremos sobre as concepções de Pitágoras e Euclides
concernentes à definição de seção áurea das teorias que fundamentam o entendimento dos
números irracionais, incomensurabilidade e da técnica de redução ao absurdo. Por fim,
abordaremos a matemática de Palladio contida nos seus projetos arquitetônicos como a Villa
Emo.
3.1 SEÇÃO ÁUREA: UMA HISTÓRIA ANTIGA DOS GREGOS A PALLADIO
Em virtude do possível retrocesso das atividades culturais nas civilizações egípcias e
mesopotâmicas, antes da era cristã, às margens dos rios Nilo, Tigre e Eufrates, surgem, às
margens do mar mediterrâneo, uma nova civilização. É o nascimento de um povo
identificado, no segundo milênio a.C., primeiramente, com Heleno e, posteriormente, nos
anos 600 a.C., como Grego. Povo que viveu entre o mar Egeu e Jônico (Figura 8), e ao longo
das margens do mar Negro e do mar Mediterrâneo.
Figura 8 – Grécia Antiga
Fonte: Vicentino, 1997
52
Assim, “[...] os gregos aparecem na história espalhados pela bacia do mediterrâneo,
na Grécia, semearam colônias desde Marselha até o Mar Negro e o Egito, aglomerando-se às
cidades gregas, mais densamente na Costa da Ásia maior e no sul da Itália” (PLATÃO, 1979,
p. 7).
Os primeiros antepassados do povo Greco, que se instalaram nas margens do
mediterrâneo, não dominavam a matemática. No entanto, aqueles que estabeleceram entre o
mar Negro e Mediterrâneo, em regiões mais afastadas, tiveram um grande ímpeto para a
matemática.
Para o historiador Carl B. Boyer (2002), isso ocorreu pelo fato de os colonizadores
das colônias gregas que viviam, especialmente na Jônia, possuírem duas vantagens: primeiro,
por terem o espírito ousado e imaginativo característico dos pioneiros e, por último, por
estarem mais próximos dos dois principais vales dos rios, de maneira que poderiam extrair
mais conhecimentos. Foi assim, nesses grandes mares, que surgiram os mais famosos gregos.
Jaime Bruna, na introdução da obra clássica Diálogos, de Platão (1999), explica que
os gregos educaram-se para desenvolver harmoniosamente a individualidade, cultivando o
atletismo e aprimorando o espírito - estes foram herdeiros da civilização cretense, semearam
diversas colônias, criaram as pólis, bem como as cidades-estados. É válido salientarmos que
foram cidades com poder de um país; delas, destacavam-se Esparta e Atenas.
Os gregos foram considerados como uns homens livres. Diz que eles bem cedo
revelaram os frutos dessa educação no florescimento de uma arte caracterizada pelo senso da
beleza nobre, harmoniosa, equilibrada, e, mais tarde, pela criação da ciência e da filosofia.
Cultivaram, a princípio, a cerâmica artística, depois a poesia, a música, a dança, o teatro, a
arquitetura, a escultura e a pintura. Assim, “os gregos não hesitavam nada em absorver
elementos de outras culturas, de outra forma não teriam aprendido tão depressa como passar à
frente de seus predecessores; mas tudo que tocavam davam mais vida” (BOYER, 2002, p.
31).
Dessa forma, sabe-se que os gregos devem muito aos babilônios e egípcios - estes
por terem amplo conhecimento em astronomia -, já que os gregos conseguiram desenvolver
teorias sobre os movimentos planetários. “A Matemática, talvez tenha sido encarada como
Ciência pela primeira vez graças a ideais de filósofos gregos e não à necessidade de
aplicações práticas” (CONTADOR, 2006, p. 90).
Fossa (2010, p. 12), quando trata da história pré-grega, faz uma importante
advertência: “[...] seria um erro pensar que não há uma certa continuidade entre a matemática
53
grega e a dos seus precursores, especialmente a dos babilônios e dos egípcios”, com detalhes
diz que foi amplamente na matemática desses dois povos que os gregos alcançaram, às vezes
inconscientemente, sua inspiração sobre a referida ciência. Para o autor, “seria igualmente
errôneo negar que a matemática grega se desenvolveu de forma insólita, pois os gregos
cultivavam uma preocupação explícita na formulação e articulação de demonstrações
matemáticas” (FOSSA, 2010, p. 12).
As frases “conhece a ti mesmo” e “tudo é número” foram expressas,
respectivamente, por dois nomes de matemáticos da antiguidade grega como Tales de Mileto
e Pitágoras de Samos (580-501 a.C). Embora seja apontado muito pouco da Matemática
grega, pelo menos há bastantes comentários históricos e matemáticos, fatos ou lendas desses
dois personagens anteriormente citados.
Por exemplo, Tales de Mileto é considerado como o primeiro filósofo e primeiro
matemático da antiguidade grega. Relata-se sobre seu teorema que um ângulo inscrito num
semicírculo é um ângulo reto. Proclo (410-485), fundamentando-se em Eudemo de Rodes
(viveu aproximado de 320 a.C), atribui a Tales os quatro teoremas a seguir:
1. Um círculo é bissectado por um diâmetro;
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;
3. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais;
4. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais
respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são
congruentes (BOYER, 2002, p. 32)
Descobertas de teoremas, os fatos e as lendas de Tales levam-se a crer que, de
qualquer forma, Tales de Mileto foi o primeiro homem da história a quem foram atribuídas
descobertas matemáticas específicas. Para Mendes (2011, p. 12), ele aproveitou os
conhecimentos adquiridos por civilizações anteriores e proporcionou os rudimentos para uma
nova geometria.
À pessoa de Pitágoras, atribui-se ser o fundador de uma sociedade secreta
fundamentada na Matemática e na Filosofia. Da parte da matemática, deve-se a Pitágoras a
sistematização de um conhecimento, hoje conhecido como teorema de Pitágoras, que,
provavelmente, foi do seu conhecimento empírico adquirido em viagens à Babilônia. Devemse aos pitagóricos sua demonstração geométrica. Dos pitagóricos, herdamos o estudo voltado
à teoria dos números. Aqueles mostraram o significado destes na música, no cosmo, sua
simbologia no mundo, sua importância para o homem, a sua representação na divindade e
astrologia, entre outros conhecimentos.
54
Mendes (2011, p. 12) considera que, com os pitagóricos, a “geometria se converteu
em uma ciência com identidade própria, constituída por princípios e definições sobre os que
iniciaram a construção de um sistema lógico”. Conclui, assim que eles “inventaram a teoria
dos números, o método de aplicações de áreas; uma teoria das proporções aplicáveis às
magnitudes comensuráveis; três dos cinco sólidos regulares”.
A tradição nos diz que os gregos herdaram a matemática dos povos egípcios e
babilônicos. Mas o que satisfazia egípcios e babilônios não bastou para contentar a exigência
grega (EUCLIDES, 2009, p. 77).
Desse modo, a História da Matemática registra os conhecimentos e os legados
deixados por grandes matemáticos e filósofos gregos como Pitágoras de Samos, Euclides de
Alexandria e, mais tarde, Platão. Nessa história, seus importantes conhecimentos são
agregados às suas concepções filosóficas e matemáticas ligadas ao desenho, à Geometria, à
cosmologia, ao misticismo e ao sagrado, no que se trata da Seção áurea, proporção áurea,
divina proporção ou da extrema e média razão.
Estudar pontos ligados às principais ideias da Filosofia e da Matemática dos filósofos
clássicos da antiguidade grega será, então, nosso principal objetivo para a próxima subseção.
3.2 A SEÇÃO ÁUREA NO PENSAMENTO DE PITÁGORAS E DOS PITAGÓRICOS
Para expor o pensamento dos Pitagóricos referente à seção áurea, compreendemos
ser necessário inicialmente dizer quem foi Pitágoras de Samos e, em seguida, apresentaremos
pontos relevantes sobre o seu pensamento matemático. Após, serão discutidos os pontos de
vista filosóficos. Assim, podemos informar quem foi Pitágoras e qual a sua concepção
filosófica sobre seção áurea.
Para essa finalidade, comunicamos ser a própria História quem narra que Pitágoras
foi um dos maiores filósofos pré-socráticos da antiguidade. Ele nasceu provavelmente no ano
580 a.C., em Samos, ilha do Mar Egeu, ou em Sidon, na Fenícia. Pitágoras (Figura 9) faleceu
em 501 a.C., quando se dirigia para Metaponto, fugindo de Tarento, durante atentado na
cidade de Milos, onde vários pitagóricos foram assassinados. Wechons, Krickensberger e
Pearson (1975, p. 39) dizem que “during the two hundred years folowing the death of
Pythagoras, the Greeks, who were interested in geometry more for its own sake than for its
practical value, discovered and proved a large number of new propositions”.
55
Figura 9 – Pitágoras de Samos
Fonte: Contador, 2007
Sobre a vida de Pitagóras, pouco se sabe. Conta-se que era filho de um talhador
chamado Mnesarcus e que, na sua juventude, devido à sua agilidade e à sua proeza, chegou a
participar e a conquistar vários prêmios em campeonatos olímpicos. Pitágoras é uma figura
pouco comentada e está sempre envolvido por fatos proféticos e místicos, com vida obscura.
Essa afirmação pode ser devido à perda de documentos da sua época.
Para adquirir conhecimentos, Pitágoras saiu da sua terra natal e foi buscar sabedorias
esotéricas em viagens que fez do Egito às cidades de Persa e Creta, até chegar à Palestina. Ele
retorna à sua cidade com muitos conhecimentos e planeja fundar um centro de ensino que não
se concretizou por oposição do governador Policrates (viveu por volta de 570-522 a. C). Por
esse motivo, ele decide emigrar para Crotona, cidade localizada ao sul da Itália.
Santos (1999) faz uma referência importante sobre os pitagóricos: ele informa que,
mesmo que nas doutrinas pitagóricas legadas pelos seus discípulos seja difícil saber quais
delas são originais e quais se limitam a repetir teses tradicionais da escola, chega-se a ter
conhecimentos, suficientemente atestados, da crença pitagórica na transmigração das almas de
corpo para o corpo, como recompensa ou punição pelos atos cometidos em vida.
O autor esclarece que Pitágoras, muito provavelmente, professava a crença de que
havia um prêmio no além-túmulo para quem vivesse um novo caminho de retidão.
Certamente, ele não deixou de ensinar aos seus discípulos este novo tipo de vida, que
consistia em um ascetismo para alcançar a salvação da alma.
56
De acordo com Silva (2010, p. 154), para “Pitágoras e os pitagóricos, a matemática
revelava a estrutura sagrada oculta por trás da realidade visível do universo”. O autor
acrescenta que o pitagorismo constituiu-se desde o século VI a.C até o século III d.C, místico
e racional, científico e religioso, teórico e experimental, condição que faz o seu lado moral,
místico-religioso poder ser representado pelas crenças na imortalidade e na transmigração das
almas.
Assim, a fé pitagórica, a purificação e a salvação da psyché passam pela ciência ou
filosofia, que consistia em utilizar os poderes da razão e a observação com o fim de obter
conhecimento, “é ideia de que a alma pode ser purificada pela ciência ou pela filosofia se
concretiza particularmente pelo estudo da ordem divina do universo – o macrocosmo –
microcosmo” (SANTOS, 1999, p. 37).
No campo da filosofia, Pitágoras e os pitagóricos colaboraram sem medida para a
descoberta do conceito de imortalidade da alma, não limitada, porém, aos seres humanos, mas
se estendendo a qualquer manifestação de vida ou ser animado de movimento próprio
(SANTOS, 1999). Dessa forma, para o autor, atribui-se a Pitágoras ser o primeiro filósofo a
falar da imortalidade da alma e essa alma individual, não mais no modo geral em que o
filósofo da natureza podia afirmar ser imortal a alma-água, a alma-ar ou a alma-fogo,
enquanto parte do princípio originário.
Autores como Erickson e Fossa (2005) asseveram que Pitágoras, em duas direções,
vai além dos jônios: uma na introdução de um novo tipo de conhecimento e no novo começo
na Filosofia, outra na sua compreensão de que o universo não seria apenas número, mas
número e harmonia. Harmonia “é uma relação ou proporção entre número e propriedades dos
fenômenos resultam da proporção entre seus números constituintes” (ERICKSON; FOSSA,
2005, p. 13-14).
Deve-se a Pitágoras a formulação dos conceitos de números primos, triângulos
pitagóricos, números pares, ímpares, teorema de Pitágoras (este já conhecido desde a
antiguidade pelo povo babilônico) e até as conhecidas razões de números nupciais. São
conhecimentos inerentes a uma Matemática clássica, frutos de estudos sigilosos realizados na
escola pitagórica, em total segredo, que geraram fórmulas, formas e as importantes razões
irredutíveis advindas da fórmula babilônica e das fórmulas pitagóricas, e essas em triângulos
primitivos.
Erickson e Fossa (2006) lembram-nos que para a fórmula babilônica gerar triângulos
primitivos, m e n precisam satisfazer duas condições: a primeira condição de ser de paridade
57
opostas e a segunda condição de serem primos entre si. Nesse caso, os autores dizem não ser
de dificuldade o reconhecimento de ser um número par ou ímpar, até mesmo com o sistema
de numeração dos antigos.
Eles afirmam que o problema de encontrar todos os triângulos pitagóricos primitivos
se reduz ao problema de achar todos os pares de números naturais (m, n) que são primos entre
si. Acrescentam, ainda, que os antigos provavelmente não pensassem em pares de números,
mas sim na razão entre dois números. Para uma explicação mais clara sobre essa razão,
Erickson e Fossa (2006, p. 23) ensinam que:
Fazendo esse ajuste, reformulamos o problema de forma ligeiramente diferente: é
mister achar uma maneira de exibir as razões irredutíveis, n:m, com n m.
observamos ainda que a descoberta de que as concordâncias musicais têm esta forma
(oitavo 2:1, quinta 3:2, quarta 4:3 e tom 9:8) era atribuída a Pitágoras e, portanto, os
pitagóricos tiveram interesse neste tipo de razão por motivos independentes. Uma
maneira de achar estas razões seria simplesmente verificar a divisão de m e n por
todos os números naturais menores ou iguais a m. isto implicaria 2(m-1) divisões
(não seria necessário efetuar as divisões por 1) para cada razão: m. O trabalho
poderia ser reduzido dividindo-se apenas pelos números primos menores ou igual a
m; eventualmente, se perceberia que só seria necessário dividir pelos primos
menores ou iguais a m. Mesmo assim, provavelmente se necessitaria de uma tabela
de números primos e, em qualquer caso, a tarefa seria enorme, pois o sistema de
numeração dos antigos não facilitava tais cálculos.
Para os autores, e também para nós, é essa a forma capaz de considerar com
propriedade as irredutibilidades de razões dos pitagóricos, principalmente no que diz respeito
à descoberta das concordâncias musicais (a oitava 2:1; a quinta 3:2; a quarta 4:3 e o tom 9:8).
Tratando-se da matemática pitagórica, os números nupciais são outros conceitos
matemáticos que necessitam de destaque nessa nossa discussão sobre a seção áurea. Erickson
e Fossa (2006, p. 31) esclarecem que “a terminologia número nupcial deve ser uma
recordação de um termo técnico da matemática pitagórica por razões do referido tipo, pois os
termos deste tipo de razão têm paridade oposta e, assim, um é masculino e o outro feminino”.
Para eles, as razões identificadas por razões nupciais são muito importantes porque todas as
consonâncias musicais dos antigos são do tipo (oitavo 2:1, quarta 4:3, quinta 3:2 e tom 9:8).
Os mesmos autores supracitados chamam a nossa atenção para uma interessante
observação que devemos levar em conta, quando se tratam dessas razões nupciais: dizem que
estas ditas razões também surgem nos triângulos gerados pela fórmula de Pitágoras. Isso
acontece porque a hipotenusa é 1 a mais do que o cateto maior. Desse modo, descrevem que
assim, o conjunto de triângulos gerados pela fórmula de Pitágoras vai corresponder a um só
58
conjunto infinito, simples e visualmente visto no crivo duplo, no qual todos os termos são
primitivos.
Erickson e Fossa (2006, p. 31) acreditam que, embora não se tenham evidência
textual, asseguram que os “[...] primeiros pitagóricos deveriam ter utilizado estes triângulos
nas suas especulações cosmológicas, pois, desde que os geradores na diagonal destacada
contêm as consonâncias musicais, os triângulos resultantes seriam os mais apropriados para a
construção do universo”.
Pitágoras e os pitagóricos, ao acreditarem que todas as coisas são números, elegem
isso como o seu princípio e sua filosofia fundamental. Nesse sentido, Bonell (2000) lembra
que os pitagóricos, ao decidirem que todas as coisas são números, pensavam que todos os
corpos consistem em pontos e unidades, e estes, ao juntarem-se no espaço, constituem um
número. Dessa maneira, viam nos números diferentes significados, crenças e diversidade de
representação, tanto aritmeticamente como geometricamente, como, por exemplo, está
mostrado pela Figura 10, a seguir:
Figura 10 - Representação dos números para Pitágoras
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Pitágoras e os pitagóricos chamavam o quaternário de tetractys e preferiam-no diante
de todas outras virtudes dos outros números. Eles viam o número quatro como uma coisa
59
perpétua ligada à natureza. Haja vista existir os quatro elementos (fogo, água, terra e ar); no ar
há quatro ventos; no ano há quatro estações. Assim, eles progrediam não só para a
Matemática, mas para outras ciências. Creram ser a Matemática o princípio de todos os seres
e de todas as coisas. Ainda sobre tetractys, “[...] notamos que os pitagóricos juravam que era o
conjunto {1, 2, 3, 4}. Os quatro números representam, respectivamente, um ponto, uma reta,
uma superfície e um sólido e, portanto, eram suficientes para a construção do universo”
(ERICKSON; FOSSA, 2005, p. 14).
Os pitagóricos, por compreenderem todas as diferenças numéricas e, ao mesmo
tempo, todas as razões e proporções numéricas, diziam ser o número dez o mais perfeito de
todos os números, isso porque a natureza universal se circunscreve nas razões e proporções
numéricas. Segundo Bonnell (2000), o número 10 é representado por 10 pontos na forma de
um triângulo eqüilátero, identificado como Tetractys de la Década (Figura 11).
Figura 11 - Tetractys de La década
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
A Matemática para Pitágoras abrangia a totalidade dos conhecimentos, o gnosis, a
base do espírito científico seguindo o caminho da Filosofia. Os pitagóricos não consideravam
o número como uma quantidade abstrata e sim como uma virtude intrínseca e ativa de
supremo uno fluente de harmonia universal. Entendiam que, partindo de um, de dois e de três
e quatro, de tal maneira que ”la figura constituye um triángulo que evidencia que la suma de
estos cuatro números, los cuatro primeros números enteros, es diez, número perfecto por
excelência ya que representa todos los principios de La divinidad evolucionados y reunidos en
una nueva unidad” (BONELL, 2000, p. 76).
60
Outro significado muito importante para os pitagóricos trata-se do número cinco.
Eles tinham uma verdadeira fascinação por esse número. Há registros, feitos por historiadores,
de Pitágoras ter escolhido o pentagrama para ser o símbolo emblemático da sua escola, sendo
esse registro o primeiro do simbolismo dado pelos pitagóricos ao número cinco. O cinco era
representado como símbolo do matrimônio, por ter um princípio oriundo do masculino e
feminino, gerado então pela adição (2+3=5). Os pitagóricos representavam, ainda, a
aritmética do triângulo de lados 3, 4 e 5, cujos quadrados 5²=3²+4², por dar origem ao teorema
de Pitágoras.
Veremos, na subseção seguinte, a compreensão referente a um dos mais importantes
estudos da matemática antiga, os números irracionais e a incomensurabilidade.
3.2.1 Números irracionais e incomensurabilidade
A história da Matemática registra que a geometria do pentagrama e suas associações
metafísicas foram exploradas por Pitágoras e, posteriormente, por seus seguidores, que o
considerava um emblema de perfeição. O símbolo utilizado pela Escola de Pitágoras era o
pentagrama, por possuir algumas propriedades interessantes. Um pentagrama (Figura 12) é
obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas interseções dos segmentos
desta diagonal é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original
exatamente pela razão áurea.
Figura 12 – Pentagrama
Fonte: Arquivo da pesquisadora
61
Erickson e Fossa (2005) asseguram que os matemáticos pitagóricos, da segunda
geração, fizeram uma descoberta de que existem grandezas que não podem ser expressas
como razão de dois números naturais. Logo, ao perceberem isso, eles realizaram uma
descoberta que provocou uma crise pelo fato de ter introduzido com isso uma dissonância ou
irracionalidade no universo, que invalidou a sua doutrina criando, desse modo, duas classes
distintas de grandezas, como as discretas e as contínuas.
Para esses autores, a aritmética podia tratar das grandezas discretas, mas não das
grandezas contínuas. Portanto, para tratar das grandezas contínuas era necessário recorrer à
geometria,
[...] já que é possível representar os números racionais geometricamente, porém, a
geometria pode tratar também das grandezas discretas e, assim, especialmente
depois da teoria das proporções de Eudoxo (viveu aproximadamente 390 e 380 a.C),
a Aritmética dos gregos foi geometrizada (ERICKSON; FOSSA, 2005, p. 14).
Choike (1980) adianta que embora a tradição nomeie o jovem discípulo de Pitagóras,
Hipasus de Metaponto (470 a.C), como o descobridor da prova da existência dos
incomensuráveis, sua defesa junto com a de Kurt Von Fritz sugerem que Hipasus ficou
intrigado pela fascinante geometria simétrica do pentagrama. De modo que Choike (1980, p.
313) assevera:
As he stared at the star he saw that in its center was a regular pentagon whose
diameters (lines joining nonadjacent vertices) formed another smaller star. And
inside this smaller star was yet another pentagon whose diameters yielded a still
smaller star. Before him he saw this beautifully endless chain of pentagrams, one
nested inside the other. In addition, Hippasus could not help but notice the abundant
display of similar triangles and isosceles triangles throughout the chain of stars.
De acordo com Choike (1980), a descoberta do número irracional é baseada sobre o
pentagrama. Segundo o autor, isso foi a crença dada por Kurt Von Fritz para ser a prova que
Hippasus de Metaponto precisava ter encontrado. Sobre isso, Choike (1980, p. 313) notifica:
The fact is that early Greek historians unanimously attribute this Discovery to
Hippasus, but they do not supply any of the details concerning the manner or
method of discovery. It should be noted that is required for the proof which we give
are two simple facts about triangles, facts which were known by the early
Pythagoreans: (i) the sum of the interior angles in any triangle is equal to two right
angles; (ii) in any triangle, sides opposite equal angles are equal and angles opposite
equal sides are equal.
62
Essa é a justificativa do autor perante outros sobre a descoberta dos irracionais.
Consideramos que Fossa (2007) concorda em parte com Choike (1980) quando assegura ser
bastante provável que a descoberta da incomensurabilidade tenha acontecido ao se investigar
um pentágono. O mesmo explica que, para isso, basta desenharmos as diagonais de um
pentágono regular para verificarmos a criação de um novo pentágono (Figura 13). Para esse
fim, a justificativa é que, ao repetirmos esse mesmo processo infinitas vezes, obteremos
pentágonos cada vez menores, implicando, assim, que o lado e a diagonal do pentágono não
possuem uma medida comum, por isso serem incomensuráveis.
Figura 13 – Criação de um novo pentagrama
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
A particularidade existente de infinito no pentágono (Figura 15) na visão de Fossa (2007) é
clara, pois, ao ter-se um pentágono estrelado e, nela, procurar saber a razão de AB para BC, passa-se a
considerar que os lados AC, CD etc. são diagonais do pentágono. Dessa maneira, chama-nos atenção
para percebemos que os três triângulos ACD, ABE e BCF são isósceles com o mesmo ângulo entre os
lados iguais (Figura 14).
63
Figura 14 – Pentágono estrelado
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
De modo que os três triângulos são considerados semelhantes, e logo possuem lados
proporcionais, como: AC : AB::AB : BC. A definição de Fossa (2008, p. 43) precisamente
para a seção áurea é: “O todo : a parte maior :: a parte maior : a parte menor”
Roque (2012, p. 125) diz que o problema da incomensurabilidade parece ter surgido
no seio da própria matemática, mais precisamente da geometria, sem relevância filosófica que
lhe é atribuída. Geometricamente para uma melhor explicação temos:
Resolvendo algebricamente como: RS = a e RP1 = x RP1= x; pela propriedade da
seção áurea a: x= x: (a – b) e multiplicando os termos médios e extremos resulta na equação:
x2 = a2 – ax.
Dada outra situação:
Sendo dado o segmento de reta com extremidade AC e ponto médio B, poderá ser
expressa matematicamente algebricamente por: (AB) / (BC) = (BC) / (AC)
Considerando-se: AB = y ; BC = x ; AC = x + y
Pode-se, então, definir o Ф se fizermos: AB = y ; BC = x ; AC = x + y
Substituindo-se, encontramos a razão entre x e y: y / x = x / ( x + y )
Se ainda substituir y por 1, teremos: 1 / x = x / ( x + 1 )
Multiplicando ambos os lados por x ( x + 1 ), obtém-se: x² - x - 1 = 0
64
Resolvendo esta equação quadrática, obtêm-se as seguintes soluções:
X’ = (1 + 5) / 2 e X” = ( 1 - 5 ) / 2
Considerando-se o valor positivo X’, achamos:
Ф = ( 1 + 5 ) / 2,
Logo:
Para os gregos antigos, esse tipo de subdivisão, como feito no pentágono, foi muito
natural. Tornou-se tão familiar que não se achava necessário ter um nome especial para ela,
por isso a designação “divisão de um segmento em média e extrema razão em geral é
substituída simplesmente pela palavra seção” (BOYER, 2002, p. 35).
Ainda de acordo com Boyer (1996), a construção de pentagrama ou pentágono
estrelado se tornou na geometria pitagórica, uma questão tantalizante.
Para construí-lo, basta começar por um polígono regular ABCDE, nele traçarmos
suas diagonais, que se cortarão em pontos como FG H I e, por conseguinte, ele formará outro
pentágono regular (Figura 15).
Figura15 – Pentágono regular
Fonte: Arquivo da pesquisadora
Sobre essa representação do tipo (Figura 14), observa-se que os lados dos pentágonos
o ângulo CDE é igual ao ângulo CDI. Nesse caso, Fossa (2008) lembra sendo os dois o
ângulo interno do pentágono. Tendo como consequência os dois triângulos já mencionados,
passa a serem classificados como isósceles e congruentes na mesma base EC: ED = EI. Mas, I
parte o segmento EB na seção áurea e, portanto, BE : EI é a razão áurea.
65
Com relação ao pentágono regular, Boyer (2002, p. 34) admite que, para os
pitagóricos, “não é improvável, mesmo que eles não conhecessem o octaedro e o icosaedro,
conhecessem algumas propriedades do pentágono regular”.
Contudo, é válido lembrar que, de acordo com Fossa (2001, p.110), os gregos antigos
não conheceram os irracionais, porque, como já foi mencionado na subseção anterior (3.2),
“[...] os números eram concebidos como grandezas distintas, análogos a pontos geométricos,
enquanto os incomensuráveis formaram grandezas contínuas, análogas a comprimentos
geométricos”.
Na subseção seguinte, teremos a definição da redução ao absurdo e o estudo acerca
da raiz quadrada de 2.
3.2.2 Redução ao absurdo e a raiz quadrada de 2
Pitágoras define o quadrado como sendo um corpo finito, limitado e mensurável, um
ente geométrico perfeito para ser usado como símbolo da perfeição finita. Ele ensinava o “[...]
quanto nosso corpo precisava ser finito e limitado, pois, somente assim, podemos descobrir e
perceber os princípios abstratos revelados num mundo finito e nas causas que criam e
sustentam a vida, e são princípios abstratos que também têm o poder de expressar o infinito”
(CONTADOR, 2006, p. 388).
Sabemos que o quadrado com lado igual à unidade é uma particularidade importante.
Através de sua diagonal √ 2, o quadrado passa a ter uma função geométrica, ou melhor, passa
a ser representado como um processo gerador da construção geométrica de um novo quadrado
com o dobro de sua área e cria uma nova figura simétrica com sua mesma forma (Figura 16).
66
Figura 16 – Quadrados de lados 1
Fonte: Arquivo da pesquisadora
Através da Figura 17 é possível ter uma compreensão maior das raízes quadradas de
2, 3, 5 na sua representação geométrica. Desse modo, após essa configuração de quadrado de
diagonal do lado 1, encontraremos o cubo a √3 e, sucessivamente, a √5 todas formadas nos
retângulos áureos.
Figura 17 – Retângulos e suas diagonais
Fonte: Arquivo da pesquisadora
67
O dado importante, considerado por Contador (2006), é referente à sua representação
geométrica, sobre a família de relações geradas pela raiz quadrada de cinco (√5) ou o
processo regenerativo, encontrado através de sua diagonal identificada por proporção áurea e
que gerou uma série de símbolos utilizados por filósofos gregos como fundamento do ideal
divino ou do amor universal.
Assim, o mesmo autor, ao discutir sobre as figuras que são representadas sobre as
raízes √2, √3 e √5, constatou que “[...] as duas principais figuras geométricas reunidas nos dão
as três raízes principais que são necessárias à construção dos cinco sólidos regulares, base de
todas as formas volumétricas. Também os números 2, 3 e 5 são os únicos necessários à
divisão da oitava em escalas musicais” (CONTADOR, 2006, p.391).
De acordo com Boyer (2002, p. 38), Proclo, talvez citando Eudemo, atribui-se a
Pitágoras duas descobertas matemáticas específicas: (1) a construção dos sólidos regulares e
(2) a teoria das proporcionais.
Sobre os sólidos geométricos, para Contador (2006), Pitágoras e seu grupo (os
pitagóricos) eram todos fascinados pelos cinco sólidos regulares, corpos cujas faces são
polígonos iguais a triângulos, quadrados ou pentágonos. Nesse caso, os polígonos são
infinitos, mas os sólidos são apenas cinco.
Nesse contexto, os pitagóricos confiavam que os quatro sólidos, como terra, fogo, ar
e água formavam toda a matéria do universo; e o quinto sólido, que era o dodecaedro, estava
associado misticamente ao cosmo, talvez representando a substância que formava o céu.
Desse modo, consideravam que esse conhecimento era muito perigoso para expor em público,
preferiam que pessoas comuns não conhecessem o dodecaedro. Todas essas são informações
repassadas por historiadores em publicações mais antigas ao tratarem do quadrado de lado 1 e
os irracionais. Conhecimentos históricos, aos quais há controvérsias, da parte de outros
historiadores como verdadeiras.
Para nós, quando se trata da descoberta da raiz quadrada de dois, comungamos com
Fossa (2007), quando posiciona que Aristóteles confere aos pitagóricos um argumento, por
redução ao absurdo, que mostra que o lado e a diagonal do quadrado são incomensuráveis. De
acordo com Aaboe (2002, p. 44), ao tratar da irracionalidade de √2, lembra que “(um esboço
dela aparece já em Aristóteles) é como segue: o problema é mostrar que não há fração a/b, em
que a e b são inteiros, cujo quadrado é 2”.
Para Fossa (2009), a ideia fundamental da redução ao absurdo é que uma premissa
não pode ser verdadeira se ela nos levar a uma contradição. Uma demonstração envolve
68
proposição e teorema. Proposição é qualquer afirmação que pode ser verdadeira ou falsa;
teorema é uma proposição verdadeira do tipo “P implica Q”, de modo que P e Q também são
proposições.
Geraldo Ávila (2006), ao abordar a demonstração por absurdo ou simplesmente
demonstrações por absurdo ou ainda as chamadas demonstrações por contradição, indica que
elas seguem um roteiro parecido com as demonstrações por contraposição. Relembra-nos que
para provar que A implica B iniciarmos supondo A verdadeira e B falsa. Sendo que essa última
deve ser chamada de hipótese do raciocínio por absurdo, uma suposição apenas temporária,
até chegarmos a uma contradição, um absurdo. Assim, diz: “somos então forçados a remover
a hipótese do raciocínio por absurdo e concluir que B é verdadeira” (ÁVILA, 2006, p. 8).
Sobre essa redução ao absurdo, apresentaremos os exemplos 1 e 2, respectivamente,
das provas matemática da √2 extraídos dos textos de Fossa (2009) e de Smole; Diniz (2003).
Exemplos:
 Exemplo 1: √2 é irracional.
Demonstração:
Suponha que √2 = p/q,onde p/q é irredutível.
Então p² = 2q². Portanto, p² é par. Logo, p é par.
Seja p=2k. Então 4k² = 2q², ou seja, q² = 2k² e, assim,
q² é par. Logo, q é par. Portanto, p/q não é irredutível.
Discussão:
Nesse primeiro exemplo, Fossa (2009) a identifica como uma elegante demonstração,
relembra que foi bastante conhecida pelos gregos antigos, depende somente de RA (Redução
ao Absurdo) e do o fato de que se n² é par, então n também é par. Finaliza que “isto também é
de fácil demonstração usando RA; para os propósitos da análise, aceitaremos isto com o
Teorema 1. A demonstração se inicia por assumir a negação da proposição a ser demonstrada”
(FOSSA, 2009, p. 126).
Análise:
Teorema 1. Para todo x: se x² é par, então x é par.
A demonstrar: √2 é irracional.
Assim, é desse modo que Fossa (2009) conclui a sua explicação com a demonstração
da √2 pelo método ou técnica da redução ao absurdo
 Exemplo 2: √2 é irracional.
69
Essa próxima demonstração que apresentaremos é realizada por Smole e Diniz
(2003, p. 15). Para as autoras, ela é a prova de que
√2 é um número irracional cuja
demonstração é razoavelmente simples; de modo que descrevem sua realização por etapas:
I. Suponhamos, por absurdo, que √2 seja racional, isto é, que √2 possa ser escrito na
forma p/q, com p € Z e q € Z*, de modo que p/q seja irredutível (p e q são primos
entre si). Temos, então, √2 = p/q.
II. Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos 2 =p²/q² ou p² = 2q². Isso
significa que p² é par, logo p é par.
III. Por outro lado, como a fração p/q é irredutível e p é par, então q tem de ser
ímpar.
IV. Se p é par, existe um número inteiro m tal que p = 2m. Elevando ambos os
membros ao quadrado, temos: p² = 4m². Como p² = 2q², então 4m²= 2q² ou q² = 2m²;
logo, q² é par e q é par.
V. Essa última dedução é um absurdo, pois em III concluímos que q deveria ser
ímpar e um número não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
Vencida as cinco etapas, Smole e Diniz (2003) concluem que a hipótese de √2 ser
racional é falsa e que, portanto, √2 é irracional.
Embora seja possível demonstrar a √2 pela redução ao absurdo com outras
discussões, queremos encerrar nossas demonstrações com o enfoque desses dois breves
exemplos.
Na próxima subseção, trataremos do estudo da seção áurea segundo o pensamento de
Euclides de Alexandria.
3.3 A SEÇÃO ÁUREA NO PENSAMENTO DE EUCLIDES
Euclides de Alexandria (Figura 18) teve pseudônimo conhecido desse modo por ter
sido professor de Matemática em Alexandria. Ele é mais um dos matemáticos gregos que se
destaca na Grécia antiga, e que a história pouco sabe sobre sua vida. Embora alguns digam
que ele viveu, provavelmente, de 360 a.C. a 295 a.C., Boyer (2002, p. 69) diz que tão obscura
ficou sua vida que nenhum lugar de nascimento é associado ao seu nome.
70
Figura 18 – Euclides de Alexandria
Fonte: Imagem coletada no provedor google.
Sabemos que no tempo depois da morte de Alexandre o Grande, Ptolomeu I, em 306
a.C., entre outras criações, cria uma escola que fica conhecida como Museu e nela convida
Euclides para lecionar. Para Contador (2006), o Museu de Alexandria era uma instituição
pública custeada pelo rei e continha coleções de estátuas, galeria de pinturas, as grandes
bibliotecas. Além de Euclides, trabalhavam e residiam no Museu os matemáticos Erastóstenes
(276 a.C - 194 a.C) e Apolônio (2 a.C - C 98).
Euclides é considerado o pai da Geometria por ter sido um sábio matemático e autor
de célebres obras e textos matemáticos, sendo que cinco “sobreviveram”: Os elementos
(Stoichia), os dados, divisão de figuras, os fenômenos e Óptica. Para Boyer (2002), a obra Os
elementos foi escrito por Euclídes por volta do século IV a.C.. Ao contrário do que se pensa,
não era um compêndio de todo conhecimento geométrico; ele é um texto introdutório que
cobre toda matemática elementar, a Aritmética, no sentido de teoria dos números, Geometria
sintética (de pontos, retas, círculos e esferas) e álgebra. A obra Os elementos está dividida em
13 livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os
três seguintes sobre teoria dos números, o Livro X sobre incomensuráveis e os três últimos
sobre geometria no espaço.
Para Boyer (2002, p. 69), Euclides e Os elementos (figura 19) são frequentemente
considerados sinônimos. Ele escreveu por volta de uma dúzia de tratados em que estão tópicos
desde óptica, astronomia, música e mecânica, além de uma obra sobre seções cônicas. Mas
71
nosso maior interesse é estudar o conhecimento de Euclides em Os elementos e,
consequentemente, proporção, razão e incomensurabilidade.
Figura 19 – Os elementos (Stoichia) de Euclides
Fonte: Eves, 2002
Nessa obra, Euclides define seus postulados e apresenta importantes proposições
com suas demonstrações geométricas. Destacaremos, dos treze livros de Euclides, a teoria da
proporção e a teoria dos incomensuráveis.
Bicudo, na apresentação do texto de Euclides (2009, p. 83), acrescenta que, quem se
achegar descuidosamente a essa história, a impressão é que a geometria nasceu inteiramente
radiante da cabeça de Euclides, como Atenas da de Zeus. Isso, devido à repercussão e à
grande aceitação culminando com o êxito que foi a obra de Euclides Os elementos no
“resumir, corrigir, dar base sólida e ampliar os resultados até então conhecidos que apagou,
quase que completamente os rastros dos que precederam”. Ainda, na introdução da obra Os
elementos, observamos que Bicudo, ao apresentar a obra em destaque, certifica como “um dos
capítulos mais importantes da história cultural é a transformação do conhecimento
matemático empírico de egípcios e babilônios na ciência matemática grega, dedutiva,
sistemática, baseada em definições e axiomas”.
Sobre Euclides e sua obra Os elementos, Sbacchi (2001, p. 25) expõe:
72
Therefore, Euclid’s great merit lies in the exceptional ability to illustrate and
synthesize. Although marred by contradictions and gaps, the Elements, in its time,
represented a gigantic step forward, especially compared to the fragmentary way in
which geometry was known and transmitted. It soon became an immensely useful
text for all the fields where geometry was applied. Optics, mensuration, surveying,
navigation, astronomy, agriculture and architecture all benefitted in various ways
from a newly comprehensive set of rules able to overcome geometrical problems. As
its popularity grew, the Elements went through several translations
A autora, com suas explicações, eventualmente confirmam a relevância dessa obra
em diversas ciências.
Em relação à incomensurabilidade, Boyer (2002) diz que a descoberta ameaçou a
Matemática de uma crise lógica, ao lançar dúvidas sobre as provas que usassem
proporcionalidade. Contudo, a crise foi enfrentada com êxito devido aos princípios de
Eudoxo, e acrescenta que, mesmo assim, a Matemática grega evitava tendenciosamente as
proporções.
Nesse caso, apresentaremos as proposições realizadas por Euclides, no Livro V e no
Livro X, como provas do autor para seu pensamento que levaram a discutir sobre seção áurea.
No caso específico do livro V (EUCLIDES, 2009, p. 205), encontramos definições referentes
à proporção ao situar:
- Uma magnitude é uma parte de uma magnitude, a menor da maior, quando meça
exatamente a maior.
- Uma razão é a relação de certo tipo concernente ao tamanho de duas magnitudes de
mesmo gênero.
- Magnitudes são ditas estar na mesma razão, uma primeira para uma segunda e uma
terceira para uma quarta, quando os mesmos múltiplos da primeira e da terceira ou,
ao mesmo tempo, excedem ou, ao mesmo tempo, sejam inferiores aos mesmos
múltiplos da segunda e da quarta, relativamente a qualquer tipo que seja de
multiplicação, cada um de cada um, tendo sido tomados correspondentes.
- E as magnitudes, tendo a mesma razão, sejam ditas as proporções.
São definições mostradas na obra Os elementos, na qual há interesse em tratar a
razão áurea. É no livro X que Euclides (2009, p.353) se preocupa com a incomensurabilidade
quando define:
1) Magnitudes são ditas comensuráveis as que são medidas pela mesma medida, e
incomensuráveis, aquelas das quais nenhuma medida comum é possível produzir-se.
2) Retas são comensuráveis em potência, quando os quadrados sobre elas sejam
medidos pela mesma área, e incomensuráveis, quando para os quadrados sobre elas
nenhuma área comum seja possível produzir-se.
3) Sendo supostas essas coisas, é provado que existem realmente retas ilimitadas em
quantidade, tanto comensuráveis quanto também incomensuráveis com a reta
73
proposta, umas somente em comprimento e em potência quer em potências somente,
racionais, e, por outro lado, as incomensuráveis com essa sejam chamadas
irracionais.
4) E, por um lado, o quadrado sobre a reta proposta, racional, e os comensuráveis
com esse, racionais, e, por outro lado, os incomensuráveis com esse sejam chamados
irracionais, e as que servem para produzi-los, irracionais, se forem quadrados, os
próprios lados, ao passo que se alguma outra retilínea, as que descrevem quadrados
iguais a elas.
Para Euclides (2009, p. 360), as magnitudes incomensuráveis não têm entre si uma
razão que um número para um número. Mas, caso duas magnitudes não tenham entre si uma
razão que um número para um número, as magnitudes serão incomensuráveis. Ele explica
melhor isso ao frisar que sejam as magnitudes incomensuráveis “A,B: digo que a A não tem
para a B uma razão que um número, para um número. Isso, porque se forem comensuráveis, a
A terá para a B uma razão que um número, para um número. E não tem, portanto, as
magnitudes A, B são comensuráveis”. O que entendemos como esclarecimento maior é que:
Os quadrados sobre as retas comensuráveis em comprimento têm entre si uma razão
que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que têm entre
si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, também terão os
lados comensuráveis em comprimento. E os quadrados sobre as retas
incomensuráveis em comprimento não têm entre si uma razão que um número
quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que não têm entre si uma razão
que um número quadrado, para um número quadrado, nem terão os lados
comensuráveis em comprimento (EUCLIDES, 2009, p. 361).
No que se trata de seção áurea, encontramos no livro VI, de Euclides (2009, p. 231),
entre outras definições, a que enfatiza: “[...] uma reta é dita estar cortada em extrema e média
razão, quando como a toda (a reta) esteja para o maior segmento, assim o maior para o
menor”. Mas é nas afirmações referentes a um cortar de uma reta finita dada em extrema e
média razão que o autor explica:
 Seja a reta finita AB; é preciso, então, cortar a reta AB em extrema e média
razão.
 Fique descrito sobre a AB o quadrado BC, e fique aplicado AC o paralelogramo
CD igual ao BC, excedente pela figura AD semelhante ao BC.

Mas o BC é um quadrado: portanto, também a AD é um quadrado. E, como o
BC é igual ao CD, fique subtraído o CE comum; portanto, o BF restante é igual a
AD restante. Mas também é equiângulo com ela. Portanto, os lados, á volta dos
ângulos iguais, dos BF, AD são inversamente proporcionais; portanto, como a FE
está para a ED, assim a AE para a EB. Mas, por um lado, a FE é igual a AB, e, por
outro lado a ED, a AE. Portanto, como a BA está para a AE, assim a AE para EB.
Mas a AB é maior do que a AE; portanto, também a AE é maior do que a EB.
 Portanto, a reta AB foi cortada em extrema e média razão no E, e o maior
segmento dela é o AE; o que era preciso fazer (EUCLIDES, 2009, p.263).
74
Então, é desse modo que Euclides, no seu livro Os elementos, apresenta a seção
áurea de maneira geométrica.
Outro exemplo similar para a resolução geométrica desta proporção é o seguinte:
Dado o segmento AB, constrói-se o quadrado ABA'B'; constrói-se M, como o ponto médio de
AA'. Prolonga-se o segmento AA' e constrói-se a circunferência de centro M e raio MB',
acha-se o ponto C de interseção da circunferência com a semirreta AA'; constrói-se o
quadrado de lado A'C. O prolongamento do lado DD' determina o ponto X em AB que
seciona o segmento na razão desejada, como podemos visualizar na Figura 20.
Figura 20 – Representação do retângulo áureo
Fonte: Arquivo da pesquisadora
Nesse caso, a construção da seção áurea pode ser explicada igual à resolução de uma
equação quadrática. Para isso, é preciso considerar que AB = a e AC = x. Então, pela
propriedade da seção áurea a/x = x/a-x, multiplicando meios e extremos temos a equação x² =
a² - a x, cujo resultado é:
Um dado a ser considerado na resolução dessa equação quadrática, cujo resultado é
√5 – 1/2 é que provavelmente os pitagóricos tenham utilizado um processo geométrico para
chegar a essa descoberta.
Geometricamente a seção áurea pode ser construída a partir de vários métodos ou
técnicas, no entanto, neste estudo, o destaque se constituirá sobre o método da construção do
retângulo áureo (Figura 21).
75
Figura 21 – Construção de retângulo áureo
Fonte: Boussora; Mazouoz (2004)
Para realizar a construção do retângulo áureo, Boussora; Mazouoz (2004)
recomendam: draw a square having AB as a side; divide AB in half; draw a diagonal from the
middle of the side AB to the opposite corner; swing this diagonal till it cuts the line AB at C.
Os autores acrescentam: “The golden rectangle generated will have AC as its length;
its width will be equal to AB. Following the same method, a golden section progression will
be obtained across the entire line AB. We will then have: AC : AB :: AB : BC :: BC :CD:: BD:
BC :: Φ” (BOUSSORA; MAZOUOZ 2004, p. 11).
As representações geométricas apresentadas nessa subseção confirmam que a seção
áurea com razão no Φ estão presentes na obra Os elementos de Euclides.
Veremos, na subseção seguinte, algumas considerações relacionadas ao estudo de
uma matemática que envolve a arquitetura de Andrea Palladio no seu tratado.
3.4 A MATEMÁTICA NA OBRA OS QUATRO LIVROS DE ARQUITETURA
Relembramos que será na obra de Palladio, publicada em Veneza, no ano de 1570,
intitulada Os Quatro Livros da Arquitetura, que iremos mostrar algumas plantas de Palladio.
Primeiramente, apresentaremos trechos dos quatros livros (Figura 22) que, no nosso
entendimento, tratam de definições, influências artísticas, filosóficas e matemáticas
registradas por Palladio que estão relacionadas a uma proporção, quer sejam implícitas ou
explícitas na opção de sua escolha para projetar seus desenhos como arquiteto renascentista,
no decorrer do seu século XVI. Posteriormente, traremos das plantas das Villas, casas
privadas e públicas desenhadas por Palladio.
76
Figura 22 – Os Quatro Livros da Arquitetura
Fonte: Palladio, 1997
No Livro I do seu tratado, Palladio inicia dizendo que se dedicou à arquitetura por
querer entender a arquitetura dos antigos romanos e, para isso, opta por Vitrúvio (viveu
aproximadamente no século I a.C) para ser o seu mestre e guia. Para estudar a arquitetura
romana do tempo de Vitrúvio, Palladio o faz medindo detalhadamente cada parte das
construções antigas com muita dedicação. É o próprio Palladio (1997, p.5) quem diz:
I set myself the task of investigating the remains of the ancient building that have
survived despite the ravages of time and the cruelty of the barbarians, and finding
them much worthier of study than I had first thought, I began to measure all their
parts minutely and the greatest care. I became so assiduous an investigator of such
things that, being unable to find anything that was not made with fine judgment and
beautiful proportions, I repeatedly visited various parts of Italy and abroad in order
to understand the totality of buildings from their parts and commit them to drawings.
De fato, pela citação, é visível a preocupação de Palladio em seus estudos para
entender a perfeição e beleza nas construções romanas de arquitetos antigos. Para adquirir
mais conhecimentos, ressalta que: “[…] accordingly, seeing how different the usual manner
of building is from the things that I had observed in those strutures and had read about in
Vitruvius and Leon Battista Alberti and the other excellent writer’s who came after Vitruvius”
(PALLADIO, 1997, p. 5).
77
Na parte em que Palladio apresenta as loggias, as entradas, halls e as formas das
salas, esclarece que os quartos devem ser divididos de um lado e outro da entrada e do hall,
observando que os da parte direita sejam iguais e correspondam aos da esquerda. Para
Palladio (1997, p. 57),
There are seven types of room that are the most beautiful and well proportioned and
turn out better: they can be made circular (ritondo), though these are rare; or square
(quadrate); or their length will equal the diagonal of the square quadrato) of the
breadth; or a square quadro) and a third; or a square and a half; or a square and twothirds; or two squares.
Na definição das salas preferidas de Palladio, encontramos a advertência do autor de
que elas exigem uma proporcionalidade, até porque será desse modo que serão belas.
Palladio, ao ensinar os ornamentos da arquitetura usando as cinco ordens (Toscana,
Dórica, Jônica, Corínthia e Compósita), diz no seu tratado como deve ser feito, mas adverte
para aqueles que vão usá-las para os abusos. Os ensinamentos de Palladio (1997, p. 51) foram
baseados em suas observações nas quais ele contestou os abusos feitos pelos Bárbaros, por
isso, esclarece: “So the experts in this art may guard against them in their works and
recognize them in those of others, I assert therefore that, since architecture imitates nature (as
do all the other arts), it cannot endure anything that alienates and distances it from what nature
herself permits”.
A arquitetura da época de Palladio estava envolvida em movimento renascentista,
que nada mais era do que uma volta à arquitetura romana de Vitrúvio e os ideais da
arquitetura dos gregos antigos. Assim, ele usa as colunas greco-romanas em suas edificações e
projetos.
Na verdade, era uma das características da arquitetura renascentista retornar ao
passado clássico com um olhar à evidente herança greco-romana e recuperando os tratados
antigos, como os do romano na pessoa de Vitrúvio. Existia uma busca por uma proporção
ideal, davam-se destaques para ordens clássicas (dórica, jônica, toscana, coríntia e compósita),
além do uso constante de colunas, frontão triangular, arco, abóbadas e cúpulas.
Há afirmações de que a arquitetura do renascimento talvez procurasse sobrevalorizar
a razão das suas estruturas com embasamento na matemática dos gregos antigos. Através da
Figura 23, mostraremos algumas ordens à Grécia Antiga.
78
Figura 23 – Ordens gregas (dórica - jônica e coríntia)
Fonte: Koch (2008)
Ao dedicarmos a leitura nos Quatro Livros de Arquitetura, percebemos que existe no
arquiteto Andrea Palladio uma preocupação que consideramos importante indicar o local das
villas, ou seja, ele explica qual o melhor lugar para a escolha própria para as construções das
suas villas. Elas eram casas feitas para cavalheiros, com a finalidade de que eles pudessem,
sem muito esforço, apreciar e aproveitar do melhor de tudo que estivessem a sua volta,
principalmente no verão. Segundo Palladio, caberia ao arquiteto investigar e pesquisar lugares
cômodos para serem construídas as villas, sendo que elas poderiam ser edificadas sobre os
rios ou perto delas.
Palladio (1997, p. 56), em seu tratado, dá muitos conselhos para as construções das
villas. Entre tantos outros conselhos para essas construções, destacamos:
When it is essential to build on a Hill, one must select a site that faces a temperate
region of the sky and does not lie continually in the shade of the larger hills; nor
should it suffer the of two suns, as it were, because the Sun constantly bounces off
some rocky outcrop nearby, sine in either case it Will be dismal to live there.
Finally when choosing the site for the building on the estate one must bear in mind
all those considerations that relate to selecting a site in the city, because the city is
79
nothing more or less than some great house and, contrariwise, the house is a small
city.
Chama-nos atenção a parte em que Palladio reporta-se à ideia de cidade e casa
grande, tendo em vista o autor ir ao encontro do pensar platônico existente em A República e
do Timeu, de Platão. Para nós, fica o recado de um macrocosmo e o microcosmo presentes no
estudo cosmológico de Platão.
No livro II, Palladio, ao apresentar seus desenhos, deixa bem claro que uma das suas
maiores preocupação foram com o uso correto das proporções nas salas, halls, loggias,
quartos e colocação das colunas e pilastras. Como exemplo dessa afirmação, apresentamos as
recomendações feitas por Palladio, na encomenda de uma construção do Conde Lodovico, na
qual o próprio diz: “I have made the following project for their site in Vicenza, in which the
house would have had a square entrance divided into three spaces by Corinthian columns so
that the vault would have been very strong an in proportion (PALLADIO, 1997, p. 151).
No caso dos projetos arquitetônicos de Palladio, sabemos que ele, no segundo livro
do seu tratado, fez as representações dos edifícios através de plantas e de fachadas. Bruno
Zevi (1997) adverte que o método de representação dos edifícios que encontramos na maioria
das histórias de arte e da arquitetura serve-se de plantas, alçados e fendidos ou secções e
fotos. E os explicam definindo:
a) AS PLANTAS. São uma coisa abstracta porque estão completamente fora de
todas as concretas experiências visuais de um edifício. Não obstante, a planta é
ainda o único meio com que podemos julgar a estrutura completa de uma obra
arquitectônica: Todos os arquitetos sabem que a planta é um elemento que, se não
for suficiente, tem uma acentuada proeminência na determinação do valor artístico.
b) AS FACHADAS. O raciocínio que se seguiu em relação às plantas repete-se,
simplificado, para a representação dos alçados. No fundo trata-se aqui de reproduzir
um objecto que tem duas ou, no máximo, três dimensões.
c) AS FOTOS. Resolvendo em grande parte os problemas da representação a três
dimensões, e por isso os problemas da pintura e da escultura, a foto cumpre a
importante missão de reproduzir fielmente tudo o que existe de bidimensional e
tridimensional na arquitectura, quer dizer, o edifício completo menos a sua essência
espacial (ZEVI, 1977, p. 80).
O autor discute cada representação dos edifícios. Nesse sentido, trazemos algumas
plantas do livro II de Palladio (Figura 24), representadas por meio de plantas e fachadas.
80
Figura 24 – Plantas e fachadas das construções dos Srs. Valério Chiericati e Giovanni
Francesco Valmara
Fonte: Palladio (1997, p. 83-137).
Por último queremos trazer à tona uma importante informação de Palladio para as
construções dos templos e igrejas. Ela vai ao encontro do pensamento do arquiteto Vitrúvio e
filosófico de Platão oriundo do Timeu. Destacaremos o quarto livro, quando Palladio (1997, p.
213) posiciona-se: “If any building have effort and labor expended on it, so that it is laid out
with beautiful dimensions and proportions, then, doubtless, this should be done for temples in
which the creator and Giver of all things, God, Master of the Universe”.
É o que pensa Palladio sobre a relação entre as grandes construções e o grande
criador do universo. A prova disso são suas edificações como mostra a Figura 25.
81
Figura 25 – Planta e fachada da construção do Senhor Giulio
Capra
Fonte: Palladio (1997, p. 97).
Palladio concretiza ainda mais sua formação e prática de arquiteto renascentista ao
posicionar-se perante o pensamento de um mundo macrocosmo ligado a Deus ao proferir:
Indeed, if we consider what a wondrous creation [machine] the world is, the
marvelous embellishments with which it is filled, and how the heavens change the
seasons of the world by their continuous revolutions according to the demands of
nature and how they maintain themselves by the sweetest harmony of their measured
movements, we cannot doubt that, since these small temples which we build must be
similar to this vast one which He, with boundless generosity, perfected with but a
word of command, we are bound to include in them all the embellishments we can,
and build them in such a way and with such proportions tat together all the parts
convey to the eyes of onlookers a sweet harmony and each church fulfills properly
the use for which it is intended (PALLADIO, 1997, p. 213).
Na visão de Palladio, o mundo é bela criação harmônica e proporcional, fruto da
criação de Deus, e ao arquiteto caberá imitá-la nas proporções e belezas, principalmente nos
templos e nas igrejas. Baseado nessas ideias, acreditamos que Palladio projetou cada uma de
suas inúmeras encomendas, seja ela pública ou privada.
82
Na próxima subseção, apresentaremos as explicações matemática de Rachel Fletcher
sobre o uso da seção áurea na Villa Emo.
3.5 SEÇÃO ÁUREA NA VILLA EMO: TESE DE RACHEL FLETCHER
Debater a presença da seção áurea na Villa Emo (Figura 26), do arquiteto Andrea
Palladio, localizada em Fanzolo, ao Norte da Itália, será nossa estratégia como forma de
apresentar os esclarecimentos feitos pela pesquisadora americana, Rachel Fletcher. Assim, de
acordo com os estudos da autora, seus esclarecimentos serão tratados, tanto no projeto de
Andrea Palladio, publicado em 1570, na obra Os Quatro livros de Arquitetura, quanto na
edificação de como está hoje na Itália, na região do Veneto.
Figura 26 – Planta e fachada da Villa Emo
Fonte: Palladio (1997, p. 133).
É válido salientar que, os argumentos feitos por Rachel Fletcher elucidam o uso da
seção áurea nessa Villa projetada no século XVI. Tais argumentos que iremos explicar estão
nos artigos de Fletcher (2000, 2001). Nosso intuito é mostrar os principais argumentos
apresentados pela pesquisadora na defesa de que Andrea Palladio usou seção áurea na Villa
Emo.
Nesse sentido, observamos que Rachel Fletcher (2001, p. 105), na formulação de sua
hipótese, toma como ponto central para sua defesa que “The extreme and mean ratio is not
83
observed in the Emo plan as it was published. But the Villa Palladio described in that
publication is not the villa he built and that survives today”.
Embora Fletcher saiba que existem estudiosos como Leonel March (2001) que
refutam sua tese, a mesma não se dá por convencida que Palladio não tenha se utilizado da
seção áurea na Villa Emo. Fato que leva a autora a considerar:
According to conventional wisdom, the Villa Emo at Fanzolo could never have been
based on Golden proportions. I could not believe this myself—not, that is, until I
saw the entire mathematical scheme for Palladio’s elegant Renaissance buildings,
which sit on a flat, fertile plain in Treviso, in northern Italy (FLETCHER, 2001, p.
105).
Essa é a opinião formada por Rachel Fletccher, após ter visto o perfeito edifício da
Villa Emo erguido na Itália. Ela se impressiona com o esquema matemático presente nele e,
dessa maneira, constata-se convencida de que há seção áurea.
Historicamente a seção áurea teve essa denominação no século IX, e a construção da
Villa Emo deu-se nos anos de 1550, no período renascentista. Fato que levanta suspeita de
que Palladio não usou seção áurea e, sim, teoria musical. Em cima dessa suspeita, Fletcher
constrói um dos seus mais fortes argumentos, ao afirmar que: “[...] but the villa Palladio
described in that publication is not the villa he built and that survives today” (FLETCHER,
2001, p. 105).
Para chegarmos às explicações de seção áurea de Fletcher, encontramos nos seus
textos versões de pesquisadores sobre as medidas usadas e medidas publicadas que levaram
estudiosos a crerem que há uma discrepância nelas. Mas, que mesmo assim, crer “fortunately,
a more definitive survey was performed in 1967 by the architects Mario Zocconi and Andrzej
Pereswiet Soltan for the Centro Internazionale di Studi di Architettura “Andrea Palladio”
(CISA)” (FLETCHER, 2001, p. 105).
Fletcher (2000) nos dá explicações sobre as medidas que muito nos interessa saber a
respeito da harmonia nos números empregados por Palladio. Conta-nos que o senso de
harmonia de Palladio para projetar a Villas rurais mistura-se com as regras vitruvianas.
Será sobre as medidas de comprimento apresentadas a seguir (Figura 27), no projeto
de Palladio, que Fletcher (2000, p.75) elaborou seus argumentos em defesa do uso da seção
áurea na Villa Emo. Para tanto, diz que: “measuring the rooms of the central block in
vicentine feet, Palladio used a 27-foot square for the central hall, whith additional rooms of
84
12x 16, 12x 27, 16x16, and 16x27, framing the hall and the portico 16x27”. Acrescenta:
“meanwhile, various chambergs in the wings include measures of12, 24, and 48”.
Figura 27 – Detalhe do bloco central da Villa Emo de Palladio
Fonte: Fletcher (2000),
Para Fletcher (2001), durante a Renascença, Alberti, revivendo as antigas teorias de
Vitrúvio, de Platão e de Pitágoras, traduziu estes números de consonância musical. As razões
tornaram-se regras arquitetônicas para orquestrar umas medidas individuais das construções e
harmonizar as partes com o todo. Fato o qual a pesquisadora resume:
In the hands of an artist like Palaldio, Alberti’s system of harmonic mean
proportions relates not merely to individual rooms, but to the complex as a whole.
As Alberti teaches it, the chambers in the Villa Emo that measure 16 x 27 can be
viewed as a compound of simples harmonic ratios when the mean proportional term
of 24 is placed between the numbers 16 and 27. Hence, the 16 x 27 room becomes
the progression 16:24:27 na músic [...] (FLETCHER, 2001, p. 75)
Essa é, então, a admissão da autora, em concordar que isto se traduz como um quinto
(16:24 ou 2:3) e um tom maior (24:27 ou 8:9). O quarto 12 x 27 é lido como 12:24:27, ou
uma oitava (12:24 ou 1:2) e o tom maior (24:27 ou 8:9). Enquanto isso, as dimensões de
12:24 nas alas são equivalentes a duas oitavas musicais (12:24 e 24:28 ou 1:2).
Sobre a planta de Palladio e a planta realizada por Ottavio Bertotti Scamozzi,
Fletcher (2001, p. 105) justifica que “the discrepancy between the two versions was known as
early as the 1770s”. Afirma que aquele reconciliou inúmeras inconsistências, por isso a
mesma define-se como mensurações mais acuradas à planta feita pelos arquitetos Mario
Zocconi and Andrzej Pereswiet Soltan, pesquisada em 1967 através do Centro Internazionale
di Studi di Architettura “Andrea Palladio (CISA).
85
Na prática, as plantas de Andrea Palladio e dos dois arquitetos, Mario Zocconi and
Andrzej Pereswiet Soltan, servem para Fletcher fazer comparações ente o construído e o
publicado. Lembramos que o publicado para Fletcher é o projeto tal qual se encontra – Projeto
e elevação da fachada da Villa Emo projetado por Andrea Palladio, 1570, no Livro II, dos
Quatro Livros de Arquitetura.
Sobre as medidas das plantas, a autora dá certificado que o comprimento e largura
total estão de acordo como um pé vicentino que corresponde a 34,75 centímetros, ou seja: (1
pé vicentino = 34, 75 cm).
Nesse sentido, Fletcher (2001, p. 107) pontua que as medidas apresentadas de acordo
com a CISA são: “survey, total length and total width are 20.56 meters and 22.35 meters,
respectively. Therefore, the ratio of length to width is 20.56:22.35, or 1:1.087. A subtle
difference from the 1:1.067 ratio of the published plan, but one that may be viewed at a
glance”. Segundo a autora, essas informações são necessárias, pois elas objetivam esclarecer
comparações entre as duas plantas, utilizando o metro como unidade-padrão.
Fletcher (2001) argumenta que Palladio pode muito bem ter usado a seção áurea ou a
extrema e média razão no design da Villa Emo em Fanzolo. Admite que seja verdade que a
divisão extrema e média não está entre as razões de Palladio para as formas dos quartos. Mas
estes chamam a atenção para os quartos individuais, não da planta como um todo, nem dos
quartos como eles são relacionados um com o outro. Diz ainda que a beleza da razão existente
na Villa Emo é que vai distinguir a planta como um todo e persiste através de cada nível da
subdivisão. A “proporção” é definida, convencionalmente, como a relação das partes umas
com as outras e ao todo maior. Enfim, é convicta de que seria difícil encontrar um exemplo
melhor.
Se partirmos da discussão do uso da seção áurea nos templos antigos, como o
Parthenon, construído na Grécia Antiga pelo arquiteto Fídias ou Fidias, estudiosos afirmam
que no frontão desse templo é possível usar o método do retângulo áureo. Mas, se ainda
quisermos trazer mais veracidade para esse debate, é válido consultarmos os trabalhos de
Vitrúvio, até porque é este que, no seu Tratado, apresenta construção e conselhos sobre os
templos.
A seguir, trataremos de apresentar explicações acerca do esquema geométrico de
Fletcher no bloco central da Villa Emo.
86
3.5.1 Esquema geométrico de Fletcher na Villa Emo
São no bloco central da Villa Emo e Fachada que Fletcher constrói geometricamente
os seus argumentos matemáticos para afirmar que Palladio usou seção áurea. No entanto,
nessa subseção decidimos trazer apenas duas representações geométricas sobre o bloco
central.
Para essa primeira representação geométrica, abordaremos a Figura 4, apresentada no
artigo The Golden Proportions in a great House Palladio’s VillaEmo (FLETCHER, 2000, p.
79). Nela, a autora apenas afirma que o plano do bloco central da Villa Emo não é
perfeitamente quadrado, mas está proporcional a um círculo inscrito por dois quadrados
pequenos. Como ela construiu, não está explícito. Todavia, faremos sua construção por etapas
até chegar ao desenho que, para nós, corresponde à Figura 28.
Figura 28 – Representação geométrica da Figura 4 de Fletcher
Fonte: Fletcher (2001)
Assim, uma aproximação explicativa que temos para o esquema geométrico da Villa
Emo-Fanzolo, feito por Raquel Fletcher (2001), conforme a Figura 27, pode ser construída
seguindo-se as etapas:
i) Inicialmente traça-se uma reta a e logo após marcam-se dois pontos A e B sobre
essa reta;
87
ii) O próximo passo é traçar duas retas distintas perpendiculares a reta a, passando
pelos pontos A, C e B, D;
iii) Com centro em A, traça-se uma circunferência que tangencia a reta c no ponto B.
d é a circunferência;
88
iv) Traça-se uma reta tangente passando pelo ponto C;
v) Marca-se o ponto médio do segmento
ponto médio ao ponto D;
e logo após traça o segmento de reta do
89
vi) Traça-se uma circunferência com centro em M, passando pelos pontos C, D, E e
F;
vii) Traça-se uma reta paralela a b e a c passando por M, e, depois, deve ser traçada
uma reta tangente à circunferência g passando pelos pontos E e F, posteriormente
traçam-se as diagonais principais e secundárias dos retângulos de lados A, B, C e D;
A, B, F, e E;
90
viii) Traçam-se duas retas paralelas a b, c e i tangenciando a circunferência g nos
pontos G e H;
ix) Apaga-se a circunferência d e o segmento f. Marcam-se os pontos I, J, L e K nos
vértices do retângulo maior, posteriormente traçam-se dois segmentos de retas
partindo do ponto M aos pontos marcados anteriormente;
91
x) Desconsiderando a circunferência e as retas, no desenho seguinte, volta-se à
Figura 4, apresentada no trabalho de Fletcher (2001), que, neste trabalho,
corresponde à Figura 27.
Ainda no bloco central, Fletcher (2000, p. 79) mostra, no artigo The Golden
Proportions in a great House palladio’s Villa Emo, um esquema geométrico (Figura 5) para
provar que Palladio usou seção áurea nas salas da Villa. Neste estudo, a referida representação
geométrica corresponde à Figura 29.
Figura 29 – Representação geométrica da Figura 5 de Fletcher
Fonte: Fletcher (2000)
92
A preposição de Rachel Fletcher (2000, p. 79) sobre a representação geométrica da
Figura 5 é que a dimensão da Villa Emo está em uma razão áurea, e restringe-se a informar
que “a golden rectangle into a square anda smaller golden rectangle is evident”.
Com isso, cremos que o esquema geométrico da Villa Emo-Fanzolo, feito por
Fletcher (2000), carece de mais explicações; é o que faremos a seguir:
i) Inicialmente repetem-se os mesmos passos da representação anterior até
configurar-se em quadrados duplos;
ii) O próximo passo é traçar sobre os dois quadrados centrais maiores do desenho as
suas duas diagonais, passando pelo seu ponto médio;
iii)Com a ponta seca do compasso, centra-se no ponto médio do quadrado maior
superior do lado direito e esquerdo e sob esse ponto médio encontrado na figura
anterior, projete sua diagonal até o próximo segmento de reta e transforme em
retângulos áureos;
iv) Por fim, traçam-se as diagonais dos quadrados menores do lado direito e
esquerdo;
v) Marca-se o ponto médio do segmento dois quadrados menores e logo após faz a
projeção dessas diagonais até o próximo segmento de reta formando com ela
retângulos áureos, como mostra a Figura 30.
Figura 30 – Desenho explicativo final da Figura 5 (FLETCHER, 2000)
Fonte: Arquivo da pesquisadora
93
Para finalizarmos essa exposição com possíveis formas do uso da seção áurea
apresentada por Fletcher (2000), é visto que a autora utiliza-se do Φ como unidade padrão de
medidas nas dimensões das salas da planta da Villa Emo, em sobreposição, como dizemos
inicialmente, as dos arquitetos Mario Zocconi e Andrzej Pereswiet Soltan, que fizeram em
1967, por encomenda a CISA.
3.6 RÉGUA E COMPASSO NA VILLA EMO
Nesta subseção, levantaremos hipóteses a partir do desenho arquitetônico da Villa
Emo de Andrea Palladio (1508-1580), apresentado em seu livro Os quatros livros de
arquitetura de Andrea Palladio, como também explicaremos os motivos da unidade Φ não
poder ser considerada como unidade padrão, por não comportar sua planta.
Lembramos que Rachel Fletcher defendeu a tese da presença da seção áurea na Villa
Emo, utilizando a unidade Φ na planta da referida vila, desenhada não por Palladio, mas em
desenho realizada por pesquisas mais recentes da Villa Emo, datadas em 1967, como as dos
arquitetos Mario Zocconi and Andrzej Pereswiet Soltan, encomendadas pelo Centro
Internazionale di Studi di Architettura “Andrea Palladio” (CISA).
Fletcher constrói vários argumentos em prol do uso da seção áurea, entre eles está a
ideia de que a construção erguida difere do projeto exposto por Palladio no seu Tratado
(1570). Para tanto, Fletcher publica resultados dos seus estudos da seção áurea na Villa Emo
no artigo Proportions in a Great House: Palladio’s Villa Emo, no ano de 2000 e no artigo
Palladio’s Villa Emo:The Golden Proportion Hypothesis Defended, de 2001.
Sobre a localização e o proprietário da Vila Emo, Palladio (1997, p. 133) ressalta que
a mesma situa-se “[...] at Fanzolo, na estate in the Trevigiano three Miles from Castefranco, is
the building placed below belonging to the magnificente Signor Leonardo Emo”. Nesse
sentido, é importante salientar que a Villa Emo, como apresenta Palladio no seu quarto livro,
capítulo XIV, é uma grande casa com características apropriadas do período renascentista.
Assim, como já foi citada, a Villa Emo situa-se em Fanzolo, ao norte a Itália, e
pertenceu há décadas à família Emo. Para Marton (2004, p. 164), “a construção da Villa Emo,
constitui o ponto culminante de um longo esforço da família Emo no cultivo dos terrenos
onde se construiu a Villa”. O citado autor menciona que foi Leonardo di Giovanni quem
adquiriu, da família Barbarigo, a propriedade e nela já constava de uma casa senhorial. Então,
94
só depois de duas gerações, a propriedade vai pertencer a Leonardo di Alvise Emo, e este fez
encomenda de sua construção a Andrea Palladio.
Contudo, a história de construção da Villa Emo é um pouco incerta, pois alguns
pesquisadores, como Marton (2004), admitem que suas obras iniciaram-se em 1555 e foram
concluídas em 1556, mas, para Fletcher (2000), a Villa Emo foi construída nos anos de 1550.
Palladio (1997, p. 133), ao detalhar no seu tratado algumas características da Villa
Emo, vila essa rural e não urbana, pontua que nela existe “the cellars, granaries, stables, and
other farm buildings are on either side of the owner’s house, and at the ends there are
dovecots that are useful for the owner and add beauty to the place”.
Sobre as villas rurais de Palladio, ressalvamos que elas surgiram no momento em que
a própria Itália necessitava de mudança econômica por Veneza ter perdido força comercial
com os três acontecimentos históricos: o descobrimento das Américas por Colombo em 1492;
a descoberta de uma nova rota marítima para Oriente por Vasco da Gama em 1497; e a
Tomada de Constantinopla pelos Turcos em 1543.
Até o século XV, Veneza era uma grande potência mundial, mas, com os
acontecimentos citados anteriormente, perdeu sua força comercial e econômica para o novo
mundo. Desse modo, os senhores mercadores de Veneza perceberam que poderiam expandir
seu comércio para o cultivo da agricultura com plantio de milho recém-chegado das
Américas. Assim, os nobres mercadores de Veneza passaram a investir em toda Itália em
terras firmes cultiváveis longe das grandes cidades, ação que faz surgir as casas de campo,
onde seus proprietários aproveitavam para ter uma vida mais prazerosa e saudável, longe do
agito dos grandes centros comerciais.
Neste contexto, surge Andrea Palladio, arquiteto com formação vitruviana, com a sua
reelaboração da arquitetura antiga greco-romana, e projeta as vilas rurais. Nelas, Palladio
criou sob seus projetos elementos arquitetônicos, tais como: pórtico com frontão, loggias e
colunatas dos templos antigos. Ele também aplica nos desenhos das vilas uma simetria nos
dois lados das vilas rurais – alas laterais - um bloco central e salas e quartos feitos em
proporção harmônica.
No caso específico da Villa Emo, Palladio (1997, p. 133) diz que para proporcionar
prazer e comodidade ao seu proprietário Leonardo Emo, projetou “[...] behind this building is
a square garden of eighty campi trevigiani, through the middle of which runs a stream that
makes the site very pretty and delightful. It was decorated with paintings by Master Battista
Veneziano.
95
A conjectura que fazemos foi que Andrea Palladio, ao elaborar os esboços da Villa
Emo, representadas em sua obra nas Figuras I a IV, escolheu Φ como unidade de medida e
escala Φ: 27. Nos seus esboços ele procurou seguir alguns passos, tais como:
1º Passo: Constrói-se um quadrado qualquer, cujo lado seja igual a Φ²;
2º Passo: De posse do quadrado (Φ²), desenham-se dois retângulos, por meio do seu
ponto médio; rebate-se suas diagonais encontrando-se Φ como lado menor dos
retângulos;
3º Passo: Sob esses retângulos de lado Φ, definem-se dois quadrados e dois
retângulos menores;
96
4º Passo: Nos quadrados, constroem-se retângulos áureos;
5º Passo: Tomando o último retângulo como lado menor 1, forma-se um quadrado de
lado Φ, fazendo com que Φ² = Φ + 1;
6º Passo: Considerando-se que no esboço há retângulos simétricos com lados Φ² e Φ,
traçam-se os segmentos de reta comprovando-se que o quadrado inicial da figura
97
pode ser rebatido simetricamente pelos segmentos construídos, resultando em Φ³ =
Φ² + Φ.
Com base no estudo investigatório, realizado nas seções dois e três, elaboramos uma
sequência de atividades (Apêndices A, B, C, D) para abordar os conceitos de seção áurea,
incomensurabilidade, irracionalidade, tendo em vista o desenvolvimento de habilidades
relacionadas ao raciocínio lógico e investigativo dos alunos e à demonstração matemática.
De acordo com as considerações apresentadas nas seções anteriores, planejamos
didaticamente a sequência com quatro atividades: Os Números e a Matemática; Seção Áurea;
A Matemática e a Arquitetura na Villa Emo de Andrea Palladio; Redução ao Absurdo
(Apêndices A, B, C e D).
Na próxima seção, abordaremos como foi elaborada a sequência de atividades, bem
como o percurso metodológico da pesquisa realizada em sala de aula, com duas turmas de
licenciatura, uma de Pedagogia e outra de Matemática.
98
4 ARQUITETURA DA PESQUISA
Para atender à exigência de uma tese científica, nossa pesquisa precisava respaldar-se
em abordagens teórico-metodológicas que fossem apropriadas para esclarecer questões de
nosso estudo investigativo, isso tanto em relação aos atores da pesquisa quanto às análises dos
dados coletados durante o trabalho de campo. Para Eco (2010, p. 5), elaborar uma tese
significa, pois, “aprender a pôr ordem nas próprias ideias e ordenar os dados: é uma
experiência de trabalho metódico; quer dizer, construir um objeto que, no princípio, possa
também servir aos outros”.
Nesse caso, optamos pela abordagem na pesquisa quali-quantitativa. Strauss e Corbin
(2008, p. 45) informam-nos que “as formas de pesquisa qualitativa e quantitativa têm seus
papéis a desempenhar na teorização. A questão não é usar uma forma ou outra, mas, sim,
como essas formas devem trabalhar juntas para promover o desenvolvimento da teoria”.
A abordagem qualitativa pode ser entendida como “qualquer tipo de pesquisa que
produza resultados não alcançados através de procedimentos estatísticos ou de outros meios
de quantificação” (STRAUSS; CORBIN, 2008, p. 23). Os autores dizem que pode se fazer
referência à pesquisa sobre a vida das pessoas, às experiências vividas, aos comportamentos,
às emoções e aos sentimentos, e, também, à pesquisa sobre funcionamento organizacional,
movimentos sociais, fenômenos culturais e interação entre nações.
Para Strauss e Corbin (2008), há nesse tipo de pesquisa basicamente três
componentes principais: 1) os dados são possivelmente abstraídos das entrevistas,
observações, documentos, registros e filmes; 2) os procedimentos podem ser usados pelos
pesquisadores para interpretar e organizar os dados. Consistem de conceituar e reduzir os
dados, elaborar categorias em termos de suas propriedades e dimensões, para que possa ser
relacionado através de uma série de declarações preposicionais; 3) os relatórios escritos e
verbais que podem ser apresentados como artigos ou em livros.
Por ser uma pesquisa que abrange a educação Matemática, ela envolverá alguns
métodos experimentais tradicionais de pesquisa desse campo, que segundo Fossa (1998, p.
46), pode ser “pré-teste, pós-teste, intervenção, com um número maior ou menor de inovações
para assegurar a legitimidade e segurança – são quase experimentos e, desse modo, também
fazem parte do paradigma experimental”.
99
4.1 O CAMPO DA PESQUISA
Antes de discorrer sobre o campo da pesquisa - uma instituição de Ensino Superior,
localizada em Natal, capital do estado do Rio Grande do Norte -, consideramos pertinente
mencionar alguns aspectos relativos a essa cidade para melhor compreensão do percurso de
formação dos alunos.
Geograficamente Natal está situada na mesorregião do Leste Potiguar, limitando-se
ao Norte com a cidade de Extremoz; ao sul com a cidade de Parnamirim; ao leste com o
oceano Atlântico e ao oeste com as cidades de Macaíba e São Gonçalo do Amarante.
Segundo dados do IBGE2, Natal tem uma população de 803.739 habitantes. Sua área
de unidade territorial é de 167.160 km², sendo a sua densidade demográfica de 4.808,2
hab./km².
Para alguns historiadores, Natal era um povoado chamado de Cidade dos Reis e, com
o decorrer dos anos, passou a chamar-se Cidade do Natal. De 1633 a 1654, por força do
domínio holandês, a cidade do Natal chegou a ser chamada de Nova Amsterdã. Foi a partir de
1922 que a cidade começou a se desenvolver em ritmo mais acelerado. Com a Segunda
Guerra Mundial, houve um crescimento e uma evolução ainda maior da cidade, devido a
grande presença de militares americanos, isso por ter uma posição geográfica estratégica no
litoral do Nordeste.
Atualmente, Natal é uma cidade que sobrevive com uma economia do turismo local,
com suas belas praias e vasta culinária, além de outros serviços como: comércio, agricultura e
pesca, gerados ou produzidos na Grande Natal pelos municípios de Ceará-Mirim, Parnamirim,
São Gonçalo e Macaíba.
Quanto ao aspecto educacional, a cidade do Natal possui várias instituições de ensino
superior, dentre as quais se destacam: a Universidade Federal do Rio Grande do Norte
(UFRN); Universidade Potiguar (UnP); Instituto Federal do Rio Grande do Norte (IFRN);
Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy (IFESP); Faculdade Natalense para o
Desenvolvimento do Rio Grande do Norte (FARN); Faculdade de Ciências, Cultura e
Extensão do Rio Grande do Norte (FACEX).
De acordo com o relatório do índice de Desenvolvimento da Educação Básica
(IDEB) de 2012, Natal obteve a segunda colocação entre os municípios do estado do Rio
Grande do Norte (3,7), superado novamente pela vizinha Parnamirim (4,0). Na classificação
2
Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/cidadesat/default2.php>. Acesso em: 20 jun. 2011.
100
geral do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) de 2011, treze escolas da cidade
figuraram entre as vinte melhores do estado.
Como já foi dito, elegemos como lócus da pesquisa o Instituto de Educação Superior
Presidente Kennedy (IFESP), uma instituição superior que há 18 anos atua na formação
superior de professores da rede oficial do RN.
O Instituto Kennedy iniciou sua história com a formação de professor a partir da
criação da escola Normal de Natal em 1908, através do decreto nº 178, de 29 de abril deste
mesmo ano.
No governo de Aluísio Alves, nos anos de 1960, o Instituto de Educação de Natal
cede lugar ao Instituto de Educação Presidente Kennedy, que passa a funcionar em prédio
próprio, construído e localizado, hoje, à Rua Jaguarari, em Natal. A edificação do Instituto
deve-se à celebração de convênio firmado entre a Superintendência do Desenvolvimento do
Nordeste (SUDENE), Ministério da Educação (MEC), United States Agency for International
Development (USAID) e Aliança para o Progresso.
A inauguração do Instituto ocorreu em 22 de novembro de 1965, e por ocasião da
visita do Senador Robert Kennedy em homenagem ao Presidente dos Estados Unidos da
América, país com o qual foram firmados os convênios de financiamentos.
Através da lei 5692/71, que fixava as diretrizes e base para o ensino de 1º e 2º graus
(hoje Ensino Fundamental e Ensino Médio), o Instituto de educação Presidente Kennedy
passa a ser Escola Estadual Presidente Kennedy – 1º e 2º graus. Sob a autorização nº 394/76,
o curso normal, de caráter mais humanístico, é transformado em ensino profissional de 2º
grau, com curso de Magistério.
Por estar o Brasil acompanhando as mudanças curriculares ocorridas no mundo,
através das novas políticas educacionais, na década de 1980 e 1990, o Rio Grande do Norte,
em 1994, a partir da lei nº 6573/94 transformou a escola Estadual Presidente Kennedy, que
formava professores em nível de 2º grau, no Instituto de Formação de Professores Presidente
Kennedy (IFP), com formação em nível de 3º grau.
O Instituto de Formação de Professores Presidente Kennedy (IFP) foi, portanto,
criado a partir de uma política de qualificação docente da Secretaria de Educação
Fundamental/MEC apoiada pelo Programa de Cooperação Educativa Brasil-França,
adequando-se às diretrizes políticas traçadas pelo Plano Decenal de Educação para Todos
(1993 - 2003).
101
De acordo com Carrilho (2007, p. 106) em 2001, a Lei 7909/2001 “transforma o
Instituto de Formação de Professores Presidente Kennedy em uma autarquia estadual, sob a
denominação de Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy – Centro de Formação de
Profissionais da Educação – IFESP –, assim permanece até os dias atuais”, com amparo legal
na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – Lei nº 9394/96, que demarca prazo para
todos os professores concluírem sua formação em nível superior.
Atualmente, o Instituto dedica-se à formação de professores nos níveis de Graduação
e Pós-graduação (Lato Sensu). Na graduação, oferta os cursos de licenciaturas em Pedagogia,
Letras - Habilitação em Língua Portuguesa e Matemática. Estes dois últimos somente em
parceria com o Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica (PARFOR).
O IFESP é parceira neste Programa, desde maio de 2010 nos cursos de Matemática,
Pedagogia e Letras - 1ª e 2ª Licenciatura na modalidade presencial. Esses cursos são, em nível
nacional, coordenados, acompanhados e avaliados pela CAPES/MEC.
Segundo informações contidas no portal da CAPES3, o PARFOR na modalidade
presencial foi implantado pela CAPES em colaboração com as Secretarias de Educação dos
Estados, do Distrito Federal e dos Municípios e com as Instituições de Ensino Superior (IES),
com o intuito de melhorar a formação do corpo docente brasileiro e, em decorrência disso, a
aprendizagem do aluno.
O referido programa tem como principal objetivo “[...] garantir que os professores
em exercício na rede pública de educação básica obtenham a formação exigida pela Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB, por meio da implantação de turmas
especiais, exclusivas para os professores em exercício” (PORTAL DA CAPES, 2012).
Os cursos ofertados pelo PARFOR Presencial são:
I. Primeira licenciatura – para docentes em exercício na rede pública da educação
básica que não tenham formação superior;
II. Segunda licenciatura – para docentes em exercício na rede pública da educação
básica, há pelo menos três anos, em área distinta da sua formação inicial;
III. Formação pedagógica – para docentes graduados não licenciados que se
encontram em exercício na rede pública da educação básica (PORTAL DA CAPES,
2012).
Como se vê, os alunos inseridos no programa nacional precisam garantir, por lei, seu
direito pleno de ser professor, quer por não terem ainda a sua formação, quer por tê-la, mas
estar lecionando em área divergente de sua primeira formação.
3
Disponível em <http://www.capes.gov.br/educacao-basica/parfor>. Acesso em 10 mar. 2012.
102
De acordo com o setor do Registro do IFESP, o total de alunos matriculados nos
cursos de licenciatura é de 763 alunos, como mostra o Quadro 5.
Quadro 5 - Alunos matriculados segundo o curso, ano de ingresso, turno, período e turma
ANO DE
PERÍODO E
ALUNOS
CURSO
TURNO
ALUNOS
INGRESSO
TURMA
CURSO
2009.2
Matutino
6º/AM
30
2009.2
Vespertino
6º/AV
22
2009.2
Noturno
6º/AN
27
2009.2
Noturno
6º/BN
21
Pedagogia
2009.2
Noturno
6º/CN
16
258
2011.1
Matutino
3º/AM
26
(IFESP)
2011.1
Vespertino
3º/AV
21
2011.1
Noturno
3º/AN
32
2011.1
Noturno
3º/BN
30
2012.2
Noturno
1°/AN
33
2010.1
Diurno
5º/AD
20
2010.1
Diurno
5º/BD
28
2010.2
Diurno
4º/AD
27
Pedagogia
2011.1
Diurno
3º/AD
33
233
PARFOR/IFESP
2011.2
Diurno
2º/AD
37
2012.1
Diurno
1º/AD
42
2012.2
Diurno
1°/AD
46
2010.1
Diurno
5º/AD
22
2010.2
Diurno
4º/AD
29
Letras
2011.2
Diurno
2º/AD
25
176
2012.1
Diurno
1º/AD
31
PARFOR/IFESP
2012.2
Diurno
1°/AD
33
2012.2
Diurno
1°/BD
36
2010.1
Diurno
5º/AD
15
2010.2
Diurno
4º/AD
24
Matemática
2011.2
Diurno
2°/AD
25
100
PARFOR/IFESP
2012.2
Diurno
1°/AD
17
2012.2
Diurno
1°/BD
19
TOTAL
28
767
767
Fonte: Elaborado a partir dos dados da Secretaria do Registro Escolar
Do total de 28 turmas que correspondem a 767 alunos, dezoito são do PARFOR (509
alunos) e dez (258 alunos) todas do curso de Pedagogia com ingresso nos anos 2009, 2011 e
2012 pelo sistema regular de processo seletivo do IFESP para os turnos matutino (2 turmas),
vespertino (2 turmas) e noturno (6 turmas) e com aulas de 2ª a 6ª.
As turmas de Pedagogia, Letras e Matemática do programa PARFOR que têm,
respectivamente, 233, 176 e 100 alunos funcionam quinzenalmente às sextas-feiras e
semanalmente aos sábados.
Os cursos de Pós-Graduação – todos em nível de Especialização – são: Educação
Matemática, Literatura e Língua Portuguesa, Educação Infantil, Educação Ambiental e
103
Patrimonial, Gestão de Processos Educacionais. As turmas de pós-graduação, nas cinco
modalidades já citadas, funcionam todas as terças-feiras e às quintas-feiras, quinzenalmente.
4.2 OS ALUNOS-COLABORADORES DA PESQUISA
Definido o campo da pesquisa, era o momento de pensarmos sobre a escolha dos
colaboradores: se seriam os alunos do curso de Pedagogia, de Matemática ou de ambos?
Optaríamos por uma ou duas turmas? No meio de tantas dúvidas, o primeiro passo foi definir
o universo da pesquisa: todos os alunos e alunas, devidamente matriculados nos cursos de
Pedagogia (491 alunos) e Matemática (100 alunos) pelo fato de eles, como professores ou
futuros professores, lecionarem Matemática.
Feito isso, e para reduzir a amostra, utilizamos outros critérios: a) os participantes da
pesquisa seriam os alunos tanto de Pedagogia como de Matemática, sendo uma turma de cada
curso; b) os participantes/colaboradores da pesquisa não fossem alunos da pesquisadora.
Após a observância desses dois critérios, definimos os colaboradores da pesquisa: 21
alunos da turma 6º BN (Pedagogia) e 19 alunos da turma 1BD (segunda licenciatura em
Matemática), totalizando 40 alunos. Consideramos pertinente fazer uma breve caracterização
dessas turmas para uma melhor compreensão de aspectos relacionados ao percurso de cada
um dos nossos participantes.
Nesse caso, é Fiorentini in Borba; Araújo (2004, p. 67) quem nos adverte que, em se
tratando de pesquisa colaborativa, implica parceria e trabalho-conjunto, pois é um processo
efetivo de co-laboração e não de co-peração. Acrescenta ainda que acontece “ao longo de todo
o processo investigativo, passando por todas as suas fases, as quais vão desde a concepção,
planejamento, desenvolvimento e análise de estudo, chegando, inclusive, a co-participar do
processo de escrita e de autoria do relatório final”.
È válido revelarmos que estes alunos colaboradores estão todos em formação docente
e profissional. A profissão docente em que cremos revista no pensar de Imbernón (200, p.29)
ao ressaltar que ela comporta um conhecimento pedagógico específico, um comportamento
ético e moral e a “necessidade de dividir a responsabilidade com outros agentes sociais, já que
exerce influência sobre outros seres humanos e, portanto, não pode nem deve ser uma
profissão meramente técnica de especialistas infalíveis que transmitem unicamente
conhecimentos acadêmicos”.
104
4.2.1 Os alunos de pedagogia
O grupo é formado por 02 alunos do sexo masculino e 19 do sexo feminino. Todos
mencionaram ter formação em nível médio. Desses, 14 alunos informaram o ano de conclusão
da escolaridade: sete na década de 1980; seis na década de 1990 e um em 2004.
Quanto ao município que residem, 71% moram em Natal e 24% em municípios da
grande Natal: Parnamirim (3 alunos) e São Gonçalo (2 alunos). Apenas um aluno (5%) não
mencionou o município que reside.
No que concerne à faixa etária, os dados revelam uma maior representatividade de
alunos (43%) com idades correspondentes ao intervalo de 41 a 50 anos; 33% ingressaram na
formação superior com idades que oscilam entre 31 a 40 anos e apenas 24% têm mais de 51
anos. No Quadro 6, visualizamos outras características dos alunos quanto às suas atividades
profissionais.
Quadro 6 - Grupo de alunos-colaboradores de Pedagogia
ALUNOS(AS)4
AP1
AP2
AP3
AP4
AP5
AP6
AP7
AP8
AP9
AP10
AP11
AP12
AP13
AP14
AP15
AP16
AP17
AP18
AP19
AP20
AP21
4
FUNÇÃO
ÓRGÃO
Monitor (EJA)
Federal
Auxiliar de Secretaria
Estadual
Digitador
Estadual
ASG
Estadual
Professor (1º ano)
Particular
Auxiliar de Secretaria
Estadual
Auxiliar de Secretaria
–
Monitor (Mova Brasil/EJA)
Federal
ASG (Auxiliar de Secretaria).
Estadual
Arquivista
Estadual
Educador Infantil (Nível II)
Particular
Auxiliar de Secretaria
Estadual
Desempregada
–
Professora (EJA)
Estadual e Municipal
Auxiliar de Secretaria
–
Aposentada
–
ASG (Digitador)
Estadual
Auxiliar de Secretaria
Estadual
Porteiro
Estadual
Professor
Estadual
–
–
Fonte: Arquivo pessoal da pesquisadora
Nomes codificados para preservação de suas identidades.
TEMPO DE
EXERCÍCIO
7 anos
12 anos
12 anos
10 anos
10 anos
12 anos
12 anos
3 meses
12 anos
27 anos
15 anos
25 anos
–
30 anos
–
32 anos
25 anos
28 anos
12 anos
36 anos
–
105
Observamos que a maioria dos alunos (57%) exerce funções administrativas; 29%
declararam ter experiências educacionais, quer como monitor na EJA ou como professor; 9%
não informaram e 5% declararam-se desempregado.
Quanto ao órgão de trabalho, 67% são funcionários públicos: federal, estadual ou
municipal; 9% trabalham em empresa particular e 24% não responderam.
O menor tempo de experiência profissional para os que se declararam docentes é de
3 meses e o maior 36 anos. Para os que exercem funções administrativas, o tempo de
experiência oscila entre 10 a 28 anos.
4.2.2 Os alunos de matemática
O grupo é formado por 13 alunos do sexo masculino e 6 do sexo feminino. Do
universo pesquisado, 15 alunos (78,94%) concluíram a 1ª licenciatura já no século XXI, um
deles (5,26%) na década de 1990 e três (15,78%) não responderam.
A maioria é Pedagogo sendo que dois deles têm especialização: um em Ciências da
Natureza e o outro em Matemática; outros são graduados em: Química, Geografia, Educação
Artística e Física.
Dos 13 alunos formados em Pedagogia, seis deles cursaram na Universidade
Estadual Vale do Acaraú (UVA), três na Universidade Federal do Rio Grande do Norte
(UFRN), um é egresso do IFESP, um da Universidade Potiguar (UnP) e dois não
mencionaram.
Por sua vez, os alunos graduados em Física concluíram na UFRN; o de Química na
Universidade Federal do Ceará (UFC), os que fizeram Geografia e Educação Artística pela
UnP e o que é formado em Ciências da Religião concluiu na Universidade Estadual do Rio
Grande do Norte (UERN).
Há predominância de alunos que residem em municípios do interior5 do RN (74%);
apenas 26% residem em Natal. Quanto à faixa etária, os dados revelam uma maior
representatividade de alunos (42%) no intervalo de 41 a 50 anos; 37% ingressaram na
formação superior com idades que oscilam entre 31 a 40 anos. Apenas 10,5% iniciaram a 2ª
licenciatura na faixa de 20 a 30 anos e 10,5% dos alunos têm mais de 51 anos.
5
Parnamirim (4), João Câmara (2), Nízia Floresta (2), Riachuelo (1), Guamoré (1), Lagoa Salgada (1), Galinhos
(1), Bom Jesus (1) e São Miguel do Gostoso (1).
106
Questionados sobre os motivos de cursarem uma 2ª licenciatura, dessa vez em
Matemática, os acadêmicos disseram que foi por estar lecionando Matemática sem possuírem
a formação inicial nessa área do conhecimento, o que corresponde ao objetivo do Parfor. O
Quadro 7 apresenta outras características dos alunos concernentes aos aspectos profissionais.
Quadro 7 - Grupo de alunos-colaboradores de Matemática
ALUNOS(AS)6
AM1
AM2
AM3
AM4
AM5
AM6
AM7
AM8
AM9
AM10
AM11
AM12
AM13
AM14
AM16
AM17
AM18
AM19
NÍVEL DE ENSINO
TEMPO DE
EXERCÍCIO
6º ao 9º
Aprox. 8 anos
4º ano
8 anos
7º e 9º
13 anos
6º ao 9º
9 anos
6º ao 9º
14 anos
4º e 5º período
11 anos
3º ano
11 anos
Ensino Médio
12 anos
Educação Infantil - CMEI
Gestão. 1º ao 5º ano
13 anos
6º ao 9º
22 anos
Ensino Médio
3 anos
Anos finais, Ensino Médio e EJA
10 anos
4º ano e do 6º ao 7º
22 anos
Fundamental II
20 anos
6º ao 9º
12 anos
Gestor
31 anos
6º ao 9º e EJA
26 anos
Fonte: Arquivo pessoal da pesquisadora
VÍNCULO
Estadual e Municipal.
Estadual e Municipal.
Municipal
Municipal
Estadual e Municipal
Municipal
Estadual
Estadual
Estadual
Estadual
Estadual e Municipal
Municipal
Municipal
Estadual
Estadual
Olhando para as informações contidas no Quadro 7, verificamos que há professores
que lecionam em mais de um nível ou exercem concomitante as funções de gestor e de
docente. Três são professores do sistema regular e na modalidade EJA.
Quanto aos níveis de ensino, três atuam como docentes no ensino médio; onze são
professores nos anos finais do ensino fundamental; cinco atuam do 1º ao 5º ano; apenas um é
professor da educação infantil e dois declararam-se gestores.
O menor tempo de experiência profissional é de 3 anos e o maior, 31 anos. A maioria
dos alunos tem tempo de serviço que oscila de 10 a 20 anos. Dos 16 alunos que mencionaram
o vínculo empregatício, todos são da rede de ensino estadual ou municipal, sendo que cinco
deles trabalham tanto no estado como no município.
6
Nomes codificados para preservação de suas identidades.
107
No decorrer da investigação, também foi possível observarmos nos alunos traços de
suas personalidades, desejos e modos pessoais de comportarem-se como estudantes em
formação de professor, assim como suas dúvidas, seus achados e descobertas.
4.3 O ITINERÁRIO METODOLÓGICO DA PESQUISA
Com a finalidade de coletar dados do estudo, até chegarmos aos resultados, foi
preciso construir, junto à pesquisa, um itinerário metodológico que envolvesse etapas,
métodos e estratégias apropriadas e sintonizadas aos objetivos do nosso estudo investigativo.
Nessa perspectiva, optamos pelo tipo de pesquisa de cunho interventivo. A intenção
era intervir em ações de estudos concomitante a aplicações de atividades com a finalidade de
propor aos alunos o uso de demonstrações lógicas da Matemática para aperfeiçoar o processo
de argumentos no seu pensar matemático.
Isso, por compreendermos que a intervenção é uma estratégia fundamental do
pesquisador para mediar um estudo investigativo. Esta é definida como um conjunto de ações
que garantem ao pesquisador o saber-fazer adequado ao seu plano real dentro da investigação,
para que possa atingir seus objetivos. Isso daria às ações pedagógicas um papel
imprescindível no meio do percurso metodológico da pesquisa, na arte da invenção e (re)
invenção, a fim de possibilitar diversos modos e ferramentas adequados ao processo do
estudo.
Dos instrumentos utilizados para o desenvolvimento da investigação, escolhemos o
questionário para ser aplicado inicialmente com os participantes. Este continham perguntas
fechadas e abertas de ordem pessoal e cognitivas sobre a Matemática, com o intuito de
conhecermos um pouco do universo dos participantes da pesquisa, antes e depois da
intervenção de campo. Também trabalhamos com sequências de atividades didáticas,
observações de fatos, atitudes e formas de comportamento da parte dos alunos colaboradores
da pesquisa. Por fim, aplicamos uma avaliação final para compararmos a evolução ou não do
pensamento matemático dos alunos pesquisados.
Para uma melhor compreensão desse percurso ou itinerário, desenharemos as
tomadas de decisão metodológicas, por vias e caminhos os quais foram necessários trilharmos
a fim de alcançarmos as metas propostas à pesquisa empírica, realizada nas turmas do 6º
período de Pedagogia e com os alunos da segunda Licenciatura em Matemática.
108
Consideramos pertinente discorrer sobre as etapas e trajetos ocorridos durante as
quatro sessões de estudo. É válido salientarmos que designamos de sessões de estudos as
ações pedagógicas em que abordamos os conteúdos matemáticos e, nelas, as aplicações das
sequências de atividades nas salas de aula investigada. Tais atividades foram realizadas e
desenvolvidas no período de 02 de junho a 24 de agosto de 2012, tendo cada sessão de estudo,
em média, dois a três encontros, e, cada um, com tempo de duração de duas a quatro horas.
4.3.1 Etapas necessárias à construção da pesquisa interventiva
Nessa subseção pretendemos descrever sobre as cinco etapas por nós percorridas que
foram imprescindíveis para a intervenção na pesquisa de campo.
 A escolha do campo e dos participantes da pesquisa
Na realização da nossa intervenção junto à pesquisa, foi necessário, primeiramente,
escolher o cenário da pesquisa e seus participantes. Como já foi mencionado na subseção 4.2,
optamos, como campo da pesquisa, o IFESP e, como colaboradores, 21 alunos de Pedagogia e
19 alunos de Matemática.
Com relação ao curso de Pedagogia, a nossa opção justifica-se por entendermos que
como os alunos ou alunas vão ser futuros professores dos anos iniciais, e irão lecionar
Matemática para crianças pequenas, precisariam, como pedagogas e pedagogos, terem
afinidade e gosto pela Matemática.
Em experiências vividas na nossa prática educativa em cursos de Pedagogia,
ministradas em outras ocasiões, no próprio IFESP ou em outras IES, escutamos uma
significativa parcela de futuros pedagogos afirmarem “não gostar, não saber, achar-se
incapaz, tem horror ou não suportar a disciplina Matemática”. Ora, se pensam ou acham-se
inibidos e despreparados com a Matemática, indagamos se poderão, esses futuros pedagogos,
professorar o componente curricular de Matemática para crianças nas turmas iniciais, e serem
capazes de produzir uma Matemática livre dos medos e temores.
Quanto à nossa segunda escolha, na turma de Matemática, constituída por alunos e
alunas que tinham outras licenciaturas, também, escutamos outros comentários com relação à
Matemática não como componente curricular, mas como a “rainha das ciências”. Queríamos
entender se a compreensão da Matemática nesta turma era semelhante ou divergia do pensar
matemático da turma de Pedagogia.
109
Nessa perspectiva, entendemos que era necessário intervir na formação desses alunos
de modo a ampliar não somente seus conhecimentos, mas também possibilitar a reflexão
sobre suas crenças e valores. Uma formação cuja crença comungou com Pimenta (2005) ao
qual parafraseamos, para além da finalidade de conferir uma habilitação legal ao exercício
profissional da docência; do curso de formação inicial se espera que forme o professor, ou que
colabore para esse processo. Ou seja, uma formação que “[...] colabore para o exercício de sua
atividade docente, uma vez que professorar não é uma atividade burocrática para a qual se
adquire conhecimentos e habilidades técnico-mecânicas” (PIMENTA, 2005, p. 18).
Tínhamos como desafio, em nossa intervenção pedagógica na turma de Pedagogia,
promover uma Matemática que revertesse pensamentos semelhantes aos que foram citados
anteriormente. Nosso intuito era descobrir se os alunos de Pedagogia divergiam nos
costumeiros comentários sobre a Matemática, como um assunto complicado e difícil.
Em depoimentos, ouvimos das alunas de Pedagogia: “Professora eu tenho um
verdadeiro trauma da Matemática”; “Não sei nada de Matemática”; “Nunca aprendi
Matemática”.
Dos alunos de Matemática, escutamos os seguintes relatos sobre os motivos que os
fizeram cursar outra licenciatura:
Como sempre digo a eles, aqui não é só a Matemática técnica [...] tem a didática. Eu
já ensinava há muito tempo e optei fazer Matemática por ter perdido um emprego
por não ter Matemática (AM2).
Eu me formei para ser professor de Artes, mas, como sempre completava a carga
horária com Matemática, resolvi fazer o curso de Matemática (AM9).
Meu esposo, também aluno do 6º período de Matemática/PARFOR, me incentivou a
cursar. Senti dificuldades com o curso, cheguei a pensar em desistir, mas meus
amigos se uniram para me ajudar a prosseguir na minha segunda licenciatura
(AM4).
Estou cursando por ser um dos meus grandes sonhos fazer Matemática e ser um
professor de matemática. Tentei várias vezes o vestibular de Matemática na UFRN
e, quando fui aprovado para a segunda licenciatura no IFESP, pela Plataforma
Freire, fiquei muito contente (AM15).
Na fala do investigado (AM2), encontramos o sentido por ele atribuído à Didática no
desenvolvimento da profissão, bem como sua motivação para aprender Matemática.
Para AM9, cursar uma segunda licenciatura em Matemática advém do exercício da
profissão; como professor de Artes necessitava complementar sua jornada de trabalho
frequentemente com Matemática.
Na visão de AM3, cursar Matemática aconteceu pelo incentivo do seu esposo,
também aluno do referido curso. No fragmento de seu texto, observamos as dificuldades
110
sentidas no decorrer do curso e a força advinda da colaboração dos amigos como elemento
central para manter-se no curso. Nas minhas observações, confirmei que a mesma, embora
sendo ativa e participativa na sala de aula, tem dificuldades de aprendizagem em Matemática.
Diferentemente dos demais, para AM15 ser aluno do curso de Matemática no IFESP
simbolizou a concretização de um grande sonho – tornar-se professor nessa área do
conhecimento.
Depoimentos como os desses alunos nos fizeram sentir que nossa intervenção na sala
de aula de Matemática seria capaz de ampliar o pensamento matemático deles. Na ideia de
Fossa (2000, p.7), alicerçada na tendência “[...] de considerar a Matemática como um
processo e de estimular o aluno a participar neste processo por pensar matematicamente”.
 A preparação de uma avaliação diagnóstica
Essa etapa teve o intuito de verificar o conhecimento prévio dos participantes da
pesquisa sobre o que pensavam em relação à Matemática e o que sabiam sobre seção áurea e
números irracionais. Optamos por esses conteúdos pelo fato de entendermos que partindo
deles saberíamos o conhecimento ou desconhecimento total e/ou parcial desses conteúdos da
parte dos investigados. Pensando dessa forma, elaboramos um questionário do tipo
semiaberto e fechado.
A avaliação diagnóstica tinha a função de um teste diagnóstico e foi aplicado nas
duas turmas investigadas durante o nosso primeiro contato com os colaboradores da pesquisa.
O questionário constava, na primeira parte, de solicitação dos dados pessoais, profissionais e
faixa etária dos sujeitos da pesquisa. Na segunda parte, apresentaram-se questões de múltiplas
escolhas, questões com justificativas pessoais e questões com comparações dos números.
Foi assim que idealizamos fazer nosso primeiro contato com os pesquisados e, a
partir desse caminho, ser possível colhermos informações referentes ao pensamento e a alguns
conceitos matemáticos de todos os alunos envolvidos na pesquisa. A ideia era coletar os
dados com essas informações das duas turmas para verificarmos até que ponto poderíamos
intervir a fim de passarmos para a elaboração dos estudos e ver os recursos apropriados.
 A elaboração das sessões de estudo
Para a execução da parte empírica, executamos algumas ações pedagógicas. Assim, a
ideia que tivemos foi usar algumas estratégias de ensino, de modo que pudéssemos incluir
alguns conhecimentos matemáticos. Dessa forma, no nosso plano de ações, optamos pela
estratégia de sessões de estudo, porque, através delas, conseguiríamos sistematizar e
dinamizar melhor os planejamentos das teorias de estudo e as atividades práticas durante a
111
execução da nossa proposta. Nela, “[...] a história da matemática no ensino deve ser encarada,
sobretudo, pelo seu valor de motivação para a matemática. Devem-se dar curiosidades, coisas
interessantes e que poderão motivar alguns alunos. Outros alunos não se interessarão. Mas
isso é natural” (D`AMBROSIO; in FOSSA 2000, p. 255). Desse modo, idealizamos uma
dinâmica metodológica que agregasse ensino de matemática e história da matemática,
entendendo que para a preparação nas etapas das sessões de estudo, aos quais esclarecemos
adiante, vejamos;
Logo, para essa etapa, elaboramos quatro slides e, neles, incluímos os conteúdos para
serem apresentados em cada sessão de estudo. O primeiro slide, intitulado “Os números e a
matemática”, abordou os números irracionais, destacando os irracionais; o segundo foi sobre
“Seção áurea”, no qual nossa intenção era enfocar aspectos históricos, matemáticos e
arquitetônicos dos gregos na Renascença, além de mostrar o método do retângulo áureo e seu
uso na arquitetura da Grécia antiga; o terceiro slide, “Andrea Palladio”, contemplou alguns
aspectos da vida e as obras de Palladio, evidenciando seção áurea e a Villa Emo em Fanzolo.
Por fim, para o quarto e último slide, o tema “Método da demonstração da redução ao
absurdo” focalizou o quadrado de lado 1.
Após a elaboração do material didático para as projeções (slides), passamos ao
próximo caminho, preparar atividades adequadas a cada assunto da projeção, como será
explicado a seguir.
 Seleção de sequências de atividades
No processo de criação das atividades, com a finalidade de serem aplicadas nas
sessões de estudo, no período da pesquisa de campo, procuramos, primeiramente, selecionar
atividades didáticas que inter-relacionassem objetivos, conteúdos e metodologia apropriada
aos temas a serem estudados, como: os números irracionais, a Seção Áurea, a Matemática de
Andrea Palladio e o Método da Demonstração da Redução ao Absurdo.
Elaboramos as sequências de atividade utilizando, em cada tema a ser estudado, uma
proposta pedagógica com clareza do que queríamos investigar na sala de aula como
pesquisadora. Nelas, estavam os objetivos, os conteúdos, os recursos didáticos e a
metodologia a ser trabalhada nas turmas com os alunos colaboradores. No tocante a avaliação
dessas atividades, definimos pela avaliação contínua.
Para darmos ênfase à parte contextual, procuramos sempre iniciar as atividades com
um texto histórico e, depois, incluímos questões práticas ou teóricas que possibilitassem ao
aluno pensar matematicamente.
112
 Elaboração do teste avaliativo final
O último caminho, no percurso da finalização das etapas que consideramos
necessárias no estudo de campo investigativo, deu-se com a elaboração de um teste avaliativo.
Esse teste, por nós, denominado de avaliação final, consistia em uma (re) aplicação, nas
turmas pesquisadas, de uma questão central sobre a matemática. Ou seja, essa questão já havia
sido apresentada no teste inicial e agora seria novamente sondada ou reavaliada, para que
pudéssemos compreender o pensamento matemático dos alunos investigados, antes e depois
da nossa pesquisa, a fim de observar a progressão e os recuos.
Entendemos que as etapas apresentadas tornaram mais claro e viável todo o percurso
metodológico da pesquisa de campo. Consideramos que todas as etapas foram importantes
para alcançarmos os objetivos do estudo doutoral.
4.4 AS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NAS SESSÕES DE ESTUDO
Para a realização das sessões de estudos no decorrer da pesquisa com os alunos de
Pedagogia e Matemática, foram elaboradas quatro atividades. De início, realizamos uma
consulta em vários livros didáticos e paradidáticos. Consultamos livros clássicos da
matemática grega como Os elementos e, neles, selecionamos questões que foram reelaboradas
ou reorganizadas, em novo formato, como poderão ser vistas nos apêndices. A seguir
apresentaremos um resumo de cada atividade.
A atividade 1 (Apêndice B), denominada Os números e a matemática, tinha como
objetivo provocar que os participantes da pesquisa pudessem compreender que, no processo
de criação numérica, existem situações que não são possíveis de serem solucionadas por
números racionais; reconstruir conceitos e significados dos números irracionais e racionais
por meio do uso da calculadora. Nele, trabalhamos os conteúdos como revisão nos conjuntos
numéricos, enfatizando os números irracionais. Os alunos resolveram atividades envolvendo
situações-problema com os números racionais e irracionais, e nela foram usados diversos
recursos e material didático como: régua, barbante, calculadora, fita métrica, balança e outros.
A Metodologia utilizada consistiu na exposição dialogada com recurso de slide, debate,
discussão e tarefa de grupo.
A atividade 2 (Apêndice C), que explorou a Seção áurea, teve como objetivos:
explicar o contexto histórico da descoberta da incomensurabilidade; investigar na obra Os
Elementos, de Euclides, a definição de seção áurea; averiguar que é possível trabalhar o
113
conhecimento científico de forma criativa no curso de formação de professores; acrescentar a
seção áurea como mais um exemplo dos números irracionais; compreender a definição da
proporção áurea a partir dos gregos antigos; proporcionar situações de aprendizagem com o
retângulo áureo; trabalhar o Φ e o π como exemplo de números irracionais; compreender que
a seção áurea é uma razão incomensurável e, por isso, não pode ser medida por números
racionais; construir retângulos áureos cujas medidas das bases correspondam às medidas dos
catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo. Como conteúdos principais, foram
trabalhados: a definição de seção áurea; seção áurea e o método do retângulo áureo; e
resolução de situações-problema envolvendo o retângulo áureo. A metodologia ficou por
conta de exibição e exposição oral de um slide sobre seção áurea; debate na sala de aula e
realização de atividades em grupo.
Na atividade 3 (Apêndice D), denominada A Matemática e a Arquitetura na Villa
Emo, de Andrea Palladio, objetivamos caracterizar a vida, legado, origem e obras de Andrea
Palladio; investigar na obra Os Quatro Livros de Arquitetura, de Andrea Palladio, a Villa
Emo; abordar dados históricos da arquitetura e matemática de Palladio de forma criativa;
debater a tese de Rachel Fletcher sobre a seção áurea na Villa Emo; aplicar o método do
retângulo áureo, na planta baixa, presente no tratado de Palladio; possibilitar situações de
aprendizagem, com as representações geométricas de Fletcher, que envolvam o pensamento
matemático; analisar a presença da seção áurea nos desenhos arquitetônicos da Villa Emo. Os
conteúdos extracurriculares abordados foram: biografia de Andrea Palladio; obras e tratado de
Andrea Palladio; a matemática de Andrea Palladio; a tese de Rachel Fletcher. Como
metodologia, optamos pela apresentação e discussão de um slide sobre Palladio; exibição de
vídeo do You tube - www.youtube.com/watch?v=ZebVVu7KXDc - sobre a Villa Emo;
discussão e debate na sala de aula; realização de atividades de grupos; leitura da tese e defesa
de Rachel Fletcher; apresentação criativa (cordel, história em quadrinhos, dramatização,
jogral) sobre Andrea Palladio. Os recursos didáticos utilizados foram: a planta baixa da Villa
Emo, de Palladio; planta baixa da Villa Emo - Mario Zocconi e Andrzej Pereswiet Soltan;
régua e compasso; o Tratado Os quatro livros de arquitetura; A Matemática no século de
Andrea Palladio, além de cópias dos desenhos do artigo Hipótese defendida (FLETCHER,
2001).
Por fim, na atividade 4 (Apêndice E), intitulada Técnica de demonstração por
absurdo, nosso intuito foi abordar a redução por absurdo de forma criativa. Quanto aos
objetivos principais da atividade elencamos: analisar a ideia básica de redução ao absurdo de
114
que uma premissa não pode ser verdadeira se não levar a uma contradição; compreender a
técnica de demonstração da redução por absurdo, demonstrar, por absurdo, as raízes √2, √5,
√7; descobrir onde falha a técnica da redução por absurdo para a √4; definir, claramente,
conceitos de contradição e argumento; saber quando duas proposições são contraditórias;
construir exemplos de proposições contraditórias. Assim, os conteúdos abordados foram:
técnica da demonstração matemática da redução ao absurdo; breve consideração histórica da
matemática grega; considerações preliminares da redução ao absurdo; definição de
argumento, proposição e contradição; exemplo de premissas contraditórias no quotidiano;
exemplo de demonstração ao absurdo das raízes quadrada irracionais. A metodologia
consistiu de: leitura compartilhada, audição e cântico da música “dois mais dois são cinco”;
debate sobre a relação da letra da música com a temática estudada; apresentação de um slide
sobre os aspectos históricos e matemáticos da redução ao absurdo; realização de atividades
investigativas de grupos com o tema estudado. Como recurso didático, utilizamos livros
paradidáticos; multimídia; som e CD.
4.5 ORGANIZAÇÃO, TRATAMENTO E ANÁLISE DOS DADOS
De posse de toda a coleta da pesquisa, precisamos organizar os dados para
tratamento e análise. Para esse fim, a saída foi organizar por sessão de estudo em quadros
comparativos com as duas turmas de Pedagogia e Matemática. Identificamos os participantes
da pesquisa, usando códigos e trouxemos suas falas, emoções, escritas e observações que
foram colhidas durante a nossa intervenção em sala de aula.
Os materiais coletados foram organizados e representados de maneira a possibilitar
uma análise que correspondesse ao conteúdo anunciado nos objetivos e em consonância com
o enfoque da realidade vivenciada nas duas turmas de licenciatura em Pedagogia e em
Matemática do IFESP.
Nesse sentido, os passos seguidos para a análise foram: a) leitura e transcrição do
material coletado gravado e/ou fichado; b) extração das evidências das falas dos alunos das
duas turmas investigadas; c) organização e sistematização das evidências em forma de grupos
de análise, as quais são: como os alunos da Pedagogia e da Matemática retratam a Matemática
antes e depois da pesquisa; d) análise das categorias centrais extraídas das evidências das
falas.
115
Na próxima seção, apresentaremos a experiência da pesquisa de campo, a parte
empírica do nosso estudo, realizada com duas turmas nos cursos superiores de formação de
professores.
116
5 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Nesta parte do trabalho, buscamos extrair, da realidade apreendida no contexto da
investigação, dados que deem sentido ao que foi tecido no alicerce inicial do estudo e nas
seções anteriores, em termos de objetivos e condução metodológica da pesquisa, com os
dados da coleta, a fim de serem discutidos nesta seção.
Assim, por meio de uma descrição, realizada nas ações pedagógicas, procuramos os
detalhes significativos dos momentos de aplicação das atividades desenvolvidas em quatros
sessões de estudos em pesquisa de campo. Nesse caso, tentamos intervir a partir da realização
das atividades planejadas e dos resultados obtidos nos questionários, aplicações de atividade,
estudos em grupo, entrevistas, escutas gravadas e conversas informais entre a pesquisadora e
os participantes da pesquisa. A intenção foi produzir uma análise de cada etapa trabalhada
durante a intervenção pedagógica em duas turmas de licenciatura: uma em Pedagogia e outra
em Matemática.
5.1 AS ATIVIDADES DE SONDAGEM NAS TURMAS INVESTIGADAS
Como já dissemos, o trabalho de intervenção, desenvolvido com os participantes da
pesquisa, ocorreu no período de 02 de junho a 24 de agosto de 2012. Nesse intervalo,
aconteceu o recesso junino para a turma do 3º período de Matemática e estágio
supervisionado nas turmas do 6º período de Pedagogia, de modo que foi preciso fazer acordos
pedagógicos com a instituição, alunos participantes do estudo e professores das turmas
pesquisadas. Nesses acordos saíram tomadas de decisões de ambas as partes como: horário
dos encontros e dias de execução.
Destacamos aqui que a nossa intervenção pedagógica foi favorecida, na ocasião, pois
contamos com a colaboração e parceria de uma professora que lecionava nas duas turmas,
sendo Estatística na Educação, em Pedagogia, e Matemática Financeira, em Matemática.
Embora, para avançarmos no estudo, tenha sido necessário buscar a colaboração de outros
professores formadores da licenciatura em Pedagogia e que estavam ministrando disciplinas
nesse período, como o de Artes, e o de Língua Portuguesa; e da licenciatura em Matemática,
como a professora de Geometria. Não tendo havido nenhuma contribuição desses professores
e da sua disciplina direta com a pesquisa, os mesmos cederam suas aulas, entendendo que a
pesquisa era de suma importância para os alunos pesquisados. Isto porque a carga horária da
117
professora-colaboradora principal de Matemática Financeira está no fim e a mesma precisava
concluir com seminários e avaliação. Contamos, ainda, com o devido apoio de coordenadores
desses cursos, direção e funcionários em geral.
Para facilitar a interpretação das informações coletadas e, por motivos éticos
necessários em relação aos pesquisados, identificaremos os alunos, colaboradores da pesquisa,
por meio de um indicador, dado de acordo com o total do número de alunos participantes que
frequentaram ativamente o nosso estudo.
A turma de licenciatura em Pedagogia, num total de 21 alunos, os participantes
foram categorizados como Acadêmico de Pedagogia 1 (AP1), Acadêmico de Pedagogia 2
(AP2), e assim sucessivamente, até o acadêmico de Pedagogia 21 (AP21). Na turma de
Matemática, que tínhamos como participantes ativos, no período da investigação, um total de
19 alunos, os categorizamos por: Acadêmico de Matemática 1 (AM1), Acadêmico de
matemática 2 (AM2) e finalizamos com o Acadêmico de Matemática 19 (AM19).
O nosso primeiro encontro com as turmas selecionadas para o estudo ocorreu no dia
02 de junho com a turma de Pedagogia, e no dia 06 de junho com a turma de Matemática. Nos
contatos iniciais com essas turmas, apresentamo-nos, expusemos a nossa intenção,
justificamos a preferência pelas turmas e, depois, aplicamos o instrumento diagnóstico
(questionário) com questões abertas e fechadas. A seguir, discorreremos sobre os resultados
obtidos com esse instrumento.
Na aplicação da atividade diagnóstica, realizada por meio de questionário (Apêndice
A), ao procurarmos saber se os participantes da pesquisa já tinham ouvido falar sobre os
números racionais, obtivemos como resposta: sim (100%) de ambas as turmas. Mas, quando
foi solicitado, aos 21 alunos de Pedagogia, para exemplificá-los, obtivemos o seguinte
resultado: treze disseram ter esquecido, dos quais um justificou: “faz alguns anos e
geralmente estudávamos com o objetivo de simplesmente passar, ou seja, aplicação na prova,
etc” (AP1); dois deixaram em branco; seis responderam, sendo que um escreveu 1/2; 3/5;
1,3131; 0,01 e, a seguir, afirmou: “não tenho certeza dessa resposta” (AP2).
Quanto aos 19 alunos de Matemática, nem todos souberam exemplificá-los.
Lembramos que, nessa turma, do total, quinze alunos são graduados em Pedagogia, alguns
lecionando em anos iniciais do ensino fundamental. Assim, quatro alunos pesquisados não
responderam, três deixaram a questão em branco e outro escreveu: “no momento não lembro”
(AM1). Na sequência, procuramos saber se os alunos já ouviram falar sobre os números
irracionais. Na turma de Pedagogia, dezenove alunos (90,48%) marcaram ter ouvido falar dos
118
números irracionais, dois (9,52%) não quiserem responder e deixaram em branco a questão.
Quanto à exemplificação solicitada na questão, apenas seis responderam, dos quais, dois
acertaram e um deles, sentindo-se inseguro, escreveu à frente “não tenho certeza” (AP3). Os
outros quatro não conseguiram acertar e colocaram números inteiros; quinze não
responderam, deixando em branco ou alegando não lembrar.
Com a turma de Matemática, a questão referente aos irracionais mostrou um
resultado idêntico aos dos racionais, ou seja, todos afirmaram (100%) ter conhecimento. No
entanto, é válido acrescentar que sentimos, nas respostas dos alunos, fragilidades quanto ao
conhecimento matemático, bem como a aprendizagem desses conteúdos para a formação de
alguns pesquisados, professores atuantes nos anos finais do ensino fundamental maior (6º ao
9º), os quais licenciados em Ciências da Religião e Pedagogia. Isso ocorreu principalmente
quando exemplificaram como irracionais os números -1; 0000111...; 1/5; 1/2; √1. Foi
perceptível, na aplicação das questões, certa tensão e receio em expor suas dúvidas.
Ainda no andamento do questionário chegamos à questão principal para uma
comprovação de nossa hipótese neste estudo. Como supúnhamos que eles desconheciam
seção áurea, para encontrar a veracidade ou não, interrogamos as duas turmas para saber se
eles tinham ouvido falar da seção áurea.
Na turma de Pedagogia, 100% dos alunos afirmaram não conhecer seção áurea e, na
continuidade da questão, quando solicitados que falassem sobre a seção áurea, 6 disseram
“não vi”, “não lembro”, “acho que vi, mas não lembro”; e 15 optaram por não responder.
Para nós, ficou a certeza de que os alunos investigados, em formação inicial, futuros
professores do Ensino Fundamental, não sabiam o que era seção áurea.
Fizemos o mesmo questionamento aos 19 alunos de Matemática e obtivemos como
resposta: 18 alunos, quase na sua totalidade, desconheciam a seção áurea e, desse modo, não
souberem falar nada sobre a mesma, exceto um aluno que afirmou saber e expressou:
“acredito ser um número que é um quociente áureo”. Para nós, ele pode já ter ouvido falar,
porém, na sua afirmação, percebia-se que não tinha certeza, ou não sabia muito bem do que se
tratava a seção.
Na segunda parte do questionário, solicitamos, nas duas turmas investigadas, que
assinalassem a opção que melhor retratasse a matemática. Optamos em já mencionar algumas
representações, comumente apresentadas por alunos em nossas experiências docentes, do que
deixar a questão em aberto.
119
O Quadro 8 mostra os resultados das respostas obtidas por oito alunos de Pedagogia
e quatro de Matemática, que assinalaram apenas uma opção.
Quadro 8 - Pensamento dos alunos para melhor retratar a Matemática
OPÇÕES
PEDAGOGIA
Quantidade
1
5
8
2
-
MATEMÁTICA
Quantidade
1
2
4
1
-
Operações fundamentais
Mensurações
Raciocínio lógico
Ciência exata
Contagem
Figuras geométricas
Criação humana e
2
3
cultural
Intuição
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Se observarmos os dados contidos no Quadro 1 vê-se que a predominância da opção
dos pesquisados tanto de Pedagogia como de Matemática deu-se pela representação da
Matemática como ciência exata. A segunda opção de escolha para os alunos de Pedagogia foi
o raciocínio lógico e para os alunos de Matemática Criação humana e cultural.
Os três alunos de Pedagogia que optaram por assinalar mais de uma alternativa,
assim se expressaram: “raciocínio lógico e ciência exata porque a base da Matemática é o
raciocínio lógico”; outro afirmou ser operações fundamentais, contagem e figuras
geométricas, pois “as operações fundamentais são à base da iniciação”; e, por fim, um
terceiro participante do estudo registrou ser a contagem e as figuras geométricas “pois faz
parte das resoluções matemáticas, mesmo quando se não estudou a mesma e figuras
geométricas com suas dimensões, ângulos e cálculos”.
Quanto aos alunos de Matemática, oito deles se posicionaram não aceitar apenas uma
opção e decidiram assinalar três ou até todas as opções apresentadas na questão. Diante dessa
postura, ficamos na dúvida em como esse pesquisado vê a Matemática. Dessa maneira, para
entender essa categoria de pensamento múltiplo com a Matemática, apresentamos suas ideias.
Um desses alunos, ao assinalar as opções operações fundamentais, raciocínio lógico,
ciência exata, contagem e figuras geométricas, afirmou: “vários itens justificam o que é
Matemática, pois a todo o instante estamos usando raciocínio lógico, contagem, figura
geométrica em todos os espaços, etc.”. Uma aluna justificou: “no meu entender cada item
acima retrata a Matemática dentro da sua especificidade. A Matemática é uma ciência em
que todos os itens estão incluídos”. Outro investigado expressou: “todas retratam muito bem
120
a Matemática, não dá para retratar apenas com uma, pois a Matemática está em todas”. Por
fim, um participante assim disse: “Faço escolha destas opções, porque são as que eu entendo
que representam melhor. O raciocínio é importante nas operações matemáticas para
deduções nos enunciados das questões. Figuras geométricas porque podemos pensar através
de demonstrações e experiências que facilitam a compreensão das teorias. Enfim, a criação
humana e cultural, porque foi construída historicamente em um grupo social”.
No Quadro 9 estão as justificativas dos alunos que assinalaram apenas uma opção.
121
Quadro 9 - Justificativas dos alunos ao retratarem a Matemática
OPÇÕES
PEDAGOGIA
MATEMÁTICA
Operações
fundament
ais
 Porque
com
o
básico
já
conseguiremos trabalhar a Matemática.
 Culturalmente, quando iniciamos a aprendizagem
de Matemática na escola, nos deparamos com
números, por isso as operações fundamentais
retratam a Matemática.
Raciocínio
lógico
Ciência
exata
Contagem
Criação
humana e
cultural
Tudo na Matemática envolve o
raciocínio lógico apesar de englobar
todas as outras opções citadas. Acho
que o raciocínio lógico é a base para o
 O ensino de Matemática deve levar a aluno a
desenvolvimento de todos os conteúdos
adquirir noção exata dos problemas do dia a dia e
matemáticos.
para chegar a uma conclusão ele deve raciocinar de
Tudo o que precisamos responder tem
maneira lógica.
que haver uma lógica e Matemática é
 As soluções aos problemas matemáticos são
raciocínio lógico.
resolvidos pela lógica. Nem sempre os problemas
Vivemos num mundo e estamos
apresentam soluções exatas.
rodeados de números, e temos que
interpretá-los a todo o momento e para
isso usamos raciocínio lógico.
Matemática é raciocínio lógico.
 É pautada numa ciência exata, pois
mesmo que a gente consiga desenvolver
um cálculo de forma correta, se não
dermos a resposta exata a questão é
 Por se tratar de uma disciplina ligada ao
anulada.
conhecimento das Ciências e suas aplicações.
 Porque a Matemática é exata.
 Pela sua exatidão nas suas conclusões.
 Por não existir meio termo.
 Por ser a ciência que mais demonstra a exatidão
 Porque toda operação só tem um
para a resolução dos problemas
resultado.
 [...] muitos especialistas no assunto afirmam a
 Porque por caminhos mais distantes
Matemática como ciência exata.
que você percorra, o resultado
matemático será único, valor único, não
importa o caminho pelo qual você
chegou.
 Porque desde cedo aprendemos a
contar nas músicas, nas compras, etc.
 Toda operação Matemática envolve ação de
 Contagem dá a ideia de Matemática
contagem.
até mesmo para as pessoas que não têm
o conhecimento escolar.
 Porque penso que a Matemática é
 Porque acredito que essa opção seja mais
muito maior, ela engloba a criação ampla, uma vez que a matemática é uma ciência que
humana.
o homem criou para superar os desafios do seu
 Porque foi criada ao longo do tempo cotidiano.
e a partir da necessidade humana. Hoje
 Porque
a
Matemática
desenvolve
o
em dia não dá mais para viver sem o uso conhecimento, acompanhando o crescimento
da Matemática, logo, já faz parte da humano e cultural do indivíduo.
cultura da humanidade.
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Sobre as falas e depoimentos, registramos uma aluna de Pedagogia que, durante a
aplicação do questionário, adiantou-se para expressar “professora eu hoje não vejo a
matemática como ciência exata” e, ao iniciar suas razões, intervimos pedindo para ela apenas
122
escrever, pois percebemos os alunos tentando apagar o que tinha escrito, influenciados pelo
seu pensamento.
Sobre esse questionamento da Matemática como uma ciência exata, convém
lembrarmos que Fossa (1998, p. 125) diz que “talvez a visão predominante da matemática
entre os matemáticos seja a de que a matemática é um corpo de verdades analíticas, baseadas
no raciocínio hipotético que preserva a verdade”. O autor continua afirmando que desse
modo, o método preferido de organização é o sistema axiomático.
Ainda na atividade diagnóstica, com a turma de Pedagogia, foi apresentada aos
participantes do estudo uma terceira questão em que pedíamos que eles fizessem comparações
entre os números racionais inteiros positivos e negativos e os irracionais. A maioria dos
alunos estava confusa para responder a essa questão, e justificava: “Professora, faz muito
tempo que estudei isso.”; ou assegurava: “Professora, Matemática é exercício, se não
exercitar esquece.”
Percebemos que, no decorrer da aplicação os alunos de Pedagogia, quando
precisaram responder individualmente as questões propostas, apresentaram certo desconforto
pela exigência da questão quanto ao domínio do vocabulário utilizado pela matemática,
embora sendo a mesma elementar, como maior, menor e igual.
Esse fato levou-nos a realizar uma exposição sobre o assunto e, mesmo assim, alguns
permaneciam com dificuldade. Então, uma aluna lembrou-se de um “macete” que um
professor de cursinho Pré-vestibular havia repassado e ela disse nunca esquecer. Em seguida,
ela foi à lousa e explicou à turma: “É maior quando conseguimos formar com o sinal o
numeral 7 e menor se formar o numeral 4.”. Uma aluna investigada justificou: “Professora,
lembro que o maior entre os sinais era aquele mais aberto.”. Vencida essa primeira
dificuldade, pedimos para responderem às questões de a a p.
Na resolução dessa questão, percebemos que alguns alunos simplesmente escreviam
os símbolos de comparação sem raciocinar. Outros, por estarem sentados em círculo e, não
querendo pensar um pouco, tentavam olhar para a resposta dos colegas vizinhos. Isso ocorreu,
no início, por alguns alunos pensarem que o questionário apresentado teria nota, como
também seriam avaliados seus desempenhos na Matemática. Em contrapartida também
tivemos alunos com bom desempenho lógico e matemático. Se alguns deles diziam não saber
e achar traumatizante as questões, outros afirmaram gostar de Matemática, ter um bom
desempenho escolar, ou colocar que cursavam Pedagogia, mas gostariam de cursar
Matemática.
123
Na terceira questão do teste diagnóstico, o destaque foi para a letra m que envolvia a
comparação entre o número 0,9999... e o número 1. A intenção não era quantificar os erros e
os acertos, mas a de fazer o aluno compreender matematicamente a questão apresentada;
perceber que na matemática há conceitos que parecem ser simples, mas, quando submetidos a
uma apreciação, revelam aspectos curiosos. Dos 21 alunos investigados da licenciatura em
Pedagogia, 80,96% responderam ser 0, 999... maior que 1. Apenas 19,04% mencionarem que
as quantidades eram iguais. Com relação aos alunos da licenciatura em Matemática, 89,48%
responderam a questão; um aluno (5,26%) disse que 0,999 é maior que 1, e outro não
respondeu.
Observamos que os alunos tiveram muito medo de errar as questões do teste
diagnóstico e, por muitas vezes, justificavam suas dificuldades apontando os dissabores com a
disciplina Matemática. Um aluno assim se expressou: “Professora, detesto Matemática.”.
Outro acrescentou: “Eu também não gosto, mas estudo tranquilo, pois não tenho intenção de
ser professor, eu já tenho muito idade para ensinar a meninos”. Uma aluna, ouvindo esse
diálogo, como já era professora, completou: “É, professora, não considere se eu errar, pois
eu até gosto de Matemática, pois Matemática é exercício, quanto mais a gente faz, mais
aprende”.
5.2 O ESTUDO INTERVENTIVO: DA TEORIA À PRÁTICA
Nesse subtópico, descreveremos momentos da realização de atividades pedagógicas,
falas dos participantes, observações que foram coletadas e serão apresentadas na nossa
análise. Lembramos que optamos chamar os encontros de sessões de estudo. Esses estudos
aconteceram em sala de aula, com a colaboração dos professores do IFESP, das turmas de
licenciatura do 6º período de Pedagogia matutino e do 3º período, da segunda licenciatura em
Matemática do PARFOR. Foram quatro sessões de estudo, nas quais cada uma contou com,
aproximadamente, dois a três encontros.
Mediante as dificuldades dos alunos, presenciadas no decorrer do teste diagnóstico,
no que se refere ao cálculo matemático, principalmente na turma de Pedagogia, optamos por
iniciar a pesquisa após um estudo complementar, com as turmas investigadas, abordando a
fundamentação elementar da Matemática. Para tal fim, elaboramos questões complementares
envolvendo os números inteiros, frações, dízimas periódicas e suas representações, e raízes
quadradas; mais tarde, exploramos também a potenciação e a radiciação nas atividades.
124
Para tanto, somos convictos que seja necessário estabelecer, na prática dos
investigados, uma formação inicial no modelo deliberado por Imbernón (2000) que
proporcione um conhecimento válido e “[...] gere uma atitude interativa e dialética, que
conduza a valorizar a necessidade de uma atualização permanente em função das mudanças
que produzem; a criar estratégias e métodos de intervenção, cooperação, análise, reflexão; a
construir um estilo rigoroso e investigativo”.
5.2.1 Sessão de estudo 1: os números e a matemática
As primeiras sessões de estudo aconteceram em nosso segundo encontro, com os
alunos participantes das licenciaturas em Pedagogia e em Matemática. Na ocasião, tratamos
dos números utilizados na matemática e, neles, como foco principal, os irracionais.
No início do encontro, promovemos uma dinâmica de apresentação na qual foram
expostas várias imagens no chão da sala de aula e cada participante escolheria aquela a que
mais se identificasse com sua personalidade ou chamasse a atenção para um fato pessoal ou
profissional. Feita a opção, todos se apresentaram livremente. Com essa dinâmica, tivemos a
oportunidade de conhecer um pouco de cada participante: suas origens, suas práticas
escolares, seu modo de pensar a educação, a matemática, suas frustrações com a Matemática,
dilemas profissionais, emoções familiares, entre outros.
Após essa discussão, em ambas as turmas trabalhadas, uma no dia 02 de junho e a
outra no dia 07 de junho de 2012, apresentamos a seguinte pauta: 1) apresentação e debate do
slide “Os números e a Matemática”; 2) atividade sobre os números em grupos; 3) escolha de
um relator por grupo para registro de formas de procedimento das atividades realizadas pela
equipe; 4) discussões das atividades.
Realizamos a explanação dos conteúdos sobre os números em uma projeção de
slides, com os devidos objetivos e as definições sobre números; fizemos um breve histórico e
expusemos alguns exemplos. Concomitantemente à apresentação, oportunizávamos, aos
participantes da pesquisa, momentos de discussões dos conteúdos e soluções de dúvidas,
diante dos números contemplando os Naturais, os Inteiros, Racionais e Reais, com destaque
aos Irracionais. Concluída a apresentação, encerramos o encontro.
No segundo encontro desse estudo, as atividades foram trabalhadas em grupo, e,
nesse dia, entregamos um caderno para cada grupo anotar os registros do encontro, elegendo
um redator ou redatora. Definimos que a atividade dessa sessão, por ser extensa, seria
125
realizada em duas etapas. Nossa intenção era propiciar aos alunos investigados a percepção de
que, no processo de criação numérica, existem situações que não são possíveis de serem
solucionadas por números racionais, como também com o objetivo de que eles reconstruíssem
conceitos e significados dos números irracionais e racionais através do uso da calculadora e
fita métrica.
Com esse intento, selecionamos atividades (Apêndice A) como as que envolvemos
divisão e multiplicação de inteiros e racionais no cálculo do índice de massa corporal (IMC).
Nelas, os alunos puderam utilizar recursos didáticos, como fita métrica, balança e calculadora.
Por exemplo, na questão 1, oportunizamos ao aluno trabalhar, em grupo, situações-problema
com as operações de divisão e multiplicação entre números inteiros e racionais,
principalmente ao calcularem os seus índices de massa corporal sob os controles dos seus
pesos, usando a fórmula IMC = massa/altura (massa em kg e altura em m), por meio da tabela
de peso, em que consultavam seus dados e os dos colegas, classificando-os como baixo,
normal, pré-obeso e obeso. Na ocasião, ao verificarem suas medidas, vivenciavam práticas
com os números irracionais. As figuras 31, 32 e 33 mostram os alunos realizando a atividade.
Figura 31 – Alunas medindo a altura
Figura 32 – Aluno medindo a massa
Fonte: acervo da pesquisadora
Fonte: acervo da pesquisadora
126
Figura 33 – Alunos de Pedagogia realizando os cálculos das atividades
Fonte: acervo da pesquisadora
As próximas atividades, 3 e 4, foram tomadas como questões centrais. Elas
envolviam os números 0,9 e 0,999... , e os alunos, tanto de Pedagogia como de Matemática
foram convidados a pensar matematicamente, observando as condições desses números ora
em posições decimais, ora como uma dízima periódica simples e infinita. O Quadro 10
apresenta as respostas dadas pelos alunos com relação à questão 3.
Quadro 10 - Respostas dos pesquisados sobre a questão 3
PEDAGOGIA
MATEMÁTICA
QUESTÃO 3: PENSE UM POUCO E RESPONDA
Sim
Não
Sim
Não
a) Os números 0,9 e 0,999... são iguais?
19
19
b) Os números 0,99 e 0,999... são iguais?
2
17
19
c) Os números 0,999 e 0,999... são iguais?
10
9
6
13
d) Os números 0,9999 e 0,999... são iguais?
2
17
19
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
A questão 3 foi realizada por grupos de cinco a seis componentes, porém cada um
respondia sua atividade. Constatamos que houve, em ambas as turmas do estudo, apenas
pequenos grupos interessados em responder pensando matematicamente. Alguns escreviam
mecanicamente, de acordo com o que o colega vizinho fazia, sem se interessar em analisá-la.
Ou seja, escreviam o que o colega decidia sobre as respostas solicitadas. Às vezes
percebíamos a não compreensão da questão por alguns, mas, se indagávamos sobre suas
dúvidas, respondiam que estavam entendendo.
Como está indicada no Quadro 10, a questão 3 solicitava que os alunos
respondessem se os pares de números, propostos em cada item, são iguais. Os alunos de
127
Pedagogia demonstraram não entender as situações apresentadas, principalmente no item c
em que o número continha a mesma quantidade de casas decimais após a vírgula. De 19
alunos, 10 afirmaram que 0,999 é igual a 0,999... , ou seja, não identificaram se era uma
dízima periódica ou um número racional. Com relação aos 19 alunos de Matemática, 13
responderam que não eram iguais e apenas 6 asseguraram serem iguais.
Para melhor entender o pensamento matemático dos participantes da pesquisa do
curso de Matemática, enquanto estavam resolvendo a questão, aproximamo-nos do aluno
(AM10), de um grupo mais empolgado e perguntamos o porquê de as respostas apresentadas
em todos os itens não serem iguais, e obtivemos a resposta: “Pois um é decimal e o outro é
periódico”.
A questão 4, assim como a 3, também envolvia os números 0,9 e 0,999... . Para
resolvê-la, os alunos podiam responder tanto por tentativa como utilizando a calculadora,
conforme o enunciado da questão:
4. Por tentativa ou usando calculadora descubra a forma fracionária dos seguintes números:
a) 0,9
b) 0,99
c) 0,999
d) 0,9999
e) 0,999...
Observamos que os alunos das duas licenciaturas, na maioria dos grupos, quando se
tratou dos números decimais finitos dos itens de a a d, responderam corretamente. Todavia,
ficaram confusos com a letra e que envolveu o número 0,999....
Na turma de Pedagogia, todos os grupos souberem escrever em forma de fração as
letras de a a d. Contudo, no item e, para o qual solicitamos o número 0,999..., em forma
fracionária, observamos que algumas equipes tiveram dificuldade e deixavam em branco;
outras até tentavam encontrar a solução e, como não tinham certeza, escreviam qualquer
forma de fração. Dos alunos investigados em Matemática, ao resolverem o item, constatamos
que dois grupos não consideraram (0,999...), como uma dízima periódica infinita e
escreveram em forma de fração decimal. Um grupo não respondeu à questão e outro, além de
escrever em forma de fração decimal, expressou ser infinito.
Fizemos nossas intervenções e indagamos aos grupos sobre as suas respostas, de
forma que, no decorrer da aplicação dessa atividade, observamos um aluno explicando aos
colegas de seu grupo a resolução do número 0,999..., algebricamente, cuja resposta era 9/9,
com resultado igual a 1. Aproximamo-nos do grupo, provocamos os participantes a
explicarem a sua solução e os estimulamos a justificarem as suas conjecturas.
128
Esse aluno admirou-se muito, disse “vou explicar”, e, lembrando-se do cálculo que
usa na sua sala de aula, com os alunos do 8º ano do ensino fundamental, quando trata de
determinar uma fração geratriz de uma dízima periódica, apressou-se em justificar:
“Professora, eu ensino assim aos meus alunos, pois é assim que está no livro didático”
(AM8). Vejamos a explicação: “Eu chamo de x a fração geratriz e digo que x = 0,999... e,
depois, multiplico ambos os membros da igualdade por 10, que é o valor conveniente, até
obter uma igualdade equivalente onde seja possível subtrair-se a igualdade da nova
igualdade, para eu poder eliminar a parte decimal. Assim, eu multiplico ambos os membros
da igualdade por 10. Assim, 10x = 9,999... . Quando eu subtrair, obtenho 9x = 9 e chego à
resposta que x = 1”.
Para concluir a aplicação das questões sobre números, tratamos de apresentar aos
alunos as atividades com os números irracionais, as quais envolviam situações-problema com
o π = 3,14... , e eles pudessem escrever um número irracional entre os números, como 2,5 e 3
e -10/3 e -8/3.
Uma atividade que entusiasmou os grupos, nas turmas investigadas, foi sobre o
comprimento de uma circunferência. Nela, era solicitado o uso de barbante ou régua, em
objetos arredondados, para medirem o comprimento da circunferência, como também seu
diâmetro, e calcular a razão entre os mesmos (c/d). A figura 4 mostra o aluno realizando a
atividade sobre π:
Figura 34 – Aluno de Matemática executando tarefa prática do π
Fonte: acervo da pesquisadora
129
Para essa tarefa, lembramos aos investigados alguns elementos presentes em uma
circunferência: diâmetro, raio e corda. Nessa atividade, sugeríamos a observação do que pode
acontecer com relação ao PI (π = 3,14...). O Quadro 11 resume o que observaram alguns dos
alunos investigados.
Quadro 11- Observações dos alunos sobre atividade do Pi e o comprimento da circunferência
PEDAGOGIA
MATEMÁTICA
Nos objetos arredondados, a divisão do comprimento
pelo seu diâmetro é sempre aproximado ao valor do Pi
(AP1).
Observo que houve uma repetição nos valores
encontrados na razão entre o comprimento e o
diâmetro em valor aproximadamente para 3,2 que
podem ser uma aproximação ao valor do Pi (AM5).
Quando dividimos o comprimento pelo diâmetro o
resultado simplesmente é igual ao valor que
representa o Pi (AP13).
A divisão do comprimento pelo diâmetro chega
próximo ao pi = 3,14... (AM15).
É uma constante que é obtida da divisão do
comprimento e o diâmetro de uma circunferência
(AM7)
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Todos são irracionais e aproximados ao Pi (AP11).
Por fim, apresentamos um depoimento de uma aluna de Pedagogia que, na nossa
compreensão, absorveu todo nosso diálogo com esse estudo sobre os números, principalmente
os irracionais. Ao fazer seus cálculos, sempre sem uso de calculadora (à mão ou
mentalmente), com seus objetos escolhidos, fez sua observação bem mais abrangente que os
demais e expressou: “Algumas medidas dão números irracionais; dízimas não periódicas,
independente do objeto medido, a divisão do comprimento dividido pelo diâmetro dá sempre
um número próximo do π =3,14...” (AP 21).
A questão 6 foi outra também muito discutida, quando realizada pelos alunos, tanto
de Pedagogia quanto de Matemática. Dentre as opções do enunciado da questão (a a d), o
aluno deveria marcar aquela em que o número não podia ser expresso em forma fracionária e,
depois, opinasse sobre a questão.
6. Qual dos números abaixo não pode ser expresso na forma de fração?
a)
b)
c)
d)

0,1001001001001001001000...
0,6234623462346234...
5,21043210432104321043...
3,142114221423142414251426...
O que se conclui sobre essa questão?
130
Na turma de Pedagogia, dos 14 alunos que participaram da atividade, todos optaram
pela letra d. Dos 14 alunos participantes de Matemática, 12 marcaram a letra d e 2 alunos não
responderam. O Quadro 12 evidenciam as conclusões a que chegaram os alunos sobre a
solução da questão.
Quadro 12 - Conclusões dos investigados sobre a solução da questão 6
PEDAGOGIA
 Para expressar um número em forma de fração é
necessário se ter uma sequência, o que não
acontece com o mesmo;
 Porque não é uma dízima periódica;
 Não, porque são dízimas periódicas sem fim;
 Somente a letra “d” não pode ser escrita em
forma de fração porque a dízima não é periódica;
 O número que não representa uma periódica,
não pode ser expresso na forma de uma fração;
 Só as dízimas periódicas podem ser expressas
sob forma de fração;
 Porque não é uma dízima periódica; a sequência
após a vírgula não é a mesma.
MATEMÁTICA
 Os números irracionais (dízimas não periódicas)
não podem ser expressos na forma de fração;
 O número que não repete o período não pode ser
escrito na forma de fração, ou seja, ele é irracional;
 Número irracional, sendo assim impossível
escrever na forma de fração;
 Que é um número irracional, portanto, não é
possível colocarem forma de fração;
 Por ser uma dízima não periódica;
 Só as dízimas periódicas é que podem ser
escritas na forma de fração;
 Que apenas as dízimas periódicas podem ser
escritas em formas de fração.
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Para concluirmos a análise da questão 6, na qual se observou ter uma maior
predominância para a letra d, queremos registrar outras respostas marcadas pelos alunos. Um
investigado de Matemática, respondendo individualmente, ao marcar as letras c e d, concluiu
“que as dízimas periódicas simples poderão ser escritas em forma de fração, já a composta
não”. Outro aluno marcou todos os itens de a a d, e a sua justificativa era que “todos são
números irracionais”. Aconteceu de uma aluna não responder; por fim, a aluna marcou a letra
d, mas não fez suas conclusões pela opção. Na nossa análise, esses alunos não tinham certeza
da definição dos racionais e dos irracionais, fato justificado pelas ausências nas sessões de
estudos sobre os números; embora eles tivessem outra formação, mas era em áreas da
Educação como Pedagogia e estavam ainda em formação na licenciatura em Matemática.
5.2.2 Sessão de estudo 2: seção áurea
Para dar continuidade às sessões de estudo, elo encontrado didaticamente para a
aplicação de uma sequência de atividades sobre seção áurea, primeiro estudamos a temática
através de artigos científicos, livros didáticos e obras clássicas como “Os elementos”. Depois,
elaboramos a sequência de atividade com base nos seguintes objetivos: a) representar a seção
131
áurea como um exemplo a mais dentre os números irracionais, explicando o contexto
histórico e a descoberta da incomensurabilidade; b) investigar na obra, Os Elementos de
Euclides, a definição de seção áurea; c) compreender a definição da proporção áurea a partir
dos gregos antigos; d) construir retângulos áureos cujas medidas das bases correspondam às
medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo.
Planejamos a sessão de estudo, com duração de seis horas. O desenvolvimento do
estudo iniciou-se dia 4 de julho, na turma de Pedagogia, e no dia 14 de julho, na de
Matemática, e, respectivamente concluído, dia 11 e 14 de julho, sendo os encontros realizados
em duas etapas: uma com 2 horas e outra com 4 horas. Para o primeiro encontro,
desenvolvemos a seguinte pauta:
 leitura compartilhada com a música “Aula de matemática” - autoria de Antônio
Carlos Jobim e Marino Pinto/ voz de Santiago;
 apresentação do slide e vídeo - seção áurea: definição e um breve histórico;
 construção do conceito de seção áurea, a partir de um segmento de reta, utilizando
um barbante.
 explicação do método/técnica do retângulo áureo;
 aplicação das atividades de grupo com seção áurea;
 avaliação do estudo.
Para fomentar o debate sobre seção áurea e revisar o assunto anterior, sobre a
incomensurabilidade dos números irracionais, começamos primeiro fazendo uma leitura
compartilhada com a letra, antes da execução da música.
Provocamos os alunos de Pedagogia e de Matemática para o debate aproveitando
estrofes, que citam que “Por uma fração infinitesimal; Quando dois meios se encontram
desaparece a fração, E se achamos a unidade; Está resolvida a questão; Se
desesperadamente, incomensuravelmente”. Nesse momento, perguntamos que relação eles
viam dessa estrofe ou até de alguma palavra com os números irracionais e a seção áurea;
como tinham estudado, logo falaram “Ah! Professora é questão do infinito do número” (aluno
de Matemática). Os estudantes participaram do debate mais intensamente, quando
perguntamos sobre o que entendiam por incomensuráveis e uma aluna de Pedagogia disse: “é
o que não se mede” ou ainda, quando solicitávamos que enumerassem palavras que remetiam
aos conteúdos estudados sobre os números e o componente da Matemática presente na letra
132
da música em destaque. De imediato, falaram: “paralelas, dois meios, incomensuráveis.
Fração”, essas foram as palavras mais citadas na hora das suas respostas.
Dando continuidade à pauta, fizemos um breve histórico sobre seção áurea, no
pensamento grego, apresentamos sua definição e o método do retângulo áureo. Para essa
explanação, foram utilizados slides que contemplaram os principais aspectos históricos da
seção áurea na Matemática, na Arquitetura grega de Pitágoras e na Renascença de Andrea
Palladio. Para finalizar, explicamos a técnica de construção de um retângulo áureo, ao qual foi
acrescentado um pequeno vídeo do you tube, pesquisado nos seguintes sites:
 http://www.youtube.com/watch?v=3z6A60hrS6A;
 http://www.youtube.com/watch?v=WVc2bS5Gc-k
Oportunizamos, aos colaboradores da pesquisa, espaços de discussões com a
temática. Foram diálogos ricos de aprendizagem e conhecimentos. São horas de escuta, de
falas, gravações e de depoimentos, mediados sob nossa intervenção. Para nós, foram
momentos acolhedores e prazerosos. Mas, para que isso acontecesse, recorremos a estratégias
de ensino diversificadas, sessões de estudos, como também ao uso de uma sequência de
atividades.
Na preparação inicial do primeiro encontro com seção áurea, fizemos um painel com
diversos retângulos áureos, utilizando cartolinas coloridas, em tamanhos proporcionais, para
serem colocados na lousa, junto ao nome do tema em estudo. Convidamos os alunos a
montarem uma figura decorativa com os retângulos áureos (Figura 35). Observamos que
houve mais participação e empolgação entre os grupos, entre a mediação interventiva e os
alunos individualmente para a realização da sequência de atividade. Vimos os alunos, tanto de
Pedagogia como de Matemática, fotografar, em suas máquinas ou celulares, no decorrer do
estudo, os cenários montados, para seu registro pessoal.
133
Figura 35 – Ambiente escolar para o encontro sobre seção áurea
Fonte: acervo da pesquisadora
Vencida essa etapa, chegamos ao bloco final da sessão de estudo. Nele, a intenção
era oportunizar aos atuantes da pesquisa a compreensão de seção áurea no pensamento de
Euclides (2009, p. 231), no qual enfatiza: “uma reta é dita estar cortada em extrema e média
razão, quando como a toda (a reta) esteja para o maior segmento, assim o maior para o
menor”.
Sugerimos que os alunos formassem grupos; distribuímos para cada grupo dois
pedaços de barbantes de tamanhos iguais. Orientamos para eles dividirem um dos pedaços em
tamanhos desiguais, colassem em uma folha e trabalhassem esses barbantes como segmento
de retas, identificando neles os pontos das extremidades como A, B; os menores de “a” e “1 –
a” e que o barbante completo tomassem como unidade igual a “1 U”. Por fim, algebricamente,
fizessem os cálculos para encontrar o valor de φ. A Figura 36 mostra o cálculo feito por um
dos grupos.
134
Figura 36 – Cálculo da seção áurea
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Na sequência da pauta, exploramos atividades sobre seção áurea; primeiro revisamos
os aspectos históricos do quadrado de lado 1; a raiz quadrada de 2; pentágono e sua relação
com a seção áurea; a descoberta da incomensurabilidade e com eles os números irracionais até
chegarmos aos matemáticos antigos, como Pitágoras e Euclides.
Organizamos os alunos em grupo e entregamos cópia da atividade (Apêndice B). Antes de
respondê-la, sugerimos que eles construíssem um retângulo áureo, utilizando régua não
milimetrada e compasso, conforme orientações do método da sua construção. A Figura 37
mostra uma das construções feitas pelos grupos.
135
Figura 37 – Geometrizando seção áurea
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Para facilitar a construção do retângulo áureo, apresentamos aos alunos seis etapas
que possibilitaram relembrar conceitos matemáticos e geométricos, como quadrado, ponto
médio, reta perpendicular, diagonal, segmento de reta, entre outros. Após essa execução,
entregamos retângulos de cartolinas com diferentes medidas de comprimento e largura, e
solicitamos que cada aluno verificasse, com auxílio de régua e compasso, se o mesmo,
geometricamente, era áureo. Houve grupo que usou réguas e calculadoras para fazer as
mensurações do comprimento e da largura, cujo cálculo deveria ser equivalente a Fi = √5
+1/2. O valor a ser descoberto pelos alunos, em atividade, deveria ser aproximado a 1,618... .
Assim, os alunos de Pedagogia e de Matemática descobriam se o retângulo era áureo (Figura
38).
136
Figura 38 – Provando com régua e compasso retângulos áureos
CONSTRUÇÕES DOS PARTICIPANTES DE PEDAGOGIA E MATEMÁTICA
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Durante essa atividade, houve muita integração e interesse dos alunos. Na sala de
aula de Pedagogia, descobrimos que tínhamos artistas: um pintor de tela, uma cordelista, um
saxofonista e uma desenhista. Esta, desde o início da pesquisa, ressaltava que não gostava de
Matemática. Ela até participava das discussões, mas, na hora dos cálculos, não tinha interesse
em fazê-los. A partir desse estudo, para nós, começava a desconstrução dessa matemática
vista no seu pensar, para uma nova matemática; foi muito evidente a mudança do pensamento
dessa aluna, como também de outras alunas.
Explicamos às turmas o porquê de trabalhar com régua não milimetrada;
asseguramos estar tratando da Geometria euclidiana e de uma geometria antiga, acreditandose que seus instrumentos eram rudimentares. Naquela ocasião, indagamos se eles tinham uma
ideia de como eram esses instrumentos matemáticos, que possivelmente existiam na época
dos pitagóricos e de Euclides. Um dos participantes da Pedagogia, o aluno pintor, advertiu
“acho [que] eles usavam compasso com pregos, para fazer as circunferências”. Recordamos
que no tempo de Pitágoras, seção áurea era identificada por secção e, no tempo de Euclides,
era conhecida por extrema e média razão.
Divididos em grupos, apresentamos a questão 1: nela os alunos eram convidados a
abrir a obra Elementos de Euclides (Fotos 39 e 40) para pesquisarem a definição de seção
137
áurea. Encontrada a definição, solicitamos que um dos alunos fizesse a leitura oral e depois
copiassem na lousa para os outros colegas.
Figura 39 – Alunos de Matemática discutindo seção áurea em Os elementos
Fonte: acervo da pesquisadora
Figura 40 – Alunos de Pedagogia em atividades de seção áurea
Fonte: acervo da pesquisadora
Ainda nessa questão, propomos que os alunos falassem sobre a discussão existente
na história pitagórica, referente ao pentagrama, o quadrado de lado 1, a definição da seção
áurea e a incomensurabilidade dos irracionais. Um aluno de Matemática disse: “Bastante
interessante, pois podemos discutir sobre as hipóteses da origem dos números irracionais,
138
através da seção áurea, e podemos compreender quando um retângulo é áureo (AM)”. Ainda
na discussão da incomensurabilidade dos irracionais, os alunos de Pedagogia disseram: “Os
pentágonos regulares possuem a característica de gerar uma sequência infinita de
pentágonos” (AP3); “Que dentro de um pentágono regular, vai gerando uma infinita série de
pentágono” (AP17).
Na sequência da atividade realizada pelos alunos, destacaremos a quarta questão.
Explicamos aos grupos como os gregos antigos consideravam os retângulos, cujo lado maior
fosse para o lado do menor numa razão 1 + √5 / 2, seriam retângulos harmoniosos. Essa
divisão, que eles chamavam de extrema ou média razão, tornou-se conhecido como seção
áurea, proporção áurea, razão áurea, número áureo ou número de ouro e assim um número
irracional.
Com base nessas informações, orientamos que os alunos respondessem o que era
harmonia e obtivemos como respostas: “Sequência de forma organizada” (AP20);
“Disposição bem ordenada entre as partes de um todo (AM14)”; “É algo que existe
equilíbrio” (AM17); ”São razões que podem ser consideradas como proporcionais” (AM13);
“Quando há uma proporcionalidade entre as partes de um corpo ou figura”;
“Representações que se encaixam perfeitamente” (AM18); “É quando tudo se encaixa se
combina se complementa” (AP2); “Tudo tem que estar no seu estado perfeito, correto, unido,
organizado” (AP3); “É interação de algo para se chegar ao todo” (AP20); “É quando tudo
se complementa de forma proporcional” (AP19); “É algo, belo, perfeito, organizado” (AP3).
Para que os alunos melhor compreendessem a seção áurea, foram apresentadas
tarefas como a quinta questão e demos um quadro para ser completado de acordo com o que
era solicitado. Por exemplo, o grupo escolhia os objetos retangulares de sua preferência e,
fazendo cálculos com as medidas de comprimento e largura, eles verificariam se os retângulos
eram áureos; para isso, dividiam e encontravam as razões nesses objetos. Em equipe, eles
trabalharam com cartões de crédito, carteira de estudante, documentos pessoais, folha do
ofício e até celulares. A figura 41 evidencia o cálculo que o grupo fez para saber se o celular
representava um quadrado áureo.
139
Figura 41 – Descobrindo objetos retangulares áureos
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora
Os alunos também responderam a questão, após discussão entre os colegas do seu
grupo. Sobre esse ponto, os graduandos de Matemática, assim se expressaram: “É a razão
entre o comprimento e a largura do retângulo” (AM12; AM14); “Quando divide-se o
comprimento pela largura e o resultado deve ser igual a Fi” (AM9); “Se dá quando a razão
entre o comprimento e a largura é igual ao valor do Phi” (AM5); “Quando dividimos o
comprimento pelo valor da largura do retângulo, onde o valor do resultado é o valor do
resultado é o valor de φ” (AM2).
Sobre essa mesma questão, os alunos da Pedagogia disseram: “Os retângulos são
proporcionais, a partir do quadrado de forma harmoniosa, essa harmonia forma seção áurea”
(AP2; Ap19; AP4); “É a medida que classifica o retângulo como perfeito” (AP8); “É a
unidade que classifica o retângulo como sendo perfeito” (AP6); “É a medida que classifica se
o retângulo como sendo perfeito” (AP15).
Propomos, ainda, que os participantes comparassem as suas definições com a
definição dada por Euclides, em Os Elementos, escrevendo o que elas tinham em comum.
Embora nem todos respondessem, houve quem destacasse: “Proporção e harmonia”;
140
“proporcionalidade”; “Euclides definiu de forma científica, utilizando-se de linguagem
voltada aos termos geométricos, enquanto que o grupo define de forma simples, dentro de
nossa compreensão”. Após a aplicação dessas atividades e, para finalizar a discussão sobre o
assunto, lançamos aos participantes do estudo duas perguntas: “O que eu não sabia sobre
seção áurea?” e “O que aprendi sobre seção áurea no decorrer dos encontros?” O Quadro 13
sinaliza as respostas dos alunos.
141
Quadro 13 - Respostas dos alunos relativas ao estudo sobre seção áurea
O QUE EU NÃO SABIA SOBRE SEÇÃO
ÁUREA?
O QUE APRENDI SOBRE SEÇÃO ÁUREA?
 Eu nunca tinha ouvido nem falar o que era
seção áurea, não tinha noção nenhuma sobre
esse assunto;
 Eu nunca tinha ouvido ou visto falar deste
termo;
 O que era seção áurea;
 Não sabia nada;
 Não lembro ter estudado, se quer ouvindo
falar;
 Eu não sabia nada sobre seção áurea,
contudo com a aula da professora, eu já
consigo identificar um pouco sobre o tema;
 Da seção áurea não vi ou não lembrava mais
a aula foi válida;
 Não sabia que existem retângulos perfeitos e
não perfeitos;
 Tudo;
 As aulas foram de extrema importância. Ela
nos trouxe assuntos que não tínhamos o
conhecimento;
 Conceitos etc, ouvia falar;
 Eu não sabia que existia retângulo áureo;
 Após as aulas aprendi que Euclides descobriu o valor do
Fi, e do Pi que segmentos compostos por parte geométrica
retangular. E que há retângulos áureos ou não. Fi= √5+
1/2 e Pi= 3,14 (Φ e );
 Seção áurea é a harmonia, a proporção entre dois
segmentos. Aprendi também sobre o valor do “fi” que é
√5+ ½
 Aprendi um pouco. Porque pouco sei de Matemática;
 Novos conhecimentos sobre o valor de φ e como encontrar
o retângulo áureo;
 Aprendi o que é φ fi;
 Eu aprendi na aula passada que existe retângulo áureo (de
ouro). Para que tenha esta característica, as extremidades
do quadrado encontrado devem está de acordo. Ao usar o
compasso; dividir o comprimento pela largura do
quadrado e seu resultado seja 1,618.
 Que á a razão entre dois segmentos fi maiúsculo Φ - φ
minúsculo;
 Com os encontros da professora passei a conhecê-la um
pouco. Não posso dizer que domino, mas ao ver num livro
este assunto, penso que realizarei os cálculos.
 Pena por que faltei algumas aulas; mas quando participei,
relembrei da fórmula de Báscara, do teorema de Pitágoras,
sobre razão e lembrei de Π de quanto ele valia e aprendi
sobre os naturais, reais, irracionais está sendo muito
importante essas aulas.
 Para mim veio algumas lembranças sobe proporção e
razão;
 O que é seção áurea;
 Que a partir de um pentágono-pentagrama, φ Fi
 Fi foi um assunto que jamais havia escutado falar dentro
da Matemática. Entendo que qualquer conhecimento que
nos é proporcionado é válido.
 Parte geométricas (retângulo) e que é um segmento.;
Euclides descobriu o valor do Fi φ e do Pi Π =3,14 e
outras como o histórico da seção áurea e de seus
historiadores....
 Retângulo áureo é o retângulo perfeito. Quando dividido o
comprimento pela largura o seu resultado deve ser 1,618.
 Com essa aula descobri que uma de suas características e
divisão do comprimento pela largura seja igual a 1,618.
 A partir de cálculos em determinado retângulo, encontrase um quadrado para a partir de centralidade desse
quadrado, encontrar sua diagonal e com o ponto na parte
superior, com um compasso, traçar até o final. Se o
retângulo encontrado coincidir com o final do inicial, foi
encontrado o retângulo áureo. Seu cálculo mede 1,618;
valor de fi (φ).
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora
Na turma de Matemática, ao finalizarmos o encontro sobre seção áurea, perguntamos
quem gostaria de falar sobre o assunto. O discente (AM14) foi, por sinal, um dos que mais
142
incorporou o espírito atuante junto à nossa pesquisa, fato positivo por termos percebido ser o
mesmo uma liderança na sala junto aos seus colegas, ao fim desse encontro falou:
“professora, eu só tenho uma palavra para definir o dia de hoje: foi incomensurável”
(AM14); mencionado isto, os demais aplaudiram. Uma aluna, dias após a conclusão do
assunto em sala, nos corredores, em conversa informal, ainda fez referência ao estudo e expôs
sua preocupação: “professora, eu sou supervisora e esse conteúdo não está na grade
curricular da escola, mas é importante que o professor mostre aos alunos” (AM18). Nesse
caso, somos solícitos a informar que comungamos conteúdos na visão de Castro e Carvalho
(2001, p. 18), quando orienta conteúdos tidos [...] “como aquisições por meio de
aprendizagem, que no caso ideal deveriam tornar-se permanentes”.
Isso nos fez perceber que as atividades desenvolvidas têm contribuído para eles
entenderem seção áurea, não de forma mecânica e repetitiva, mas vê-la como um conteúdo
matemático possível de ser abordado na sala de aula e de forma criativa. Enfim, concluímos
esta terceira sessão, e suas respectivas tarefas, certos de que o professor é “[...] construtor da
sua prática, de saberes, quando no contexto singular da sala de aula sob finalidades de
pesquisas, na busca de criar situações mediadas por valores e critérios educativos”
(RAMALHO; NUÑEZ; GAUTHIER, 2004, P.27).
5.2.3 Sessão de estudo 3: a matemática na arquitetura de Palladio
A temática Matemática e Arquitetura de Andrea Palladio foi o terceiro estudo, dentre
as quatro sessões de intervenção pedagógica por nós realizada. Neste, tivemos o propósito de
abordar a biografia, obras e o Tratado de Andrea Palladio; a Matemática de Andrea Palladio e
a avaliação da tese de Rachel Fletcher. Em sintonia com esses propósitos, planejamos a
terceira sequência de atividade (Apêndice C) para ser desenvolvida durante seis horas, sendo
um encontro no dia 17 e o outro em 28 de junho de 2012, respectivamente em Pedagogia e
Matemática.
A pauta desses encontros constou de: a) organização, pelos alunos, da sala de aula
dentro da temática italiana; b) apresentação e discussão com uso de slide/PowerPoint e vídeos
do You tube sobre Andrea Palladio e sobre a tese de Rachel Fletcher referente à seção áurea
na Villa Emo; c) produção artística e literária em cordel, poesia ou paródia sobre Palladio.
Para facilitar nossa análise, descreveremos os detalhes mais significativos
vivenciados didaticamente em cada um dos pontos da pauta. Para o primeiro momento –
143
organização da sala de aula –, entendemos que, para o desenvolvimento do tema, seria preciso
empolgar os alunos, ou seja, dar oportunidade de eles exercitarem a criatividade. Sem
medirmos esforços, adquirimos materiais apropriados para a arrumação da sala de aula, como:
tecidos nas cores da bandeira italiana, que foram usados em cantos da sala; fizemos um
letreiro com o nome do tema de estudo para ser colocado na lousa; levamos um pôster do
assunto o tratado Os quatro livros de arquitetura de Palladio, reprodução das plantas baixas
das villas, o livro A Matemática no século de Andrea Palladio e enciclopédias.
Propositalmente, convidávamos os alunos, em grupos, a arrumar o ambiente escolar;
ao nosso modo de ver, era o início da aprendizagem do assunto, pois eles se inteiravam com
cartazes, literatura, recursos da tecnologia, assim como tivemos a oportunidade de
conhecermos as habilidades dos participantes porque, nessa hora, eles próprios ressaltavam
quem era competente para cada fim. Concordamos que, para esses momentos, gerou euforia e
interesse aos envolvidos no processo. A figura 42 mostram os alunos, com a colaboração da
pesquisadora, organizando a sala de aula.
Figura 42 – Alunos de Pedagogia organizando a sala
Fonte: acervo da pesquisadora
Ainda no primeiro dia do estudo nas duas turmas fizemos uma exposição dialogada
intitulada “Historiando a vida, contexto histórico, obras e legados de Palladio”, com recurso
de slides. Concluída a apresentação, solicitamos que os grupos elaborassem, de forma
criativa, uma produção literária ou artística sobre o tema estudado para ser apresentada no
próximo encontro. Isso tanto em Pedagogia como em Matemática. Para finalizar o encontro, o
qual teve 2 horas de duração, foram servidas aos participantes pizzas, como uma forma de
144
celebrar ou dar boas vindas a essa terceira sessão de estudo do arquiteto italiano Andrea
Palladio.
Ao prosseguir o estudo, na turma de Pedagogia surgiu um problema com relação à
intervenção em sala: os alunos estariam em estágio supervisionado, por uma semana; era final
de período, os professores estavam em pleno andamento para a conclusão de suas disciplinas,
alunos produzindo seminários, professores aplicando provas. Esses fatos dificultaram o
andamento do processo de estudo nessa sala, pois houve momento em que professores não
colaboraram com a nossa intervenção alegando a necessidade de aplicarem provas, fazer
seminários e/ou estavam apressados para concluir a sua disciplina, ou ainda afirmavam “eu
tenho de dar meus conteúdos”.
Em parceria com a turma, propusemos concluir a terceira sessão no dia 04 de agosto
com um minicurso que se realizou numa manhã de sábado e com duração de cinco horas. Ao
esquematizarmos o minicurso, para fazer ressonância com tudo que já vinha sendo
apresentado, intitulamos por “Atividades investigativas da história antiga da matemática de
Pitágoras ao renascimento de Andrea Palladio no ensino da matemática”, cuja programação
segue em destaque:
145
MINICURSO
ATIVIDADES INVESTIGATIVAS DA HISTÓRIA ANTIGA DA MATEMÁTICA DE PITÁGORAS AO
RENASCIMENTO DE ANDREA PALLADIO NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Ministrante/Coordenadora: Francisca Vandilma Costa (doutoranda/UFRN)
Período: 04/08/2012
Local: Escola laboratório do IFESP
PROGRAMAÇÃO
7h às 7h50 – Entrega do material e arrumação da sala
8h – Início: execução da música italiana – Andrea Bocelli- Com ti partirò;
8h20 às 9h – Apresentação e debate de slides sobre a Villa Emo e a tese de Rachel Fletcher
9h às 10h – Apresentação do vídeo youtube/ Villa Emmo e aplicação das tarefas em grupo com as plantas baixas
da Villa Emo
10 h às 10h20 – Lanche
10h20 – Leitura, escuta da música Como dois e dois – Roberto Carlos
10h30 às 11h – Explicação do slide sobre Demonstração de redução ao absurdo
Definição, história e exemplo clássicos das raízes quadrada de 2.
11h às 12h – tarefa em grupo
12h às 12h 40 – debate
12h40 às 13h – Avaliação e encerramento: execução do DVD (BOCELLI. Vivere – Live in Tuscany) com uma
apresentação da terra italiana feita por – Andrea Bocelli e execução da música Melodrama.
Pelos resultados advindos da realização do minicurso, decidimos estendê-lo para os
de Matemática, pois, nessa turma, havia ocorrido recesso junino e muitos feriados,
prolongando o período de nossa intervenção para além do planejado. Por ser o minicurso uma
continuação do estudo sobre Andrea Palladio, organizamos uma exposição na sala de aula, a
partir da sua entrada, com os seguintes materiais: um banner do minicurso com imagens de
Andrea Palladio; pôster de apresentação em congresso; livros didáticos e paradidáticos para
os conteúdos: seção áurea, Andrea Palladio e a redução ao absurdo; reprodução das plantas
baixas das Villas de Palladio; o Tratado “Os quatro livros de arquitetura de Andrea Palladio”
e o livro “A Matemática no século de Andrea Palladio”, enciclopédias, entre outros, como
podemos visualizar na figura 43.
146
Figura 43 – Exposição dos livros estudados
Fonte: acervo da pesquisadora
Nossa intenção era que os alunos interagissem logo ao chegarem à sala de aula,
lembrando que eles próprios fizeram a organização dos materiais e da própria sala. A turma
de Pedagogia, como já mencionamos, tinha dois alunos artista pintores (AP12; AP20) e, por
terem essa habilidade, foram os que mais se empenharam e coordenaram a arrumação da sala,
inclusive chegando mais cedo e de imediato falando: “professora estamos aqui para ajudála”. A aluna (AP20) mostrou-me um painel, por ela confeccionado em papel embrulho que
continha a capa do primeiro tratado de Palladio, todo feito em lápis cera (Figura 44). Além de
letreiro com outras técnicas em tom envelhecido, cartazes com resultados de pesquisa
realizada na internet sobre as Villas de Palladio. Isso, feito por interesse próprio; inclusive,
quando veio mostrar-nos, e elogiamos o seu trabalho, cogitando até recompensá-la
financeiramente, ela falou: “imagine... professora, eu passei a noite fazendo, mas eu fiz
porque queria ajudar à senhora, e também porque eu adoro desenhar, pintar e adorei
pesquisar sobre Palladio”.
Figura 44 – Desenho da capa do Tratado de Palladio
Fonte: material produzido pela aluna AP20 de Pedagogia
147
Nessa harmonia, iniciamos o minicurso na turma de Pedagogia que também não se
diferenciou muito, apresentando a mesma consonância com a turma de Matemática; apenas
para eles foi mais prático, pois levamos toda a produção dessa turma para a sala deles. Isso
devido à turma de Matemática ser, na maioria, alunos do interior do estado, os quais, para
assistirem às aulas, viajavam quilômetros e mais quilômetros de distância, o que ocasionava
atrasos às sessões de estudo.
Para uma melhor organização pedagógica do minicurso, programamos as ações das
atividades de grupo em duas etapas: a primeira com conteúdos da teoria Fletcher sobre a Villa
Emo de Palladio e uma segunda com o conteúdo da Demonstração do absurdo. Com relação à
primeira etapa, iniciamos com uma música do tenor italiano Andrea Bocelli - Com ti partirò.
Depois explicamos a tese de Rachel Fletcher sobre a Villa Emo de Andrea Palladio, partindo,
primeiramente, de sua construção, do seu proprietário, os conceitos de Villas para Andrea
Palladio e seu estilo de edificar villas. No final, expusemos a tese em que Palladio usou seção
áurea apresentada por Fletcher sobre a Villa Emo. Para concluirmos a exposição e passarmos
para a aplicação das atividades, exibimos um vídeo da Villa Emo, em 3D, para as turmas
participantes da pesquisa.
Chegamos, assim, à hora de trabalharmos com as tarefas de ensino, postas em
atividade (Apêndice C) que continham cinco questões de ordem teórica e prática. Dividindose em grupos, a primeira questão a ser realizada solicitava que, diante das exposições e
debates, os alunos elaborassem, de forma criativa, uma produção literária. Os resultados não
apareceram facilmente, principalmente para os alunos da Matemática que, na maioria, usavam
a oralidade e demonstravam certa aversão à escrita. A turma de Pedagogia tinha mais
habilidades na escrita e suas produções superavam as dos alunos de Matemática, talvez por
serem das ciências humanas, e já estarem habituados mais com a leitura, a escrita e o debate.
Contudo, concordarmos que, independentemente de qualquer ciência, seja exata ou não,
principalmente em curso de formação de professor, devem ser estimuladas a leitura e a
escrita. A figura 45 registra os alunos em grupo para realizar a atividade.
148
Figura 45 – Aluna pesquisando em revista sobre Palladio
Fonte: acervo da pesquisadora
Para a realização dessa atividade, incentivamos os alunos a criarem um nome para
seus grupos; eles deram os seguintes nomes: Villa Kennedy, Palladio, Vitrúvio, e
Renascimento. O grupo “Villa Kennedy” da turma de Pedagogia fez as seguintes produções:
Produção do grupo Villa Kennedy
Foi na época do Renascimento
Um homem de muito invento
Na arquitetura demonstrou talento.
De muitas Villas, o destaque foi a Emo
Palladio influenciou a Arquitetura
Há quem diga que é Matemática pura
As plantas baixas de sua obra
São a harmonia ou é a seção áurea que prova?
Produção da aluna AP17
Em 1508
Nasce uma criatura
Italiano de Pádua
Que adolescente já tinha
Amor pela arquitetura
O seu nome era Palladio
Muito cedo acreditado
Prá seguir esta cultura
Aos trinta anos começa
149
Destaque na profissão
Custeado por Trissino
Que investe na educação
Com ênfase na arquitetura
Por vê sua dedicação
Durante todo esse estudo
Palladio assim implantou
Um sistema matemático
A seção áurea será que usou?
Nas villas paladianas
A simetria emana
Que o mundo copiou
Com Euclides aprendemos
Que há retângulos de ouro
Quando achamos o quadrado
Ficamos logo animados
Prá descobrir o tesouro
Prá achamos o retângulo áureo
Identifica-se o quadrado
Depois mede-se ao meio
Com auxílio de uma régua
Já não sei, estou alheio
Pois vou usar o compasso...
Ponto médio
Traça diagonal
Pronto descobre-se o tesouro
Ao saber a biografia
Do tão saudoso Palladio
Refleti a importância
Do contato das crianças
150
Com algum tipo de trabalho
Prá ser realizado na sala de aula
Elaborado com a matemática
Foram com esses versos em forma de quadrinhas que os alunos souberem abordar
dados históricos da arquitetura e matemática de Palladio.
Com as plantas da Villa Emo extraídas da obra, Os Quatro Livros de Arquitetura de
Andrea Palladio, sugeríamos que os alunos utilizassem compasso e régua e, sobre os
desenhos, aplicassem o método do retângulo áureo. No dia dessa atividade, sentimos que
houve interação entre os alunos, a troca de informação deles entre si foi mais intensa, eles
também dialogavam conosco como interventora da ação, de modo que souberam desenvolver,
geometricamente, as suas construções sobre as plantas da Villa Emo usando o método do
retângulo áureo. Sobre elas levantaram suas hipóteses e defenderam seus argumentos,
verificando onde podia ter ou não seção áurea, como mostram as sequências das construções
(Figura 46) por eles realizadas.
Figura 46 – Alunos analisando se há seção áurea na planta do bloco central da Villa Emo
Fonte: acervo da pesquisadora
Os alunos, sobre o bloco central da Villa Emo, nas plantas baixas, tentavam
geometricamente comprovar a existência ou não da seção áurea, usando a técnica do
retângulo áureo. Todas as atividades desenvolvidas com os alunos de Pedagogia eram
repetidas na turma de Matemática. Assim, as turmas trabalharam com as plantas do tratado de
Palladio, mas também incluímos uma reprodução ampliada de plantas baixas, da Villa Emo,
construídas por nós em pesquisa teórica conforme Palladio, Soltan e Zoconni e Fletcher.
151
5.2.4 Sessão de estudo 4: Demonstração da redução ao absurdo
O trabalho com a demonstração da redução ao absurdo foi realizado na turma da
Pedagogia no dia 04/08/2012 e na turma de Matemática em 24/08/2012. Neste estudo,
tivemos o intuito de abordar técnica da demonstração matemática da redução ao absurdo; para
isso, fizemos algumas considerações sobre redução ao absurdo: definimos argumento,
proposição e contradição. O encontro foi didaticamente realizado de acordo com a pauta
 leitura compartilhada da letra da música Como 2 e 2, de Caetano Veloso;
 exposição dialogada sobre demonstração de redução ao absurdo;
 elaboração de atividades com o tema estudado.
Iniciamos o encontro com a leitura compartilhada e propusemos que os alunos
identificassem, na letra da música, estrofes que os mesmos vissem como absurda. Para
finalizar esse momento de sensibilização para o estudo, executamos a música Como 2 e 2 na
interpretação de Roberto Carlos.
Dando prosseguimento à pauta, fizemos uma breve explanação sobre o tema. Com
base na obra Introdução às técnicas de Demonstração na Matemática (FOSSA, 2009),
explicamos a definição de conjectura, demonstração e proposição, além de argumento, bem
como apresentamos o método da redução ao absurdo e o exemplo clássico da prova raiz
quadrada de 2. A figura 47 permite-nos visualizar alunos de Matemática atentos à explanação
do tema.
Figura 47 – Sessão sobre redução ao absurdo
Fonte: acervo da pesquisadora
152
Na resolução de alguns exemplos sobre o assunto abordado, nossa intenção era fazer
com que os alunos entendessem que a ideia básica de redução ao absurdo é que uma premissa
não pode ser verdadeira se não levar a uma contradição. Após demonstrarem por absurdos as
raízes quadradas irracionais √2, √5, √7, eles descobrissem os motivos de a técnica da redução
por absurdo ser falha para a √4. Também propusemos que pesquisassem os conceitos de
contradição e argumento e construíssem exemplos de proposições contraditórias. As figuras
48 e 49 mostram os alunos desenvolvendo atividades práticas sobre técnica de redução por
absurdo.
Figura 48 – Aluna em atividades de pesquisa
Fonte: acervo da pesquisadora
Figura 49 – Alunos fazendo tarefas das demonstrações
Fonte: acervo da pesquisadora
Finalizando o estudo sobre Demonstração da redução ao absurdo, os alunos
realizaram a atividade 4 (Apêndice D). A primeira questão solicitava que os alunos dissessem
o que entenderam sobre a redução ao absurdo e obtivemos as seguintes respostas dos alunos
de Pedagogia: “É um método de prova matemática indireta, não construtiva” (AP13); “É
quando um argumento lógico possui várias hipóteses que se contradizem” (grupo Villa
Kennedy); “Fora do normal, algo que está fora do esperado” (AP7 e AP4); “É uma coisa
fora da regra do esperado” (AP3).
Os alunos de Matemática assim se expressaram: “Uma premissa não pode ser
verdadeira, se ela é contraditória” (AM15); “É quando uma premissa não é verdadeira se
ela nos levar a uma contradição” (AM9); “Entendi que é quando em duas afirmações uma
contradiz a outra” (AM6 e AM7). Dois alunos, que não se identificaram, disseram:
“Entendemos que a redução por absurdo é uma forma criativa de provar que uma premissa
153
não pode ser verdadeira se não levar a uma contradição”; “A redução por absurdo é uma
forma matemática de comprovar a construção lógica dos números irracionais”.
Na questão 2, propomos que os alunos, a partir da definição de contradição,
explicassem-nos se uma proposição que é verdadeira e falsa ao mesmo tempo pode ser um
exemplo de contradição. Os alunos da Pedagogia, ao responderem sim, deram as seguintes
explicações: “É aceitar como verdade aquilo que queremos provar” (AP4); “É afirmar e
negar algo ao mesmo tempo” (AP13); “Depende de como cada um entende por falsa ou
verdadeira” (AP5). Um grupo da Pedagogia, identificado como Villa Kennedy respondeu:
“Uma proposição é verdadeira ou falsa, não pode ser os dois ao mesmo tempo”.
Dos cinco grupos de alunos do curso de Matemática, dois deles responderam não e
argumentaram: “porque ela não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo”. Os demais
grupos, ao responderem sim, comentaram: “porque uma preposição afirma e outra
proposição nega”; “uma contradição é uma preposição que afirma e ao mesmo tempo nega”;
“porque a preposição pode ser falsa para número irracional e verdadeira para número
racional”.
A pergunta solicitada por nós na questão 3 foi: qual é a condição para que duas
proposições sejam consideradas contraditórias? O quadro 14 evidencia as respostas dos
alunos:
Quadro 14 - Síntese das respostas obtidas sobre a questão 3
PEDAGOGIA
MATEMÁTICA
 Quando não existe nenhuma possibilidade (AP2);
 Se ela está negando e afirmando em seguida ou viceversa (grupo Villa Kennedy);
 Quando afirmo uma sentença e a nego
imediatamente (AP3);
 Quando não há prova de nenhuma (AP5);
 Uma afirma e a outra nega (AP4);
 Uma seja verdadeira e a outra seja falsa (Grupo Villa
Verde);
 Quando não existe um a terceira possibilidade
(AP12) e (AP13).
 Uma proposição nega a outra (AM9);
 Quando ambas afirmam algo diferente (AM15);
 Que uma seja verdadeira e outra falsa (AM5) e
(AM6);
 A condição principal é que exista uma condição
lógica verdadeira, mais que não atenda a
proposições pretendidas (AM3);
 É preciso que uma sentença afirme e outra negue
(Am12), (AM7);
 Quando uma nega a outra (AM8), (AM16), (AM14),
(AM4).
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Na questão 4, foi proposto aos alunos a construção de proposições matemática
contraditória. Os estudantes de Pedagogia escreveram: “1 quilômetro é equivalente a 1000
metros. Um quilômetro não é 1000 metros”; “5 pertence aos números naturais. 5 não
154
pertence aos números naturais”; “2+2 X 2= 8 (falsa) 2 + 2 X 2= 6 (verdadeira)”; “2+2 é
igual a 4, 2 + 2 não é igual a 4 ; “” A ordem dos fatores não alteram o produto. A ordem dos
fatores alteram o produto”; “o numeral 8 é par. O numeral oito não é par”. Os alunos de
Matemática deram como exemplos de proposições matemáticas: “2+2 = 4 e 2+2 diferente de
quatro”; “A proposição da √2”.
Dando sequência, chegamos à questão 5; nela, solicitávamos que os alunos dessem
exemplo de proposição contraditória do quotidiano: Os alunos da Pedagogia comunicaram:
“Eu vou ao teatro. Eu não vou ao teatro”; “Vai chover e não vai”; ”Gosto de você mas não
gosto”; “É perto mas longe”; “Quero ir à praia, mas não quero”; “acho que sim, penso que
não”. Os investigados de Matemática disseram: “estou dentro e fora de sala de aula”;
“Amanhã vou e não vou ao Kennedy. Amanhã não vou ao Kennedy – Amanhã vou ao
Kennedy”.
De acordo com Fossa (2009, p. 77):
Em geral, uma contradição é qualquer proposição que tem a seguinte forma: A e não
A. Isto é, uma contradição é uma proposição que afirma algo e ao mesmo tempo
nega a sua própria afirmação. Dizemos também que as duas proposições A Não – A
são contraditórias, ou que uma é a contradição (ou a negação) da outra. As duas
proposições (1) Matilde morreu. (2) Matilde não morreu. São contraditórias.
Pela explicação de Fossa (2009), os exemplos dos alunos se aproximaram dos
conceitos lógicos do autor, o que para nós significa dizer que houve entendimento do assunto
abordado, principalmente para os estudantes da Pedagogia.
Ao tratarmos da sexta questão, como já havíamos explicado a demonstração por
absurdo sobre a raiz quadrada de dois, propomos que cada grupo escolhesse uma raiz
quadrada não exata e demonstrasse, provando por absurdos que ela é irracional. Os
investigados de Pedagogia, em grupo, individualmente ou em dupla, interagiram um com o
outro, ora nos perguntando ora calculando com os colegas.
Na turma de Matemática, percebemos que os alunos tiveram dificuldades para
realizarem suas demonstrações. Porém, logo após nossa explicação, um aluno sugeriu que um
colega, com formação em Física, que estava entendendo, explicasse para eles novamente.
Acatamos a sugestão e, mesmo com dificuldades, os alunos responderam a demonstração
proposta.
Para encerrarmos o estudo, apresentamos a sétima questão que consistiu de: com
base na demonstração anterior, provar que √4 é um número irracional. Após solução da
155
questão, dissessem a que conclusão eles chegaram. Na resolução dessa questão, percebemos
que, nas duas turmas, a todo instante, surgiam discussões envolvendo conceitos como
números primos, números racionais, números irracionais, linguagem que envolvia lógica
matemática e diversas tentativas para chegar à resposta final.
No decorrer da aplicação, tanto na turma de Matemática como na de Pedagogia,
íamos de grupo em grupo ver como eles estavam realizando suas demonstrações através do
método da redução ao absurdo. Encontrávamos a cada instante particularidade própria de cada
sala, seja de Matemática seja de Pedagogia, de responderem à questão solicitada. Por
exemplo, deparamos com alunos utilizando-se de argumentos de forma condicional,
montando seus esquemas usando premissas, suas proposições matemáticas que ora eram
falsas, ora verdadeiras. Um grupo da turma de Matemática acirrava a discussão quando dizia
“Veja bem, então provei por absurdo que raiz de 6 é irracional, agora quero vê onde está o
absurdo”. Uma aluna explicou, para as colegas de seu grupo, a falha do método da redução ao
absurdo para a raiz quadrada de 4 da seguinte maneira: “quando eu coloco a ao quadrado e
digo que é igual a 4 b ao quadrado, e tomo verdade que essa igualdade é par, então a ao
quadrado também é par [...]”.
No tocante aos alunos da Pedagogia, a tentativa de provocação para que eles
enveredassem para o uso de argumentações também foram válidas, embora tenhamos ouvido
algumas alunas dizerem “esse é difícil”, “Ah, professora já estou com dor de cabeça”. Vimos
alunos em grupo tentando fazer as demonstrações utilizando-se do método estudado e
chegando às suas conclusões sobre a redução ao absurdo.
Para nós, a quarta sessão de estudo consistiu de uma série de diálogos que, embora
fossem assuntos matemáticos desconhecidos para a maioria dos pesquisados, principalmente
na turma de Pedagogia, provocou articulação de ideias positivas no pensamento matemático
dos investigados. A nosso ver, foram discussões em pequenos e grandes grupos eficazes para
o desenvolvimento de cada tarefa. Afinal, propiciou aos alunos defender opiniões e
posicionamento de ideias matemáticas que se tornaram eficazes e necessárias na resolução das
questões. As figuras 50 e 51 exemplificam algumas das demonstrações realizadas pelos
participantes da pesquisa.
156
Figura 50 – Demonstração feita pela aluna de Pedagogia
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora
157
Figura 51 – Demonstração feita pelas alunas de Matemática
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora
Por fim, foram questões como essas que permitiram aos participantes do estudo
explicar passo a passo como eles concluíram suas tarefas; falar e estar com uma matemática
própria deles ao expressarem e questionarem junto aos seus colegas de grupo: “se a gente
pode representar uma fração em forma de fração e como ele chegou ao absurdo?” O colega
o chamou e disse, à sua maneira, como provou e onde falhava a raiz de 4 através da redução
ao absurdo.
158
5.3 A ATIVIDADE AVALIATIVA
Ao encerrar a pesquisa interventiva e, consequentemente, as sessões de estudos, foi
aplicada nos dias 11/08 e 24/08, com os alunos dos cursos de Pedagogia e Matemática
respectivamente, a atividade avaliativa final com o intuito de reavaliar o desempenho deles na
questão 2 da avaliação diagnóstica que consistia em:
2. Assinale qual das seguintes opções retrata melhor o que seja Matemática, justificando sua escolha.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Operações fundamentais ( )
Mensurações
( )
Raciocínio lógico
( )
Ciência exata
( )
Contagem
( )
Figuras geométricas
( )
Criação humana e cultural ( )
Intuição
( )
A questão composta por oito alternativas para o aluno, individualmente, assinalar apenas
uma alternativa que, em sua visão, representasse a Matemática. O quadro 15 sintetiza os resultados
obtidos nas turmas investigadas.
Quadro 15 - “Retrato” da Matemática
PEDAGOGIA
MATEMÁTICA
TOTAL
OPÇÕES
Quantidade
%
Quantidade
%
Quantidade
Operações fundamentais
7
41,2
2
20,0
9
Mensurações
Raciocínio lógico
4
23,6
2
20,0
6
Ciência exata
3
17,6
2
20,0
5
Contagem
1
10,0
1
Figuras geométricas
Criação humana e cultural
3
17,6
3
30,0
6
Intuição
Outra
TOTAL GERAL
17
100
10
100
27
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora. 02/06 a 24/08/2012
%
33,4
22,2
18,5
3,7
22,2
100
Analisando os dados, percebemos que os discentes de Pedagogia lideraram a opção
da representação da Matemática, como operações fundamentais, enquanto que nos alunos de
Matemática predominou a opção pela Matemática como criação humana e cultural.
É válido lembrarmos que, tanto na avaliação diagnóstica inicial como na avaliação
final, houve alunos que marcaram mais de uma resposta, de modo que se justifica a diferença
159
existente, no quadro demonstrativo, entre o total de alunos e o total de participantes da
pesquisa.
Embora percebêssemos que houve uma tendência para conceber a matemática como
raciocínio lógico, os alunos de Pedagogia, que marcaram mais de uma opção, assim se
justificaram: a) “Na minha concepção a matemática engloba um pouco de todos os itens que
foram marcados. Porém, na época que a matemática foi introduzida na minha vida estudantil
foi como algo de raciocínio lógico”; b) “Raciocínio porque trabalha direto com a mente,
criação humana e cultural porque a própria frase comenta: somos frutos da Matemática
desde nossa concepção e intuição, pois é nessa intuição que os melhores conceitos
apareceram e aparece”; c) “Operações fundamentais, pois todo ser humano tem que ter os
princípios de contar e definir números e figuras geométricas, raciocínio lógico, pois através
dele conseguimos resolver as operações fundamentais; raciocínio lógico por ser uma ação
que todo homem necessita”.
Na turma de Matemática, apenas dois alunos marcaram mais de uma alternativa, dos
quais apenas um justificou: “é praticamente todos os itens, pois eles todos são fundamentais
para o desenvolvimento matemático, pois um complementa o outro”.
Para melhor visualização das mudanças ocorridas nos alunos quanto à representação
da matemática, compreendemos que é necessário mostrar (Quadro 16) os resultados dessa
questão nas duas avaliações aplicadas: diagnóstica e final.
Quadro 16 - “Retrato” da Matemática dos alunos de Pedagogia
AVALIAÇÃO
AVALIAÇÃO
TOTAL
DIAGNÓSTICA
FINAL
OPÇÕES
Abs.
%
Abs.
%
Abs.
%
Operações fundamentais
1
5,9
7
41,2
8
23,5
Mensurações
Raciocínio lógico
5
29,4
4
23,6
9
26,5
Ciência exata
7
41,2
3
17,6
10
29,4
Contagem
2
11,8
2
5,9
Figuras geométricas
Criação humana e cultural
2
11,8
3
17,6
5
14,7
Intuição
Outra
TOTAL GERAL
17
100
17
100
34
100
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Comparando-se os resultados das duas avaliações, constatamos que as opções
assinaladas pelos alunos divergiram. Na avaliação diagnóstica, eles disseram ser a matemática
uma ciência exata enquanto na avaliação final a maioria dos alunos representou matemática
como operações fundamentais.
160
Como se apresenta no quadro, dos sete alunos que alegaram ser a Matemática uma
ciência exata, apenas três continuaram com a mesma representação. Para nós, são dados que
nos levaram a crer que os investigados da Pedagogia permaneceram com uma ideia
Matemática de números, operações e de uma ciência pronta e acabada, embora tenhamos
apresentado propostas de uma Matemática para além de números.
Quanto aos alunos de Matemática, o quadro 17 sintetiza suas representações nos dois
instrumentos de avaliação.
Quadro 17 - “Retrato” da Matemática por alunos de Matemática
AVALIAÇÃO
AVALIAÇÃO
TOTAL
DIAGNÓSTICA
FINAL
OPÇÕES
Abs.
%
Abs.
%
Abs.
%
Operações fundamentais
1
9,1
2
20
3
14,2
Mensurações
Raciocínio lógico
2
18,2
2
20
4
19,1
Ciência exata
4
36,3
2
20
6
28,6
Contagem
1
9,1
1
10
2
9,5
Figuras geométricas
Criação humana e cultural
3
27,3
3
30
6
28,6
Intuição
Outra
TOTAL GERAL
11
100
10
100
21
100
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora. 02/06 a 24/08/2012
Conforme constam nos resultados averiguados, notamos que os alunos, quando
consultados no tocante à representação da Matemática, antes de nossa intervenção (avaliação
diagnóstica) pontuaram ser uma ciência exata e, ao término (avaliação final), situaram como
criação humana e cultural. Observamos que dois dos quatro alunos que pensavam ser a
Matemática uma ciência exata migraram para outra alternativa, podendo ter pensado como
criação humana e cultural.
No quadro 18, apresentemos as justificativas referentes às opções dos alunos de
Pedagogia e de Matemática ao responderem a avaliação final.
161
Quadro 18 - Justificativas dos alunos ao retratarem a Matemática após a intervenção
PEDAGOGIA
OPÇÕES
Operações
fundamentais
Raciocínio
lógico
Ciência exata
 Para mim, são as operações fundamentais, já que todas as expressões que envolvem a
Matemática, para que se conclua, temos que envolver uma das operações;
 Acredito que as operações fundamentais é o que melhor define Matemática por ela estar
implícita e explícita na vida do ser humano como objeto facilitador;
 É o primeiro contato que temos com a Matemática;
 Penso que aprendendo as operações fundamentais, teremos condição de resolver mais
difíceis;
 Pois todo problema de cálculo a resolver se faz necessário o uso das operações
fundamentais;
 No início dessa pesquisa relacionava a Matemática com conceito de contagem, mas ao
final vejo que as operações fundamentais é o que melhor representa;
 Acredito que partindo das operações fundamentais é possível entrar em contato de forma
satisfatória em outras esferas da Matemática.
 É fascinante como podemos desenvolver problemas matemáticos através do raciocínio
lógico (eu tenho dificuldade de interpretar problemas);
 Através de todo nosso raciocínio lógico conseguimos alcançar todas as fases da
Matemática, e também conseguimos trabalhar outros aspectos da vida;
 Todo problema pra se resolver é necessário um raciocínio lógico e a Matemática mostra
vários caminhos para chegar a um resultado, porém, tem que haver a lógica;
 Porque tudo o que fazemos usando números, as datas, por exemplo: a idade das pessoas
encontra-se números exatos;
 Por se tratar de números e as operações acontece definindo a exatidão do que se quer
praticamente e a relação com outras disciplinas que usam. Ex: Estatística, Ciências,
Artes.
OPÇÕES
Criação humana
e cultural
Raciocínio
lógico
Contagem
MATEMÁTICA
 Todo conhecimento humano é fruto de experiências e observações construídas
dialeticamente na História e em período, por isso se caracteriza como patrimônio
humano cultural porque se constrói no cultivo da busca do conhecimento;
 A Matemática foi uma criação humana que foi (re) inventada ao longo dos anos e como
toda ciência foi construída ao longo dos tempos e também é uma criação cultural que foi
transmitida ao longo das décadas;
 Porque acredito que a evolução humana necessitou bastante dos conhecimentos
científicos e a Matemática tem um papel fundamental para a mensuração de dados
coletados.
 Porque a Matemática leva o indivíduo a desenvolver suas habilidades, deixando a mente
preparada para ter sempre uma resposta rápida;
 Para solucionar qualquer problema.
 A contagem se faz presente em quase toda operação matemática, desse modo podemos
afirmar que é uma das ações que melhor retrata a Matemática.
 Pela exatidão das suas teorias e práticas.
Ciência exata
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Para os alunos que escolheram a opção operações fundamentais, justificaram por ser
esse tema presente “na vida do ser humano” que, de certo modo, evidencia o seu aspecto
prático e utilitário na vida das pessoas.
162
Os alunos que marcaram raciocínio lógico o fizeram ou por considerarem sua
relevância para a resolução de problemas ou por acreditarem que ele abre outras
possibilidades para aprender Matemática. Nesse caso, podemos considerar que esses alunos
são platônicos, pois, de acordo com Meneghetti (2010, p. 26), para Platão, os que se aplicam
“as ciências matemáticas são obrigados a fazer o uso do raciocínio e não dos sentidos”.
Quanto à opção da Matemática retratada como criação humana, os investigados da
licenciatura em Matemática, asseguraram: “É difícil escolher uma resposta para esse quesito,
visto que a Matemática está contida em todos esses aspectos. Destaquei a “criação humana e
cultura” porque entendo que a Matemática foi se constituindo a partir das necessidades
humanas e também, apesar das convenções universais da Matemática, existem as culturas
que são próprias de determinado povo ou região do planeta”; “É criação humana e cultural
porque foi onde tudo começou. A partir dessa criação que foi possível chegar às demais
conclusões”; “No decorrer da pesquisa, por meio dos slides, tive noção de que a Matemática
seria uma invenção humana e cultural”.
Concluindo, a certeza que fica é que os sujeitos investigados tanto da Pedagogia
como da matemática, ao exporem seus pensamentos sobre a Matemática, se contradiziam,
mostravam-se confusos, relembravam problemas de ordem cognitiva com a disciplina; em
muitos momentos não tinham clareza sobre o que era Matemática.
D’Ambrosio (2005) concebe a matemática como um instrumento essencial para
explicar, entender, lidar com fatos e fenômenos do universo, o que justifica fazer uma análise
sobre sua presença como disciplina central nas grades curriculares no Brasil e no mundo. O
autor defende que essa análise parta de uma teoria de conhecimento, de uma reflexão sobre o
conhecimento e de sua contextualização.
Pesquisas divulgadas em meios impressos ou eletrônicos têm revelado que uma
parcela significativa de alunos considera a matemática a disciplina mais difícil de ser
aprendida. Desse modo, torna-se um dos “filtros sociais” que seleciona os que terão ou não
sucesso na aprendizagem, além de determinar a frequente atitude de distanciamento, temor e
rejeição em relação a essa disciplina, que parece ao aluno inacessível e sem sentido (BRASIL,
1998).
Sobre esse aspecto, Costa (2005) diz que a Matemática é uma disciplina tida,
infelizmente, como responsável, estatisticamente, pela maior parte dos casos de evasão e de
repetência e, consequentemente, é apontada como causa do fracasso social e moral dos
discentes. Mas a verdade é que ela pode estar sendo abordada de forma descontextualizada do
163
presente e isolada das demais disciplinas curriculares ou, ainda, sem significado para o
alunado, com ausência de elementos históricos relevantes para um entendimento que vai além
dos conteúdos escolares.
Arruda (2007, p. 63) assegura que a “sociedade atual exige que seus cidadãos tenham
conhecimentos, habilidades e competências para exercer suas atividades e capacidade técnica
para resolver problemas sociais, científicos e/ou tecnológicos”. Isso impõe o aperfeiçoamento
dos currículos e dos métodos de ensino nas universidades e nas escolas de educação básica.
O autor esclarece que o processo educativo deve ser analisado sob uma visão
sistêmica, capaz de estabelecer as ideias básicas e as relações do sistema com o meio, a
sociedade e consigo mesmo, atendendo às demandas impostas pelo grupo social para formar
um profissional que responda ao progresso técnico-científico da atualidade. Concordamos em
parte com tal pensamento, porque entendemos a formação de professores, principalmente de
matemática, como na visão de Fiorentini e Castro (2008, p. 124), ao afirmarem: “Acreditar
que a formação do professor acontece apenas em intervalos independentes ou num espaço
bem determinado é negar o movimento social, histórico e cultural de constituição de cada
sujeito”. Para esses autores, o movimento de formação do professor não é isolado do restante
da vida, ao contrário, está imerso nas práticas sociais e culturais.
Na geografia acadêmica da atualidade, há inúmeros estudiosos e pesquisadores
debruçados em apresentar novas possibilidades para uma melhoria de ensino, na abordagem
da matemática, nos cursos de formação de professor como Pedagogia e Matemática,
privilegiando aqueles que irão ministrar aulas de matemática, desde os anos iniciais da
educação básica, levando-os a ministrar conteúdos que oportunizem ao aluno o
desenvolvimento cognitivo do seu pensamento matemático. É preciso levantar questões que
provoquem o educando a fazer matemática, querer saber matemática, e se dispor a buscar
soluções utilizando-se das ideias matemáticas.
Assim, as questões paradoxais, as quais não se pretendem responder, mas provocar
reflexões são: qual é a matemática ideal para ser ensinada e apreendida nas universidades e
instituições superiores, para que o acadêmico nas licenciaturas forme-se professor e
profissionalize-se para atuar na escola básica? Por que não apresentamos conteúdos aos
alunos que levem a entender a construção dos seus conceitos a partir de dados históricos da
matemática?
De acordo com Costa (2005), para obtermos respostas mais apuradas para essas
questões, é preciso propor uma reflexão mais aguçada diante das inquietações, na busca de
164
soluções e do enfrentamento dos desafios, intrinsecamente ligados às transformações que
perpassam o mundo e a sociedade. Diz, ainda, que esta exige uma nova resposta da escola e
de seus profissionais: desenvolver um ensino significativo e uma aprendizagem voltada para a
realidade e a vida cotidiana. Mas, em vez disso, presenciamos um ensino-aprendizagem da
Matemática que pouco contribui para a formação cidadã dos discentes.
Entendemos que os professores de Matemática precisam se tornar aliados às
considerações propostas por Vergani (2007, p. 31): “há uma ética associada ao conhecimento
matemático, cuja prática é guiada pelo conhecimento de nós próprios, pela diluição das
barreiras entre indivíduos, pela construção de uma harmonia ancorada em respeito,
solidariedade e cooperação”. Nesse sentido, a autora adverte, ainda, que os estudantes devem
sempre ser mais importantes do que os currículos ou métodos de ensino, como também que,
se o conhecimento não puder se dissociar da plenitude humana, nem do aluno nem do
formador, que a paz pessoal, ambiental, social e cultural seja o corolário de um
posicionamento correto face à vida, ao conhecimento e ao cosmo.
Ancorada nessa linha de pensamento, formulamos a nossa concepção matemática
aliada, também, ao modo de ver educacional do educador J. Dewey (1979, p. 48), ao afirmar
que “[...] aprender a prática de um ato, quando não se nasce sabendo-o, obriga a aprender-se a
variar fatores, a fazer-se combinações sem conta destes, de acordo com a variação das
circunstâncias”. O autor esclarece que a aprendizagem da prática de um ato possibilita um
“[...] contínuo progresso, porque, aprendendo-se um ato, desenvolvem-se métodos bons para
outras situações. Mais importante ainda é que o ser humano adquire o hábito de aprender a
aprender” (DEWEY, 1979, p. 48).
No entanto, ao final das intervenções, podemos afirmar que os estudos foram
positivos e aqueles alunos, que muitas vezes diziam não participar por não tolerar
Matemática, por terem trauma, participaram ativamente, interessaram-se pela atividade,
perguntaram aos colegas e responderam as atividades. Inclusive, uma aluna, em relato na sala
de aula de Pedagogia, confessou: “professora, quando a senhora chegou, como era
Matemática, eu disse para mim mesma que não iria participar da sua pesquisa, que não era
nada contra a senhora, era por ter que fazer atividades de matemática, e eu tenho trauma
com a Matemática. Só, professora, que hoje, no fim, vejo como foi importante ter
participado” (AP20).
O comentário da aluna AP20 leva-nos à compreensão de como foi o ensino de
matemática para ela nos bancos escolares, e, na visão de Fossa (1998, p. 32), “[...] implícita
165
na concepção de ensino como sendo a transferência de conhecimentos do professor para o
aluno está a ideia de que o professor possui o verdadeiro e verificável conhecimento ancorado
na realidade externa”. Também projetamos uma reflexão e apresentamos alguns
questionamentos: por que nós, professores de Matemática, causamos tanto medo aos nossos
alunos? O que essa pesquisa pode apontar como recomendação para desmistificar os traumas
que muitos alunos têm da Matemática? Qual é o nosso papel como docentes para desfazer os
traumas de nossos alunos? Embora os alunos não tenham sido objeto central do nosso estudo,
não podemos desconsiderá-los, haja vista termos constantemente percebido nas falas, nas
ações e durante a execução das atividades o desgosto, o medo e os traumas deles pela
matemática acadêmica. Esta constatação, direta ou indiretamente, poderia até interferir.
Entretanto, nosso propósito tinha como finalidade levar o aluno em formação inicial a pensar
matematicamente. Desse modo, acreditamos que “o futuro professor não apenas constrói sua
experiência profissional, mas também problematiza, ressignifica e reconstitui criticamente seu
próprio ideário”( FIORENTINI, 2003, p.101).
O entendimento que falta ao aluno, em formação inicial, é aceitar que sua formação
deve ser permanente, e que o formador “é o sujeito em relação a quem me considero o objeto,
que ele é o sujeito que me forma e eu, o objeto por ele formado, me considero como um
paciente que recebe os conhecimentos-conteúdos-acumulados pelo sujeito que sabe e que são
a mim transferidos” (FREIRE, 1999, P.25).
Projetaremos, na próxima subseção, as considerações sobre a pesquisa empírica e o
estudo que o envolveu.
166
6 ARTE FINAL: ARREMATES, (IN)CONCLUSÕES, RECOMENDAÇÕES E
PERSPECTIVAS DO ESTUDO
Esta seção, como o próprio título anuncia, tratar-se-á das nossas considerações gerais
sobre pontos de vista do presente estudo, que, para nossa compreensão, não poderão ser
tomadas como conclusões prontas e acabadas, como um fim só e sim, mas como o constructo
de um exequível acabamento do inacabado.
Para tanto, é válido ressaltar que se pretendeu associar este estudo a uma obra
arquitetônica, pronta a ser moldada a um estilo, pois, como nos ensina Koch (2008), em cada
estilo encontramos elementos arquitetônicos bem definidos. No nosso caso, o greco-romano,
estilo adotado no renascimento e, desse modo, assemelhá-lo às obras do artista Palladio –
arquiteto italiano em destaque no presente estudo.
Palladio, ao finalizar seus projetos, procurava embelezá-los com adornos, que eram
colocados sejam nos frontões triangulares, sejam nos arcos, nas pilastras ou nas colunas
(dórica, compósita, toscana, coríntio e compósito). Na tentativa de imitá-lo, finalizaremos este
estudo colocando nas suas colunas de fundamentação teórica e prática, os frisos, as
arquitraves, os capiteis, os adornos e as figuras humanas. Afinal, entendemos serem esses os
principais elementos utilizados por Palladio, e tidos como características próprias dessa época.
Por essa razão, denominamos essa seção “Arte final”, como propósitos necessários ao
embelezamento dos arremates de uma (in)conclusão e, a partir de então, sim, tecer nossas
considerações.
Este trabalho partiu de nossas preocupações em oportunizar ao aluno, em formação
nos cursos de licenciatura em Matemática e em Pedagogia, o pensar matematicamente.
Motivo pelo qual nos fez refletir sobre como aproveitar a afirmação do questionamento feito
por atuais estudiosos de Palladio sobre o uso da seção áurea nos seus projetos arquitetônicos,
no nosso caso, a Villa Emo. Consequentemente, promover um diferencial na abordagem dos
conteúdos matemáticos em cursos de formação de professores, por serem eles futuros
profissionais em atuação na educação básica.
Dessa forma, na elaboração desta tese suscitaram conhecimentos sobre a matemática
de Andrea Palladio na Villa Emo em Fanzolo, projeto do arquiteto na sua obra Os quatro
livros de arquitetura de Andrea Palladio e na obra Os elementos de Euclides, no que se trata
da definição de seção áurea, demonstrações por absurdo, os irracionais e a
incomensurabilidade, mas também em obras de Fossa (2008), Mendes (2008) e Erickson &
167
Fossa (2005, 2006). Buscamos, ainda, conhecimentos do tema da questão aberta, relativa à
presença da seção áurea e matemática de Palladio em diversos artigos de arquitetura postados
em revistas eletrônicas no portal Capes e sistema Comut.
Nossos arremates terão foco nas questões norteadoras, que regeram o presente
trabalho, desde a fundamentação teórica até a parte empírica. Partimos do princípio de que
Palladio usou seção áurea no seu projeto da Villa Emo com base em um argumento avaliado
pela norte-americana Rachel Fletcher (2000, 2001). Essa discussão envolveu uma matemática
possível de ter sido usada por Palladio, oportunidade que vimos ser plausível para ser
abordada em aulas de matemática no ensino superior.
Como mencionamos na primeira seção, o nosso propósito foi apresentar uma
situação de ensino baseada na história, envolvendo a matemática e a arquitetura, oriunda de
um contexto concreto – a Villa Emo de Andrea Palladio. Centramos nossas discussões nos
estudos de Fletcher, ao afirmar que Palladio usou seção áurea na construção da referida vila.
Em um primeiro momento, examinamos a planta baixa da ViIla Emo
experimentando, por tentativa ou levantando hipóteses, se há ou não seção áurea. No decorrer
do itinerário da proposta investigativa, utilizamos alguns aspectos da história da matemática
antiga, por meio de atividades calcadas no debate em torno do uso da seção áurea defendida
por Rachel Fletcher, na Villa Emo. Isso permitiu, no decorrer da pesquisa, elencar algumas
constatações devidamente relevantes para anunciá-las e levantá-las dentro de uma perspectiva
futura, quer seja para o aprimoramento dos participantes da pesquisa ou para o entendimento
de sua prática empírica.
Na construção desta tese, definimos como objetivo geral analisar se o uso de uma
questão sobre a matemática de Andrea Palladio e a seção áurea, quando aliada a alguns
aspectos da matemática da Grécia antiga, contribui para o desenvolvimento do raciocínio
matemático de alunos em formação inicial nos cursos de Pedagogia e Matemática do IFESP.
Ousamos explorar a matemática de modo diferente do que nós costumávamos
abordar nos cursos de formação da instituição. Durante todo o processo de investigação,
percebemos uma boa aceitação da nossa proposta de trabalho de campo e credibilidade por
parte dos participantes. No que diz respeito aos aspectos relacionais entre os alunos e a
pesquisadora, foi de grande receptividade, interação e muito contribuiu para a elevação da
autoestima deles.
A busca constante para ampliar os conhecimentos dos alunos e (re)pensar nossa
prática docente, enquanto professora formadora do IFESP, fez-nos definir as questões
168
norteadoras da pesquisa: 1) por que trabalhar, nos cursos de licenciaturas em Matemática e
Pedagogia, com a matemática da Grécia Antiga de Pitágoras e os pitagóricos, de Euclides e
outros matemáticos a.C., perpassando pela era renascentista de Andrea Palladio, no século
XVI?; 2) Como explorar, na sala de aula, conceitos matemáticos sobre os irracionais e sua
incomensurabilidade, seção áurea e as demonstrações da redução por absurdo?
A primeira pergunta nos remete a pensar na história da matemática como um
relevante recurso didático-metodológico para o aluno se apropriar de conceitos e processos
matemáticos do passado para melhor compreender o presente, pensar matematicamente, assim
como esclarecer ideias matemáticas por eles construídas.
Quanto à segunda pergunta, ao retroceder no tempo para abordar conteúdos da
matemática antiga, estamos oportunizando ao aluno compreender a matemática como uma
construção histórica e cultural.
Presenciamos, no início da pesquisa, por parte de alguns alunos, certa resistência ou
timidez em realizar as atividades, principalmente aqueles que tinham vivido experiência
negativa com a disciplina de Matemática no decorrer de sua vida escolar. Escutamos alunos
de Pedagogia afirmar ter aversão e trauma em relação à disciplina. Mas, no decorrer da
pesquisa, observamos um interesse crescente a cada atividade apresentada. Alguns alunos de
Pedagogia disseram que deveríamos aparecer mais na sala, pois gostavam muito de fazer
cálculos. Encerrada a pesquisa de campo, escutamos outros alunos dizerem que estavam
concluindo Pedagogia, mas que queriam cursar Matemática. Outro aluno de Pedagogia, que
demonstrava habilidade com o raciocínio matemático, confessou-nos que o seu maior sonho
era aprender as progressões aritmética e geométrica, as conhecidas (PA e PG).
As sessões de estudo interventivas com conhecimentos e conceitos matemáticos de
seção áurea, incomensurabilidade e irracionalidade, usando alguns aspectos da história da
Matemática, fizeram-nos perceber claramente o quanto tornaram significativas as interações
da teoria com a prática junto aos alunos investigados. Foram as sessões de estudos que
contribuíram para eles conhecerem novos conceitos matemáticos. Seção áurea e
consequentemente o método do retângulo áureo e o Φ foram apontados pelos alunos, quer de
forma verbal ou escrita, serem conceitos matemáticos totalmente por eles desconhecidos.
Observamos que a proposta de realizar um estudo sobre a apreciação do raciocínio
matemático proporcionou, no decorrer das sequências de ensino e atividades, reflexões
teórico-práticas voltadas a uma organização do pensamento matemático, capaz de
desenvolver, nos acadêmicos, o raciocínio lógico e investigativo e demonstração matemática.
169
A proposta interventiva, realizada com os participantes da pesquisa, provocou
avanços significativos na forma deles pensarem sobre a matemática. Essa comprovação é
visível não apenas nos depoimentos orais, mas também nos resultados e argumentos
apresentados na avaliação inicial e final que aplicamos.
Em tese, ao se trazer aspectos da matemática da Grécia Antiga e de Andrea Palladio,
em atividades de ensino para professores ou futuros professores da educação básica, houve a
promoção, neles, de uma melhoria na capacidade de raciocínio matemático e na aprendizagem
de conceitos relacionados à seção áurea, números irracionais, incomensurabilidade e da
técnica de redução ao absurdo.
A pesquisa não se encerra com a escrita deste trabalho, pelo contrário, ela apenas
inicia um estudo mais amplo para futuros pesquisadores interessados no debate maior sobre a
educação matemática. Por outro lado, visualizamos que ela permitiu uma abertura para
estudos futuros de pesquisa nos campos social, histórico, antropológico, político e geográfico,
já que manteve uma postura interdisciplinar.
No que se refere ao campo da matemática, abriu novas perspectivas de pesquisa para
a melhoria da formação inicial de professores, quer seja de Matemática quer seja de
Pedagogia, numa visão motivadora: o ensino da matemática ligado à matemática antiga.
Acreditamos que o maior desafio do professor na atualidade é tornar-se um
professor-pesquisador no âmbito escolar. No contexto da sala de aula de Matemática, deve
tornar-se uma prática corriqueira do educador eleger sequências de atividades de ensino para
serem vivenciadas por seus alunos, de forma que o levem ao raciocínio e argumentos
matemáticos colaborativos. Mas, para que isso aconteça, é pertinente ressaltarmos que essa
prática pedagógica deve ser considerada pelos profissionais que atuam nas Instituições de
Ensino Superior (IES) nos cursos de formação de professores, prática essa voltada para a
organização do pensamento matemático, a fim de desenvolver, no acadêmico, o raciocínio
lógico e investigativo e demonstração matemática.
É nosso intuito que esta pesquisa possa contribuir para a formação de professores que
ensinam Matemática, principalmente nos cursos de Pedagogia e Matemática do IFESP, palco
da nossa pesquisa, que tem como missão formar professores não só para a educação básica do
Rio Grande do Norte, mais para todos aqueles interessados com a causa de formar
professores.
Para tanto, recomendamos que conteúdos que envolvam alguns aspectos da
matemática dos gregos, ligada a uma questão aberta da matemática de Andrea Palladio, sejam
170
contemplados nos componentes curriculares que versam sobre o ensino de matemática nos
estudos de formação iniciais de professores de Matemática e de Pedagogia através de uma
abordagem da história da matemática histórica e reflexiva, com uso de demonstrações,
minicursos e de aprofundamentos. Ademais, que o estudo estabeleça também uma conexão
com a educação, a filosofia, a sociologia e a arquitetura, de forma mais abrangente, voltado
para uma contribuição mais geral com a história da matemática.
Os ensinamentos da Grécia Antiga de Pitágoras os pitagóricos, Euclides e a história
de vida pessoal e profissional de Andrea Palladio e a sua matemática, além da defesa de
Rachel Fletcher do uso da seção áurea por Palladio na Villa Emo, também devem ser
discutidos nas aulas de Matemática pela sua relevância para o aluno aprender os conceitos
matemáticos.
Este estudo também traz à tona outras questões para novas pesquisas. Ele abre, por
exemplo, a possibilidade de o aluno, futuro professor em cursos de formação inicial, ou ainda
professores na formação continuada, usar situações ou questões concretas, fazendo uso de
recursos históricos da matemática como uma forma de apresentar conteúdos que façam os
seus educandos raciocinarem matematicamente.
Além disso, este estudo traz questões para novas pesquisas: por que não acrescentar,
nas sequências de atividades de ensino, experimentos com conteúdos matemáticos que
envolvam os irracionais e a seção áurea, a fim de que possibilitem aos alunos não somente a
resolução de cálculos matemáticos, mas também o uso adequado de instrumentos de medição?
Como as mensurações nas plantas baixas da Villa Emo de Palladio, em tarefa de grupo,
podem contribuir para o aluno argumentar, inferir e pensar matematicamente que o número
irracional, por ser incomensurável, não pode ser medido? Entendemos que o mais importante
neste estudo é que os alunos da educação básica analisem que a questão de Rachel Fletcher
sobre a presença da seção áurea, na citada vila, não pode ser resolvida através de mensurações
e, sim, através de uma teoria matemática.
Portanto, a certeza que nós temos foi que aprofundar essas questões, tangencialmente
tocadas neste estudo, sinalizam, portanto, para novos desdobramentos deste trabalho
investigativo. Em síntese, nossa expectativa, com este estudo, é que pesquisas dessa natureza
possam, de fato, contribuir na construção diferenciada da matemática em sala de aula na
educação básica.
171
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177
APÊNDICES
178
APÊNDICE A – Atividade diagnóstica - pesquisa de campo
Realizada no
Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy, com
alunos/professores do PARFOR, participantes da turma do 3º período da segunda licenciatura
em Matemática.
 Dados pessoais:
a) Qual a faixa etária em que se enquadra:
( ) 20 e 30 anos
( ) 31 e 40 anos
( ) 41 e 50 anos
( ) 41 e 50 anos
( ) acima de 51 anos
b) Qual(is) a(s) graduação (ões), instituição formadora e o ano de conclusão?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c) Em que cidade reside?
___________________________________________________________________________
d) Atua em qual(is) rede(s) de ensino nível(s) ou modalidade e ano?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
e) Tempo de serviço no Ensino?
___________________________________________________________________________
 Avaliação diagnóstica
1 – Pense um pouco e responda:
Você já ouviu falar dos números racionais? (
) Sim
( ) Não
- Em caso afirmativo, escreva alguns exemplos desse número:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Você já ouviu falar dos números irracionais? (
) Sim
(
) Não
- Em caso afirmativo, escreva alguns exemplos desse número:
179
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Você já ouviu falar da seção áurea? (
) Sim
( ) Não
- Em caso afirmativo, fale sobre a ela:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2- Assinale qual das seguintes opções retrata melhor o que seja Matemática:
a) Operações fundamentais (
b) Mensurações (
)
)
c) Raciocínio lógico (
)
d) Ciência exata ( )
e) Contagem ( )
f) Figuras geométricas (
)
g) Criação humana e cultural (
)
h) Intuição ( )
- Justifique sua escolha:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2- Compare os pares de números colocando =, < e > entre eles:
a) 0,72222________________ 0,73
b) √10___________________ 3,15
c) √2____________________ 4/9
d) 5,1____________________ √28
e) 3 1/5__________________ √10
f) -29____________________ -12
g) -17____________________ +7
h) -1_____________________ - 2
i) 1___________________ ½ + ½
j) √7 _____________________ 2,6
180
k) 0,444__________________ 1 ½
l)
__________________ 3,14...
m) 0,999_____________________ 1
n) √16
__________________ 24/8
o) ¼ + 2/4 _________________ 0,75
p) 0,25 __________________25/100
Aplicada por___________________________________
Natal – RN _____de _______ de 2012.
181
APÊNDICE B – Os números e a matemática
Aluno (a) ________________________________ Curso__________ Data ____ / ___ / 2012
ATIVIDADE 1
Objetivos:
 Perceber que no processo de criação numérica existem situações que não são possíveis de
serem solucionadas por números racionais;
 Reconstruir conceitos e significados dos números irracionais e racionais por meio do uso
da calculadora.
Conteúdos
- Conjuntos numéricos;
 Naturais;
 Inteiros;
 Racionais;
 Irracionais;
 Reais
Recursos: papel pautado, régua, tesoura, barbante, calculadora, fita métrica e balança.
Metodologia: Apresentação de situações-problema envolvendo os números racionais e
irracionais;
Exibição de slides, debate e atividade em grupo
- PARA INÍCIO DE CONVERSA
No decorrer de toda nossa apresentação sobre “os números”, vimos, no slide
discutido, que existem os que servem para contagem e outros que servem para medir. Desse
modo, os números podem ser representados de diferentes formas: inteiras, fracionárias, raízes
quadradas exatas ou não exatas, números com vírgulas e sem vírgulas (decimais exatas ou
compostas, decimais finitas ou decimais infinitos). Isso evoluía a partir do instante em que o
182
homem e a sociedade necessitavam criar outros tipos de números que dessem respostas a
novas situações, tais como mensurações, contagem, comparação, seriação, uma vez que certo
conjunto numérico não poderia naquele instante solucionar a quem interessava chegar à
resolução de seu problema. Dessa maneira, o homem inventa outros números e novos
conjuntos. Assim, um conjunto inclui outro como é o conjunto dos números racionais (todo
número que pode ser escrito na forma a/b, com a e b inteiros, b ≠ 0), o qual contém os
números naturais, os números inteiros e os representados por frações ou decimais. Outros
números como os irracionais as razões entre seus números não expressam números racionais.
Por ter representação infinita não-periódica, são identificadas como números
irracionais. O
eo
são exemplos deles.
Exemplifique cada número a fim de auxiliar nas atividades seguintes:
 Números naturais:
 Números inteiros:
 Números Racionais:
 Números Irracionais:
 Números Reais:
Quando comparamos uma grandeza e uma unidade, obtemos um número. Se a
grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado, um número natural. Por
exemplo, quando contamos o número de dias que faltam no mês de junho para chegar o São
João.
Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado, um número
real. Por exemplo, quando medimos a altura de uma pessoa.
183
Criem outros exemplos que envolvam as grandezas:
a) Discreta: _________________________________________________________
b) Contínua _________________________________________________________
EM FOCO:
ATIVIDADE 1 EM GRUPO
Pense matematicamente e responda às questões:
1) Quando dividimos um número inteiro por outro diferente de zero, encontramos como
resultado um número racional, sendo ele inteiro ou não. Um exemplo é o cálculo de índice de
massa corporal que fazemos para o controle do nosso peso. Índice de massa corporal (ICM) é
dado pela seguinte fórmula: IMC =
onde deve ser medido massa em kg e altura em m.
CRITÉRIO DO IMC
Baixo
Normal
Pré-obeso
Obeso
Até 18,5
De 18,6 a 24,9
De 25 a 29,9
Mais de 30
Tomando uma pessoa com 70 kg e 1,64m.
184
IMC=
=
=
=
= 26, 03
Consultando a tabela, deduzimos que essa pessoa é pré-obesa. Dadas as informações,
utilizando uma calculadora, resolva as seguintes questões:
a) Em que categoria do IMC está uma pessoa como 1,70 m de altura e 70 kg? ____________
b) Qual é o seu IMC? Em que categoria se encontra?
c) Utilizando fita métrica, meça todos os participantes do seu grupo e mostre uma tabela
numérica por ordem crescente. Os números dos resultados são pertencentes a qual número
estudado?
2) Use calculadora ou não e escreva cada número na forma decimal.
a)
b)
c) - 8/80
3) Pense um pouco e responda:
a) Os números 0,9 e 0,999... são iguais?
_________________________________________
b) Os números 0,99 e 0,999... são iguais? _________________________________________
c) Os números 0,999 e 0,999... são iguais? ________________________________________
d) Os números 0,9999 e 0,999... são iguais? _______________________________________
4) Por tentativa ou usando calculadora, descubra a forma fracionária dos seguintes números:
a) 0,9
b) 0,99
c) 0,999
d) 0,9999
e) 0,999...
5) Sem usar a tecla √, procure o valor aproximado até a quarta casa decimal de:
a) √3
b) √5.
ATIVIDADE B
6) Sem usar a tecla √, procure o valor aproximado até a quarta casa decimal de:
a) √ 3
b) √5.
185
7) Considere que
a) 2,5 e 3
é um número irracional. Escreva um número irracional entre:
b) -10/3 e -8/3
8) Usando pedaços de barbante e régua, meça diversos objetos arredondados. Dividida o
comprimento da circunferência pela medida do seu diâmetro, considerando as informações
dadas abaixo com relação ao diâmetro e ao raio da circunferência, usando
:
Sugestões: moedas, CDs etc.
Lembrete: D=2r
Objeto
Valor da circunferência
Valor do diâmetro
Valor do quociente: C: D
O que observou e o que considera?
___________________________________________________________________________
9) Identifique os números pertencendo ao conjunto natural, inteiro, racional, irracional e real:
a) 10 _______________________________
b) √7 _______________________________
c) -3/5 ______________________________
d) 0,666.. ___________________________
e) √5. ______________________________
f)
________________________
g)
_____________________________
186
10) Veja o valor de √2 na sua calculadora. Escreva seu valor. Pergunta-se, o valor dado é
exato? ( ) sim
( ) Não
Obtenha outros exemplos parecidos com este, e escreva-os abaixo:
___________________________________________________________________________
11) Decomponha cada item abaixo, encontre suas raízes quadradas e identifique como
racional ou irracional:
a) √441
b) √6875
c) √968
12) Use régua e compasso e construa, a partir de um quadrado de lado 1, a representação
geométrica dos números irracionais com as raízes quadradas não exatas como: √2, √3, √5,
√7.
13) Qual dos números abaixo não pode ser expresso na forma de fração?
a) 0,1001001001001001001000...
b) 0,6234623462346234...
c) 5,21043210432104321043...
d) 3,142114221423142414251426...
O que conclui sobre esta questão? _____________________________
187
APÊNDICE C – Seção áurea
Aluno (a) ________________________________ Curso__________ Data ____ / ___ / 2012
ATIVIDADE 2
Objetivos:
 Explicar o contexto histórico do descobrimento da incomensurabilidade;
 Analisar, na obra Os Elementos, de Euclides, a definição de seção áurea;
 Mostrar que é possível trabalhar o conhecimento científico de forma criativa no curso de
formação de professores;
 Acrescentar a seção áurea como mais um exemplo dos números irracionais;
 Compreender a definição da proporção áurea a partir dos gregos antigos;
 Criar situações de aprendizagem que envolvam o retângulo áureo;
 Trabalhar o Fi (Φ) como exemplo de números irracionais;
 Compreender que a seção áurea é uma razão incomensurável e que, por isso, não poder ser
medida por números racionais;
 Construir retângulos áureos cujas medidas das bases correspondam às medidas dos catetos
e da hipotenusa de um triângulo retângulo.
Conteúdos:
 Definição de seção áurea;
 Seção áurea e o método do retângulo áureo;
Metodologia:
 Exibição e exposição oral de slides sobre seção áurea e construção do retângulo áureo;
 Debate na sala de aula;
 Apresentação de situações-problema envolvendo o retângulo áureo;
 Realização de atividades em grupos.
188
- PARA INÍCIO DE CONVERSA
Para Johannes Kleper (1571 – 1630), a geometria tem dois tesouros: um é o teorema
de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média extrema razão. O primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro; o segundo, podemos chamar de joia rara (BOYER, 1974,
p. 36). Segundo Boyer, para os gregos antigos, esse tipo de subdivisão logo se tornou tão
familiar que não se achava necessário ter nome especial para ela, por isso a designação
“divisão de um segmento em média extrema razão”, em geral, é substituída simplesmente pela
palavra “secção”.
Na minha obra Os elementos, eu, Euclides de
Alexandria, matemático grego fundador da
escola de Alexandria e seguidor de Pitágoras,
que vivi no Século III a.C., tratei o que vocês
chamam hoje de seção áurea por divisão de um
segmento em média e extrema razão. Estude
isso no meu livro!
- EM FOCO: ATIVIDADE 2 EM GRUPO
1) Responda:
a) Qual a definição de seção áurea dada por Euclides na obra Elementos?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Descreva sobre a discussão apresentada no slide, existente na história pitagórica, referente
ao pentagrama e ao quadrado de lado 1, quanto à definição da seção áurea e à
incomensurabilidade dos irracionais:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
189
2) Use lápis grafite, régua não graduada e compasso e construa, a partir de um quadrado de
lado qualquer, retângulos áureos, em diferentes tamanhos. Sabendo que existe um método
para esta construção, siga as seguintes etapas:
Etapa 1: Trace um quadrado qualquer e nomeie ABCD, de tal modo que AB corresponda a
sua base. Este quadrado tem lado de medida a.
Etapa 2: Divida AB ao meio e marque ali o ponto M. Trace uma perpendicular a este ponto,
dividindo o quadrado em dois.
Etapa 3: Escolha um destes retângulos, digamos aquele com base AM. Trace sua diagonal,
passando por M.
Etapa 4: Passe uma semirreta a partir de M, contendo AM.
Etapa 5: Com o compasso, com a ponta sobre M, transfira a medida da diagonal para esta
semirreta. Marque ali o ponto E.
Etapa 6: Trace um novo retângulo, utilizando os pontos CBE, como vértices.
3) Os gregos antigos consideravam que os retângulos cujo lado maior estivesse para o lado
menor na proporção 1 + √5 / 2 seriam retângulos harmoniosos. Assim, essa divisão, que
chamavam de extrema ou média razão, tornou-se conhecida como seção áurea, proporção
áurea, razão áurea, número áureo ou número de ouro e, assim, um número irracional. Com
base nessas informações, responda e calcule:
a) O que é harmonia para você?
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___________________________________________________________________________
b) Busque no dicionário o significado de harmonia e compare com sua definição.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c) Obtenha o valor 1 + √5 / 2 na calculadora e descubra seu correspondente.
___________________________________________________________________________
d) O significado de harmonia para os gregos coincide com os significados colocados nos itens
“a” e “b” desta questão?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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4) Construa um retângulo que mede 8,09cm de comprimento e mede 5 cm de largura e depois
divida o comprimento pela largura:
a) Escreva seu resultado observando o que aconteceu
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Use uma calculadora e obtenha o resultado da divisão de 5 por 3,09 e escreva o que o
grupo conclui com esse resultado:
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c) Use cartolina e tesoura para construir modelos de retângulos áureos e mostre as
características e medidas que os classificam como tal:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5) Compreendendo que um retângulo é áureo, se a razão entre o lado maior e o lado menor for
igual ao número de ouro, de modo que 1 + √5 / 2. Utilize barbante, régua e calculadora e
preencha a tabela com objetos obtidos na sala de aula que tenham a forma retangular, para
verificar se esses retângulos são áureos.
Objeto
Comprimento (a)
Largura (b)
Razão (a/b)
a) Depois de concluída a tarefa, identifique escrevendo os objetos que são retângulos áureos:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Agora, defina, com suas próprias palavras, o entendimento do grupo sobre o conceito de seção
áurea.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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b) Compare a definição dada pelo grupo na questão anterior com a de Euclides. O que elas
têm em comum?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
192
APÊNDICE D – A matemática e a arquitetura na Villa Emo de Andrea Palladio
Aluno (a) ________________________________ Curso__________ Data ____ / ___ / 2012
ATIVIDADE 3
Objetivos:
 Caracterizar a vida, o legado, a origem e as obras de Andrea Palladio;
 Investigar na obra Os Quatro livros de arquitetura de Andrea Palaldio a Villa Emo;
 Abordar dados históricos da arquitetura e matemática de Palladio na formação de
professores de uma forma criativa.
 Debater tese de Rachel Fletcher sobre a seção áurea na Villa Emo de Andrea Palladio;
 Aplicar o método do retângulo áureo na planta baixa presente no tratado de Palladio;
 Possibilitar situações de aprendizagem com as representações geométricas de Fletcher que
envolvam o pensamento matemático na formação inicial de professores;
 Analisar a presença da seção áurea nos desenhos arquitetônicos da Villa Emo de Palladio;
Conteúdos extracurriculares:
- Biografia de Andrea Palladio;
- Obras e tratado de Andrea Palladio;
- A matemática de Andrea Palladio;
- Defesa da tese de Rachel Fletcher
Metodologia:
 Apresentação de um slide sobre a vida , obra e legado de Palladio;
 Exibição de vídeo no Youtube - www.youtube.com/watch?v=4rOUW4wjKQY - da Villa
Emo de Andrea Palladio;
 Discussão e debate na sala de aula;
 Realização de atividades de grupos;
 Leitura e interpretação da tese e defesa de Rachel Fletcher;
 Apresentação criativa (cordel, historia em quadrinhos, dramatização, jogral) de Andrea
Palladio.
193
Recursos:
 Planta baixa da Villa Emo de Palladio;
 Planta baixa da “Nossa planta” - Costa e Fossa;
 Planta baixa da Villa Emo - Mario Zocconi e Andrzej Pereswiet Soltan
 Régua e compasso;
 Tratado “Os quatro livros de arquitetura”;
 Livro “A Matemática no século de Andrea Palladio”;
 Data show/slides;
 DVD; textos /artigos Fletcher;
 Vídeos www.youtube.com/watch?v=4rOUW4wjKQY;
 Cópias dos desenhos do artigo “Hipótese defendida”.
- PARA INÍCIO DE CONVERSA
Eu sou Andrea Palladio, arquiteto renomado que viveu
nos anos de 1508 a 1580, durante o renascimento na
Itália. Convido a todos vocês a fazerem uma viagem no
meu tempo e descobrirem tudo que fiz e a estudarem
debatendo por que até hoje tanto falam e discutem sobre
os meus trabalhos e projetos de arquitetura,
principalmente as Villas, especificamente a Villa Emo e
nela sua matemática – referente à seção áurea. Acima de
tudo, conhecer minha grande obra literária - “Os quatro
livro de arquitetura”- que escrevi em 1570.
- EM FOCO: ATIVIDADE 3 EM GRUPO
1) Com base na explanação, debata com o seu grupo tudo que foi apresentado em slides, e
escolha uma forma criativa de produção literária (jogral, dramatização, jornal, paródia,
histórias em quadrinhos ou outro) para apresentar um breve histórico da vida e obra de
Andrea Palladio.
2) De posse das plantas baixas da Villa Emo - extraído do “Quatro livro de Arquitetura,”,
pede-se que utilizem
material régua e compasso e a partir dos desenhos, observe os
quadrados e aplique sobre eles o método do retângulo áureo, respondendo:
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a) É possível encontrar seção áurea? (
) Sim
(
) não
b) Em caso positivo, onde e como encontrou? Explique
c) Repita o mesmo processo sobre “nossa planta” e faça suas considerações escrevendo sobre
a presença ou não da seção áurea.
3) A partir da técnica do retângulo áureo, estudado no encontro anterior, invente um novo
projeto arquitetônico na perspectiva trabalhada por Palladio para projetar sua Villa e depois
reproduza em cartolina.
4) Do artigo de Rachel Fletcher, solicita-se:
a) escolha uma representação geométrica:
b) refaça o desenho escolhido sobre as plantas baixas de Palladio e dos arquitetos Mario
Zocconi e Andrzej Pereswiet Soltan;
c) faça comparações dos desenhos construídos e escreva sua conclusão referente à seção
áurea.
5) Reconstrua, com régua e compasso, o modelo da Villa Emo do Tratado de Palladio e, com
papel transparente, sobreponha-a, escrevendo suas conclusões e levando em conta o uso ou
não da seção áurea.
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APÊNDICE E – Técnica de demonstração por absurdo
Aluno (a) ________________________________ Curso__________ Data ____ / ___ / 2012
ATIVIDADE 4
Objetivos:
 Entender a ideia básica de redução ao absurdo que uma premissa não pode ser verdadeira
senão levar a uma contradição;
 Compreender a técnica de demonstração da redução por absurdo,
 Abordar a redução por absurdo de forma criativa e não técnica;
 Demonstrar por absurdos as raízes quadradas irracionais √2, √5, √7
 Descobrir onde falha a técnica da redução por absurdo para a √4
 Definir claramente conceitos de contradição, argumento;
 Analisar e identificar quando duas proposições são contraditórias;
 Construir exemplos de proposições contraditórias.
Conteúdos:
 Técnica da demonstração matemática da redução ao absurdo;
 Breve consideração histórica da matemática grega;
 Considerações preliminares da redução ao absurdo;
 Definição de argumento, proposição e contradição;
 Exemplo de premissas contraditórias no quotidiano,
 Exemplo de demonstração ao absurdo das raízes quadrada irracionais.
Metodologia:
 Leitura compartilhada, escuta e canto da música “dois mais dois são cinco”;
 Debater a relação da letra da música com a temática estudada;
 Apresentação de um slide sobre aspectos históricos e matemáticos da redução ao absurdo;
 Realização de atividades investigativas de grupos com o tema estudado;
Recursos: livro paradidático; multimídia, slides, Data show; som e CD.
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- PARA INÍCIO DE CONVERSA
Você sabia que ...
A Prova por contradição (ou redução ao absurdo, do latim
reductio ad absurdum) é um método de prova matemática indireta,
não-construtiva. Este tipo de prova é feito assumindo-se como
verdade o contrário do que queremos provar e então chegando-se a
uma contradição.
Reductio ad absurdum (latim para "redução ao absurdo"[1],
provavelmente originário do grego ἡ εις άτοπον απαγωγη, transl. e
eis átopon apagoge), que significaria algo próximo a "redução ao
impossível", expressão frequentemente usada por Aristóteles),
também conhecida como um argumento apagógico, reductio ad
impossibile ou, ainda, prova por contradição, é um tipo de
argumento lógico no qual alguém assume uma ou mais hipóteses
e, a partir destas, deriva uma consequência absurda ou ridícula, e
então conclui que a suposição original deve estar errada. O
argumento se vale do princípio da não-contradição (uma
proposição não pode ser, ao mesmo tempo, verdadeira e falsa) e
do princípio do terceiro excluído (uma proposição é
verdadeira ou é falsa, não existindo uma terceira
possibilidade).
- EM FOCO: ATIVIDADE 4 EM GRUPO
1) Escreva o que o grupo entendeu sobre a redução por absurdo?
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2) Compreendendo o que é uma contradição, perguntamos: será que uma contradição é um
exemplo de uma proposição que é verdadeira e falsa ao mesmo tempo? Explique.
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3) Qual é a condição para que duas proposições sejam consideradas contraditórias?
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4) Construa um exemplo de uma proposição matemática contraditória.
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5) Construa exemplo de proposição contraditória do quotidiano.
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6) Escolha uma raiz quadrada não exata e demonstre, provando por absurdos, que ela é
irracional:
7) Com base na demonstração anterior, tente provar que √4 é um número irracional. O que
concluiu após a realização das duas tarefas? Escreva suas observações:
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